Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Міністерство освіти і науки України
Мала академія наук України
Миколаївське територіальне відділення МАН
Секція: математика
Розв’язування нестандартних логарифмічних рівнянь
Роботу виконала:
Турчина Олена Олександрівна,
учениця 11 класу
Миколаївського ліцею “Педагог”
Миколаївської міської ради
Науковий керівник:
Воробйова Алла Іванівна,
кандидат фізико-математичних
наук,
доцент Миколаївського
Чорноморського Державного
Університету Імені Петра
Могили
Миколаїв-2014
План
Вступ……………………………………………………………………………3
Значення логарифмів у теперішній час……………………………………..16
Список використаної літератури....................................................................17
Вступ
(Означення і основні формули)
Логарифмом додатного числа b за даною основою а (а > 0, а ≠ 1) називається показник степеня x, до якого треба піднести основу а, щоб дістати число b:
loga b = x b = ах
Означення логарифма можна записати за допомогою рівності
= b
яку називають основою логарифмічною тотожністю.
Для будь-якого а (0 < а ≠1) і додатних x і у вірні такі рівності:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. loga = а loga x. (а є R)
6- loga x = loga x. (a є R,a≠0)
7. loga β = loga x. (а, є R, ≠ 0)
8. loga x = (b, c > 0, c ≠ 1)
9. (c, b > 0; c, b ≠ 0)
Графік логарифмічної Графік логарифмічної
Функції при а>1 : Функції при 0<а<1
(при y = Ioga x)
Якщо x<0 і y<0, то формулами 3,4,5,7 для парного а слід користуватися в такому вигляді:
log а xy— log а (x)+ log а(у)
log а = log а x -- Iog а y
= log а x
Рівняння називається логарифмічним, якщо невідоме входить під знак логарифма. Рівняння f(x)=(x) називається наслідком рівняння (x)=g(x), якщо кожний розв’язок другого рівняння є розв’язком першого.
При розв’язуванні логарифмічних рівнянь треба завжди враховувати, що існують можливості появи сторонніх коренів та, що значно гірше, втрати коренів початкового рівняння. Дані проблеми розв’язані з рівносильністю рівнянь.
Це пояснюється тим, що в формулах, якими ми користуємося, наприклад формули 3,4,8 ліва і права частини мають різні області визначення. Застосування таких формул може змінити область визначення рівняння і привести до нерівносильного рівняння.
\ Уникнути цих неприємностей є дві можливості:
(3 історії логарифмів)
Логарифми були винайдені незалежно один від одного шотландським математиком Д. Непером (1550-1617) і швейцарським механіком і математиком I. Бюргі (1552-1632). Вони першими склали таблиці логарифмів засилаючись при цьому на різні теоретичні основи. Замість зіставлення двох рядів чисел Неппер при підході до загального означення логарифму починає з зіставлення неприривного руху двох точок по двох прямим.
Д.Неппер вивів основні властивості логарифмів і вирахував обширні таблиці, над якими працював близько двадцяти років. Таблиці Неппера мали 8- значні логарифми sin, cos та tg для кутів від 0° до 90° з інтервалом - 1 хвилина. У Heппepa радіус кола дорівнював 107, тому sin90° = 107, а на нього часто приходилися помножувати.
Бюргі склав свої таблиці у перше десятиліття XVII сторіччя, однак опубліковані вони були пізніше таблиць Неппера.
Таблиці десятинних логарифмів чисел від 1 до 10000 видав у 1628 році голландець А. Влакк (1600-1667). Вони полягли в основу більшості наступних таблиць, при чому їх автори внесли багато змін у структуру таблиць і поправок у розрахунки.
У Росії таблиці логарифмів уперше були видані у 1703 році при участі Леонтія Магницького (1669-1739).
Значний внесок в розвиток теорії логарифмів зробив бельгійський математик Григорій із Сен-Вінцента (1584-1667). У 1647 році він встановив зв’язок між логарифмами і площею області, обмеженою гіперболою, її асимптотою і прямою, паралельної іншій асимптоті гіперболи.
Подальший розвиток теорії логарифмів пов’язаний з працями
JI. Ейлера (1707-1783), він вперше винайшов показникову і логарифмічну функції при комплексних значеннях аргументу, встановив багатозначність функції In z в комплексній області. Ейлер розробив також поняття про логарифмування як про дію, зворотню зведенню до степеня, ввів поняття мантиса та основа логарифма.
Теперішнє означення логарифма вперше було подане англійським математиком В.Гардинером. B своєму керівництві, виданому у 1742p., він ввів означення логарифма як показника степеня даної основи і на цій основі дав систематичне трактування теорії логарифмів
ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ
Приклад 1. Спростити:
Розв’язання: Використовуючи властивості логарифмів і основну логарифмічну тотожність, виконаємо такі перетворення:
Оскільки а повинно задовольнити систему
то для , a маємо:
Відповідь: а2+а+1, a>0, а
Приклад 2. Знайти , якщо = а, а = b.
Розв’язання . Оскільки 165=11- 5- 3, 75=5-32,15=5-3, 11=11,
то в наведених розкладах тільки три різних простих співмножників: 11, 5, 3 .
Нехай x, а log 311 = у. Тоді
Розв’язуючи систему
дістаємо
Тоді, використовуючи значення x і y, маємо:
Відповідь:
Приклад 3. Довести, що
Розв’язання.
Перейдемо в лівій частині рівності в кожному логарифмі до основи а (a>0, al ):
Оскільки
то справедливість початкової рівності доведено.
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ НА ПІДСТАВІ ОЗНАЧЕННЯ ЛОГАРИФМА
Приклад 1. Розв’язати рівняння
Розв’язання . Рівняння не можна розв’язувати таким чином:
x-2=1
x=3
оскільки губиться корінь x = 1. Це пояснюється тим, що перехід від рівняння до рівняння приводить до звужування області визначеності рівняння, що привело до втрати кореня.
Щоб корені не губилися, розв’язання рівняння потрібно було записати так:
x=1, x=3.
Приклад2. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Послідовність чисел
,,
є нескінченною спадною геометричною прогресією зі знаменником q=
Отже,
Тоді початкове рівняння матиме вигляд
звідки за означенням логарифма для x>0 маємо
.
Відповідь: 27.
Приклад 3. Розв’язати рівняння
Розв’язання. За означенням логарифма маємо
x2 - 3 | x | +5 = (| х | -1)2,
x2 - 3 | x | +5 = x2 - 2 | x | +1,
звідки x = 4 і x = -4.Безпосередньою перевіркою переконуємось, що обидва
корені задовольняють початкове рівняння.
Відповідь: 4; -4.
ПЕРЕХІД ДО ЛОГАРИФМА ЗА ІНШОЮ ОСНОВОЮ
Приклад 1. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Область допустимих значень параметра а і невідомого x визначається такою системою нерівностей:
(1)
Оскільки
,
а ,
то задане рівняння набуде вигляду
,
.
Це рівняння при обмеженнях (1) буде рівносильне рівнянню
x{4a - Зх) - а2
або Зх2 - 4ах +а2=0.
Звідси знаходимо x = а і x =Обидва корені задовольняють систему (1) і, отже, є розв’язками початкового рівняння.
Відповідь: a; .
Приклад 2. Розв’язати рівняння
.
Розв’язання. Виконаємо спочатку такі перетворення:
;
.
Тодіпри x>0 початкове рівняння буде еквівалентне рівнянню
,
звідки , x = 27.
Відповідь: 27.
Приклад 3. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Враховуючи, що
,
, ,
дане рівняння матиме вигляд
Робимо заміну Дістанемо: t2 – 4t - 5 =0 , звідки t = 5 і t = -1.
Оскільки рівняння розв’язків не має, то початкове рівняння при x>0 , буде еквівалентне рівнянню 5 = 5, яке має один корінь x = 4.
Відповідь: 4.
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ ПОТЕНЦІЮВАННЯМ
Знаходження логарифмів заданих чисел або виразів за даною основою називається операцією логарифмування
Операція, обернена логарифмуванню, називається потенціюванням Вона полягає в знаходженні x за заданим значенням Iog а x.
Розглянемо деякі види рівнянь, які розв’язуються потенціюванням.
I. РІВНЯННЯ виду (1)
Такі рівняння можна розв’язати двома способами.
Перший спосіб. Розв’язуємо рівняння
f(x) = (x), (2)
яке, взагалі, не є рівносильним рівнянням (1). Тому розв’язком рівняння (1) будуть тільки ті розв язки рівняння (2), які задовольняють нерівність f(x)>0 (або (x)>0).
Другий спосіб. Рівняння (1) є рівносильним будь-якій із наступних систем:
Перевага віддається тій системі, розв’язання якої простіше. Першим способом розв’язують рівняння (1) тоді, коли розв’язати нерівність f(x)>0 (або (х)>0) складніше, ніж перевірити корені рівняння (2) підстановкою в рівняння(1).
ПрикладІ.1. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Оскільки
,
то дане рівняння набуде вигляду
Знайдемо область визначення цього рівняння:
.
Тоді початкове рівняння буде еквівалентне змішаній системі, розв’язання якої подано далі: '
Відповідь: ; 1;
Приклад 1.2. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Використовуючи властивості показникової та логарифмічної функцій, запишемо дане рівняння так:
або
звідки маємо:
4x-.2
Це рівняння заміною зводиться до квадратного рівняння
2t2 -5 t -12 = 0, • • •
яке має корені t = 4 і t =. Оскільки нас цікавлять тільки додатні корені, то
U-I
залишилось розв’язати рівняння або , звідки x=36. перевіркою переконуємося, що x = 36 - корінь початкового рівняння.
Відповідь: 36.
II. РІВНЯННЯВИДУ (3)
Після переходу в правій частині рівняння (3) до логарифма за основою f(x) і потенціювання прийдемо до такого висновку. Якщо b>0 і b 1, таке рівняння буде рівносильне кожній із наступних систем:
Вибір систем визначається тим, яка із нерівностей чи f(x) >0 розв’язуються простіше.
Якщо b = 1, то рівняння (3) рівносильне такій системі нерівностей:
Приклад II. 1. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Щоб знайти розв’язки цього рівняння, розв’яжемо рівносильну йому змішану систему:
Відповідь:5.
Приклад II.2. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Розв’яжемо систему (4) для заданого рівняння:
Відповідь: (l;2).
III. Рівняння виду (5)
Рівняння такого виду еквівалентне кожній із наступних систем:
Для розв’язування рівняння (5) використовують тільки одну систему (вибір системи визначається складністю нерівностей f(x)>0 і (х)>0) або розв’язують рівняння f(x) = (х), кожний корінь якого потім перевіряють підстановкою в рівняння (5).
Приклад III.1. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Дане рівняння буде еквівалентним системі:
Квадратне рівняння системи має два корені: x = -1 і x = 5. Всім обмеженням системи задовольняє тільки x - 5. Отже, x = 5 - розв’язок системи і початкового рівняння.
Відповідь: 5.
IV. Рівняння виду (6)
Розглянемо такі випадки:
а) якщо 1, то після переходу в (6) до логарифмів за основою одержимо рівняння (5). У цьому випадку рівняння (6) буде рівносильне кожній із наступних систем:
б) якщо () = 1і - розв’язок системи (4), TO - розв’язок рівняння (6). Приклад IV. 1. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Функція (x) = 8-x набуває значення тільки при x = 7. Перевіркою переконуємось, що x = 7 задовольняє систему нерівностей
Отже, x = 7 - корінь початкового рівняння. Інші корені початкового рівняння знаходимо за змішаною системою:
Відповідь: 5; 7.
V. Рівняння виду
Таке рівняння рівносильне змішаній системі:
Приклад V.1. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі
Квадратне рівняння системи
x2 - 4x -12 = 0
має корені x = -2 та x = 6. Значення x = -2 не задовольняє умову системи x2 + 8x + 7 > 0, а x = 6 - розв’язок системи. Отже, x = 6 - корінь рівняння.
Відповідь: 6.
ЛОГАРИФМУВАННЯ
При розв’язуванні рівнянь за допомогою логарифмування користуються таким правилом. Якщо в рівнянні в показнику степеня міститься логарифм, наприклад, за основою а (a>0, а 1), то обидві частини рівняння логарифмують за основою а.
Треба нагадати, що в рівняннях = і = 1 область існування функції f(x) визначається нерівністю f(x) > 0.
Приклад 1. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Оскільки у рівнянні в показнику степеня є логарифм за основою 2, то прологарифмуємо обидві частини рівняння за основою 2:
.
або
звідки після потенціювання маємо:
x2 +6x + 9 = 0.
Це рівняння має один корінь x = -3.
Підставляючи x = -3 в початкове рівняння, зробимо перевірку. Маємо:
81=81.
Отже, x = -3 - корінь початкового рівняння.
Відповідь: -3.
Приклад 2. Розв’язати рівняння
І
Розв’язання. Областю визначення даного рівняння є вся числова пряма, за винятком точки x = 2. Вважаючи, що x належить області визначення, логарифмуємо обидві частини рівняння за основою 10:
Таким чином, початкове рівняння буде рівносильне змішаній системі, розв’язання якої нижче:
Відповідь: 1; 3.
ЗАСТОСУВАННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ МОНОТОННОСТІ
Приклад 1. Розв’язати рівняння
Розв’язання. Позначимо log3 x = у. Рівняння набере вигляду:
Розв’язуючи дане рівняння як квадратне відносно у, знайдемо та . Повертаючись до підстановки, дістанемо два рівняння:
та =-4
Друге з цих рівнянь легко розв’язується. Для розв’язування першого рівняння достатньо зауважити, що x = 3 задовольняє рівняння і функція, що міститься в лівій частині, зростає при x>0, а функція, що міститься в правій частині - спадає.
. I
Відповідь: =3, x2 =.
Нестандартне логарифмічне рівняння:
ІІриклад 1. Розв’язати рівняння:
Розв’язання. Оскільки x>0, то x + > 2, як сума взаємно обернених додатних чисел, то
Але при x>0 існує тоді й тільки тоді, коли
Тому рівняння може мати розв’язок тільки при , але тоді arcsin l =
та рівняння набере вигляду
Перевіркою переконуємося, що x = 1 задовольняє рівняння .
Відповідь: x=l.
Приклад 2. Розв’язати рівняння
-7.
Розв’язання. Маємо
Відмітимо одразу, що >1; це означає, що у логарифмах в заданому рівнянні і основа, і логарифмуючи число більше 1; тоді обидва логарифма додатні (якщо а>1,b>1, ). Далі,
тому, структура лівої частини рівняння така: , де A>0. Але сума двох
взаємно обернених додатних чисел завжди не менше 2, тобто 2, при чому знак рівності досягається при A = 1.
Якщо ліву частину заданого рівняння позначити за f(x), то = 2, і ця рівність виконується при умові
тобто
Розглянемо праву частину заданого рівняння, позначивши її g(x). Маємо
g(x) = 6x - - 7 = 2 - + 6x - 9 = 2 -
Зрозуміло,що g(x)2, тобто =2, і ця рівність виконується при умові = 0, тобто x = 3. Тоді для рівності f(x) = g(x) маємо = = 2, а, значить, рівняння рівносильне системі рівнянь, це
тобто
Розв’язком системи буде «загальне» значення x=3 це єдиний корінь заданого рівняння.
Відповідь: 3._
Доведення цієї формули таке: потрібно прологарифмувати обидві частини рівності за основою а. Матимемо:
Перейшовши у правій частині до основи а, отримуємо рівність
°, що справедлива при всіх допустимих значеннях а та b.
Приклад. Розв’язати рівняння
За вище наведеною формулою :
Тоді рівняння рівносильне рівнянню
2, або або
Відповідь: 2.
ЗНАЧЕННЯ ЛОГАРИФМІВ У ТЕПЕРЕШНІЙ ЧАС
Відкриття логарифмів та їх застосування у розраховуючій практиці - один з найважливіших фактів в історії математики.
Винахід логарифмів у багато чому стимулювало швидким розвитком астрономії у XVI столітті, уточненням астрономічних спостережень і ускладненням розрахунків. За словами великого французького математика, механіка, астронома та фізика П. Лапласа (1749-1827), «винахід логарифмів, скоротивши працю астронома, продовжило йому життя».
Підготовка вчення про логарифми пов’язана з розвитком ідеї про спрощення розрахунків за допомогою зіставлення членів геометричної та арифметичної прогресії, джерела якої ми знаходимо ще у Архімеда ( бл. 287-212р.р,до н.е.).Немаловажливу роль в цьому процесі зіграло і поступове розширення поняття степеня. Н.Орем (1323-1382) в праці «Алгоризм пропорцій» фактично узагальнив дію зведення до степеня на додатні дрібні показники, що було важливим досягненням у середньовічній алгебрі. Інший французький математик H. Шуке (бл. 1445-1500) в творі „Наука про число” вперше застосував
від’ємні і нульові показники.
Відмічаючи неоціниму послугу, надану таблицями логарифмів в якості допоміжного засобу для розрахунків, слід підкреслити, що значення введення поняття логарифма як функціонального зв’язку між змінними величинами в повній мірі було зрозуміло тільки із створенням аналізу нескінченно малих.
B теперішній час у зв’язку з появою EOM роль логарифмів в проблемах обчислювальної математики суттєво змінилася.
Крім застосування у фізиці, астрономії, біології логарифми також приймають участь у хімії. Коли кислотність розчину виражають через концентрацію водневих іонів. При цьому виникає від’ємне число. Щоб не писати числа з від’ємним показником степеня, виражають кислотність розчину як від’ємний логарифм концентрації водневих іонів і називають цю величину водневим показником , яку позначають як pH:
-lg=pH
Bce це вказує на широке використання логарифмів в різних галузях науки.
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ