Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ
Математические выражения и их тождественные преобразования составляют одну из содержательно – методических линий школьного курса алгебры. Основная цель изучения этого материала состоит в развитии формально – оперативных умений до уровня, позволяющего их использовать при решении задач математики и смежных предметов (физики, химии, основ информатики и др.). Вместе с тем, изучение тождественных преобразований должно способствовать совершенствованию алгоритмической и вычислительной культуры учащихся, а также развитию умения решать уравнения, неравенства и их системы.
Математическое содержание темы изложено в лекции по НПОПМ.
Содержание учебного материала
I. Основная школа.
7 класс.
Формируются следующие понятия: числовое выражение и значение выражения; выражение с переменными; значение выражения с переменной; выражение, имеющее смысл и не имеющее смысла; тождественно равные выражения; тождество; тождественное преобразование выражения.
Рассматриваются целые рациональные выражения – одночлены и многочлены. Изучаются действия над одночленами: приведение к стандартному виду и умножение; действия над многочленами: сложение, вычитание, умножение, в частности, тождества сокращённого умножения, разложение на множители.
8 класс.
Происходит расширение понятийного аппарата: вводится понятие допустимых значений переменной, уточняется понятие тождества. Так как в 6 классе изучаются целые выражения, то тождество определяется как равенство, верное при всех значениях переменных.
В 8 классе изучаются дробно–рациональные выражения. В соответствии с приведённым определением равенство =а-1 не являются тождеством, так как при а=1 оно не является верным. Поэтому понятие тождественного равенства уточняется: тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.
Рассматриваются действия с алгебраическими дробями: сложение, вычитание, умножение (возведение в степень), деление.
В 8 классе формируются понятия квадратного корня и арифметического квадратного корня, изучаются свойства арифметических квадратных корней, на основании которых рассматриваются их следующие тождественные преобразования: преобразование корня из произведения, дроби, степени и обратные преобразования; вынесение множителя за знак корня и внесение множителя под корень, освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
В 8 классе вводится понятие степени с целым показателем, изучаются её свойства и тождественные преобразования степеней на основе этих свойств.
9 класс.
В 9 классе линия тождественных преобразований не представлена.
Полная школа (10, 11 классы)
Изучаются тождественные преобразования тригонометрических выражений, в основе которых лежат основные понятия тригонометрии (синус, косинус, тангенс, котангенс действительного числа) и формулы их взаимосвязи.
Вводятся понятия корня п – ой степени и арифметического корня п-ой степени, изучаются свойства арифметических корней п-ой степени, на основании которых выполняются тождественные преобразования иррациональных выражений, перечисленные для квадратных корней.
Определяется степень с рациональным показателем, изучаются её свойства, рассматриваются тождественные преобразования степенных и показательных выражений.
Формируется понятие логарифма числа в по основанию а (logab), рассматриваются его свойства, на основании которых выполняются тождественные преобразования логарифмических выражений/
Приведём примеры заданий на тождественные преобразования выражений из курса алгебры средней школы.
№ 1. (7 класс) Разложить на множители:
1) 2); 3) ; 4).
№ 2. (8 класс) Выполнить действия:
.
№3. (8 класс) Упростить выражение:
1) а)
б) при х >4.
2) (8, 11 класс) Вычислить значение выражения:
№4 . (10 класс) Доказать тождество:
№ 5. (11 класс) Упростить выражение:
№ 6. Упростить выражение:
№ 7. Вычислить:
Методические аспекты обучения тождественным преобразованиям рассмотрим на примере изучения разложения многочленов на множители методом вынесения общего множителя за скобки.
ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
1. РАСПОЗНАВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ПРИВЕДЕННОГО ВИДА
Результаты проведенного теоретического и экспериментального исследования показали, что прежде, чем учить школьников применять правило преобразования, им следует представить те выражения (первоначально простейшие), которые могут быть преобразованы посредством этого правила, и научить их распознавать такие выражения.
С этой целью при изучении вынесения общего множителя за скобки учащимся первоначально предлагается рассмотреть выражения, представляющие собой алгебраическую сумму, слагаемые которой – произведения, имеющие общий множитель. Примерами таких выражений могут служить
Далее учащимся сообщается, что для вынесения общего множителя за скобки перечисленные особенности выражения называют условиями выполнимости преобразования, а выражения, удовлетворяющие этим условиям, - выражениями приведенного вида.
Условимся выражения приведенного вида изображать схематически на основании следующих соглашений. С помощью схемы + +…+ , в круглый контур которой может быть вписан любой одночлен (число), будем изображать многочлены. Тогда выражения, удовлетворяющие условиям выполнимости вынесения общего множителя за скобки, могут быть изображены посредством схемы: ∙ + ∙ +…+ ∙ ,
где с помощью одноцветной закраски показано, что контуры схемы следует «заполнять» одинаковым образом. Использование таких схем направлено на формирование обобщенного образа выражения приведенного вида независимо от того является оно числовым или алгебраическим.
Условия выполнимости преобразования и схема выражения приведенного вида выписываются на дидактическую карточку. Приведем ее образец.
Дидактическая карточка 1.
|
Вынесение общего множителя за скобки |
|
Условия выполнимости преобразования.
Схема: ∙ + ∙ + … + ∙ . Замечание. Закрашенный контур, обозначающий общий множитель, может располагаться в произведении на любом месте. |
Перечисленные условия выполнимости преобразования позволяют распознавать выражения приведенного вида.
Учащимся сообщается, что распознать выражение приведенного вида – это значит проверить наличие каждого из условий, перечисленных в карточке и сделать вывод. Для формирования умения распознавать выражения приведенного вида предлагаются следующие упражнения.
№1. Какие из следующих выражений удовлетворяют условиям выполнимости преобразования?
1) 0,5а+0,5в; 3) 5)
2) 4) 6) 6,3.
№2. Проверьте, что выражения и 0,4∙1,8+0,4∙1,2 являются выражениями приведенного вида, а выражения а-2у и не являются такими выражениями.
№3. Приведите примеры двух выражений (числового и содержащего переменные), которые удовлетворяют условиям выполнимости
преобразования.
№4.Укажите номера выражений, являющихся выражениями приведенного
вида:
1) 4) 7) 1,6∙1,8+1,6∙8,1;
2) 2а+ 5) 8)
3) 6) 9) (1,3-0,8)∙1,4+(1,3-0,8)∙3,6. №5. Заполните пропуски таким образом, чтобы полученные выражения
удовлетворяли условиям выполнимости вынесения общего множителя за скобки:
1) 3) …∙0,8+1,2∙…;
2) 4)
2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ПРИВЕДЕННОГО ВИДА
Составление учебного алгоритма преобразования выражений приведенного вида осуществляется на ряде примеров на основании известного учащимся распределительного закона умножения. Правило преобразования и его схематическое изображение оформляется в виде дидактической карточки.
Приведем ее образец.
Дидактическая карточка 2.
|
Вынесение общего множителя за скобки |
|
План преобразования: 1. Укажите слагаемые суммы. 2. Укажите общий множитель в слагаемых. 3. Разделите каждое слагаемое на общий множитель. 4.Составьте сумму полученных частных. 5. Составьте произведение общего множителя и суммы. Схема: ∙ + ∙ ∙ +…+ ∙ ∙ ( + + …+ ) |
Упражнения.
1) 3) 5,1∙0,3+5,1∙2,3;
2) 4) х∙(а+с)+у∙(а+с).
№3. Вынесите общий множитель за скобки.
|
|
3.ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, ПРЕДСТАВИМЫХ В ПРИВЕДЕННОМ ВИДЕ
Анализ имеющихся в учебниках упражнений позволил выделить три типа выражений, представимых в приведенном виде.
Первый тип представлен суммами, у которых коэффициенты слагаемых –
целые числа, имеющие наибольший общий делитель, отличный от 1. Например, 18х-24у; 15а-20в+10с. Для представления таких выражений в приведенном виде учащимся может быть предложено следующее правило:
1) найти наибольший общий делитель коэффициентов слагаемых;
2) представить каждое слагаемое в виде произведения двух множителей, одним из которых является найденный делитель.
Так, для выражения 18х-24у получим: Д(18;-24)=6, -24=6∙(-4),18=6∙3,
18х-24у=6∙3х-4∙6у. Преобразованию полученного выражения школьники научены.
Второй тип представлен суммами, каждое слагаемое которых содержит степень с одним и тем же основанием. На ряде примеров совместно с учащимися приходим к следующему правилу.
Для того чтобы представить выражение в приведенном виде надо:
1) выделить степень с наименьшим показателем;
2) представить каждое слагаемое в виде произведения, одним из множителей которого является эта степень.
Например, или
Третий тип выражений представлен суммами, каждое слагаемое которых содержит степень двучлена, причем в основании степени имеются противоположные двучлены. Например, Такие выражения сводятся к выражениям второго типа, если один из двучленов заменить на противоположный, изменив знак перед слагаемым, содержащим его нечетную степень.
Например,
Упражнения.
№1. Представьте выражения в приведенном виде и вынесите общий множитель
за скобки.
|
|
№2. Вынесите общий множитель за скобки.
1) 10)
2) 11)
3) 12)
4) 13)
5) 14)
6) 15)
7) 16)
8) 17)
9) 18)
№3. Разложите на множители вынесением за скобки.
1) 9)
2) 10)
3) 11)
4) 12)
5) 13)
6) 14)
7) 15)
8) 16)
Отметим, что в упражнении №1 рассматриваются выражения первого типа, в упражнении №2 – второго, а в упражнении №3 – обоих типов.
№4. Вынесите общий множитель за скобки.
1) 6)
2) 3а(2х - 7) - 5в(7-2х); 7)
3) 8)
4) 9)
5) 10)
Обобщая имеющийся у учащихся опыт по преобразованию выражений приведенного вида, выявляем особенности таких выражений и составляем дидактическую карточку.
Дидактическая карточка 3.
|
Вынесение общего множителя за скобки |
|
Условия, при которых выражение представимо в приведенном виде. Выражения является алгебраической суммой, слагаемые которой содержат:
|
Распознавая выражения приведенного вида, учащиеся проверяют у них наличие перечисленных условий и делают вывод. Причем, вывод о представимости выражения в приведенном виде делается при выполнении хотя бы одного из условий, перечисленных в карточке.
Упражнения.
№ 1. Какие из следующих выражений могут быть представлены в приведенном виде?
1) 3) 5) 12х - 3у + 4z;
2) 4) 2х – 3у + 4z; 6) 10000а +1001с;
№2. Какие из чисел 5, 7, 15, 18 ,42 могут быть вписаны вместо многоточия в
выражение …х …у, чтобы стало возможным вынесение числового множителя, отличного от 1?
№3. Приведите примеры выражений, у которых может быть вынесен за скобки числовой множитель.
№4. Какие из следующих выражений могут быть представлены в приведенном в приведенном виде?
1) 4) 7)
2) 5) 8)
3) 6) 9)
№5. Заполните пропуски таким образом, чтобы стало возможно вынесение
общего множителя за скобки.
1) 3)
2) 4)
№6. Составьте суммы степеней, допускающие вынесение общего множителя
за скобки.
№7. В каких из следующих выражений может быть вынесен за скобки
множитель-степень двучлена.
1) 4)
2) 5) 0,8∙(2,6+1,2)+1,3∙(2,6-1,2);
3) 6) 0,8∙(2,6-1,2)+1,3∙(1,2-2,6).
№8. Заполните пропуски таким образом, чтобы стало возможным вынесение за
скобки множителя-двучлена.
1) 7)
№9. Приведите примеры выражений, в которых может быть вынесен за скобки множитель-степень двучлена.
№10.Укажите номера тех выражений, которые могут быть преобразованы
вынесением общего множителя за скобки.
1) 7)
2) 8)
3) 7m-8n+9р; 9)
4) 10)
5) 11)
6) 12)
Таким образом, формирование умения выносить общий множитель за скобки осуществляется по следующему плану:
1) распознавание выражений приведенного вида;
2) преобразование выражений приведенного вида;
3) преобразование выражений, представимых в приведенном виде;
4) распознавание выражений, представимых в приведенном виде.
При изучении других преобразований в этот план могут не войти пункты 3 и 4, так как преобразуются только выражения приведенного вида (например, при умножении одночлена на многочлен).
После того, как умение выполнять преобразование сформировано, рассмотрим аспекты его применения для рационализации вычислений.
5. ПРИМЕНЕНИЕ ВЫНЕСЕНИЯ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ ДЛЯ РАЦИОНАЛИЗАЦИИ ВЫЧИСЛЕНИЙ
5.1 Вынесение общего множителя за скобки как средство перехода к иной вычислительной программе
Обучая применению отдельных тождественных преобразований в вычислениях, необходимо показать учащимся их роль как средства перехода к иной вычислительной программе. Для этого целесообразно предложить им следующие упражнения.
№1. Найдите значение выражения ах+ау при двумя
способами, используя для вычисления вторым способом выражение,
полученное вынесением общего множителя за скобки.
№2. Составьте выражение для вычисления суммы площадей прямоугольников, имеющих измерения 1,4м и 1,2м; 0,8м и 1,4м и найдите его значение. Правильность вычислений проверьте, выполняя их вторым способом, полученным преобразованием составленного выражения.
№3. Ученик заполнил таблицу соответственных значений функции у=1,4х.
Проверьте правильность заполнения таблицы следующим образом.
|
|
1,2 |
|
1,68 |
|
|
1,5 |
|
2,1 |
|
|
3,7 |
|
5,18 |
1. Сложите колонку вычисленных значений функции:
у1 +у2+у3=1,4х1+1,4х2+1,4х3.
2. Вычислите значение этой суммы другим способом, используя вынесение общего множителя за скобки: 1,4∙(х1+х2+х3), то есть сложив колонку значений х и умножив полученную сумму на 1,4.
3. Сравните результаты, полученные в пунктах 1 и 2.
При выявлении роли изученного тождественного преобразования в вычислениях учащимся могут быть предложены и упражнения, в которых рассматриваются вычислительные приемы, основанные на вынесении общего множителя за скобки.
Приведем примеры таких упражнений.
№4. Докажите, что сумма квадрата и куба любого натурального числа равна
произведению его квадрата и следующего натурального числа. Вычислите 22+23; 52+53; 92+93.
№5. Сумма двух последовательных нечетных чисел равна удвоенному четному числу, заключенному между ними. Докажите. Вычислите 189+191; 19999+20001.
Смысл приведенных упражнений состоит в следующем: рассматриваются выражения определенного вида (например, сумма квадрата и куба натурального числа). Значение этого выражения можно вычислить другим способом, причем этот способ указан (найти произведение квадрата данного числа и следующего числа). Следует доказать, что второй способ может быть получен из первого посредством изученного тождественного преобразования.
Выполняя предложенные упражнения, школьники убеждаются, что возможность вычислить значение выражения другим способом они получают посредством тождественного преобразования данного выражения. Таким образом у них формируется понимание того, что изученное ими тождественное преобразование является средством перехода от одного способа вычисления значения выражения к другому способу вычисления того же значения. Отметим, что попутно учащиеся вооружаются методом контроля за правильностью вычислений: для того, чтобы проверить, верно ли выполнены вычисления достаточно вычислить значение выражения, тождественного равного данному.
5.2 Система действий поиска рациональной вычислительной
программы
Формирование системы действий поиска и реализации рациональной вычислительной программы первоначально осуществляется в процессе рассмотрения отдельных тождественных преобразований. Для рационализации вычислений находит применение изученное преобразование. В систему действий поиска войдут следующие действия: оценка рациональности вычислительной программы, определяемой данным выражением, выполнение изученного преобразования, выбор программы для реализации вычислений, выполнение вычислений.
Первоначально формируются отдельные действия, входящие в процесс поиска, а затем их система. Из перечисленных действий учащиеся научены выполнять преобразование выражения и вычисления. Следовательно, необходимо научить их оценивать рациональность вычислительной программы (по школьной терминологии способа вычислений) имеющегося выражения и выбирать выражение для выполнения вычислений.
Проиллюстрируем формирование этих действии на примере вынесения общего множителя за скобки. Учащимся предлагаются следующие упражнения.
№1. Укажите среди данных выражений те, которые определяют рациональный
способ вычислений.
1) или 2) или
3) 4,8∙5,6+4,8∙7,2 или 4,8∙(5,6+7,2).
№2. Какое из выражений ах+ау или а(х+у) задает рациональный способ
вычислений?
1) при а=1,2; х=3,4; у=2,4; 2) при а=21,
3) при а=3,71; х=2,3; у =1,03.
Предлагая учащимся эти упражнения, мы обращаемся к имеющемуся у них опыту вычислений. Обсуждая ответы школьников, следует привести их к выводу, что рациональный способ вычислений может характеризоваться наличием действий, выполнимых устно. Поэтому будем считать способ вычислений рациональным, если все или первоначальные действия устно выполнимы.
В связи с тем, что учащиеся вычисляли значение выражения двумя способами, используя для вычисления вторым способом выражение, тождественно равное данному, то для них будет естественным вопрос о выборе выражения для выполнения вычислений. Причем, если одно из выражений задает рациональный способ вычислений, то ответ ясен. Как поступить в том случае, когда ни один из возможных способов не является рациональным? Например, в случае выражений 3,15∙1,2 – 1,9∙1,2 или 1,2∙(3,15 – 1,9). По всей видимости, учащиеся догадаются выбрать выражение 1,2∙(3,15 – 1,9) и объяснить свой выбор тем, что оно содержит меньше действий.
После того, как отдельные действия, входящие в процесс поиска рациональной вычислительной программы, сформированы, следует организовать их в систему.
Формирование системы действий поиска и реализации рациональной вычислительной программы может осуществляться посредством следующих заданий.
№3. Вычислите значение выражения ах+ау
1) при 2) при а=1,6; х=3,4; у=1,1;
3) при
Ученику, окончившему первым выполнение задания, предлагается сообщить правильный ответ и объяснить, каким способом он вычислял. В результате выясняется, что быстро и правильно удалось вычислить тем учащимся, которые использовали рациональный способ счета.
Анализируя ответы школьников, следует показать, что считавшие рационально в первом задании действовали следующим образом: оценили рациональность способа вычислений, определяемого данным выражением. Так как он оказался нерациональным, выполнили преобразование. Оценили способ вычислений, определяемый полученным выражением. Так как он оказался рациональным, приступили к вычислениям.
Учащиеся, считавшие рационально во втором случае, действовали также, но в результате преобразования не получили выражение, определяющее рациональный способ вычислений, поэтому из двух имеющихся выражений выбрали для вычислений то, которое содержит меньше действий.
Учащиеся, считавшие рационально в третьем случае, оценили рациональность способа вычислений, определяемого данным выражением, и так как он оказался рациональным, перешли к вычислениям.
Обобщая приведенные рассуждения, получаем систему действий поиска и реализации рациональной вычислительной программы, которая может быть представлена в форме блок-схемы.
Система действий поиска и реализации рациональной
вычислительной программы
Прослеживая по полученной схеме процесс поиска рационального способа вычислений для предложенных заданий, учащиеся получат:
Задание 1 Задание 2 Задание 3
Приведем упражнения для формирования системы действий поиска и реализации рациональной вычислительной программы.
№4. Вычислите значение выражения рациональным способом.
1) 2,8∙7,6+7,2∙7,6; 5,1∙2,2 + 5,1∙2,6;
2) 6,4∙1,6 – 2,1∙1,6;
3) ;
№5. Вычислите значение выражения рациональным способом
1) ах+ау при
при а= - 6,3; х=2,8; у=-3,3;
при
2) 2,1х+2,1у при х=2;
3) 3,15а+сх при а=4,8; с=5,2; х=3,15.
4) 2,4х+6,1у при х=6,1; у=7,2.
После того, как система действий поиска усвоена, учащимся могут быть предложены упражнения, в которых усложняется техническая сторона (выполнение преобразований и вычислений), а система действий поиска остается неизменной. Приведем комплекс таких упражнений.
№6. Вычислите рациональным способом.
1) 2,56∙0,4+1,4∙0,4 – 1,46∙0,4; 3)
2) 4)
5) 7)
6) 8)
9) 10) 2,6∙(9,2 – 1,07)+1,6∙(1,07 – 9,2).
№7. Найдите значение выражения рациональным способом.
1) ху+ z при x=24, у=98, z=48;
при х=24, у=100, z=48;
2) при х =-1,7;
3) при
при а=1,4; в=2,8; с=5,7;
4) 1,1: х – 0,1∙15 при
№8. Вычислите рациональным способом значение функции, заданной
формулой 1) 108 при х=10,8; 2) у=19х+2,7 при х=27 и при
№9. Найдите значение выражения рациональным способом.
1) 26х+13у при х=3,7; у=2,6; при
2) при
3) при а=87;
4) при х=0,8; у=0,6;
5) при х=56,8; у=43,1;
6) при в=1,1.
№10. Составьте выражение для вычисления площади классной доски,
изображенной на рисунке.
Вычислите значение полученного выражения при а=1,4м, х=2,2м, у=1,6м.
Отметим, что система действий поиска рациональной вычислительной
программы рассмотрена нами для отдельного изученного преобразования. Она усложняется при включении действия выбора преобразования.
18
PAGE 7
рационален
рационален
не рационален
не рационален
Вычисляй
Выбери выражение для
выполнения вычислений
Оцени способ вычислений,
определяемый полученным
выражением
Преобразуй данное выражение
Оцени способ вычислений, определяемый
данным выражением
а
х
а
у