Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 7
МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
Идея межотраслевого баланса впервые была сформулирована в работах советских экономистов в 1920-х гг. и получила затем развитие в трудах американского экономиста В.В. Леонтьева.
Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит на чистых отраслей. Чистая отрасль – это условное понятие – некоторая часть народного хозяйства, более или менее цельная. Например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.п.
Пусть – количество продукции -й отрасли, расходуемое в -й отрасли, – объем производства -й отрасли, – объем потребления продукции -й отрасли в непроизводственной сфере. Ясно, что .
Матрица содержит весьма много информации. Так, ее -я строка характеризует использование продукции -й отрасли по всему народному хозяйству, а -й столбец характеризует -ю отрасль: что и в каких количествах она использует.
Перейдем теперь к безразмерным величинам. Пусть – количество единиц продукции -й отрасли, расходуемое на изготовление, производство одной единицы продукции -й отрасли. Числа называются коэффициентами прямых затрат отрасли и характеризуют технологию этой отрасли. Число же есть доля продукции - й отрасли, идущая на непроизводственное потребление.
Вначале при рассмотрении модели Леонтьева сделаем два важных предположения.
Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства считаем неизменной. Таким образом, матрица постоянна.
Второе состоит в постулировании свойства линейности существующих технологий. Т.е. для выпуска -й отраслью продукции объема надо ресурсов (т.е. продукции других отраслей) в количестве .
Это требование означает, в частности, что каждая отрасль способна произвести любой объем своей продукции при условии, что ей будут обеспечены ресурсы в необходимом количестве. На самом деле это, конечно, не так, ибо производственные возможности всякой отрасли ограничены имеющимся объемом трудовых ресурсов и основных фондов.
Продуктивность модели Леонтьева. Пусть потребность непроизводственной сферы выражается вектором . Существует ли вектор производства, обеспечивающий это, т.е. удовлетворяющий уравнению ? Разумеется, учитывая экономическую интерпретацию, этот вектор производства должен быть неотрицательным. Поэтому говорят, что модель Леонтьева продуктивна, если уравнение имеет неотрицательное решение для любого , т.е. матрица позволяет произвести любой неотрицательный вектор потребления.
Теорема. Модель Леонтьева с матрицей продуктивна, если и только если существует неотрицательная матрица, обратная к .
Только что указанный критерий продуктивности модели Леонтьева не имеет хорошей экономической интерпретации. Рассмотрим еще один критерий продуктивности.
Пусть модель Леонтьева задана матрицей размерами . Обозначим через множество . Пусть . Говорят, что подмножество изолировано, если , всякий раз, когда , . Понятие изолированности подмножества допускает прозрачную экономическую интерпретацию: отрасли, номера которых принадлежат S, не используют товары, производимые в отраслях с номерами, не принадлежащими .
Матрица называется неразложимой, если в ней нет изолированных подмножеств, кроме и Ø. Понятие неразложимости также имеет прозрачный экономический смысл: любая отрасль использует, хотя бы косвенно, продукцию всех отраслей. Ведь если , то - я отрасль непосредственно использует продукцию -й отрасли. Но если даже , т.е. -я отрасль не использует продукцию -й отрасли непосредственно, все равно при неразложимой матрице от данной отрасли до любой другой можно найти цепочку отраслей, использующих продукцию друг друга.
Для неразложимых матриц условие продуктивности выглядит так: если сумма элементов каждой строки не больше единицы и хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева с этой матрицей продуктивна.
Для продуктивности действительно есть основания: продукции каждой отрасли хватает для нужд самого производства, более того, есть отрасль, продукция которой даже остается на потребление, а неразложимость, т.е. взаимосвязанность всех отраслей, позволяет надеяться на то, что этот остаток может преобразоваться в остатки на потребление и продукции других отраслей.
Напомним, что модель задается матрицей прямых затрат. В этой матрице – количество единиц продукции -й отрасли, расходуемой на изготовление, производство одной единицы продукции -й отрасли. Числа называются коэффициентами прямых затрат -й отрасли и характеризуют технологию этой отрасли. Пусть обозначает вектор валового производства, тогда есть израсходованные в процессе производства ресурсы и для непроизводственной сферы остается . Но на производство надо израсходовать ресурсов. Однако на их производство надо в свою очередь затратить ресурсов, а для их производства еще израсходовать и т.д. Полные затраты, таким образом, есть сумма бесконечного ряда . Но члены этого ряда – конечномерные векторы-столбцы, поэтому сумма этого ряда находится как вектор сумм 1-х, 2-х и т.д. компонент векторов . Однако можно доказать, что если сумма ряда существует, то ее можно вычислить как произведение , т.е.
(1)
Обратите внимание на аналогию с формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Но эта формула верна, если только если . Нечто подобное имеет место и для формулы (1).
Для матрицы число называется собственным числом, если найдется ненулевой вектор , такой, что . Такой вектор также называется собственным вектором, отвечающим данному собственному числу (вектор не определяется по однозначно – всякий вектор, ему пропорциональный, также будет собственным вектором, отвечающим этому же собственному числу ). Можно доказать следующее утверждение.
Утверждение. Модель Леонтьева с матрицей продуктивна, если и только если матрица имеет собственное число , которое к тому же является наибольшим по модулю из всех собственных чисел матрицы.
Если матрица имеет такое число , то можно доказать, что и формула (1) верна.
Объем производства, необходимый для удовлетворения заданного конечного потребления находится исходя из уравнения:
Отсюда:
Откажемся от второго предположения, сделанного нами ранее и учтем производственные возможности каждой отрасли. Для этого сопоставим каждой -й отрасли число , выражающее потребные затраты трудовых ресурсов при единичной интенсивности данного технологического процесса. В зависимости от цели моделирования числа , могут измеряться либо в человеко-днях (человеко-часах), либо просто числом работающих. Кроме этого зададим общую численность работников отрасли L.
Также зададим значения максимальных мощностей основных фондов отрасли , .
С учетом данных ограничений рассчитаем коэффициенты:
- коэффициент, показывающий отношение имеющихся трудовых ресурсов к необходимым для производства нужного количества продукции; рассчитывается по формуле:
- коэффициент, показывающий отношение реальной мощности i-й отрасли к необходимой для производства нужного количества продукции. Причем n – количество отраслей в экономической системе; Рассчитывается по формуле:
Если эти коэффициенты больше 1, то экономическая система способна произвести заданный объем продукции. Если же хотя бы 1 коэффициент будут меньше 1, то экономическая система не сможет произвести нужный объем продукции.
Если минимальным коэффициентом будет , то наиболее критичным фактором для достижения заданного объема производства будут трудовые ресурсы в экономической системе, если же – , то наиболее критичными будут производственные мощности (k-1)-й отрасли.
Для того, чтобы определить векторы производства и конечного потребления, максимально возможных в заданных ограничениях, нужно умножить найденный минимальный коэффициент на заданные векторы производства и конечного потребления, то есть:
ЗАДАНИЕ НА ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ.
Даны 4 отрасли. Задана матрица прямых затрат . Дан вектор непроизводственного потребления продукции этих отраслей: .
1. Исследовать матрицу прямых затрат на продуктивность (с помощью собственных чисел матрицы прямых затрат). Сделать вывод.
2. Найти вектор производства, обеспечивающий заданный конечный спрос.
3. Рассчитать, на сколько нужно изменить выпуск каждой отрасли, если известно, что непроизводственное потребление увеличится на 5%, уменьшится на 10%?
4. Пусть задано количество капитала и удельных трудовых затрат в каждой отрасли, а также общее количество занятых в экономической системе . Выяснить, может ли экономическая система произвести нужный объем продукции.
5. Если экономическая система не способна произвести нужный объем производства, то вычислить наиболее критичную отрасль и векторы производства Х1 и конечного потребления С1, максимально возможных в заданных ограничениях.
6. Если известен вектор цен на продукцию отраслей для конечного потребителя , определить сумму денег, полученную от реализации объема продукции, вычисленного в пункте 5), а также сумму убытков, понесенных вследствие учета ограничений на производственные мощности и трудовых ресурсы по формуле:
.
Для решения использовать пакет MathCAD.
Указание. Для поиска вектора собственных чисел матрицы в MathCAD используется функция eigenvals.