. Механика Ньютона Введение Предметом механики является изучение простейшей формы движения в природе ~ м

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Часть 1. Механика Ньютона

Введение

Предметом механики является изучение простейшей формы движения в природе – механической, т.е. связанной с изменением положения тел в пространстве. Содержанием этой части курса является классическая механика, ведущая своё начало от Г. Галилея (1564 – 1642) и И. Ньютона (1643 – 1727). Классическая механика изучает законы движения макроскопических тел (т.е. состоящих их огромного количества атомов).

Механика как наука развилась гораздо раньше других областей физики, и причиной тому – большая наглядность используемых представлений и законов. Немалую роль в установлении законов механики сыграли астрономические наблюдения и исследования, не требовавшие в те времена больших материальных затрат, а также развитие техники, диктуемое практическими нуждами развивающегося общества.

Надо сказать, что наглядность представлений классической механики о пространстве и времени, как о формах существования материи, а также их полное соответствие нашим повседневным, «обывательским» наблюдениям, играет двоякую роль в процессе познания природы. С одной стороны, это обстоятельство облегчает трактовку законов классической физики. С другой стороны, наоборот, затрудняет познавательный переход к представлениям микромира и случаю движения с очень большими скоростями (v  c). Микромир является объектом изучения квантовой механики, а движение тел с большими скоростями – предмет «релятивистской» теории («специальной теории относительности)*). Квантовая механика и релятивистская теория – это новые, более высокие степени приближения в изучении природы по сравнению с классической механикой. Но они ни в какой мере не исключают «старой» теории, не говоря уж о том, что отталкиваются от неё. Физика ведь вообще наука экспериментальная. Теория возникает как обобщение накопленных опытных фактов, новая теория обобщает старые теории. Любая физическая теория, описывая принятую ею модель внешнего мира, имеет определённые границы применимости, в рамках которых удовлетворительно описывает эту модель, объясняя известные и предсказывая новые опытные результаты.

И если оказывается, что новая теория является более общей, чем старая, то это вовсе не означает, что старая никуда не годится. Каждая из них работает в определённых условиях, и не беда, если старая является «предельным случаем» другой (новой). Так обстоит дело со взаимоотношениями между теорией относительности, квантовой механикой и классической механикой. Последняя прекрасно описывает явления природы, пока скорости движения гораздо меньше скорости света и пока мы не пытаемся иметь дело с отдельными атомами и элементарными частицами. Впрочем, даже в последнем случае бывают такие ситуации, когда «возмущения» в результаты измерений, вносимые квантовой природой этих частиц незначительны и лежат в пределах погрешностей эксперимента**). Тогда классическая механика является хорошим приближением для описания движения этих частиц, например, движения электрически заряженных частиц в электрических и магнитных полях при условии v << c. Во многих случаях результаты, учитывающие квантовые эффекты и конечность скорости света, являются лишь небольшим уточнением к выводам классической механики.

Таким образом, практическое применение законов классической механики выходит за рамки строгих границ её применимости. При этом всё же надо учитывать, что результаты, даваемые классической механикой, являются лишь первым приближением, которое может быть исправлено законами квантовой и релятивистской теории.

Традиционное деление классической механики предполагает изучение кинематики, статики и динамики. В настоящем курсе статика не рассматривается, её вы изучали в школе, а в рамках классической механики её можно считать частным случаем динамики.

§ 1. Кинематика материальной точки

“Незнание движения необходимо влечёт незнание природы” –	“Дайте мне материю и движение, и я построю Вселенную”–
Аристотель (IV век до н.э.)	Рене Декарт (XVII век н.э.)

Кинематика – это раздел механики, в котором устанавливаются законы механического движения тел без анализа причин, вызвавших это движение. Задачей кинематики является дать способы описания движения тел, т.е. определять положение, скорость, ускорение, … – так называемые кинематические характеристики движения – отвечать на вопрос «как ?», оставив до поры вопрос «почему ?» открытым. Анализ причин того или иного типа механического движения проводится в разделе «Динамика» – он ещё у нас впереди.  

1.1. Основные понятия кинематики

•  (Опр.) Механическое движение – это изменение положения тел в пространстве (т.е. относительно других тел) с течением времени

Мы видим, что «арена событий» механики – пространство и время. И уже в силу своего определения всякое движение носит относительный характер! Насколько движение абсолютно в философском смысле («всё течёт, всё изменяется»), настолько оно относительно в смысле представлений физических (относительно других тел!).

Простейшей моделью реального тела, с которой начинается построение механики, является материальная точка (МТ).

•  (Опр.) Материальная точка – физическое тело, размерами которого в условиях конкретной задачи можно пренебречь 

Часто говорят, что «это такие тела, размеры которых пренебрежимо малы по сравнению с характерными для данной задачи расстояниями». Важно, чтобы размеры и форма тела были бы несущественны при ответе на конкретный вопрос задачи. Одно и то же тело в разных случаях можно принимать за материальную точку, а в других нет! Например, при определении периода движения Земли вокруг Солнца, Земля может рассматриваться как МТ. Однако при выяснении времени суточного оборота Земли вокруг своей оси считать её материальной точкой уже бессмысленно, несмотря на возможность использования той же гелиоцентрической системы отсчёта и большом расстоянии между Солнцем и Землёй.

Механическое движение может быть определено только по отношению к системе отсчета (СО).

•  (Опр.) Система отсчёта включает тело отсчета (ТО), а также прибор для измерения времени

Выбор тела отсчёта предполагает и выбор точки начала отсчёта. Выбирается также и начало отсчёта времени.

 Важно подчеркнуть, что выбирается именно тело отсчёта, а не только точка. С телом отсчёта связывают систему координат (СК), которая необходима для использования математического аппарата описания движения. Эта связь однозначно определит положение системы координат. С точкой отсчёта можно связать лишь одну из точек  СК, но не положение её осей.

Одно и то же движение будет происходить по-разному, и будет описываться разными законами в разных системах отсчёта. Чаще всего используются системы отсчета: «лабораторная» (связанная с помещением, в котором проводится исследование), «геоцентрическая» (связанная с Землёй), «гелиоцентрическая» (она же «Коперникова», связанная с Солнцем).

Мы начнём описание механических движений именно с кинематики материальной точки. Заметим при этом, что и в важном и распространённом случае поступательного движения твёрдого тела размеры и форма тела также не играют роли при кинематическом описании его движения.

•  (Опр.) Траектория – это линия в пространстве, вдоль которой движется материальная точка 

Другими словами – это след, который оставила бы в пространстве движущаяся частица. Математически траектория может быть задана уравнением кривой, описывающим взаимосвязь координат МТ друг с другом. Например, в простейшем случае движения по плоскости:

y = f (x).     (1.1)

Существует также так называемая "параметрическая" форма аналитического задания линии в пространстве:

x = f1(t);      

y = f2(t);      

z = f3(t),     (1.1,а)

где t – некоторый общий параметр, в частности, им может служить время.

В зависимости от вида траектории различают движения прямолинейные и криволинейные. Примерами важных случаев криволинейного движения являются движения по окружности и параболе, циклоиде …  

Подчеркнём, что вид траектории зависит от выбора системы отсчёта. Этому можно привести много примеров. В частности, если систему координат связать с движущейся материальной точкой, то траекторией является точка – она ведь покоится в этой системе. Поэтому необходимо помнить, что решение любой задачи, связанной с движением, может быть осуществлено лишь в какой-либо конкретной системе отсчёта. Удобный выбор системы отсчёта может предопределить успех решения.

1.2. Линейные кинематические характеристики движения

Как мы уже отмечали, в выбранной СО с телом отсчёта обычно связывают ту или иную систему координат. Тогда пространственное положение материальной точки «m» можно задать её координатами. Например, в прямоугольной декартовой системе координат – это три числа {х,у,z} – её проекции на óси координат OX, OY и OZ. Положение точки можно задать также и радиус-вектором , проведённым из начала координат к материальной точке m (см. рис. 1.1).

1.2.1. Радиус-вектор

•  Связь радиус-вектора с координатами точки математически записывается так:

,  (1.2)

где х, у, z – координаты МТ, равные проекциям радиус-вектора  на óси OX, OY и OZ; а , , – единичные векторы («орты») соответствующих направлений.

Основной (но не единственной) задачей механики является нахождение координат (или радиус-вектора) движущейся точки в любой момент времени – установление закона движения:

  (1.3)

Часто приходится иметь дело с движением МТ по плоскости или вдоль заданной линии. В этих случаях законом  движения являются всего две или одна функция координат от времени.

1.2.2. Путь

•   (Опр.) Путь – это длина участка траектории между начальным и конечным положениями

Путь (будем обозначать его ∆l) – величина скалярная !

1.2.3. Перемещение

•  (Опр.) Перемещением за промежуток времени  называется вектор , соединяющий положение точки в момент времени  с её положением в момент времени  

Вектор перемещения, как ясно из определения и рисунка 1.2, равен . Он может быть задан, как любой вектор, и его составляющими по осям (проекциями):

, , ,

т.е. компоненты вектора перемещения равны изменению соответствующих его проекций.

Если момент времени  выбран в начале, а  произвольной точке траектории движения МТ, то их обозначают  и  соответственно. В школьном курсе само перемещение вы обозначали иначе – . Смысл нового обозначения  ясен из рисунка 1.2 – этот вектор представляет собой приращение радиус-вектора материальной точки в процессе её движения: 

.     (1.4)

А  здесь – определяет начальное положение материальной точки. Отсюда ясно – чтобы определить положение МТ в любой момент времени, надо знать её перемещение и начальное положение:

    (1.4,а)

Закон движения, можно записать и в соответствующей координатной форме:

    (1.3б)

Необходимо помнить, что в общем случае путь отличается от длины (модуля) вектора перемещения. Очевидно, всегда справедливо неравенство . Однако, если рассматривать все более и более короткие интервалы времени , то конечное положение точки будет приближаться к начальному, и разница между  и  будет также стремиться к нулю.

Быстроту изменения положения МТ в пространстве характеризуют скоростью. Начнём с простейшего понятия.

1.2.4. Скорость

•  (Опр.) Средняя скорость – отношение перемещения к интервалу времени движения

    (1.5)

Средняя скорость (за данное время, или на участке траектории) описывает движение без деталей, в то время как в течение времени от t1 до t2 оно может происходить по-разному, то замедляясь, то убыстряясь.

 Случай из американской жизни:*) 

«Автомобиль был остановлен полицейским. Он подходит к машине и говорит: "Мадам (ибо за рулем была женщина), Вы нарушили правила уличного движения. Вы ехали со скоростью 90 километров в час". Женщина отвечает: "Простите, это невозможно. Как я могла делать 90 километров в час, если я еду всего лишь 7 минут!" ... Полицейский честно хочет доказать нарушительнице её вину и пытается объяснить ей, что означает скорость 90 километров в час, и говорит: "Я имел ввиду, мадам, что если бы Вы продолжали ехать таким же образом, то через час Вы проехали бы 90 километров."  "Да, но я ведь затормозила и остановила машину, – может ответить она, – так что теперь-то я уж никак не могла бы проехать 90 километров в час". Нарушительница могла бы ответить и так: "Если бы я продолжала ехать, как ехала, еще час, то налетела бы на стену в конце улицы." .... Далее дискуссия развиваете, следующим образом. Полицейский: "Разумеется, мадам, если бы Вы ехали таким же образом в течение часа, то налетели бы на стену, но за 1 секунду Вы бы проехали 25 метров, так что Вы делали 25 метров в секунду, и если бы продолжали ехать таким же образом, то в следующую секунду опять проехали бы 25 метров, а стена стоит гораздо дальше". "Но правила запрещают делать 90 километров в час, а не 25 метров в секунду." Да ведь это то же самое!"

Желание описать движение подробнее заставляет сужать рассматриваемый участок траектории (уменьшать временной интервал), т.е. вычислять среднюю скорость за всё более короткие промежутки времени. Так мы приходим к более детальной характеристике – скорости в данный момент времени или просто мгновенной скорости.

•  (Опр.) Мгновенная скорость – предельное значение средней скорости при уменьшении временного интервала (на «бесконечно коротком» участке траектории):

    (1.6)

В математике такой предел (если он существует) называется производной перемещения по времени, а процедура нахождения производной – дифференцированием. В физике приходится иметь дело с производными по разным переменным (время, координата, температура, …), поэтому производную удобно обозначать с указанием по какой именно переменной ведется дифференцирование в данном случае. Символически это делается так:

 *)   (1.6,а)

Поскольку производные по времени в физике играют особую роль, их часто также обозначают точкой над дифференцируемой величиной:  Из определения мгновенной скорости**) следует, что она всегда направлена по касательной к траектории (см. рис. 1.3).

А ещё часто пользуются понятием средней и мгновенной путевой скорости (её-то и показывает, например, спидометр автомобиля). Путевая скорость (средняя и мгновенная) – это скалярная величина равная отношению пройденного пути к соответствующему интервалу времени:

•  (Опр.)  vср .     (1.7,а)
  •  (Опр.)  v     (1.7,б)

Если учесть, что при разница между путём и длиной вектора перемещения также стремится к нулю , то модуль мгновенной скорости равен производной пути по времени – мгновенной путевой скорости:

 v   v.  (1.8)

Как и любой вектор, вектор скорости может быть задан и своими проекциями на координатные оси:

.   (1.9)

Причём эти проекции равны производным соответствующих координат по времени:

  ;  ;     (1.10)

Модуль вектора скорости, а значит и путевая скорость, связаны с проекциями скорости на координатные оси:

v     (1.11)

Зная мгновенную скорость как функцию времени, можно найти изменение координат:

;         (1.12)  

а значит перемещение и пройденный путь:

       (1.13)

Здесь появилась ещё одна символика высшей математики, которой мы будем активно пользоваться и в дальнейшем – интеграл. С «технической» точки зрения интегрирование – операция обратная дифференцированию. То есть надо искать функцию, производная от которой совпадает с подынтегральным выражением (функцией v(t), например). При этом всегда важно помнить, что смысл любого интегрирования – вычисление суммы, точнее предела последовательности сумм определённого вида. А именно произведений значений интегрируемой функции на малые приращения аргумента этой функции в пределах диапазона, указанного пределами интегрирования. Графически такая величина (значение интеграла) может быть вычислена как площадь под графиком интегрируемой функции (конечно же, в соответствующих единицах измерения!) – см. рис. 1.4.

Пример 1. Равномерное движение

•  (Опр.) Равномерным называется движение, при котором МТ за любые равные интервалы времени совершает равные перемещения 

Из этого определения (определение Галилея) следует, что при равномерном движении скорость точки не меняется, т.е. **) При равномерном движении средняя и мгновенная скорости совпадают. Исходя из этого, легко получить закон равномерного движения (в «координатной» форме):

.    (1.14)

Аналогично и по осям OY, OZ:

или в векторном виде:

    (1.14,а)

В равенствах (1.14) и (1.14,а) для упрощения записей мы считаем, что время отсчитывается от нуля, т.е.  и = .

Строго говоря (следуя определению), равномерным может быть только прямолинейное движение.  Однако иногда говорят и о криволинейном равномерном движении (например, по окружности), имея ввиду постоянство скорости по модулю. В этом случае путь линейно растет с течением времени:

l = v.      (1.15)

1.2.5. Ускорение

Для характеристики быстроты изменения скорости пользуются понятием ускорения. Конечно, начать можно, как и в случае скорости со среднего ускорения. Но мы дадим сразу определение ускорения мгновенного, выполнив знакомый уже предельный переход.  

•  (Опр.) Ускорением*) называется производная скорости по времени: 

    (1.16)

или (что то же самое)   .        (1.16,а)

при этом

 где   

Абсолютная величина ускорения а определяет быстроту изменения модуля скорости v(t) с течением времени. Если скорость не изменяется ни по величине, ни по направлению (), то .

Зная функцию , можно определить изменение вектора скорости за промежуток времени между моментами t1 и t2:

.           (1.17)

А если известны ещё начальные положение  и скорость частицы , то нетрудно найти законы изменения её скорости и положения:

        (1.18)

Таким образом, принципиальным физическим вопросом является как раз поиск ускорения – функции . На этот вопрос, как мы убедимся, ответ даёт только «динамика».

Пример 2. Равнопеременное движение

•  (Опр.) Движение МТ называется равнопеременным, если за любые равные интервалы времени  происходят равные изменения скорости  

Нетрудно понять, что в этом случае ускорение  не меняется (= const). Опираясь на соотношения (1.18), легко получить для этого случая хорошо знакомые по школьному курсу зависимости:

         (1.19)

Для напоминания перепишем также закон равнопеременного движения и «в координатной форме» для одной из проекций:

   (1.19,а)

здесь V0 – начальная скорость вдоль оси Х (Vx(0) = V0),  x0  – координата  х  в начальный момент, т.е. x(0) = x0.

•  Замечание

Пример 3. Движение тел, брошенных вблизи поверхности Земли (сопротивление воздуха пренебрежимо мало)

Это хотя и частный, но очень важный случай равнопеременного движения. Не будем, однако, воспроизводить все положенные выкладки, которые подробно обсуждались ещё в школьном курсе*). Анализируя приведённые ранее кинематические соотношения, мы отметим здесь, что параметры движения материальной точки вдоль любой оси не влияют на параметры движения вдоль остальных осей. Это позволяет сформулировать принцип независимости движений, согласно которому движение материальной точки вдоль координатных осей можно рассматривать независимо друг от друга. По горизонтали происходит равномерное движение, а по вертикали – с постоянным ускорением – ускорением свободного падения .  В действительности эти движения объединены общностью течения времени, что и позволяет находить траекторию движения.

1.3. Угловые кинематические характеристики движения

При криволинейном движении, в частности, при движении по окружности, удобными помимо «линейных» оказываются т.н. «угловые характеристики»: угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение.

1.3.1. Угловое перемещение

•   (Опр.) Введём понятие углового перемещения, отталкиваясь как раз от случая движения МТ по окружности – см. рис. 1.5. Радиус-вектор , соединяющий центр окружности (точка О) и материальную точку, как всегда «следит» за изменением её положения, и при этом поворачивается на угол . Чтобы указать не только величину этого поворота, но и направление, угловому перемещению придают векторный характер: за направление вектора  принимается направление поступательного перемещения правого винта – «буравчика» при повороте его рукоятки в направлении вращения радиус вектора – см. рис. 1.5.

Так же поступают и при движении МТ по любой плоской кривой*).

1.3.2. Угловая скорость

Быстроту угловых перемещений характеризуют угловой скоростью, которую определяют аналогично линейной:

•  (Опр.) Угловая скорость равна 

    (1.20)

Т.е. она представляет собой производную по времени от углового перемещения.

Направлен вектор угловой скорости, как следует из определения, так же, как и вектор углового перемещения.

Ранее введённую скорость  в данном контексте называют линейной. Её модуль v связан с модулем угловой скорости  простым соотношением, получить которое можно, вспомнив равенство (1.7,б) и математическое выражение для длины дуги окружности dl = R :

v .    (1.21)

Можно ли записать связь линейной и угловой скоростей в векторном виде, учитывающую направления этих характеристик движения? Линейная скорость всегда направлена по касательной к траектории, т.е. перпендикулярно радиусу окружности. Угловая – вдоль оси, относительно которой поворачивается радиус-вектор частицы, т.е. перпендикулярно плоскости, в которой лежат оба вектора  и . С учётом сказанного приходим к равенству . Оказывается его можно несколько обобщить, выбрав начало системы отсчёта (точку ) в произвольном месте оси поворота радиус вектора  (см. рис. 1.6):

*)     (1.22)

Этот вывод будет для нас важен при анализе кинематики движения твёрдых тел.

Замечание

Если линейная скорость неизменна по величине v, то постоянна и угловая скорость . Такое движение называют «равномерным движением материальной точки по окружности». Следует помнить об условности этой терминологии с учётом данного общего определения понятия равномерного движения. В этом случае справедливы соотношения:

v .

1.3.3. Угловое ускорение

•  (Опр.) При движении с изменяющейся угловой скоростью полезно также понятие углового ускорения:

    (1.23)

Аналогично случаю линейных характеристик оно позволяет находить, как меняются угловая скорость и угловое перемещение с течением времени:

   (1.24)

1.4. Ускорение при криволинейном движении

При криволинейном движении линейная скорость  обязательно изменяется хотя бы по направлению. Поэтому ускорение всегда отлично от нуля даже в «школьном» случае «равномерного движения по окружности» (т.е. при постоянстве угловой скорости). Если материальная точка движется по произвольной кривой траектории можно утверждать, что вектор ускорения направлен всегда внутрь этой траектории. Его удобно разложить на две составляющие – вдоль вектора скорости (по касательной к траектории) и в нормальном (т.е. перпендикуляр-ном) направлении:

.   (1.25)

Соответственно первую называют «тангенциальным», а вторую «нормальным» ускорением (см. рис. 1.7). Если обозначить символом  орт тангенциального направления, то v . Следующей цепочкой равенств можно так пояснить смысл каждой из компонент ускорения:

(v v 

Т.е. тангенциальная компонента  ответственна за изменение модуля скорости. Тогда как нормальная – это по сути всё то же, известное вам по школьному курсу, «центростремительное» ускорение, изменяющее скорость по направлению. Вектор  перпендикулярен вектору линейной  скорости и направлен по радиусу к центру т.н. «мгновенной» окружности (см. рис. 1.7) – движение по произвольной кривой траектории можно представить как последовательность движений по малым дугам окружностей с разными радиусами и разными положениями центров, сменяющими друг друга.

Чему равен модуль нормального ускорения? Процедура расчёта центростремительного ускорения описывается в любом школьном учебнике физики, приведём здесь лишь хорошо известный вам результат:

v2/R    (1.26)

А к нему добавим, что в рассматриваемом случае R – это «радиус кривизны траектории».

Для частного случая движения по окружности (R = const):  dv/dt . Полезно написать ещё и дополнительные соотношения для  и , придав им к тому же векторную форму:

    и    (1.27)

Знак «–» означает здесь, что нормальное ускорение направлено в сторону противоположную вектору , т.е. к центру окружности.

1.5. Закон сложения скоростей классической механики

Одно и то же движение можно описывать относительно разных систем отсчёта. Есть ли какая-то связь между кинематическими характеристиками этого движения в разных системах? Вероятно, да.

Пусть система отсчёта  – будем называть её «система », движется со скоростью  относительно «неподвижной» (условно) СО  – «системы K». Положение МТ определяют радиус-векторы  и  соответственно. Очевидно (см. рис. 1.8) эти векторы связаны между собой простым равенством:

,

где  – радиус-вектор,  проведённый из начала отсчёта системы «K» к началу системы «». В классической механике предполагается, что время в различных системах отсчёта течёт одинаково. Поэтому можно продифференцировать это равенство по времени и получить:  

         (1.29)

Это соотношение называется законом сложения скоростей Галилея. Здесь  – скорость материальной точки относительно «неподвижной» системы отсчета K, скорость  – по отношению к системе отсчета  («относительная скорость») и, наконец,  – скорость системы отсчета  относительно неподвижной системы K («переносная скорость»).

Пример-задание

Лодка движется относительно воды в реке со скоростью . Причём направлена эта скорость перпендикулярно берегу. Ширина реки H, а скорость течения воды равна . Используя закон сложения скоростей и принцип независимости движений, самостоятельно определите по этим данным скорость лодки относительно берега. На каком расстоянии ниже по течению лодка завершит переправу?

 

§ 2. Кинематика твёрдого тела

“Под механикой разумеем ту часть практического искусства, которая помогает нам разрешать затруднительные вопросы” –

Аристотель (IV век до н.э.)

2.1. Модель «абсолютно твёрдое тело»

Модель «материальная точка» не всегда адекватна решаемой задаче. В тех случаях, когда размеры и форма тела играют существенную роль при описании движения часто помогает другая модель.  

•  (Опр.) Модель «абсолютно твёрдое тело» (ТТ) предполагает, что можно пренебречь деформацией тел при механическом движении

Такое тело можно представить как совокупность материальных точек, жёстко связанных между собой. Несколько более формально можно сказать, что при движении твёрдого тела не меняется расстояние между любыми двумя его точками А и В, т.е. отрезок АВ сохраняет свою длину – см. рис. 2.1.

Оказывается любое сложное движение твёрдого тела можно представить в виде совокупности двух простейших типов движения – поступательного и вращательного.

2.2. Поступательное движение твёрдого тела

•  (Опр.) При поступательном движении за любые равные интервалы времени все точки ТТ совершают равные перемещения

Ясно, что при таком движении любая прямая жёстко связанная с телом остаётся параллельной самой себе см. рис. 2.2. Нетрудно понять также, что поскольку при любых интервалах времени ∆t, исходя из определения , в любой момент времени у всех точек тела одинаковы линейные скорости  и ускорения . В этом легко убедиться, дифференцируя соответствующие равные перемещения. С течением времени эти скорости и ускорения могут меняться, но у всех точек одинаково и все точки тела движутся по одинаковым траекториям. Именно этот смысл вкладывают в утверждение – «при поступательном движении все точки тела движутся одинаково».

Поэтому при описании поступательного движения ТТ можно пользоваться соотношениями, определяющими кинематику материальной точки. Описав движение всего одной точки (например, центра масс – см. далее) поступательно движущегося твёрдого тела, мы получаем полную информацию о том, как происходит это движение – кинематическая задача решена!

А как обстоит дело с угловыми характеристиками движения? При поступательном движении тело сохраняет свою ориентацию в пространстве, «не поворачивается»! Угловая скорость и ускорение любого жёстко связанного с телом отрезка прямой равны нулю.

2.3. Вращательное движение твёрдого тела

Только что мы уже использовали термин, очевидно, имеющий отношение к «вращательному движению». Уточним наши бытовые представления по этому поводу.

•  (Опр.) При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения тела

Подход к описанию движения точки по окружности был изложен ранее. Линейные характеристики движения на этот раз отличаются для точек, находящихся на разном расстоянии от оси вращения. А вот угловые –  и  – для всех точек твёрдого тела одинаковы. Поскольку указание всего одной величины – угла поворота – достаточно, чтобы знать положение ТТ, говорят, что вращающееся тело имеет одну степень свободы.

2.4. Плоское движение твёрдого тела

Выделим для рассмотрения ещё один специфический случай, имеющий важное практическое значение.

•  (Опр.) При плоском движении все точки тела движутся, оставаясь в параллельных плоскостях

Естественно в одной плоскости может двигаться множество точек. При этом разные точки могут двигаться в разных параллельных плоскостях. Самым хорошо знакомым примером плоского движения является качение колеса. Плоское движение удобно представить, как совокупность одновременно происходящих поступательного движения тела и его поворота вокруг оси О, перпендикулярной плоскостям, в которых движутся точки ТТ. Необходимо подчеркнуть, что комбинировать поступательное движение и поворот тела вокруг оси О можно бесконечным числом способов (см. рис. 2.3). Ось вращения может быть выбрана произвольно. При этом будут изменяться радиусы поворота, однако важно, что какую ось мы бы ни выбрали, угловая скорость будет иметь одно и то же значение.

Из сказанного следует, что элементарные перемещения любой точки тела («i») при плоском движении можно представить в виде . Поделив на соответствующий малый интервал времени dt, получим скорости движения точек тела:

:          (2.1)

Здесь  – одинаковая  для всех точек тела скорость поступательного движения (скорость движения оси поворота О),  – линейная скорость данной точки тела, связанная с вращательным движением,  – угловая скорость,  – радиус-вектор, проведенный от оси вращения к i–ой точке тела.

Как мы отмечали, частным, но весьма важным случаем плоского движения, является «качение» тел (колеса, цилиндра, шара, …) – см. рис. 2.4. Равенство (2.1) при этом может служить примером применения закона сложения скоростей Галилея – ведь «неподвижную» систему отсчёта «K» удобно связать с поверхностью качения, а «движущуюся»  с осью катящегося тела (она движется поступательно, а колесо поворачивается вокруг неё).

Обоснуйте самостоятельно, опираясь на рис. 2.4, что модуль скорости    произвольной   точки  А   на   ободе    колеса    равен vA = 2v0. 

Интересно отметить, что из множества способов разложения движения всегда можно найти такой, когда движение тела сведется к последовательности поворотов вокруг некоторой оси, скорость которой равна нулю в данный момент времени (). Эта ось вращения Ом занимает разное положение в пространстве в разные моменты времени. Её называют мгновенной осью вращения. При качении без проскальзывания эта ось проходит через точку касания с поверхностью, по которой катится тело.

В заключение раздела «Кинематика» скажем, что все рассмотренные в нём законы опираются на естественные представления о независимости пространства и времени. Эти представления, очевидные для механики Ньютона и Галилея, подверглись пересмотру современной физикой («Теория относительности»), и это способствовало более глубокому пониманию фундаментальных свойств пространства и времени. В физике микромира в связи с невозможностью одновременного точного определения координат и скорости движущейся частицы выработан иной подход к изучению движения без использования понятия траектория («Квантовая механика»).

§ 3. Динамика материальной точки

Наука спустилась с небес на Землю по наклонной плоскости Галилея 	“Door Meten tot Weden” – «Знание через измерение!»
	девиз лаборатории Каммерлинг-Оннеса. Лейден. Голландия

3.1. Принцип инерции. Сила

В разделе «Кинематика» мы знакомимся с описанием простейших типов механического движения (равномерное, равнопеременное, …). При этом в рамках кинематики вопрос о причинах того или иного характера движения не обсуждается. Как мы уже отмечали, именно «динамика» призвана отвечать на вопрос «почему?».  НО! «Правильный ответ начинается с правильного вопроса» .

Чему именно надо искать объяснения? С момента появления первого труда под названием «Физика» (Аристотель) около 20 веков господствовало мнение, что объяснять надо ту или иную величину скорости движения тел. И лишь Г. Галилей развеял это заблуждение и показал, что причину искать надо не для самой скорости, а для изменения скорости! Галилей сформулировал свой знаменитый «закон инерции»:

•  Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние

Т.е. скорость тела постоянна пока нет воздействия на тело других тел. Такое состояние тел называют движением по инерции. Если мы хотим развивать не только качественный, но и количественный анализ механического движения мы должны оговорить и количественную характеристику степени этого самого воздействия. Конечно же, речь идёт о понятии «сила»! В популярных толковых словарях это слово едва ли не рекордсмен по количеству смыслов. Да и в школьном курсе физики нам уже встречались и «сила тока», и «электродвижущая сила», и «сила света» …

Однако в рамках механики мы ограничимся лишь одним толкованием этого важного понятия.   

•  (Опр.) Сила является мерой воздействия тел друг на друга 

Слово мера влечёт с необходимостью и определённую процедуру, позволяющую определять интенсивность воздействий в разных случаях. Договариваются и об эталонном значении силы () и об устройстве соответствующего прибора – конечно же, речь идёт об известном вам «динамометре». Экспериментально также выясняется вопрос о векторном характере сил и, соответственно, о правилах их сложения.

Галилей первым предложил подход с опорой на опытные данные, на эксперимент. Это стало обязательным условием развития современного естествознания. Поэтому Г. Галилея вместе с И. Ньютоном по праву можно считать основоположником классической механики. При этом основу динамики материальной точки составляют три закона Ньютона.

3.2. Первый закон Ньютона

Теперь у нас есть всё необходимое для построения фундамента классической механики – формулировки этих законов. Но сделаем прежде одну оговорку. Мы не будем цитировать самого Ньютона – ведь наша задача не история науки. Поэтому, хотя сам Ньютон первым законом динамики называл закон инерции Галилея, мы отметим, что этот закон справедлив только в некоторых особых системах отсчёта.

•  Первый закон Ньютона утверждает, что существуют такие системы отсчета, в которых тело движется равномерно и прямолинейно ( =  const), если на него не действуют другие тела или действие всех тел скомпенсировано. Такие системы называют инерциальными (ИСО)

Важно отметить, что содержание первого закона Ньютона состоит именно в утверждении возможности существования инерциальных систем: в таких системах тело, на которое не действуют другие тела («свободное тело»), движется равномерно и прямолинейно. Тем самым, он даёт критерий выбора ИСО и постулирует существование таких систем. Заметим также, что любая СО, движущаяся относительно ИСО равномерно, также является инерциальной.

Смелость утверждения первого закона Ньютона особенно впечатляет, если учесть, что система отсчета, связанная с Землей, с которой мы обычно связываем механические опыты, не является строго инерциальной системой отсчета.

3.3. Второй закон Ньютона

А как ведёт себя тело (материальная точка), если на него действуют другие тела и действие этих тел не скомпенсировано (т.е. суммарная сила не равна нулю)? Имея возможность определять ускорения по правилам кинематики , а также менять и измерять силы (), для данного тела и для различных «пробных» тел, удалось обнаружить взаимосвязь ускорения и силы. Эта экспериментально установленная связь и составляет содержание второго закона Ньютона. 

Второй закон Ньютона устанавливает количественную связь между воздействием на тело (МТ) и изменением его скорости.

•  Ускорение тела (МТ) прямо пропорционально действующей на него силе 

Коэффициент пропорциональности между силой и ускорением разный для разных тел, обладающих разной инертностью. Конечно, он связан с ещё одним важным понятием – «масса тела».

•  (Опр.) Масса тела*) есть мера инертности этого тела, т.е. величина, равная отношению силы, действующей на тело, к ускорению, которое тело приобретает под действием этой силы:

    (3.1)

Вот теперь настала пора привести знакомую со школы аналитическую запись II закона Ньютона:

•        (3.2)
•  Сделаем несколько важных замечаний

1.  Надо помнить, что в равенстве (3.2) – равнодействующая (сумма) всех сил, действующих на тело. Происхождение этих сил может быть самое разное.
2.  II закон Ньютона не является определением силы или ускорения, а объективно (т.е. независимо от нашего желания) связывает воедино эти величины: ускорение и силу. Каждая из этих величин может быть определена и измерена независимо от остальных и от содержания II закона Ньютона. Сила, являясь количественной мерой взаимодействия тел, вызывает как ускорение тел, так и изменение их формы (деформацию). Именно по деформации можно измерять силу (вспомните динамометр) независимо от II закона Ньютона!
3.  Важно помнить о том, что II закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчета*). Кроме того данная формулировка перестает «работать» за рамками «классической механики» – при движении тел со скоростями сравнимыми со скоростью света («релятивистская механика») и в микромире («квантовая механика»).
4.  При решении задач мы будем записывать этот закон в математически эквивалентной форме

Весьма полезной является также формулировка II закона Ньютона с использованием понятия импульса тела.

•  (Опр.) Импульсом материальной точки называется произведение её массы на скорость:

     (3.3)

С учётом этого можно записать

.

Тогда, согласно II закону Ньютона

*)  .   (3.4)

Этой аналитической записи соответствует словесная формулировка: «Скорость изменения импульса тела равна сумме действующих на тело сил».

Итак, если известны действующие на тело силы, равенство (3.2) позволяет находить ускорение тела. Используя, кроме того, начальные условия движения (начальное положение и скорость), можно определять зависимость координат материальной точки от времени – закон движения . По этой причине равенство, соответствующее второму закону Ньютона называют уравнением движения.  

3.4. Третий закон Ньютона

Силовое воздействие всегда носит характер взаимодействия.

•  Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки

Иными словами действие "первого" тела на "второе" обязательно связано с действием "второго" на "первое". При этом силы действия и противодействия:

1.  равны по величине;
2.  противоположно направлены;
3.  действуют вдоль одной прямой линии;
4.  приложены к разным телам;
5.  имеют одинаковую природу.

3.5. Силы в механике и динамические последствия

При анализе движения тел с использованием законов Ньютона приходится иметь дело с различными видами сил. Для многих из них известны законы*), определяющие зависимость силы взаимодействия от положения тел и характера их движения.

3.5.1. Силы Всемирного тяготения подчиняются закону: 

•  Две материальные точки притягиваются с силами пропорциональными произведению их масс (m1 и m2) и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними. Силы направлены вдоль прямой, соединяющей материальные точки 

Этот закон был открыт также И. Ньютоном. Аналитической записи закона всемирного тяготения можно придать векторную форму, чтобы включить в неё информацию о направлении сил:

            (3.5)

Здесь  – сила действующая на первую МТ со стороны второй,  – радиус-вектор проведенный от первой МТ ко второй (r – его модуль, см. рис. 3.2). На вторую МТ также действует сила притяжения и в полном соответствии с третьим законом Ньютона  Коэффициент пропорциональности G – т.н. «гравитационная постоянная». В системе СИ он равен 6,67.10-11 м2/кг2. Впервые величина гравитационной постоянной была измерена экспериментально в знаменитых опытах Кавендиша с использованием крутильных весов.

Важно помнить, что, используя равенство (3.5), можно находить силу тяготения между материальными точками (как и указано в законе!). Если в условиях решаемой задачи тела нельзя считать материальными точками, то для нахождения силы гравитационного взаимодействия тел их придётся разбивать на малые элементы – материальные точки, и затем суммировать все силы парных взаимодействий между ними.

Именно проведя такую процедуру Ньютон впервые доказал, что равенством (3.5) можно пользоваться также и для больших тел, если они обладают сферической симметрией распределения массы*). Таковыми, в некотором приближении, можно считать планеты (в частности, Землю), Солнце и другие космические тела. Роль величины r в равенстве (3.5) в этом случае играет расстояние между геометрическими центрами тел.

При рассмотрении движения тел вблизи поверхности Земли величина силы притяжения (сила Земного тяготения) может быть выражена следующим образом (h << RЗ):

,             (3.6)

где  – ускорение свободного падения, MЗ и RЗ – масса и радиус Земли, h – высота тела над поверхностью Земли.

3.5.2. Упругие силы, возникают при упругой деформации тел (в частности, это различные силы натяжения нитей, пружин, реакции опор, и т.д.). В некотором интервале деформаций тел величина деформации оказывается пропорциональна приложенной силе (закон Гука). С учётом 3-го закона Ньютона можно и для возникающей силы реакции – силы упругости записать:

,       (3.7)

где k – коэффициент упругости («жёсткость»), а   – величина деформации тела. Это может быть «удлинение» пружины , прогиб балки, угол закручивания стержня, … При этом сила упругости всегда противоположна направлению деформации тела.

3.5.3. Силы трения

Силы трения возникают при относительном движении контактирующих друг с другом тел. В частности, сухое трение возникает при возможности движения твёрдого тела по поверхности другого твёрдого тела.

Прежде всего, отметим, что бывают случаи, когда на тело, соприкасающееся с некоторой поверхностью, действуют силы, но оно остаётся в покое (попробуйте сдвинуть с места тяжёлый шкаф). Это результат того, что на тело действует сила трения покоя, компенсирующая другие внешние силы. Её величина находится из условия отсутствия относительного движения:

,     (3.8)

где  – силы, приложенные к телу, за исключением . Т.е. пока тело находится в покое, сила трения покоя в точности равна по величине и противоположна по направлению касательной составляющей результирующей сил . Максимальное значение силы трения покоя равно , где FN – нормальная составляющая силы реакции опоры,  – коэффициент трения скольжения.

На рис. 3.3 показано как меняется сила сухого трения при нарастании величины силы . Наклонный участок графика (Fтр < FN) соответствует покоящемуся  телу (Fтр пок = ), а горизонтальный – скользящему. С некоторой долей приближения можно считать, что  сила сухого трения скольжения не зависит от величины скорости и равна

.         (3.9)

Эта сила всегда направлена противоположно вектору скорости тела. Поэтому записи равенства (3.9) можно придать векторный характер:

 ,

где  – скорость относительного движения тел, v – её модуль.

При движении тел в жидких или газообразных средах возникает сила вязкого трения. Его отличие от сухого трения проявляется в отсутствии трения покоя, а также в зависимости от относительной скорости движения тела относительно среды. При малых скоростях сила вязкого трения пропорциональна этой скорости:

,          (3.10)

где r – коэффициент вязкого трения (зависит от размеров и формы тела, а также от вязких свойств среды).

3.5.4. Электромагнитные силы

На электрически заряженную частицу в электрическом и магнитном полях действует так называемая «обобщённая сила Лоренца»:

   (3.11)

В постоянном электрическом поле  движение частицы вполне аналогично движению в однородном поле тяготения. Ведь оно происходит под действием постоянной силы и, значит, является равнопеременным (по прямой или по параболе). В однородном магнитном поле () движение частицы происходит без изменения скорости по модулю – по окружности или по винтовой линии. Траектории движения в скрещенных электромагнитных полях могут быть весьма разнообразны – прямолинейное, по параболе, по дуге окружности, по спирали, … Всё это зависит как от взаимной ориентации полей, так и от начальных условий.

•  
•  Совсем необязательное дополнение

Итак, действующая на тело сила может зависеть от положения тела в пространстве (его координат, как, например, сила тяжести или упругости), от скорости (сила трения или сила, действующая на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле) и от времени. Т.е. с математической точки зрения является в общем случае функцией трех переменных:

.

В простейшем одномерном случае запись второго закона Ньютона

    (3.12)

представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение – нахождение функции x = f(t), обращающей уравнение в тождество – позволяет найти закон движения.

А) Например, если тело движется вблизи поверхности Земли и, если можно пренебречь сопротивлением воздуха, на него действует лишь постоянная по величине и направлению сила – сила тяжести  . Уравнение движения имеет в этом случае вид

.     (3.13)

Отсюда ясно, что это равнопеременное движение с ускорением ax = –g. Закон изменения вертикальной координаты  y  хорошо известен:

.

Движение по горизонтали равномерное, а траектория – парабола.

Б) При действии упругой силы, подчиняющейся закону Гука Fx = –kx, уравнение движения тела имеет вид

.  (3.14)

Его решение описывает гармоническое (незатухающее) колебание: x(t)= Acost.

Если учесть наличие силы трения, например вязкого, пропорциональной скорости, получим уравнение

. (3.15)

Решением будет также колебание, однако, на этот раз с уменьшающейся амплитудой (см. рис. 3.4):

x(t) = .

Процедура решения таких уравнений рассматривается в теории колебаний. Нас интересует сейчас вовсе не математическая сторона вопроса. Мы привели эти примеры лишь для иллюстрации того факта, что знание конкретного вида сил, действующих на тело, как функции координат тела и его скорости с учётом начальных условий позволяют решить основную задачу механики – нахождение закона движения тела.

В заключение приведём для иллюстрации этой же мысли еще один пример иного вида действующей на тело силы. Исключим из правой части равенства (3.15) упругую силу – останется лишь сила вязкого трения:

.   (3.16)

Исчезнет и колебательный характер движения. Для реализации такого случая движения в вязкой среде телу необходимо сообщить начальную скорость. Решение уравнения позволяет определить, как меняется эта скорость с течением времени:

v(t) = v0  а затем и закон движения тела:

v0 (см. рис. 3.5).

3.6. Принцип относительности Галилея

В завершение этого параграфа сформулируем ещё одно основополагающее утверждение классической физики:

•  Законы механики инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчёта

То есть все механические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Иначе говоря, с точки зрения классической механики, не существует абсолютного покоя или абсолютного движения. Находясь в трюме океанского лайнера без иллюминаторов, по наблюдениям за механическим движением невозможно установить, стоит ли лайнер на якоре или равномерно плывёт по воде.

§ 4. Динамика твёрдого тела

“Sine experienentia nihil sufficienter sciri potest” –

«Без опыта нет достоверного знания!»

Роджер Бэкон (1250)

4.1. Центр масс. Теорема о центре масс

Напомним, что твёрдое тело можно представить как совокупность материальных точек. Хотя в дальнейшем мы зачастую будем произносить и слова «система материальных точек», в первую очередь нас будет интересовать движение именно твёрдого тела. Все полученные результаты анализа, однако, если специально не оговорено иное, можно применять к обоим случаям.

При кинематическом описании движения твёрдого тела, разбиении его на поступательное и вращательное, мы говорили о произвольности выбора точки, через которую проходит ось вращения. С динамической точки зрения такого произвола уже нет. Особую роль при анализе движения систем материальных точек играет точка, называемая «центром масс».

•  (Опр.) Центром масс системы материальных точек называется точка, положение которой в выбранной системе отсчёта определяет радиус-вектор

,         (4.1)

где  – радиус-векторы частиц входящих в систему (см. рис. 4.1). В частности, такими частицами (МТ) могут быть и отдельные элементы, на которые можно разбить твёрдое тело. Массу таких элементов мы специально обозначаем ∆mi *). Договоримся здесь и далее придерживаться такой системы обозначений, а обозначение массы m оставим только для случая рассмотрения движения одной единственной частицы или общей массы системы. Нетрудно сообразить, что сумма, стоящая в знаменателе, как раз и равна этой величине. Добавим, что приведённой векторной записи (4.1) в общем случае соответствуют три скалярные – для отдельных координат центра масс:

, , .      (4.1,а)

Теперь можно начать разговор об особенностях определённой таким образом точки, шаг за шагом доказывая, в чём польза от введения этого понятия. Для начала нам понадобится напомнить ещё одно – куда более привычное определение.  

•  (Опр.) Импульсом системы материальных точек называется сумма импульсов отдельных её частей

         (4.2)

Проведём нехитрые математические операции: массу из знаменателя в равенстве (4.1) «отправим» сомножителем «налево» и продифференцируем равенство по времени. Легко обнаружить, что то, что получится справа, в точности соответствует определению импульса системы, а в левой части – произведение массы системы на скорость центра масс! Вот и первый результат, кажущийся, в силу своей привычности, просто тривиальным:

.         (4.3)

Несмотря на это сформулируем его ещё раз словами:

•  Импульс системы материальных точек равен произведению её массы на скорость центра масс

Этот результат справедлив, конечно, и для твёрдого тела – см. рис. 4.2. Докажем теперь так называемую «теорему о движении центра масс». Формулировка, однако, последует в конце . Опираться при этом будем на рисунок, который нам ещё не раз предстоит использовать в дальнейшем – рис. 4.3. На нём символически обозначены отдельные элементы системы – частицы с массами ∆mi. Силы, с которыми частицы взаимодействуют друг с другом будем называть «внутренними» и обозначать . На частицы могут также действовать и тела, не включённые нами в систему. Соответствующие силы будем называть «внешними» и обозначать , имея в виду, что это уже равнодействующие всех внешних сил, действующих на каждую данную частицу (i).

После такого долгого вступления напишем для каждой частицы системы уравнения движения (второй закон Ньютона) относительно, конечно же, некоторой ИСО:  

*)

Запишем то же самое более компактно:

и просуммируем теперь все левые и все правые части уравнений. Прежде всего, отметим, что в правой части возникнут пары сил, равных и противоположно направленных друг другу на основании 3-го закона Ньютона: . Ясно, что их суммирование даст нулевой результат и в правой части останется лишь сумма всех внешних сил .

Сумма слева равна произведению массы системы на ускорение центра масс! Убедиться в этом можно дважды продифференцировав равенство (4.1) для радиус-вектора центра масс:

 .

Вот теперь пришло время сформулировать утверждение теоремы.

•  Центр масс системы материальных точек (/ТТ) движется так же, как и материальная точка массой m под действием тех же внешних сил, что действуют на систему. То есть

Если нам известны начальные условия и силы, действующие на твёрдое тело, то мы можем написать закон движения его центра масс. А это уже немало. При поступательном движении все точки твёрдого тела, как мы знаем, движутся одинаково. Поэтому и вопрос о таком движении мы можем считать уже решённым!

4.2. Дополнительные понятия

Итак, для анализа поступательного движения твёрдого тела и материальной точки, вполне достаточно привычных со школы понятий сила, масса, импульс. Если же мы хотим продвинуться в понимании закономерностей движений более сложных – вращательного, плоского, …, то этих понятий уже мало. Их недостаточно даже для выяснения условий покоя (вспомните раздел школьного курса «статика»). Простые опыты демонстрируют, что, оказывается, значение имеют не только сами силы, но и точки их приложения. Не только масса тела, но и то, как она распределена по отношению к возможным осям вращения. Уточним эти новые дополнительные понятия.

•   (Опр.) Моментом силы относительно некоторой точки О называется векторное произведение радиус-вектора  проведённого из точки О в точку приложения силы:  

         (4.4)

Модуль момента силы, как и положено модулю любого векторного произведения, равен произведению модулей векторов на синус угла между ними: . Нетрудно видеть (см. рис. 4.4), что эта величина равна произведению модуля силы F на так называемое «плечо» этой силы d:  Fd.

•  (Опр.) Моментом импульса материальной точки mi относительно точки О называется векторное произведение радиус-вектора проведённого из точки О к материальной точке:

           (4.5)

Аналогично моменту силы относительно модуля момента импульса можно сказать, что эта величина равна произведению модуля силы на плечо соответствующего момента.

•   (Опр.) Моментом импульса твёрдого тела (системы МТ) относительно точки О называется сумма моментов импульса отдельных элементов твёрдого тела относительно этой же точки:  

        (4.6)

Заметим, что если специально не оговорено нечто иное, то под моментами сил и импульса имеются в виду именно векторные величины! Это моменты относительно точки!

Конечно, для каждого из этих векторов ,  и  можно говорить и о проекциях на ту или иную ось. Часто мы будем называть такие проекции «моментом относительно оси» или кратко – «осевым моментом». Особенно это оказывается важно при движении с сохраняющей ориентацию в пространстве (например, закреплённой) осью вращения Z. Соответствующие величины Nz, Miz и Mz – это, очевидно, уже скаляры.

4.3. «Уравнение моментов»

а) Для одной частицы (материальной точки)

Рассмотрим движение частицы с номером «i»*) в некоторой инерциальной системе отсчёта с началом в точке О. По определению момент импульса этой частицы равен . Если взять производную от левой и правой части этого равенства, получим:

Первое слагаемое в правой части равно нулю, поскольку  – это, конечно же, скорость частицы , а векторное произведение двух сонаправленных векторов всегда равно нулю. Во втором слагаемом несложно углядеть величину, равную моменту силы , действующей на «i-ю» частицу. Ведь , а  по определению момента силы. Таким образом, мы приходим к равенству

•       (4.7)

Оно и называется «уравнением моментов»: Скорость изменения момента импульса частицы равна моменту силы, действующей на эту частицу.

Конечно же оба момента должны рассчитываться относительно одной и той же точки О неподвижной в данной инерциальной системе отсчёта.

б) Для системы материальных точек и твёрдого тела

Вновь используем рисунок 4.3. Напомним, что на нём представлена система материальных точек – частиц с массами ∆mi,*) взаимодействующих друг с другом с силами , а также находящихся под действием внешних сил . Для каждой частицы системы мы вправе написать «своё» уравнение моментов:  

Обозначение  используется здесь, конечно же, для суммарного момента внешних сил, действующих на i-ю частицу системы. Просуммируем все левые и правые части уравнений. В правой части возникнут пары моментов сил . Они соответствуют внутренним силам равным и противоположно направленным друг другу по 3-му закону Ньютона. Рисунок 4.5 иллюстрирует равенство плеча таких сил, а значит и позволяет утверждать, что . Суммирование всех подобных слагаемых в результате даёт ноль. В правой части останется лишь сумма моментов всех внешних сил .

Левую часть можно записать как производную от суммы моментов импульса всех частиц составляющих систему. Т.е. как раз того, что является моментом импульса системы материальных точек !

    (4.8)

Иначе говоря, теперь можно утверждать, что

•  Скорость изменения момента импульса системы материальных точек равна сумме моментов внешних сил, действующих на все частицы этой системы

Ясно, что это уравнение моментов справедливо также и для случая движения твёрдого тела.

•  Замечания

1.  Надо помнить, что уравнение моментов, как и в случае одной материальной точки, справедливо, прежде всего, в инерциальной системе отсчёта. Есть, однако, особый случай, когда равенство (4.8) выполняется и в неинерциальной системе отсчёта. Это так называемая «система центра масс», о которой будет сказано ниже.
2.  Векторное равенство (4.8), записанное относительно точки О, можно спроецировать на некоторую ось Z, содержащую эту точку. Мы получим тогда скалярную форму записи уравнения моментов:

,           (4.8,а)

которая оказывается особенно плодотворной при анализе динамики движения твёрдых тел.

4.4. Вращение ТТ относительно закреплённой оси. Момент инерции

Вооружившись важными сведениями о поведении особой точки – центра масс системы и уравнением моментов, приступим к анализу движения твёрдого тела в наиболее часто встречающихся ситуациях. Самым простым представляется вращение ТТ вокруг неподвижной оси. Например, неизменность пространственного положения реальной оси OZ, можно обеспечить, закрепив её в подшипниках. Будем опираться в этом случае на скалярную форму уравнения моментов .

4.4.1. Осевой момент импульса. «Подсчитаем» момент импульса ТТ относительно оси – осевой момент Mz. Как обычно, разобъём твёрдое тело на малые элементы с массами , положение которых указывают радиус-векторы  – см. рис. 4.6. Мы помним, что при вращательном движении все точки тела характеризуются одним и тем же вектором угловой скорости . Этот вектор обязательно направлен вдоль оси вращения Z. Векторы линейной скорости и импульсов  этих элементов перпендикулярны как оси Z, так и векторам .

Проекция момента импульса каждого элемента  на ось равна произведению его модуля Mi на косинус угла  между вектором и осью. Запишем цепочку простых преобразований для этой величины:   

vi.

Здесь произведение  есть расстояние от элемента  до оси вращения Ri. Теперь, чтобы найти осевой момент импульса всего тела, просуммируем по всем его элементам:

.

Обозначим Iz выделенную квадратными скобками конструкцию. Она играет важную роль при анализе всякого движения твёрдого тела кроме поступательного.

•  (Опр.) Моментом инерции твёрдого тела относительно оси Z называется сумма произведений масс всех элементов тела на квадраты их расстояний до оси:

     (4.10)

Момент инерции – скалярная величина! Элементы ТТ предполагаются нами настолько малыми по геометрическим размерам, чтобы расстояние Ri от любой точки элемента до оси можно было считать одинаковым. С математической точки зрения это означает необходимость предельного перехода к бесконечно малым величинам   и от суммы к интегралу:

      (4.10,а)

Рассчитывать моменты инерции конкретных тел мы будем учиться на семинарских и практических занятиях. Здесь же  заметим, что процедура, строго говоря, предполагает вычисление объёмного интеграла. Однако в большинстве важных случаев он может быть сведён к весьма несложному определённому интегралу.   

Итак, мы видим, что при вращении вокруг закреплённой оси существует довольно простая взаимосвязь осевого момента импульса твёрдого тела с его угловой скоростью:

    (4.11)

Уже в этом соотношении можно подглядеть простую аналогию с равенством (4.3): импульс тела равен произведению его массы на скорость, а осевой момент импульса – произведению момента инерции на угловую скорость. Аналогия этим не исчерпывается!

Скорость изменения импульса тела равна произведению массы тела на его ускорение: . Но ведь, исходя из только что полученного результата для осевого момента импульса (4.11), легко получить:

.

То есть скорость изменения осевого момента импульса равна произведению момента инерции ТТ на его угловое ускорение. Момент инерции при вращательном движении играет роль аналогичную массе тела при его поступательном движении! Момент инерции играет роль меры инертности тела по отношению к вращению.

Из определения момента инерции видно, что он зависит не только от массы тела как таковой, но от распределения этой массы относительно оси Z. Момент инерции тем больше, чем большая часть массы тела удалена от этой оси.

4.4.2. Основное уравнение вращательного движения

Продолжим искать аналогии. Коль скоро мы упростили запись левой части уравнения моментов, вспомним и о его правой части. Запишем:

Iz = Nzвнешн    (4.12)

•  Такое равенство носит название основного уравнения динамики вращательного движения ТТ.

Аналогия с уравнением движения (вторым законом Ньютона) здесь опять налицо: вместо «массы на ускорение» – «момент инерции на угловое ускорение», а вместо суммы внешних сил в правой части – сумма моментов внешних сил!

Заметим, что аналогия всё же не полная. Надо помнить, что равенства  и  – векторные, а  и  – скалярные. При этом сама масса тела m величина скалярная, не зависящая от направления, тогда как момент инерции Iz существенно зависит от выбора оси Z – недаром его называют осевым моментом инерции*).

4.4.3. Теорема Гюйгенса-Штейнера

На семинарских занятиях предполагается рассчитывать моменты инерции в простейших ситуациях. Например, для однородного диска (или цилиндра) относительно оси перпендикулярной его плоскости и проходящей через середину. Здесь действовать можно строго по определению и результат не заставит себя ждать: . Стоит, однако, всего лишь выбрать ось проходящей не через центр, а, например, через край диска, и вычисления кардинально усложнятся (см. рис. 4.7,а). На помощь приходит в таких случаях специальная теорема – теорема Гюйгенса–Штейнера («теорема о параллельных осях»):

•  Момент инерции твёрдого тела относительно произвольной оси (Iz) равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через его центр масс (Ic), и произведения массы тела на квадрат расстояния (b) между осями:

 Iz = Ic + mb2     (4.13)

Прежде всего, запишем результат, который даёт применение теоремы для вышеприведённого примера с диском:  Iz . Вот как просто! А теперь докажем теорему*).

На рис. 4.7,б представлена проекция тела произвольной формы в плоскости перпендикулярной оси Z. Вектор  проведён от неё к параллельной оси Zc, проходящей через центр масс тела. Тело разбито на малые элементы с массами ∆mi, положение которых относительно осей задают векторы  и  соответственно. Из рисунка видно, что . Момент инерции относительно оси Z по определению равен:

.    (*)

Во второй сумме здесь появился «скалярный квадрат» вектора , т.е. скалярное произведение вектора самого на себя. Напишем, чему он равен:. Сумма в правой части равенства (*) распадается на три части, причём две из них имеют очевидный смысл:  и .

Третья же  равна нулю. Ведь сумма  равна произведению массы тела на радиус-вектор задающий положение центра масс тела относительно самого центра масс (см. определение центра масс). Значит это просто нулевой вектор!

Всё это и доказывает утверждение теоремы.

4.5. Динамика плоского движения твёрдого тела. «Система центра масс»

Теперь мы можем перейти к анализу более сложного и, вместе с тем, очень важного с практической точки зрения случая движения твёрдого тела – это плоское движение. Даже в школьном курсе в задачах нет-нет да появлялись «шарики, скатывающиеся с наклонной плоскости». Поскольку речь шла о движении материальных точек, вращательной составляющей такого движения просто пренебрегали. Мы же можем теперь разобраться с этим поподробнее.

Напомним, что с кинематической точки зрения плоское движение можно представить как сумму поступательного и вращательного. Запишем, прежде всего, уравнение, позволяющее определиться с поступательной составляющей движения. Для этого, как мы помним, необходимо выбрать инерциальную систему отсчёта. Ускорение центра масс тела относительно этой системы позволяет найти равенство, соответствующее второму закону Ньютона:

.     (1)

Мы знаем, кроме того, что в этой же системе отсчёта (см. рис. 4.7) выполняется и уравнение моментов , а значит и его следствие . На практике, однако,  иметь дело с последним уравнением, которое внешне выглядит весьма просто, крайне неудобно. Обратите внимание хотя бы на то, что момент инерции тела относительно неподвижной оси  Z  всё время меняется. Оказывается можно обойти эти трудности, используя особую систему отсчёта, связанную с центром масс самого тела – так называемую «систему центра масс». Такая СО движется вместе с телом (возможно ускоренно) и может быть и не инерциальной! Можно доказать*), однако, что уравнение моментов в этой системе также справедливо в знакомой нам форме. А вот момент инерции Izс в такой системе – уже величина постоянная.

Если добавить ещё рассчитанное, исходя из формы и размеров тела, выражение для его момента инерции Iz и знание кинематики, то система уравнений, описывающих плоское движение, приобретает замкнутый вид:     

Ещё раз обратим внимание, что первое равенство – векторное (ему соответствуют несколько скалярных), а второе уравнение – «основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела» записано относительно оси Zс (см. рис. 4.8) жёстко связанной с центром масс тела. Приведём хрестоматийный пример.

Пример. Цилиндр скатывается по наклонной плоскости. Выясним, от чего зависит ускорение его центра масс. Рассмотрим также вопрос об условиях качения без проскальзывания (см. рис. 4.9).

С учётом изображённых на рисунке сил, действующих на цилиндр, запишем конкретные уравнения системы  вида (**):

,  (1)

,  (2)

.   (3)

,   (4)

.   (5)

Решение этой системы позволяет ответить практически на все вопросы, связанные с данным движением. Так, поступательное движение определено ускорением центра масс цилиндра:

.

Напомним, что соскальзывание без трения происходит с ускорением . Появившийся коэффициент 2/3 в нашем ответе, и – это «цена» вращательного движения тела при качении! Эта «цена» зависит от момента инерции тела, т.е. от распределения его массы относительно оси Zс. Например, сплошной цилиндр  скатывается быстрее полого  независимо от массы и радиуса !

Что касается линейной скорости центра масс и угловой скорости качения, то они, очевидно, растут по линейному закону:

     vc  .

•  Замечание

Мы рассмотрели случай «скатывания» цилиндра. Важно помнить, что если проскальзывание отсутствует, то мы имеем дело с силой трения покоя! Условие отсутствия проскальзывания Fтр накладывает определённые ограничения на соотношение коэффициента трения  и угла наклона плоскости . Разберитесь для тренировки с этим вопросом самостоятельно.

Мы же добавим, что при наличии проскальзывания исчезает кинематическая связь ускорений , однако, добавляется уравнение для силы трения скольжения  . И тогда для линейного и углового ускорений несложно получить два самостоятельных результата:

;  .

§ 5. Законы сохранения в механике

5.1. Закон сохранения импульса

Как мы уже отмечали, все полученные в прошлом параграфе результаты справедливы как для «систем материальных точек», так и для движения твёрдого тела. Воспроизведём опять рисунок 4.3, и запишем для всех частиц систему уравнений 2-го закона Ньютона, справедливых в некоторой инерциальной системе отсчёта.

Здесь мы использовали «ньютонову» формулировку закона с использованием понятия импульса материальных точек (частиц). Просуммируем все эти уравнения и получим:

.

Первая сумма в правой части равна нулю. Ведь для любой пары взаимодействующих друг с другом частиц по третьему закону Ньютона силы равны и противоположно направлены ! В левой части можно поменять знаки суммирования и дифференцирования, а значит, получим скорость изменения импульса всей системы. Итак, как и для одной частицы, справедливо:

.    (5.1)

Теперь можно сформулировать закон сохранения импульса для системы материальных точек (а значит и для ТТ).

•  Если сумма всех внешних сил, действующих на тела системы равна нулю, то импульс системы  не меняется с течением времени (т.е. сохраняется)

Запишем это утверждение компактно:

Если     то .   (5.2)

•  Сделаем несколько важных замечаний

1.  Как видим, мы не используем никаких дополнительных терминов «изолированная» или «замкнутая система». Мы формулируем здесь и для других законов сохранения конкретные ограничения на внешние силы. Т.е. на силы, которые действуют со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему.
2.  Конечно, надо помнить и об использовании инерциальной СО.
3.  Требование  является весьма «жёстким», редко выполняющимся на практике. Если удаётся найти такое направление, вдоль которого равна нулю сумма проекций внешних сил, то можно утверждать, что сохраняется суммарный импульс системы вдоль этого направления:

  Если   то    (5.2,а)

1.  А вот происхождение внутренних сил  может быть самое разное. Нет никаких ограничений на их характер – это могут быть, в том числе, различные силы трения, и силы, возникающие при неупругих деформациях тел!
2.  Закон сохранения импульса имеет те же самые границы применимости, что и второй и третий законы Ньютона. 

5.2. Реактивное движение. Уравнение Мещерского 

Вспомним теорему о центре масс: из равенства  следует, что в отсутствии внешних сил (точнее при условии ), центр масс системы покоится или движется равномерно. Никакие внутренние взаимодействия не способны сообщить ускорение системе как целому! А вот заставить двигаться с ускорением часть системы можно за счёт движения другой её части в противоположном направлении. В этом и состоит принцип реактивного движения – в его основе «эффект отдачи».

Найдём реактивную силу. Пусть ракета движется в космосе вдали от других тел – см. рис. 5.1. В некоторый момент времени t масса ракеты равна m, а её скорость относительно некоторой инерциальной системы отсчёта равна . Спустя некоторый малый промежуток времени масса ракеты уменьшится на величину за счёт выброса продуктов сгорания топлива реактивного двигателя ракеты. Пусть их скорость равна  относительно ракеты. Запишем равенство, соответствующее закону сохранения импульса для системы «ракета – продукты сгорания»:

.

Здесь  – скорость «выброса» продуктов сгорания из сопла двигателя ракеты в инерциальной системе отсчёта (по закону сложения скоростей). Раскроем скобки в правой части и приведём подобные. Будем пренебрегать, кроме того, слагаемым вида  – бесконечно малой величиной второго порядка малости. Получим в результате: . Поделим это равенство на интервал времени dt и запишем окончательно уравнение движения ракеты:

.     (5.3)

Это и есть уравнение Мещерского. В нём использовано обозначение  для скорости расходования продуктов сгорания топлива.

Мы знаем, что произведение массы на ускорение всегда должно равняться действующей силе. В случае ракеты эта сила равна произведению  и называется «реактивной силой»:

.

Знак «–» указывает на то, что эта сила направлена в сторону, противоположную направлению выброса продуктов сгорания. В общем случае реактивная сила может как разгонять так и тормозить ракету. Вблизи космических тел на ракету помимо реактивной силы действуют, конечно же, и силы тяготения, а на этапе её разгона в атмосфере – ещё и сила сопротивления воздуха. Чтобы учесть это, достаточно всего лишь добавить соответствующие силы () в правую часть уравнения Мещерского.

5.3. Закон сохранения момента импульса

Мы знаем, что для систем материальных точек и при движении твёрдого тела выполняется «уравнение моментов»:

.

Поэтому мы можем сформулировать и ещё один закон сохранения:

•  Если сумма моментов всех внешних сил, действующих на тела системы равна нулю, то момент импульс системы  не меняется с течением времени (т.е. сохраняется)

Кратко:

Если     то .  (5.4)

•  Замечания

1. Мы должны помнить, что как и уравнение моментов импульс сохраняется в инерциальной системе отсчёта.

2. Требование  опять-таки может оказаться слишком «жёстким». Если сумма проекций моментов внешних сил на некоторое направление, например, закреплённую ось вращения Z, то сохраняется суммарный импульс системы только для этого направления:

  Если   то .   (5.4,а)

В частности, для систем с переменным моментом инерции выполняется равенство:

   (5.4,б)

справедливость которого обычно ярко иллюстрируется в классических демонстрациях с использованием «скамьи Жуковского».

5.4. Работа силы

Поищем другие общие свойства «ньютоновых» сил, которые приведут нас к ещё одному закону сохранения – закону сохранения механической энергии. На пути к нему нам необходимо вспомнить ряд важных понятий: работа силы, механическая энергия (кинетическая и потенциальная), консервативные и неконсервативные силы.

Если сила действует на движущееся тело, то говорят, что сила совершает работу. Исключением является случай, когда сила перпендикулярна вектору скорости тела. Величина силы, взаимная ориентация векторов силы и направления движения могут изменяться в процессе движения.

Для простейшего случая (см. рис. 5.2) прямолинейного движения под действием постоянной силы – не меняется ни сила , ни угол  между силой и скоростью – определение для работы известно из школьного курса 9-го класса:

A = F·S·cos .   (5.5)

Здесь буквой S обозначен модуль перемещения  для лучшей узнаваемости определения. Видно, что работа – величина скалярная. Если угол  острый, то работа положительна, если тупой – работа данной силы отрицательна. В последнем случае говорят, что работа совершается против силы. При , несмотря на действие силы и наличие перемещения, работа не совершается.

Усложним задачу – пусть тело движется теперь по произвольной траектории “L” (см. рис. 5.3), а сила может изменяться как по величине, так и по направлению. Тогда, чтобы найти работу на конечном участке 1–2, необходимо разбить траекторию на малые участки перемещений , на которых силу  можно считать постоянной, вычислить работу  на этих малых участках, используя равенство (5.5), а затем сложить все элементарные работы:

.   (5.6)

Здесь i – номер малого участка траектории. После обычного предельного перехода с заменами: , , , , аналитический путь вычисления такой суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых ведет к интегрированию. Уточним:

•  (Опр.) Элементарной работой  называется произведение проекции силы на направление малого перемещения точки приложения силы  на  модуль этого перемещения:

   (5.7)

Нетрудно узнать в этой «конструкции» скалярное произведение векторов   и  на отдельных  участках траектории. Сумма элементарных работ (а это и есть интеграл) – даёт полную работу.

•  (Опр.) Работа на конечном участке траектории вычисляется как сумма элементарных работ:

   (5.6,а)

Итак, и в общем случае работа силы – величина скалярная, аддитивная и существенно зависит от взаимной ориентации векторов силы и скорости. В частности работа силы перпендикулярной скорости, как мы уже отмечали, всегда равна нулю. Такой случай реализуется, например, при движении по окружности под действием центростремительной силы.

•  Замечания

1) Надо помнить, что работа зависит от выбора системы отсчёта !

2) При анализе движения твёрдого тела полезно уметь вычислять работу при его вращении (см. рис. 5.4). Проведём очевидные преобразования для элементарной работы при повороте тела на малый угол :

.

Теперь, используя правило перестановки в смешанном произведении векторов, получим:

.

Работу при повороте на конечный угол, как обычно, можно определить суммированием элементарных работ , т.е. интегрированием:

.      (5.8)

3) Быстроту совершения работы характеризует мощность силы.

•  (Опр.) Мощность силы равна отношению работы , совершаемой за малый интервал времени dt к величине этого интервала:

    (5.9)

Поскольку , а  v , легко видеть, что мощность силы связана со скоростью движения МТ простым соотношением:

W = F·v·cos  или   .   (5.10)

5.5. Механическая энергия 

С понятием энергии мы сталкиваемся уже при рассмотрении механического движения, хотя оно имеет и более широкий смысл, чем используется обычно в механике. Во многих случаях физические системы, над которыми совершают работу, могут эту работу запасать и при определенных условиях сами совершать такую же работу над другими телами или системами. Вот этот запас работы и называют механической энергией.

•  (Опр.) Механическая энергия есть физическая величина, измеряемая запасённой работой, которую способна совершить система тел

Энергией обладает сжатая или растянутая пружина, притягивающиеся и отталкивающиеся тела. Энергией обладают также движущиеся тела. То есть, запас работы связан как с взаимодействием тел, так и с их движением. Поэтому различают два вида механической энергии – потенциальную и кинетическую.

5.6. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии 

Чтобы затормозить частицу, движущуюся со скоростью v на неё в течении некоторого времени должна действовать сила. Это сила со стороны других тел, тормозящих частицу. Сила совершает работу, а частица, в свою очередь, способна совершить такую же по величине (с учётом 3-го закона Ньютона) работу над телами, тормозящими частицу. Нетрудно сосчитать эту работу – она равна  (проделайте это самостоятельно). Эту величину и принято по определению называть кинетической энергией материальной точки. Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетических энергий частиц, входящих в систему:

•  (Опр.) Кинетическая энергия системы материальных точек равна

     (5.11)

•  Замечания

1) Кинетическая энергия, как и работа, зависит от выбора системы отсчёта!

2) Кинетическая энергия величина аддитивная, скалярная и всегда положительная.

Докажем теперь так называемую «теорему о кинетической энергии». Пусть материальная точка перемещается из точки 1 в точку 2 по произвольной траектории “L” (см. рис. 5.5). Найдём элементарную работу действующей на неё силы  на малом перемещении , выполняя цепочку несложных преобразований:

 mvv.

Легко проверить дифференцированием, что полученный результат есть не что иное, как дифференциал (малое приращение) кинетической энергии частицы: mvv .

Теперь можно просуммировать элементарные работы на всех малых участках траектории:

.

Вспомним, что как работа, так и кинетическая энергия обладают свойством аддитивности (т.е. соответствующая величина для всей система складывается из её составляющих) и сформулируем, наконец, утверждение теоремы, которое, по сути, уже доказано:

•  Изменение кинетической энергии системы равно работе сил, действующих на тела системы

     (5.12)

•  Замечание

Важно помнить, что речь идёт здесь о суммарной работе А12 равнодействующих всех приложенных к каждому телу сил !

5.7. Кинетическая энергия твёрдого тела

Рассмотрим 3 важнейших частных случая движения твёрдого тела: поступательное, вращательное и плоское движения.

а) При поступательном движении в любой момент времени все элементы тела ∆mi обладают одной и той же линейной скоростью – той же, с которой движется его центр масс. Поэтому кинетическая энергия поступательно движущегося твёрдого тела равна

v,    (5.13)

где m – масса тела, а vc – скорость его центра масс.

б) При вращательном движении в любой момент времени у всех элементов тела  ∆mi  одинаковы угловые скорости. Поэтому

  . (5.14)

в) Плоское движение можно представить, как совокупность одновременно происходящих поступательного и вращательного. Чтобы найти кинетическую энергию такого движения, удобно вспомнить о понятии мгновенной оси вращения: в каждый момент времени движение представляет собой лишь поворот относительно такой оси, а значит . Момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения Izм по теореме Штейнера можно связать с моментом инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела Izc :

,

где R – расстояние между этими параллельными осями. Если учесть теперь, что линейная скорость центра масс тела связана с угловой скоростью вращения равенством vc = R, нетрудно получить интересующий нас результат:

  . (5.15)

Мы поменяли местами слагаемые в итоговой записи, поскольку обычно говорят, что кинетическая энергия при плоском движении твёрдого тела равна сумме энергии поступательного движения со скоростью центра масс и вращения относительно оси, проходящей через центр масс (и перпендикулярной плоскости качения).

5.8. Консервативные и неконсервативные силы

Прежде чем перейти к понятию потенциальной энергии нам придётся вспомнить, что по отношению к совершаемой работе все силы делятся на два класса.

•  (Опр.) Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется лишь начальным и конечным положением тела называются консервативными   

Нетрудно доказать, что для таких сил работа по замкнутой траектории равно нулю (сделайте это самостоятельно).

Силы, не обладающие таким свойством, являются неконсервативными. К последним относятся все различные виды сил трения, реактивная сила, сила, действующая на заряженную частицу со стороны вихревого электрического поля …

К силам консервативным относятся гравитационные, упругие и «кулоновские» силы. Консервативными являются также внутриядерные и межмолекулярные силы. Важно помнить, однако, что «силовой центр»*) в вышеперечисленных случаях должен покоиться в инерциальной системе отсчёта**). В этом мы убедимся сейчас, доказав специальную теорему о консервативности центральных сил.

Уточним, прежде всего, что такое центральная сила. Это означает, что в любой точке пространства на частицу действует сила, направленная к одной и той же неподвижной точке пространства О или от неё (радиально, т.е. вдоль прямой, содержащей частицу и точку О – см. рис. 5.6). Точка О называется «силовым центром». Величина силы зависит только от расстояния частицы до силового центра. Формализовать эти свойства центральной силы можно следующим образом: . Здесь  – проекция силы на направление радиус-вектора , проведённого из силового центра к частице m,  – единичный вектор, задающий радиальное направление. Говорят, что частицы находятся в центральном силовом поле или в поле центральных сил. Примерами поля центральных сил являются гравитационные и «кулоновские» силы.

Рассчитаем теперь работу центральной силы при перемещении частицы m из точки 1 в точку 2 вдоль траектории “L”:

.

Криволинейный интеграл в начале приведённой цепочки равенств это весьма непростая математическая «конструкция». Однако в случае поля центральной силы его удаётся, как мы видим, свести к обычному определённому интегралу! Такой интеграл, как известно, равен разности значений первообразных Ф(r) скалярной функции :

.

Полученный результат не зависит от формы траектории, что и подтверждает утверждение теоремы – центральные силы консервативны.

5.9. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия – энергия взаимодействия тел. Эта энергия зависит только от взаимного расположения тел, т.е. только от их координат U(x,y,z)*). Поэтому понятие потенциальной энергии имеет смысл не для  всех сил, а только для таких, для которых работа зависит лишь от положения (координат) тел системы, т.е. для консервативных сил.   

•   (Опр.) Потенциальная энергия измеряется работой, которую тела системы способны совершить при изменении своей конфигурации (взаимного расположения её частей)   

Важно  понимать, что потенциальная энергия является такой функцией координат U = f(x,y,z), что работа консервативных сил  равна разности значений этой функции в начальном и конечном состоянии системы (конфигурации системы), т.е.  = U1 – U2 = . Работа положительна, если U2 < U1  ( < 0). Иначе говоря, работа осуществляется за счёт убыли потенциальной энергии системы.

Как найти вид функции U(x,y,z) конкретной консервативной силы ? Прежде всего, необходимо договориться о так называемой нормировке. Пусть в некоторой точке пространства P0(x0,y0,z0*)) потенциальная энергия равна нулю: U(x0,y0,z0) = 0. Тогда для произвольного положения частиц системы P(x,y,z) потенциальная энергия равна:

•  (Опр.) ,  а значит .  (5.16)

Для иллюстрации данного определения понятия потенциальной энергии рассмотрим известные нам виды сил, действующих в механических системах.

Примеры

1.  Гравитационное взаимодействие (силы тяготения). Пусть материальная точка m находится в гравитационном поле некоторой планеты M (например, Земли). Это случай центральной, а значит консервативной силы. Она подчиняется закону Всемирного тяготения и для описания состояния системы достаточно одной переменной – расстояния между телами r. Договоримся считать потенциальную энергию равной нулю при бесконечно большом расстоянии между телами:  (условие нормировки). Тогда:

.

Итак: .   при  r .  (5.17)

Как видим, потенциальная энергия гравитационного взаимодействия величина отрицательная. Это соответствует притяжению тел!

2. Электростатическое взаимодействие («кулоновские» силы). Потенциальную энергию системы двух точечных заряженных частиц q1 и q2 можно найти совершенно аналогично. Пусть одна из них неподвижна в начале некоторой инерциальной системы отсчёта. Тогда при удалении другой на бесконечно большое расстояние (туда, где Ue будем полагать равной нулю) «кулоновская» сила совершит работу:

.

Итак  .  при  r .   (5.18)

Знак этой энергии зависит, очевидно, от того одноимёнными или разноимёнными являются эти заряды.

3. Потенциальную энергию при упругой деформации тел определим для случая спиральной пружины. Пусть один конец её шарнирно закреплён в точке О, чтобы пружина могла поворачиваться. Тогда на материальную точку, закреплённую на противоположном конце пружины, действует центральная сила . Здесь r0 – координата МТ в отсутствии деформации пружины. Потенциальную энергию естественно считать равной нулю как раз при r = r0. Тогда:

.

Итак  .  Uупр = 0   при    x = 0. (5.19)

В последнем равенстве мы использовали обозначение x = r – r0 для величины деформации пружины ради лучшей «узнаваемости» этого известного со школы выражения потенциальной энергии деформированной пружины.  

•  Замечания

1.  Говорят, что потенциальная энергия «определена с точностью до произвольной постоянной». Это означает лишь, что её абсолютное значение зависит от способа нормировки. А вот изменение потенциальной энергии при изменении положения тел системы от нормировки не зависит. Но ведь и все физически значимые величины, проявляющиеся на опыте, определяются именно изменением энергии, а не её абсолютным значением!
2.  Заметим также, что в хорошо знакомом случае «однородного» поля тяготения Земли (U = mgh) лучше говорить не о потенциальной энергии "тела, поднятого над Землей", а о потенциальной энергии системы «тело – Земля», либо о потенциальной энергии тела в поле тяготения Земли.
3.  Напомним, что потенциальная энергия имеет смысл только для консервативных сил, поэтому к силе трения это понятие не применимо!

5.10. Связь силы и потенциальной энергии

Вопрос, обозначенный в заголовке этого параграфа предполагает, по сути, возможность решения двух задач:

1.  Как найти потенциальную энергию, если известен вид действующих консервативных сил ?
2.  Как, зная функцию  для потенциальной энергии, определить силу?

В предыдущем параграфе мы подробно обсудили как раз пути решения первой из этих задач. Второй вопрос является обратной задачей по отношению к первой. Перейдём теперь к его рассмотрению.

Мы знаем, что работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии системы: . Поэтому для малого перемещения  элементарную работу можно записать двумя способами:

1.   (из определения потенциальной энергии)
   1.  . (определение элементарной работы)

Здесь dU – бесконечно малое приращение потенциальной энергии. Приравняв правые части, получаем: . Скалярное произведение и полный дифференциал функции  можно переписать иначе:

.   (*)

Здесь произошла некоторая замена в обозначениях дифференциалов и, соответственно, производных: вместо привычных «, …» появились «, …». Таким способом в математике принято обозначать так называемые «частные» производные. Они необходимы, когда мы имеем дело с функцией нескольких переменных, а не одной единственной. Если вы вспомните математическое определение производной функции , то вам станет ясно, что в случае  функции нескольких переменных (x, y, z – в нашем случае), определяя предел, одной из переменных сообщается бесконечно малое приращение, в то время как остальные переменные фиксируются (считаются константами). Об этом и сигнализирует особое обозначение таких производных.

Сейчас нам придётся ещё немного потрудиться в освоении новых математических обозначений. Равенство (*) говорит о том, что составляющие вектора силы в любой точке пространства равны с противоположным знаком частным производным по координатам (в нашем случае, в декартовой системе координат) от потенциальной энергии:  

.   (5.20)

А значит, сам вектор   можно задать таким способом:

.   (5.20,а)

Математики используют в таких случаях специальное компактное обозначение:

    (5.20,б)

и называют эту величину «градиент» (от лат. gradiens – рост)*). В чём же её смысл?

Пусть заданы значения потенциальной энергии во всех точках пространства –  («поле энергий»). В этом поле можно выделить геометрическое место точек, в которых потенциальная энергия имеет одно и то же значение. Эти точки образуют так называемую «эквипотенциальную поверхность». При перемещении частицы вдоль эквипотенциальной поверхности её энергия не меняется и работа не совершается. На рисунке 5.7 изображены сечения нескольких поверхностей с разными значениями потенциальной энергии. Пусть мы хотим найти величину силы, действующей на частицу, в точке О. Проведём ось Х, направленную произвольно. В соответствии с (5.20)

Аналогично и для оси Y: , а для трёхмерного случая и . Модуль силы находим при этом, как обычно, . А как направлен вектор силы? Поскольку при перемещении частицы вдоль эквипотенциальной поверхности работа не совершается, сила направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности. Удобно направить так же и одну из осей, например, ось Х. При этом окажется

Значение модуля силы совпадает в этом случае со значением её нормальной составляющей, т.е.  – это кратчайшее расстояние между поверхностями. Поэтому в направлении нормали изменение потенциальной энергии происходит быстрее всего.

Градиент – вектор, имеющий компоненты  и показывающий направление, в котором быстрее всего растёт потенциальная энергия U в данной области пространства. Сами компоненты вектора градиента дают скорость роста U по координатным направлениям, а вот его модуль определяет скорость в направлении максимального изменения U (в направлении вектора gradU). Таким образом, определяет изменение потенциальной энергии на единицу длины, в направлении наиболее быстрого изменения энергии. Знак «минус» означает при этом, что сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии.

Понятие градиента как производной по направлению довольно широко используется в математике. Можно, например, говорить о градиенте температуры в помещении. Или в случае топографии градиент определяет направление самого крутого подъёма местности, а его модуль – наибольшую «крутизну» (скорость роста высоты) в этом же месте.

5.11. Закон сохранения механической энергии

а) Начнём с простейшего случая – пусть только одна частица (МТ) движется под действием консервативных и неконсервативных сил от точки 1 до точки 2 вдоль траектории “L” (см. рис. 5.8). По теореме о кинетической энергии (см. стр. 69) изменение кинетической энергии  равно работе действующих на частицу сил. Поскольку среди этих сил могут быть консервативные и неконсервативные: . Работа первых равна убыли потенциальной энергии, т.е. . Вот, что мы получим в итоге:

 . Итак:

       (5.21)

В последней записи учтено, что

•  (Опр.) сумму кинетической и потенциальной энергии называют полной механической энергией: = T + U

И мы приходим к выводу, что, если работа неконсервативных сил, действующих на частицу, равна нулю, то полная механическая энергия сохраняется.

б) Рассмотрим теперь систему взаимодействующих друг с другом частиц (МТ и ТТ) во внешних силовых полях. Полезно и здесь иметь в виду рис. 4.3. Сформулируем закон сохранения механической энергии для начала в форме, справедливость которой почти очевидна:

•  А. Если внешние силы на тела системы не действуют, а все внутренние силы консервативны, то полная механическая энергия системы не меняется с течением времени (т.е. сохраняется)

Кратко: Если  1)  (внешних сил НЕТ!) и

 2)  (внутренних неконсервативных сил НЕТ!), то

.

Очевидно, в этой формулировке использованы слишком жёсткие требования к системе. Мы знаем, что механическая энергия определяется не силой как таковой, а совершаемой этой силой работой. Поэтому ограничения можно смягчить в следующей формулировке.

•  Б. Если равна нулю суммарная работа внешних сил, действующих на тела системы, а также равна нулю и работа внутренних неконсервативных сил, то полная механическая энергия системы не меняется с течением времени (т.е. сохраняется)

Кратко:

Если  1)   и

 2) ,  то

.

Мы привели формулировки закона пока без каких-либо обоснований. Внимательный анализ позволяет не только привести такие обоснования, но и ещё больше смягчить ограничения.

Пусть система переходит из состояния 1 в новое состояние 2. При этом каждая частица, входящая в состав этой системы движется вдоль своей траектории “L” и мы можем найти для неё  по теореме о кинетической энергии:

Мы опять умышленно разделили работу сил в правой части на две составляющие. Ведь работа консервативных сил, в отличие от неконсервативных, равна убыли потенциальной энергии (т.е. ). Сложим все равенства и перенесём суммарное изменение потенциальной энергии системы в левую часть. Получим:

.

Ясно, что в левой части записано изменение полной механической энергии системы, а в правой суммарная работа всех неконсервативных сил, действующих на тела системы. Вот теперь можно дать и ещё одну формулировку:  

•   В. Если равна нулю суммарная работа неконсервативных сил, действующих на тела системы, то полная механическая энергия системы не меняется с течением времени (т.е. сохраняется)

Кратко:  Если  ,  то .

Как видим, в этой последней формулировке мы вообще отказались от деления сил на внешние и внутренние. Наш анализ показал, что для сохранения энергии важно лишь отсутствие работы любых неконсервативных сил.

•  Замечания

1.  В вышеприведённом анализе мы, по сути, использовали  «обобщённую» потенциальную энергию системы – она связана с запасом работы не только за счёт внутренних взаимодействий , но и с работой внешних сил , если эти силы консервативны (работа при перемещении тел системы «во внешних силовых полях»).  
2.  Может показаться, что вместо 3-х разных по степени ограничений формулировок стоило бы привести всего одну последнюю – самую «всеохватывающую». Нет! Помимо сугубо методологического значения формулировок А и Б, как раз формулировкой Б и приходится чаще всего пользоваться на практике. Дело в том, что работу внешних сил далеко не всегда удаётся учесть как убыль потенциальной энергии во внешних силовых полях даже, когда эти силы мы привыкли считать консервативными.   

5.12. Итоговые замечания к разделу «Механика»

Мы завершили изучение всех основных законов классической механики. Всё остальное – это их практическое применение к конкретным системам – частные (хотя зачастую и очень важные) случаи. Некоторые из них важны настолько, что при их рассмотрении даже формулируют специальные правила–законы (так называемые «теории ad hoc» – т.е. «по случаю») вроде закона Архимеда, Гука, Бернулли и т.д.

Законы сохранения были представлены нами, по существу, как теоремы классической механики, опираясь на законы Ньютона. Почему же их выделяют в самостоятельные законы? Выделим несколько причин:

 а) Следует иметь в виду, что приведённые «доказательства» – это всего лишь проверка на согласованность с законами Ньютона. В действительности законы сохранения в механике – это частный случай более фундаментальных законов сохранения, которые «работают» даже тогда, когда законы Ньютона в той форме, о которой мы до сих пор говорили, перестают работать. Законы сохранения – самостоятельные законы физики и притом более общие, чем законы классической механики. Например, импульсом обладают не только частицы, но и электромагнитные волны. Энергией также обладают электромагнитные поля, понятие «энергия связи» молекул весьма актуально для химии, а энергия связи ядер и нуклонов – для ядерной физики и физики элементарных частиц. В микромире, где законы Ньютоновой механики не применимы, выполняются, однако, все законы сохранения.

 б) Законы сохранения носят «интегральный» характер. То есть, зная состояние системы в начале процесса, и проконтролировав выполнение определённых ограничений на силы, моменты сил или их работу можно предсказать состояние системы в конце процесса. Детали самого процесса могут быть очень сложными, но прояснять их нет необходимости. Это значительно упрощает поиск решения в ряде практически важных случаев, а зачастую и просто является единственной возможностью получить решение в аналитической форме, не прибегая к использованию численных методов. Таковы случаи различных быстропротекающих процессов – соударения, выстрелы, взрывы, взаимодействия элементарных частиц в ускорителях. Но даже в случаях, когда характер сил не представляет труда для анализа, использование законов сохранения зачастую бывает единственной альтернативой. Например, динамический подход к известной «задаче трёх тел» возможно реализовать лишь с применением численных методов решения.

§ 6. Пример применения основных законов механики – Гироскоп

“Причудлив парадокса путь –

с ним здравый смысл ты позабудь” –

Уильям Гильберт (XVI век)

6.1. Основные понятия

•   (Опр.) Гироскопом называется симметричное твердое тело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии, которая может поворачиваться в пространстве

Простейшим и всем знакомым гироскопом является юла, или детский волчок (рис. 6.1). Все, даже самые удивительные (на первый взгляд) свойства гироскопа находятся в соответствии и объясняются основными законами механики. Рассмотрим далее приближённую теорию гироскопа.

В основе теории гироскопа лежит уравнение моментов:

,     (6.1)

где  – суммарный момент сил, действующих на гироскоп, а – момент импульса гироскопа. Важно помнить, что  и  должны быть вычислены относительно одной и той же (произвольной) точки пространства. Для симметричного тела*), вращающегося вокруг его закреплённой оси, собственный момент импульса равен

,

где Iz – момент инерции относительно оси вращения; – угловая скорость вращения. Векторы угловой скорости и момента импульса направлены вдоль оси вращения.

6.2. Гироскопические эффекты

1.  Если на гироскоп не действуют внешние силы или их суммарный момент равен нулю, то такой гироскоп называют свободным. В соответствии с уравнением моментов (6.1) при  момент импульса не меняется с течением времени (). А значит и угловая скорость такого гироскопа остаётся постоянной как по величине, так и по направлению. Другими словами, свободный гироскоп сохраняет неизменным в пространстве направление оси вращения. Это свойство аналогично закону инерции: в отсутствии моментов внешних сил вращающееся твёрдое тело сохраняет своё вращение сколь угодно долго. Для изменения направления, т.е. поворота оси требуются моменты сил, и тем большие, чем больше собственный момент импульса гироскопа.

 На устойчивости направления оси вращения гироскопа основаны его многочисленные применения в технике: нарезное оружие, навигационные приборы в авиации, космонавтике, в ракетной технике (гирокомпас, гирогоризонт), стабилизаторы положения тел в пространстве, гироскопические успокоители качки и др.

1.  При действии внешних сил момент импульса гироскопа может изменяться. При этом изменение момента импульса зависит как от момента внешних сил, так и от длительности воздействия: .

Здесь полезно рассмотреть два случая:

а) Если внешняя сила действует в течение короткого промежутка времени (как, например, при ударе или толчке) и произведение  мало, то изменение момента импульса также будет малым. При ударе направление оси гироскопа не уходит далеко от своего исходного положения, а слегка дрожит, оставаясь почти неизменным. Дрожание оси гироскопа около первоначального направления после кратковременного действия силы называется нутацией.

б) При длительном действии силы ось гироскопа поворачивается в пространстве. Однако движение оси гироскопа происходит не в сторону действия силы (как это было бы в отсутствии вращения), а в перпендикулярном направлении. Если гироскоп находится под действием постоянного момента внешних сил, его ось медленно поворачивается вокруг направления действия силы. Такое поведение гироскопа называется регулярной прецессией, а он сам – гироскопическим маятником. Разберем явление прецессии подробнее.

Рассмотрим в качестве модели гироскоп, состоящий из вращающегося маховика (ротора) и противовеса, закреплённого на оси (рис. 6.2). Противовес обеспечивает равновесие относительно точки О опоры, находящейся под центром масс системы. Ось гироскопа может свободно поворачиваться вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О. Очевидно, сила тяжести уравновешена реакцией опоры, и в отсутствии других внешних сил гироскоп можно считать свободным. Что произойдет, если на ось гироскопа будет действовать дополнительная постоянная внешняя сила , например, создаваемая небольшим грузиком подвешенным на некотором расстоянии от оси? Момент  этой силы относительно точки закрепления О направлен горизонтально перпендикулярно силе и оси гироскопа (рис. 6.2). Согласно уравнению моментов за малый интервал времени dt момент импульса изменится на величину , причём

.

Здесь важно обратить внимание на то, что направление вектора  совпадает с направлением вектора момента силы , а не самой силы . Другими словами изменение вектора момента импульса произойдет в направлении перпендикулярном вектору момента импульса. Если учесть, что момент импульса направлен вдоль оси вращения, то ось гироскопа повернется в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, т.е. вектора силы . Такое вращение оси гироскопа и есть прецессия. При этом модуль  собственного момента импульса гироскопа  Iz  не изменяется.

Найдём угловую скорость прецессии . За время dt ось гироскопа повернётся на угол . Поскольку угол мал его радианная мера равна тангенсу этого угла. Из рис. 6.2 видно, что

    .

Следовательно, угловая скорость прецессии равна

    .

Учитывая уравнение моментов (6.1), легко получить в итоге

или .    (6.2)

Отсюда видно, что ось гироскопа поворачивается тем быстрее, чем больший момент сил вызывает это вращение. Этот результат согласуется с общими положениями динамики. С другой стороны, чем больше собственный момент импульса гироскопа M = , тем медленнее будет происходить прецессия. Собственный момент импульса гироскопа определяет инертность гироскопа, в данном случае – устойчивость по отношению к внешнему воздействию.

Учитывая векторный характер величин  и , а также направления этих векторов (рис. 6.3), равенство (6.3) полезно записать также и в векторном виде:

.   (6.4)

Дополнительный анализ гироскопических эффектов проводится с учётом третьего закона Ньютона. Если какое-либо тело извне действует на ось гироскопа, вызывая его прецессию, то со стороны оси на это тело действует такая же по величине, но противоположно направленная сила. Такие силы противодействия со стороны прецессирующего гироскопа принято называть гироскопическими силами. Легко догадаться, эти силы препятствуют повороту оси гироскопа. Именно гироскопические силы ответственны за устойчивость оси гироскопа в пространстве. Любая попытка повернуть ось гироскопа вызывает противодействие тем большее, чем больше собственный момент импульса гироскопа.

С помощью представления о гироскопических силах можно, например, легко объяснить действие гирокомпаса. Ось гироскопа, находящегося на поверхности Земли поворачивается вместе с вращающейся Землёй. Гироскопические силы исчезнут, если ось гироскопа окажется параллельной оси вращения Земли.

Мы рассмотрели лишь элементы теории уравновешенного гироскопа. Полная теория гироскопа гораздо сложнее. Однако всё изложенное выше позволяет понять наиболее важные свойства гироскопа.

•  Замечание

Гироскопические эффекты проявляют себя не только в макроскопических механических устройствах. С помощью представлений о них можно объяснить и некоторые тонкие и очень важные явления микромира, казалось бы, чрезвычайно далёкие от сферы действия классической механики. Так, например, прецессией электронных орбит атомов во внешнем магнитном поле можно объяснить диамагнетизм веществ. С прецессией электронных орбит связано явление электронного парамагнитного резонанса (ЭПР), широко используемого при изучении строения вещества. Явление ядерного магнитного резонанса (ЯМР) также можно объяснить гироскопической прецессией. Хотя описание этих явлений на языке квантовой физики и является более адекватным, подход, основанный на представлениях классической физики, оказался весьма плодотворным в истории науки.

“Если я видел дальше, чем другие, то лишь потому, что стоял на плечах Гигантов” –

Исаак Ньютон

В заключение к разделу «Механика» приведём высказывание Альберта Эйншнейна:

«Пусть никто не думает, что великое создание Ньютона может быть ниспровергнуто теорией относительности или какой-нибудь другой теорией.

Ясные и широкие идеи Ньютона навечно сохранят своё значение фундамента, на котором построены наши современные физические представления»

А. Эйнштейн (1948 г.)

*) В обоих случаях приходится существенно изменять наши представления о пространстве и времени.

**) О погрешностях эксперимента вам предстоит подробнее узнать в процессе работы в физическом практикуме.

*) Р. Фейнман «Фейнмановские лекции по физике», т. 1, с. 145.

*) Символ "" означает знак тождественного равенства. Мы будем его использовать всякий раз, когда будем иметь дело с другим обозначением той же физической величины.

**) Если не оговорено иное, то под термином скорость понимается именно мгновенная скорость !

**) Часто именно это условие и принимается за определение равномерного движения.

*) Аналогично ситуации со скоростью, если не оговорено иное, то под термином ускорение понимается именно мгновенное ускорение!

*) «Освежить» их в памяти поможет, как мы надеемся, например, разбор задачи 1.1 нашего пособия для семинарских занятий или любой школьный учебник.

*) В общем случае векторами являются лишь бесконечно малые угловые перемещения .

*) Иногда это соотношение называют формулой Эйлера.

*) Речь идёт, конечно, о так называемой «инертной массе»

*) Отсюда и особая самостоятельная роль первого закона!

*)  Именно такой формой записи пользовался сам Ньютон.

*)  Те самые «частные» законы для сил, о которых идет речь в рекомендациях по решению задач на динамику МТ.

*) За исключением довольно экзотического случая, когда одно тело находится внутри сферической полости другого.

*) Это подчёркивает, что частица (элемент тела) –  часть твёрдого тела.

*) Несмотря на принятую договорённость в обозначениях мы всё-таки сохранили здесь явное указание на внешний характер сил .

*) Мы умышленно выбрали такое обозначение, что упростит переход к случаю твёрдого тела

*) Добавка «∆» перед обозначением массы частицы появилась, поскольку в дальнейшем нас, прежде всего, будет интересовать случай движения твёрдого тела.

*) При анализе более сложных движений ей придают даже тензорный характер!

*) Это доказательство мы не считаем необходимым включать в обязательную программу курса.

*) Доказательство мы вынесем в приложение к курсу.

*) Чуть ниже мы поясняем это понятие.

**) Говорят, что это «стационарные поля сил».

*) Под обозначением (x,y,z) мы будем понимать всю совокупность координат всех частиц системы.

*) Термин «градиент» как и его обозначение, впервые в математику был введен Максвеллом в 1873 г. Кое-где вы можете встретить для градиента и иное обозначение – «оператор набла»: . Не пугайтесь – это то же самое!

*) Будем подразумевать под этим симметричное распределение массы тела относительно этой оси.

40

Рис. 1.8

Z

Y

Z

Y

0

X

X

m 

траектория

Рис. 1.7

m

0

0

Рис. 1.6

m

t + ∆t

m

t + ∆t

t

0



t

0

Рис. 1.5

v(t)

t2

Рис. 1.4

t1

v

t

t

траектория

Рис. 1.3

траектория

Рис. 1.2

t

Z

t0

Y

0

X

m

Рис. 1.1

Z

z

K

x

y

Y

0

X

m

•

•

B

A

Рис. 2.1

Рис. 2.2

B

A

Рис. 2.3

B

A

Ом

•

•

Рис. 2.4

X

Y

0



A

Y

Oм

X

Рис. 3.1

1

2

m2



m1



Рис. 3.2

1

2

FN

0

Fтр

F

Рис. 3.3

Рис. 3.4

Рис. 3.5

X

0

Y

Z

Рис. 4.1

•C

•∆m1

•∆mi

•∆m2

•

•

○

C

O

∆mi

Рис. 4.2

Рис. 4.3

•

∆m1

∆mi

• ∆m2

•

•

d

O

∆mi

Рис. 4.4

•

•

d

O

∆mi

Рис. 4.5

•

•

•

∆mj

•

Ri

O

∆mi

Рис. 4.6

Z

•

•

Рис. 4.7



Z

Zc

c

○

Zc

Z

∆mi

а

б

Рис. 4.8

X

Y

Zc

Z

ИСО

Y

X

Zc

ИСО

Рис. 4.9

Рис. 4.3

•

∆m1

∆mi

• ∆m2

•

“до”

Рис. 5.1

t

Союз

m

dm

t + dt

“после”

Рис. 5.2

Рис. 5.3

“L”

1

2

O

Рис. 5.4

Z

•

•

Рис. 5.5

“L”

•

dv

2

1

m

v        dv

Рис. 5.6

“L”

•

dr

 m

1

2

O

dr

“”

Рис. 5.6

M

“L”

r

О

 m

Рис. 5.7

U1

Y

О

y

X

Fx

Fy

U2

U3



x

Рис. 5.8

2

1

“L”

Рис. 4.3

•

∆m1

∆mi

• ∆m2

•

Рис. 6.1

Рис. 6.2

б) вид сверху

а) вид сбоку

O

противовес

O

ротор



Рис. 6.3

Регулярная прецессия



O

1. 500 г цвета джинcспицы 3 и 35 11 пуговиц
2. на тему- Семья и школа
3. Оздоровительный комплекс города Кургана Летние смены- Июнь 2014 август 2014 Сделай себя сам
4. тема гражданского права.1
5. тема 1вариант Дайте определение планеты
6. Сприяти утвердженню таких особистих та ділових якостей має Кодекс професійної етики та поведінки працівн
7. Структура динаміка вартість реалізації дол
8. Социальнопсихологический тренинг конфликты и методы их преодоления
9. это устранение барьеров между внутренним и мировым финансовым рынком развитие множественных связей между
10. На каких физических законах основано действие электротехнологических установок
11. пояснительная записка к курсовому проекту по дисциплине ldquo;Детали машинrdquo; Выполнил-
12. тема обучения- Перспективаrdquo; Название урока- ldquo;Математикаrdquo; Тема- ldquo;Число 0
13. Электронные архивы- отечественный опыт в оцифровке документов
14. ПЛОСКИНСКИМ ЯСЛИ ' САДОМ ПИНСКОГО РАЙОНА
15. повесть временных лет автор- Нестор
16. Тема- Розробка програм з використанням циклів с передумовою та післяумовою
17. ТЕМА 1 Понятие общества и его признаки
18. Введение 3 Становление и развитие стратегического планирования и управления ка
19. Finncil Plning.html
20. организацию или участие в производственном процессе за рубежом;2 долгосрочный характер вложений иностранн

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе