Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МЕХАНИКА
Механика. Виды механического движения. Системы отсчета. Средняя и мгновенная скорость. Ускорение. Законы Ньютона. Сила тяжести. Невесомость. Сила трения. Закон всемирного тяготения. Динамика вращательного движения. Закон сохранения механической энергии. Превращение энергии. Пример на макроскопическом, молекулярном, атомном и ядерном уровнях. Закон сохранения импульса. Уравнение Циолковского. Космические перелеты.
2.1. Механическое движение. Система отсчета
Механика – это раздел физики, в котором изучают механическое движение. Механика включает в себя кинематику, динамику и статику. Механическим движением называют изменение положения тел в пространстве относительно других тел с течением времени. Механическое движение делят на поступательное, вращательное и колебательное.
Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая проведенная в теле, перемещается параллельно себе. Вращательным называется движение, при котором все точки тела описывают концентрические окружности относительно некоторой точки, называемой центром вращения. Колебательным называют движение, при котором тело совершает периодически повторяющиеся движения около среднего положения, то есть колеблется.
Например, брошенный камень движется по сложной траектории, которую можно разложить на два движения: поступательное и вращательное. А колебательным движением можно пренебречь, поскольку расстояние между любыми двумя точками внутри камня не изменяется в процессе движения.
Тело, размерами которого при данных условиях можно пренебречь, считая при этом, что вся его масса сосредоточена в одной точке, называют материальной точкой. Размеры тела должны быть малы по сравнению с размерами рассматриваемой системы. Например, размеры автомобиля и расстояние между двумя пунктами его следования. В зависимости от условий или задач, одно и то же тело можно рассматривать как материальную точку или как объект, имеющий конечные размеры. Когда автомобиль можно считать точкой? Если он (пусть его длина 5 м) располагается в гараже размером 10 м, то его длина составляет от расстояния 5/10= 0.5×100%=50%, а если он стоит на территории МГУ размером 2 км ×1 км, то 5/2000= 0.0025×100%=0.25% его размерами можно пренебречь.
Для описания механического движения вводится понятие системы отсчета. Она включает в себя тело отсчета, систему координат и часы. Тело отсчета – это тело, к которому «привязывается» система координат. Система координат – это способ определения протяженности тела и его размеров. Известны разные системы координат: декартова, полярная, криволинейная и т.д. На практике используют чаще всего декартову и полярную системы координат. Декартова система координат – это (например, в двухмерном случае) два взаимно перпендикулярных луча, выходящих из одной точки, называемой началом координат, с нанесенным на них масштабом (рис.2.1а). Полярная система координат – это в двухмерном случае радиус–вектор, выходящий из начала координат и угол θ, на который поворачивается радиус-вектор (рис.2.1б). Часы необходимы для измерения времени.
Рис. 2.1. a) декартова система координат; б) - полярная система координат.
Линия, которую описывает материальная точка в пространстве, называют траекторией. Для двумерного движения на плоскости (х,у) это функция у(х). Расстояние, пройденное материальной точкой вдоль траектории, называют длиной пути (рис.2.2). Вектор , соединяющий начальное положение движущейся материальной точки r(t1) с каким – либо ее последующим положением r(t2) называют перемещением (рис.2.2):
.
Рис. 2.2. Длина пути (выделена жирной линией); – вектор перемещения.
Каждая из координат тела зависит от времени х=х(t), у=у(t), z=z(t). Эти функции изменения координат в зависимости от времени называют кинематическим законом движения, например, для х=х(t) (рис.2.3).
Рис.2.3. Пример кинематического закона движения х=х(t).
2.2. Скорость. Средняя и мгновенная скорость.
Ускорение.
Движение материальной точки с помощью кинематического закона может быть полностью описано.
Движение тела может быть равномерным (тело за равные промежутки времени проходит равные расстояния) или равноускоренным. Для описания равномерного движения вводится понятие скорости. Существует понятие путевой скорости V – отношения пройденного пути s к времени t, за которое пройден этот путь:
, (2.1.1)
скорости по перемещению или средней скорости (отношение перемещения к времени):
, (2.1.2)
а также мгновенной скорости:
. (2.1.3)
где - перемещение тела за промежуток времени , стремящийся к нулю.
Мгновенная скорость - это скорость в данной точке, например, когда человек смотрит на спидометр автомобиля. По смыслу мгновенная скорость – это предел, к которому стремится отношение перемещения к промежутку времени при уменьшении этого промежутка до нуля (рис.2.4). Понятие мгновенной скорости представляет собой математическое понятие производной функции. Наряду с площадями сложных фигур стремление найти способ вычисления скорости движения тела в данный момент времени стало основой развития дифференциального и интегрального исчисления.
Рис.2.4. Иллюстрация к понятию мгновенной скорости .
Путевая и средняя скорость различаются между собой тем, что путевая скорость всегда не меньше средней скорости. Например, если тело вернулось назад, то средняя скорость тела на всем участке пути будет равна нулю, а путевая - нет.
Скорость по перемещению по смыслу означает, если, например, расстояние между двумя пунктами преодолевается по извилистой дороге, то пройденный путь будет больше перемещения (например, расстояния между двумя населенными пунктами, измеренное линейкой на карте). Следовательно, и путевая скорость будет выше скорости по перемещению. Когда автомобиль, проехав по любой траектории, вернулся в исходную точку, его перемещение будет равно нулю
Аналогично понятиям скорости вводятся и понятие ускорения. Только в данном случае вместо пути и перемещения необходимо взять изменение скорости. Определения среднего и мгновенного ускорения вводятся по аналогии с понятиями средней и мгновенной скорости.
Среднее ускорение определяется как отношение изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение происходит:
, (2.1.4)
а мгновенное ускорение также как и мгновенная скорость, представляет ускорение в данный момент времени:
(2.1.5)
Ускорение можно представить через изменение координаты х=х(t). В этом случае оно представляет собой вторую производную зависимости координаты от времени x(t):
(2.1.6)
Скорость равноускоренного движения из определения ускорения (1.5) имеет вид:
(2.1.7)
Уравнение для пути равноускоренного движения для случая, когда движение точки происходит из начала координат, определяется следующим образом:
(2.1.8)
В выражении (1.17) путь s представляет собой площадь трапеции с основанием и , высотой, равной времени . Это наглядно видно на рис. 2.5, где представлена зависимость скорости равноускоренного движения от времени.
Рис.2.5. Скорость при равноускоренном движении.
Для вычисления пути можно использовать и интегральное исчисление:
2.2. Основные законы механики
Механика – это радел физики, который наиболее широко вошел в различные отрасли народного хозяйства. Это все виды механизмов, станков, автомобилей, расчет конструкций зданий и сооружений. Без механики невозможна работа высокотехнологичных процессов: запуск спутников, расчет их орбит и систем управления, исследование Вселенной, строительство летательных аппаратов, ускорителей, всех видов оружия. В медицине механика столь же значима, как и в других областях народного хозяйства. Механические изделия очень широко используются и в медицине. Они применяются в хирургии и травматологии, в кардиологии, онкологии и других направлениях. Самые высокотехнологичные современные приборы используют сверхточную механику, например, для наведения в заданную пучков лазерного, или ультразвукового излучения, а также пучков из ускорителей заряженных частиц. Имени исследования в медицине были положены в механики движения жидкости, а также стали отправной точкой для создания батареек, а затем и теории электрического тока.
В механике можно выделить динамику и статику, механические законы сохранения и закон всемирного тяготения.
2.2.1. Законы Ньютона
Динамикой называют раздел механики, в котором изучают различные виды механических движений тел и их взаимодействия между собой. Она включает динамику поступательного и вращательного движения, динамику движения жидкости. Формирование динамики Ньютоном позволило впервые создать теорию, объясняющую окружающий нас мир. Эта теория получила название классической механики.
Основу динамики составляют три закона Ньютона, которые входят в состав классической механики.
Введение Ньютоном понятия силы стало базой для формулировки законов механики. Хорошо известно, что скорость любого тела изменяется под действием других тел. При их отсутствии тело останавливается или движется равномерно, но при этом уменьшение (изменение) скорости опять происходит под действием внешних сил. Если мысленно предположить, что на тело не действуют внешние силы, то оно, по логике, должно двигаться равномерно и прямолинейно. Это утверждение составляет первый закон Ньютона. Его более точная формулировка выглядит так: существуют такие инерциальные системы отсчета, относительно которых тело при отсутствии воздействия на него внешних сил (или при их взаимной компенсации) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. По смыслу первый закон Ньютона утверждает, что если на тело не будут действовать ни какие внешние силы, и его направление движения и скорость будут оставаться неизменными.
Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называют инерциальными. К выводу о существовании явления инерции впервые пришел Галилей, а затем и Ньютон. Галилеем впервые был сформулирован и принцип относительности, носящий его имя: никакими механическими опытами, поставленными внутри инерциальной системы отсчета, невозможно установить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно.
Например, Вы находитесь в поезде, который медленно начинает двигаться на стации. Наблюдая в окно за другим составом, находящемся на соседних путях, вы не можете определить какой из составов начал движение – Ваш или соседний. Лишь удар колес о стыки рельсов позволит установить, что движение начал Ваш состав.
Впоследствии этот принцип был распространен на инерциальные системы отсчета, движущиеся с любыми, в том числе и релятивистскими скоростями. Он получил название принципа относительности Эйнштейна: математическое выражение любого закона физики имеет одинаковый вид в каждой инерциальной системе отсчета.
Системы отсчета, в которых не выполняется первый закон Ньютона, получили название неинерциальных. К неинерциальным системам отсчета относятся, например, системы отсчета расположенные на Земле и вращающиеся вместе с ней. Вообще практически все системы отсчета неинерциальные, поскольку космические тела и галактики движутся не по прямой линии. Инерциальные системы отсчета – достаточно идеализированные и применимые в ограниченном объеме пространства или времени.
Примером неинерциальной системы отсчета является наша Земля. Любая система координат, расположенная на ней, во-первых, будет вращаться вокруг земной оси вместе с Землей. Во-вторых, вместе с Землей будет вращаться вокруг Солнца. В-третьих, вместе с Солнцем и нашей Галактикой двигаться по спирали и, к тому же, ускоренно. Как видим, движение системы выбранной нами координат будет очень сложным. Однако и в этих условиях можно выбрать систему координат, которая может с хорошей степенью точности считаться инерциальной. Для этого надо ввести ограничения на размеры системы, в которой мы будем производить измерения. Также необходимо ограничить время, в течение которого мы будем производить измерения.
Рассмотрим, например, измерение скорости движения поезда между Москвой и Санкт-Петербургом. Эта система по сравнению с размерами Земли мала (сравните 700 км и диаметр Земли 13000 км). Поэтому систему отсчета можно считать примерно инерциальной. Хотя такое представление будет весьма условно, поскольку даже за 4 часа движения Земля повернется на одну шестую часть своего периода вращения. Москва и Санкт-Петербург за это время переместятся вокруг Земли на расстояние ~ 3300 км.
Второй закон Ньютона гласит, что ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей всех сил, приложенных к телу:
(2.2.1)
Силу можно определить как воздействие на тело, способное привести его в состояние ускоренного движения. Равнодействующей всех сил называют векторную сумму всех приложенных к телу сил. В системе единиц СИ сила измеряется в ньютонах. Стремление тела сопротивляться изменению его движения называют инертностью тела. Мерой инертности является масса тела.
Второй закон Ньютона относится к наиболее фундаментальным законам физики. В неинерциальной системе отсчета второй закон Ньютона не действует. Так, например, в падающем лифте на тело действует сила, хотя относительно лифта тело покоится (a=0). В тоже время относительно Земли это тело движется с ускорением g. Смысл второго закона Ньютона в том, что если тело движется неравномерно, либо непрямолинейно, то на него обязательно действует сила. Любое тело или частица во Вселенной в условиях всемирного тяготения всегда будет двигаться по сложной непрямолинейной траектории. Согласно общей теории относительности Эйнштейна даже фотоны под действием тяготения слегка искривляют свою траекторию.
Помимо этих законов, наблюдения показывают, что книга, на которую действует сила тяжести, тем не менее, покоится. Увеличение давления на книгу не приводит к ее движению. Следовательно, должна быть сила, уравновешивающая силу тяжести.
Такие силы определяются третьим законом Ньютона, который гласит: когда одно тело действует на другое с некоторой силой, со стороны второго тела на первое действует сила, равная по величине и противоположная по направлению силе действия. Другими словами, сила действия равна силе противодействия, или:
(2.1.2)
Таким образом, третий закон Ньютона определяет силу противодействия или реакции опоры N. Приведем пример. Человек двигается по почве под действием силы трения Fтр (рис.2.1). Чтобы человек мог двигаться, почва под ногами не должна проскальзывать, то есть скорость движения ноги относительно почвы должна быть равной нулю. Это будет, когда сила сопротивления почвы равна силе трения. Сила трения Fтр действует на человека со стороны почвы, а человек силой действует на почву. Эти силы связаны между собой третьим законом Ньютона:
Рис.2.6. К объяснению силы трения при движении человека.
Еще пример. Если человек будет двигаться по льду, сопротивление почвы уменьшится, и скорость его движения станет меньше, так как ноги будут проскальзывать. Существует высказывание «как белка в колесе». По смыслу оно означает, что белка бежит в колесе, быстро перебирая лапами, и при этом остается на месте. Это происходит потому, трение колеса об ось практически равно нулю. Таким образом сила сопротивления колеса равна нулю . Под действием лап белки оно крутится в обратную сторону. Сила трения Fтр, действующая со стороны колеса на белку также равна нулю.
Когда тело покоится, сила тяжести представляет собой реакцию опоры, на которую действует данное тело, что описывается третьим законом Ньютона:
(2.2.3)
Взвешивая тело на пружинных весах, мы измеряем реакцию опоры пружины, то есть степень ее сжатия под действием веса тела.
Одно и тоже тело на Земле и Луне будет иметь одинаковую массу, но разный вес, так как ускорение свободного падения на Земле больше в 6 раз, чем на Луне. В лифте, движущемся вверх с ускорением (рис.2.2), сила тяжести представляет собой реакцию опоры, действующую на тело массы :
(2.2.4)
Рис.2.7. К понятию реакции опоры.
Из (2.2.4) видно, что если тело движется вниз с ускорением, то реакция опоры N уменьшается, а если тело движется с ускорением вверх, то его вес возрастает. Три закона Ньютона относятся к фундаментальным классическим законам, описывающим движение.
Открытие Ньютоном трех законов динамики позволило ввести понятие инерциальной системы отсчета и научится переходить из одной системы отсчета в другую, ввести понятие силы, массы, ускорения, реакции опоры, определить условия движения тела и объяснить причины его состояния покоя. Это стало началом теоретической механики и многих прикладных направлений науки и техники.
Особенное значение сыграло и открытие принципа суперпозиции, что дало возможность использовать достижения математики (прежде всего линейную алгебру, правила сложения векторов) в описании физических явлений.
Смысл его заключается в следующем. Если на тело действует несколько сил, то суммарное их действие равно векторной сумме действующих сил:
(2.2.5)
Силы складываются по правилу сложения векторов (рис.2.8).
Рис. 2.8. Принцип суперпозиции: a) сложение векторов, б) вычитание векторов.
Формула (2.2.5) свидетельствует о справедливости принципа независимости действия сил (принципа суперпозиции), который формулируется так: если на тело действуют одновременно несколько сил, действие каждой из них можно рассматривать независимо от действия остальных.
Если бы этот принцип не действовал, то в формуле (2.2.5) силы Fi необходимо было бы умножить на коэффициенты αi, отличающиеся от единицы. Смысл этих коэффициентов – степень нарушения принципа суперпозиции для каждой из сил (если он не нарушается то αi=1). При сложении сил нельзя было бы применить правила сложения векторов без учета коэффициентов αi.
Как оказалось, принцип суперпозиции действует во всех разделах физики. Поэтому – его справедливость также важный фундаментальный факт.
Силы трения. Применение законов Ньютона позволяет определить силу трения как силу, препятствующую движению.
При движении трение оказывает вредное влияние: расходует дополнительную энергию, нагревает соприкасающиеся тела и приводит к их быстрому износу и разрушению, уменьшает скорость. При конструировании многих механизмов, прикладываются значительные технологические усилия с целью уменьшения силы трения между частями механизмов. Так, например, улучшают качество масла в двигателях автомобилей.
С другой стороны трение носит и позитивный характер. Так, например, наше движение или прыжки кузнечиков обеспечиваются силой трения. Автомобиль трогается с места потому, что на него со стороны Земли действует сила трения. Если трение уменьшится, то колеса начнут проскальзывать (станет меньше, а так как ), и скорость движения автомобиля уменьшится (рис.2.9). Если сила трения станет равной нулю, то автомобиль будет стоять на месте, а колеса будут крутиться. Трение превращает механическую энергию в тепло. Как известно, наши далекие предки получали огонь при трении двух палок друг о друга, или высекали огонь при трении камней.
Рис.2.9. К понятию роли трения при движении автомобиля.
Существуют разные виды силы трения: внешнее и внутреннее. Внешним называют трение, которое возникает при соприкосновении тел. В этом случае силы трения направлены вдоль их поверхности (по касательной к ней ). Причем сила трения всегда перпендикулярна силе реакции опоры, как видно на (рис.2.4). Внутренним трением или вязкостью называют вид трения между слоями жидкости или газа.
К внешнему трению относятся трение покоя, скольжения и качения. Трение покоя возникает между неподвижными телами, которые пытаются сдвинуть с места. При попытке сдвинуть стол трение покоя равно приложенной к столу силе, так как мы увеличиваем усилие, а стол продолжает стоять на месте. Трение покоя – это сила, направленная противоположно действующей на тело внешней силе:
, (2.2.6)
где kпок – коэффициент трения покоя, F – приложенная сила.
Обычно коэффициент трения покоя kпок=1, то есть приложенная сила равна по модулю силе трения покоя (рис.2.10). Это происходит в интервале изменения силы F: или если сила направлена в обратную сторону, то ее описывает левая нижняя часть графика на рис.2.10. А изменение происходит в интервале:
При некоторой силе, приложенной к столу, он начнет двигаться. Это происходит в момент, когда трение покоя станет равным трению скольжения . Если дальше увеличивать силу, он приобретет ускорение. Трение скольжения – сила сопротивления движению одного тела по поверхности другого, направленная в сторону, противоположную движению и описываемая выражением:
(2.1.7)
где - сила реакции опоры (она представлена на рис.2.2), kск – коэффициент трения скольжения, который также как и коэффициент трения покоя является безразмерной величиной. Он зависит от веществ, из которых сделаны трущиеся поверхности, и условий механической обработки, приводящей к изменению гладкости поверхности. Этот коэффициент измерен экспериментально для скольжения одних материалов по другим. Для практического использования существуют таблицы коэффициентов трения скольжения. На рис.2.5 представлена зависимость сил трения покоя и скольжения от приложенной силы. Сила трения скольжения не зависит от величины приложенной силы.
Рис. 2.10. Зависимость сил трения покоя Fпок и скольжения Fск от приложенной силы.
При соприкосновении круглой и плоской или двух круглых поверхностей трущихся тел возникает сила трения качения. Причина трения качения связана с величиной площади соприкосновения двух поверхностей. Чем меньше длина дуги l соприкосновения двух поверхностей, тем меньше сила трения качения (рис.2.11). Как видно на рис.2.6 нормальная составляющая реакции опоры Rнорм компенсирует действие силы тяжести, а тангенциальная составляющая Rтанг связана с силой трения качения Fкач=kкачRтанг:
, (2.2.8)
где kкач – безразмерный коэффициент трения качения, l – длина половины дуги соприкасающихся поверхностей, r – радиус катящегося тела.
Например, телега по проселочной дороге движется с маленькой скоростью, а автомобиль по шоссе может развивать существенно более высокую скорость. Не рекомендуется «перекачивать» колеса автомобиля, так как трение скольжение чрезмерно уменьшится, что приведет к уменьшению устойчивости автомобиля на дороге при резком торможении. Для уменьшения трения двух круглых цилиндров, надетых друг на друга, между ними устанавливают шарико – подшипниковые втулки.
Вязкое трение. Сила трения возникает и при движении тела в жидкости или газе. Так металлический шарик, упавший в аквариум, приобретет в нем некоторую установившуюся (постоянную) скорость. Капли дождя в воздухе также падают с вполне определенной конечной скоростью (в случае отсутствия вязкого трения их скорость составляла бы сотни метров в секунду, примерно как у пули, и вряд ли кому-нибудь можно было бы пожелать попасть под такой дождь). Экспериментально установлено, что в жидкостях, из-за их высокой плотности и, следовательно, вязкости, тело не может развить высокую скорость. Поэтому в них сила вязкого трения тела о слои жидкости пропорциональна скорости тела и соответственно составляет:
, (2.2.9)
Рис. 2.11. Сила трения качения.
где kвт – коэффициент вязкого трения в жидкости, V – скорость тела.
Сила вязкого трения в газе, где плотность вещества во много раз меньше, чем в жидкости, пропорциональна квадрату скорости тела:
(2.2.10)
где kвтг – коэффициент вязкого трения в газе, V – скорость тела.
Коэффициенты вязкого трения в жидкости и газе - размерные величины:
Примером вязкого трения является трение слоев воды в реке или ручье. Вблизи берега скорость воды близка к нулю, тогда как к центру реки скорость воды возрастает. Распределение скорости имеет вид, представленный на рис. 2.12.
Рис. 2.12. Пример вязкого трения.
Другой пример – скорость падения капель на землю. Представьте, что капли дождя падают на землю с высоты 2000 метров. Если бы не было сопротивления воздуха, их скорость у поверхности земли составляла бы:
.
Их скорость была бы сравнима со скоростью пули. Капли пробивали бы обшивку автомобиля, а человека просто могли бы убить. На самом деле скорость капель с массой 0.1 грамма составит:
.
Таким образом, трение капель о воздух определяет их предельную скорость, и, в десятки раз уменьшает ее, по сравнению со скоростью движения капель без сопротивления воздуха.
Закон всемирного тяготения. Некоторыми учеными, в том числе и Гуком, высказывалась идея о том, что сила притяжения между Луной и Землей пропорциональна . Анализируя взаимодействие Земли и Луны, Исаак Ньютон пришел к этому же заключению. Успех Ньютона заключается в том, что он осознал гравитационную природу взаимодействия планет и Солнца. В 1685 году он пришел к выводу, что сила взаимодействия двух тел пропорциональна их массам, а также величине, обратной квадрату расстояния между ними . Это составило содержание знаменитого закона всемирного тяготения Ньютона. Он формулируется так: каждая частица во Вселенной притягивает любую другую частицу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Сила гравитационного взаимодействия двух тел действует по линии, соединяющей их центры тяжести.
Величина силы тяготения описывается выражением:
, (2.2.11)
где m1 и m2 – массы взаимодействующих тел, r – расстояние между ними, G – гравитационная постоянная, - единичный вектор, направленный по прямой, соединяющей центры масс этих тел.
Строго говоря, взаимодействие происходит между всеми частицами этих тел, что можно учесть интегрированием взаимодействия (эта операция была также придумана Ньютоном).
Рис. 2.13. Опыт Кавендиша.
Закон всемирного тяготения описывает движение всех планет, звезд и Галактик. По отклонению космических тел от их расчетных траекторий определяли наличие рядом с ними планет – спутников. Этот закон основной в астрономических исследованиях. Он позволил сделать множество открытий в физике и астрономии, например, определить плотность планет, расположенных от Земли на миллионы километров или определить наличие черных дыр и нейтронных звезд.
Количественно закон всемирного тяготения был подтвержден в опытах Кавендиша1 лишь через 100 лет после смерти Ньютона. На рис.2.13 приведен уникальный по точности опыт Кавендиша. В нем на крутильных весах размещается зеркальце. По отражению «зайчика» на большом расстоянии от установки удалось зарегистрировать очень малые отклонения2, возникающие в результате притяжения двух шаров. В этих опытах ему удалось экспериментально измерить гравитационную постоянную G, величина которой по современным экспериментальным данным составляет:
Из формулы (2.2.11) следует, что гравитационная постоянная является размерной величиной.
Ускорение свободного падения, впервые измеренное Галилеем, с использованием закона всемирного тяготения определяется из уравнения, связывающего силу тяжести с силой притяжения тела и Земли:
, (2.2.12)
Откуда:
(2.2.13)
Если тело находится на высоте h над поверхностью Земли, то сила притяжения и, следовательно, ускорение свободного падения должны изменяться:
, (2.2.14)
где – ускорение на поверхности Земли для высоты , – радиус Земли.
Динамика движения по окружности. Как следует из первого закона Ньютона любое тело, двигающееся не по прямой линии, обязательно движется с ускорением. Движение тела с постоянной скоростью V по окружности радиуса R происходит с ускорением, направленным к центру окружности. Поэтому оно получило название центростремительного ускорения:
(2.2.15)
В этом случае величина ускорения не меняется, а изменяется его направление. Действие центростремительного ускорения человек ощущает, когда, качаясь на качелях, чувствует силу, прижимающую его в нижней точке движения качелей. При повороте движущегося автобуса пассажиров прижимает к стенке автобуса. И в том и другом случае со стороны качелей и стенки автобуса (рис.2.14) на человека действует центростремительная сила.
Под действием центростремительной силы происходит вращение планет и Солнца. При вращении космического корабля вокруг Земли ускорение свободного падения и является центростремительным ускорением. А центростремительная сила и возникает в результате притяжения спутника и Земли. В этом случае она равна силе притяжения спутника к Земле:
. (2.2.16)
В медицине для разделения веществ широкое распространение получило устройство, называемое центрифугой. В нем все частицы движутся по окружности с большой скоростью. Под действием центробежной силы они попадают на некоторый участок экрана в зависимости от их массы, где их можно собрать и распознать. Другой пример – отжим белья после стирки. При высоких оборотах центрифуги капли воды вылетают из мокрого белья, попадают на внутреннюю стенку оболочки центрифуги и по ней стекают вниз стиральной машины. Чем выше обороты барабана, тем более мелкие капли, которые прочней удерживаются мелкими волокнами белья, покинут его.
Центробежной называется сила, равная по модулю центростремительной силе, но направленная в противоположную сторону.
Рис. 2.14. Пример центростремительной силы.
Она вводится в неинерциальной системе координат. Такими являются все системы координат, вращающиеся по окружности вместе с частицами.
На рис.2.15 приводятся примеры движения тела по выпуклой и вогнутой поверхности. Для этих случаев второй закон Ньютона записывается в виде:
(2.2.17)
(2.2.18)
Как видно из (2.2.17) при движении тела по выпуклой поверхности его вес, то есть реакция опоры уменьшается:
,
а при движении по вогнутой поверхности (2.1.18) увеличивается:
.
Рис. 2.15. Движение по вогнутой (а) и выпуклой (б) поверхностям.
При движении по выпуклой поверхности вес автомобиля уменьшается, а, следовательно, уменьшается и величина трения скольжения о поверхность. Это снижает устойчивость автомобиля, и он скорее может начать скользить. При движении по вогнутой поверхности вес тела возрастает (оно как бы дополнительно прижимается к поверхности центробежной силой). В этом случае трение, а, следовательно, и устойчивость автомобиля возрастает.
При движении вокруг Земли тело обладает линейной скоростью V. Одновременно под действием силы тяжести оно движется к центру Земли с ускорением g. Это описывается вторым законом Ньютона:
Отсюда скорость, необходимая для того, чтобы тело вышло на околоземную орбиту, и, двигаясь вокруг Земли, не падало на нее, называется первой космической скоростью, которая составляет:
С такой минимальной скоростью необходимо запускать космические спутники, чтобы они не падали на Землю, а стали двигаться по круговой орбите.
Сравнивая уравнение, описывающее движение тела по выпуклой поверхности (2.1.17) с движением спутника по круговой орбите, видно, что его вес (то есть реакция опоры, когда он падает на Землю свободно – под действием силы тяжести) будет равен нулю. Таким образом, вес любого тела, например, космонавта, внутри спутника тоже будет равен нулю. Это явление свободного падения тела вместе со спутником к Земле получило название невесомости.
Исследование поведения живых организмов, включая человека, а также растений в условиях невесомости составляет область космической медицины.
Из уравнений (2.2.1) и (2.2.3) зная величину силы и ускорение можно вычислить массу тела. В первом случае, когда для этой цели используется второй закон Ньютона (2.2.1), масса определяется выражением:
,
и ее называют инертной.
Когда применяют закон всемирного тяготения (2.2.3) и (2.2.11), масса может быть вычислена, используя выражение:
.
Такая масса получила название гравитационной. Физики экспериментально с очень высокой точностью измеряли массу обоими способами. Современные эксперименты утверждают, что обе массы инертная и гравитационная совпадают с точностью, лучшей, чем 10-11.
Таким образом, закон всемирного тяготения устанавливает, что вокруг всякого тела существует гравитационное поле, которое «заставляет» все тела, имеющие массу, притягиваться. Случаев, когда происходило бы гравитационное отталкивание тел, на практике не зарегистрировано. Хотя в природе могут быть всякие, даже самые неожиданные открытия. Кстати гравитационное отталкивание представляет одну из гипотез, объясняющей расширение Вселенной с ускорением.
2.3. Законы сохранения импульса и энергии
Энергия и импульс являются важнейшими законами физики. Оказывается, что вообще в природе законы сохранения играют важную роль. Поиск сохраняющихся величин и законов, из которых они могут быть получены, – предмет исследований во многих разделах физики. Выведем эти законы простейшим способом из второго закона Ньютона. Для их вывода вводятся понятия скалярных величин работы и энергии. Работа, совершаемая постоянной силой при перемещении тела, определяется как скалярное произведение величины силы и проекции перемещения на направление силы (рис.2.16):
(2.3.1)
где F – постоянная сила, s – перемещение, - угол между направлением силы и перемещения.
То есть работа не имеет направления, а определяет некоторую величину.
Если угол между силой и перемещением составит 900, то работа силы будет равна нулю. При действии нескольких сил в качестве силы, совершающей работу, берется равнодействующая всех приложенных к телу сил. В случае, когда в процессе движения угол, а, следовательно, и проекция силы на направление движения тела сложным образом изменяются, работа вычисляется разбиением площади под кривой на сумму прямоугольников рис.2.17:
(2.3.2)
где - интервал разбиения пути S.
Рис. 2.16. Иллюстрация к определению работы силы.
При уменьшении интервала разбиения пути до бесконечно малой величины работа определяется интегрированием:
(2.3.3)
Работа и энергия – связанные между собой понятия. Энергия представляет собой одно из важнейших понятий в науке. Причем не только в механике, но и в других областях физики: термодинамике и молекулярной физике, электричестве, оптике, атомной, ядерной и физике частиц. По смыслу сумма всех видов энергии (полная энергия) должна оставаться неизменной во всех процессах природы.
Рис. 2.17. Вычисление работы при сложной зависимости силы от расстояния.
Энергию механического движения называют кинетической энергией. Связь между работой и энергией тела может быть вычислена из второго закона Ньютона:
с использованием кинематического соотношения:
,
Получаем, что совершенная работа равна изменению кинетической энергии тела:
(2.3.4)
Величину называют кинетической энергией поступательного движения тела.
Связь энергии и работы можно получить и путем интегрирования с использованием формулы (2.3.3):
(2.3.5)
Единицы измерения работы и энергии в системе СИ одинаковы:
Энергия, как и работа, является скалярной величиной. Она может быть обусловлена не только движением тел, но и их взаимным расположением и формой. Такую энергию называют потенциальной.
Потенциальной энергией обладают друг относительно друга два груза, соединенные пружиной, или тело, находящееся на некоторой высоте над Землей. Этот последний пример относится к гравитационной потенциальной энергии. Она вычисляется по формуле:
(2.3.6)
Учитывая, что вдоль координаты y составляет dy = dlcosθ, получаем изменение потенциальной энергии с высотой (рис.2.18), равная работе тела, совершенной при его перемещении в потенциальном поле:
, (2.3.7)
где h = y2 – y1 – высота, на которую переместилось тело по вертикали. Видно, что при движении тела в поле тяжести Земли, работа зависит от величины перемещения, но не зависит от пути, по которому тело движется из точки 1 в точку 2. Системы, в которых изменение потенциальной энергии не зависит от пути перехода из одной точки системы в другую, называются консервативными. К таким системам относятся поле тяжести Земли, поле электрического заряда, которые обычно называют потенциальными полями.
Рис. 2.18. К определению потенциальной энергии и консервативной системы. .
Для объяснения потенциального поля воспользуемся примером с колебанием груза на пружине. Для тела, колеблющегося на пружине, при условии малых колебаний справедлив закон Гука:
, (2.3.8)
Изменение потенциальной энергии равно работе силы, которая совершает перемещение тела:
. (2.3.9)
В этом случае потенциальная энергия тела на пружине составляет:
Отсюда сила, которая действует на тело в потенциальном поле, определяется через потенциальную энергию следующим образом:
(2.3.10)
Для вывода закона сохранения механической энергии рассмотрим пример движения тела в поле тяжести Земли. Тело, двигаясь из точки 2 в точку 1, под действием силы тяжести совершает работу (2.3.7). При этом, если точка 1 расположена на меньшей высоте (рис.2.18), кинетическая энергия тела увеличивается (2.3.5). Тогда увеличение кинетической энергии тела будет равно уменьшению потенциальной энергии:
Откуда сумма кинетической и потенциальной энергии в потенциальном поле при отсутствии силы трения будет постоянной величиной:
. (2.3.11)
Это соотношение представляет собой закон сохранения механической энергии, который формулируется так: полная механическая энергия тел, взаимодействующих только консервативными силами, в замкнутой системе сохраняется. Замкнутой называют систему, в которой сумма внешних сил, действующих на тело, равна нулю. Другая формулировка закона сохранения механической энергии - в замкнутой системе сумма начальной и конечной механической энергии всех частиц системы сохраняется:
, (2.3.12)
где .
Энергия может иметь и другие виды: электрическая (например, поле конденсатора), химическая (запасенная в пище и топливе), внутренняя (имеющая форму движения и взаимодействия молекул и атомов), атомная (выделяющаяся при распаде атомов), ядерная (запасенная в энергии связи ядер).
Для всех видов энергии закон ее сохранения формулируется следующим образом: при любых процессах полная энергия не увеличивается и не уменьшается. Энергия может превращаться из одного вида в другой и передаваться от одного тела другому, но ее полная величина сохраняется постоянной.
Энергия – свойство материи, количественная мера ее движения, то есть одно из наиболее общих понятий физики. В любой системе, принадлежащей физическому миру, энергия сохраняется при любых процессах. Меняться может лишь форма, в которую она переходит.
При попадании пули в кирпич часть кинетической энергии (причем большая) переходит в тепло. Причина этого – наличие силы трения между пулей и кирпичом, в котором она двигается с большим трением. При вращении ротора турбины механическая энергия превращается в электрическую энергию, а при этом в замкнутой цепи возникает ток. Когда частицы света попадают на катод, они сообщают дополнительную кинетическую энергию электронам, достаточную для их отрыва от поверхности металла. Это приводит к возникновению тока в замкнутой цепи, где между электродами (анодом и катодом), расположенными в вакууме, первоначально нет носителей заряда.
Энергия, выделяющаяся при сжигании химического топлива, то есть энергия молекулярных связей, превращается в тепловую энергию. Причем природа химической энергии – это энергия межмолекулярных и межатомных связей, по сути, представляющая собой молекулярную или атомную энергию3.
Все живое на земле существует за счет потребления энергии. Условие жизни растений – это потребление солнечной энергии. В результате сложных химических процессов поглощенная энергия света позволяет синтезировать клетки и питать их химическими элементами из почвы. Живые организмы потребляют энергию, расщепляя пищу. В результате выделяется энергия химических межмолекулярных связей. Эта энергия поступает в клетку, поддерживая все происходящие в ней процессы.
В атомных электростанциях энергия связи ядер превращается в тепловую энергию, которая под действием пара вращает турбину, то есть превращается сначала в тепловую, а затем и механическую энергию, а в дальнейшем механическая энергия превращается в энергию электрического тока.
Еще одной важной энергетической характеристикой является мощность. Мощность – это скорость изменения энергии с течением времени:
(2.3.13)
или, другое определение мощности как работы, совершенной в единицу времени:
(2.3.14)
Мощность в системе единиц СИ измеряется в ваттах: Вт=Дж/с. По смыслу мощность можно интерпретировать как интенсивность совершения работы или передачи энергии. На вашем электрическом счетчике измеряется мощность всех действующих у вас дома электрических приборов умноженная на время, в течение которого приборы включены, то есть согласно (2.3.13) потребленная энергия. На счетчике она измеряется в единицах :
1 .
Закон сохранения импульса. Из практики хорошо известно, что тело, имеющее заданную скорость, но большую массу, остановить тяжелее, чем более легкое. Это связано с тем, что тело с большей массой обладает большим количеством движения. Другой пример, когда человек прыгает с санок, стоящих на льду. Чем легче санки по сравнению с массой человека, тем короче будет прыжок. Если масса санок по сравнению с массой человека будет пренебрежимо мала, то в результате прыжка санки приобретут скорость, а человек останется на месте. Объяснить эти примеры можно при использовании понятия импульса.
Импульс или количество движения определяется как произведение массы m на скорость , . Второй закон Ньютона с использованием определения импульса записывается в виде:
, (2.3.15)
где - равнодействующая приложенных к телу сил.
Замкнутой системой называют систему, в которой сумма внешних сил, действующих на тело равна нулю:
. (2.3.16)
Тогда изменение импульса тела в замкнутой системе составляет:
. (2.3.17)
В этом случае импульс системы частиц остается постоянной величиной:
(2.3.18)
Это выражение представляет собой закон сохранения импульса, который формулируется так: когда сумма внешних сил, действующих на тело или систему тел, равна нулю, импульс тела или системы тел является постоянной величиной. Другое определение: в замкнутой системе сумма импульсов всех частиц системы сохраняется:
(2.3.19)
Пример 2.1. Человек массы M, находясь на льду, бросает тяжелый камень массой m со скоростью v. Определить скорость человека.
Камень полетит в одну сторону, а человек станет скользить в другую. Скорость человека вычисляется с помощью закона сохранения импульса, который записывается так:
MV – mv = 0.
Откуда скорость человека составляет:
V = (m/M)v (2.3.20)
Пример 2.2. Человек массы m переходит с одного края лодки массы М и длиной L на другой. На какое расстояние переместится лодка.
По закону сохранения импульса скорость человека v и скорость лодки связаны соотношением:
MV = mv
В сумме перемещение лодки х=Vt и человека y=vt равно длине лодки:
или
х+у=L. (2.3.21)
Умножая первое уравнение на время t переписываем его в виде:
Mх = mу (2.3.22)
Решая систему уравнений (2.3.21) и (2.3.22), получаем величину смещения лодки х:
.
Рис.2.19. Применение закона сохранения импульса в примере о движении ракеты.
Еще один пример, имеющий такое же решение, как и в предыдущем случае. Ракета массы М взлетает вверх, из нее с большой скоростью v выбрасывается поток газов m. Чем выше скорость газа, тем быстрее и выше поднимается ракета. Ее скорость, как в примере 2.1, описывается выражением (2.3.20), а высота подъема вычисляется по формуле:
На самом деле масса топлива сгорает не мгновенно. Поэтому необходимо рассматривать движение с переменной массой, что и происходит при запуске космических кораблей. Такое уравнение впервые было написано и решено К.З.Циолковским.
Уравнение Циолковского. К.Э. Циолковский, великий русский ученый, получил уравнение, которое позволяло вычислить скорость, которую получит ракета в реальном случае, когда топливо не сгорает мгновенно, а общая масса ракеты уменьшается постепенно.
Представим себе ракету, взлетающую с поверхности Земли. Вполне естественно, что топливо, находящееся в ракете не сгорит мгновенно. Поэтому неверно применять закон сохранения импульса в виде dMU=MV, где dM и M, U и V соответственно массы и скорости ракеты и газов. В этом случае предполагается, что топливо сгорит не мгновенно. Циолковский вывел закон изменения импульса ракеты для случая, когда масса топлива уменьшается постепенно. Математически это имеет вид:
(2.3.23)
Величиной dM·dV пренебрегаем, поскольку оба множителя – малые величины. Уравнение для изменения импульса тела с переменной массой приобретает вид:
Отсюда сила тяги ракеты (или любого тела переменной массой) имеет вид:
(2.3.24)
Из уравнения (2.3.24) видно, что максимальная скорость, достигаемая космическим аппаратом, зависит от скорости, с которой вылетают газы из сопла ракеты. Поэтому разрабатываются, например, ядерные двигатели, где скорость истечения газов выше, чем при горении химического топлива. В этом случае можно достигнуть скорости выше 100 км/с. Это очень важно для практической реализации перелетов хотя бы в рамках солнечной системы.
Перемещение космических аппаратов в безвоздушном пространстве может осуществляться благодаря использованию закона сохранения импульса – то есть путем выброса газа в сторону, противоположную движению космического корабля. Поворот и коррекция его траектории также осуществляется включением дополнительных двигателей, направление выброса газа из которых может составлять различные углы по отношению к направлению выброса газа основным двигателем. При этом импульсы складываются по правилу параллелограмма (рис. 2.19).
Контрольные вопросы к лекции №2:
1Эксперимент Кавендиша по проверке закона всемирного тяготения был выполнен в 1798 году.
2 Смысл эксперимента заключался в том, что при повороте зеркальца вместе с крутильными весами «зайчик» перемещается на расстояние пропорциональное радиусу поворота. Располагая экран на большом расстоянии от крутильных весов можно было регистрировать повороты на очень малые углы, порядка долей секунды.
3 В современной терминологии под атомной энергией понимают энергию расщепления ядер. Точнее было бы называть ее ядерной энергией.
PAGE 16