Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Часть 1. Механика Ньютона
Введение
Предметом механики является изучение простейшей формы движения в природе – механической, т.е. связанной с изменением положения тел в пространстве. Содержанием этой части курса является классическая механика, ведущая своё начало от Г. Галилея (1564 – 1642) и И. Ньютона (1643 – 1727). Классическая механика изучает законы движения макроскопических тел (т.е. состоящих их огромного количества атомов).
Механика как наука развилась гораздо раньше других областей физики, и причиной тому – большая наглядность используемых представлений и законов. Немалую роль в установлении законов механики сыграли астрономические наблюдения и исследования, не требовавшие в те времена больших материальных затрат, а также развитие техники, диктуемое практическими нуждами развивающегося общества.
Надо сказать, что наглядность представлений классической механики о пространстве и времени, как о формах существования материи, а также их полное соответствие нашим повседневным, «обывательским» наблюдениям, играет двоякую роль в процессе познания природы. С одной стороны, это обстоятельство облегчает трактовку законов классической физики. С другой стороны, наоборот, затрудняет познавательный переход к представлениям микромира и случаю движения с очень большими скоростями (v c). Микромир является объектом изучения квантовой механики, а движение тел с большими скоростями – предмет «релятивистской» теории («специальной теории относительности)*). Квантовая механика и релятивистская теория – это новые, более высокие степени приближения в изучении природы по сравнению с классической механикой. Но они ни в какой мере не исключают «старой» теории, не говоря уж о том, что отталкиваются от неё. Физика ведь вообще наука экспериментальная. Теория возникает как обобщение накопленных опытных фактов, новая теория обобщает старые теории. Любая физическая теория, описывая принятую ею модель внешнего мира, имеет определённые границы применимости, в рамках которых удовлетворительно описывает эту модель, объясняя известные и предсказывая новые опытные результаты.
И если оказывается, что новая теория является более общей, чем старая, то это вовсе не означает, что старая никуда не годится. Каждая из них работает в определённых условиях, и не беда, если старая является «предельным случаем» другой (новой). Так обстоит дело со взаимоотношениями между теорией относительности, квантовой механикой и классической механикой. Последняя прекрасно описывает явления природы, пока скорости движения гораздо меньше скорости света и пока мы не пытаемся иметь дело с отдельными атомами и элементарными частицами. Впрочем, даже в последнем случае бывают такие ситуации, когда «возмущения» в результаты измерений, вносимые квантовой природой этих частиц незначительны и лежат в пределах погрешностей эксперимента**). Тогда классическая механика является хорошим приближением для описания движения этих частиц, например, движения электрически заряженных частиц в электрических и магнитных полях при условии v << c. Во многих случаях результаты, учитывающие квантовые эффекты и конечность скорости света, являются лишь небольшим уточнением к выводам классической механики.
Таким образом, практическое применение законов классической механики выходит за рамки строгих границ её применимости. При этом всё же надо учитывать, что результаты, даваемые классической механикой, являются лишь первым приближением, которое может быть исправлено законами квантовой и релятивистской теории.
Традиционное деление классической механики предполагает изучение кинематики, статики и динамики. В настоящем курсе статика не рассматривается, её вы изучали в школе, а в рамках классической механики её можно считать частным случаем динамики.
§ 1. Кинематика материальной точки
“Незнание движения необходимо влечёт незнание природы” – |
“Дайте мне материю и движение, и я построю Вселенную”– |
Аристотель (IV век до н.э.) |
Рене Декарт (XVII век н.э.) |
Кинематика – это раздел механики, в котором устанавливаются законы механического движения тел без анализа причин, вызвавших это движение. Задачей кинематики является дать способы описания движения тел, т.е. определять положение, скорость, ускорение, … – так называемые кинематические характеристики движения – отвечать на вопрос «как ?», оставив до поры вопрос «почему ?» открытым. Анализ причин того или иного типа механического движения проводится в разделе «Динамика» – он ещё у нас впереди.
1.1. Основные понятия кинематики
Мы видим, что «арена событий» механики – пространство и время. И уже в силу своего определения всякое движение носит относительный характер! Насколько движение абсолютно в философском смысле («всё течёт, всё изменяется»), настолько оно относительно в смысле представлений физических (относительно других тел!).
Простейшей моделью реального тела, с которой начинается построение механики, является материальная точка (МТ).
Часто говорят, что «это такие тела, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с характерными для данной задачи расстояниями». Важно, чтобы размеры и форма тела были бы несущественны при ответе на конкретный вопрос задачи. Одно и то же тело в разных случаях можно принимать за материальную точку, а в других нет! Например, при определении периода движения Земли вокруг Солнца, Земля может рассматриваться как МТ. Однако при выяснении времени суточного оборота Земли вокруг своей оси считать её материальной точкой уже бессмысленно, несмотря на возможность использования той же гелиоцентрической системы отсчёта и большом расстоянии между Солнцем и Землёй.
Механическое движение может быть определено только по отношению к системе отсчета (СО).
Выбор тела отсчёта предполагает и выбор точки начала отсчёта. Выбирается также и начало отсчёта времени.
Важно подчеркнуть, что выбирается именно тело отсчёта, а не только точка. С телом отсчёта связывают систему координат (СК), которая необходима для использования математического аппарата описания движения. Эта связь однозначно определит положение системы координат. С точкой отсчёта можно связать лишь одну из точек СК, но не положение её осей.
Одно и то же движение будет происходить по-разному, и будет описываться разными законами в разных системах отсчёта. Чаще всего используются системы отсчета: «лабораторная» (связанная с помещением, в котором прово дится исследование), «геоцентрическая» (связанная с Землёй), «гелиоцентрическая» (она же «Коперникова», связанная с Солнцем).
Мы начнём описание механических движений именно с кинематики материальной точки. Заметим при этом, что и в важном и распространённом случае поступательного движения твёрдого тела разме ры и форма тела также не играют роли при кинематическом описании его движения.
Другими словами – это след, который оставила бы в пространстве движущаяся частица. Математически траектория может быть задана уравнением кривой, описывающим взаимосвязь координат МТ друг с другом. Например, в простейшем случае движения по плоскости:
y = f (x). (1.1)
Существует также так называемая "параметрическая" форма аналитического задания ли нии в пространстве:
x = f1(t);
y = f2(t);
z = f3(t), (1.1,а)
где t – некоторый общий параметр, в частности, им может служить время.
В зависимости от вида траектории различают движения прямолинейные и криволинейные. Примерами важных случаев криволиней ного движения являются движения по окружности и параболе, циклоиде …
Подчеркнём, что вид траектории зависит от выбора системы отсчёта. Этому можно привести много примеров. В частности, если систему координат связать с движущейся материальной точкой, то траекторией является точка – она ведь покоится в этой системе. Поэтому необходимо помнить, что решение любой задачи, связанной с движением, может быть осуществлено лишь в какой-либо конкретной системе отсчёта. Удобный выбор системы отсчёта может предопределить успех решения.
1.2. Линейные кинематические характеристики движения
Как мы уже отмечали, в выбранной СО с телом отсчёта обычно связывают ту или иную систему координат. Тогда пространственное положение материальной точки «m» можно задать её координатами. Например, в прямоугольной декартовой системе координат – это три числа {х,у,z} – её проекции на óси координат OX, OY и OZ. Положение точки можно задать также и радиус-вектором , проведённым из начала координат к материальной точке m (см. рис. 1.1).
1.2.1. Радиус-вектор
, (1.2)
где х, у, z – координаты МТ, равные проекциям радиус-вектора на óси OX, OY и OZ; а , , – единичные векторы («орты») соответствующих направлений.
Основной (но не единственной) задачей механики является на хождение координат (или радиус-вектора) движущейся точки в любой момент времени – установление закона движения:
(1.3)
Часто приходится иметь дело с движением МТ по плоскости или вдоль заданной линии. В этих случаях законом движения являются всего две или одна функция координат от времени.
1.2.2. Путь
Путь (будем обозначать его ∆l) – величина скалярная !
1.2.3. Перемещение
Вектор перемещения, как ясно из определения и рисунка 1.2, равен . Он может быть задан, как любой вектор, и его составляющими по осям (проекциями):
, , ,
т.е. компоненты вектора перемещения равны изменению соответствующих его проекций.
Если момент времени выбран в начале, а произвольной точке траектории движения МТ, то их обозначают и соответственно. В школьном курсе само перемещение вы обозначали иначе – . Смысл нового обозначения ясен из рисунка 1.2 – этот вектор представляет собой приращение радиус-вектора материальной точки в процессе её движения:
. (1.4)
А здесь – определяет начальное положение материальной точки. Отсюда ясно – чтобы определить положение МТ в любой момент времени, надо знать её перемещение и начальное положение:
(1.4,а)
Закон движения, можно записать и в соответствующей координатной форме:
(1.3б)
Необходимо помнить, что в общем случае путь отлича ется от длины (модуля) вектора перемещения. Очевидно, всегда справедливо неравенство . Однако, если рассматривать все более и более короткие интервалы времени , то конечное положение точки будет приближаться к начальному, и разница между и будет также стремиться к нулю.
1.2.4. Скорость
(1.5)
Средняя скорость (за данное время, или на участке траектории) описывает движение без деталей, в то время как в течение времени от t1 до t2 оно может происходить по-разному, то замед ляясь, то убыстряясь.
Случай из американской жизни:*)
«Автомобиль был остановлен полицейским. Он подходит к маши не и говорит: "Мадам (ибо за рулем была женщина), Вы нарушили правила уличного движения. Вы ехали со скоростью 90 километров в час". Женщина отвечает: "Простите, это невозможно. Как я мог ла делать 90 километров в час, если я еду всего лишь 7 минут!" ... Полицейский честно хочет доказать нарушительнице её вину и пытается объяснить ей, что означает скорость 90 километров в час, и говорит: "Я имел ввиду, мадам, что если бы Вы продолжа ли ехать таким же образом, то через час Вы проехали бы 90 километров." "Да, но я ведь затормозила и остановила машину, – мо жет ответить она, – так что теперь-то я уж никак не могла бы проехать 90 километров в час". Нарушительница могла бы ответить и так: "Если бы я продолжала ехать, как ехала, еще час, то налетела бы на стену в конце улицы." .... Далее дискуссия развиваете, следующим образом. Полицейский: "Разумеется, мадам, если бы Вы ехали таким же образом в течение часа, то налетели бы на стену, но за 1 секунду Вы бы проехали 25 метров, так что Вы делали 25 метров в секунду, и если бы продолжали ехать таким же образом, то в следующую секунду опять проехали бы 25 метров, а стена стоит гораздо дальше". "Но правила запрещают делать 90 километров в час, а не 25 метров в секунду." Да ведь это то же самое!"
Желание описать движение подробнее застав ляет сужать рассматриваемый участок траектории (уменьшать временной интервал), т.е. вычислять среднюю скорость за всё более короткие промежутки времени. Так мы приходим к более детальной характеристике – скорости в данный момент времени или просто мгновенной скорости.
(1.6)
В математике такой предел (если он существует) называется про изводной перемещения по времени, а процедура нахождения производной – дифференцированием. В физике приходится иметь дело с производными по разным переменным (время, координата, температура, …), поэтому производную удобно обозначать с указанием по какой именно переменной ведется дифференцирование в данном случае. Символически это делается так:
*) (1.6,а)
Поскольку производные по времени в физике играют особую роль, их часто также обозначают точкой над дифференцируемой величиной: Из определения мгновенной скорости**) следует, что она всегда направлена по касательной к траектории (см. рис. 1.3).
А ещё часто пользуются понятием средней и мгновенной путевой скорости (её-то и показывает, например, спидометр автомобиля). Путевая скорость (средняя и мгновенная) – это скалярная величина равная отношению пройденного пути к соответствующему интервалу времени:
Если учесть, что при разница между путём и длиной вектора перемещения также стремится к нулю , то модуль мгновенной скорости равен производной пути по времени – мгновенной путевой скорости:
v v. (1.8)
Как и любой вектор, вектор скорости может быть задан и своими проекциями на координатные оси:
. (1.9)
Причём эти проекции равны производным соответствующих координат по времени:
; ; (1.10)
Модуль вектора скорости, а значит и путевая скорость, связаны с проекциями скорости на координатные оси:
v (1.11)
Зная мгновенную скорость как функцию времени, можно найти изменение координат:
; (1.12)
а значит перемещение и пройденный путь:
(1.13)
Пример 1. Равномерное движение
Из этого определения (определение Галилея) следует, что при равномерном движении скорость точки не меняется, т.е. **) При равномерном дви жении средняя и мгновенная скорости совпадают. Исходя из этого, легко получить закон равномерного движения (в «координатной» форме):
. (1.14)
Аналогично и по осям OY, OZ:
или в векторном виде:
(1.14,а)
В равенствах (1.14) и (1.14,а) для упрощения записей мы считаем, что время отсчитывается от нуля, т.е. и = .
Строго говоря (следуя определению), равномерным может быть только прямолинейное движение. Однако иногда говорят и о криволинейном равномерном движении (например, по окружности), имея ввиду постоянство скорости по модулю. В этом случае путь линейно растет с течением времени:
l = v. (1.15)
1.2.5. Ускорение
Для характеристики быстроты изменения скорости пользуются понятием ускорения. Конечно, начать можно, как и в случае скорости со среднего ускорения. Но мы дадим сразу определение ускорения мгновенного, выполнив знакомый уже предельный переход.
(1.16)
или (что то же самое) . (1.16,а)
при этом
где
Абсолютная величина ускорения а определяет быстроту изменения модуля скорости v(t) с течением времени. Если скорость не изменяется ни по величине, ни по направлению (), то .
Зная функцию , можно определить изменение вектора скорости за промежуток времени между моментами t1 и t2:
. (1.17)
А если известны ещё начальные положение и скорость частицы , то нетрудно найти законы изменения её скорости и положения:
(1.18)
Таким образом, принципиальным физическим вопросом является как раз поиск ускорения – функции . На этот вопрос, как мы убедимся, ответ даёт только «динамика».
Пример 2. Равнопеременное движе ние
Нетрудно понять, что в этом случае ускорение не меняется (= const). Опираясь на соотношения (1.18), легко получить для этого случая хорошо знакомые по школьному курсу зависимости:
(1.19)
Для напоминания перепишем также закон равнопеременного движения и «в координатной форме» для одной из проекций:
(1.19,а)
здесь V0 – начальная скорость вдоль оси Х (Vx(0) = V0), x0 – координата х в начальный момент, т.е. x(0) = x0.
Пример 3. Движение тел, брошенных вблизи поверхности Земли (сопротивление воздуха пренебрежимо мало)
Это хотя и частный, но очень важный случай равнопеременного движения. Не будем, однако, воспроизводить все положенные выкладки, которые подробно обсуждались ещё в школьном курсе*). Анализируя приведённые ранее кинематические соотношения, мы отметим здесь, что параметры движения материальной точки вдоль любой оси не влияют на параметры движения вдоль остальных осей. Это позво ляет сформулировать принцип независимости движений, согласно которому движение материальной точки вдоль координатных осей можно рассматривать независимо друг от друга. По горизонтали происходит равномерное движение, а по вертикали – с постоянным ускорением – ускорением свободного падения . В действитель ности эти движения объединены общностью течения времени, что и позволяет находить траекторию движения.
1.3. Угловые кинематические характеристики движения
1.3.1. Угловое перемещение
1.3.2. Угловая скорость
(1.20)
Т.е. она представляет собой производную по времени от углового перемещения.
v . (1.21)
Можно ли записать связь линейной и угловой скоростей в векторном виде, учитывающую направления этих характеристик движения? Линейная скорость всегда направлена по касательной к траектории, т.е. перпендикулярно радиусу окружности. Угловая – вдоль оси, относительно которой поворачивается радиус-вектор частицы, т.е. перпендикулярно плоскости, в которой лежат оба вектора и . С учётом сказанного приходим к равенству . Оказывается его можно несколько обобщить, выбрав начало системы отсчёта (точку ) в произвольном месте оси поворота радиус вектора (см. рис. 1.6):
Замечание
Если линейная скорость неизменна по величине v, то постоянна и угловая скорость . Такое движение называют «равномерным движением мате риальной точки по окружности». Следует помнить об условности этой терминологии с учётом данного общего определения понятия равномерного движения. В этом случае справедливы соотношения:
v .
1.3.3. Угловое ускорение
(1.23)
Аналогично случаю линейных характеристик оно позволяет находить, как меняются угловая скорость и угловое перемещение с течением времени:
(1.24)
1.4. Ускорение при криволинейном движении
При криволинейном движении линейная скорость обязательно изменяется хотя бы по направлению. Поэтому ускорение всегда отлично от нуля даже в «школьном» случае «равномерного движения по окружности» (т.е. при постоянстве угловой скорости). Если материальная точка движется по произвольной кривой траектории можно утверждать, что вектор ускорения направлен всегда внутрь этой траектории. Его удобно разложить на две составляющие – вдоль вектора скорости (по касательной к траектории) и в нормальном (т.е. перпендикуляр-ном) направлении:
Чему равен модуль нормального ускорения? Процедура расчёта центростремительного ускорения описывается в любом школьном учебнике физики, приведём здесь лишь хорошо известный вам результат:
v2/R (1.26)
Для частного случая движения по окружности (R = const): dv/dt . Полезно написать ещё и дополнительные соотношения для и , придав им к тому же векторную форму:
и (1.27)
Знак «–» означает здесь, что нормальное ускорение направлено в сторону противоположную вектору , т.е. к центру окружности.
Одно и то же движение можно описывать относительно разных систем отсчёта. Есть ли какая-то связь между кинематическими характеристиками этого движения в разных системах? Вероятно, да.
(1.29)
Это соотношение называется законом сложения скоростей Галилея. Здесь – скорость материальной точки относительно «неподвижной» системы отсчета K, скорость – по отношению к системе отсчета («относительная скорость») и, наконец, – скорость системы отсчета относительно неподвижной системы K («переносная скорость»).
Пример-задание
Лодка движется относительно воды в реке со скоростью . Причём направлена эта скорость перпендикулярно берегу. Ширина реки H, а скорость течения воды равна . Используя закон сложе ния скоростей и принцип независимости движений, самостоятельно определите по этим данным скорость лодки относительно берега. На каком расстоянии ниже по течению лодка завершит переправу?
§ 2. Кинематика твёрдого тела
2.1. Модель «абсолютно твёрдое тело»
Модель «материальная точка» не всегда адекватна решаемой задаче. В тех случаях, когда размеры и форма тела играют существенную роль при описании движения часто помогает другая модель.
Такое тело можно представить как совокупность материальных точек, жёстко связанных между собой. Несколько более формально можно сказать, что при движении твёрдого тела не меняется расстояние между любыми двумя его точками А и В, т.е. отрезок АВ сохраняет свою длину – см. рис. 2.1.
Оказывается любое сложное движение твёрдого тела можно представить в виде совокупности двух простейших типов движения – поступательного и вращательного.
2.2. Поступательное движение твёрдого тела
Ясно, что при таком движении любая прямая жёстко связанная с телом остаётся параллельной самой себе см. рис. 2.2. Нетрудно понять также, что поскольку при любых интервалах времени ∆t, исходя из определения , в любой момент времени у всех точек тела одинаковы линейные скорости и ускорения . В этом легко убедиться, дифференцируя соответствующие равные перемещения. С течением времени эти скорости и ускорения могут меняться, но у всех точек одинаково и все точки тела движутся по одинаковым траекториям. Именно этот смысл вкладывают в утверждение – «при поступательном движении все точки тела движутся одинаково».
Поэтому при описании поступательного движения ТТ можно пользоваться соотношениями, определяющими кинематику материальной точки. Описав движение всего одной точки (например, центра масс – см. далее) поступательно движущегося твёрдого тела, мы получаем полную информацию о том, как происходит это движение – кинематическая задача решена!
А как обстоит дело с угловыми характеристиками движения? При поступательном движении тело сохраняет свою ориентацию в пространстве, «не поворачивается»! Угловая скорость и ускорение любого жёстко связанного с телом отрезка прямой равны нулю.
2.3. Вращательное движение твёрдого тела
Только что мы уже использовали термин, очевидно, имеющий отношение к «вращательному движению». Уточним наши бытовые представления по этому поводу.
Подход к описанию движения точки по окружности был изложен ранее. Линейные характеристики движения на этот раз отличаются для точек, находящихся на разном расстоянии от оси вращения. А вот угловые – и – для всех точек твёрдого тела одинаковы. Поскольку указание всего одной величины – угла поворота – достаточно, чтобы знать положение ТТ, говорят, что вращающееся тело имеет одну степень свободы.
2.4. Плоское движение твёрдого тела
Выделим для рассмотрения ещё один специфический случай, имеющий важное практическое значение.
Естественно в одной плоскости может двигаться множество точек. При этом разные точки могут двигаться в разных параллельных плоскостях. Самым хорошо знакомым примером плоского движения является качение колеса. Плоское движение удобно представить, как совокупность одновременно происходящих поступательного движения тела и его поворота вокруг оси О, перпендикулярной плоскостям, в которых движутся точки ТТ. Необходимо подчеркнуть, что комбинировать поступательное движение и поворот тела вокруг оси О можно бесконечным числом способов (см. рис. 2.3). Ось вращения может быть выбрана произвольно. При этом будут изменяться радиусы поворота, однако важно, что какую ось мы бы ни выбрали, угловая скорость будет иметь одно и то же значение.
Из сказанного следует, что элементарные перемещения любой точки тела («i») при плоском движении можно представить в виде . Поделив на соответствующий малый интервал времени dt, получим скорости движения точек тела:
: (2.1)
Здесь – одинаковая для всех точек тела скорость поступательного движения (скорость движения оси поворота О), – линейная скорость данной точки тела, связанная с вращательным движением, – угловая скорость, – радиус-вектор, проведенный от оси вращения к i–ой точке тела.
Как мы отмечали, частным, но весьма важным случаем плоского движения, является «качение» тел (колеса, цилиндра, шара, …) – см. рис. 2.4. Равенство (2.1) при этом может служить примером применения закона сложения скоростей Галилея – ведь «неподвижную» систему отсчёта «K» удобно связать с поверхностью качения, а «движущуюся» с осью катящегося тела (она движется поступательно, а колесо поворачивается вокруг неё).
Обоснуйте самостоятельно, опираясь на рис. 2.4, что модуль скорости произвольной точки А на ободе колеса равен vA = 2v0.
Интересно отметить, что из множества способов разложения движения всегда можно найти такой, когда движение тела сведется к последовательности поворотов вокруг некоторой оси, скорость которой равна нулю в данный момент времени (). Эта ось вращения Ом занимает разное положение в пространстве в разные моменты времени. Её называют мгновенной осью вращения. При качении без проскальзывания эта ось проходит через точку касания с поверхностью, по которой катится тело.
В заключение раздела «Кинематика» скажем, что все рассмотренные в нём законы опираются на естественные представления о независимости пространства и времени. Эти представления, очевидные для меха ники Ньютона и Галилея, подверглись пересмотру современной фи зикой («Теория относительности»), и это способствовало более глубокому пониманию фундамен тальных свойств пространства и времени. В физике микромира в связи с невозможностью одновременного точного определения координат и скорости движущейся частицы выработан иной подход к изучению движения без использования понятия траектория («Квантовая механика»).
§ 3. Динамика материальной точки
Наука спустилась с небес на Землю по наклонной плоскости Галилея |
“Door Meten tot Weden” –«Знание через измерение!» |
девиз лаборатории Каммерлинг-Оннеса. Лейден. Голландия |
3.1. Принцип инерции. Сила
В разделе «Кинематика» мы знакомимся с описанием простейших типов механического движения (равномерное, равнопеременное, …). При этом в рамках кинематики вопрос о причинах того или иного характера движения не обсуждается. Как мы уже отмечали, именно «динамика» призвана отвечать на вопрос «почему?». НО! «Правильный ответ начинается с правильного вопроса» .
Чему именно надо искать объяснения? С момента появления первого труда под названием «Физика» (Аристотель) около 20 веков господствовало мнение, что объяснять надо ту или иную величину скорости движения тел. И лишь Г. Галилей развеял это заблуждение и показал, что причину искать надо не для самой скорости, а для изменения скорости! Галилей сформулировал свой знаменитый «закон инерции»:
Т.е. скорость тела постоянна пока нет воздействия на тело других тел. Такое состояние тел называют движением по инерции. Если мы хотим развивать не только качественный, но и количественный анализ механического движения мы должны оговорить и количественную характеристику степени этого самого воздействия. Конечно же, речь идёт о понятии «сила»! В популярных толковых словарях это слово едва ли не рекордсмен по количеству смыслов. Да и в школьном курсе физики нам уже встречались и «сила тока», и «электродвижущая сила», и «сила света» …
Однако в рамках механики мы ограничимся лишь одним толкованием этого важного понятия.
Слово мера влечёт с необходимостью и определённую процедуру, позволяющую определять интенсивность воздействий в разных случаях. Договариваются и об эталонном значении силы () и об устройстве соответствующего прибора – конечно же, речь идёт об известном вам «динамометре». Экспериментально также выясняется вопрос о векторном характере сил и, соответственно, о правилах их сложения.
Галилей первым предложил подход с опорой на опытные данные, на эксперимент. Это стало обязательным условием развития современного естествознания. Поэтому Г. Галилея вместе с И. Ньютоном по праву можно считать основоположником классической механики. При этом основу динамики материальной точки составляют три закона Ньютона.
3.2. Первый закон Ньютона
Теперь у нас есть всё необходимое для построения фундамента классической механики – формулировки этих законов. Но сделаем прежде одну оговорку. Мы не будем цитировать самого Ньютона – ведь наша задача не история науки. Поэтому, хотя сам Ньютон первым законом динамики называл закон инерции Галилея, мы отметим, что этот закон справедлив только в некоторых особых системах отсчёта.
Важно отметить, что содержание первого закона Ньютона состоит именно в утверждении возможности существования инерциальных систем: в таких системах тело, на которое не действуют другие тела («свободное тело»), движется равномерно и прямолинейно. Тем самым, он даёт критерий выбора ИСО и постулирует существование таких систем. Заметим также, что любая СО, движущаяся относительно ИСО равномерно, также является инерциальной.
Смелость утверждения первого закона Ньютона особенно впечатляет, если учесть, что система отсчета, связанная с Землей, с которой мы обычно связываем механические опыты, не является строго инерциальной системой отсчета.
3.3. Второй закон Ньютона
А как ведёт себя тело (материальная точка), если на него действуют другие тела и действие этих тел не скомпенсировано (т.е. суммарная сила не равна нулю)? Имея возможность определять ускорения по правилам кинематики , а также менять и измерять силы (), для данного тела и для различных «пробных» тел, удалось обнаружить взаимосвязь ускорения и силы. Эта экспериментально установленная связь и составляет содержание второго закона Ньютона.
Второй закон Ньютона устанавливает количественную связь между воздействием на тело (МТ) и изменением его скорости.
(3.1)
Весьма полезной является также формулировка II закона Ньютона с использованием понятия импульса тела.
(3.3)
С учётом этого можно записать
.
Тогда, согласно II закону Ньютона
*) . (3.4)
Итак, если известны действующие на тело силы, равенство (3.2) позволяет находить ускорение тела. Используя, кроме того, начальные условия движения (начальное положение и скорость), можно определять зависимость координат материальной точки от времени – закон движения . По этой причине равенство, соответствующее второму закону Ньютона называют уравнением движения.
3.4. Третий закон Ньютона
Иными словами действие "первого" тела на "вто рое" обязательно связано с действием "второго" на "первое". При этом силы действия и противодействия:
3.5. Силы в механике и динамические последствия
При анализе движения тел с использованием законов Ньютона приходится иметь дело с различными видами сил. Для многих из них известны законы*), определяющие зависимость силы взаимодействия от положения тел и характера их движения.
3.5.1. Силы Всемирного тяготения подчиняются закону:
Этот закон был открыт также И. Ньютоном. Аналитической записи закона всемирного тяготения можно придать векторную форму, чтобы включить в неё информацию о направлении сил:
(3.5)
Здесь – сила действующая на первую МТ со стороны второй, – радиус-вектор проведенный от первой МТ ко второй (r – его модуль, см. рис. 3.2). На вторую МТ также действует сила притяжения и в полном соответствии с третьим законом Ньютона Коэффициент пропорциональности G – т.н. «гравитационная постоянная». В системе СИ он равен 6,67.10-11 м2/кг2. Впервые величина гравитационной постоянной была измерена экспериментально в знаменитых опытах Кавендиша с использованием крутильных весов.
Важно помнить, что, используя равенство (3.5), можно находить силу тяготения между материальными точками (как и указано в законе!). Если в условиях решаемой задачи тела нельзя считать материальными точками, то для нахождения силы гравитационного взаимодействия тел их придётся разбивать на малые элементы – материальные точки, и затем суммировать все силы парных взаимодействий между ними.
Именно проведя такую процедуру Ньютон впервые доказал, что равенством (3.5) можно пользоваться также и для больших тел, если они обладают сферической симметрией распределения массы*). Таковыми, в некотором приближении, можно считать планеты (в частности, Землю), Солнце и другие космические тела. Роль величины r в равенстве (3.5) в этом случае играет расстояние между геометрическими центрами тел.
При рассмотрении движения тел вблизи поверхности Земли величина силы притяжения (сила Земного тяготения) может быть выражена следующим образом (h << RЗ):
, (3.6)
где – ускорение свободного падения, MЗ и RЗ – масса и радиус Земли, h – высота тела над поверхностью Земли.
3.5.2. Упругие силы, возникают при упругой деформации тел (в частности, это различные силы натяжения нитей, пружин, реакции опор, и т.д.). В некотором интервале деформаций тел величина деформации оказывается пропорциональна приложенной силе (закон Гука). С учётом 3-го закона Ньютона можно и для возникающей силы реакции – силы упругости записать:
, (3.7)
где k – коэффициент упругости («жёсткость»), а – величина деформации тела. Это может быть «удлинение» пружины , прогиб балки, угол закручивания стержня, … При этом сила упругости всегда противоположна направлению деформации тела.
3.5.3. Силы трения
Силы трения возникают при относительном движении контактирующих друг с другом тел. В частности, сухое трение возникает при возможности движения твёрдого тела по поверхности другого твёрдого тела.
Прежде всего, отметим, что бывают случаи, когда на тело, соприкасающееся с некоторой поверхностью, действуют силы, но оно остаётся в покое (попробуйте сдвинуть с места тяжёлый шкаф). Это результат того, что на тело действует сила трения покоя, компенсирующая другие внешние силы. Её величина находится из условия отсутствия относительного движения:
, (3.8)
где – силы, приложенные к телу, за исключением . Т.е. пока тело находится в покое, сила трения покоя в точности равна по величине и противоположна по направлению касательной составляющей результирующей сил . Максимальное значение силы трения покоя равно , где FN – нормальная составляющая силы реакции опоры, – коэффициент трения скольжения.
На рис. 3.3 показано как меняется сила сухого трения при нарастании величины силы . Наклонный участок графика (Fтр < FN) соответствует покоящемуся телу (Fтр пок = ), а горизонтальный – скользящему. С некоторой долей приближения можно считать, что сила сухого трения скольжения не зависит от величины скорости и равна
. (3.9)
Эта сила всегда направлена противоположно вектору скорости тела. Поэтому записи равенства (3.9) можно придать векторный характер:
,
где – скорость относительного движения тел, v – её модуль.
При движении тел в жидких или газообразных средах возникает сила вязкого трения. Его отличие от сухого трения проявляется в отсутствии трения покоя, а также в зависимости от относительной скорости движения тела относительно среды. При малых скоростях сила вязкого трения пропорциональна этой скорости:
, (3.10)
где r – коэффициент вязкого трения (зависит от размеров и формы тела, а также от вязких свойств среды).
3.5.4. Электромагнитные силы
Итак, действующая на тело сила может зависеть от положения тела в пространстве (его координат, как, например, сила тяжести или упругости), от скорости (сила трения или сила, действующая на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле) и от времени. Т.е. с математической точки зрения является в общем случае функцией трех переменных:
В простейшем одномерном случае запись второго закона Ньютона
представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение – нахождение функции x = f(t), обраща ющей уравнение в тождество – позволяет найти закон движения.
А) Например, если тело движется вблизи поверхности Земли и, если можно пренебречь сопротивлением воздуха, на него действует лишь постоянная по величине и направлению сила – сила тяжести . Уравнение движения имеет в этом случае вид
Отсюда ясно, что это равнопеременное движение с ускорением ax = –g. Закон изменения вертикальной координаты y хорошо известен:
.
Б) При действии упругой силы, подчиняющейся закону Гука Fx = –kx, уравнение движения тела имеет вид
. (3.14)
Его решение описывает гармоническое (незатухающее) колебание: x(t)= Acost.
Если учесть наличие силы трения, например вязкого, пропорциональной скорости, получим уравнение
. (3.15)
Решением будет также колебание, однако, на этот раз с уменьшающейся амплитудой (см. рис. 3.4):
x(t) = .
Процедура решения таких уравнений рассматривается в теории колебаний. Нас интересует сейчас вовсе не математическая сторона вопроса. Мы привели эти примеры лишь для иллюстрации того факта, что знание конкретного вида сил, действующих на тело, как функции координат тела и его скорости с учётом начальных условий позволяют решить основную задачу механики – нахождение закона движения тела.
В заключение приведём для иллюстрации этой же мысли еще один пример иного вида действующей на тело силы. Исключим из правой части равенства (3.15) упругую силу – останется лишь сила вязкого трения:
. (3.16)
Исчезнет и колебательный характер движения. Для реализации такого случая движения в вязкой среде телу необходимо сообщить начальную скорость. Решение уравнения позволяет определить, как меняется эта скорость с течением времени:
v(t) = v0 а затем и закон движения тела:
v0 (см. рис. 3.5).
3.6. Принцип относительности Галилея
§ 4. Динамика твёрдого тела
4.1. Центр масс. Теорема о центре масс
, (4.1)
, , . (4.1,а)
(4.2)
Проведём нехитрые математические операции: массу из знаменателя в равенстве (4.1) «отправим» сомножителем «налево» и продифференцируем равенство по времени. Легко обнаружить, что то, что получится справа, в точности соответствует определению импульса системы, а в левой части – произведение массы системы на скорость центра масс! Вот и первый результат, кажущийся, в силу своей привычности, просто тривиальным:
. (4.3)
Несмотря на это сформулируем его ещё раз словами:
*)
4.2. Дополнительные понятия
4.3. «Уравнение моментов»
(4.8)
, (4.8,а)
которая оказывается особенно плодотворной при анализе динамики движения твёрдых тел.
4.4. Вращение ТТ относительно закреплённой оси. Момент инерции
(4.10)
(4.10,а)
Рассчитывать моменты инерции конкретных тел мы будем учиться на семинарских и практических занятиях. Здесь же заметим, что процедура, строго говоря, предполагает вычисление объёмного интеграла. Однако в большинстве важных случаев он может быть сведён к весьма несложному определённому интегралу.
4.4.3. Теорема Гюйгенса-Штейнера
Iz = Ic + mb2 (4.13)
Прежде всего, запишем результат, который даёт применение теоремы для вышеприведённого примера с диском: Iz . Вот как просто! А теперь докажем теорему*).
На рис. 4.7,б представлена проекция тела произвольной формы в плоскости перпендикулярной оси Z. Вектор проведён от неё к параллельной оси Zc, проходящей через центр масс тела. Тело разбито на малые элементы с массами ∆mi, положение которых относительно осей задают векторы и соответственно. Из рисунка видно, что . Момент инерции относительно оси Z по определению равен:
. (*)
Во второй сумме здесь появился «скалярный квадрат» вектора , т.е. скалярное произведение вектора самого на себя. Напишем, чему он равен:. Сумма в правой части равенства (*) распадается на три части, причём две из них имеют очевидный смысл: и .
Третья же равна нулю. Ведь сумма равна произведению массы тела на радиус-вектор задающий положение центра масс тела относительно самого центра масс (см. определение центра масс). Значит это просто нулевой вектор!
Всё это и доказывает утверждение теоремы.
4.5. Динамика плоского движения твёрдого тела. «Система центра масс»
Теперь мы можем перейти к анализу более сложного и, вместе с тем, очень важного с практической точки зрения случая движения твёрдого тела – это плоское движение. Даже в школьном курсе в задачах нет-нет да появлялись «шарики, скатывающиеся с наклонной плоскости». Поскольку речь шла о движении материальных точек, вращательной составляющей такого движения просто пренебрегали. Мы же можем теперь разобраться с этим поподробнее.
Напомним, что с кинематической точки зрения плоское движение можно представить как сумму поступательного и вращательного. Запишем, прежде всего, уравнение, позволяющее определиться с поступательной составляющей движения. Для этого, как мы помним, необходимо выбрать инерциальную систему отсчёта. Ускорение центра масс тела относительно этой системы позволяет найти равенство, соответствующее второму закону Ньютона:
Пример. Цилиндр скатывается по наклонной плоскости. Выясним, от чего зависит ускорение его центра масс. Рассмотрим также вопрос об условиях качения без проскальзывания (см. рис. 4.9).
, (1)
, (2)
. (3)
Мы рассмотрели случай «скатывания» цилиндра. Важно помнить, что если проскальзывание отсутствует, то мы имеем дело с силой трения покоя! Условие отсутствия проскальзывания Fтр накладывает определённые ограничения на соотношение коэффициента трения и угла наклона плоскости . Разберитесь для тренировки с этим вопросом самостоятельно.
Мы же добавим, что при наличии проскальзывания исчезает кинематическая связь ускорений , однако, добавляется уравнение для силы трения скольжения . И тогда для линейного и углового ускорений несложно получить два самостоятельных результата:
§ 5. Законы сохранения в механике
5.1. Закон сохранения импульса
.
. (5.1)
Запишем это утверждение компактно:
5.2. Реактивное движение. Уравнение Мещерского
5.3. Закон сохранения момента импульса
.
Кратко:
1. Мы должны помнить, что как и уравнение моментов импульс сохраняется в инерциальной системе отсчёта.
2. Требование опять-таки может оказаться слишком «жёстким». Если сумма проекций моментов внешних сил на некоторое направление, например, закреплённую ось вращения Z, то сохраняется суммарный импульс системы только для этого направления:
В частности, для систем с переменным моментом инерции выполняется равенство:
(5.4,б)
справедливость которого обычно ярко иллюстрируется в классических демонстрациях с использованием «скамьи Жуковского».
5.4. Работа силы
A = F·S·cos . (5.5)
Здесь буквой S обозначен модуль перемещения для лучшей узнаваемости определения. Видно, что работа – величина скалярная. Если угол острый, то работа положительна, если тупой – работа данной силы отрицательна. В последнем случае говорят, что работа совершается против силы. При , несмотря на действие силы и наличие перемещения, работа не совершается.
Усложним задачу – пусть тело движется теперь по произвольной траектории “L” (см. рис. 5.3), а сила может изменяться как по величине, так и по направлению. Тогда, чтобы найти работу на конечном участке 1–2, необходимо разбить траекторию на малые участки перемещений , на которых силу можно считать постоянной, вычислить работу на этих малых участках, используя равенство (5.5), а затем сложить все элементарные работы:
. (5.6)
(5.7)
(5.6,а)
(5.9)
5.5. Механическая энергия
5.6. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии
Чтобы затормозить частицу, движущуюся со скоростью v на неё в течении некоторого времени должна действовать сила. Это сила со стороны других тел, тормозящих частицу. Сила совершает работу, а частица, в свою очередь, способна совершить такую же по величине (с учётом 3-го закона Ньютона) работу над телами, тормозящими частицу. Нетрудно сосчитать эту работу – она равна (проделайте это самостоятельно). Эту величину и принято по определению называть кинетической энергией материальной точки. Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетических энергий частиц, входящих в систему:
(5.11)
2) Кинетическая энергия величина аддитивная, скалярная и всегда положительная.
Докажем теперь так называемую «теорему о кинетической энергии». Пусть материальная точка перемещается из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории “L” (см. рис. 5.5). Найдём элементарную работу действующей на неё силы на малом перемещении , выполняя цепочку несложных преобразований:
mvv.
Легко проверить дифференцированием, что полученный результат есть не что иное, как дифференциал (малое приращение) кинетической энергии частицы: mvv .
Теперь можно просуммировать элементарные работы на всех малых участках траектории:
.
Вспомним, что как работа, так и кинетическая энергия обладают свойством аддитивности (т.е. соответствующая величина для всей система складывается из её составляющих) и сформулируем, наконец, утверждение теоремы, которое, по сути, уже доказано:
(5.12)
5.7. Кинетическая энергия твёрдого тела
v, (5.13)
. (5.14)
,
. (5.15)
5.8. Консервативные и неконсервативные силы
К силам консервативным относятся гравитационные, упругие и «кулоновские» силы. Консервативными являются так же внутриядерные и межмолекулярные силы. Важно помнить, однако, что «силовой центр»*) в вышеперечисленных случаях должен покоиться в инерциальной системе отсчёта**). В этом мы убедимся сейчас, доказав специальную теорему о консервативности центральных сил.
Уточним, прежде всего, что такое центральная сила. Это означает, что в любой точке пространства на частицу действует сила, направленная к одной и той же неподвижной точке пространства О или от неё (радиально, т.е. вдоль прямой, содержащей частицу и точку О – см. рис. 5.6). Точка О называется «силовым центром». Величина силы зависит только от расстояния частицы до силового центра. Формализовать эти свойства центральной силы можно следующим образом: . Здесь – проекция силы на направление радиус-вектора , проведённого из силового центра к частице m, – единичный вектор, задающий радиальное направление. Говорят, что частицы находятся в центральном силовом поле или в поле центральных сил. Примерами поля центральных сил являются гравитационные и «кулоновские» силы.
Рассчитаем теперь работу центральной силы при перемещении частицы m из точки 1 в точку 2 вдоль траектории “L”:
.
Криволинейный интеграл в начале приведённой цепочки равенств это весьма непростая математическая «конструкция». Однако в случае поля центральной силы его удаётся, как мы видим, свести к обычному определённому интегралу! Такой интеграл, как известно, равен разности значений первообразных Ф(r) скалярной функции :
.
Полученный результат не зависит от формы траектории, что и подтверждает утверждение теоремы – центральные силы консервативны.
5.9. Потенциальная энергия
Потенциальная энергия – энергия взаимодействия тел. Эта энергия зависит только от взаимного расположения тел, т.е. только от их координат U(x,y,z)*). Поэтому понятие потенциальной энергии имеет смысл не для всех сил, а только для таких, для которых работа зависит лишь от положения (координат) те л системы, т.е. для консервативных сил.
Важно понимать, что потенциальная энергия является такой функ цией координат U = f(x,y,z), что работа консервативных сил равна разности значений этой функции в начальном и конечном состоянии системы (конфигурации системы), т.е. = U1 – U2 = . Работа положительна, если U2 < U1 ( < 0). Иначе говоря, работа осуществляется за счёт убыли потенциальной энергии системы.
Как найти вид функции U(x,y,z) конкретной консервативной силы ? Прежде всего, необходимо договориться о так называемой нормировке. Пусть в некоторой точке пространства P0(x0,y0,z0*)) потенциальная энергия равна нулю: U(x0,y0,z0) = 0. Тогда для произвольного положения частиц системы P(x,y,z) потенциальная энергия равна:
Для иллюстрации данного определения понятия потенциальной энергии рассмотрим известные нам виды сил, действующих в механических системах.
.
Итак: . при r . (5.17)
Как видим, потенциальная энергия гравитационного взаимодействия величина отрицательная. Это соответствует притяжению тел!
2. Электростатическое взаимодействие («кулоновские» силы). Потенциальную энергию системы двух точечных заряженных частиц q1 и q2 можно найти совершенно аналогично. Пусть одна из них неподвижна в начале некоторой инерциальной системы отсчёта. Тогда при удалении другой на бесконечно большое расстояние (туда, где Ue будем полагать равной нулю) «кулоновская» сила совершит работу:
.
Итак . при r . (5.18)
Знак этой энергии зависит, очевидно, от того одноимёнными или разноимёнными являются эти заряды.
3. Потенциальную энергию при упругой деформации тел определим для случая спиральной пружины. Пусть один конец её шарнирно закреплён в точке О, чтобы пружина могла поворачиваться. Тогда на материальную точку, закреплённую на противоположном конце пружины, действует центральная сила . Здесь r0 – координата МТ в отсутствии деформации пружины. Потенциальную энергию естественно считать равной нулю как раз при r = r0. Тогда:
.
Итак . Uупр = 0 при x = 0. (5.19)
5.10. Связь силы и потенциальной энергии
Вопрос, обозначенный в заголовке этого параграфа предполагает, по сути, возможность решения двух задач:
В предыдущем параграфе мы подробно обсудили как раз пути решения первой из этих задач. Второй вопрос является обратной задачей по отношению к первой. Перейдём теперь к его рассмотрению.
Мы знаем, что работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии системы: . Поэтому для малого перемещения элементарную работу можно записать двумя способами:
Здесь dU – бесконечно малое приращение потенциальной энергии. Приравняв правые части, получаем: . Скалярное произведение и полный дифференциал функции можно переписать иначе:
. (*)
Здесь произошла некоторая замена в обозначениях дифференциалов и, соответственно, производных: вместо привычных «, …» появились «, …». Таким способом в математике принято обозначать так называемые «частные» производные. Они необходимы, когда мы имеем дело с функцией нескольких переменных, а не одной единственной. Если вы вспомните математическое определение производной функции , то вам станет ясно, что в случае функции нескольких переменных (x, y, z – в нашем случае), определяя предел, одной из переменных сообщается бесконечно малое приращение, в то время как остальные переменные фиксируются (считаются константами). Об этом и сигнализирует особое обозначение таких производных.
. (5.20)
А значит, сам вектор можно задать таким способом:
. (5.20,а)
Математики используют в таких случаях специальное компактное обозначение:
(5.20,б)
и называют эту величину «градиент» (от лат. gradiens – рост)*). В чём же её смысл?
Пусть заданы значения потенциальной энергии во всех точках пространства – («поле энергий»). В этом поле можно выделить геометрическое место точек, в которых потенциальная энергия имеет одно и то же значение. Эти точки образуют так называемую «эквипотенциальную поверхность». При перемещении частицы вдоль эквипотенциальной поверхности её энергия не меняется и работа не совершается. На рисунке 5.7 изображены сечения нескольких поверхностей с разными значениями потенциальной энергии. Пусть мы хотим найти величину силы, действующей на частицу, в точке О. Проведём ось Х, направленную произвольно. В соответствии с (5.20)
Аналогично и для оси Y: , а для трёхмерного случая и . Модуль силы находим при этом, как обычно, . А как направлен вектор силы? Поскольку при перемещении частицы вдоль эквипотенциальной поверхности работа не совершается, сила направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности. Удобно направить так же и одну из осей, например, ось Х. При этом окажется
Значение модуля силы совпадает в этом случае со значением её нормальной составляющей, т.е. – это кратчайшее расстояние между поверхностями. Поэтому в направлении нормали изменение потенциальной энергии происходит быстрее всего.
Градиент – вектор, имеющий компоненты и показывающий направление, в котором быстрее всего растёт потенциальная энергия U в данной области пространства. Сами компоненты вектора градиента дают скорость роста U по координатным направлениям, а вот его модуль определяет скорость в направлении максимального изменения U (в направлении вектора gradU). Таким образом, определяет изменение потенциальной энергии на единицу длины, в направлении наиболее быстрого изменения энергии. Знак «минус» означает при этом, что сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии.
Понятие градиента как производной по направлению довольно широко используется в математике. Можно, например, говорить о градиенте температуры в помещении. Или в случае топографии градиент определяет направление самого крутого подъёма местности, а его модуль – наибольшую «крутизну» (скорость роста высоты) в этом же месте.
5.11. Закон сохранения механической энергии
а) Начнём с простейшего случая – пусть только одна частица (МТ) движется под действием консервативных и неконсервативных сил от точки 1 до точки 2 вдоль траектории “L” (см. рис. 5.8). По теореме о кинетической энергии (см. стр. 69) изменение кинетической энергии равно работе действующих на частицу сил. Поскольку среди этих сил могут быть консервативные и неконсервативные: . Работа первых равна убыли потенциальной энергии, т.е. . Вот, что мы получим в итоге:
. Итак:
(5.21)
В последней записи учтено, что
И мы приходим к выводу, что, если работа неконсервативных сил, действующих на частицу, равна нулю, то полная механическая энергия сохраняется.
б) Рассмотрим теперь систему взаимодействующих друг с другом частиц (МТ и ТТ) во внешних силовых полях. Полезно и здесь иметь в виду рис. 4.3. Сформулируем закон сохранения механической энергии для начала в форме, справедливость которой почти очевидна:
Кратко: Если 1) (внешних сил НЕТ!) и
2) (внутренних неконсервативных сил НЕТ!), то
.
Очевидно, в этой формулировке использованы слишком жёсткие требования к системе. Мы знаем, что механическая энергия определяется не силой как таковой, а совершаемой этой силой работой. Поэтому ограничения можно смягчить в следующей формулировке.
Кратко:
Если 1) и
2) , то
.
Мы привели формулировки закона пока без каких-либо обоснований. Внимательный анализ позволяет не только привести такие обоснования, но и ещё больше смягчить ограничения.
Пусть система переходит из состояния 1 в новое состояние 2. При этом каждая частица, входящая в состав этой системы движется вдоль своей траектории “L” и мы можем найти для неё по теореме о кинетической энергии:
Мы опять умышленно разделили работу сил в правой части на две составляющие. Ведь работа консервативных сил, в отличие от неконсервативных, равна убыли потенциальной энергии (т.е. ). Сложим все равенства и перенесём суммарное изменение потенциальной энергии системы в левую часть. Получим:
.
Ясно, что в левой части записано изменение полной механической энергии системы, а в правой суммарная работа всех неконсервативных сил, действующих на тела системы. Вот теперь можно дать и ещё одну формулировку:
Кратко: Если , то .
Как видим, в этой последней формулировке мы вообще отказались от деления сил на внешние и внутренние. Наш анализ показал, что для сохранения энергии важно лишь отсутствие работы любых неконсервативных сил.
5.12. Итоговые замечания к разделу «Механика»
Мы завершили изучение всех основных законов классической механики. Всё остальное – это их практическое применение к конкретным системам – частные (хотя зачастую и очень важные) случаи. Некоторые из них важны настолько, что при их рассмотрении даже формулируют специальные правила–законы (так называемые «теории ad hoc» – т.е. «по случаю») вроде закона Архимеда, Гука, Бернулли и т.д.
Законы сохранения были представлены нами, по существу, как теоремы классической механики, опираясь на законы Ньютона. Почему же их выделяют в самостоятельные законы? Выделим несколько причин:
а) Следует иметь в виду, что приведённые «доказательства» – это всего лишь проверка на согласованность с законами Ньютона. В действительности законы сохранения в механике – это частный случай более фундаментальных законов сохранения, которые «работают» даже тогда, когда законы Ньютона в той форме, о которой мы до сих пор говорили, перестают работать. Законы сохранения – самостоятельные законы физики и притом более общие, чем законы классической механики. Например, импульсом обладают не только частицы, но и электромагнитные волны. Энергией также обладают электромагнитные поля, понятие «энергия связи» молекул весьма актуально для химии, а энергия связи ядер и нуклонов – для ядерной физики и физики элементарных частиц. В микромире, где законы Ньютоновой механики не применимы, выполняются, однако, все законы сохранения.
б) Законы сохранения носят «интегральный» характер. То есть, зная состояние системы в начале процесса, и проконтролировав выполнение определённых ограничений на силы, моменты сил или их работу можно предсказать состояние системы в конце процесса. Детали самого процесса могут быть очень сложными, но прояснять их нет необходимости. Это значительно упрощает поиск решения в ряде практически важных случаев, а зачастую и просто является единственной возможностью получить решение в аналитической форме, не прибегая к использованию численных методов. Таковы случаи различных быстропротекающих процессов – соударения, выстрелы, взрывы, взаимодействия элементарных частиц в ускорителях. Но даже в случаях, когда характер сил не представляет труда для анализа, использование законов сохранения зачастую бывает единственной альтернативой. Например, динамический подход к известной «задаче трёх тел» возможно реализовать лишь с применением численных методов решения.
§ 6. Пример применения основных законов механики – Гироскоп
6.1. Основные понятия
Простейшим и всем знакомым гироскопом является юла, или детский волчок (рис. 6.1). Все, даже самые удивительные (на первый взгляд) свойства гироскопа находятся в соответствии и объясняются основными законами механики. Рассмотрим далее приближённую теорию гироскопа.
В основе теории гироскопа лежит уравнение моментов:
, (6.1)
где – суммарный момент сил, действующих на гироскоп, а – момент импульса гироскопа. Важно помнить, что и должны быть вычислены относительно одной и той же (произвольной) точки пространства. Для симметричного тела*), вращающегося вокруг его закреплённой оси, собственный момент импульса равен
,
где Iz – момент инерции относительно оси вращения; – угловая скорость вращения. Векторы угловой скорости и момента импульса направлены вдоль оси вращения.
6.2. Гироскопические эффекты
На устойчивости направления оси вращения гироскопа основаны его многочисленные применения в технике: нарезное оружие, навигационные приборы в авиации, космонавтике, в ракетной технике (гирокомпас, гирогоризонт), стабилизаторы положения тел в пространстве, гироскопические успокоители качки и др.
Здесь полезно рассмотреть два случая:
а) Если внешняя сила действует в течение короткого промежутка времени (как, например, при ударе или толчке) и произведение мало, то изменение момента импульса также будет малым. При ударе направление оси гироскопа не уходит далеко от своего исходного положения, а слегка дрожит, оставаясь почти неизменным. Дрожание оси гироскопа около первоначального направления после кратковременного действия силы называется нутацией.
б) При длительном действии силы ось гироскопа поворачивается в пространстве. Однако движение оси гироскопа происходит не в сторону действия силы (как это было бы в отсутствии вращения), а в перпендикулярном направлении. Если гироскоп находится под действием постоянного момента внешних сил, его ось медленно поворачивается вокруг направления действия силы. Такое поведение гироскопа называется регулярной прецессией, а он сам – гироскопическим маятником. Разберем явление прецессии подробнее.
Рассмотрим в качестве модели гироскоп, состоящий из вращающегося маховика (ротора) и противовеса, закреплённого на оси (рис. 6.2). Противовес обеспечивает равновесие относительно точки О опоры, находящейся под центром масс системы. Ось гироскопа может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О. Очевидно, сила тяжести уравновешена реакцией опоры, и в отсутствии других внешних сил гироскоп можно считать свободным. Что произойдет, если на ось гироскопа будет действовать дополнительная постоянная внешняя сила , например, создаваемая небольшим грузиком подвешенным на некотором расстоянии от оси? Момент этой силы относительно точки закрепления О направлен горизонтально перпендикулярно силе и оси гироскопа (рис. 6.2). Согласно уравнению моментов за малый интервал времени dt момент импульса изменится на величину , причём
.
Здесь важно обратить внимание на то, что направление вектора совпадает с направлением вектора момента силы , а не самой силы . Другими словами изменение вектора момента импульса произойдет в направлении перпендикулярном вектору момента импульса. Если учесть, что момент импульса направлен вдоль оси вращения, то ось гироскопа повернется в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, т.е. вектора силы . Такое вращение оси гироскопа и есть прецессия. При этом модуль собственного момента импульса гироскопа Iz не изменяется.
Найдём угловую скорость прецессии . За время dt ось гироскопа повернётся на угол . Поскольку угол мал его радианная мера равна тангенсу этого угла. Из рис. 6.2 видно, что
.
Следовательно, угловая скорость прецессии равна
.
Учитывая уравнение моментов (6.1), легко получить в итоге
или . (6.2)
Отсюда видно, что ось гироскопа поворачивается тем быстрее, чем больший момент сил вызывает это вращение. Этот результат согласуется с общими положениями динамики. С другой стороны, чем больше собственный момент импульса гироскопа M = , тем медленнее будет происходить прецессия. Собственный момент импульса гироскопа определяет инертность гироскопа, в данном случае – устойчивость по отношению к внешнему воздействию.
Учитывая векторный характер величин и , а также направления этих векторов (рис. 6.3), равенство (6.3) полезно записать также и в векторном виде:
. (6.4)
Дополнительный анализ гироскопических эффектов проводится с учётом третьего закона Ньютона. Если какое-либо тело извне действует на ось гироскопа, вызывая его прецессию, то со стороны оси на это тело действует такая же по величине, но противоположно направленная сила. Такие силы противодействия со стороны прецессирующего гироскопа принято называть гироскопическими силами. Легко догадаться, эти силы препятствуют повороту оси гироскопа. Именно гироскопические силы ответственны за устойчивость оси гироскопа в пространстве. Любая попытка повернуть ось гироскопа вызывает противодействие тем большее, чем больше собственный момент импульса гироскопа.
С помощью представления о гироскопических силах можно, например, легко объяснить действие гирокомпаса. Ось гироскопа, находящегося на поверхности Земли поворачивается вместе с вращающейся Землёй. Гироскопические силы исчезнут, если ось гироскопа окажется параллельной оси вращения Земли.
Мы рассмотрели лишь элементы теории уравновешенного гироскопа. Полная теория гироскопа гораздо сложнее. Однако всё изложенное выше позволяет понять наиболее важные свойства гироскопа.
Гироскопические эффекты проявляют себя не только в макроскопических механических устройствах. С помощью представлений о них можно объяснить и некоторые тонкие и очень важные явления микромира, казалось бы, чрезвычайно далёкие от сферы действия классической механики. Так, например, прецессией электронных орбит атомов во внешнем магнитном поле можно объяснить диамагнетизм веществ. С прецессией электронных орбит связано явление электронного парамагнитного резонанса (ЭПР), широко используемого при изучении строения вещества. Явление ядерного магнитного резонанса (ЯМР) также можно объяснить гироскопической прецессией. Хотя описание этих явлений на языке квантовой физики и является более адекватным, подход, основанный на представлениях классической физики, оказался весьма плодотворным в истории науки.
В заключение к разделу «Механика» приведём высказывание Альберта Эйншнейна:
«Пусть никто не думает, что великое создание Ньютона может быть ниспровергнуто теорией относительности или какой-нибудь другой теорией.
Ясные и широкие идеи Ньютона навечно сохранят своё значение фундамента, на котором построены наши современные физические представления»
А. Эйнштейн (1948 г.)
40
Рис. 1.8
Z
Y
Z
Y
0
X
X
m
траектория
Рис. 1.7
m
0
0
Рис. 1.6
m
t + ∆t
m
t + ∆t
t
0
t
0
Рис. 1.5
v(t)
t2
Рис. 1.4
t1
v
t
t
траектория
Рис. 1.3
траектория
Рис. 1.2
t
Z
t0
Y
0
X
m
Рис. 1.1
Z
z
K
x
y
Y
0
X
m
•
•
B
A
Рис. 2.1
Рис. 2.2
B
A
Рис. 2.3
B
A
Ом
•
•
Рис. 2.4
X
Y
0
A
Y
Oм
X
Рис. 3.1
1
2
m2
m1
Рис. 3.2
1
2
FN
0
Fтр
Рис. 3.3
Рис. 3.4
Рис. 3.5
X
0
Y
Z
Рис. 4.1
•C
•∆m1
•∆mi
•∆m2
•
•
○
C
O
∆mi
Рис. 4.2
Рис. 4.3
•
∆m1
∆mi
• ∆m2
•
•
d
O
∆mi
Рис. 4.4
•
•
d
O
∆mi
Рис. 4.5
•
•
•
∆mj
•
Ri
O
∆mi
Рис. 4.6
Z
•
•
Рис. 4.7
Z
Zc
c
○
Zc
Z
∆mi
а
б
Рис. 4.8
X
Y
Zc
Z
ИСО
Y
X
Zc
ИСО
Рис. 4.9
Рис. 4.3
•
∆m1
∆mi
• ∆m2
•
“до”
Рис. 5.1
t
Союз
m
dm
t + dt
“после”
Рис. 5.2
Рис. 5.3
“L”
1
2
O
Рис. 5.4
Z
•
•
Рис. 5.5
“L”
•
dv
2
1
m
v dv
Рис. 5.6
“L”
•
dr
m
1
2
O
dr
“”
Рис. 5.6
M
“L”
r
О
m
Рис. 5.7
U1
Y
О
y
X
Fx
Fy
U2
U3
x
Рис. 5.8
2
1
“L”
Рис. 4.3
•
∆m1
∆mi
• ∆m2
•
Рис. 6.1
Рис. 6.2
б) вид сверху
а) вид сбоку
O
противовес
O
ротор
Рис. 6.3
Регулярная прецессия
O