Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський національний університет
УДК 530.12:524.83
Коптєва Олена Михайлівна
Космологічні та астрофізичні моделі з урахуванням
космологічної сталої
01.04.02 –теоретична фізика
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Дніпропетровськ –6
Дисертацією є рукопис.
Дисертація виконана в Дніпропетровському національному університеті Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор
Коркіна Марія Петрівна,
професор кафедри теоретичної фізики
Дніпропетровського національного університету.
Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,
старший науковий співробітник,
Парновський Сергій Людомирович,
провідний науковий співробітник
Київського національного університету
ім. Тараса Шевченка (м. Київ),
доктор фізико-математичних наук, професор
Мінаков Анатолій Олексійович,
зав. відділу космічної радіофізики,
Інститут радіоастрономії НАН України (м. Харків).
Провідна установа: Інститут теоретичної фізики НАН України, м. Київ.
Захист дисертації відбудеться “ 19 ” травня 2006 р. о 14 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.02 в Дніпропетровському національному університеті (49050, м. Дніпропетровськ, пров. Науковий 10, корп. 11, ауд. 301).
З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету (49050, м. Дніпропетровськ, вул. Казакова 8)
Автореферат розісланий “ 3 ” квітня 2006 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Д 08.051.02,
професор І.М. Спиридонова
Актуальність теми. Однією з найважливіших проблем сучасної фізики є проблема космологічної сталої Л. Останніми роками це питання привертає особливу увагу у зв'язку з тим, що зараз існує можливість отримувати досить детальні знімки раннього Всесвіту, аналіз яких дозволяє з хорошою точністю визначити значення космологічних параметрів і, тим самим, одержати достовірну інформацію про глобальні властивості Всесвіту та про його подальший розвиток. Саме з цих спостережень випливає, що властивості нашого Всесвіту є такими, що можуть бути пояснені наявністю невеликої додатної космологічної сталої.
Більшістю вчених вважається, що внесок космологічної сталої в тензор енергії-імпульсу матерії рівносильний внеску енергії космічного вакууму. Згідно з останніми спостереженнями, на даний момент енергія вакууму переважає у Всесвіті, складаючи близько 75% енергії всієї речовини. Таким чином, виникає необхідність повернутися до вивчання моделей, які враховують ненульову космологічну сталу, в рамках яких було б можливо аналізувати одержувані спостережувані дані та прогнозувати подальший розвиток Всесвіту.
Врахування ненульової космологічної сталої в рівняннях загальної теорії відносності суттєво змінює великомасштабну структуру Всесвіту порівняно з моделями, в яких Л=0. Тому вибір адекватної моделі Всесвіту та її аналіз є актуальною проблемою на даний час.
З точки зору класичної теорії тяжіння, відмінна від нуля космологічна стала еквівалентна існуванню деякої сили відштовхування, яка лінійно збільшується з відстанню. Це означає, що розширення Всесвіту відбувається з прискоренням. Враховуючи цей факт, група астрофізиків Дартмутського університету на чолі з Р. Колдуеллом, висунула гіпотезу про те, що внаслідок прискорюваного процесу розширення Всесвіту можуть бути подолані сили ядерної взаємодії, що призведе до зникнення речовини. За оцінкою групи, яка базується на даних WMAP 2003 р., це відбудеться через близько 20 млрд. років. Тобто існування ненульової космологічної сталої значно змінює сценарій еволюції Всесвіту, що також обумовлює актуальність розгляду моделей Всесвіту з Л≠0.
Якщо космологічна стала ототожнюється з вакуумом, то її треба враховувати і в теорії елементарних частинок, і в квантовій теорії поля. По цих напрямах також ведуться інтенсивні дослідження. Одним з найголовніших питань залишається питання малості і незалежності від часу спостережуваної енергії вакууму порівняно зі значеннями, які виходять з теорії елементарних частинок. У зв'язку з цим пропонуються різні способи введення залежної від часу космологічної “сталої”, наприклад, у вигляді скалярного поля, що змінюється з часом так, щоб забезпечити необхідний збіг параметрів і необхідне значення енергії вакууму в даний період. У таких моделях космологічну “сталу”називають “квінтесенцією”або “темною енергією”. Багато інших питань залишаються нез'ясованими. Наприклад, дотепер не розв'язана так звана “проблема збігу”(coinsidence problem), яка полягає у тому, що в наш час космологічні параметри для різних типів матерії (пилоподібна речовина, космічний вакуум та ін.) виявляються досить близькими за величиною.
Таким чином, проблема побудови та дослідження моделей Всесвіту, вивчення властивостей Всесвіту та матерії при наявності космологічної сталої залишається однією з найактуальніших проблем сучасної фізики.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана на кафедрі теоретичної фізики фізичного факультету Дніпропетровського національного університету у рамках теми № ФізФ-67-04 “Побудова космологічних і астрофізичних моделей в загальній теорії відносності та теорії Калуци-Клейна. Аналіз впливу космологічної сталої на властивості моделей”(Міністерство освіти і науки України).
Мета і задачі дослідження. Метою даного дослідження є вивчення великомасштабної структури Всесвіту, його властивостей та особливостей його еволюції при наявності космологічної сталої шляхом побудови нових та аналізу відомих космологічних і астрофізичних моделей, що враховують ненульову космологічну сталу.
У відповідності з зазначеною метою у роботі поставлені такі задачі:
Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації одержано такі нові наукові результати:
Практичне значення одержаних результатів. Одержані в роботі результати знаходяться у згоді з загальноприйнятою думкою про необхідність урахування ненульової космологічної сталої в побудові космологічних і астрофізичних моделей. Підтверджено, що Всесвіт з космологічною сталою суттєво відрізняється від моделей з , які були загальноприйнятими раніше. Зокрема, наявність космологічної сталої сприяє появі нового горизонту подій на масштабах, близьких до розмірів Всесвіту, за яким знаходиться космологічна Т-область, де існування статичного спостерігача неможливе.
Отримані в роботі розв’язки можуть бути використані для подальших досліджень та для аналізу нових спостережуваних даних.
Результати роботи можуть бути використані також в науково-методичній роботі при викладанні спецкурсів з астрофізики та космології на фізичних факультетах університетів.
Особистий внесок здобувача. Основні результати та висновки дисертації було отримано особисто автором. Автором за допомогою методу масової функції отримано відоме узагальнення розв'язку Толмена на випадок ненульової космологічної сталої [1]. Отримано точний розв'язок узагальненої на випадок задачі Оппенгеймера-Снайдера та досліджено великомасштабну структуру Всесвіту з пилоподібною матерією і Л [2]. Досліджено поведінку параметра сповільнення та масштабного фактора розв'язку Фрідмана при для ненульової просторової кривини [3]. Побудовано альтернативну модель Всесвіту, в якій разом з пилоподібною матерією замість космологічної сталої враховано сферично-симетричний розподіл доменних стінок [4]. Побудовано модель Всесвіту з випромінюванням і космологічною сталою [5]. Науковим керівником, доктором фізико-математичних наук, професором Коркіною Марією Петрівною здійснювалася постановка задач і обговорення напрямів досліджень, а також проводилися обговорення одержаних результатів.
Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались та обговорювались на таких конференціях та семінарах:
Публікації. За темою дисертації опубліковано п’ять статей та вісім тез доповідей, перелік яких надається у кінці автореферату.
Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел з 105 найменувань. Дисертація містить 23 рисунки, 1 таблицю, її повний обсяг –сторінки. Ілюстрації займають 9 сторінок, таблиці –,25 сторінки, список використаних джерел –сторінок.
Перший розділ дисертації присвячено огляду проблеми космологічної сталої, її історії, відомих експериментальних даних і космологічних моделей з . В розділі також обґрунтовано необхідність введення Л.
У підрозділі 1.1 обговорено питання, пов'язані з історією проблеми космологічної сталої.
Вперше космологічну сталу в рівняння теорії гравітації ввів сам Альберт Ейнштейн в 1917 році з метою одержати в рамках загальної теорії відносності розв'язок для статичного Всесвіту, рівномірно заповненого речовиною. Але вихідні польові рівняння Ейнштейна не мають статичного розв'язку за умов сталих додатних тиску та густини енергії, тому Ейнштейн модифікував свої рівняння, ввівши додатковий вільний параметр Л, наступним чином:
|
, |
(2) |
грецькі індекси змінюються від 0 до 3.
Однак після того, як було відкрито розширення Всесвіту, введення космологічної сталої втратило сенс. В подальшому вчені періодично поверталися до вивчення моделей з Л, доки не стало зрозуміло, що космологічну сталу можна розглядати як внесок в тензор енергії-імпульсу, ідентичний внеску космологічного вакууму:
|
. |
(3) |
З цього моменту статус космологічної сталої в теорії змінився, а інтерес до проблеми Л почав зростати.
У підрозділі 1.2 обговорено відомі космологічні моделі з ненульовою космологічною сталою.
Умовно усі відомі моделі можна поділити на два класи: замкнені і відкриті. В замкнених моделях масштабний фактор зростає, і після проходження максимуму знов починає зменшуватись до нуля, тобто Всесвіт колапсує. У відкритих моделях, для яких частіше параметр просторової кривини , масштабний фактор необмежено зростає.
У підрозділі 1.3 наведено відомі експериментальні дані, які свідчать про існування ненульової додатної космологічної сталої. Серед них слід зазначити найбільш відомі COBE (1992 р.), “High-Z Supernova Team”(1998 р.), “Supernova Cosmology Project”(1998-1999 рр.), BOOMERANG (1999 р.) і останні спостереження WMAP (2001-2004 рр.), протягом яких було знайдено космологічні параметри для нашого Всесвіту з досить великою точністю. З'ясувалося, що космологічний вакуум на даний час є домінуючим типом матерії у Всесвіті: ЩЛ ≈ 0.71, Щm ≈ 0.27.
Таким чином, спостережувані дані свідчать про існування ненульової космологічної сталої.
У другому розділі роботи методом масової функції знайдено і проаналізовано відомі узагальнення космологічних моделей Толмена та Фрідмана на випадок ненульової космологічної сталої.
У підрозділі 2.1 наведено відомі розв'язки Толмена та Фрідмана з .
Для опису простору-часу у цих моделях використовують стандартний сферично симетричний метричний інтервал.
Модель Толмена описує Всесвіт, заповнений пилоподібною матерією (тобто тиск для такої матерії дорівнює нулеві) з неоднорідним ізотропним розподілом. Існує три типи розв'язку Толмена: еліптичний, гіперболічний і параболічний.
Модель Фрідмана описує однорідний та ізотропний розподіл пилоподібної речовини у Всесвіті і є частковим випадком розв'язку Толмена.
У підрозділі 2.2 розглянуто узагальнення моделей Толмена та Фрідмана на випадок ненульової космологічної сталої.
Відомо, що у випадку нульової просторової кривини узагальнений розв'язок Толмена можна отримати точно, він має вигляд:
|
, |
(6) |
де ; –масова функція; знак плюс відповідає розширенню Всесвіту, а мінус –стисканню. Звідси випливає розв'язок Шварцшильда у супутній системі координат:
|
. |
(7) |
Зі співвідношення (6) як частковий випадок також можна отримати розв’язок Фрідмана з для .
Аналіз розв'язків Фрідмана з ненульовою космологічною сталою показує, що врахування космологічної сталої приводить дану модель у відповідність з результатами спостережень. Оскільки без урахування космологічної сталої в моделі Фрідмана не відбувається перехід до прискореного розширення Всесвіту. Про це, наприклад, свідчить характер залежності поведінки параметра сповільнення від часу.
Третій розділ присвячено побудові моделі пилової кулі у пустому плоскому просторі.
У підрозділі 3.1 здійснено узагальнення відомої задачі Оппенгеймера-Снайдера на випадок ненульової космологічної сталої.
У 1939 р. Оппенгеймером та Снайдером було запропоновано розв'язок рівнянь Ейнштейна для пилової конфігурації в порожньому просторі з нульовою просторовою кривиною (). Воно складається з двох метрик, які зшито по поверхні пилової конфігурації. Внутрішньою метрикою є параболічний тип розв'язку Фрідмана для однорідного ізотропного розподілу пилу, зовнішній простір описується розв'язком Шварцшильда в супутній системі координат.
Розв'язок Оппенгеймера-Снайдера має вигляд для внутрішньої метрики:
|
, |
(8) |
і для зовнішнього простору:
|
. |
(9) |
Тут –значення координати на поверхні пилової конфігурації, і таким чином, поверхня є поверхнею зшивки двох метрик, внутрішньої () та зовнішньої ().
Узагальнення цього розв'язку на випадок ненульової космологічної сталої отримаємо за допомогою (6) і (7), використовуючи при цьому умови зшивки Ліхнєровича-Дармуа, які полягають у рівності перших квадратичних форм внутрішньої та зовнішньої метрик та рівності других квадратичних форм внутрішньої та зовнішньої метрик на поверхні зшивки. Отже, остаточно можна записати для пилу:
|
, |
(10) |
для навколишнього пустого простору:
|
. |
(11) |
Таким чином, розв’язки (10), (11) описують модель пилової кулі радіуса в порожньому просторі з нульовою просторовою кривиною за наявності космологічної сталої.
У підрозділі 3.2 досліджено вплив космологічної сталої на процес гравітаційного колапсу.
Отже, модель колапсару в просторі з ненульовою космологічною сталою описується узагальненим розв’язком Оппенгеймера-Снайдера, який отримано в попередньому підрозділі.
З урахуванням Л сферично симетричне гравітаційне поле зовні колапсару (11) в системі координат кривин буде описуватись метричним інтервалом Шварцшильда-Коттлера (1918):
|
. |
(12) |
Як відомо, в синхронній системі координат координатна особливість не існує. Тобто, частинки досягають горизонту подій протягом скінченого часу, і далі продовжується необмежене стискання. Час для нескінченно віддаленого спостерігача (система координат Шварцшильда) зв’язаний із власним часом частинок, що рухаються, співвідношенням:
|
, |
(13) |
де –час початку падіння частинки, який не може перевищувати часу існування Всесвіту с.
З аналізу інтегрованої функції з урахуванням (11) випливає, що структура R- та T-областей простору-часу моделі, що розглядається, залежить від значення параметру . Якщо , то кубічний трьохчлен в (13) має три різних дійсних кореня. І тоді, на відміну від відомого розв’язку Шварцшильда, у Всесвіті з Л існують два горизонти подій. Перший близький до , і другий близький до сучасного розміру Всесвіту.
Аналіз виразу (13) дає особливість для часу нескінченно віддаленого спостерігача:
|
. |
(14) |
Це означає, що біля горизонту подій у розв’язку Шварцшильда-Коттлера, як і в розв’язку Шварцшильда при , скінченому часу в синхронній системі координат відповідає нескінченний час в системі координат кривин.
Із зростанням Л (при певному rg) R-область зменшується, і при залишається тільки космологічна Т-область. Причому у випадку рівності метрика простору-часу Т-області отримується точно.
Таким чином, відмінна від нуля космологічна стала не впливає на процес гравітаційного колапсу, але суттєво змінює великомасштабну структуру простору-часу Всесвіту. Порівняння потенційних кривих для теорії Ньютона, ЗТВ та ЗТВ з показало, що наявність космологічної сталої приводить до виникнення нестійких кругових орбіт не тільки на малих (близьких до rg), але й на великих відстанях. Таким чином, на відміну від простору Шварцшильда, в даній моделі виникають три області: Т, R та Т, які розділені горизонтами і . Наш світ реалізується саме в R-області, яка знаходиться між двох космологічних Т-областей, де статичний спостерігач не існує.
У четвертому розділі побудовано однорідну ізотропну модель, в якій тиск не є нульовим і яка враховує декілька типів матерії.
У підрозділі 4.1 розглянуто загальні риси космологічної моделі Фрідмана з декількома типами матерії.
Рівняння Ейнштейна в цьому випадку зводяться до наступної системи рівнянь Фрідмана:
|
; . |
((15) |
Якщо не враховувати взаємодію між різними типами матерії, то друге рівняння системи (15) може бути записано в вигляді системи і рівнянь:
.
Для багатьох відомих типів матерії має місце пропорційність між тиском та густиною енергії, тобто рівняння стану окремого типу матерії має вигляд , де –константа.
Далі досліджено важливі випадки моделі з декількома різними типами матерії.
У підрозділі 4.2 для моделі Всесвіту з випромінюванням та космологічною сталою знайдено точний аналітичний розв'язок в загальному вигляді для всіх трьох типів просторової кривини :
|
, |
(16) |
де –довільна константа інтегрування, яка описує густину енергії випромінювання. Для цього розв’язку цікавим є випадок , коли в залежності від співвідношення між і можливі три типи поведінки масштабного фактора.
Цікавим є випадок , коли вираз (16) набуває вигляду:
|
, |
(17) |
звідки видно, що з часом масштабний фактор прямує до скінченої границі. Можна показати, що ефективне рівняння стану при цьому має вигляд як і в статичному Всесвіті Ейнштейна .
У підрозділі 4.3 проведено зшивку по часовій координаті двох розв’язків: розв’язку, що описує Всесвіт на етапі еволюції, коли випромінювання та пил були домінуючими типами матерії (~ 10 – с., за теорією Гамова), та розв’язку, що описує сучасний Всесвіт, тобто коли домінують пил та космологічний вакуум.
Для опису раннього Всесвіту використано точний розв’язок рівнянь Ейнштейна для плоского простору з пилом та випромінюванням, який було отримано А.Д. Черніним у 1964 р. Цей розвязок має такий параметричний вигляд:
|
; , |
(17) |
де –параметр, –константа інтегрування, і –константи, що описують густини енергії пилу та випромінювання, відповідно.
Для опису Всесвіту з пилом та космологічною сталою використано узагальнений параболічний розв’язок Фрідмана.
Зшивка метрик проводилася по поверхні , де було обрано ~10с. з огляду на сучасні спостереження, та на оцінки Гамова. Показано, що значення масштабного фактору в момент часу є постійною величиною, тобто не залежить від вибору .
У підрозділі 4.4 побудовано модель Всесвіту з пилоподібною матерією () і доменними стінками () як альтернативу введенню космологічної сталої. В результаті чисельного аналізу з'ясовано, що найбільш відповідним до спостережуваних даних є випадок додатної просторової кривини, для якого співвідношення між константами моделі має вигляд , а час переходу до прискореного розширення дорівнює с. (порівн. з загальноприйнятою плоскою моделлю Фрідмана з , для якої час переходу с.).
В дисертації отримано нові теоретичні результати, які у сукупності висвітлюють низку важливих актуальних проблем сучасної теорії гравітації. В ході побудови й аналізу космологічних моделей з урахуванням космологічної сталої підтверджено, що наявність Л суттєво змінює великомасштабну структуру і динамічні властивості Всесвіту.
Проведено зшивку по часовій координаті розв’язків для раннього та сучасного Всесвіту.
Всі узагальнені розв'язки при переходять у відповідні розв'язки без урахування космологічної сталої, тобто, для них виконується принцип відповідності.
Коптєва О.М. Космологічні та астрофізичні моделі з урахуванням космологічної сталої. –Рукопис. –Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 –теоретична фізика. –Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2006.
В дисертації побудовано та проаналізовано узагальнення відомих космологічних розв'язків на випадок ненульової космологічної сталої. Зокрема, методом масової функції одержано точний узагальнений розв'язок Толмена для Всесвіту з плоским простором і . Чисельно проаналізовано розв'язки Фрідмана з ненульовою космологічною сталою для всіх трьох типів просторової кривини.
Одержано розв'язок задачі Оппенгеймера-Снайдера, узагальнений на випадок ненульової космологічної сталої, досліджено вплив на процес гравітаційного колапсу пилової кулі в порожньому плоскому просторі. З'ясовано, що космологічна стала не впливає на процес гравітаційного колапсу. Наявність проявляється у тім, що на великих масштабах, близьких до розмірів нашого Всесвіту, з'являється новий горизонт подій.
Побудовано космологічну модель, що відповідає раннім етапам еволюції Всесвіту, коли над пилом домінували інші типи матерії, зокрема, випромінювання. Проведено зшивку по часовій координаті розв’язків для раннього та сучасного Всесвіту.
Досліджено альтернативні моделі без урахування Л, які задовольняють сучасні спостережувані дані. Найбільш відповідною виявилася модель, що описує Всесвіт з позитивною просторовою кривиною, який містить пилоподібну речовину і доменні стінки.
Ключові слова: Всесвіт, космологічні моделі, космологічна стала, космологічні параметри, рівняння Ейнштейна, моделі Фрідмана.
Kopteva E.M. Cosmological and Astrophysical models with the Cosmological Constant. –Thesis for physical and mathematical science candidate’s degree on speciality 01.04.02 –Theoretical physics. –Dniepropetrovsk National University, Dniepropetrovsk, 2006.
The known cosmological solutions were generalized for the case of nonzero cosmological constant and analyzed. In particular, the exact Tolman solution for the Universe with the flat space and was obtained by means of the mass function method. The Friedman solution with nonzero cosmological constant was numerically analyzed for all three types of the spatial curvature.
The Oppenheimer-Snyder problem solution was generalized for the case of nonzero cosmological constant. The influence of the cosmological constant on the gravitational collapse process was investigated, and it was found that the cosmological constant does not influence on the gravitational collapse, but causes the appearance of a new event horizon close to the modern size of our Universe.
The model for the early Universe with dominant radiation and was built. The matching of the solutions for the early Universe and for modern stage of evolution is done.
Besides, an alternative то model, which includes the dust matter and the domain walls, was built. The best fit to the observation data is for the model with the positive spatial curvature.
Key words: Universe, cosmological models, cosmological constant, cosmological parameters, Einstein equations, Friedman model.
Коптева Е.М. Космологические и астрофизические модели с учетом космологической постоянной. –Рукопись. –Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 –теоретическая физика. –Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск, 2006.
В диссертации построены и проанализированы обобщения некоторых известных космологических решений на случай ненулевой космологической постоянной. В частности, методом массовой функции получено точное обобщенное решение Толмена для Вселенной с плоским пространством и . Качественно проанализированы решения Фридмана с ненулевой космологической постоянной для всех трех типов пространственной кривизны.
Получено решение задачи Оппенгеймера-Снайдера, обобщенной на случай ненулевой космологической постоянной, исследовано влияние на процесс гравитационного коллапса пылевого шара в пустом плоском пространстве. Оказалось, что космологическая постоянная не влияет на процесс гравитационного коллапса. Наличие же проявляется на больших масштабах, сравнимых с размерами нашей Вселенной: с учетом появляется новый горизонт событий, за которым находится Т-область.
Построена космологическая модель, соответствующая более ранним этапам эволюции Вселенной, когда над пылью доминировали другие типы материи, в частности, излучение.
Впервые найдено и проанализировано точное аналитическое решение уравнений гравитации для Вселенной с излучением и космологической постоянной в общем виде для всех трех типов пространственной кривизны.
Наряду с космологическими моделями, учитывающими , были исследованы и альтернативные модели, соответствующие современным наблюдательным данным. Наиболее подходящей оказалась модель, описывающая Вселенную с положительной пространственной кривизной, заполненную пылевидным веществом и так называемыми доменными стенками, топологическими дефектами, образовавшимися во время фазового перехода на стадии инфляции.
Ключевые слова: Вселенная, космологические модели, космологическая постоянная, космологические параметры, уравнения Эйнштейна, модели Фридмана.
Коптєва Олена Михайлівна
Космологічні та астрофізичні моделі з урахуванням космологічної сталої
(Автореферат)
Підписано до друку 28.03.2006. Формат 30Ч42/4.
Папір офсетний, різографія. Ум. друк. арк. 1,0.
Обл.-вид. арк. 1,0. Тираж 100 прим. Зам. № _____.
НГУ
, м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 19.