У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Сибирская академия государственной службы Л

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 1.2.2025

                                                                                                                                                                                                                                                                                             Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«Сибирская академия государственной службы»

Л. Л. Высоцкий

Моделирование в управлении

Практикум

для студентов всех форм обучения

по специальностям:

080504.65 – Государственное и муниципальное управление

080505.65 – Управление персоналом

080105.65 – Финансы и кредит

080103.65 – Национальная экономика

Новосибирск – 2008


Издается в соответствии с планом учебно-методической работы СибАГС

УДК 338 (0.75.8)

ББК 65.050я73

         В12

Рецензенты:

П. В. Шеметов, проф., д-р экон. наук, академик МАН ВШ;

Ю. Г. Федулов, проф., д-р техн. наук, академик МАИ;

А. П. Пичугин, проф., д-р техн. наук, академик РАЕН;

Н. М. Толкачев, проф. СибАГС, канд. экон. наук

В93        Высоцкий Л.Л.

Моделирование в управлении : Практикум. – Новосибирск: СибАГС, 2008. – 310 с.

ISBN 

В настоящем практикуме приводятся задачи по основным моделям, применяемым при разработке и оптимизации решений в практике управления, таким как модели планирования, прогнозирования, балансов, обслуживания, оптимизации производственных программ, смесей, запасов и др.

Отличительной особенностью практикума является наличие в нем кроме образцов решения типовых задач «ручным» способом, образцов решения их с использованием табличного процессора Excel, а для задач сетевого планирования и управления – программного продукта Microsoft Project.

Практикум предназначен для студентов всех форм обучения, изучающих дисциплины «Разработка управленческого решения» (федеральный компонент ГОС), «Менеджмент», «Логистика», обучающихся по специальностям 080504.65 – Государственное и муниципальное управление, 080505.65 – Управление персоналом, 080105.65 – Финансы и кредит, 080103.65 – Национальная экономика.

Практикум может быть использован учителями средних образовательных учреждений с усиленной подготовкой по экономике и преподавателями менеджмента вузов, а также может быть интересен и полезен всем, кто хотел бы разобраться в проблемах анализа, прогноза динамики и оптимизации развития технических, технологических, мягких (биологических, экономических и др.) систем.

© Л Л.Высоцкий,  2008

© Оформление. СибАГС,  2008

ISBN 


Об авторе:

Леонид Высоцкий, выпускник математического факультета НГУ, специалист в областях инновационного менеджмента, экономико-математического моделирования, АСУ, системного анализа, экологии теплоэнергетики, руководитель и разработчик реализованных проектов:

  •  Автоматизированная система учета, нормирования и планирования промышленного транспорта (заказчик – МРФ РСФСР).
  •  Оптимизация транспорта нефтепродуктов (заказчик – ЦНИЛ ГосКомНефтепродкутов РСФСР).
  •  Оптимальное планирование экспериментов биохимического производства (заказчик – Новосибирское объединение «Биофарм»).
  •  Интервальное нормирование длительности производственных процессов (заказчик – Новосибирское объединение «Биофарм»).
  •  Модернизация Приморского сахарного комбината (ПСК) (заказчик – ПСК).
  •  Технико-экономический анализ и мобилизация резервов эффективности мазутной ТЭЦ средней мощности (заказчик – ПСК),
  •  Обоснование размещения немецких технологий деревообработки для производства погонажных изделий в бывших цехах Бердского завода «Вега» (заказчик – лауреат золотой медали Сибирской ярмарки –2000 компания «Мастер и Ко»).

Л. Высоцкий – профессор каф. государственного и муниципального управления Сибирской академии государственной службы,

– директор по науке Сибирского научно-инновационного института государственного управления, предпринимательства и права,

– член Высшего коллегиального совета Медународного института культурной интеграции.

Л. Высоцкий имеет более 150 научных работ и изобретений.


Практикум

Высоцкий Леонид Леонидович

Моделирование в управлении

В авторской редакции

Корректор

Лицензия ЛР № 040805

от 24 марта 1997 г.

Подписано в печать  15.05.2008.          Формат бумаги 60х84/16.

Бумага офсетная. Печать «RISO». Уч.- изд. л. 19,04. Усл. печ. л. 19,0

Тираж 1000 экз.

630102, Новосибирск, СибАГС, ул. Нижегородская, 6

Заказ №

Оглавление

Предисловие 5

Введение 7

  1.  Понятия модели и моделирования 13
  2.  Балансовые экономические модели 23
  3.  Индивидуальные задания 23
  4.  Основы балансовых экономических моделей 25
  5.  Упражнения 27
  6.  Указания к выполнению индивидуального задания 40

3.Прогнозирование и корреляция 48

  1.  Индивидуальные задания 48
  2.  Упражнения 50

4.Поддержка инновационных процессов 56

  1.  Индивидуальные задания 56
  2.  Упражнения 58

5.Системы обслуживания 72

  1.  Индивидуальные задания 72
  2.  Марковские процессы 74
  3.  Основные модели потоков событий 78
  4.  Стационарные режимы марковских процессов 82
  5.  Простейшие модели систем обслуживания с ожиданием 86
  6.  Упражнения 95
  7.  Ответы к задачам раздела 5 107

6.Управление запасами 108

  1.  Индивидуальные задания 108
  2.  Упражнения 109

7.Оценка инвестиционного проекта 120

  1.  Индивидуальные задания 120
  2.  Упражнения 121

8.Простейшие модели оптимизации 133

  1.  Индивидуальные задания 133
  2.  Упражнения 145

9.Дисперсионный анализ 161

  1.  Индивидуальные задания 161
  2.  Упражнение 162

10.Экспертные оценки в управленческих решениях 168

  1.  Индивидуальные задания 168
  2.  Роль и место экспертных оценок 168
  3.  Организация экспертного опроса 170
  4.  Виды экспертных оценок 173
  5.  Анализ и совершенствование экспертизы 180
  6.  Ошибки ранжирования 180
  7.  Оценка близости мнений экспертов 185
  8.  Формирование согласия мнений экспертов 201

10.6.Упражнения 203

11.Многокритериальные решения 208

11.1. Индивидуальные задания 208

11.2.Формирование многокритериальных решений 209

  1.  Формирование критериев 209
  2.  Разработка альтернатив 211
  3.  Сравнение альтернатив 214

11.3.Оценки многокритериальных решений 217

  1.  Многокритериальные оценки в условиях определенности 217
  2.  Многокритериальные оценки в условиях неопределенности 227
  3.  Многокритериальные оценки в условиях риска 234

11.4.Упражнения 242

12. Сетевое планирование и управление 249

  1.  Индивидуальные задания 249
  2.  Основы сетевого планирования и управления 249
  3.  Упражнения 272

Литература 280

Приложения 281

П.1. Элементы линейной алгебры 281

П.1.1. Определители и обратная матрица 281

П.1.2. Свойства определителя матрицы 286

П.1.3. Формулы Крамера 288

П.1.4. Теорема о линейной независимости векторов 290

П.2. Элементы корреляционного анализа 292

П.2.1. Ранговая корреляция 292

П.2.2. Анализ множественных связей 298

П.3. F-распределение Фишера, а=0,05 307

П.4. -распределение 308

П.5. t-распределение Стьюдента 309

П.6. Критические значения S 310


Предисловие

Настоящая работа ориентирована на мобилизацию межпредметных связей для разработки управленческого решения (с элементами тематик общего, стратегического и инновационного менеджмента, статистики, логистики, управления проектами и программами, математического моделирования и информатики).

Казалось бы, сравнительно короткий отрезок времени отделяет 2005-й год от 1998-го, однако даже такой период не мог не отразиться на педагогической технологии преподавания изложенной в книге тематики, к примеру, схем поддержки инновационных процессов. Сами схемы определения наиболее выгодных вложений не изменились. Однако в отличие от 1998 г., когда из потока студентов в 50-60 человек только двое-трое предлагали решения индивидуальных задач, выполненные с использованием компьютера, теперь предоставляется возможность работать в таком режиме всем. Этот режим имеет особенность, заключающуюся в возможности использования студентами чужих программ. Мы не видим в этом ничего плохого. Ведь так и в реальной жизни управленец будет по большей мере использовать программное обеспечение, подготовленное другими. Процедура защиты индивидуальных работ позволяет выявить, с одной стороны, знающих алгоритмику и ориентируюшихся в смысле задачи и, с другой стороны, таковыми не являющихся.

Изменился и сам подход к программированию решения задач. Если «пионеры», решавшие задачу, обычно имитировали в Excel ручной счет и результаты собирали «вручную» (П. Марчук, ЭТ-школа), то многие студенты более позднего времени после некоторых намеков преподавателя на возможные идеи решения доводят алгоритмику до полной автоматизации (А. Воробьев, А. Евтеев, И. Сидоренко (НГАСУ); Л. Мельников, Е. Степанова и др. (СибАГС)). Правда, следует заметить, что П. Марчук решал задачу в условиях жесткого времени олимпиады по информатике, студенты же временем, как правило, не ограничены.

От первых изданий текстов отдельных задач настоящее издание отличается исключением бланков для заполнения «ручного» расчета, обновлением иллюстраций с использованием Visio и включением фрагментов иллюстраций Excel-программ.

Настоящее пособие может быть использовано при изучении дисциплин «Разработка управленческого решения», «Менеджмент», «Стратегический менеджмент», «Инновационный менеджмент», «Управление проектами и программами», «Статистика», «Логистика», «Математическое моделирование», «Математическое программирование», «Информационные технологии», «Исследование систем управления», «Техника администрирования».

По опыту автора начальное знакомство с приведенными моделями планирования, прогнозирования, балансов, обслуживания, оптимизации производственных программ, смесей, запасов и другими может быть успешно осуществлено учащимися экономических лицеев и общеобразовательных школ с усиленной подготовкой по экономике.

Они включены в программу Экономико-технологической школы и используются как иллюстрации к структурам оптимизационных моделей, позволяющие осмыслить основные идеи принципов оптимизации и таких понятий, как область допустимых планов, градиент функции, поверхность (линия) уровня, оптимальный план, прогноз, уровень доверия прогноза и т.д. Автор не ставит целью обучение собственно исчислениям, но надеется пробудить интерес к математическим идеям, развить способ мышления, который в свое время российский премьер-министр С.Ю.Витте называл «математикой-философией» и который никоим образом не сводится к рецептурам (будь то статистический анализ или Windows), но ориентирован на воспитание умения составлять и исследовать «мягкие», самонастраивающиеся модели реального мира, без которого трудно представить разрешение человечеством экологического и ресурсного кризиса.

Учебное пособие адресовано студентам вузов, обучающимся по направлениям экономики, менеджмента и государственного и муниципального управления, учащимся экономико-технологических школ, а также учителям, преподающим экономику в средней школе, и преподавателям менеджмента вузов.

*   *   *

Задания, кроме сетевого планирования, следует выполнять с использованием электронных таблиц Excel и описанием всех используемых формул редакторами Equation или Math Type.

Несколько заданий по сетевому планированию желательно решить «вручную». Это связано с тем, что использование специальных программ дает возможность пользователям получать некоторое решение, не вникая в логику метода. А незнание логики метода снижает эффективность работы пользователя.

Титульный лист и стр. 2. следует оформлять редактором Word, шрифтами Times New Roman, кроме названия. Для названия следует использовать шрифт Ariel.

В головной части выполненной работы следует привести содержательную часть задания (условия), причем таблицы задач с заполненными индивидуальными данными рекомендуется транспортировать из Excel в Word.

Студентам заочной формы обучения, кроме распечатки, рекомендуется представить файлы на дискете или переслать их по электронной почте.


Введение

Есть категория молодежи, представляющая менеджмент (управление людьми1) несложной гуманитарной дисциплиной, ориентируясь при изучении на выхолощенные учебные пособия, рассчитанные на учащихся колледжей США. Им следовало бы знать, что для глубокого изучения управления людьми даже в тех же США существуют более инструментальные учебники, что управление людьми, будь то в государственном и муниципальном управлении, бизнесе или военном деле не может быть сведено к нескольким простым приемам. В некотором смысле управление людьми не проще физики, химии или математики. И для того, чтобы достичь успеха в управлении людьми, нужно научиться решать соответствующие задачи управления.

При решении задач управления экономико-технологическими объектами в ряде случаев удается разделение функций между управленцами-экономистами, формулирующими задачу, и математиками, разрабатывающими методы решения сформулированной задачи. Однако наибольших результатов в решении проблем совершенствования управления удается добиться только при взаимопроникновении менеджерских описаний и математического мышления. Между постановкой задачи и ее решением лежит системное моделирование, которое эффективно осуществимо только совместными усилиями управленцев-экономистов, достаточно владеющих математическим языком, и математиков, глубоко изучивших экономико-управленческую ситуацию. Системный подход к экономическому анализу, организации планирования и управления экономическими объектами позволяет осуществлять совмещение частных моделей в общей концепции, благодаря которой выявляется совокупное влияние определяющих параметров на объект и находятся условия его наиболее эффективного функционирования.

Из сказанного следует, что многообразие конкретных экономических ситуаций влечет потребность в многообразии их математических описаний. Поэтому моделирование экономических процессов в последние десятилетия является наиболее быстро развивающимся направлением экономической науки и менеджмента.

Математические модели социалистической экономики, длительный период разрабатывавшиеся нашими учеными, не были достаточно адекватны реально протекавшим в нашей стране экономическим процессам. Политизация социалистической экономической науки стала одной из причин слабого использования потенциальной эффективности математического моделирования в планировании и управлении экономическими процессами. В советском обществе мы свыклись с постоянным дефицитом сырья, оборудования, предметов потребления, как с неизбежным явлением, каждый раз сетуя на конкретные "временные трудности", преодоление которых осуществлялось принятием командных решений, далеких от оптимальных. Темпы развития плановой экономики нашей страны все более замедлялись и отставали от темпов развития стран с рыночной экономикой.

Сегодня отход от командной экономики в нашей стране стал фактом. Одновременно в нашей стране был, фигурально выражаясь, «отключен кислород от больного организма планирования». В Минэкономики (бывшем Госплане) даже перестал употребляться термин «планирование». Причин к тому было несколько. С одной стороны, планирование в том виде, как оно было поставлено в Госплане, не «вязалось» с внедрением рыночных отношений. С другой стороны, инфляция по 20% в месяц не позволяла серьезно подходить к планированию.

Однако бури утихают, и люди возвращаются к хозяйствованию. А хозяйствование основывается изначально на целеполагании, прогнозировании и планировании. Планирование же предполагает рассмотрение вариантов и выбор подходящего. Появилась острая потребность в планировании относительно нового для нашей страны вида – не централизованно-распредилительного, а рыночного, включающего внутрифирменное, корпоративное и межкорпоративное. В первую очередь планирование необходимо развивающимся компаниям. От банальных спекуляций созревшие бизнесмены с необходимостью переходят к созидательной деятельности и стабильному бизнесу, имеющему в фундаменте развития прогноз и план. Наша страна в период «народного» хозяйства была максимально монополизирована. С введением рыночных отношений этот аспект нашей экономики сохранился. Сегодня рынки поделены. Поделенные рынки есть основа эффективного планирования с минимизацией непроизводительных издержек. Под обоснованный план реально получить серьезные инвестиции. Таким образом, сегодня актуальным является внутрифирменное, корпоративное и межкорпоративное планирование.

При этом актуальна потребность в моделировании деятельности как малых и средних предприятий, так и регионов в целом. Причем формальный перенос моделей, разработанных для условий развитых рыночных отношений, для сегодняшней российской ситуации мало приемлем. Быстрый рост экономического потенциала и эффективная стабилизация возможны только при принятии хороших управленческих решений, соответствующих исходным условиям, к которым относятся не только ресурсы, но и правила поведения (система динамично развивающегося законодательства, складывающиеся традиции деловых отношений, опыт работы в новых условиях и т.д.).

Следует учитывать также то, что сегодняшняя российская экономика, как и экономика многих стран, по существу является двухслойной. На это обратил внимание в 1994 г. академик В.Л.Макаров на международной конференции, посвященной памяти основателя математического программирования, лауреата Нобелевской премии академика Л.В.Канторовича. Приведенные на конференции соотношения объемов регулярной и нерегулярной экономики в России и за рубежом показывают, что оптимизация только регулярной части малоэффективна.  В интересах развития экономики страны необходимо создание условий легализации неконтролируемого сектора экономики и направление его деятельности на благо страны в целом. Решение этой задачи невозможно без моделирования и поиска оптимальных стратегий поведения системы и в совершенствовании экономических связей и законодательства с учетом двухслойности. При этом важно иметь в виду, что социально-экономическая система обладает свойствами самоорганизации с возможностью выхода на собственное поведение.

Теория, изучающая самоорганизующиеся, самореферентные системы, получила название методологии мягких систем. Методология мягких систем использует так называемую кибернетику второго порядка. В отличие от традиционной кибернетики, кибернетики первого порядка, основными элементами моделей в которых являются вход - преобразование - выход, кибернетику второго порядка характеризуют операциональная замкнутость, автономия, самореферентность. В настоящее время методология мягких систем интенсивно развивается.

С чего же начать изучение экономики и управления будущему менеджеру? По-видимому, целесообразно прежде всего представить общую идею, картину в целом, а затем, не теряя этого общего представления, попытаться разобраться в деталях. Для старшего школьника это должны быть детали, доступные для изучения с помощью его инструментария. Одной из таких деталей является графический метод решения простейших оптимизационных задач, к которым относятся простейшие из задач линейного программирования. Метод позволяет на основе графически представимых объектов осмыслить идею оптимизации как поиска лучших планов из множества достижимых. Однако изложению графического метода хотелось бы предпослать хотя бы намек на общую структуру и формирование здания науки построения хороших планов.

Наука построения хороших планов с использованием формализуемых описаний действующих условий носит название математического программирования. Крупнейшим блоком в нем является линейное программирование. А наиболее значимым на сегодня методом линейного программирования оказывается симплекс-метод.

Симплекс-метод можно считать центральным алгоритмом в линейном программировании, представляющем наиболее широко используемую и наиболее разработанную ветвь математического программирования, изучающего способы поиска экстремумов функций не обязательно линейного вида при наличии ограничений, которые могут описываться также более сложными соотношениями, чем линейные. Симплекс-метод используется при решении оптимизационных задач, в которых все связи между оптимизируемыми переменными являются линейными функциями относительно этих переменных. К таким задачам относятся многие задачи экономики: задача максимизации рентабельности производственной программы предприятия при наличии ограничений на используемые ресурсы, задача о наиболее дешевом кормовом рационе при обеспечении полноценности питания, задача о назначении исполнителей для выполнения работ, задача о распределении транспортных средств по участкам работы и так далее.

Симплекс-метод имеет ряд модификаций, наиболее ранняя из которых предложена американским математиком Дж. Данцигом в 1947 г.

Следует заметить, что еще ранее, в 1939 г., советским математиком Л.В.Канторовичем был предложен другой метод решения задач линейного программирования – метод последовательного сокращения невязок. Однако для вычислений симплекс-метод оказался удобнее.

Среди задач линейного программирования выделяется ряд классов задач, матрицы ограничений которых обладают определенными особенностями, позволяющими существенно упростить общие методы линейного программирования применительно к специальным задачам. К таким классам относятся задачи транспортного типа (собственно транспортная задача, задача о назначении, распределительная), на долю которых, по данным США, приходится 85% решаемых задач линейного программирования.

Впервые транспортная задача была точно сформулирована в 1941 г. Ф.Хичкоком (Hitchcock F.L.). Транспортная задача может решаться общими методами линейного программирования. Однако использование ее специфики, предложенное в 1949 г. Л.В.Канторовичем и М.К.Гавуриным в виде метода, который получил название метода потенциалов, существенно упрощает и увеличивает скорость расчетов.

Ознакомиться с упомянутыми методами подготовленный читатель может по работе [10]. В то время как моделирование и формальная техника их применения описаны в работах [4, 9]. Изложение методов в [10] сопровождено небольшим количеством задач, которые могут быть использованы как упражнения при изучении указанных тем. Отличительной особенностью предложенных в [3, 8, 9] задач является их ориентация на "ручной" счет: они имеют целочисленные ответы.

Особо полезным для менеджера является раздел настоящей работы, посвященный как изучению теории случайных процессов, называемых марковскими, так и базируемым на этой теории моделям систем массового обслуживания (СМО). Это необходимый элемент курса логистики, без которого курс не может считаться инструментально вооруженным.

К СМО относятся системы разного рода такие, например, как предприятия бытового и медицинского обслуживания, банки, страховые компании, разнообразные транспортные и производственные системы, системы связи и др. Общность таких систем отчетливо выявляется при формализации их деятельности и выражается в единстве применяемых для их оптимизации математических моделей и методов.

СМО могут обладать различной структурой. Однако в них обычно можно выделить следующие четыре основных звена: входящий поток требований, обслуживающие устройства, очередь, выходящий поток. В качестве требований могут выступать, например, клиенты, поломки в оборудовании, телефонные вызовы, прибывающие транспортные средства. Характерным является то, что интервал поступления требований, как правило, имеет вариации. Длительность обслуживания может резко меняться в зависимости от вида обслуживания (например, мелкий, средний или крупный ремонт). При этом обслуживающие устройства имеют непостоянную загрузку, и в результате происходит чередование сильно загруженных промежутков времени с промежутками слабой загрузки. Это приводит к образованию очередей в напряженные периоды и создает простои средств обслуживания в мало загруженные периоды. Как в том, так и в другом случаях наблюдаются экономические потери. При высокой пропускной способности системы увеличиваются экономические потери по средствам обслуживания, при низкой – по обслуживаемым средствам. Задача теории и практики состоит в сокращении этих потерь до минимума. Соответственно для специалистов в областях менеджмента, управления производством владение методами теории массового обслуживания необходимо для решения задач установления оптимального состава и количества оборудования, обоснованных норм нагрузки на подсистемы (например, установления обоснованных норм труда рабочих и служащих), выбора наиболее эффективных регламентов обслуживания станков, поточных и автоматических линий, вычислительной техники крупных структур, таких как банки, конструкторские бюро и т. п., организации нормирования технологических процессов в производстве.

Марковские процессы применяются для моделирования и решения с их использованием задач анализа и оптимизации достаточно простых СМО. Дополнительные сведения об оптимизации более сложных систем массового обслуживания можно найти в рекомендуемой литературе.

Теория массового обслуживания (ТМО) - интенсивно развивающееся научное направление. Некоторое время объем научных публикаций по ТМО даже превышал объем публикаций по остальным направлениям математических дисциплин, вместе взятым. Сегодня неослабевающий интерес к ТМО поддерживается внедрением новой логики управления проектами, основывающейся на принципах максимизации успеха в условиях существенной неопределенности и стохастичности мира, в котором мы реализуем наши проекты.

Автору данного пособия довелось участвовать в разработке ряда проектов, для исполнения которых также потребовалось создание соответствующих моделей ТМО. В частности, к таким можно отнести модели приоритетного обслуживания транспортных потоков, внедренные в нормативные документы Госстроя СССР, и модели систем связи, внедренные в телефонные сети Новосибирска, Москвы, Болгарии.

Не менее важными моделями в работе менеджера являются модели материально-финансового обеспечения инновационной деятельности. К ним относятся приведенные в работе модели запасов, экономической оценки проектов, выбора клиентов для инвестирования их инновационных проектов и т.д. Удачное распределение инвестиций может эффективно питать инновационный процесс, неудачное распределение может привести к потере материально-финансовых средств и сделать невозможным обеспечение доведения инновационных процессов до стадии возврата вложений и получения прибыли.

В задачах эффективной финансовой поддержки инновационных процессов тесно переплетаются вопросы целеполагания в стратегическом планировании и управлении, финансирования инновационных процессов, критериев выбора для реализации эффективных проектов и критериев эффективности инвестиций. Излагаемые вопросы и схемы их решения важны для менеджера инновационных процессов.

Следует заметить, что было бы неверным ставить вопрос о ранжировании значимости идей по созданию тех или иных инноваций и их материально-финансовом обеспечении. И то и другое является необходимым, значимость же каждой из этих составляющих в каждой конкретной инновации определяется конкретной ситуацией.

Сегодня, как никогда ранее, вырисовывается с большой отчетливостью целый список проблем современной цивилизации. Сформировалось новое видение несоответствия темпов роста потребностей в ресурсах с реальной их доступностью.

Материальная среда обитания человека в значительной степени является искусственной, сформированной человечеством в результате применения технологий преобразования энергии, материалов и информации в продукты и услуги. Эти же технологии сформировали и комплекс ресурсных и экологических проблем. Они рикошетом отражаются на концентрированном выражении технологии, которым является экономика - наука и практика рационального использования ресурсов для производства и распределения продуктов и услуг. Причем эти проблемы как никогда остро обнажили едва ли не главный вопрос этой науки - вопрос инвестиций, вопрос о том, как организовать распределение материально-финансовых ресурсов для эффективного роста благосостояния фирмы, объединения, отрасли и в целом общества.

Острота указанных проблем предъявляет высокие требования к менеджерам инновационных процессов. Они должны иметь широкий кругозор, и высокий профессионализм по целому комплексу наук, сочетать качества экономиста, управленца и исследователя.

Соответственно и в рассматриваемой тематике также синтезируются знания нескольких направлений: менеджмента, экономики и экономико-математического моделирования. Концепция такого синтеза имеет элементы научной новизны в области педагогики. Кроме того, настоящая работа отражает педагогический опыт применения в вузовском учебном процессе технологии индивидуальных заданий, способствующей активизации процесса обучения, и опыт переноса вузовской тематики в среднюю школу. Вследствие этого пособие может рассматриваться как авторская научно-методическая разработка в содержании и технологии экономико-управленческого обучения.

Следует отметить, что тема моделирования при разработке управленческого решения является чрезвычайно глубокой и сложной, находящейся сегодня в стадии интенсивного развития. В данном пособии изложены лишь контуры возникающих в работе менеджера проблем и их решений.

Дополнительные сведения по рассматриваемым вопросам можно найти в рекомендуемой литературе.

Автор выражает благодарности А.Ф. Гаврюшенко за финансовую поддержку в бытность его главой Анадырского района Чукотского автономного округа первого более краткого варианта данной книги, вышедшей под названием «Индивидуальные задания и упражнения по моделированию в менеджменте», академику РАН ВШ П.В. Шеметову за похвальный отзыв первому варианту, вдохновивший к написанию данного более полного варианта, а также студентам СибАГС Н.А. Смольяновой и Ю.А. Худяковой за помощь в наборе текстов разделов 10 и 11.


1. Понятия модели и моделирования

Обратимся к определениям.

МОДЕЛИРОВАНИЕ (англ. Modelling) – построение моделей реальных объектов и процессов (построение описаний, условных образцов, аналогов). При М. воспроизводятся свойства, связи, тенденции исследуемых систем и процессов, что позволяет оценить их состояние, сделать прогноз, принять решение.

Модель (англ. Model) – образ объекта: 1. Образец, например, изделия, рекомендованного для массового производства; 2. Тип конструкции; 3. Предмет в уменьшенном или увеличенном виде (физическая модель); 4. Схема, изображающая предмет, явление, процесс, например, в бизнесе, изучаемые как их аналог; 5. Математическая модель, отражающая значимые зависимости функционирования объекта от определяющих факторов.

Если рассмотреть процессы передачи опыта животными, например, когда лиса приносит подраненную жертву лисятам, чтобы они потренировались в способах охоты, то можно понять, что, по сути:

1) животным присуще пользование моделями (игра лисенка с подраненным животным – модель будущей охоты взрослого лиса),

2) пользование моделями у животных носит характер имитационных упражнений, то есть, входит в класс методов активного обучения, к которым относятся и деловые игры.

Аналогично, с древнейших времен и человечество применяет модели, имитационные упражнения и игры в качестве методов активного обучения. Имитационным упражнением и моделированием ухода за ребенком является игра девочек в куклы, имитационным упражнением и моделированием охоты является игра мальчишек с игрушечными луками, деловой игрой и моделированием борьбы за лидерство, и даже собственно ею, являются драки мальчишек, имитационным упражнением и моделированием является изготовление ребенком планера, радиоприемника и т.д.

Из наблюдений использования моделирования животными и детьми можно констатировать высокую эффективность его в процессах познания. Поэтому было бы удивительным, если бы человек не применил его для своего основного предназначения.

«… человек создан ради того, чем значимо отличается от животных. А отличается он тем, что способен оставлять после себя продукты интеллектуального труда. Едва ли не самым человечным свойством является смелое любопытство. Удовлетворяя его, человек расширяет горизонты познания, отделяя возможное от невозможного, и реализует возможное по интересу, порождая2 новые структуры и функции в содействии («по образу и подобию»3) Богу, являясь ему помощником в структурировании пространства и противодействии энтропии» [Высоцкий Л.Л., 2001].

И действительно в использовании моделирования человек пошел в соответствии со своим предназначением дальше животных, он стал целенаправленно использовать моделирование, имитационные упражнения, игровое конструирование и деловые игры в научных исследованиях.

Моделирование позволяет изучать объекты познания не непосредственно, а косвенным путем при помощи анализа некоторых специально созданных вспомогательных объектов (моделей). При этом знание, полученное с использованием моделирования, часто имеет существенно более низкую себестоимость по сравнению с натурными экспериментами.

Уменьшенная модель самолета для аэродинамических испытаний много дешевле настоящего самолета.

Картошка и мысленный эксперимент на карте В. И. Чапаева много дешевле потерь в реальном бою.

Тренировки на компьютерных тренажерах для летчиков, широко используемые в авиации США, дешевле и безопаснее реальных тренировочных полетов.

Компьютерное моделирование процессов в портах [Высоцкий Л.Л., 1979, 1985, 1986], если бы его осуществили до строительства последних, могло бы принести миллионы рублей сэкономленных средств, в частности – по Тобольскому речному порту.

Моделирование является отображением или воспроизведением изучаемых сторон реальной действительности, и применяется для получения информации о поведении объектов, для предсказания последствий принимаемых решений при изменении условий, образа и метода действий и т.д. Модель – есть создаваемый с целью получения информации специальный объект, отражающий на том или ином языке описания свойства, характеристики и связи объекта-оригинала, существенные для проблемы, решаемой субъектом.

Модель, даже материальная, первоначально возникает как идеальная в представлениях, в мозгу человека. Далее модель изучается. Если для изучения модели необходима ее материализация, то изготавливается материальная модель. Если исследование возможно с использованием идеальной модели, то осуществляется исследование идеальной. Таким образом, исследовательские модели делятся на два основных вида: материальные (иначе физические, вещественные или действующие) и идеальные (мысленные, логические, математические, компьютерные).

Метод моделирования в научных исследованиях применяется там, где его применение выгодно. При этом очевидно, что выгода бывет не только экономическая. То есть, применение моделирования в научном исследовании оправдывается, если таким путем раскрываются, познаются внутренние особенности изучаемого объекта, его скрытые специфические свойства в ситуациях, когда непосредственное изучение реального объекта в реальных условиях связано с затратами большого количества средств, времени или с определенным риском, или просто невозможно.

При создании моделей экономия достигается за счет их большей простоты, по сравнению с моделируемыми системами, иначе такие устройства или построения собственно и не были бы моделями. «Отношение модели к моделируемому объекту есть,… отношение… аналогии. При этом обычно реализуются не все... уровни аналогий, а главным образом аналогии на уровне структур и на уровне функций».4

Чрезвычайно широкое и важное применение в современной науке получило информационное компьютерное моделирование. В. М. Глушков писал о таком моделировании, при котором «...мозг человека может рассматриваться как универсальный инструмент динамического информационного моделирования. Универсальность здесь означает принципиальную возможность реализации в мозгу произвольных, а не только каких-нибудь определенных динамических информационных моделей. В такой универсальности мозга заключается одна из важнейших сторон способности к безграничному познанию человеком окружающего его объективного мира»5.

Информационное моделирование связано с проведением так называемого мысленного эксперимента или последовательного и детального рассуждения и рассмотрения возможных вариантов действия объекта в различных воображаемых условиях. Информационный эксперимент обычно сопровождается предварительными физическими опытами, применением макетов, моделей, схем, чертежей, рисунков, расчетов и т. п. Поскольку мысленный эксперимент позволяет отобрать из многих вариантов более предпочтительное решение, он может предварять дорогой физический эксперимент на сложных материальных моделях и стендах, избежать явно неудачных решений и способствовать более высокому научному результату при сравнительно невысоких экономических затратах.

В настоящее время метод компьютерного моделирования и информационного эксперимента широко вошел в практику научно-исследовательской творческой работы. Основой информационного эксперимента является компьютерная модель.

При информационном эксперименте исследователь может использовать некоторые универсальные методические подходы. Например, рассмотреть сначала задачу в общем виде, в целом, затем раздельно крупные узловые вопросы. Применить сравнительное рассмотрение своих новых решений и установившихся в науке положений. Оценить возможную эффективность применения новых решений под углом требований технических, экономических, конструктивных, гигиенических и других критериев.

Когда говорят о модели какого-либо объекта, то имеют в виду нечто, отличное от самого этого объекта, но похожее на него. Модель в определенном смысле заменяет объект исследования и дает определенную информацию о нем. Таким образом, модель выступает инструментом исследования различных процессов, в том числе явлений, связанных с деятельностью людей, проблемами, которые они решают.


Основные структурные элементы модели:

  1.  Субъект моделирования – это лицо или группа лиц, принимающих те или иные решения в процессе моделирования. Субъект изучает проблему, определяет цель, строит модель, проводит исследование.
  2.  Проблема, решаемая субъектом. Проблема определяет цель исследования и систему условий (ограничений). Модель всегда создается для решения конкретной проблемы, поставленной исследователем.
  3.  Объект моделирования – система, свойства которой находят отражение в модели, и компоненты которой непосредственно связаны с достижением цели.
  4.  Язык описания – форма представления, отображения информации о свойствах, характеристиках и связях объекта, существенных с точки зрения поставленной цели исследования.

Все структурные элементы модели в процессе моделирования находятся в тесном взаимодействии.

При разработке управленческих решений большая роль отводится экономико-математическому моделированию. Экономико-математическое моделирование (ЭММ) – метод исследования социально-экономических процессов и явлений путем построения и анализа моделей, выраженных средствами языка математики.

Основные требования к экономико-математическим моделям:

  1.  Математическая модель должна строиться на основе экономической теории, и отражать (правильно!) основные закономерности и исторические особенности изучаемых социальных и экономических процессов. То есть, применяемый математический аппарат должен корректно отражать суть моделируемых соцально-экономических отношений.
  2.  В модель должны входить измеримые величины.
  3.  Переменные, параметры и операторы преобразования исследуемых моделей должны иметь четкую социально- и технико-экономическую интерпретацию в терминах моделируемых объектов.

Современные экономико-математические модели, как правило, ориентированы на исследования с использованием современных информационных технологий.

В структуре любой экономико-математической модели можно выделить следующие основные компоненты:

  •  совокупность независимых (экзогенных) переменных ;
  •  совокупность зависимых (эндогенных) переменных ;
  •  совокупность параметров модели ;
  •  оператор .

Процесс функционирования модели описывается оператором, который преобразует экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с соотношением:

.

В общем случае закон функционирования может быть задан в виде функции, логических условий, в алгоритмической форме, в виде таблицы или в виде словесного правила соответствия. Вид оператора зависит от различных факторов: от поставленной задачи, от степени изученности свойств объекта-оригинала, от разработанности соответствующего математического аппарата, от степени удобства использования. Основными требованиями к модели являются, с одной стороны, достаточная адекватность используемого математического аппарата свойствам и процессам, протекающим в объекте моделирования, а с другой стороны, достаточная простота, позволяющая при разумных затратах получить достаточно точное решение.

В качестве базовых методологических принципов в моделировании используются системный подход и системный анализ.

Системный подход (англ. The system approach) – направление методологии научного познания и социальной практики, в основе которого лежит рассмотрение объектов как систем; ориентирует исследования на раскрытие целостности объекта, на выявление многообразных типов связей в нём и сведение их в единую теоретическую картину. Принципы С. п. нашли применение в биологии, экологии, психологии, кибернетике, технике, экономике, управлении и др.

С. п. является предметом специальной научной дисциплины — общей теории систем, а управление в самом общем виде может быть определено как упорядочение системы.

С. п. достаточно отчетливо сформулирован в новой методологической установке, заключающейся в том, что целое (система) не только не детерминируется однозначно свойствами его элементов или их групп и не сводится к ним, но, напротив, сами элементы детерминируются целым и лишь в его рамках получают свое функциональное объяснение. С. п. впервые был применен в СССР при разработке плана ГОЭЛРО и в США для достижения военных целей (создание атомной бомбы), но в дальнейшем получил широкое распространение и в практике управленческой деятельности в сфере гражданского производства.

Управление на основе применения С. п. включает три последовательных этапа (стадии):

  •  на первом определяется сфера, уточняются область и масштабы деятельности субъекта управления, устанавливаются (ориентировочно) адекватные сферы, области и масштабы деятельности, информационные потребности;
  •  на втором этапе осуществляются необходимые исследования;
  •  на третьем этапе разрабатываются альтернативные варианты решения определенных проблем и делается выбор оптимального варианта.

Управление на основе С. п. призвано обеспечивать и совершенствовать структурное и функциональное единство системы, вскрывать и устранять препятствия на пути к цели, ассимилировать или нейтрализовать возмущающие воздействия как внутри системы, так и вне ее. В этом прежде всего проявляется принцип С. п. в управлении. В деловой практике он означает всестороннюю проработку принимаемых решений, анализ всех возможных вариантов их реализации, координацию усилий на различных направлениях.

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ (англ. Systems analysis) – методология исследования объектов посредством представления их в качестве систем и анализа этих систем для подготовки и обоснования решений по сложным проблемам политического, военного, социального, экономического, научного и технического характера. Опирается на системный подход, а также на ряд математических дисциплин и современных методов управления. Основная процедура – построение обобщенной модели, отображающей взаимосвязи реальной ситуации; техническая основа С. а. – компьютеры и информационные системы. Применяется в экономике, сфере управления, при решении проблем освоения космоса и др. Термин «С. а.» иногда употребляется как синоним системного подхода.

Типичные ситуации, требующие применения методов С. а.: 1) для выявления и формулирования проблемы в условиях большой неопределенности; 2) для выбора стратегии исследования и разработок; 3) для точного определения систем (границ, входов, выходов и др. компонентов); 4) для выявления целей развития и функционирования системы; 5) для выявления функции и состава вновь создаваемой системы.

Теоретико-познавательный подход в исследовании систем содействует четкому определению основных классов объектов, к которым целесообразно применять методологию системного анализа, и дает основание для выработки единых принципов формализации самых разнородных объектов и явлений. Анализ функции и схемы системы способствует четкой спецификации целей, функций, задач систем, с одной стороны, и средств их реализации — с другой. Понятие большой системы и установление правил композиции и декомпозиции их в общей теории систем обосновывает способы подхода к ненаблюдаемым или не полностью наблюдаемым системам, способствует формированию правил научного их исследования и проектирования. Понятие сложной системы раскрывает способы подхода к многоцелевым, многоаспектным, диалектически противоречивым объектам и явлениям. Понятие кибернетической системы и выявление закономерностей кибернетических систем служат для обоснования методологии анализа систем управления и создания АСУ.

Многообразие и принципиальное различие объектов, процессов, проблем, подлежащих системному анализу, обусловило многообразие его специфических инструментов и породило требование гибкого и умелого их применения при исследовании разнородных экономических процессов и явлений. В числе наиболее употребительных и отработанных методов и форм системного анализа и отображения его результатов можно отметить следующие.

Дерево анализа проблемы используется для выявления и структуризации труднопонимаемых и слабо сформулированных проблем, характеризующихся большим количеством или сложным характером взаимосвязей. Дерево проблемы, как правило, включает три основных ветви: 1) что нужно исследовать и разработать, 2) из чего состоит система, решающая данную проблему, 3) как она работает и каким способом взаимодействует с другими системами.

Методы построения деревьев целей представляют собой один из наиболее широко распространенных и эффективных способов анализа объективных целей и задач, стоящих перед экономическим объектом, и выявления наилучшего набора средств их достижения.

Моделирование технологического и управленческого процесса методом тезауруса используется для представления и лучшего понимания сложного народнохозяйственного процесса, реализуемого во взаимодействии многих экономических объектов.

Для микроэкономических объектов, таких, как предприятие, производственное объединение, отрасль и т. д., методы системного анализа во многом переплетаются с методами диагностики экономических систем. Последние представляют собой методику систематического опроса работников экономического объекта и взаимодействующих с ним объектов с целью выявления актуальных и первоочередных проблем и планирования последовательности мероприятий по достижению целей.

Время зарождения математического моделирования отследить достаточно сложно. Мы можем только отметить, что уже Леонардо да Винчи отмечал его важность, когда писал: «Никакое человеческое неследование не может называться настоящим знанием, если не прошло через математическое доказательство» 6.

Не менее четко аналогичную мысль выразил Д.И. Менделеев: «"Изучать в научном смысле – значит: ... б) измерять все то, что может, подлежа измерению, показывать численное отношение изучаемого к известному ..., г) находить по измерениям эмпирическую (опытную, видимую) зависимость (функцию, "закон", как говорят иногда) переменных величин ..., д) составлять гипотезы или предположения о причинной связи между изучаемым и его отношением к известному или к категориям времени, пространства и т.п.; е) проверять логические следствия гипотез опытом и ж) составлять теорию изучаемого"7.

В экономических исследованиях математическое моделирование достаточно широко стало применяться с 40-х годов XIX в.

В конце XIX в. были разработаны методы математической статистики в биологии, которые затем нашли применение в экономике в виде эконометрических исследований.

Экономико-математические модели и методы для решения прикладных задач бизнеса и изучения социальных явлений стали применяться в основном с 40-х годов XX в.

В настоящее время выделяют несколько основных направлений прикладного экономико-математического моделирования.

Это балансовые экономико-математические модели (Межотраслевой баланс, В. Леонтьев, Нобелевская премия 1973 г.), широко применяемые в развитых странах для структурного анализа экономики, строятся на базе государственной статистики по заказам Правительств. Информация используется бизнесом для принятия стратегических решений.

Другое направление — «Исследование операций», связано с задачами принятия решений. Наибольшее практическое распространение получили задачи на базе математического программирования (Л.Канторович, Нобелевская премия 1975 г.) и задачи обоснования пропускных способностей систем обслуживания (А.Я. Хинчин, Н.В. Колмогоров, А. Кофман, Т.Л. Саати и др.). Эти модели используются во внутрифирменном и отраслевом планировании для выработки оптимальных решений в сфере производства, транспортировки, инвестиций и т.д.

Следующее направление — эконометрические методы и модели для решения задач прогнозирования (Л. Клейн, Нобелевская премия 1980 г.). Эти методы используются как на макроуровне, так и на уровне фирмы.

С 80-х годов XX века математические методы и модели стали все более широко использоваться в исследованиях финансовых проблем.

Сегодня метод моделирования получил широкое применение практически во всех видах исследований. Даже там, где, казалось бы, ему принципиально не должно быть места — в исторических исследованиях (Носовский Г. В., Фоменко А. Т., 2001).


2. Балансовые экономические модели 

2.1. Индивидуальные задания

В табл. 2.1.1. представлены данные отчетного межотраслевого баланса (МОБ) в стоимостном выражении (млн. руб.), а также стоимость использованных основных производственных фондов (млн. руб.) и затраты труда (млн. чел.-час.) по отраслям.

Таблица 2.1.1

Стоимостной межотраслевой баланс(отчетный)

Производящие

отрасли

Потребляющие отрасли

Конечный продукт

Валовой

продукт

Промышленность

xi1

Сельское

хозяйство

xi2

Прочие отрасли

xi3

yi

xi

Промышленность

350 + 3N

250

200

800+ 3N

?

Сельское

хозяйство

200+ 2N

150

50

?

?

Прочие отрасли

?

20+ N

80

200

500+ 2N

Условно чистая продукция (zj)

?

300

?

Валовый продукт (xj)

?

?

?

Основные производственные фонды (fj)

1750

1100

900

Затраты труда (lj)

(млн. чел-час)

130

300

100

здесь N – число, образуемое последними двумя цифрами номера зачетной книжки студента 

Требуется8:

1. Найти недостающие величины и заполнить таблицу отчетного МОБ.

  1.  Определить коэффициенты прямых материальных затрат, прямой фондоемкости и прямых затрат труда; привести экономическую интерпретацию этих коэффициентов.

3. Вычислить коэффициенты  полных затрат, а также коэффициенты полных затрат труда и полной фондоемкости; привести их экономическую интерпретацию.

4. Найти вектор валового выпуска из   X =B Y = (I - A) - 1 Y и сравнить его с вектором валового выпуска, представленным в табл. 2.1.1.

5. Определить векторы валовых выпусков рассматриваемых отраслей в плановом периоде, если установлены следующие темпы прироста конечной продукции:

- в промышленности увеличивается на 10 %;

- в сельском хозяйстве увеличивается на 5 %;

- в прочих отраслях остается без изменения;

и определена матрица коэффициентов прямых материальных затрат для планового периода в виде произведения:

A план = V A M,

где  А - матрица коэффициентов прямых материальных затрат отчетного периода, вычисленная в п. 2;

V=  ,       М=  .

6. По результатам выполненных в п. 5 расчетов определить производственное потребление продукции и условно-чистую продукцию в плановом  периоде и заполнить табл. планового МОБ

7. Считая коэффициенты прямых затрат труда и прямой фондоемкости неизмененными, определить потребность в трудовых ресурсах и основных производственных фондах на плановый период.


2.2. Основы балансовых экономических моделей

Рассмотрим некоторое предприятие, состоящее из нескольких цехов, каждый из которых выпускает один вид продукции.

Часть продукции каждого цеха может быть использована в качестве сырья (промежуточного продукта), используемого в других цехах этого предприятия, а часть идет на реализацию, то есть является конечным продуктом.

Обозначения:

хi  валовый выпуск продукции i- го цеха, i= 1,..., n;

Х= (х1, х2, ..., хn)  производственная программа предприятия;

Y= (y1, y2,..., yn) план выпуска товарной продукции (конечной продукции);

хij  производственная программа i -го цеха (количество в стоимостном выражениями продукции i-го цеха, поступающее на потребление j -м цехом как сырье (промежуточный продукт)), i= 1,..., n, j= 1, ..., n.

Тогда производственные взаимосвязи предприятия могут быть представлены в виде следующих уравнений балансовой модели

х1- (х11+ х12+ ... + х1n)= y1

х2- (х21+ х22+ ...+ х2n)= y2

                            ......................................                     (2.2.1)

хn- (хn1+ хn2+... + хnn)=yn

Представим хij в виде 

                       хij= аij хj ,                                  (2.2.2)

где  аij  безразмерный коэффициент.

Тогда  .

Определение: Безразмерная величина  аij такая, что

,                                     (2.2.3)

численно равная объему продукции i-го цеха, используемой как сырье (промежуточный продукт) для выпуска единицы продукции  j- го цеха, называется коэффициентом прямых затрат (расходным коэффициентом).

Согласно определению (2.2.3) уравнения (2.2.1) балансовой модели принимают вид

х1- (а11 х1+ а12 х2+ ... + а1n хn)= y1

х2- (а21 х1+ а22 х2+ ...+ а2n хn)= y2

                          ......................................                           (2.2.4)

хn- (аn1 х1+ аn2 х2+... + аnn хn)=yn

внутрипроизводственное

потребление

конечная

продукция

или; что тоже самое,

-  =  ,                     (2.2.5)

или в матричной форме

                                              Х- АХ= Y.                                   (2.2.6)

(А матрица коэффициентов прямых затрат).

Коэффициенты аij прямых  затрат позволяют определить объем АХ внутрипроизводственного потребления.

Представим последнее уравнение в виде

IX - AX= (I- A)Х= Y, где Iединичная матрица n- го порядка.

Отсюда 

                               X= (I- A)-1 Y= BY.                              (2.2.7)

Определение. Элементы  bij  обратной матрицы  (I- A)-1 =B уравнения (2.2.7) называются коэффициентами полных внутрипроизводственных затрат.

Коэффициенты bij полных внутрипроизводственных  затрат, согласно уравнению (2.2.7) позволяют по вектору Y конечной продукции определить производственную программу Х предприятия.

Определение. Разность сij= bij - aij  между коэффициентом bij  полных внутрипроизводственных затрат и коэффициентом aij прямых затрат называется коэффициентом  косвенных затрат.

(Косвенные затраты – затраты, которые не могут прямо относиться на изготавливаемый продукт или услуги, например затраты на содержание административно-управленческого  персонала).

В матричной записи коэффициенты косвенных затрат находятся как элементы матрицы

C= (I- A)-1 - A.

2.3. Упражнения

2.3.1.

Прямые затраты аij некоторого предприятия представлены нижеследующей таблицей.

Таблица 2.3.1

Номер цеха

Коэффициенты прямых  затрат аij (ij= 1, 2, 3)

Конечная

продукция

i

ai1

ai2

ai3

yi

1

0

0,2

0

200

2

0, 2

0

0, 1

100

3

0

0, 1

0, 2

300

Определить:

а) коэффициенты полных затрат;

б) валовый выпуск (план) для каждого цеха;

в) производственную программу цехов;

г) коэффициенты косвенных затрат.

Решение

Пусть  Х = (х1, х2, х3) производственная программа предприятия,

Y = (y1, y2, y3) план выпуска конечной продукции,

А=   

– матрица коэффициентов прямых затрат.

Балансовая модель производственных взаимосвязей имеет вид:

- = ,

или  = ,

или= .

Отсюда

=  

Найдем обратную матрицу:

найдем определитель матрицы (I- А) разложением по первой строке:

D (I- A) = 1(1·0,8 - ( -0,1) (0,1) - (-0,2) (- 0,2 · 0,8 - 0) + 0 ( ) =

= 0,8 - 0,01 - 0,2· 0,2 · 0,8 = 0,79 - 0,04· 0,8 = 0,79 - 0,032 = 0,758

D  0,  следовательно, обратная матрица существует.

Транспонируем исходную (получим в данном примере ту же матрицу, так как исходная матрица симметрична) :  (I- A)= (I- A).

Строим присоединенную  (I- A)*  ( из алгебраических дополнений к элементам транспонированной):

(I- A)*==

= = 

Строим обратную (делением присоединенной матрицы  (I- A)* на определитель D(I - A)   матрицы  (I- A)):

(I-А)-1 = В =  ( I- А )*=

= (1/ 0,758)             (2.2.8)

.

Проверка:

(1/0,758) =

(1/0,758)=I.

Матрица (2.2.8) (с учетом деления на 0,758) дает коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат предприятия.

Валовой выпуск xi каждого цеха получим умножением матрицы В на вектор Y :

(1/ 0,758) =

=(100/0,758) =

=(100/0,758) =

=(100/0,758) = (1/ 0,758)= ,

то есть

X=.

Производственную программу каждого из цехов можно найти из соотношения  x ij = aij xj.

xj

237

187

398

Итого

xij

Конечный

продукт

yi

Валовый

выпуск

xi

x1j

0

37,4

0

37, 4

200

237,4

x2j

47,4

0

39,8

87, 2

100

187,2

x3j

0

18,7

79,6

98, 3

300

398, 3

Коэффициенты  сij косвенных затрат найдем как разности  между элементами bij  матрицы В и соответствующими элементами aij  матрицы  А:

- =

=  , что и требовалось.


Решение упражнения 2.3.1 в Excel

X=(x1,x2,…,xn)

Производственная программа предприятия

Y=(y1,y2,…,yn)

План выпуска конечной продукции

xij

Количество продукции i-го цеха, потребляемое j-м цехом

aij=xij / xi

Коэффициенты прямых затрат

Исходные данные

 

 

Найти:

 

Коэффициенты прямых затрат A

а) коэффициенты

X-AX=Y

 

0

0,2

0

полных затрат bij;

 

 

0,2

0

0,1

б) валовый выпуск

IX-AX=Y

 

0

0,1

0,2

каждого цеха xj;

 

Выпуск конечной продукции Y

в) производственную

(I-A)X=Y

 

200

программу xij;

 

 

100

г) коэффициенты

X=(I-A)^-1*Y=BY

 

 

 

300

 

косвенных затрат cij

 


I

-

A

=

I-A

1

0

0

0

0,2

0

1

-0,2

0

0

1

0

-

0,2

0

0,1

=

-0,2

1

-0,1

0

0

1

0

0,1

0,2

0

-0,1

0,8

Коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат9 B

I-A

(I-A)^-1

=B

1

-0,2

0

1,04

0,21

0,03

-0,2

1

-0,1

0,21

1,06

0,13

0

-0,1

0,8

0,03

0,13

1,27

Валовый выпуск10 X

B

*

Y

=

X

1,042

0,211

0,026

200

237

0,211

1,055

0,132

100

=

187

0,026

0,132

1,266

300

398

 

Производственная программа предприятия xij

xj

237

187

398

Итого

Y

X

0,0

37,5

0,0

37,5

200

237

47,5

0,0

39,8

87,3

100

187

0,0

18,7

79,7

98,4

300

398

 


Коэффициенты косвенных затрат C=B-A

1,042

0,211

0,026

0,00

0,20

0,00

1,042

0,011

0,026

0,211

1,055

0,132

-

0,20

0,00

0,10

=

0,011

1,055

0,032

0,026

0,132

1,266

0,00

0,10

0,20

0,026

0,032

1,066

2.3.2.

К данным предыдущей задачи в следующей таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата  за 1 чел.-ч.

Нормы расхода

Обозначения

Стоимость

1

2

3

Сырье1.

Сырье2.

Топливо

1,4

--

2,0

2,4

0,6

1,8

0,8

1,6

2,2

S1

S2

S3

5

12

2

Трудоемкость

10

20

20

S4

1,2

Определить:

а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;

б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха;

в) расход сырья, топлива и трудовых  ресурсов по цехам;

г) производственные затраты в рублях по цехам и на всю производственную программу завода;

д) производственные затраты на единицу конечной продукции.

Решение: 

а) Суммарный расход сырья 1 можно получить , умножив соответствующую 1-ю строку таблицы на вектор Х, т. е.

A4 X = (1,4; 2,4; 0,8)  = 1101.

Аналогично можно получить расход сырья 2 и т. д.

Матрицу расходных норм обозначим как

S=.

Тогда вектор суммарных расходов сырья находится  в виде произведения SX:

 =

б) Расход сырья 1 на единицу конечной продукции 1- го цеха (y1 =1) найдем  из выражения  1,4 b11+ 2,4 b21+0,8 b31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и  труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матриц  SB:

 =

     1            2            3

=  

Таким образом, например, для изготовления y1 = 1 необходимо затратить 1,99 единиц сырья 1-го вида, 0,17 единиц сырья 2-го вида, 2,52 единиц топлива и 15,2 единиц трудоресурсов (чел.-ч.).

в) Расход сырья, топлива и т. д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм  sij  на соответствующие валовые выпуски  xi  по цехам. В результате получим матрицу полных расходов:


1           2         3

г) Производственные расходы по цехам можно получить путем умножения слева строки стоимостей (5; 12; 2; 1,2)  на последнюю матрицу (полных расходов):

= .

д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в пункте «б», на строку цен:

= .

Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции 1, 2, 3 цехов соответственно составляют: 35,2 руб., 61,1 руб. и 72, 1 руб.

Решение упражнения 2.3.2 в Excel

К данным предыдущей задачи добавлены расходные нормы S

 

Ед.

Обозна-

Нормы расхода

 

 

Стоимость,

Обозна-

Продукция

измер

чения

1

2

3

Руб/ед.изм

чения

Сырье 1

Т

S1

1,4

2,4

0,8

5

P1

Сырье 2

Т

S2

0

0,6

1,6

12

P2

Топливо

Т

S3

2

1,8

2,2

2

P3

Трудоемкость

Чел.-ч

S4

10

20

20

1,2

P4


Найти:

а) суммарный расход ресурсов на производственную программу SX;

б) коэффициенты прямых затрат ресурсов на ед. конечной продукции SB;

в) расход ресурсов по цехам  rij=xi*sij;

г) производственные затраты по цехам PR;

д) производственные затраты на ед. конечной продукции PSB.

a)

S

*

X

SX

1,4

2,4

0,8

237

1101

Сырье 1

Т

0

0,6

1,6

*

187

=

749,9

Сырье 2

Т

2

1,8

2,2

398

1689

Топливо

Т

10

20

20

14090

Трудоемкость

Чел.-ч

б)

S

B

SB

1,4

2,4

0,8

1,04

0,21

0,03

1,99

2,93

1,37

0

0,6

1,6

*

0,21

1,06

0,13

=

0,17

0,84

2,11

2

1,8

2,2

0,03

0,13

1,27

2,52

2,61

3,08

10

20

20

15,17

25,86

28,23

в)

x1 *

S1

x2 *

S2

x3 *

S3

rij=xi*sij

 

1,4

 

2,4

 

0,8

332

450

319

237

0

187

0,6

398

1,6

=

0

112

637

 

2

 

1,8

 

2,2

475

337

877

 

10

 

20

 

20

2375

3747

7968

г)

P

*

R

=

PR

332

450

319

5

12

2

1,2

0

112

637

=

5462

8767

20558

475

337

877

2375

3747

7968

д)

P

*

SB

=

P(SB)

1,99

2,93

1,37

5

12

2

1,2

0,17

0,84

2,11

=

35,2

61,1

72,1

2,52

2,61

3,08

15,17

25,86

28,23


2.3.3.

Дан следующий межотраслевой баланс трехотраслевой модели хозяйства.

№№ отраслей потребления

1

2

3

Итого

yi

xi

№№ отраслей производства

1

2

3

10

30

20

5

-

40

40

30

-

55

60

60

45

40

140

100

100

200

Итого

60

45

70

175

Затраты труда

20

30

30

80

Построить структурную матрицу и рассчитать коэффициенты полных затрат, валовой выпуск и полные затраты труда на новый ассортимент конечного продукта  Yплан = (100; 50; 80).

Решение: Элементы структурной матрицы аik (коэффициенты прямых затрат) получим путем деления соответствующих данных таблицы на величины  валового выпуска  xi:

а11= 10/ 100= 0, 1;  a12= 5/ 100 = 0, 05;  a13= 40/ 200 = 0, 2;

a21= 30/ 100= 0, 3;  a22= 0/ 100= 0;  a23= 30/ 200= =0, 15;

a31= 20/ 100= 0, 2;  a32=40/ 100= 0, 4;  a33= 0/ 200= 0.

Отсюда получим структурную матрицу

А= .

Коэффициенты полных затрат получим как элементы обратной матрицы.

В=  = (Е- А)-1. Воспользовавшись способом вычисления обратной матрицы (см. Приложение), получим

В= .

Валовой выпуск  X, необходимый для обеспечения заданного конечного продукта  Y, получим из соотношения

X= B Y = = .

Коэффициенты прямых затрат труда получим путем деления чисел последней строки таблицы на  соответствующие значения валовых выпусков.

а41 = 20/ 100 = 0,2;  a42 = 30/ 100= 0, 3;  a43= 30/ 200= 0, 15

или

A4= (0,2; 0,3; 0,15).

Коэффициенты полных затрат труда получим путем умножения строки коэффициентов прямых затрат на матрицу  B,  т. е.

(0,2; 0,3; 0,15)    = (0,438; 0,481; 0,302).

Полные затраты труда по всем отраслям составят:

A4 Х= 0, 2· 152+ 0, 3·126+ 0, 15·159 = 92.


2.4. Указания к выполнению индивидуального задания

Требуется рассчитать (используя Microsoft Excel) основные параметры (текущие и плановые) статической модели межотраслевого баланса (МОБ), используя данные отчетного периода, представленные в виде следующей таблицы стоимостного МОБ.

Таблица 2.4.1

Отчетный баланс производства и распределения

валового общественного продукта (с пробелами данных)

Производящие

отрасли

Потребляющие отрасли

Конечный продукт

Валовой

продукт

Промышленность

xi1

Сельское

хозяйство

xi2

Прочие отрасли

xi3

yi

xi

Промышленность

350

250

200

800

?

Сельское

хозяйство

200

150

50

?

?

Прочие отрасли

?

20

80

200

500

Условно чистая продукция (zj)

?

300

?

Валовый продукт (xj)

?

?

?

Основные производственные фонды (fj)

1750

1100

900

Затраты труда (lj)

(млн. чел-час)

130

300

100

здесь N - число, образуемое последними двумя цифрами номера зачетной книжки студента, зададим равным нулю.

Решение:

1. Рассмотрим содержание основной части таблицы. Что представляет собой элемент xij? По определению xij= aij  xj, то есть xij – объем в стоимостном выражении продукции i-й отрасли, поглощаемый j-й отраслью. Тогда, к примеру, первая строка выражает то, что валовой продукт промышленности расходуется

в объеме x11= 350 ед. стоимости этой же отраслью,

в объеме х12= 250 ед. стоимости сельским хозяйством,

в объеме х13= 200 ед. стоимости прочими отраслями и

в объеме y1= 800 ед. стоимости идет на конечное потребление.

Какую же компенсацию получает отрасль? Это можно понять, анализируя первый столбец: промышленность поглотила из собственного продукта объем х11= 350 ед. стоимости, из продукта сельского хозяйства – х21= 200 ед. Стоимости, из продукта прочих отраслей – х31 ед. стоимости. Кроме того промышленностью получена и прибыль zj (чистая продукция), с учетом этого должен иметь место баланс: х11+ х12+ х13+y1= х11+ х21+ х31+zj, согласно которому как первая сумма (по строке) так и вторая(по столбцу) дают валовой продукт     (хi= xj   при i= j).

1. Из этих соображений находим недостающие величины в таблице МОБ:

x1= x1j+ y1 = 350 + 250 + 200 + 800 = 1600

x31= x3 - x32 - x33 - y3 = 500 - 20 - 80 - 200 = 200

x2= xi2 + z2 = 250 + 150 + 20 + 300 = 720

y2 = x2 - xj2= 720- (200+150+50) = 320

z1= x1- xi1= 1600 - (350 + 200 + 200) = 850

z3= x3 - xi3= 500 – (200 + 50 + 80) = 170.

И заканчиваем заполнение таблицы МОБ (см. табл. 2.4.1а).

Таблица 2.4.1а

Отчетный баланс производства и распределения

валового общественного продукта

Производящие

отрасли

Потребляющие отрасли

Конечный продукт

Валовой

продукт

Промышленность

xi1

Сельское

хозяйство

xi2

Прочие отрасли

xi3

yi

xi

Промышленность

350

250

200

800

1600

Сельское

хозяйство

200

150

50

320

720

Прочие отрасли

200

20

80

200

500

Условно чистая продукция (zj)

850

300

170

Валовый продукт (xj)

1600

720

500

Основные производственные фонды (fj)

1750

1100

900

Затраты труда (lj)

(млн. чел-час)

130

300

100

При определении величин распределяемой валовой продукции хi (i= 1, 2, 3)  и величин произведенной валовой продукции хj (j = 1, 2, 3)  учитываем, что в стоимостном МОБ xi = xj  для  i = j.

Чистая продукция отражает вновь созданную стоимость, состоит из зарплаты и прибыли. Определяется путем исключения из валовой продукции материалов и приравненных к ним затрат.

2. Определяем коэффициенты прямых материальных затрат по формуле:

                (2.4.1)

и получаем матрицу прямых материальных затрат А:

А= 

0,219

0,347

0,400

A=

0,125

0,208

0,100

0,125

0,028

0,160

Определяем коэффициенты прямых затрат труда

j = lj / xj , j = 1, 2, 3                                              (2.4.2)

и коэффициенты прямой фондоемкости

j = fj / xj , j = 1, 2, 3                                              (2.4.3)

и представляем их в виде  вектор-строк   и Ф:

= (1 2 3)                                                    (2.4.2*)

λj

0,081

0,417

0,200

Ф = (1 2 3) = (1,094;   1,528;   1,800).               (2.4.3*)

φj

1,094

1,528

1,800

3. Вычисляем коэффициенты полных затрат bij. Для этого можно воспользоваться соотношением, связывающим матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А с матрицей полных затрат В:

                    В= (I - A)-1                                                  (2.4.4)

1

0

0

I=

0

1

0

0

0

1

0,781

-0,347

-0,400

I-A=

-0,125

0,792

-0,100

-0,125

-0,028

0,840

1,520

0,695

0,807

B=(I-A)^-1=

0,270

1,392

0,294

0,235

0,149

1,320

Получив матрицу В, вычисляем вектор S= (s1 s2 s3) коэффициентов полных затрат труда si  и вектор = (1 2 3) полной фондоемкости j по формулам:

si =   i bij,    j= 1, 2, 3 ;                                    (2.4.5)

j =  i bij,    j= 1, 2, 3.                                  (2.4.6)

Удобно выполнять расчет данных коэффициентов воспользовавшись матричной формой записи:

S= (s1 s2 s3)= ΛВ = (1 2 3)                     (2.4.5*)

= (1 2 3)=  ФВ= (1 2 3)                   (2.4.6*)

Подставив в (2.4.5*) и (2.4.6*) исходные данные, получаем:

S=ΛΒ=

0,283

0,666

0,452

Σ=ΦB=

2,498

3,156

3,708

4. Находим (для контроля) вектор валового выпуска из соотношения :

X= B Y = (I- A)-1 Y :                                            (2.4.7)

xi

1600

720

500

  1.  Вычисляем плановые объемы  Yп  конечной продукции по формуле:

yiп = yi* (1+ i/ 100),                                   (2.4.8)

где i- заданный темп прироста конечной продукции в плановом периоде:

y1п = y1 (1+ 10/ 100) = 880

y2п  = y2 (1+ 5/ 100)= 336

y3п = y3 = 200.

Определяем матрицу Апл  коэффициентов прямых материальных затрат  для планового периода в виде  произведения

                                           Апл= V A M.                                     (2.4.9)

Предварительно вычисляем матрицу V A:

V A=  

0,230

0,365

0,420

VA=

0,138

0,229

0,110

0,125

0,028

0,160

Затем вычисляем матрицу  Апл= V A М = (V A) М:

0,230

0,383

0,420

Aпл=VAM=

0,138

0,241

0,110

0,125

0,029

0,160

Вычисляем коэффициенты полных затрат bijпл. Для этого можно воспользоваться соотношением, связывающим матрицу коэффициентов прямых материальных затрат Апл с матрицей полных затрат Впл:

                    Впл= (I - Aпл)-1                                               (2.4.10)

1,000

0,000

0,000

I=

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,770

-0,383

-0,420

I-Aпл=

-0,138

0,759

-0,110

-0,125

-0,029

0,840

1,595

0,839

0,907

Bпл=(I-Aпл)^-1=

0,325

1,494

0,358

0,249

0,177

1,338

6. Определяем производственное потребление продукции хijп и условно-чистую продукцию zjп в плановом периоде по формулам:

хijп = аijпхjп,  i= 1, 2, 3;  j = 1, 2, 3;                         (2.4.11)

zjп = xjп - хijп,  j = 1, 2, 3,                               (2.4.12)

и заполняем таблицу планового МОБ (см. табл. 2.4.2)

7. Считая коэффициенты прямых затрат труда j и прямой фондоемкости j ,- вычисленные в п.2, в плановом периоде неизмененными, определяем потребность в трудовых ресурсах ljп и основных производственных фондах (“прямая” потребность ОПФ) fjп на плановый период:

ljп = j xjп , j = 1, 2, 3;                                      (2. 13)

fjп = j xjп , j = 1, 2, 3.                                     (2. 14)

и заносим их в балансовые строки таблицы МОБ (см. табл. 2.4.2)

Таблица 2.4.2

Плановый баланс производства и распределения

валового общественного продукта

 

Потребляющие отрасли

Конечный
продукт

Валовой
продукт

Производящие
отрасли

Промышлен
ность

Сельское хозяйство

Прочие отрасли

yi

xi

xi1

xi2

xi3

Промышленность

429

329

229

880

1867

Сельское хозяйство

257

207

60

336

860

Прочие отрасли

233

25

87

200

546

Условно чистая продукция (zj)

948

299

169

Валовый продукт (xj)

1867

860

546

Основные производственные фонды (fj)

2042

1313

982

Затраты труда (lj)
(млн. чел-час)

152

358

109


Решение задачи в
Excel

Отчетный МОБ

 

Потребляющие отрасли

Конечный
продукт

Валовой
продукт

Производящие
отрасли

Промышлен
ность

Сельское хозяйство

Прочие отрасли

yi

xi

xi1

xi2

xi3

Промышленность

350

250

200

800

1600

Сельское хозяйство

200

150

50

320

720

Прочие отрасли

200

20

80

200

500

Условно чистая продукция (zj)

850

300

170

 

 

Валовый продукт (xj)

1600

720

500

 

 

Основные производственные фонды (fj)

1750

1100

900

Затраты труда (lj)
(млн. чел-час)

130

300

100

φj

1,094

1,528

1,800

λj

0,081

0,417

0,200

0,219

0,347

0,400

A=

0,125

0,208

0,100

0,125

0,028

0,160

1

0

0

I=

0

1

0

0

0

1

0,781

-0,347

-0,400

I-A=

-0,125

0,792

-0,100

-0,125

-0,028

0,840

1,520

0,695

0,807

B=(I-A)^-1=

0,270

1,392

0,294

0,235

0,149

1,320

Σ=ΦB=

2,498

3,156

3,708

S=ΛΒ=

0,283

0,666

0,452


Решение задачи в
Excel (продолжение)

Плановый МОБ

 

Потребляющие отрасли

Конечный
продукт

Валовой
продукт

Производящие
отрасли

Промышлен
ность

Сельское хозяйство

Прочие отрасли

yi

xi

xi1

xi2

xi3

Промышленность

429

329

229

880

1867

Сельское хозяйство

257

207

60

336

860

Прочие отрасли

233

25

87

200

546

Условно чистая продукция (zj)

948

299

169

Валовый продукт (xj)

1867

860

546

Основные производственные фонды (fj)

2042

1313

982

Затраты труда (lj)
(млн. чел-час)

152

358

109

1,05

0

0

V=

0

1,1

0

0,1

0

0

1

del Y=

0,05

1

0

0

0

M=

0

1,05

0

0

0

1

0,230

0,365

0,420

VA=

0,138

0,229

0,110

0,125

0,028

0,160

0,230

0,383

0,420

Aпл=VAM

0,138

0,241

0,110

0,125

0,029

0,160

1,000

0,000

0,000

I=

0,000

1,000

0,000

0,000

0,000

1,000

0,770

-0,383

-0,420

I-Aпл=

-0,138

0,759

-0,110

-0,125

-0,029

0,840

1,595

0,839

0,907

Bпл=(I-Aпл)^-1=

0,325

1,494

0,358

0,249

0,177

1,338


3. Прогнозирование и корреляция

3.1. Индивидуальные задания 

В процессе анализа работы предприятия собраны данные, характеризующие динамику изменения интересуемого показателя за ряд лет, приведенные в табл. 3.1.1.

Таблица 3.1.1

Годы              

  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  

Показатель  

90+N

96+N

100+N

110+N

115+N

119+N

Годы (продолжение)

  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  

Показатель

125+N

131+N

142+N

150+N

158+N

Здесь N – трехзначное число, составленное из дня и месяца рождения студента по форме [Дата месяц], причем для 10, 11, 12 месяцев старший разряд отбрасывается

Требуется

  1.  Определить тип временного ряда анализируемых данных (моментный или интервальный). Построить график данного динамического ряда , (i = 0, 1, 2, ..., 10).
  2.  Построить две трендовые модели, отражающие изменение анализируемого показателя. При построении трендовых моделей следует выбрать два регрессионных уравнения из представленного ниже набора функциональных зависимостей и найти методом наименьших квадратов оценки их параметров: первую линейную и подходящую из остальных11

;         .

  1.  С помощью построенных трендовых моделей вычислить теоретические значения  анализируемой переменной в рассматриваемом периоде времени, найти остатки (ошибки модели) , дисперсию остатков  и коэффициент множественной детерминации . На основе последних характеристик (, ) выбрать модель, которая наилучшим образом отражает тренд анализируемого динамического ряда.
  2.  Для выбранной трендовой модели с помощью  F- критерия Фишера оценить статистическую значимость коэффициента множественной детерминации  для уровня значимости  . По результатам проверки сделать вывод о приемлемости построенной трендовой модели, отразить ее на графике, полученном в п.1.

5. С помощью трендовой модели получить прогнозные значения анализируемого показателя на следующие пять лет.

6. Кроме точечного, дать интервальный прогноз с надежностью 95% по нижеследующей формуле

,                             (**)

где

,

– критическая граница (квантиль) распределения Стьюдента с  степенями свободы, соответствующая уровню значимости , где  – вероятность допустимой ошибки (задать = 0,05).

 – оценка среднеквадратичного отклонения остатков (ошибок, неучтенных в модели случайных отклонений).


3.2. Упражнения

3.2.1.

Динамика изменения на предприятии интересуемого показателя суточной производительности за ряд лет приведена в табл. 3.2.1.1.

Таблица 3.2.1.1

Годы              

  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  

Показатель  

90

96

100

120

115

119

Требуется

  1.  Определить тип временного ряда    анализируемых данных (моментный или интервальный). Построить график данного динамического ряда.
  2.  Построить линейную трендовую модель , отражающую изменение анализируемого показателя.
  3.  Найти остатки  , дисперсию остатков    и коэффициент множественной детерминации .
  4.  С помощью  F- критерия Фишера оценить статистическую значимость коэффициента множественной детерминации  для уровня значимости  . По результатам проверки сделать вывод о приемлемости построенной трендовой модели, отразить ее на графике, полученном в п.1.

5. Получить прогнозные значения анализируемого показателя на следующие три года.

6. Кроме точечного, дать линейный интервальный прогноз с надежностью 95% по формуле (**), стр. 49.

Решение

  1.  Показатель суточной производительности по своему смыслу аналогичен скорости и является моментным.

График динамического ряда представлен на следующей стр.

  1.  Ряд динамики характеризуют следующие показатели:

                      

               

Отсюда

Коэффициент корреляции  говорит о близости зависимости интересуемого показателя производительности от времени к линейной зависимости, поэтому имеет смысл построение линейного тренда в виде прямой .

Имеем        

Теоретические значения для  составят элементы вектора

93,45

98,74

104,02

109,31

114,60

119,88

  1.  Рассчитаем дисперсию остатков:

.

Дисперсия анализируемого показателя равна:

.

Рассчитаем коэффициент детерминации: .

Здесь       .

Коэффициент детерминации показывает, какая часть (или % при ) дисперсии зависимой (эндогенной) переменной  объясняется построенной трендовой моделью. В нашем примере модель объясняет 77% дисперсии анализируемого показателя.

  1.  Выполним проверку статистической значимости рассчитанного коэффициента детерминации с помощью -критерия согласия для уровня значимости :

,

где  - количество аргументов в модели тренда (число экзогенных переменных) (в рассмотренном примере аргумент один - время, соответственно, =1),

- число оцениваемых параметров (здесь = 2),

- объем выборки.

В рассматриваемом случае .

С учетом принятого уровня значимости  (здесь ), по таблице  - распределения Фишера находится критическое значение12 .

Параметры - распределения находятся следующим образом:

.

Здесь ;

.

Коэффициент  является статистически значимым.  больше . Построенное уравнение может быть использовано в качестве трендовой модели.

Решения пунктов 5 и 6 задания приведены ниже в виде графиков.

Решение упражнения 3.2.1 в Excel

Тип ряда

моментный

Dover.xls

cov(X,Yф)

18,5

K(X,Yф)=

0,765

k=

2

n=

6

Disp(X)=

3,5

R^2=

0,77

m=

1

t(n-2; 1-0,05)=

2,78

Disp(Yф)=

167,07

Fp=

13,72

n-k=

4

Disp(e)=

37,71

a1=

5,29

F0,95;(1;4)=

7,71

sigma =

6,14

a0=

88,17

Модель годится

Прямая

X

X^2

(X-xср)^2

Yф^2

XYф

(Y-Yф)^2

1

1

6,25

90

8100

90

11,92

2

4

2,25

96

9216

192

7,50

3

9

0,25

100

10000

300

16,19

4

16

0,25

120

14400

480

114,29

5

25

2,25

115

13225

575

0,16

6

36

6,25

119

14161

714

0,78

sum

21

91

17,5

640

69102

2351

150,83

sredn

3,5

15,17

^

106,67

11517,00

391,83

25,14

snam

X

Y

(X-xср)^2

koren

t*sigm*kor

Y-del 95

Y+del 95

1

93,45

6,25

0,72

12,36

81,10

105,81

2

98,74

2,25

0,54

9,28

89,46

108,01

3

104,02

0,25

0,43

7,26

96,76

111,29

4

109,31

0,25

0,43

7,26

102,05

116,57

5

114,60

2,25

0,54

9,28

105,32

123,87

6

119,88

6,25

0,72

12,36

107,53

132,24

7

125,17

12,25

0,93

15,89

109,27

141,06

8

130,45

20,25

1,15

19,64

110,81

150,09

9

135,74

30,25

1,38

23,50

112,24

159,24


3.2.2.

Номер студента в списке группы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Оценки по математике

9

3

1

4

2

8

5

6

7

Оценки по химии

6

7

3

2

1

8

5

4

9

Найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена (см. прилож. 2)

.

Решение.

3

-4

-2

2

1

0

0

2

-2

9

16

4

4

1

0

0

4

4

3.2.3.

Номера участниц конкурса красоты

Манеры

Красота

1

3

4

-1

1

2

11

11

0

0

3

1

1

3

9

4

10

12

-2

4

5

1

6

-5

25

6

8

2

6

36

7

9

10

-1

1

8

2

5

-3

9

9

12

9

3

9

10

6

7

-1

1

11

7

8

-1

1

12

5

3

2

4

100

Есть ли связь между красотой и манерами?

3.2.4.

(2,1), (3,6), (8,5), (1,4), (4,3), (7,2), (9,8), (0,7), (6,9), (5,10).

Вычислить коэффициент ранговой корреляции Кендэла (см. прилож. 2).

Какую поправку в данные следует внести для получения оценки Спирмена?

3.2.5.

Какова связь между рангами  и  - го , если между этими переменными существует прямая линейная зависимость ? Каково будет значение коэффициента ранговой корреляции Спирмена в этом случае?

3.2.6.

Если ранги 2-х характеристик строго противоположны, то для каждого объекта  Будет ли в этом случае справедливо соотношение , где .

3.2.7.

Температура процесса, C

10

20

30

40

50

60

70

80

Выход продукции химической реакции, г.

48

60

63

71

72

84

89

90

Отразить  на графике. Найти точечную оценку для  и 95 интервал.

3.2.8.

Охарактеризовать связь судей между собой.

Решения судьи №1

1

6

5

10

3

2

4

9

7

8

Решения судьи №2

3

5

8

4

7

10

2

1

6

9

Решения судьи №3

6

4

9

8

1

2

3

10

5

7

3.2.9.

При каком методе значения показателя выше?

Новый метод

1,7

4,6

3,7

3,9

2,8

3,1

2,4

4,2

3,6

3,3

Старый метод

1,2

4,4

3,1

4,0

3,4

2,7

2,6

3,7

3,5

3,0


4. Поддержка инновационных процессов

4.1. Индивидуальные задания

Индивидуальность задания обеспечивается самостоятельным формированием учащимся части данных задачи, а именно последний столбец в таблице исходных данных заполняется учащимся следующим образом:

  1.  Выписывается день рождения обучающегося, например, 20.06.1981

Полученная восьмерка цифр упорядочивается по возрастанию. В данном примере получится последовательность 0,0,1,1,2,6,8,9 цифр, шесть наибольших из которых (1,1,2,6,8,9) следует поставить на место первого разряда после десятичной запятой в представлении значений y4(x) для x = 1,2,3,4,5,6.

В примере получится y4(1) = 0,1   y4(2) = 0,1    y4(3) = 0,2

y4(4) = 0,6     y4(5) = 0,8    y4(6) = 0,9

Задача оптимальной поддержки инновационных процессов.

Инвестор располагает финансовыми средствами в объеме 6 млн. $., которые он может использовать на инновации четырех предприятий, приросты прибыли которых описываются нижеследующей табл. 4.1.1:


Таблица 4.1.1

Варианты

капиталовложений

x (млн.$.)

Годовой прирост прибыли yi(x) (млн.$.) на i- м предприятии при капиталовложении в него в размере x млн.$.

y1 (x)

y2 (x)

y3(x)

y4(x)

0

1

2

3

4

5

6

0

0, 28

0, 45

0, 65

0,78

0,90

1,10

0

0, 25

0, 41

0, 55

0, 65

0, 75

0,85

0

0, 20

0, 33

0, 42

0, 48

0, 53

0,63

0

y4(1)

y4(2)

y4(3)

y4(4)

y4(5)

y4(6)

Требуется так распределить капиталовложения между предприятиями, чтобы суммарное увеличение прибыли по четырем предприятиям было наибольшим.

Обозначим yk(xk) – годовой прирост прибыли, полученный на k- м предприятии при величине капиталовложений xk .

Тогда математическая модель задачи запишется так:

x1+ x2+ x3+ x4= 6

xi 0,  i= 1,..., 4,

z(x1, x2, x3, x4) = y1(x1) + y2(x2) + y3(x3) + y4(x4) max,

и пусть xi– целые. Целевая функция z (x1, x2, x3, x4) выражает общий (суммарный) ежегодный прирост прибыли, соответствующий распределению x = (х1, х2, х3, х4)  капиталовложений между четырьмя предприятиями.


4.2. Упражнения

4.2.1. Инвестор располагает финансовыми средствами в объеме 5 млн. $., которые он может использовать на инновации четырех предприятий, приросты прибыли которых описываются нижеследующей таблицей:

Таблица 4.2.1

Варианты

капиталовложений

x (млн. $.)

Годовой прирост прибыли yi(x) (млн. $.)

на i- м предприятии при капиталовложении

в него в размере x млн. $

y1 (x)

y2 (x)

y3(x)

y4(x)

0

1

2

3

4

5

0

0, 25

0, 41

0, 55

0,65

0,75

0

0, 28

0, 45

0, 65

0, 78

0, 9

0

0, 2

0, 33

0, 42

0, 48

0, 53

0

0, 15

0, 25

0, 4

0, 5

0, 62

Требуется так распределить капиталовложения между предприятиями, чтобы увеличение прибыли по четырем предприятиям было наибольшим.

Решение

Обозначим yk(xk) – годовой прирост прибыли, полученный на k- м предприятии при величине капиталовложений xk .

Тогда математическая модель задачи запишется так:

x1+ x2+ x3+ x4= 5

xi  0,  i= 1,..., 4,

z(x1, x2, x3, x4) = y1(x1) + y2(x2) + y3(x3) + y4(x4) max,

и пусть xi – целые.

Целевая функция z(x1, x2, x3, x4) выражает общий (суммарный) ежегодный прирост прибыли, соответствующий распределению x = (х1, х2, х3, х4)  капиталовложений между четырьмя предприятиями.


Обозначим 

f1(S) = max   y1(x1)

0x1 S

– максимальный прирост прибыли,          

который может быть получен на первом предприятии

в случае выделения ему S единиц капиталовложений.

Так как все функции  yk(xk) монотонно возрастающие, то прирост прибыли будет наибольшим, если предприятие освоит все выделенные ему капиталовложения.

Поэтому можно записать, что

f1(S)  =  max   y1 (x1)= y1 (S)                 (4.2.1)

                                       0 x1  S

Пусть теперь S млн. $. капиталовложений распределяются между первым и вторым предприятиями, т. е. капиталовложения должны быть разделены на две части  (x2; S- x2),

где х2   – это капиталовложения, выделяемые второму предприятию,

    (S- х2 ) – остающаяся часть для первого предприятия.

В результате такого распределения прирост прибыли на первом предприятии составит величину f1(S- x2), на втором  – y2(x2), общий прирост будет равен  f1 (S- x2) + y2 (x2).

Будем выбирать величину х2 таким образом, чтобы общий (суммарный) прирост прибыли на 1-м и 2-м предприятиях был наибольшим.

Обозначим как f2 (S) максимальную суммарную прибыль на обоих предприятиях, т. е.

f2 (S) = max { y2 (x2) + f1 (S- x2)}.                          (4.2.2)

                            0 x2  S

Отметим, что задача (4.2.2) является однопараметрической задачей (задачей максимизации зависящей только от одной искомой переменной).

Если обозначить через  х2*(S) – величину капитальных вложений, выделяемых 2-му предприятию, обеспечивающую максимальный суммарный прирост прибыли первого и второго предприятий (т.е. х2*(S) – это решение задачи (4.2.2)), то можно записать

f2 (S) = y2 (x2*(S))+ f1(S- x2*(S)).

Управление (решение) х2*(S) называется условно-оптимальным, так как оно является оптимальным для второго и первого предприятий при условии, если им выделяются капиталовложения в объеме S единиц.

Далее следует построить еще функции f3(S) и f4(S).

Функция f3(S) выражает максимальный прирост прибыли, который может быть получен на трех предприятиях (первом, втором и третьем) в случае распределения между ними S млн. $. капиталовложений. Эта функция строится по такому же принципу, как и функция

f2 (S), а именно:

f3(S) = max  {y3(x3)+ f2(S- x3)}                  (4.2.3)

                                     0 x3  S

Задача (4.2.3) – это задача принятия решения на 3 -м шаге, т. е. задача определения капиталовложений третьему предприятию. Эта задача решается для каждого значения S=1,..., 5. В результате решения определяются две величины: величина x3*(S) – условно-оптимальный объем капвложений, выделяемый 3 -му предприятию и f3(S) – суммарная прибыль на трех предприятиях в случае наилучшего распределения между ними S млн. $. капиталовложений.

Последней задачей в нашем примере будет задача поиска условно-оптимальных решений x4(S) для четвертого предприятия, т. е. следующая задача максимизации

f4 (S) =  max{y4(x4)+ f3(S-x4)}                 (4.2.4)

                                        0 x4  S

Уравнения (4.2.1 – 4.2.4) называются рекуррентными уравнениями Беллмана. Они решаются последовательно, результаты их решения

(xk*(S), fk(S)), k = 1,...,4,

можно представить в виде нижеследующей итоговой таблицы. В ней на первом этапе проставляются только данные при k =  1, остальные же по мере решения этапов задачи, то есть по мере решения соотношений (4.2.2 – 4.2.4).


Таблица 4.2.2

Условно-оптимальные решения

Кап. вложения

k= 1

k= 2

k= 3  

k= 4

S

x1*(S)   f1(S)

x2*(S)   f2(S)

x3*(S)   f3(S)

x4*(S)    f4(S)

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

0       0,25   0,41    0,55    0,65   0,75

0

1

1

2

3

3

0              0,28             0,53             0,70             0,90             1,06

0

0

0

1

0

1

0               0,28             0,53             0,73             0,90             1,1

0

0

0

0

0

0

0                 0,28                 0,53                 0,73                 0,90                 1,10

В столбце k =1 представлены результаты решения задачи (4.2.1). Здесь  f1(S) = y1(S)  и  x1*(S) = S, так что фактически каких-либо расчетов при решении задачи (4.2.1) делать не нужно.

Приведем вычислительную схему для решения задачи (4.2.2). Эта схема представлена в следующей таблице:


Таблица 4.2.3

Решение задачи (4.2.2)

Лучший результат

Лучшее управление

S

x2

y2 (x2)

f1(S- x2)

y2(x2)+ f1(S- x2)

f2(S)

x2*(S)

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0,28

0,25

0

0,25

0,28

0,28

1

2

0

1

2

0

0,28

0,45

0,41

0,25

0

0,41

0,53

0,45

0,53

1

3

0

1

2

3

0

0,28

0,45

0,65

0,55

0,41

0,25

0

0,55

0,69

0,7

0,65

0,70

2

4

0

1

2

3

4

0

0,28

0,45

0,65

0,78

0,65

0,55

0,41

0,25

0

0,65

0,83

0,86

0,9

0,78

0,90

3

5

0

1

2

3

4

5

0

0,28

0,45

0,65

0,78

0,9

0,75

0,65

0,55

0,41

0,25

0

0,75

0,93

1,0

1,06

1,03

0,9

1,06

3

Таким образом, согласно приведенной таблице, при решении задачи (4.2.2) поиск условно-оптимальных решений x2*(S) производился только среди целых чисел, то есть решалась следующая задача

f2(S) = max { y2 (x2) + f1(S- x2)}

                                               0 x2  S

Это означает, что оптимальное распределение находится среди целых чисел (с точностью до 1 млн. $). Если такая точность не устраивает, то следует расширить область допустимых значений для х2 (с шагом 100 тыс. $., например).

В столбце “х2” таблицы показаны возможные значения х2. Например, при k=3 возможны четыре значения х2 :    х2 = 0, 1, 2, 3,  то есть, при распределении 3 млн. $. между первым и вторым предприятиями возможны следующие четыре варианта распределения  (x2, S- x2) :

(0, 3) – второму предприятию не давать ничего, а отдать все первому;

(1, 2) – второму дать 1 млн. $., первому – 2 млн. $.;

(2, 1) – второму дать 2 млн. $., первому – 1 млн. $.;

(3, 0) – отдать все 3 млн. $. второму предприятию.

В столбце “y2(x2)” записываются значения функции y2 (x2), взятые из начальной таблицы, а в столбце f1 (S- x2) – значения вычисленной на предыдущем шаге функции f1(S). Эти значения берутся из итоговой таблицы, в которой должен быть заполнен столбец “k=1” к моменту вычисления функции f2(S).

Далее производится сложение столбцов y2(x2) и  f1(S- x2) и выбор максимального элемента в столбце y2(x2) + f1(S- x2) для каждого значения S.

Жирным шрифтом выделены  найденные условно-оптимальные решения x2*(S). В предпоследнем столбце находятся значения функции f2(S), они вместе с x2*(S) записываются  в итоговую таблицу в столбец “k=2”.

После решения задачи (2) и заполнения в итоговой таблице столбца “k=2”, решается задача (3) по аналогичной схеме.

Изменяется “шапка” в вычислительной схеме, она при решении будет такой:

Таблица 4.2.4

Решение задачи (4.2.3)

Лучший результат

Лучшее управление

S

x3

y3 (x3)

f2(S-x3)

y3(x3) + f2(S-x3)

f3(S)= max (y3 (x3)+ f2(S- x3))

x3*(S)

Результаты расчетов третьей задачи записаны в столбце “k=3” итоговой таблицы.

Последнюю четвертую задачу достаточно решить при одном значении S= 5 млн. $., чтобы ответить на вопрос об оптимальном распределении 5 млн. $. между четырьмя предприятиями.

Приведем решение задачи (4.2.4) при S = 5, то есть задачи

f4(S) = max {y4(x4) + f3(S- x4)}.

                                                      0 x4  S

Таблица 4.2.5

Решение задачи (4)

Лучший результат

Лучшее управление

S= 5

x4

y4(x4)

f3(5-x4)

y4(x4) + f3(5- x4)

f4(5)

x4*(S)

0

1

2

3

4

5

0

0,15

0,25

0,4

0,5

0,62

1,1

0,90

0,73

0,53

0,28

0

1,1

1,05

0,98

0,93

0,78

0,62

1,1

0

Результат решения этой задачи записан в последней строке в столбце k = 4 итоговой таблицы.

После заполнения сводной таблицы условно-оптимальных решений находится безусловное (окончательное) распределение капиталовложений между четырьмя предприятиями с помощью итоговой таблицы обратным ходом.

В начале определяется оптимальная величина капиталовложений, выделяемая четвертому предприятию.

Она находится из последней строки итоговой таблицы и равна х4(5) = 0 млн. $.

Вычитая из 5 млн. $. величину х4(5) = 0 млн. $, получим остаток, равный 5 млн. $.– величину вложений для первых трех предприятий. В столбце “k=3” находим х3(5) = 1.

Вычитая из суммы, выделявшейся первым трем предприятиям (5 млн. $), величину х3 = 1 млн. $, получим остаток, равный 4 млн. $.– величину вложений для первых двух предприятий. В столбце “k=2” находим х2(4) = 3.

Вычитая из суммы, выделявшейся первым двум предприятиям (4 млн. $), величину х2 = 3 млн. $, получим остаток, равный 1 млн. $.– величину вложений для первого предприятия.

В результате найдено оптимальное распределение капвложений х*= (1, 3, 1, 0), которому соответствует  наибольший  ежегодный прирост прибыли по объединению, равный f4(5) = 1,1 млн. $.   

Ниже приводится решение данной задачи с использованием табличного процессора Excel.

В отличие от «ручного» счета, как это видно в таблицах Excel, отдельная итоговая таблица не строится, но ее отдельные столбцы приведены рядом с основными расчетными.

Вторая таблица строится копированием первой вместе с таблицей исходных данных. После этого вектор y(x2) копии исходных данных заменяется вектором y(x3), а f1 вручную заменяется значениями f2 из предыдущей таблицы. Этим ускоряется построение второй таблицы таким образом, что на решение всей задачи достаточно 20 минут.

Третья таблица строится по аналогии с предыдущей, только на место, где в первой стоял вектор y(x2), замененный во второй вектором y(x3), в третьей ставится y(x4). А на место f2 ставится f3.

Итоги собираются обратным ходом согласно логике метода.


Решение упражнения 4.2.1 в Excel

x

y(x1)

y(x2)

y(x3)

y(x4)

x1**

1

0

0

0

0

0

x2**

3

1

0,25

0,28

0,2

0,15

x3**

1

2

0,41

0,45

0,33

0,25

x4**

0

3

0,55

0,65

0,42

0,4

4

0,65

0,78

0,48

0,5

f4=

1,1

5

0,75

0,9

0,53

0,62

В рамках

копировать

f1

x

y(x2)

s

x2

y(x2)

f1(s-x2)

sum

прямым

0

0

0

0

0

0

0

0

ходом и

0,25

1

0,28

1

0

0

0,25

0,25

восстановить

0,41

2

0,45

1

0,28

0

0,28

связи

0,55

3

0,65

2

0

0

0,41

0,41

0,65

4

0,78

1

0,28

0,25

0,53

0,75

5

0,9

2

0,45

0

0,45

Затененное

s

f2=max

x2*

3

0

0

0,55

0,55

вычислять

0

0

0

1

0,28

0,41

0,69

обратным

1

0,28

1

2

0,45

0,25

0,7

ходом

2

0,53

1

3

0,65

0

0,65

3

0,7

2

4

0

0

0,65

0,65

4

0,9

3

1

0,28

0,55

0,83

5

1,06

3

2

0,45

0,41

0,86

3

0,65

0,25

0,9

s2

4

4

0,78

0

0,78

x2**

3

5

0

0

0,75

0,75

1

0,28

0,65

0,93

x1**

1

2

0,45

0,55

1

3

0,65

0,41

1,06

4

0,78

0,25

1,03

5

0,9

0

0,9


x

y(x1)

y(x3)

y(x3)

y(x4)

0

0

0

0

0

1

0,25

0,2

0,2

0,15

2

0,41

0,33

0,33

0,25

3

0,55

0,42

0,42

0,4

4

0,65

0,48

0,48

0,5

5

0,75

0,53

0,53

0,62

f2=max

x

y(x3)

s

x3

y(x3)

f2(s-x3)

sum

0

0

0

0

0

0

0

0

0,28

1

0,2

1

0

0

0,28

0,28

0,53

2

0,33

1

0,2

0

0,2

0,7

3

0,42

2

0

0

0,53

0,53

0,9

4

0,48

1

0,2

0,28

0,48

1,06

5

0,53

2

0,33

0

0,33

s

f3=max

x3*

3

0

0

0,7

0,7

0

0

0

1

0,2

0,53

0,73

1

0,28

0

2

0,33

0,28

0,61

2

0,53

0

3

0,42

0

0,42

3

0,73

1

4

0

0

0,9

0,9

4

0,9

0

1

0,2

0,7

0,9

5

1,1

1

2

0,33

0,53

0,86

3

0,42

0,28

0,7

s3

5

4

0,48

0

0,48

x3**

1

5

0

0

1,06

1,06

1

0,2

0,9

1,1

2

0,33

0,7

1,03

3

0,42

0,53

0,95

4

0,48

0,28

0,76

5

0,53

0

0,53


x

y(x1)

y(x4)

y(x3)

y(x4)

0

0

0

0

0

1

0,25

0,15

0,2

0,15

2

0,41

0,25

0,33

0,25

3

0,55

0,4

0,42

0,4

4

0,65

0,5

0,48

0,5

5

0,75

0,62

0,53

0,62

f3=max

x

y(x4)

s

x4

y(x4)

f3(s-x4)

sum

0

0

0

0

0

0

0

0

0,28

1

0,15

1

0

0

0,28

0,28

0,53

2

0,25

1

0,15

0

0,15

0,73

3

0,4

2

0

0

0,53

0,53

0,9

4

0,5

1

0,15

0,28

0,43

1,1

5

0,62

2

0,25

0

0,25

s

f4=max

x4*

3

0

0

0,73

0,73

0

0

0

1

0,15

0,53

0,68

1

0,28

0

2

0,25

0,28

0,53

2

0,53

0

3

0,4

0

0,4

3

0,73

0

4

0

0

0,9

0,9

4

0,9

0

1

0,15

0,73

0,88

5

1,1

0

2

0,25

0,53

0,78

3

0,4

0,28

0,68

s4=

5

4

0,5

0

0,5

x4**

0

5

0

0

1,1

1,1

1

0,15

0,9

1,05

2

0,25

0,73

0,98

3

0,4

0,53

0,93

4

0,5

0,28

0,78

5

0,62

0

0,62


Имитация ручного счета в Excel

E14>=F14

B14

E15>=F14

B15

B16

Лучшее

в B14

Лучшее

в B15

Лучшее

в B16

4.2.2. Распределить имеющиеся ресурсы в размере 250 млн.$ между четырьмя предприятиями, если увеличение выпуска в зависимости от предоставленных средств характеризуется таблицей:

Предприятия

Вложенные средства

  1.  

50

17

25

20

30

100

38

40

35

45

150

50

48

52

50

200

55

56

60

55

250

60

62

68

68

4.2.2. Решить предыдущую задачу при условии, что исходные ресурсы в размере 200 млн.$ распределяются между пятью предприятиями, в каждое из которых нельзя вкладывать более  140 млн.$, а прибыль, приносимая каждым предприятием, задана таблицей:

Предприятия

Вложенные средства

  1.  

10

10

18

20

5

30

20

20

25

40

10

69

30

40

30

60

15

95

40

100

31

80

25

140

50

160

32

95

37

160

60

180

33

101

69

170

70

190

34

102

140

175

80

200

35

103

225

176

90

210

36

104

280

177

100

215

37

105

3000

178

110

220

38

106

302

179

120

225

39

107

303

180

130

230

40

108

304

181

140

235

41

109

305

182

4.2.3. Найти оптимальное решение в упр. 4.2.1. при условии, что начальные средства:

а) увеличились на  20 млн.$;

б) уменьшились на 20 млн.$ (использовать результат упр. 4.2.1).

4.2.4. Исходная сумма в  300 млн.$ должна быть распределена между тремя предприятиями при следующих условиях: средства, выделяемые каждому предприятию  xk (k=1, 2, 3), не могут превышать величины dk млн.$, которую предприятие может освоить, и позволяют получить продукции на сумму  fk(xk) млн.$. Значения  dk и fk(xk)  даны в таблице:

k

  1.  

dk

100

75

150

fk(xk)

0.4 x12

100 x2

120 x3

Найти оптимальный план распределения средств.

4.2.5. Решить упр. 4.2.4. для четырех предприятий, если функции dk и fk(xk) заданы таблицей:

fk(xk)

x

k

50

100

150

200

dk

  1.  

15

20

20

20

100

12

24

36

56

150

10

20

30

30

150

15

30

30

30

100


5. Системы обслуживания

5.1. Индивидуальные задания

Нижеследующие задачи представляют собой индивидуальные задания по теме «Системы массового обслуживания». Требования по его оформлению не отличаются от аналогичных для других индивидуальных заданий. Основными из них являются: обоснование выбора студентом конкретных вариантов параметров своих задач и подробное обоснование выводов, расчетов (ссылка на конкретные известные формулы, обоснование их применимости к рассматриваемым ситуациям и т.д.).

5.1.1. Анализ замкнутой СМО. Пусть  – потери (руб.) в единицу времени при неиспользовании объекта по прямому назначению в связи с нахождением в системе обслуживания,  – затраты (руб.) в единицу времени по обслуживающему аппарату, находящемуся в работе,  – то же при его неиспользовании.

Тогда общие затраты в единицу времени по системе с учетом потерь по обслуживаемому потоку составят

.

Определить величину  для замкнутой системы при следующих ее параметрах:

количество потенциальных требований ;

количество обслуживающих устройств :

;

.

Здесь  – остаток от деления нацело числа  на число ,

 – последняя цифра номера зачетки,

 – предпоследняя цифра номера зачетки.

5.1.2. Анализ открытой СМО. Аналогично предыдущей задаче определить величину затрат  для открытой СМО при параметрах, заданных табл. 5.1.2.1.

Количество обслуживающих устройств . Выбор вариантов  и  осуществляется по номеру зачетки:

. (см. предыдущую задачу)

Указание. При ;

при ;

при .

Таблица 5.1.2.1

Параметры СМО

Вариант

Вариант

1

2

3

4

400

500

700

1000

200

300

500

700

0,9

0,7

0,5

0,4

1

2

3

4

300

400

500

600


5.2. Марковские процессы

Марковский процесс (МП), процесс без последействия, – случайный процесс, эволюция которого после любого заданного момента временного параметра  не зависит от эволюции, предшествовавшей , при условии, что значение процесса в момент  фиксировано.

Одним из наиболее распространенных формальных определений МП является нижеследующее.

Случайный процесс  называется марковским, если для любого момента времени  при фиксированном значении  случайные величины , , не зависят от величин , .

Пусть процесс  может принимать только конечное или счетное число значений из множества целых неотрицательных чисел . Через , обозначим вероятность перехода системы, описываемой случайной величиной , из состояния , имеющего место в момент , в состояние  в момент :

.                      (5.2.1)

Далее будем рассматривать только однородные марковские процессы, для которых вероятность перехода из состояния  в состояние  зависит только от времени :

 для любого , т.е.

,                           (5.2.2)

для любого .

Для описания марковского процесса обозначим

                  (5.2.3)

Через , , обозначим начальное распределение вероятностей:

Рассмотрим случай, когда количество возможных состояний системы конечно и равно .


Согласно формуле полной вероятности имеем

.            (5.2.4)

.          (5.2.5)

Учитывая однородность рассматриваемых марковских процессов (см.(5.2.2)), из (5.2.4) получим

.                            (5.2.6)

Аналогично, из (5.2.5) получим

.                            (5.2.7)

Как частный случай (5.2.6) имеем

и по определению

Рассмотрим производную

.                           (5.2.8)

Согласно (5.2.6) имеем13

          (5.2.9)

Но

.                            (5.2.10)

Будем рассматривать только процессы, у которых переходные вероятности  удовлетворяют условиям

                             (5.2.11)

где  – интенсивность перехода из  в ,

– бесконечно малая относительно ,то есть

при

Тогда, учитывая конечное число возможных состояний, имеем

           (5.2.12)

где  – интенсивность выхода из .

Подставим (5.2.12) и (5.2.11) в (5.2.10),(5.2.9) и (5.2.8), получим

.

Переходя к пределу и сокращая на , получим дифференциальные уравнения А.Н.Колмогорова

        (5.2.13)

Начальные данные для системы уравнений (5.2.13) задаются равенствами

Варианты состояний процесса и возможных переходов удобно представлять в виде графа, у которого вершины графа, изображенные кружками, обозначают состояния, а ориентированные дуги, изображенные стрелками, обозначают ненулевые интенсивности переходов (причем значения  проставляются на соответствующих стрелках).

Уравнения Колмогорова записываются по графу состояний следующим образом: левая часть есть производная , а в правой части записывается столько слагаемых, сколько дуг (стрелок) входит и выходит из вершины графа, представляющей рассматриваемое состояние . Каждое слагаемое правой части соответствует определенной дуге (стрелке) и представляет собой произведение вероятности находиться в начале этой стрелки на интенсивность перехода по ней, причем для входящих стрелок – с плюсом , а для выходящих – с минусом .

Рассмотрим пример, представленный на рис.5.2.1.

Рис.5.2.1.

Марковский процесс, представленный на рис. 5.2.1. имеет три возможных состояния (0;1;2) с возможными переходами

Для графа, представленного на рис. 5.2.1 система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид:

Число уравнений может быть уменьшено на 1, если использовать свойство вероятности от полной группы попарно несовместных событий:

.                         (5.2.14)


5.3. Основные модели потоков событий

Марковские процессы являются удобным аппаратом для описания потоков событий (поступления требований), т.е. ситуаций, когда с течением времени происходят некоторые случайные события, продолжительность наступления которых можно считать нулевой. Например, последовательность вызовов, поступающих на телефонную станцию, последовательность поступления требований ремонта станков в цехе и т.п.

Рассмотрение потока событий имеет целью получение различных его характеристик. К ним относятся вероятности поступления того или иного числа требований на заданном отрезке времени, среднее число требований, поступающих за данное время, вероятностное распределение длин временных интервалов между соседними требованиями и т.д. Оказывается, первая из названных характеристик является фундаментальной: зная ее можно определить остальные. Введем для нее специальные обозначения:

– вероятность того, что на отрезке времени, начинающемся в точке  и имеющем длину  (т.е. на отрезке  наступит ровно  событий из рассматриваемого потока;

(или ) – вероятность того, что на отрезке  наступит не менее  (или соответственно, не более ) событий.

При этом  – вероятность отсутствия событий на рассматриваемом отрезке времени;

– вероятность поступления  событий в момент .

Среди различных свойств, которыми могут обладать потоки требований, особый интерес представляют следующие три.

  1.  Свойство стационарности. Поток событий называется стационарным, если для любого  и для любых двух отрезков времени одинаковой длины  и  выполняется равенство =, т.е. вероятность  зависит только от длительности  интервала времени и не зависит от момента его начала . В связи с этим для стационарных потоков вместо  будем писать просто , т.е.  – вероятность того, что число  наступлений событий за время  для стационарного потока равно .

Часто нестационарность потока бывает связана с колебаниями сезонными (как, например, поток требований на авиабилеты) или суточными (как, например, поток телефонных вызовов, поступающих на АТС). В любом реальном потоке, рассматриваемом на достаточно длинном промежутке времени, можно обнаружить нестационарность. Однако на относительно коротких промежутках времени потоки можно считать стационарными. В связи с этим длинный промежуток времени иногда разбивают на участки стационарности и рассматривают потоки на каждом участке отдельно.

  1.  Свойство ординарности. Поток называется ординарным, если он удовлетворяет условию: какова бы ни была точка ,

.                                      (5.3.1)

Условие это означает, что вероятность поступления двух или большего числа событий на отрезке [] стремятся к нулю (при ), и притом существенно быстрее, чем сама длина отрезка . Поскольку при  отрезок [] стягивается в точку , то условие (5.3.1) означает, что ни в какой момент времени  невозможно поступление двух или более требований.

Условию (5.3.1) можно придать эквивалентную формулировку:

.                                       (5.3.2)

3.Свойство отсутствия последействия. Поток событий называется потоком без последействия, если условные вероятности поступления  требований на произвольном отрезке времени [], вычисленные при различных предположениях о распределении моментов поступления требований до , совпадают с безусловной вероятностью .

Отсутствие последействия означает независимость вероятностных характеристик потока на отрезке времени от “истории” потока до этого отрезка, что означает внутреннюю независимость потока.

Для потоков без последействия из формулы полной вероятности следует соотношение

.               (5.3.3)

(см. рис.5.3.1.)

Рис.5.3.1.

Если поток является стационарным, то (5.3.3) можно упростить:

.                            (5.3.4)

Можно показать, что сумма большого числа независимых потоков малой интенсивности является потоком без последействия; при этом слагаемые потоки могут быть с последействием. Такими суммарными потоками являются, например, поток автомашин на дороге с достаточно интенсивным движением, поток поломок или сбоев в работе сложного устройства и т.п.

Ординарный поток событий без последействия называется пуассоновским. 

Поток событий называется простейшим, если он стационарен, ординарен и не имеет последействия. Простейший поток есть частный случай пуассоновского (а именно стационарный пуассоновский поток).

Рассмотрим потоки, обладающие отмеченными свойствами, и наиболее часто используемые при моделировании систем массового обслуживания.

Простейшие потоки. В курсе теории вероятностей доказана эквивалентность приведенного определения простейшего потока нижеследующему определению: поток называется простейшим, если для него вероятность наступления  событий в интервале времени  определяется законом Пуассона:

                        (5.3.5)

где  – параметр потока.


Анализируя таблицу значений возможной упущенной выгоды, выбирают максимальное значение, соответствующее каждой выбранной альтернативе: , а из них выбирают значение с минимальной величиной:          .

Это означает, что, желая минимизировать свои потери при возможных разных состояниях спроса, необходимо закупить 4 тыс. ед. товара, если руководствоваться критерием минимаксного сожаления.

Решение данной задачи в Excel

Исходные данные

Ед.изм.

min

max

Шаг

Спрос

тыс.ед

2

4

1

Доход за единицу

у.е.

10

Убытки непродажи
за единицу

у.е.

4

Неудовлетворение
спроса

у.е.

1

Таблица доходов, тыс.у.е.

                 Спрос, тыс.ед
Закупка, тыс.ед

2

3

4

2

20

19

18

3

16

30

29

4

12

26

40

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица

Вероятность невезения

0,3

Вероятность везения

0,7

Таблица доходов, тыс.у.е.

Вариант спроса k

1

2

3

Стратегия
i

                 Спрос, тыс.ед
Закупка, тыс.ед

2

3

4

 

 

 

1

2

20

19

18

18

20

19,4

2

3

16

30

29

16

30

25,8

3

4

12

26

40

12

40

31,6

18

31,6

max

max

Критерий минимаксного сожаления Сэвиджа

Таблица доходов, тыс.у.е.

Вариант спроса k

1

2

3

Стратегия
i

                 Спрос, тыс.ед
Закупка, тыс.ед

2

3

4

1

2

20

19

18

2

3

16

30

29

3

4

12

26

40

30

30

40

Таблица упущенной выгоды, тыс.у.е.

Вариант спроса k

1

2

3

Стратегия
i

                 Спрос, тыс.ед
Закупка, тыс.ед

2

3

4

1

2

0

11

22

22

2

3

4

0

11

11

3

4

8

4

0

8

8

min

11.3.3. Многокритериальные оценки в условиях риска

Модель задачи и общие условия в этом случае аналогичны задаче принятия решений в условиях неопределенности. В то же время для ситуации риска характерно то, что различные варианты внешней среды могут реализоваться с определенной вероятностью. Зная эти вероятности, можно разрабатывать стратегию поведения.

В условиях риска рассматриваются два типа задач:

1) максимизация среднего дохода,

2) минимизация средних потерь.

В методе максимизации среднего дохода находится средний по вероятности доход по каждой альтернативе, наилучшей считается вариант стратегий, при котором средний доход будет максимальным.

В методе минимизации средних потерь вначале определяются потери при выборе не лучшей альтернативы при данном состоянии среды, затем находятся средние по вероятности потери по каждой альтернативе. Наилучшим считается вариант стратегий, при котором средние потери будут минимальными.

Рассмотрим для примера следующую задачу.

Пример

Оптовая база намеревается закупить товар для реализации. По оценкам экспертов спрос на товар в ближайшем будущем может составить от 2 до 4 тыс. ед. При этом шансы того, что спрос составит 2 тыс. ед. составляет 25%, шансы спроса в 3 и 4 тыс. ед. составляют соответственно 45%  и 30% Доход от реализации ед. товара составляет 10 у.е., если товар не продается, то убытки составляют 4 у.е., при неудовлетворенном спросе убытки будут 1 у.е. Используя правила максимального среднего дохода и минимальных средних потерь, определять, какое количество товара следует закупить оптовой базе.

Метод максимизации среднего дохода

Для использования этого метода необходимо составить таблицу доходов.

Таблица доходов, тыс.у.е.

Вариант спроса k

1

2

3

Стратегия
i

                 Спрос, тыс.ед
Закупка, тыс.ед

2

3

4

1

2

20

19

18

18,95

2

3

16

30

29

26,2

3

4

12

26

40

26,7

Вероятность состояния среды

(спроса) pk

0,25

0,45

0,3

26,7

max

Ожидаемый средний доход от продажи товара при каждой выбранной стратегии:

  1.   (покупка 2 тыс. ед. товара)  200,25+190,45+180,3=18,95
  2.  (покупка 3 тыс. ед. товара)   160,25+300,45+290,3=26,2
  3.   (покупка 4 тыс. ед. товара)   120,25+260,45+400,3=26,7

Максимальный средний доход 26,7 обеспечивается третьей стратегией (покупкой 4 тыс. ед. товара).

Метод минимизации средних потерь

Для решения задачи необходимо составить матрицу потерь.


 

Таблица доходов, тыс.у.е.

Вариант спроса k

1

2

3

Стратегия
i

                 Спрос, тыс.ед
Закупка, тыс.ед

2

3

4

1

2

20

19

18

2

3

16

30

29

3

4

12

26

40

 

20

30

40

 

Таблица упущенной выгоды, тыс.у.е.

Вариант спроса k

1

2

3

Стратегия
i

                 Спрос, тыс.ед
Закупка, тыс.ед

2

3

4

1

2

0

11

22

11,55

2

3

4

0

11

4,3

3

4

8

4

0

3,8

 

Вероятность состояния среды (спроса) pk

0,25

0,45

0,3

3,8

 

min

Ожидаемые средние потери при каждой выбранной стратегии:

00,25+110,45+220,3=11,55

40,25+00,45+110,3=4,3

80,25+40,45+00,3=3,8

Наилучшей альтернативой является покупка 4 тыс. ед. товара.

Дерево решений

В задачах принятия решений в условиях риска ситуация поиска наилучшего решения может быть описана с помощью дерева решений.

В дереве решений вершины, представляющие точки принятия решений, отображаются квадратиками – □, а возможные состояния среды отображается кружочками – ○. Если состоянию среды предписывается вероятность, то она проставляются над линией, следующей за символом – ○, отображающим состояние среды. Ожидаемые выплаты (доходы) фиксируются на концах дерева решений.

Ожидаемый доход от реализации той или иной альтернативы можно вычислять на основе умножения вероятности реализации состояния среды (Р) на ожидаемую выплату и затем, суммируя полученные значения по всем состояниям для каждой альтернативы. Если каждая исходная альтернатива включает в себя детализирующие альтернативные варианты, то построение дерева начинается с укрупненных вариантов, затем, по мере введения дополнительных условий каждый из исходных вариантов детализируется. ЛПР сравнивают полученные оценки и выбирают из них максимальную. Соответствующая ей альтернатива становится основой принятия решений.

Рассмотрим пример задачи принятия решений в условиях риски применением метода дерева решений, когда каждая исходная альтернатива, помимо нескольких вероятностных исходов реализации, включает в себя от одного до нескольких детализирующих альтернативных вариантов. Оценки вероятности возможных исходов первоначально определяются экспертным путем. Ниже рассматривается пример, иллюстрирующий основную схему метода дерева решений с несколькими уровнями альтернатив.

Пример

На основе неформального анализа некоторого рынка выяснилось, что в ближайшей перспективе в нем будет спрос на товар «С». В процессе исследования рынка установлены возможные уровни спроса с определенной вероятностью.

Уровни спроса

Обозначение

Вероятность

Высокий спрос без последующего снижения

ВС

0,6

Первоначально высокий спрос, снижающийся через 2 года

ВНС

0,1

Низкий спрос, остающийся на том же уровне

НС

0,3

Первоначально низкий спрос, возрастающий в последующем

НВС

0,0

На существующих предприятиях отрасли товар данного качества не производится. Рассматривается вопрос о постройке нового завода. Предлагается несколько вариантов решения. Требуется проанализировать их на период в 10 лет.

Вариант А. Постройка большого завода, требующего 3,5 млн. руб. капиталовложений.

В зависимости от спроса реализация продукции на рынке будет приносить разный доход.


Спрос

Доход, тыс.руб/год

Высокий

1000

Низкий

100

Вариант В. Строительство малого завода, требующего 1,3 млн. руб. капиталовложений. В зависимости от спроса реализация дает доход, приведенный в таблице.

Спрос

Доход, тыс.руб/год

Высокий

500

Низкий

40

Через два года при высоком спросе можно будет расширить завод.

Вариант С. Расширение малого завода, требующего 2,2 млн. руб. капиталовложений. При расширении завода в зависимости от спроса в течение 8 лет реализация даст доход, приведенный в таблице.

Спрос

Доход, тыс.руб/год

Высокий

900

Низкий

100

Вариант Е. Если завод не расширять, в течение 8 лет реализация даст доход, приведенный в таблице.

Спрос

Доход, тыс.руб/год

Высокий

300

Низкий

40

Требуется определить, какое решение является предпочтительным. Этапы решения поставленной задачи можно проследить по рисункам 11.3.3.1-11.3.3.3:

I. Формирование «дерева решений» ( рис. 11.3.3.1).

1) исходная точка принятия решений (обозначается квадратом),

2) из этой точки исходят две альтернативы А и В (обозначаются кружочками),

3) альтернатива В уточняется, и впоследствии в ней возникает ситуация принятия решений (альтернативы — расширять завод или нет).

II. Определение вероятностей исходов (рис. 11.3.3.2):

1) ;    2) ;    3)

4) (начальный высокий спрос в течение 2 лет или высокий все 10 лет);

5) ;    6)

Пояснение последнего соотношения. По формуле условной вероятности . Здесь . Тогда

7)

8)

9)

III. Расчет доходов по каждому альтернативному варианту (рис. 11.3.3.3)

а) Начинают анализ решений с анализа детализирующих вариантов (справа налево по дереву решений). Вначале необходимо решить задачу во второй точке принятия решений — в точке ветвления .

Определить, что предпочтительнее, если строится малый завод — расширять его или нет?

доход, который получили бы за 8 лет в варианте с расширением, определяется следующим образом:

Чистый доход за вычетом капиталовложений равен:

Доход, получаемый за 8 лет в варианте без расширения малого завода, составил бы:

На этом шаге выбирается первый вариант – расширение малого завода, т.к.  4104 > 2108,8.

б) Затем переходят к анализу основных альтернатив — строительство большого или малого завода? Доход, получаемый при строительстве большого завода был бы равен:

Чистый доход за вычетом капиталовложений:

Общий доход при строительстве малого завода был бы равен:

Чистый доход здесь за вычетом капиталовложений будет равен:

Так как величина чистого дохода  больше , то выбирается альтернатива со строительством большого завода.

Рисунок 11.3.3.1. Дерево решений с исходами

Рисунок 11.3.3.2. Дерево решений с оценками исходов

Рисунок 11.3.3.3. Дерево решений с экономическими показателями


11.4. Упражнения

В задачах 1-7 выбрать лучшую альтернативу, применив различные методы оценки альтернатив в условиях определенности.

Задача 1

Определить наилучшую альтернативу.

Критерии

Альтернативы

Надежность, баллы

Размер уставного капитала, млн. долл.

Процентная ставка
по вкладам,%

Банк 1

9

35

10

Банк 2

6

20

6

БанкЗ

5

25

8

Банк 4

s

30

7

Банк 5

3

15

6

Задача 2

Выбрать фирму — поставщика мебели для офиса.

Критерии

Фирма-поставщик

Число предлагаемых моделей, штук

Качество мебели, баллы

Качество используемых материалов, баллы

Цена, тыс. р

Сроки поставки, дней

Фирма 1

10

4

5

12

8

Фирма 2

20

10

10

14

3

Фирма 3

18

8

9

13

5

Фирма 4

15

9

8

15

5

Фирма 5

12

6

7

12

7

Фирма 6

10

6

6

11

4

Задача 3

Выбрать наиболее предпочтительную модель.

Критерии

Модель

Качество, баллы

Цена, тыс. $

Эксплуатационные характеристики, баллы

Дизайн, баллы

Ресурс, тыс. км

Toyota

9

13

7

9

170

Daewoo

4

10

5

7

140

Nissan

8

12

7

6

190

Honda

6

13

9

8

160

Opel

10

15

8

10

200

Задача 4

Построить ряд предпочтений альтернатив по выбору фирмы-контрагента для закупки холодильников.

Критерии

Альтернативы

Цена, Тыс.р

Объем (1)

Способ замораживания (в баллах)

Расход энергии (кВт/час)

Bosch

30

120

10

0.7

Indesit

20

120

3

0.6

Siemens

25

140

10

0.5

Belo

15

110

6

0.7

Ardo

12

110

9

0.8

Задача 5

Определить наилучшую фирму, производящую видеотехнику

Критерии

Фирма

Качество, баллы

Цена, тыс. $

Тех. характеристики, баллы

Дизайн, баллы

Гарантийный срок обслуживания,лет

Panasonic

7

2,1

8

7

2

Philips

9

2,3

9

9

3

Sony

10

2,3

10

9

5

Samsung

7

2,0

6

8

1

LG

5

1,9

4

6

2

Задача 6

Выбрать лучшую марку швейной машины для мастерской.

Критерии

Марка

Число операций, штук

Качество, баллы

Расход энергии, кВт/ч

Гарантийный
срок службы, лет

Цена, тыс.р

Pfaff

20

10

1,0

15

15

Brother

18

8

1,2

15

12

Singer

16

9

1,3

12

14

Bernina

15

7

1,5

10

10


Задача 7

Определить лучшего производителя слабоалкогольных газированных вин.

Критерии

Предприятия

Цена, руб.

Вкусовые качества, баллы

Оригинальность оформления, баллы

Качество ис
пользуемого
сырья, баллы

Ассортимент,

видов

"Корнет"

28

8

3

8

4

МКШВ

27

7

4

5

2

Челябинский завод

25

6

2

3

6

"Исток"

22

3

2

2

1

"Абрау-Дюрсо"

40

9

5

10

3

Задача 8

Посредническая фирма хочет заключить договор на закупку товара у фирмы-производителя. По оценкам спрос в ближайшие годы может составить от 2000 т до 5000 т. Доход от реализации 1 т составит 15 тыс. руб. Если товар не продается в первый год, требуются дополнительные расходы на консервацию в размере 4 тыс. руб. на 1 т. Определить, какое количество товара надо закупить посреднической фирме.

Задача 9

По условиям задачи 1 определить, какое количество товара нужно закупить посреднической фирме, если отдел маркетинга дает дополнительную информацию о том, какова вероятность того или иного объема спроса. По оценкам, вероятность спроса в 2000 т составит один шанс из 10, 2500 т – два из 10, 3000 т – три из 10, 4000 т – два из 10, 5000 т – два из 10.

Определить, на какое количество товара надо заключить договор, используя критерии максимизации среднего дохода и критерий минимизации средних потерь.

Задача 10

Для финансирования проекта бизнесмену нужно занять сроком на один год 15000 долл. Банк может одолжить ему эти деньги под 15% годовых. Но из прошлого опыта банкиру известно, что 4% таких клиентов ссуду не возвращают. Поэтом банк рассматривает другой вариант вложения этих денег со 100% возвратом ссуды, но под 9% годовых.

Как поступить банкиру: давать ссуду бизнесмену или нет.

Задача 11

Компания «АПР» собирается построить нефтеперерабатывающий завод. Рассматривалось несколько вариантов, после предварительного анализа были оставлены три:

A. Построить завод стоимостью 600 000 долл. При этом варианте, если спрос будет большим, то ожидается годовой доход в размере 250 000 долл. в течение следующих пяти лет, если спрос низкий, то могут быть ежегодные убытки из-за больших капитальных вложений, которые составят 50 000 долл. Отдел маркетинга предполагает, что большого спроса следует ожидать в вероятностью 0,7, а низкого – с вероятностью – 0.3.

Б. Построить маленький завод стоимостью 350 000 долл. Здесь также возможны большой спрос с вероятностью 0,7 и низкий с вероятностью 0,3.

В случае большого спроса ежегодный доход в течение 5 лет составит 150 000 долл., при низком спросе – 25 000 долл.

B. Сразу завод не строить, а отложить решение на один год для сбора дополнительной информации, которая может быть позитивной или негативной с вероятностью 0,8 и 0,2 соответственно (например, изменится цена на нефть).

Через год, если информация окажется позитивной, можно построить большой или маленький завод по указанным выше ценам.

Руководство компании может принять решение вообще никакого завода не строить, если информация будет негативной.

Вне зависимости от типа завода вероятности большого и низкого спроса меняются на 0,9 и 0,1 соответственно, если будет позитивная информация. Доходы на последующие четыре года остаются такими же, какими они были в вариантах А и Б.

Все расходы выражены в текущей стоимости и не должны дисконтироваться.

Определить, какой вариант строительства будет наиболее эффективным.


Задача 12

Фирма «КМР» предполагает расширить свою деятельность. Для этого необходимо дополнительное оборудование, в частности, транспортные средства. Транспорт можно купить, а можно взять в аренду. Рассматриваемый период времени – 4 года.

Предсказать рост масштабов деятельности фирмы в ближайшие 4 года точно нельзя, он будет зависеть от многих обстоятельств. Но можно предположить, что если обстоятельства сложатся благоприятно, то он может быть и значительным, но шансы того, что он может быть значительным в первый год составляют 6 из 10, но если в первый год рост все же будет значительным, то вероятность того, что и в последующие три года он будет значительным уже выше и оценивается как 0,75.

Если же обстоятельства сложатся не совсем удачно для фирмы, то рост масштабов деятельности может быть средним или даже незначительным. Вероятность среднего и незначительного роста в первый год оценивается соответственно в 0,3 и 0,1.

В последующие три года фирма рассматривает два возможных варианта роста: значительный и незначительный.

Если рост масштабов деятельности будет в первый год средним, то шансы стать значительным или незначительным оцениваются как равные. Если рост в первый год будет незначительным, то шансы остаться незначительными в последующие три года очень велики, и вероятность этого составит по оценке экспертов 0,9.

Чистые наличные доходы при трех вариантах роста составят на конец года при значительном росте 20 000 долл., при среднем – 14 000 долл., при незначительном – 11 000 долл.

Стоимость приобретаемого оборудования – 35 000 долл. Условия аренды: первоначальный взнос – 15 000 долл. плюс 25% чистой наличной выручки на конец года.

Компания рассчитывает получать 12% годовой прибыли на вложенный капитал.

Должна ли фирма покупать или арендовать транспортные средства.


Задача 13

Издатель обратился в отдел маркетинга, чтобы выяснить предполагаемый спрос на книгу.

Исследования отдела маркетинга показали:

Предполагаемый спрос на книгу в ближайшие четыре года (шт.)

2000   3000   4000   5000

Вероятность спроса (соответственно)

 0.1     0.5      0.2      0.2

Доход от реализации книги составит 100 руб. за книгу. Если книга не продается, убытки составляют 50 руб. за книгу. Если издатель не удовлетворяет спрос, убытки по неудовлетворенному спросу составляют 10 руб. за книгу (для поддержания репутации фирмы).

Используя по очереди каждое из правил, определите, сколько книг должно быть издано в расчете на четырехлетний период.

Задача 14

Отдел маркетинга компании «Алекс» представил руководству данные об ожидаемых объемах сбыта программных продуктов при трех вариантах цены.

Предполагаемые объемы продаж программных продуктов по разным ценам (единиц в год)

Возможная цена за единицу (тыс. руб)

Конъюнктура рынка лучшая из возможных

Конъюнктура рынка наиболее вероятная

Конъюнктура рынка худшая из возможных

9.00

16 000

14 000

10 000

9.20

14 000

14 000

8 000

9.80

12 500

12 000

7 000

Постоянные затраты составляют 20.000 тыс. руб. в год, переменные – 4 тыс. руб. за единицу.

Определить оптимальную цену за единицу продукции.


Задача 15

Предположим, что Вы владелец кондитерской. В начале каждого дня вам нужно решить вопрос, сколько тортов следует изготовить, чтобы удовлетворить спрос. Каждый торт обходится вам в 70 руб., а вы продаете его по 130 руб. Продать невостребованные торты на следующий день невозможно, поэтому остаток распродается в конце дня по 30 руб. за штуку. В предыдущие периоды в среднем продавалось от 5 до 60 тортов в день. При этом обычно, 5 человек покупали по 1 торту, 10 человек – по 2 торта, 15 человек – по 3 торта, 15 человек – по 4 торта, 5 человек – по 5 тортов.

Нужно определить, сколько тортов должно быть изготовлено.

Задача 16

Магазин хочет закупить книги. По оценкам спрос на книги в ближайшие годы может составить от 2000 до 4500 штук. Доход от реализации книги составляет 20 руб. за книгу. Если книга не продается, убытки составят 4 руб. за книгу. Используя каждое из правил, определить, какое количество книг должен закупить магазин.

Задача 17

Некая фирма реализует товар на четырех рынках. При этом, в общем случае цена, которую готовы заплатить покупатели за каждую единицу товара, равняется 20 долл. на рынке А, 22 долл. на рынке Б, 27 долл. на рынке В, 19 долл. на рынке Г. Объемы поставок на соответствующие рынки равны 3000, 2300, 2200, 4000 единиц товара. В случае предоплаты покупатель А обязуется не менять условий приобретения товара, покупатель Б согласен приобрести за ту же цену товара в количестве 2000 единиц, покупатель В приобретет 2200 по цене 23 долл., покупатель Г – 3000 единиц товара по цене 18 долл. Ситуация в стране такова, что Правительство может повысить НДС. Тогда покупатель А платит 21 долл. за 3000 ед. товара, покупатель Б за 22 долл. приобретает 2400 единиц, покупатель В за 27 долл. купит 1900 единиц, покупатель Г за 19 долл. - 2000 единиц.

Определить приоритетного покупателя при наилучшем и при наихудшем стечении обстоятельств, определить наилучшую альтернативу, являющуюся наименее рискованной.


12. Сетевое планирование и управление

12.1. Индивидуальные задания 

Задача: Выбрав вариант задания из табл. 12.1.1, соответствующий последней цифре номера студента или слушателя в списке группы (или номера зачетной книжки студента или ученического билета слушателя), выполнить нижеследующее:

  1.  составить сетевой график работ в виде логической последовательности их выполнения и указать длительности работ,
  2.  ввести упорядоченные нумерации событий и работ,
  3.  рассчитать ранние и поздние времена наступления событий, ранние и поздние начала и окончания работ, полный и свободный резервы каждой работы и в результате
  4.  найти и выделить на графике критический путь, определить время, потребное на выполнение всех работ, и
  5.  составить график Гантта.

Таблица 12.1.1

Длительности работ

Номер

варианта

задания

Работа

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

5

8

3

3

10

4

15

3

8

5

10

7

10

3

7

5

7

3

10

5

8

7

10

5

3

4

7

3

8

3

(2, 3)

(2, 6)

(2, 5)

4

10

6

3

12

7

10

15

4

3

12

4

10

8

4

10

4

7

3

11

15

3

2

4

3

2

10

9

8

6

(3, 6)

7

8

5

6

5

6

7

10

5

10

(4, 3)

(4, 6)

6

12

9

5

12

6

8

7

7

9

12

6

6

3

11

10

7

8

4

2

(6, 5)

(6, 7)

(6, 8)

5

4

15

11

4

11

7

6

10

5

3

15

15

8

3

4

5

10

12

7

10

5

3

4

3

9

8

7

5

10

(5, 9)

10

8

4

10

7

15

6

8

6

2

(7, 9)

(7, 8)

8

3

3

5

3

8

8

9

6

12

10

3

8

15

6

7

10

4

3

7

(8, 9)

15

2

5

7

10

8

10

2

2

4


12.2. Основы сетевого планирования и управления

Сетевое планирование и управление (СПУ) с позиций программно-целевого подхода14 является одной из основных составляющих управления проектами и программами.

Система сетевого планирования и управления15 (ССПУ) – это система реализации графоаналитического метода оптимизации распределения во времени и пространстве работ проекта и ресурсов на стадиях планирования, мониторинга реализации и перепланирования в случаях целесообразности.


Основными понятиями СПУ являются:

  •  работа (какая-то операция или процесс ожидания, имеющие продолжительность, либо фиктивная операция, не имеющая продолжительности, но введенная на схему для обозначения порядка следования реальных работ);
  •  событие (начало или завершение некоторой работы или совокупности работ);
  •  критический путь (последовательность непосредственно следующих друг за другом работ, имеющих наибольшую совокупную продолжительность выполнения и, соответственно, задающая продолжительность выполнения проекта).

Эффективность системы СПУ как инструмента управления долгосрочными программами состоит в следующем:

  1.  СПУ позволяет осуществить прогнозирование сроков выполнения сложных проектов.

СПУ позволяет осуществить сокращение продолжительности выполнения проектов средней и большой сложности на 15- 20%.

СПУ позволяет осуществить снижение стоимости проектов средней и большой сложности на 10-15%.

Система СПУ широко применяется за рубежом и в России в самых разнообразных сферах научной, инновационной, производственной и др. деятельности: при разработке проектов освоения природных ресурсов, генеральных схем развития территорий, создании новых типов судов и самолетов, проектировании и постройке зданий, мостов, заводов, метро, городских комплексов.

Рассмотрим суть и взаимосвязи основных понятий СПУ.

В СПУ рассматриваются процессы, состоящие из множества взаимосвязанных работ. Основными понятиями в СПУ, как уже отмечалось, являются события, работы и критический путь.

Событие - это момент (состояние) начала какой-то работы или совокупности работ, или достижения некоторого результата. Событие не имеет протяженности во времени.

Термин “работа” в СПУ используется в широком смысле и может иметь несколько значений:

  •  некоторая операция, трудовой процесс, требующие затрат времени и ресурсов,
  •  ожидание, не требующее затрат труда и ресурсов, но занимающее время (например, процесс затвердевания бетона),
  •  фиктивная работа, которая вводится для отображения логической связи между событиями и не требует затрат каких-либо ресурсов, а также не имеет продолжительности во времени.

Для каждой из работ должны быть определены те работы, на результаты которых она непосредственно опирается и которые должны быть закончены к моменту начала рассматриваемой.

Начало работы и конец ее являются событиями, называемыми, соответственно, начальным и конечным. Если  – начальное событие, а  – конечное для рассматриваемой работы, то сама эта работа обозначается упорядоченной парой ().

Представление событий и работ в виде иллюстраций последовательности их осуществления порождает сетевую модель или, проще говоря, сетевой график, на котором стрелками (направленными дугами) изображаются работы, а кружочками – события.

Пример сетевой модели приведен на рис. 12.2.1.

Рис. 12.2.1. Сетевая модель постройки здания.

Фрагмент некоторого сетевого графика представлен на рис. 12.2.2.

Рис. 12.2.2. Представление работы на сетевом графике.

Кружочки, представляющие на сетевом графике события, в соответствии с терминологией теории графов часто называют вершинами сети.

В числе работ, например, необходимых в процессе создания нового изделия, могут быть: разработка документации, разработка технологического процесса, проектирование оснастки, изготовление узлов и деталей, получение комплектующих изделий, сборка опытного образца и его испытание и т. д.

Пример начального этапа построения сетевого графика некоторого проекта показан на рис. 12.2.3.

Рис. 12.2.3. Пример начального этапа построения сетевого графика.

При построении сетевых графиков необходимо соблюдать ряд правил.

  1.  В сетевом графике должны быть одно начальное и одно конечное события (начальное событие не имеет входящих стрелок, а конечное – выходящих). Если указанные условия единственности начального и конечного событий не выполняются, то их можно добиться путем введения фиктивных работ и событий.

В сетевом графике не должно быть “зацикливания”, то есть замкнутых контуров, которые, по существу, означают, что условием начала каждой работы замкнутого контура является ее окончание (см. рис. 12.2.4: работы (11, 13), (13, 12) и (12, 11) образуют цикл).

Рис. 12.2.4. Пример ошибки «зацикливания» в составлении сетевого графика:

{(11,13); (13,12); (12,11)}.

  1.  Любые два события на сетевом графике не должны быть непосредственно связаны более чем одной дугой. Нарушение этого правила чаще всего встречается при изображении параллельно выполняемых работ: см. рис. 12.2.5а. Для правильного представления на сетевом графике работ, которые могут выполняться параллельно, вводятся фиктивные события и работы, изображаемые пунктирными линиями: рис. 12.2.5б.

а) неправильно

б) правильно

Рис. 12.2.5. Пример представления на сетевом графике

параллельно выполняемых работ.

Анализ сетевого графика на рис. 12.2.3. показывает, что он удовлетворяет всем сформулированным условиям. Однако этот график не полностью упорядочен. Упорядочение сетевого графика заключается во введении таких нумераций событий и работ, а также их расположения на графике, при котором все стрелки были бы расположены слева направо, а для работ () выполнялось бы условие . Такие нумерации можно получить из неправильных с помощью метода Форда-Фулкерсона, или построением новых нумераций, не связанных с иходными, согласно следующим принципам:

  1.  Событию может быть присвоен очередной номер, если пронумерованы все предшествующие ему работы.
  2.  Работе может быть присвоен очередной номер, если пронумеровано событие, после которого может быть начато ее выполнение.

(*)

Сетевой график отражает технологическую последовательность выполнения работ. Любая последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы, называется путем:

.

Путь от начального события графика до конечного называется полным путем.

Если известны продолжительности работ , то для любого пути  может быть определена продолжительность16  пути как сумма продолжительностей работ, образующих этот путь:

.                          (12.2.1)

Продолжительности работ  на сетевых графиках будем указывать под соответствующими стрелками (см. рис. 12.2.6, рис. 12.2.7 и др.).

Над стрелками на сетевых графиках будем указывать номера работ (см.  на рис. 12.2.7).

Рассмотрим на графике рис. 12.2.6 продолжительности некоторых путей. Например, продолжительность пути  равна  (дн.), а продолжительность пути  составляет  (дн.).

Полный путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим путем. Он, по сути, определяет срок, потребный для исполнения всего проекта.

Работы и события, составляющие критический путь, называются критическими работами и событиями.

На графике критический путь обычно выделяется цветом, жирностью начертания или сдвоенными стрелками. В примере рис. 12.2.6. критическим является путь  продолжительностью  (дн.).

Рис. 12.2.6. Сетевой график и его временные характеристики.

Поиск на сетевом графике критического пути, определяющего срок окончания всех работ, предполагает определение некоторых временных характеристик (параметров) событий и работ графика.

Реквизиты событий на графике и формулы их вычисления

События изображаются кружочками, разделенными на секторы, в которых проставляются по образцу рис. 12.2.7. характеристики события:

  •   номер события ,
  •   ранний срок наступления  (наиболее ранний срок начала работ, следующих за событием ) и
  •   поздний срок свершения события –  (наиболее поздний срок окончания работ, предшествующих событию ).


номер события,

раннее время наступления события,

позднее время наступления события.

Рис. 12.2.7. Представление работы, событий и их характеристик

на сетевом графике

Раннее время наступления события (ранний срок события) – это наиболее ранний срок, на который может быть сдвинуто рассматриваемое событие без сдвига на более ранний срок начального. Раннее время наступления события равно длине наиболее продолжительного пути, ведущего от начального события к данному.

Ранний срок  наступления произвольного события , не являющегося начальным, может быть вычислен следующим образом:

,                                  (12.2.3)

где  – множество событий , непосредственно предшествующих событию ;

– продолжительность выполнения работы ().

Применение приведенной формулы показано на фрагменте сетевого графика рис. 12.2.8.

Рис. 12.2.8. Схема определения раннего срока наступления событий (прямой ход).


Раннее время наступления конечного события совпадает с длительностью критического пути:

.                                      (12.2.4)

Позднее время наступления события (поздний срок события) – это наиболее поздний, предельный срок, до которого может быть отложено наступление события без задержки длительности всего проекта. Позднее время определяется как разность между критическим временем и продолжительностью самого длинного пути, ведущего от данного события к конечному событию графика.

Поздний срок конечного события задается длительностью критического пути и соответственно совпадает с ранним сроком этого события:

.                              (12.2.5)

Поздний срок  наступления произвольного события , не являющегося конечным, может быть вычислен следующим образом:

,                               (12.2.6)

где  – множество событий , непосредственно следующих за событием ;

– продолжительность выполнения работы ().

Применение приведенной формулы показано на фрагменте сетевого графика рис. 12.2.9.

Рис. 12.2.9. Схема определения позднего срока свершения события (обратный ход).

После вычисления временных характеристик событий вычисляются временные характеристики работ.


Реквизиты работ на графике и формулы их вычисления

С временными характеристиками событий сетевого графика связаны нижеследующие временные характеристики работ.

Ранний срок начала  работы () – самое раннее время, когда работа () может быть начата. Оно определяется ранним временем наступления события :

.                                           (12.2.7)

Ранний срок окончания  работы () – самое раннее время, когда работа () может быть окончена:

.                                           (12.2.8)

Поздний срок окончания  работы () – самый поздний срок, в который нужно уложиться с выполнением работы (), чтобы не увеличилось критическое время сетевого графика:

.                                             (12.2.9)

Поздний срок начала  работы () – самый поздний срок начала работы (), не влияющий на критическое время сетевого графика:

.                                         (12.2.10)

Интерес представляет анализ резервов времени для выполнения тех или иных работ. Различают несколько видов резервов времени, полный17 резерв времени работы ():

                                  (12.2.11)

и свободный резерв  времени работы (i, j):

.                                  (12.2.12)

Полный резерв времени  показывает, на сколько можно увеличить время выполнения работы () с тем, чтобы поздний срок  наступления конечного события не изменился, то есть, чтобы не увеличилось критическое время .

Свободный резерв времени  показывает, на сколько можно увеличить время выполнения работы () с тем, чтобы не нарушались даже ранние сроки начала выполнения работ, непосредственно следующих за рассматриваемой.

Применение формул (12.2.11) и (12.2.12) расчета резервов времени работ показано на фрагментах сетевого графика рис. 12.2.10 и рис. 12.2.11.

Рис. 12.2.10. Схема определения полного резерва времени выполнения работы.

Рис. 12.2.11. Схема определения свободного резерва времени выполнения работы.

Полный и свободный резервы могут использоваться для перенесения на более поздний срок начала выполнения работы, на увеличение ее продолжительности , на прерывание выполнения, если это технологически возможно, и на различные другие цели.

Очевидно, что согласно определению критического пути, критические работы не имеют резервов, и, наоборот, отсутствие полного резерва времени у работы служит признаком принадлежности ее к критическому пути.

Результаты расчетов (все реквизиты событий и работ) должны быть представлены, прежде всего, на сетевом графике. При решении практических задач результаты, кроме того, представляют и в таблицах, структура которых приведена ниже18.


Таблица 12.2.1

Результаты анализа сетевого графика

Работа

в неупорядоченной нумерации

Работа в упорядоченной нумерации

Раннее

начало

Позднее

начало

Раннее

окончание.

Позднее

окончание

Полный

резерв

Свободный

резерв

  1.  

Построение диаграммы Гантта по сетевому графику

Сетевой график не дает наглядного представления о сроках работ в масштабе времени. Для устранения этого недостатка строится диаграмма Гантта.

Гантт (Гант) диаграмма (англ. Gantt chart) – двумерная диаграмма, показывающая по вертикали перечень мероприятий (работ) по реализации проекта, а по горизонтали время их проведения в равномерной шкале времени.

Для построения диаграммы Гантта по верхней горизонтали прямоугольного листа откладывается шкала времени на период равный критическому сроку проекта. По вертикали левым столбцом приводится перечень работ графика. Затем против каждой работы, откладывается вправо полоска, отмечающая начала и окончания соответствующей работы по верхней шкале времени.

Более детальное представление о построении диаграммы (графика) Гантта будет приведено в примере 3, рис. 12.2.16.

Диаграмма Гантта является удобным инструментом для расчета распределения во времени потребности в ресурсах (машин, специалистов, финансов и т. д.). Используя диаграммы Гантта, удобно проводить калибровку потребности в ресурсах. Кроме того, на диаграммах Гантта видны моменты, когда удобно провести проверки, контроль хода ответственных (например, критических) работ, совещания и т. д.


Пример 1. Расчет временных параметров сетевого графика проиллюстрируем на примере графика рис. 12.2.6, результаты расчета приведем на рис. 12.2.12.

Для каждого события  сетевого графика, приведенного на рис. 12.2.6 и рис. 12.2.12., покажем вычисление раннего времени .

Срок наступления начального события зададим нулевым, т. е. . Очевидно, что , т. е. второе событие может наступить только через 10 дней, ,

.

Аналогично продолжая, получим

,

,

,

,

Рис. 12.2.12. Сетевой график и его временные характеристики

Длительность критического пути определяется ранним временем наступления конечного события: .

Возвращаясь теперь от конечного события к начальному, проследим, как образовался срок в 51 день. Из четырех работ, непосредственно предшествующих событию 9, срок в 51 день определила работа (). Отметим ее жирной стрелкой. В свою очередь срок  дней определила работа (). Рассуждая таким образом, найдем все работы, лежащие на критическом пути.

Критическими называют все события и работы, расположенные на критическом пути.

Поздние времена событий вычислим по графику на рис. 12.2.12, начиная с конца.

,

,

,

Аналогично получим

,

,

,

,

.

Ранние и поздние сроки начал и окончаний работ, а также их резервы вычисляются исходя из ранних и поздних сроков событий графиков, используя формулы (12.2.7)-(12.2.12).

Например, для работы () на рис. 12.2.12 имеем:

ранний срок начала ;

ранний срок окончания ;

поздний срок окончания ;

поздний срок начала .

Полный резерв этой работы составляет

,

а свободный

.

Аналогично могут быть вычислены остальные реквизиты сетевого графика.

Пример 2. Введение упорядоченной нумерации событий и работ с использованием ранее приведенных принципов (*) проиллюстрируем на примере рис. 12.2.13.

Событие, не имеющее входящих стрелок (предшествующих работ) получает номер 1.

Далее в любом порядке нумеруются стрелки, выходящие из кружка с номером 1. Для единообразия рекомендуем в таких случаях нумерацию сверху вниз. Так получили номера стрелки (работы) 1, 2 и 3.

Теперь появились события, у которых предшествующие работы занумерованы. Это события (кружки), которым присваиваем номера 2 и 3. И теперь можно нумеровать стрелки, выходящие из этих кружков: это стрелки, которым даем номера 4, 5 и 6.

На этом этапе опять появились события, у которых предшествующие работы занумерованы. Это события (кружки), которым присваиваем номера 4 и 5. И теперь можно нумеровать стрелки, выходящие из этих кружков: это стрелки, которым даем номера 7, 8 и 9.

Опять появились события, у которых предшествующие работы занумерованы. Это события (кружки), которым присваиваем номера 6 и 7. И теперь можно нумеровать стрелки, выходящие из этих кружков: это стрелки, которым даем номера 10, 11 и 12.

Последними нумеруем событие 8, работу – 13, и наконец, конечное событие получает номер 9.


Рис. 12.2.13. Упорядоченные нумерации событий и работ.

Пример 3. Построение диаграммы Гантта по сетевому графику организации конференции.

Перечень мероприятий по организации конференции и их взаимосвязи приведены на рис 12.2.14. После оценки времени для реализации каждого мероприятия был построен сетевой график организации конференции (рис. 12.2.15). Однако сетевой график не дает наглядного представления о сроках работ в масштабе времени. Для устранения этого недостатка строится диаграмма Гантта (рис. 12.2.16).


Рис. 12.2.14. Диаграмма организации конференции

Рис.12.2.14. Диаграмма организации конференции (продолжение)

Рис. 12.2.15. Сетевой график организации конференции.

Рис. 12.2.15. Сетевой график организации конференции (продолжение).

Проект: Проведение конференции 

Основной этап:

 

Продолж.,

Исполнитель

Код

Описание

дней

СПУ

1

А

Выбор места

15

1

2

J

Уточнение места

5

8

3

B

Проект оформления

10

2

4

E

Оконч. оформление

5

10

5

К

Печать/распространение

10

11

6

M

Бронирование

30

12

7

P

Пригласит. письма

5

13

8

C

Инструкции выступающим

5

3

9

F

Согласие выступающих

15

5

10

L

Подготовить документы

30

9

11

N

Доставка материалов

2

14

12

О

Подготовка места

2

15

13

D

Оформление выставки

10

4

14

G

Сборка стендов

15

6

15

Н

Подбор материалов

15

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условные обозначения

Работа ранняя

Решающий момент

Работа поздняя

Совещание группы

Работа критическая

Учет финансов

Рис. 12.2.16. Сводная таблица планирования проекта (график Гантта).


Предложен:                        Одобрен:

СПУ

Дата

Продолжительность в неделях

  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  
  1.  

1

8

2

10

11

12

13

3

5

9

14

15

4

6

7

 

 

 

 

 

 

 

Примечание:

 Дата:

Дата составления плана:

Продолжительность проекта указана в рабочих днях с учетом 5-ти дневной рабочей недели

Рис. 12.2.16. Сводная таблица планирования проекта (график Гантта)

(продолжение).


12.3. Упражнения

12.3.1. Составить сетевой график строительства на даче сарая (см. рис. 12.3.1.1) для лодки (работает хозяин и два сына (условная задача-шутка)).

Рис. 12.3.1.1. Общий вид объекта

Перечень работ приведен в табл. 12.3.1.1.

Таблица 12.3.1.1

Список работ по объекту

Работа

Длительность, дней

Кто работает

1

2

3

4

1

Этап 1

2

Выравнивание площадки

2

Сын

3

Поставка материалов

5

Отец и сын или все

4

Ленточный фундамент

2

Все

5

Ожидание отвердения фундамента

1

6

Укладка брусков на фундамент и установка столбов (11 шт)

3

Все

7

Обвязка

2

Все

8

Установить ворота

1

Все

9

Установить дверь

1

1+0,5 на подхвате

10

Установить окно

1

1+0,5 на подхвате

11

Балки перекрытия  (2шт)

1

Все

12

Настил потолка

3

1+0,5 на подхвате

1

2

3

4

13

Стропила (4 шт)

3

1+0,5 на подхвате

14

Обшивка стен

5

1+0,5 на подхвате

15

Обрешетка крыши

2

Все

16

Кровля

3

Все

17

Этап 2

18

Гидроизоляция полов

1

Все

19

Отсыпка керамзита полов

1

Все

20

Стяжка полов

2

Все

21

Укладка половой плитки

3

Все

22

Этап 3

23

Опалубка дорожек

3

Все

24

Бетонирование дорожек

2

Все

25

Выравнивание и посев газона

5

Все

Не претендуя на глубокие знания технологии строительства сараев для лодок ребята решили распределить работы нижеследующим образом.

Пока отец и один из сыновей поедут за материалом, второй сын может заняться выравниванием площадки (параллельная работа). После поставки материалов делается ленточный фундамент, ожидается его отвердение. Потом последовательно осуществляется прокладка брусков на фундамент и установка столбов, установка ворот. Окно и дверь можно устанавливать одновременно (параллельные работы), затем укладываются балки перекрытия. Последовательные работы по настилу потолка и установке стропил можно делать одновременно с обшивкой стен (параллельная работа). После установки стропил последовательно делается обрешетка крыши и настилается кровля, чем и заканчивается этап 1. На этапах 2 и 3 все работы выполняются последовательно и интереса в сетевом изображении не представляют.

Сетевой график этапа 1 представлен на рис. 12.3.1.2. Как видно из графика, ненулевые резервы имеют только работы 1 и 14. Резервы остальных работ на графике не проставлены (они нулевые).

На стр. 274-275 приведен сетевой график, построенный компьютером по программе Microsoft Project. Как видно из графика, старт был назначен на 25 мая 2004. График составлен с учетом пятидневной рабочей недели. Длина критического пути этапа 1 составила 27 дней, а всего на все работы, включая этапы 2 и 3, потребовалось 44 дня.



Рис. 12.3.1.2. График этапа 1 строительства сарая для лодки.


В задачах 12.3.2, 12.3.3 построить сетевые графики. Найти продолжительности выполнения комплексов работ, временные характеристики событий и работ. В скобках указаны продолжительности работ.

12.3.2. Сделать деревянный ящик (работает один человек):

разметить доски в соответствии с размерами ящика (15 мин);

разрезать доски (12);

склеить части ящика (40);

прибить к крышке ящика петли (8);

подождать, пока ящик высохнет, и вытереть его (15);

петли (с крышкой) прибить к ящику (10 мин).

12.3.3. Заменить колесо легкового автомобиля (работу выполняют два человека):

достать из багажника домкрат и инструменты (40 c);

снять колпак колеса (30);

поставить домкрат под машину (26);

поднять машину (20);

из багажника взять запасное колесо (25);

снять гайки и колесо (20);

установить запасное колесо на ось (10);

завинтить (не сильно) гайки на оси (15);

опустить машину и собрать домкрат (25);

поставить домкрат обратно в багажник (10);

завинтить гайки на оси до конца (12);

положить плохое колесо и инструменты в багажник (40);

поставить на место колпак колеса (10 с).


12.3.4. Для сетевого графика (рис. 12.3.4.1) найти все полные пути, критический путь; рассчитать ранние и поздние сроки свершения событий, начала и окончания работ; определить резервы времени полных путей и событий, полные и свободные резервы времени работ.

Рис. 12.3.4.1. Сетевой график (к упражнениям 12.3.4-12.3.6).


12.3.5. Как изменится срок выполнения проекта (рис. 12.3.4.1), резервы времени работ и событий, если увеличить продолжительность работы
t(9,10) на величину: а) Rп(9,10); б) Rс(9,10)?

12.3.6. Как изменится срок выполнения проекта (рис. 12.3.4.1), резервы времени работ и событий, если продолжительность каждой работы t(i, j) увеличить на величину: а) Rп(i, j); б) Rс(i, j)? Для случая б) найти все критические пути сетевого графика

12.3.7. В нижеследующей таблице указаны оценки времени выполнения работ сетевого графика, данные ответственными исполнителями и экспертами.

Таблица 12.3.7.1

Работа

Оценки времени выполнения работы (в сутках)

(i, j)

оптимистическая tо(i, i)

пессимистическая tп(i, j)

наиболее вероятная

tв(i, j)

1

2

3

4

5

6

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(3,4)

(2,5)

(4,5)

5

2

4

9

7

1

9

7

10

14

13

4

6

5

8

11

10

3

Необходимо: а) построить сетевой график; б) определить средние (ожидаемые) значения продолжительности работ; в) определить критический путь и его длину. Полагая, что продолжительность критического пути распределена по нормальному закону, найти: а) вероятность того, что срок выполнения комплекса работ не превысит 17 суток; б) максимальное значение продолжительности выполнения проекта, которое можно гарантировать с надежностью 0,95.


Литература

  1.  Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. – М: Финансы и статистика, 1983.
  2.  Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. – М: Финансы и статистика, 1985.
  3.  Бауэр Р., Коллар Э., Тан В. Управление инвестиционным проектом: опыт IBM: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1995.
  4.  Бахтин А.Е., Высоцкий Л.Л., Савиных В.Н. Сборник задач по математическому программированию. Часть 1. – Новосибирск: НИНХ, 1994.
  5.  Бахтин А.Е., Высоцкий Л.Л., Савиных В.Н. Сетевые модели планирования и управления. – Новосибирск: НИНХ, 1992. – 36 с.
  6.  Беренс В., Хавранек П.М. Руководство по оценке эффективности инвестиций: Пер. с англ. перераб. и дополн. изд. – М.: АОЗТ “Интер Экспорт”, “ИНФРА-М”, 1995.– 528 с.
  7.  Ван Хорн Дж. К. Основы управления финансами: Пер. с англ. / Гл. ред. серии Соколов Я.В. – М.: Финансы и статистика, 1996.– 800 с.
  8.  Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983. – 416 с.
  9.  Высоцкий Л.Л., Высоцкая Н.В., Руди В.А. Балансовые экономические модели. – Новосибирск: НИПКиПРО, 1998. – 41 с.
  10.  Высоцкий Л.Л. Графический способ решения задачи линейного программирования. – Новосибирск: НИПКиПРО, 1998. – 23 с.
  11.  Высоцкий Л.Л. Симплекс-метод. Метод потенциалов. Теория игр и линейное программирование. – Новосибирск: НИНХ, 1994.
  12.  Высоцкий Л.Л. Управление проектами: традиции и новизна. – Новосибирск: СибАГС, 2000. – 291 с.
  13.  Высоцкий Л.Л., Гаврюшенко А.Ф., Бойко М.Е. Моделирование в менеджменте / Часть 5: Марковские процессы. Системы массового обслуживания. – Новосибирск, СНИ, 2001. – 60 с.
  14.  Высоцкий Л.Л., Гаврюшенко А.Ф., Микалуцкая Т.Г., Бойко М.Е. Моделирование в менеджменте / Часть 1: Корреляционный и регрессионный анализ. Дисперсионный анализ. – Новосибирск, СНИ, 2001. – 60 с.
  15.  Глазьев С.Ю. Теория долгосрочного технико-экономического развития. — М.: Владар,1993.
  16.  Иванова В.М., Калинин В.Н. и др. Математическая статистика. – М: ВШ, 1981. – с.371.
  17.  Кендэл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. – М: Наука, 1973.
  18.  Сернова Н.В. Артюшкин В.Ф. Принятие решений в условиях многокритериальности. – М.: МГИМО(У) МИД России, 2006. – 106 с.
  19.  Тернер Д. Вероятность, статистика и исследование операций. – М.: Статистика, 1976. – 432 с.
  20.  Управление организацией / Под ред. А.Г.Поршнева и др. – М.: ИНФРА-М, 1999. – 669 с.
  21.  Холт Роберт Н., Барнес Сет Б. Планирование инвестиций: Пер. с англ. – М: “Дело Лтд”, 1994. – 120 с.


Приложения

Приложение 1

П.1. Элементы линейной алгебры

П.1.1. Определители и обратная матрица

Обозначение: Символом = df  будем обозначать равенство по определению.

Определения

Пусть А={aij}, B={bij} – матрицы размерности nn, – номер строки, – номер столбца.

Тогда  A+B =df  {aij+bij},

А =df {aij},

AB = C= {cij}, где cij = df  aik bkj.

Нетрудно видеть, что матрица  I=

обладает свойством : A I= A,  I A= A.

Такая матрица I называется единичной.

Замечание: В общем случае AB BA.

Рассмотрим матрицу A= (aij) размера nn, состоящую из элементов аij. 

Алгебраическим дополнением  dij элемента  aij называется величина, определяемая соотношением  dij= (-1)i+j Dij,  где  Dij   определитель матрицы, получаемой из  А  вычеркиванием  i-ой строки и  j-го столбца.

Определитель квадратной матрицы  А  действительное число, которое может быть вычислено разложением по любой строке и любому столбцу:

D= det (A) =  = ,  то есть, вычисляется через алгебраические дополнения и, соответственно, через определители меньшего порядка.

Определитель матрицы, состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

Обозначается определитель матрицы двумя вертикальными чертами, заключающими между собой матрицу:

D = det A= .

Например:

= 1·- 2·+ 3·=

= 1(63-41)- 2(53-42)+ 3(51-62) = -21

Данный определитель вычислен разложением по верхней строке и т.д.

Для корректности приведенного определения необходимо показать, что определитель матрицы, вычисляемый разложением по какому-либо столбцу или строке, не зависит от выбора столбца или строки.

Пусть – алгебраическое дополнение второго уровня, т.е. , где – определитель матрицы, полученной из  вычеркиванием строк  и , и столбцов  и .

Представим определитель матрицы  разложением по столбцам  и .

В первом случае получим

,                                       (П1.1.1)

во втором –

.               (П1.1.2)

В свою очередь, представим определитель  разложением по столбцу  

и подставим результат в (П1.1.1):

              (П1.1.1’)

Аналогично, представим определитель  разложением по столбцу  

и подставим результат в (П1.1.2):

   (П1.1.2’)

Сравнивая правые части (П1.1.1’) и (П1.1.2’), видим, что они отличаются только порядком суммирования. Поскольку же для конечного числа слагаемых порядок суммирования безразличен, имеем

.

Этим удалось показать, что определитель матрицы, вычисленный разложением по какому-либо столбцу, не зависит от выбора столбца, иными словами, показать корректность приведенного определения определителя матрицы.

Транспонированной А матрицей называется матрица, получаемая из матрицы  А  поворотом вокруг главной диагонали, то есть при транспонировании элементы  aij  и  aji  меняются местами,  , .

Представим определитель матрицы  разложением по столбцу  

,

а определитель матрицы , т.е. транспонированной к , разложением по строке  

.

Но, по определению транспонированной матрицы,  и , поэтому , т.е. определители исходной и транспонированой матриц равны.

Присоединенной  А* матрицей называется матрица, получаемая из транспонированной заменой каждого элемента на его алгебраическое дополнение:

A*=  .

Обратной А-1 матрицей называется матрица, при умножении на которую матрицы  А  получается единичная матрица:

А А-1= I =.


Теорема.
 Обратная матрица А-1 получается делением присоединенной матрицы А* на определитель D исходной матрицы:

А-1 = (1/ D) · А*.

Доказательство: 

А·А*=

=

=.     Тогда А = (1/D) A A*=

= (1/D) =,

что и требовалось.

П1.2. Свойства определителя матрицы

1. Абсолютная величина определителя матрицы не изменится, если в матрице поменять местами строки или столбцы.

Поскольку определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной, достаточно провести доказательство для строк. Имеем

=

=a11(-1)1+1D11+a12(-1)1+2D12+...+a1n(-1)1+nD1n= D.           (П1.2.1)

Переставим 1-ю строку так, чтобы она стала i-ой, раздвинув i-ю и i+1-ю строки. Вычислим определитель новой матрицы разложением по перенесенной строке:

=

= a11(-1i+1)d11+ a12(-1i+2)d12+...+ a1n(-1)i+nd1n=

= a11(-1i-1)(-1)1+1D11+a12(-1i-1)(-1)1+2D12+...+a1n(-1i-1)(-1)1+nD1n=

= (-1)i-1D= = D*.                                                               (П1.2.2)

Нетрудно видеть, что при i нечетном определители (П1.2.1) и (П1.2.2) совпадают, а при i четном D*= -D. Что и требовалось.

2. Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен нулю. 

Доказательство. Пусть одинаковые строки являются нижними. И будем вычислять определитель разложением по верхней строке через определители меньших порядков, пока не дойдем до определителей, составленных из нижних двух строк. Все они (составленные из двух нижних строк) окажутся равными нулю:

аn-1j аnk nj аn-1k = 0, так как аn-1j = аnj  и  аnk = аn-1k..

3. Определитель матрицы не изменится, если к строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец) этой матрицы, умноженную (ный) на действительное число.

Доказательство: Не уменьшая общности, предположим, что процедура проделана с первой строкой:

=

==

=+=

=D.


4. Определитель суммы матриц не равен сумме определителей этих матриц:
   +.

Доказательство:

+ или 3+ 38.

5. Если строку (столбец) матрицы умножить на действительное число , то и определитель матрицы умножится на это число .

Доказательство легко получить разложением определителя по строке (столбцу), умноженной (му) на указанное число.

П1.3. Формулы Крамера

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

 или  АХ=В               (П1.3.1)

Обозначим D=det A.

Dj= ,

т. е. Dj – определитель матрицы, полученной из А заменой столбца  Аj  на столбец В свободных членов.

Докажем для i= справедливость тождества

, i=.            (П1.3.2)

Имеем:

++...++...=

i -й столбец

Разлагая каждый определитель по столбцу В, и приводя подобные относительно bk, k=, получим

=+

+ ...

+ + =.

Если , то (П1.3.2) можно разделить на D, получив

, i=; то есть, для  j=

решение системы

Получен нижеследующий результат:

Если   detA0  и решение системы (П1.3.1) существует,

то оно может быть получено по формулам Крамера:

 , j=.


П.1.4. Теорема о линейной независимости векторов

Лемма 1: Если в матрице размера nn хотя бы одна строка (столбец) равна нулю, то строки (столбцы) матрицы являются линейно зависимыми.

Доказательство: Пусть нулевой будет первая строка, тогда

где 10. Что и требовалось.

Определение: Матрица, у которой расположенные ниже главной диагонали элементы равны нулю, называется треугольной:

аij= 0 , ij.

Лемма 2: Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Доказательство нетрудно провести индукцией по размерности матрицы.

Теорема о линейной независимости векторов.

Для линейной независимости строк (столбцов) квадратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был неравен нулю, если же строки (столбцы) линейно зависимы,  то определитель равен нулю. И обратно: если определитель матрицы равен нулю (D=0) , то строки (столбцы) матрицы линейно зависимы.

а) Необходимость: линейно зависимы D=0 .

Доказательство: Пусть   линейно зависимы, j=,

то есть, существует j, не все равные нулю, j=, что 1А1+ 2А2+ ... nAn= , Аj  столбцы матрицы А. Пусть, например, n0.

Введем .

Имеем j*= j / n, j n-11* А1+ 2* А2+ ... n-1* An-1+ An = .

Заменим последний столбец матрицы А на

Аn*= 1* А1+ 2* А2+ ... n-1 An-1+ An= .

Согласно выше доказанному  свойству определителя (он не изменится, если в матрице к любому столбцу прибавить другой, умноженный на число) определитель новой матрицы равен определителю исходной. Но в новой матрице один столбец нулевой, значит, разлагая определитель по этому столбцу, получим D=0, что и требовалось доказать.

б) Достаточность: Матрицу размера nn с линейно независимыми строками всегда можно привести к треугольному виду с помощью преобразований, не меняющих абсолютной величины определителя. При этом из независимости строк исходной матрицы следует неравенство нулю её определителя.

  1.  Если в матрице размера nn с линейно независимыми строками элемент а11 равен нулю, то на первое место следует переставить столбец, у которого элемент а1j  0. Согласно лемме 1 такой элемент найдется. Определитель преобразованной матрицы при этом может отличаться от определителя исходной матрицы только знаком.
  2.  От строк с номерами i1 отнимем первую строку, умноженную на дробь ai1/a11. При этом в первом столбце строк с номерами i1  получатся нулевые элементы.
  3.  Начнем вычислять определитель полученной матрицы разложением по первому столбцу. Поскольку  в нем все элементы, кроме первого, равны нулю,

Dнов= a11нов (-1)1+1 D11нов,

где d11нов– определитель матрицы меньшего размера.

Далее для вычисления определителя D11 повторяем пункты 1, 2, 3 до тех пор, пока последний определитель не окажется определителем от матрицы размера 11.  Поскольку п.1 меняет только знак определителя преобразуемой матрицы, а п.2 вообще не меняет величины определителя, то, с точностью до знака, в итоге получим определитель исходной матрицы. При этом, поскольку из-за линейной независимости строк исходной матрицы п.1 всегда выполним, все элементы главной диагонали получатся неравными нулю. Таким образом, итоговый определитель согласно изложенному алгоритму равен произведению ненулевых элементов, стоящих на главной диагонали. Поэтому и определитель исходной матрицы не равен нулю. Что и требовалось доказать.


Приложение 2

LSIBAGS\TREND\Kor_rang

П.2. Элементы корреляционного анализа

П.2.1. Ранговая корреляция

Потребность в специальном инструментарии для анализа связей ранговых признаков обусловлена их спецификой, основными моментами которой являются:

  •  искажения, привносимые рангами в интуитивные представления о степенях различия между рангами,
  •  общность величин дисперсий ранговых признаков.

Использование последнего момента позволило построить по аналогии с коэффициентом корреляции для номинальных признаков коэффициенты корреляции для ранговых признаков. Известны коэффициенты ранговой корреляции Спирмена -  и Кендэла - .

Рассмотрим коэффициент корреляции для номинальных признаков .

Введем в рассмотрение центрированные величины 

Тогда среднеквадратичные отклонения будут удовлетворять соотношениям

 

Для центрированных номинальных признаков коэффициент корреляции примет вид

.


Ранговая корреляция Кендэла
 

Рассмотрим ситуацию, когда два эксперта упорядочили по своему предпочтению  объектов.

Пусть  – результат экспертизы первого эксперта,

– результат экспертизы второго эксперта,

здесь  и  – ранги (номера предпочтения от единицы до ).

Рассмотрим сочетания пар , построенных нижеследующим образом:

 

Количество таким образом построенных пар равно половине количества элементов прямоугольной матрицы: .

Введем различие между объектами

 

Аналогичные действия проделаем с последовательностью , причем порядок перебора пар  должен повторять порядок перебора пар .


Например:

2

4

5

1

3

1

5

3

4

2

   

    

2        4

1

1        5

1

1

2        5

1

1        3

1

1

2        1

-1

1        4

1

-1

2        3

1

1        2

1

1

4        5

1

5        3

-1

-1

4        1

-1

5        4

-1

1

4        3

-1

5        2

-1

1

5        1

-1

3        4

1

-1

5        3

-1

3        2

-1

1

1         3

1

4        2

-1

-1

Сумма

2

  – коэффициент ранговой корреляции Кендэла.

В примере

.


Ранговая корреляция Спирмена
-

Рассмотрим другую меру различия между объектами.

Пусть

Так как ранги – числа последовательности натурального ряда, то


Доказательство:

с другой стороны это

что и требовалось.

значит

аналогично  .

Пусть ,


Тогда

.

   - коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Вспомним предыдущий пример:  ,

2

4

5

1

3

1

5

3

4

2

1

-1

2

-3

1

1

1

4

9

1

.

В данном примере коэффициенты ранговой корреляции Спирмена  и Кендэла  совпали. Но обычно этого нет.


C
:/OlesDoc/AnalMnSv

П.2.2. Анализ множественных связей

результирующий признак.

предикторные переменные (совокупность других, кроме результирующего признака, переменных).

Если, зафиксировать «значение» , то из всех возможных способов определения прогнозного (аппроксимирующего) значения  для неизвестного значения  наилучшим (в смысле минимума среднего квадрата ошибки прогноза), как оказалось, является условное среднее значение анализируемого результирующего показателя , т.е. величина , где усреднение производится при условии, что объясняющие переменные зафиксированы на уровне .

П2.2.1. Понятие о многомерном корреляционном анализе

Пусть имеется многомерная нормальная совокупность с m признаками . В этом случае взаимозависимость между признаками можно описать корреляционной матрицей

где парные коэффициенты корреляции.

Например, имеется n наблюдений над m-мерной случайной величиной (см. табл. П2.2.1.1).

Оценка парного коэффициента в этом случае принимает следующий вид:

Корреляционная матрица не дает полного описания зависимости между признаками. Для расширения и углубления этого описания вводится понятие частного коэффициента корреляции l-го порядка.


Таблица П2.2.1.1

Координата

Наблюдения

Среднее

1

2

...

i

...

n

значение

1

2

...

j

...

k

...

m

Определение. Коэффициент корреляции между двумя признаками при фиксированном значении l из m-2 оставшихся признаков m-мерной совокупности называется частным коэффициентом корреляции l-го порядка.

Рассмотрим более подробно структуру частного коэффициента корреляции на примере системы из трех признаков

Частный коэффициент корреляции первого порядка для признаков  и  при фиксированном значении  выражается через парные коэффициенты корреляции и имеет вид (без доказательства):

                       (П2.2.1.1)

Частный коэффициент корреляции, так же как и парный коэффициент корреляции, изменяется от 1 до -1.

В общем виде, когда система состоит из m признаков, частный коэффициент корреляции l-го порядка может быть найден из корреляционной матрицы.

Если l = m-2, то рассматривается матрица  порядка m.

Если l < m-2, то рассматривается подматрица порядка l+2, составленная из элементов матрицы , которые отвечают индексам коэффициента частной корреляции.

Например, корреляционная матрица системы из пяти признаков имеет вид:

Для определения частного коэффициента 2-го порядка, например, , следует использовать подматрицу 4-го порядка, вычеркнув из матрицы  третью строку и третий столбец, т.к. признак  не рассматривается.

В общем виде формулу частного коэффициента корреляции l-го порядка (l = m-2) можно записать в виде:

,                              (П2.2.1.2)

гдеалгебраическое дополнение к элементу  матрицы .

Алгебраическое дополнение к элементу число , где определитель подматрицы матрицы , образованной вычеркиванием строки j и столбца k.

алгебраическое дополнение к элементам  и .

Покажем, что формула (П2.2.1.1) является частным случаем формулы (П2.2.1.2).

Имеем корреляционную матрицу в виде:

.

Найти .

Но

То есть  что и требовалось.

Пример [15, c.243].

Дана таблица выборочных парных коэффициентов корреляции размерности m = 4 (n = 50).

;

Вычислить оценки частных коэффициентов корреляции первого и второго порядков

;

Вычеркиваем четвертый столбец и четвертую строку, т.к. они не фигурируют в обозначении . Получим подматрицу:

;

;

;

.

Вычеркнув третью строку и столбец, получим:

;

;

.

П2.2.2. Проверка значимости коэффициента корреляции

Проверяют нулевую гипотезу:

Предполагается наличие двумерного нормального распределения. Объем выборки может быть любым. Вычисляют статистику:

,

которая имеет распределение Стьюдента с  степенями свободы.

Для проверки нулевой гипотезы по уровню значимости  и числу степеней свободы k находят по таблицам распределения Стьюдента критическое значение , удовлетворяющее условию:

.

Если , то гипотезу об отсутствии корреляционной связи следует принять.

Если коэффициент корреляции значим, то можно построить для  доверительный интервал.

Пример.

Оценим значимость . Проверим нулевую гипотезу . Уровень значимости , число степеней свободы . Вычислим статистику.

Табл. .

.

Гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции следует отвергнуть.

П2.2.3. Множественный коэффициент корреляции

Множественный коэффициент корреляции выражает связь одного признака с остальными:

,

гдеопределитель корреляционной матрицы ,

алгебраическое дополнение к элементу .

Квадрат коэффициента множественной корреляции  называется множественным коэффициентом детерминации.

Имеет место соотношение:

Выборочный множественный коэффициент корреляции

,

где определитель корреляционной матрицы, составленной из выборочных парных коэффициентов корреляции,

алгебраическое дополнение к элементу .

Пример.

Вычислить оценки множественных коэффициентов корреляции и детерминации первого признака со всеми остальными.

;

???

?

??

?

=

Значимость множественного коэффициентов корреляции и детерминации проверяют с помощью F-критерия Фишера.

Проверяется нулевая гипотеза  Для этого вычисляют статистику

,

имеющую F-распределение с  и  степенями свободы.

;

.

Гипотеза о незначимости коэффициентов отвергается, т.е. коэффициенты значимы с уровнем значимости 0,05.


Приложение 3

П.3. F-распределение Фишера, =0,05

      В таблице приведены значения квантилей

      в зависимости от числа степеней свободы  и .

    число степеней свободы для большей дисперсии

    число степеней свободы для меньшей дисперсии

ν21

1

2

3

4

5

6

8

12

24

беск

1

161,4

199,5

215,7

224,6

230,2

234,0

238,9

243,9

249,0

254,3

2

18,51

19,00

19,16

19,25

19,30

19,33

19,37

19,41

19,4

19,50

3

10,13

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,84

8,74

8,64

8,53

4

7,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,16

6,04

5,91

5,77

5,63

5

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,82

4,68

4,53

4,36

6

5,99

5,14

4,76

4,53

4,39

4,28

4,15

4,00

3,84

3,67

7

5,59

4,74

4,35

4,12

3,97

3,87

3,73

3,57

3,41

3,23

8

5,32

4,46

4,07

3,84

3,69

3,58

3,44

3,28

3,12

2,93

9

5,12

4,26

3,86

3,63

3,48

3,37

3,23

3,07

2,90

2,71

10

4,96

4,10

3,71

3,48

3,33

3,22

3,07

2,91

2,74

2,54

11

4,84

3,98

3,59

3,36

3,20

3,09

2,95

2,79

2,61

2,40

12

4,75

3,88

3,49

3,26

3,11

3,00

2,85

2,69

2,50

2,30

13

4,67

3,80

3,41

3,18

3,02

2,92

2,77

2,60

2,42

2,21

14

4,60

3,74

3,34

3,11

2,96

2,85

2,70

2,53

2,35

2,13

15

4,54

3,68

3,29

3,06

2,90

2,79

2,64

2,48

2,29

2,07

16

4,49

3,63

3,24

3,01

2,85

2,74

2,59

2,42

2,24

2,01

17

4,45

3,59

3,20

2,96

2,81

2,70

2,55

2,38

2,19

1,96

18

4,41

3,55

3,16

2,93

2,77

2,66

2,51

2,34

2,15

1,92

19

4,38

3,52

3,13

2,90

2,74

2,63

2,48

2,31

2,11

1,88

20

4,35

3,49

3,10

2,87

2,71

2,60

2,45

2,28

2,08

1,84

21

4,32

3,47

3,07

2,84

2,68

2,57

2,42

2,25

2,05

1,81

22

4,30

3,44

3,05

2,82

2,66

2,55

2,40

2,23

2,03

1,78

23

4,28

3,42

3,03

2,80

2,64

2,53

2,38

2,20

2,00

1,76

24

4,26

3,40

3,01

2,78

2,62

2,51

2,36

2,18

1,98

1,73

25

4,24

3,38

2,99

2,76

2,60

2,49

2,34

2,16

1,96

1,71

26

4,22

3,37

2,98

2,74

2,59

2,47

2,32

2,15

1,95

1,69

27

4,21

3,35

2,96

2,73

2,57

2,46

2,30

2,13

1,93

1,67

28

4,20

3,34

2,95

2,71

2,56

2,44

2,29

2,12

1,91

1,65

29

4,18

3,33

2,93

2,70

2,54

2,43

2,28

2,10

1,90

1,64

30

4,17

3,32

2,92

2,69

2,53

2,42

2,27

2,09

1,89

1,62

40

4,08

3,23

2,84

2,61

2,45

2,34

2,18

2,00

1,79

1,52

60

4,00

3,15

2,76

2,52

2,37

2,25

2,10

1,92

1,70

1,39

120

3,92

3,07

2,68

2,45

2,29

2,17

2,02

1,83

1,61

1,25

беск

3,84

2,99

2,60

2,37

2,21

2,09

1,94

1,75

1,52

1,00

Приложение 4

П.4. -распределение 

В таблице приведены значения квантилей 21- (m) в зависимости от числа степеней свободы т и  вероятности . Вероятность Р {2 > 21- (?) }

??

0,99

0,95

0,90

0,80

0,20

0,10

0,05

0,01

1

0,00016

0,00393

0,0158

0,0642

1,642

2,706

3,841

6,635

2

0,0201

0,103

0,211

0,446

3,219

4,605

5,991

9,210

3

0,115

0,352

0,584

1,005

4,642

6,251

7,815

11,341

4

0,297

0,711

1,064

1,649

5,989

7,779

9,488

13,277

5

0,554

1,145

1,610

2,343

7,289

9,236

11,070

15,086

6

0,872

1,635

2,204

3,070

8,558

10,645

12,592

16,812

7

1,239

2,167

2,833

3,822

9,803

12,017

14,067

18,475

8

1,646

2,733

3,490

4,594

11,030

13,362

15,507

20,090

9

2,088

3,325

4,168

5,380

12,242

14,684

16,919

21,666

10

2,558

3,940

4,865

6,179

13,442

15,987

18,307

23,209

11

3,053

4,575

5,578

6,989

14,631

17,275

19,675

24,725

12

3,571

5?226

6,304

7,807

15,812

18,549

21,026

26,217

13

4,107

5?892

7,042

8,634

16,985

19,812

22,362

27,688

14

4,660

6,571

7,790

9,467

18,151

21,064

23,685

29,141

15

5,229

7,262

8,547

10,307

19,311

22,307

24,996

30,578

16

5,812

7,962

9,312

11,152

20,465

23,542

26,296

32,000

17

6,408

8,672

10,085

12,002

21,615

24,769

27,587

33,409

18

7,015

9,390

10,865

12,857

22,760

25,989

28,869

34,805

19

7,633

10,117

11,651

13,716

23,900

27,204

30,144

36,191

20

8,260

10,851

12,443

14,578

25,038

28,412

31,410

37,566

21

8,897

11,591

13,240

15,445

26,171

29,615

32,671

38,932

22

9,542

12,338

14,041

16,314

27,301

30,813

ЗЗ,924

40,289

23

10,196

13,091

14,848

17,187

28,429

32,007

35,172

41,638

24

10,856

13,848

15,659

18,062

29,553

33,196

36,415

42,980

25

11,524

14,611

16,473

18,940

30,675

34,382

37,652

44,314

26

12,198

15,379

17,292

19,820

31,795

35,563

38,885

45,642

27

12,879

16,151

18,114

20,703

32,912

36,741

40,113

46,963

28

13,565

16,928

18,939

21,588

34,027

37,916

41,337

48,278

29

14,256

17,708

19,768

22,475

35,139

39,087

42,557

49,588


Приложение 5

П.5. t-распределение Стьюдента

В таблице приведены значения квантилей   

        в зависимости от числа степеней свободы  и    

        вероятности

Вероятность

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

????

????

?????

?????

?????

??????

??????

??????

??

?????

?????

??????

??????

??????

??????

??????

???????

??

?????

?????

????

?????

?????

??????

??????

?????

??

?????

?????

?????

?????

?????

?????

??????

??????

??

?????

?????

?????

?????

????

????

?????

?????

??

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

??

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

??

?????

?????

?????

??

????

?????

?????

?????

??

????

?????

?????

????

?????

?????

????

?????

??

?????

?????

?????

?????

?????

?????

????

?????

???

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

?????

????

????

?????

?????

????

?????

?????

???

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

?????

?????

?????

????

?????

?????

?????

?????

???

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

?????

?????

?????

?????

????

?????

?????

?????

???

?????

?????

????

?????

?????

????

?????

?????

???

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

?????

??????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

?????

?????

?????

????

?????

????

?????

?????

???

?????

?????

?????

?????

????

?????

?????

?????

???

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

?????

????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

?????

????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

?????

????

?????

?????

?????

?????

????

?????

???

?????

????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

???

????

?????

?????

?????

????

?????

?????

?????

???

????

?????

??

?????

?????

?????

?????

?????

????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

?????

беск

1,28

1,64

1,96

2,33

2,58

2,81

3,09

3,29


Приложение 6

П.6. Критические значения

(для коэффициента конкордации W)

Дополнительные значения для n=3

m

3

4

5

6

7

m

s

Значения при уровне существенности 0.05

з

64,4

103,9

157,3

9

54,0

4

49,5

88,4

143,3

217,0

12

71,9

5

62,6

112,3

182,4

276,2

14

83,8

6

75,7

136,1

221,4

335,2

16

95,8

8

48,1

101,7

183,7

299,0

453,1

18

107,7

10

60,0

127,8

231,2

376,7

571,0

15

89,8

192,9

349,8

570,5

864,9

20

119,7

258,0

468,5

764,4

1158,7

Значения при уровне существенности 0.01

3

75,6

122,8

185,6

9

75,9

4

61,4

109,3

176,2

265,0

12

103,5

6

80,5

142,8

229,4

343,8

14

121,9

6

99,5

176,1

282,4

422,6

16

140,2

8

66,8

137,4

242,7

388,3

579,9

18

158,6

10

85,1

175,3

309,1

494,0

737,0

15

131,0

269,8

475,2

758,2

1129,5

20

177,0

364,2

641,2

1022,2

1521,9

Рассмотрим математическое ожидание числа  наступления событий этого потока за время :

,

то есть

.                                         (5.3.6)

В связи с этим параметр  называют интенсивностью потока.

Можно показать, что дисперсия  удовлетворяет соотношению:

.                                        (5.3.7)

Рассмотрим случайную величину  – промежуток времени между произвольными двумя соседними событиями в простейшем потоке и найдем ее функцию распределения

.

Перейдем к вероятности противоположного события

.

Согласно (5.3.5)

,

откуда

.

Дифференцируя, найдем плотность распределения

.                                 (5.3.8)

Для математического ожидания и дисперсии величины  справедливы формулы

.                             (5.3.9)


5.4. Стационарные режимы марковских процессов

Рассмотрим некоторую систему, описываемую марковским процессом. При выполнении ряда условий по истечении определенного времени для марковского процесса возможно установление стационарного, иначе говоря, установившегося режима, характеризуемого условием

,                             (5.6.1)

где  – финальные или, что одно и то же, установившиеся вероятности состояний, не зависящие от времени,

Если система имеет состояния, не имеющие выхода, то при  система оказывается в одном из них, однако большого интереса такое финальное состояние не представляет.

Если система не имеет состояний, не имеющих выхода, а общее количество возможных состояний конечно, то пределы вероятностей (5.6.1) существуют.

Наконец, пределы (5.6.1) вероятностей состояний системы существуют и в случае счетного количества возможных состояний, если выполняются некоторые дополнительные условия для интенсивностей переходов системы.

Финальные вероятности  , состояний системы находятся из условий равенства нулю производных  этих состояний, иначе говоря, равенства нулю правых частей уравнений Колмогорова. При этом получаем систему алгебраических уравнений

.                     (5.6.2)

Дополнительно, как и в нестационарном случае, можно использовать соотношение

.                                 (5.6.3)


Рассмотрим марковский процесс, описывающий систему с графом состояний следующего вида:

Рис.5.4.1.

Здесь число состояний может быть как конечным, так и счетным. Эти процессы получили название “процессов гибели и рождения”.

В случае конечного числа состояний финальные вероятности существуют при любых ненулевых значениях параметров  и .

Проанализируем процесс со счетным количеством возможных состояний.

Рассмотрим вершину с номером . Соотношение (5.6.2) для нее принимает вид:

,

откуда

.

Рассмотрим вершину с номером . Аналогично предыдущему получим:

,

откуда

.


Предположим, что замеченная закономерность верна для состояний с номерами , то есть

.                                    (5.6.4)

И рассмотрим вершину с номером . Условие (5.6.2) для нее принимает вид

,

откуда, с учетом соотношения (5.6.4), по предположению верного для состояний с номерами , получим

Следовательно, согласно методу математической индукции, соотношение (5.6.4) верно для любого  .

Подставим представления (5.6.4) для  в соотношение (5.6.3). Получим

Следовательно, для рассматриваемого процесса финальные вероятности существуют, если сходится ряд

.                                     (5.6.5)

В этом случае финальные вероятности , находятся из нижеследующих соотношений

                            (5.6.6)


5.5. Простейшие модели систем обслуживания с ожиданием

Рассмотрим системы обслуживания с накопителем, удовлетворяющие следующим условиям:

 если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный узел обслуживания, то требование сразу начинает обслуживаться;

 если все узлы заняты, то поступившее требование становится в очередь за уже имеющимися в накопителе требованиями;

 если в момент освобождения узла имеется хотя бы одно требование в накопителе, то первое из них по очереди поступает на обслуживание;

 каждый узел в любой момент времени обслуживает не более одного требования;

 каждое требование обслуживается одним узлом;

 обслуживание не прерывается;

 длительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону с одинаковой интенсивностью обслуживания во всех узлах.

В качестве примера можно рассмотреть деятельность ремонтных рабочих по обслуживанию группы станков. Пока станок работает, он находится в блоке задержки; с момента поломки и до окончания ремонта он находится в самой системе обслуживания в качестве требования. Каждый из параллельно работающих рабочих является узлом обслуживания.

Число потенциальных требований во многих случаях можно считать конечным. Однако оно может быть настолько велико, что влиянием работы СМО на входящий поток требований можно пренебречь. Например, число потенциальных клиентов станции обслуживания автомобилей в крупном городе ограничено, но оно настолько велико, что характеристики потока автомобилистов, обращающихся на станцию, можно считать не зависящими от состояний самой станции. В этом случае мы имеем дело с открытой СМО, общая схема которой представлена на рис.5.3.1.


Рис.5.5.1. Схема открытой СМО с ожиданием.

Если же число потенциальных клиентов мало или если мы хотим учесть влияние системы обслуживания на поток, как при обслуживании группы станков, то следует использовать замкнутую модель обслуживания, общая схема которой представлена на рис.5.5.2.

Рис.5.5.2. Схема замкнутой СМО.

В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований; пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, оно считается находящимся в блоке задержки, в момент реализации оно поступает в саму систему обслуживания.

Открытые СМО с ожиданием.

Простейшей СМО с ожиданием является модель, в которой к условиям (1)-(7) добавляются следующие:

  1.  по окончании обслуживания требование покидает систему;

входящий поток является простейшим.

Для вероятности того, что время обслуживания будет больше некоторого , из (7) вытекает следующее соотношение:

,                 (5.5.1)

где  – интенсивность облуживания, т.е. среднее число требований, обслуживаемое в единицу времени.

Пусть  – параметр входящего простейшего потока требований,  – число узлов обслуживания (). Опишем функционирование такой СМО в терминах процессов «гибели и рождения».

Для этого требуется ввести понятие состояния, показать, что процесс перехода из состояния в состояние является марковским, и доказать, что вероятности переходов удовлетворяют соотношениям (5.2.10), (5.2.11), (5.2.12).

Состоянием СМО с ожиданием назовем общее число требований, находящихся в системе, т.е. сумму числа требований в узлах обслуживания и числа требований в накопителе. Состояниями являются целые неотрицательные числа.

Докажем, что процесс перехода из состояния в состояние является марковским. При этом примем во внимание, что изменение состояния имеет две причины: 1) поступление новых требований из входящего потока и 2) уход обслуженных требований их системы.

Рассмотрим обе. Поскольку входящий поток является простейшим, поступление требований из него на любом отрезке времени не зависит от истории потока до начального момента этого отрезка. Таким образом, изменение состояний по первой причине обладает марковским свойством. С другой стороны, если в момент времени требование уже обслуживалось, то вероятность окончания обслуживания до момента  не зависит от того, сколько длилось обслуживание до момента  (это связано с экспоненциальностью распределения длительности обслуживания). Таким образом, изменение состояния по второй причине также обладает марковским свойством.

Найдем вероятности переходов. Переход  за время  связан с поступлением одного требования в систему (вероятность этого есть ) и тем, что ни один из занятых узлов за время  обслуживания не окончил (вероятность этого согласно (5.5.1) есть , где  – число занятых узлов). Число занятых узлов равно  при  и равно  при . Соответственно, для  имеем

.

Учитывая известное разложение функции , имеем

Тогда

.  (5.5.2)

Аналогично, при

.   (5.5.3)

Переход  связан с поступлением нуля требований и уходом одного, т.е. тем, что ровно один из занятых узлов окончил обслуживание. При

.      (5.5.4)

Аналогично, при

.                             (5.5.5)

Переход  при  имеет вероятность

.                 (5.5.6)

при

.   (5.5.7)

Все остальные вероятности переходов являются бесконечно малыми, благодаря этому функционирование рассматриваемой системы обслуживания описывается процессом «гибели и рождения». При этом

                   (5.5.8)

Используя (5.5.8), получим выражения для финальных вероятностей состояний. При

.                      (5.5.9)

При

.   (5.5.10)

Введем обозначение

.                                    (5.5.11)

Тогда

                     (5.5.12)

Наконец,

.

Здесь

,

где

При  ряд  представляет собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, равной , соответственно,

.                          (5.5.13)

При  ряд  расходится и, соответственно,  и т.д., число требований в системе стремится к бесконечности.

Для системы массового обслуживания представляют практический интерес нижеследующие характеристики.

Вероятность наличия очереди

.                        (5.5.14)

Вероятность того, что все узлы заняты

.                (5.5.15)

Среднее число требований в системе

         (5.5.16)

Средняя длина очереди

.         (5.5.17)

Среднее число занятых узлов обслуживания при

(5.5.18)

При       .

Среднее число свободных узлов

.                                 (5.5.20)

Поскольку  – интенсивность обслуживания, то длительность обслуживания каждого требования составляет в среднем , тогда при наличии очереди таков интервал между выходящими из узла требованиями, а в общем потоке, выходящем из  занятых узлов, интервал между требованиями составляет в среднем .

Следовательно, если требование приходит, когда узлы заняты, но очереди нет, то оно ждет в среднем в течение , если в очереди одно – то , если два – то  и т.д.

Среднее время ожидания начала обслуживания определяется соотношением

.         (5.5.21)

Общее время, которое проводят в очереди требования, поступившие в единицу времени, определится соотношением

.                    (5.5.22)

Легко видеть, что правая часть соотношения (5.5.22) совпадает с правой частью соотношения (5.5.17), т.е. , откуда среднее время ожидания начала обслуживания можно находить в виде

Среднее время, которое требование находится в системе обслуживания, складывается из времени ожидания и времени обслуживания.

.                                  (5.5.23)

Суммарное время, которое в среднем находятся в системе требования, поступившие в единицу времени,

.                           (5.5.24)

 

Замкнутые СМО.

Простейшей замкнутой СМО, схема которой приведена ранее на рис. 5.5.2, является модель, в которой к условиям (1)-(7) добавляются следующие:

  1.  обслуженные требования после некоторой задержки снова поступают на обслуживание;

время задержки является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону.

Пусть  – число узлов обслуживания,  – число потенциальных требований,  – интенсивность обслуживания,  – интенсивность моментов окончания задержки для каждого потенциального требования, находящегося в блоке задержки. Состоянием системы назовем, как и в предыдущей СМО, сумму числа требований в узлах обслуживания и числа требований в накопителе. Множество состояний есть

.

(Считаем, что , противоположный случай анализируется аналогично но не представляет интереса).

Вследствие экспоненциальных законов обслуживания и задержки процесс функционирования системы является марковским; подсчет переходных вероятностей позволяет убедиться, что это процесс «гибели и рождения».

Переход  соответствует выходу из блока одного из  имеющихся там потенциальных требований. При

.

При

.

Переход  соответствует окончанию обслуживания одного требования. Для

.

При

.

Остальные переходы являются бесконечно малыми.

Таким образом, имеем процесс «гибели и рождения» с

Подставляя полученные результаты в выражение (5.6.6), получим при

,   (5.5.25)

при

. (5.5.26)

Поскольку сумма вероятностей полной группы попарно несовместных событий равна единице, то

.        (5.5.27)

В силу соотношений (5.5.25), (5.5.26) и того, что суммы в соотношении (5.5.27) являются конечными, существуют и не равны нулю финальные вероятности состояний системы. Вероятности состояний позволяют определить характеристики функционирования СМО (аналогично (5.5.14)-(5.5.24)).

5.6. Упражнения

5.6.1. Какова вероятность, что во время 10 часовой поездки придется заклеивать камеру, если в машине есть одно запасное колесо, а среднее время до прокола одного из работающих колес составляет  час, т.е. каждое прокалывается с интервалом 400 час.

Решение. Введем обозначения состояний рассматриваемой системы: 0 – все камеры целы, 1 – одна проколота (работает запасная), 2 – две проколоты (требуется заклеивание).

Интенсивность перехода из состояния с меньшим номером в состояние с большим номером

.

Рассмотрим граф переходов рассматриваемого процесса.

Рис.5.4.1.1.

Система дифференциальных уравнений А.Н.Колмогорова для рассматриваемой задачи имеет вид.

В начальный момент , .

Из первого уравнения имеем

или

.                          (5.6.1.1)

Интегрируя левую и правую части, получим

,

откуда , где , т.к. .

Подставляя это решение во второе уравнение, получим

                      (5.6.1.2)

Рассмотрим уравнение без свободного члена

       или           .

То есть получили уравнение, аналогичное (5.6.1.1). Интегрируя его, получим

.                              (5.6.1.3)

Общее решение уравнения (5.6.1.2) будем искать методом вариации произвольной постоянной, заменяя произвольную постоянную  в (5.6.1.3) некоторой дифференцируемой функцией

.                               (5.6.1.4)

Дифференцируя это выражение, получим

.                   (5.6.1.5)

Подставляя (5.6.1.5) и (5.6.1.4) в (5.6.1.2), имеем

.

Тогда , соответственно, .

Подставляя полученное выражение в (5.6.1.4), получим

,

где из начальных условий , имеем , т.е.

Подставляя это решение в третье уравнение, имеем

.

Откуда

Подставляя начальные условия , получим .

Таким образом,

.

Отсюда

.

5.6.2. В цех поставили устройство, имеющее блок, вероятность выхода из строя которого за промежуток времени () равна  при час С учетом этого закуплена пара запасных блоков. Найти вероятность, что устройство не проработает 400 часов. (К разделу 5.2).

5.6.3. Для того, чтобы перевезти 120 студентов на сельхозработы, заказали три 60-ти местных автобуса. Известно, что на весь путь требуется 5 часов и вероятность того, что автобус выйдет из строя в интервале времени () равна  с час. Какова вероятность того, что все студенты будут привезены без задержек? (Все автобусы едут в колонне и в случае необходимости студенты могут пересаживаться из автобуса в автобус). (К разделу 5.2).

5.6.4. Пусть имеется система, состоящая из одного основного элемента и  тождественных ему элементов, находящихся в резерве. Основной элемент находится под нагрузкой и в промежутке времени () может выйти из строя с вероятностью . В этом случае основной элемент сразу заменяется на один из резервных. Система отказывает тогда, когда выходят из строя все элементы – основной и  резервных. Найти вероятность того, что система проработает время . (К разделу 5.2).

5.6.5. Известно, что приход покупателей в некоторый магазин хорошо описывается простейшим потоком. Установлено, что с вероятностью 0,5 в течении 1 минуты в магазин не заходит ни одного покупателя. Какова вероятность того, что в течение двух минут зайдет один покупатель? Хотя бы один покупатель? (К разделу 5.3).

5.6.6. Поток кораблей, прибывающих в порт, можно приближенно считать простейшим. Известно, что вероятности прихода одного корабля в сутки и двух кораблей в сутки равны. Чему равно среднее время между приходами двух кораблей? (К разделу 5.3).

5.6.7. Поток вызовов на станцию скорой помощи в ночное время можно считать простейшим, причем в среднем за час поступают два вызова. Какова вероятность того, что с 23.00 до 23.30 не поступит не одного вызова? (К разделу 5.3).

5.6.8. Некоторое устройство в процессе эксплуатации может выходить из строя, что приводит к остановке производственного конвейера. Для того, чтобы уменьшить простой, имеется еще одно, запасное устройство, идентичное первому. Если первое устройство ломается, то его заменяют на резервное и начинают ремонтировать. Время ремонта – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению с параметром . Поток поломок можно считать простейшим с параметром . Считая, что процесс находится в стационарном режиме, определить долю времени простоя конвейера, вызванного поломкой обоих блоков. (В этом случае сначала ремонтируют одно устройство и его устанавливают, затем сразу начинают ремонт второго). (К разделу 5.4).

5.6.9. Рабочий ремонтирует два одинаковых станка – автомата. Поток поломок каждого станка можно считать простейшим с параметром , время ремонта – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению с параметром . Считая, что процесс находится в стационарном режиме, определить доли времени, когда работают оба станка (), один станок () и ни одного ().(К разделу 5.4).

5.6.10. В грузовом порту имеется три одинаковых причала выгрузки. Судно, прибывающее в порт, сразу встает под выгрузку к свободному причалу, если же такого нет, то встает в очередь. Поток прибывающих под выгрузку судов можно считать простейшим с параметром  (судов в сутки). Время выгрузки подчиняется экспоненциальному распределению с параметром  (судов в сутки). Определить, сколько, в среднем, судов находится у причалов выгрузки? Сколько находится в очереди? Каковы суммарные суточные потери по порту и судам, находящимся в порту, если в сутки потери одного судна составляют  у.е., издержки по причалу в режиме работы  у.е., издержки по причалу в режиме простоя  у.е.?

 Решение. Определим отношение

.

Поскольку не указано общее количество судов, курсирующих на линиях с выгрузкой на рассматриваемых причалах, предполагается подходящей открытая модель СМО с неограниченной очередью. Для нее, поскольку , существуют финальные вероятности. Согласно (5.2.13) имеем

.

Поэтому здесь

.

Среднее число судов, находящихся в порту согласно (5.5.16)

.

В нашем случае получаем

.

У причалов (без учета находящихся в ожидании) находится столько судов, сколько занято причалов, т.е. согласно (5.2.18),

,

здесь

.

В очереди находится, согласно (5.2.17)19,

.

Здесь

.

Суммарные суточные потери по порту и судам, находящимся в порту составят

.

В нашем случае они равны

.


Решение упражнения 5.6.2 в Excel

Открытая СМО марковских потоков

n

lambda

mu

fi

3

1,6

0,8

2

n<=10

fi/n<1

до k=n

до k=n-1

до k=n-2

k

k!

fi^k/k!

fi^k/k!

fi^k/k!

0

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

0

3

6

1,33

0

0

4

24

0

0

0

5

120

0

0

0

6

720

0

0

0

7

5040

0

0

0

8

40320

0

0

0

9

362880

0

0

0

10

3628800

0

0

0

sum

6,33

hvost p0

2,67

p0

0,11

sum Mtr

5

hvost Mtr

16

Mtr

2,89

sum Msan

3

hvost Msan

12

C

2000

Msan

2

Cpp

1000

Cpп

200

Tож

0,56

Z=

7978

Mline

0,89

5.6.11. На автозаправочной станции (АЗС) имеется 4 колонки. Заправка одной машины длится в среднем 3 минуты. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке. Если колонки заняты, то прибывающие машины встают в очередь. Число мест в очереди практически не ограничено. Определить среднее время, проходящее с момента прибытия машины на заправку, до момента ее заправки и среднее число обслуживаемых на АЗС машин.

Указание. Работа АЗС может рассматриваться как работа системы массового обслуживания с неограниченной очередью. У этой системы существует стационарный режим (проверьте!). Здесь  (1/мин.),  (1/мин.). (К разделу 5.5).

5.6.12. Имеется буфет с двумя буфетчицами, причем очередь к ним общая. Обслуживание одного покупателя длится, в среднем, 2 минуты. В среднем в буфет прибывает 2 человека в 3 минуты. Определить среднее время, которое затрачивает покупатель от момента прихода в буфет до приобретения покупки. Какова вероятность того, что покупателю не придется стоять в очереди? (К разделу 5.5).

5.6.13. В парикмахерской 2 мастера. В среднем за час в парикмахерскую приходит 4 клиента, а время обслуживания одного посетителя занимает, в среднем, 20 минут. Если оба мастера заняты, то прибывший клиент ждет обслуживания. Сколько, в среднем, парикмахеров будут свободны? (К разделу 5.5).

5.6.14. Две ремонтной бригады обслуживают три автоматические линии. Среднее время между поломками одной линии равно 5 часам, среднее время устранения неисправности равно 3 часам. Определить для линии среднее время простоя до ремонта, среднее время простоя с учетом времени ремонта и среднее количество незанятых бригад ремонтников.

Каковы суммарные суточные потери по простоям линий и содержанию ремонтников, если в сутки потери от простоя линии составляют  у.е., издержки по бригаде в режиме работы  у.е., издержки по бригаде в режиме простоя  у.е.?

Решение. Отметим, что СМО является замкнутой. Поскольку согласно (5.3.25) для нее при

,

то

.                              (5.6.6.1)

Аналогично, согласно (5.3.26), при

.                             (5.6.6.2)

Для рассматриваемой задачи интенсивность поломок одной линии , интенсивность устранения неисправностей , поэтому .

Анализ замкнутой СМО целесообразно оформлять в виде табл. 5.4.6.1.

Порядок ее заполнения нижеследующий.

  1.  Вычисляются значения столбца (2).

(см. (5.6.6.1));

                                       (см. (5.6.6.2)).

Каждое значение компоненты столбца (3), начиная со стоящего во второй строке, получаем как произведение числа, стоящего левее вычисляемого, и числа, стоящего выше вычисляемого, т.е.

.

Таблица 5.6.6.1.

Расчет замкнутой СМО

при

при

при

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0

1

2

-

1,8

0,6

1

1,8

1,08

0,238

0,428

0,257

0

0,428

0,514

0,476

0,428

-

-

-

-

-

-

0,385

3

0,3

0,324

0,077

0,231

-

0,077

0,231

Сумма

4,204

1,000

Вычисляем сумму компонент столбца (3)

,

обратная величина которой дает :

,

в рассматриваемом примере .

Компоненты столбца (4) получаем умножением числа, стоящего слева от вычисляемого, на величину , т.е.

.

Далее, согласно формулам табл. 5.2.5.1 заполняются столбцы (5), (6) и (7).

Сумма по столбцу (5) дает среднее количество заявок в системе (неработающих линий)

.

Сумма по столбцу (6) дает среднее количество незанятых обслуживающих устройств (ремонтных бригад)

.

  1.  Сумма по столбцу (7) дает среднюю длину очереди

.

Среднее время ожидания определяется аналогично (4.21) из [12] для замкнутой системы в виде

,

для этого заполняется столбец (8) компонентами

,

из которых суммированием получаем

.

Ответ: ; ; .

Суммарные суточные потери по простоям линий и содержанию ремонтников составят 

.

В нашем случае они равны

(у.е.)


Решение упражнения 5.6.6 в Excel

Замкнутая СМО марковских потоков

S

n

lambda

mu

fi

C

Crr

Crp

3

2

0,2

0,3333

0,6

1500

500

300

k

pk/pk-1

Pk/Po

Pk

k*Pk

sv

sv*Pk

0

1

0,238

0

2

0,476

1

1,8

1,8

0,428

0,428

1

0,428

2

0,6

1,08

0,257

0,514

0

0

3

0,3

0,324

0,077

0,231

0

0

4

0

0

0

0

0

0

5

0

0

0

0

0

0

sum

4,204

1

1,17

 

0,90

Mtr

 

Msv

z=

2579

k

Pk*max(k-n+1;0)/n/mu

max(k-n;0)*Pk

0

0

0

1

0

0

2

0,385

0

3

0,231

0,077

4

0

0

5

0

0

Tож=

0,62

Mline=

0,08

5.6.15. Группа из трех рыболовных траулеров обслуживается одной плавучей базой. Траулеры сдают пойманную рыбу на базу. Среднее время плавания равно четырем суткам. Среднее время обслуживания траулера – сутки. Определить среднее время ожидания траулером разгрузки, если время плавания и время разгрузки – случайные величины, подчиняющиеся экспоненциальному распределению. (К разделу 5.5).

5.6.16. Рабочий обслуживает два станка-автомата. Среднее время между поломками одного станка равно 4 часам, среднее время устранения неисправности равно 3 часам. Определить среднее число простаивающих станков и среднее число простаивающих без ремонта станков. (К разделу 5.5).


5.7. Ответы к задачам раздела 5

5.6.2.

5.6.3.

5.6.4.

5.6.5.

5.6.6. сут.

5.6.7. .

5.6.8.

5.6.9.

5.6.11. .

  1.   .

5.6.13. .

5.6.16.


Sapas

6. Управление запасами

6.1. Индивидуальные задания

Для отопления села Усть-Белая Анадырского района Чукотского автономного округа из п. Угольные Копи по реке Анадырь завозится уголь. В учебных целях введем некоторую условность, заключающуюся в равномерном расходовании угля в течение планового периода.

Индивидуальность задачи задается порядковым номером N студента в списке группы, в случае же отсутствия такового – числом рождения студента (дата без указания месяца и года).

Введем обозначения.

– годовая потребность поселка в угле, т;

– плановый период, сут;

переменные расходы доставки груза, приходящиеся на единицу измерения, включают расходы на топливо, смазку, и ряд других, руб/т;

накладные расходы за одну поставку, включают расходы на зарплату экипажа, амортизацию подвижного состава, оформление поставки и ряд других, руб.;

– стоимость хранения угля, руб/т∙сут;

– размер поставки, т;

– период расходования поставки, сут.

Определить оптимальный размер и способ поставки с учетом наличия самоходных барж двух типов: грузоподъемностью 300 т. и 1000 т.

Исходные данные (в случае различия для самоходок разных типов приведены два варианта: первый для барж 300 т. второй – 1000 т.):

= 600 т;

= 365 сут;

= (40 + N; 30+N) руб/т;

= (12000; 17000) – накладные расходы за одну поставку, руб.;

= 0,5 – стоимость хранения угля, руб/т∙сут;

После решения условной задачи требуется прокомментировать возможное изменение ее ответа, если в ней учесть реальные условия, согласно которым расходование угля осуществляется преимущественно в зимний период, а доставка водой – летом.

6.2. Упражнения

6.2.1.

На склад завода поступает сталь, годовая потребность в которой составляет =30000 тонн. Металл доставляется на завод ж/д транспортом, партиями фиксированного размера . Предполагается, что

  1.  каждая партия доставляется на завод сразу (мгновенная поставка);
  2.  неудовлетворение спроса завода в стальном прокате не допускается;
  3.  поступление стали со склада завода в производственные цеха осуществляется равномерно в течение года;
  4.   = 0,9 – переменные расходы доставки груза, приходящиеся на единицу измерения, включают расходы на топливо (электроэнергию), смазку, и ряд других, тыс.руб/т;
  5.   = 9 – накладные расходы завода (организационные издержки) за одну поставку, не зависящие от размера партии, включают расходы на оформление поставки и ряд других, тыс.руб.;
  6.  =0,05 – стоимость хранения одной тонны стали в течении суток на складе, тыс.руб/т∙сут;

Определить:

  •  оптимальный размер поставки  и отвечающие ему суммарные издержки, а также – оптимальный период между поставками.
  •  определить на сколько процентов увеличатся суммарные издержки, если размер партии по сравнению с оптимальным изменится до такого размера, который кратен транзитной норме, равной для стали 60 тоннам;
  •  построить график изменения запасов для оптимального размера партии.

Решение

Согласно условиям график изменения запасов стали на складе завода при некотором фиксированном  будет иметь вид, представленный на рис. 6.2.1.1, где на оси абсцисс откладывается время t (в днях), а на оси ординат – размер запаса стали на складе завода (в тоннах). Начало координат соответствует началу года,  – длина интервала между двумя поступлениями стали на склад,  = 365 (дней) – продолжительность периода планирования.

Рис. 6.2.1.1. График изменения запасов

Пусть

– количество поставок,

– суммарные издержки по доставке и хранению одной поставки.

Издержки по доставке и хранению одной поставки включают три составляющих: издержки хранения, накладные расходы и переменные расходы:

.

Количество поставок          .                           (6.2.1.1)

Тогда суммарные издержки по доставке и хранению за год составят

=

==

=.

То есть, суммарные издержки по доставке и хранению за год являются функцией от объема поставки:

.                       (6.2.1.2)


Варьируя объем поставки , получим следующие затраты (табл. 6.2.1.1, рис. 6.2.1.2).

Таблица 6.2.1.1

Решение упражнения 6.2.1 в Excel

q

qT/2*Cх

Q/q*Cн

Q*Cп

sum

тыс.р/т

30

273,75

9000

27000

36274

1,209

60

547,5

4500

27000

32048

1,068

90

821,25

3000

27000

30821

1,027

120

1095

2250

27000

30345

1,012

150

1368,8

1800

27000

30169

1,006

180

1642,5

1500

27000

30143

1,005

210

1916,3

1285,7

27000

30202

1,007

240

2190

1125

27000

30315

1,011

270

2463,8

1000

27000

30464

1,015

300

2737,5

900

27000

30638

1,021

330

3011,3

818,18

27000

30829

1,028

360

3285

750

27000

31035

1,035

Рис. 6.2.1.2. Зависимости затрат доставки и хранения от объема поставки

Задача состоит в нахождении точки  минимума функции (6.2.1.2) и решается на основе применения необходимых условий экстремума, т.е. задача сводится к решению уравнения

и проверки того, является ли полученное таким путем решение точкой минимума.

Имеем

,

из которого получаем

.                                  (6.2.1.3)

Подставляя в полученное выражение исходные данные, получим

(т).              (6.2.1.3’)

Оптимальный период между поставками из соотношения (6.2.1.1) равен

.

Подставляя исходные данные и найденный результат для оптимального размера поставки, получим

= 2,09 (сут.).

Практически удобно будет задать интервал = 2. Ближайшие варианты размеров поставки, кратные транзитной норме для стали, есть значения 120 и 180. Суммарные издержки, отвечающие значению (6.2.1.3’), согласно выражению (6.2.1.2) составляют 30139 тыс. руб. Значения издержек, соответствующие транзитным нормам, соответственно, равны 30345 и 30142 (см. табл.6.2.1.1). Очевидно, что следует выбрать последнее, как наиболее близкое к теоретическому оптимуму. Рассогласование с теоретическим значением составит

 или   0,01%.


6.2.2.

В условиях задачи 6.2.1. предположим, что допускается частичное неудовлетворение спроса. Это может иметь место, когда убытки завода, обусловленные отсутствием сырья, сопоставимы с издержками его хранения. Предположим, что убытки, обусловленные отсутствием стали, составляют 0,04 тыс. руб. за тонну в сутки20. Будем так же предполагать, что неудовлетворенный спрос удовлетворяется сразу, как только на завод поступает очередная партия сырья, причем количество стали, равное неудовлетворенному спросу, поступает в производственные цехи, минуя склад.

Кроме того, предположим, что сталь поступает на завод равномерно с интенсивностью =120 тонн в сутки.

Требуется:

  •  Найти оптимальный размер партии  и оптимальное количество  стального проката, поступающего на склад сверх того, что идет в цехи прямо «с колес»;
  •  Найти оптимальное количество поставок и соответствующую продолжительность периода возобновления поставки;
  •  Определить минимальные суммарные издержки;
  •  Построить график изменения запасов в течение года.

Предупреждение

В многочисленной литературе по теории запасов для иллюстрации данной задачи традиционно приводится график, изображенный на рис. 6.2.2.1.

Рис. 6.2.2.1. Традиционный график изменения запасов

Причем, потери от дефицита традиционно задаются пропорциональными площади треугольника, лежащего ниже оси абцисс. Таким образом, традиционно они задаются по аналогии с затратами за хранение, пропорциональными квадрату дефицита . В действительности же потери от дефицита связаны с невыполнением объема работ, пропорционального первой степени величины , что и следует сделать в данной задаче, а также в задаче 6.2.4. В самом деле! Допустим, на заводе образовался дефицит объема . Недополучение сырья приведет к недовыпуску продукции пропорциональному величине дефицита и потерям прибыли также пропорционально этой величине. Следует уточнить выделенное жирным текстом условие: «Предположим, что убытки, обусловленные отсутствием стали, составляют 0,04 тыс. руб. за тонну в сутки», убрав фразу «в сутки».

Кроме того, на рис. 6.2.2.1. не имеет экономического смысла часть графика, обозначенная отрезком [ab]. Вследствие этого традиционная иллюстрация рис. 6.2.2.1. не может иметь экономической интерпретации в целом.

Вспомогательные замечания

График изменения количества а) сырья на складе, б) сырья, поступающего в работу мимо склада («с колес») и в) накопления дефицита должен выглядеть согласно рис. 6.2.2.2.

Интенсивность расхода сырья          .

Интенсивность заполнения склада               .

Интенсивность поступления сырья на завод, то есть, на склад и в цеха в сумме

.

– вместимость склада, т.

– объем поставки, т.

– стоимость хранения, тыс.руб/тсут.

– накладные расходы, тыс.руб.

Рис. 6.2.2.2. График изменения количества сырья на складе,

поступающего в работу «с колес», и накопления дефицита


– потери из-за отсутствия сырья, приходящиеся на одну недостающую тонну, тыс.руб/т.

– количество поставок.

В введенных обозначениях:

Объем поставки      ;

Количество поставок    ;

Расходы и потери за одну поставку

.

Суммарные расходы и потери за период планирования

.   (6.2.2.1)

Далее решение может быть получено либо:

а) моделированием затрат (6.2.2.1) в зависимости от варьируемых  и  с использованием Excel, либо

б) представлением затрат (6.2.2.1) в зависимости от  и  аналитически, вычисления частных производных от  по  и , приравнивания этих производных к нулю, и решения получаемой системы двух уравнений относительно  и .


6.2.3.

В условиях задачи 6.2.1. предположим, что сталь доставляется на завод не железнодорожным, а автомобильным транспортом с интенсивностью =120 тонн в сутки. В этом случае график изменения запасов будет иметь вид изображенный на рис. 6.2.3.1.

Рис. 6.2.4.1. График изменения запасов в модели,

учитывающей ограниченную интенсивность поставки

Требуется:

  •  найти оптимальный размер доставляемой на завод партии стали, который обеспечивает минимум суммарным за год издержкам по доставке и хранению;
  •  найти оптимальное число поставок стали на завод в течение года и соответствующий период между поступлениями очередных партий;
  •  исходя из того, что транзитная норма по стали для автомобиля составляет 20 тонн, найти ближайший к оптимальному (с позиции минимума издержек) размер партии, кратный транзитной норме;
  •  построить график изменения запасов для найденного размера партии.


6.2.4.

В условиях задачи 6.2.1. предположить, что допускается частичное неудовлетворение спроса. Такое допущение может иметь место, когда убытки завода, обусловленные отсутствием сырья, сопоставимы с издержками его хранения. Предположим, что убытки, обусловленные отсутствием стали на складе, составляют 0,04 тыс.руб. за тонну. Будем так же предполагать, что неудовлетворенный спрос удовлетворяется сразу, как только на завод поступает очередная партия сырья, причем количество стали, равное неудовлетворенному спросу, поступает в производственные цеха, минуя склад. В этом случае график изменения запасов будет иметь вид изображенный на рис. 6.2.4.1.

Рис. 6.2.4.1. График изменения запасов в модели,

учитывающей убытки вследствие дефицита

Задача состоит в том, чтобы:

  •  Найти оптимальный размер партии  и оптимальное значение  количества стали, поступающей на склад, ( идет в цех, минуя склад);
  •  Определить оптимальное количество поставок и соответствующую продолжительность периода возобновления поставки;
  •  Найти минимальные суммарные издержки;
  •  Построить график изменения запасов в течении года.


6.2.5.

Омский нефтеперерабатывающий завод обеспечивает новосибирских потребителей нефтепродуктами (бензины, дизельное топливо и др.). Обеспечение потребителей нефтепродуктами осуществляется через сеть автозаправочных станций АЗС, на которые нефтепродукты доставляются с завода. Рассмотрим АЗС как склад хранения нефтепродуктов. Предположим, что нефтепродукты доставляются на АЗС партиями, которые поступают равномерно с интенсивностью  тонн в сутки; расходуются нефтепродукт также равномерно. Превышение спроса на нефтепродукты над предложением допускается. Общая потребность потребителей, которые обслуживаются на данной АЗС, составляет  тонн в год. Издержки формирования партии нефтепродуктов составляют  руб., издержки хранения составляют , руб/т∙сут, убытки АЗС из-за неудовлетворения спроса составляют , тыс.руб/т.

Требуется найти:

– оптимальный размер поставки, т;

– оптимальную вместимость склада, т.;

– допустимый уровень дефицита, т.;

– оптимальное время цикла поставки, сут.;

График изменения запасов в год.

Минимальное значение суммарных издержек по доставке и хранению.

Параметры задачи:

= 50000 т.;

= 365 сут. – плановый период;

= 0,01 тыс.руб/т – переменные расходы доставки груза, приходящиеся на единицу измерения;

= 0,4 руб. – накладные расходы за одну поставку;

= 5 тыс. руб/т∙сут – стоимость хранения;

= 200 т/сут.;

составляет, допустим, 20% от стоимости одной тонны нефтепродукта (примем 8 тыс.руб/т), т.е = 1,6 тыс.руб/т – убытки АЗС из-за неудовлетворения спроса.


7. Оценка инвестиционного проекта

7.1. Индивидуальные задания

Для модернизации цеха распредвалов автомобиля ВАЗ в г. Юрга был определен состав необходимого оборудования. Также был определен состав работ по его установке, обучению персонала (включая просмотр фильмов по организации труда с использованием нового оборудования).

Для организации производства был разработан бизнес-план, основные исходные данные которого представлены в табл. 7.1.1. Покупка и поставка оборудования запланирована на 2002 г. Инженерное обустройство и обучение персонала должно быть выполнено в течение 2003 г. Продукция в полном плановом объеме должна производиться и реализовываться с 2004 г.

Таблица 7.1.1

Исходные данные для определения

доходности проекта

Показатели

Ед.изм.

Значения

1

Затраты на приобретение, доставку и монтаж оборудования

млн. руб.

21,9

2

Затраты на инженерное обустройство, обучение персонала

млн. руб.

13,0

3

Срок работы оборудования после ввода

лет

5,0

4

Гарантированный объем продаж новой продукции в год

млн. руб.

100,0+N

5

Текущие затраты

млн. руб.

71,2+N

6

Условно-постоянные затраты (УПЗ),

млн. руб.

15,9

7

в том числе амортизация

млн. руб.

5,7

8

Годовой объем заказов

тыс. шт.

150,0

9

Валютный депозит

%

12,0

10

Уровень риска проекта

%

4,0

11

Инфляция на валютном рынке

%

5,0

здесь N – число, образуемое последними двумя  цифрами номера зачетной книжки студента 


Определить (без учета налогов):

Поток реальных денег (Cash Flow)

• Коэффициент дисконтирования проекта (Discount Rate)

• Чистый дисконтированный доход (ЧДД) проекта

• Чистую текущую стоимость (ЧТС) по годам реализации проекта

• Индекс доходности (ИД) и среднегодовую рентабельность проекта

• Внутреннюю норму доходности (ВНД) проекта: расчетно и графически

• Срок окупаемости проекта: расчетно и графически

• Точку безубыточности проекта: расчетно и графически

7.2. Упражнения

OcInProj

Наряду с техническими критериями выбора новшества для организации инновациионного процесса инвесторы предъявляют к ним экономические ограничения, стремясь обеспечить себе возврат вложенных средств  и получение прибыли. Немаловажным фактором, который инвесторы учитывают при принятии решений о финансировании инновации, является период, в течение которого будут возмещены понесенные расходы, а также период, необходимый для получения расчетной прибыли. Поэтому среди большого числа показателей оценки экономической эффективности реализации инновационного процесса наиболее используемыми являются:

  •  чистый дисконтированный доход (ЧДД);
  •  срок окупаемости;
  •  индекс доходности и рентабельности проекта;
  •  внутренняя норма доходности;
  •  точка безубыточности проекта.

В литературе встречаются и другие наименования этих и близких показателей:

чистый дисконтированный доход — интегральный эффект и чистая приведенная стоимость, Net Present Value (NPV);

индекс доходности — индекс прибыльности, Profitability Index (PI);

внутренняя норма доходности — внутренняя норма прибыли, рентабельности, возврата инвестиции, Internal Rate of Return (IRR).

Пример21 укрупненного обоснования доходности инновационного проекта

В связи с изменениями экологических нормативов органы государственной автоинспекции ввели более жесткие ПДК примесей в выхлопных газах автотранспортных средств. На малом предприятии «Импульс», учрежденном АО «ЗЛА» (заводом по производству легковых автомобилей), разработана универсальная насадка на глушитель, улавливающая вредные примеси. Для организации производства был разработан бизнес-план, основные экономические характеристики которого представлены в табл. 7.2.1. Поставка оборудования осуществлена в 1994 г.

Таблица 7.2.1

Исходные данные для определения

доходности проекта

№ п/п

Показатели

Ед.изм.

Значения

1

Затраты на приобретение оборудования

млн. $

17,9

2

Затраты на доставку и монтаж оборудования

млн. $

4,7

3

Затраты на инженерное обустройство, обучение персонала и рекламу (за 1 год предпро-изводственного периода)

млн. $

3,3

4

Срок работы оборудования после ввода

лет

5,0

5

Гарантированный объем продаж новой продукции в год

млн. $

63,2

6

Текущие затраты

млн. $

51,8

7

Условно-постоянные затраты (УПЗ),

млн. $

12,7

8

в том числе амортизация

млн. $

3,8

9

Годовой объем заказов

тыс. шт.

140,0

10

Валютный депозит

%

14,0

11

Уровень риска проекта

%

3,0

12

Инфляция на валютном рынке

%

4,0


Определить (без учета налогов):

Поток реальных денег (диаграмма Cash Flow)

• Коэффициент дисконтирования проекта (Discount Rate)

• Чистый дисконтированный доход (ЧДД) проекта

• Чистую текущую стоимость (ЧТС) по годам реализации проекта

• Индекс доходности (ИД) и среднегодовую рентабельность проекта

• Внутреннюю норму доходности (ВНД) проекта: расчетно и графически

• Срок окупаемости проекта: расчетно и графически

• Точку безубыточности проекта: расчетно и графически

Решение

Поток реальных денег (Cash Flow)

Определение единовременных затрат, млн. $

1994: 17,9+4,7=22,6

1995: 3,3

Определение поступлений от проекта, млн. $

1995: 0,0

1996 (на конец года): 63,2-51,8+3,8 = 15,2

1997 (на конец года): 63,2-51,8+3,8 = 15,2

1998 (на конец года): 63,2-51,8+3,8 = 15,2

1999 (на конец года): 63,2-51,8+3,8 = 15,2

2000 (на конец года): 63,2-51,8+3,8 = 15,2

Таблица 7.2.2

Данные для диаграммы Cash Flow, млн. $

Годы

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

Годы от начала проекта

1

2

3

4

5

6

7

Cash

|

-22,6

-3,3

15,2

15,2

15,2

15,2

15,2

Рис. 7.2.1. Диаграмма финансовых потоков инновационного проекта

Определение коэффициента дисконтирования проекта

Основная формула для расчета коэффициента дисконтирования:

где – норма дисконта (процентная ставка) в безразмерной форме,

– период (номер года) расчета:

  •  =0 для начального года проекта,
  •  =1 для второго года,
  •  =2 для третьего года и так далее.

Норма дисконта22  определяется соотношением

,

валютный депозит (принимаемая цена капитала);

уровень риска для данного типа проектов;

инфляция (уровень риска работы на валютном рынке).

В рассматриваемом примере

 = 0,14 +0,03 + 0,04 = 0,21.

Определение чистого дисконтированного дохода (ЧДД) и чистой текущей стоимости (ЧТС)

Формула для расчета ЧДД для -гo периода:

,

где  – доходы -гo периода;  – затраты (капитальные) -гo периода.

Таблица 7.2.3

Расчет чистого дисконтированного дохода по проекту

Периоды

ЧДД

ЧТС

1994

0,0

22,6

1,00

0,00

22,60

-22,60

-22,6

1995

0,0

3,3

0,83

0,00

2,73

-2,73

-25,33

1996

15,2

0,0

0.68

10,38

0,00

10,38

-14,95

1997

15,2

0,0

0,56

8,58

0,00

8,58

-6,37

1998

15,2

0,0

0,47

7.09

0,00

7,09

0,73

1999

15,2

0,0

0,39

5,86

0,00

5,86

6,59

2000

15,2

0,0

0,32

4,84

0,00

4,84

11,43

Итого:

76,0

25,9

36,76

25,33

11,43

Формула для расчета ЧТС (в тех же обозначениях):

.

Индекс доходности, индекс прибыльности и среднегодовая рентабельность проекта

Индекс доходности – это отношение суммарного дисконтированного дохода к суммарным дисконтированным затратам.

Индекс доходности

;

Рис. 7.2.2. График чистого дисконтированного дохода и чистой текущей стоимости проекта

.

Индекс прибыльности – это отношение суммарной дисконтированной прибыли к суммарным дисконтированным затратам.

Индекс прибыльности

;

.

Среднегодовая рентабельность проекта

         или         ,

=45,0 %      или      =45,0 %.

Вычисление внутренней нормы доходности (ВНД)

Внутренняя норма доходности определяется как предельное значение нормы дисконта , при котором чистый дисконтированный доход равен нулю.

Таблица 7.2.4

Данные для расчета ВНД

0,31

0,32

0,33

0,34

0,35

0,36

0,37

ЧДД

2,608

1,905

1,229

0,5778

-0,04932

-0,65351

-1,24

Рис. 7.2.3. График зависимости чистого дисконтированного дохода от нормы дисконта

Определение приближенного значения ВНД ясно из нижеследующего фрагмента вышеприведенного графика зависимости ЧДД от нормы дисконта.

Рис. 7.2.4. Схема для определения внутренней нормы доходности (фрагмент графика зависимости чистого дисконтированного дохода от нормы дисконта)

Из подобия двух прямоугольных треугольников имеем

,

отсюда

,

.


Вычисление срока окупаемости

Условием для определения срока окупаемости является равенство затрат и доходов

.

Это произойдет в момент перехода чистой текущей стоимости из отрицательных значений в положительное (см. рис 7.2.2). На графике видно, что это произойдет на четвертом году проекта. Чтобы определить искомый момент точнее рассмотрим фрагмент рис. 7.2.2, приведенный на рис. 7.2.5.

Рис. 7.2.5. Схема для определения срока окупаемости проекта

Приближенное значение срока окупаемости согласно схеме можно определить нижеследующим образом.

Из подобия треугольников

,

отсюда

.

Таким образом, для определения срока окупаемости получаем:

полных лет – 3,

неполных лет – 0,9,

всего лет – 3,9.


Вычисление точки безубыточности

Точкой безубыточности называем объем выпуска продукции, при котором доходы равны издержкам.

Рассмотрим графики зависимости доходов и издержек от объема выпуска продукции. Прирост дохода на тысячу штук изделий составляет

, млн. $.

Прирост издержек на тысячу штук изделий

, млн. $.

Точка безубыточности определится соотношением

,

откуда

, тыс. шт.

Рис. 7.2.6. Точка безубыточности проекта


Решение задачи 7.2 в
Excel

OcInProj

Оценка доходности проекта

Показатели

Ед.изм.

Значения

1

Затраты на приобретение оборудования

млн. $

17,9

2

Затраты на доставку и монтаж оборудования

млн. $

4,7

3

Затраты на инженерное обустройство, обучение персонала и рекламу (за 1 год предпроизводственного периода)

млн. $

3,3

4

Срок работы оборудования после ввода

лет

5

5

Гарантийный объем продаж прродукции в год

млн. $

63,2

6

Текущие затраты

млн. $

51,8

7

Условно-постоянные затраты (УПЗ),

млн. $

12,7

8

в том числе амортизация

млн. $

3,8

9

Годовой объем заказов

тыс.шт.

140

10

Валютный депозит

%

14

11

Уровень риска проекта

%

3

12

Инфляция на валютном рынке

%

4

d

ИД

ИП

Р

0,21

1,45

0,45

45,0

i

Годы

Di

Ki

1/(1+d)^i

Di/(1+d)^i

Ki/(1+d)^i

ЧДД

ЧТС

Di-Ki

0

1994

№1+№2

0

22,6

1,00

0,00

22,60

-22,60

-22,60

-22,60

1

1995

№3

0

3,3

0,83

0,00

2,73

-2,73

-25,33

-3,30

2

1996

№5-№6+№8

15,2

0

0,68

10,38

0,00

10,38

-14,95

15,20

3

1997

№5-№6+№8

15,2

0

0,56

8,58

0,00

8,58

-6,37

15,20

4

1998

№5-№6+№8

15,2

0

0,47

7,09

0,00

7,09

0,73

15,20

5

1999

№5-№6+№8

15,2

0

0,39

5,86

0,00

5,86

6,59

15,20

6

2000

№5-№6+№8

15,2

0

0,32

4,84

0,00

4,84

11,43

15,20

76

25,9

36,76

25,33

11,43

d*

0,31

0,32

0,33

0,34

0,35

0,36

0,37

d*

0,34

0,35

Di-Ki

(Di-Ki)/(1+d*)^i

-22,6

-22,6

-22,6

-22,6

-22,6

-22,6

-22,6

-22,6

-3,3

-2,52

-2,50

-2,48

-2,46

-2,44

-2,43

-2,41

15,2

8,86

8,72

8,59

8,47

8,34

8,22

8,10

15,2

6,76

6,61

6,46

6,32

6,18

6,04

5,91

15,2

5,16

5,01

4,86

4,71

4,58

4,44

4,31

15,2

3,94

3,79

3,65

3,52

3,39

3,27

3,15

15,2

3,01

2,87

2,75

2,63

2,51

2,40

2,30

ЧДД

2,61

1,91

1,23

0,58

-0,05

-0,65

-1,24

ЧДД

0,58

-0,05


Прирост дохода на тыс.шт.изделий, млн. $

0,45143

Прирост издержек на тыс.шт.изделий, млн. $

0,27929

Условно постоянные издержки, млн. $

12,7

Расчет точки безубыточности

Млн. $

V, тыс.шт

Доход

Издержки

0

0

12,7

10

4,514

15,49

20

9,029

18,29

30

13,54

21,08

40

18,06

23,87

50

22,57

26,66

60

27,09

29,46

70

31,6

32,25

80

36,11

35,04

90

40,63

37,84

100

45,14

40,63

110

49,66

43,42

120

54,17

46,21

130

58,69

49,01

140

63,2

51,8

150

67,71

54,59

73,78

33,3

33,3

Точка безубыточности, тыс. шт.


8. Простейшие модели оптимизации

8.1. Индивидуальные задания

8.1.1. Экономическая интерпретация задачи линейного

программирования и графический способ решения

Задачу с номером 8.1.1. решить графически и придумать интерпретацию. Здесь .  – остаток от деления нацело числа  на 6,  – номер студента в списке группы.

8.1.1.1

Ответ

8.1.1.2

Ответ

2x1+ x216

X=(0, 6)

2x1+ x212

X=(0, 2)

 x1+2x212

zmax=12

-x1+3x26

zmax=-4

x1+3x26

x10     x20

x10     x20

z=- x1+2x2

*

z= x1-2x2

*

8.1.1.3.

Ответ

8.1.1.4.

Ответ

3x1+ x24

-x1+3x24

zmax

x1+ x26

zmax

x1-2x28

x10     x20

x10     x20

z= x1+x2

z=-3x1+x2

8.1.1.5.

Ответ

8.1.1.6.

Ответ

 x1+ x24

2x1- x28

X=(6, 4)

 x1+2x212

Решения

3x1-2x24

zmin=56

x1+3x26

нет

 x12     x24

x10     x20

x10     x20

z=-3x1+ x2

z=12x1-4x2


8.1.2. Графический способ решения задачи линейного программирования и теория двойственности

Задачу с номером 8.1.2. решить графически и придумать интерпретацию. Здесь .  – остаток от деления нацело числа  на 20,  – номер студента в списке группы.

Для решения задач данного раздела требуется составить к ним двойственные, решить последние графическим способом, и, используя условия дополняющей нежесткости, на основе решений двойственных задач найти решения исходных.

  8.1.2.1.   0 x1+ 1 x2- 2 x3+ 1 x4+ 1 x5<=  4

            -1 x1- 2 x2+ 0 x3+ 1 x4- 2 x5<=-13

                 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x5>=0

            -3 x1- 2 x2-13 x3+ 3 x4- 4 x5  max

  8.1.2.2.   2 x1- 2 x2- 2 x3- 2 x4<= 2

            -1 x1+ 0 x2+ 1 x3- 2 x4<=-13

                 x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0

             3 x1-10 x2- 5 x3-12 x4  max

  8.1.2.3. -1 x1+ 0 x2+ 1 x3- 2 x4+ 2 x5- 2 x6>=-1

             2 x1+ 2 x2+ 2 x3+ 1 x4+ 1 x5+ 0 x6<= 8

               x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x5>=0 x6>=0

            10 x1+ 8 x2+ 2 x3+ 3 x4- 1 x5+ 1 x6  max

  8.1.2.4.   1 x1+ 2 x2+ 1 x3+ 0 x4- 2 x5+ 0 x 6<=-6

             0 x1- 2 x2+ 0 x3+ 0 x4- 2 x5+ 1 x6>=-8

               x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x5>=0 x6>=0

             2 x1+ 2 x2+ 0 x3- 1 x4- 2 x5- 2 x6  max

  8.1.2.5.  -1 x1+ 1 x2- 2 x3+ 1 x4<= 6

             1 x1+ 0 x2- 2 x3+ 1 x4<= 4

               x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0

            -4 x1+ 3 x2-13 x3+ 4 x4  max

  8.1.2.6.   1 x1+ 0 x2- 2 x3+ 0 x4+ 1 x5- 1 x6>= 4

            -2 x1- 1 x2+ 0 x3+ 2 x4- 1 x5- 2 x6<=-6

               x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x5>=0 x6>=0

            -6 x1- 2 x2+ 3 x3+ 0 x4- 5 x5+ 0 x6  max

  8.1.2.7.  -2 x1+ 2 x2+ 2 x3+ 2 x4>= 4

             2 x1+ 1 x2+ 1 x3+ 0 x4<= 2

               x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0

            -8 x1+ 8 x2+ 8 x3+ 6 x4  min


  8.1.2.8.   0 x1+ 2 x2- 1 x3- 1 x4<= 10

             1 x1+ 2 x2+ 1 x3+ 1 x4<= 12

               x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0

             2 x1+ 2 x2+ 5 x3+ 5 x4  min

  8.1.2.9.   0 x1- 1 x2- 1 x3+ 2 x4<= 13

             1 x1+ 1 x2+ 0 x3+ 1 x4<= -4

               x1>=0 x2>=0

                         x3 <=0 x4<=0

             1 x1- 0 x2- 3 x3- 2 x4  max

  8.1.2.10. -1 x1+ 1 x2+ 2 x3- 2 x4<= 3

            -2 x1+ 2 x2+ 2 x3- 2 x4<= 4

               x1>=0 x2>=0

                         x3 <=0 x4<=0

            -5 x1+ 3 x2+ 7 x3- 4 x4  max

  8.1.2.11. -2 x1+ 1 x2- 1 x3- 0 x4 >= 7

            -2 x1+ 0 x2- 1 x3+ 1 x4  <= 2

               x1>=0 x2>=0

                         x3 <=0 x4<=0

            -4 x1- 2 x2- 1 x3+ 5 x4  max


  
8.1.2.12.    2 x1+ 0 x2- 1 x3+ 1 x4<= 9

             2 x1+ 1 x2+ 1 x3- 1 x4<= 11

               x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0

            -6 x1+ 0 x2+ 1 x3- 0 x4  min

  8.1.2.13. -1 x1+ 0 x2+ 1 x3- 2 x4+ 2 x5- 2 x6>=-1

             2 x1+ 2 x2+ 1 x3+ 1 x4+ 1 x5+ 0 x6<= 8

               x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x5>=0 x6>=0

           -10 x1- 8 x2- 2 x3- 3 x4+ 1 x5- 1 x6  min

  8.1.2.14.  1 x1+ 2 x2+ 1 x3+ 0 x4+ 2 x5+ 0 x6<=-6

             0 x1- 2 x2+ 0 x3+ 0 x4- 2 x5+ 1 x6>=-8

               x1>=0 x2>=0 x3>=0

                              x4<=0 x5<=0 x6<=0

             2 x1+ 2 x2+ 0 x3- 1 x4- 2 x5- 2 x6  max

  8.1.2.15.  0 x1- 1 x2+ 2 x3- 1 x4- 1 x5>=- 4

            -1 x1- 2 x2+ 0 x3+ 1 x4- 2 x5<=-13

               x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0 x5>=0

            -3 x1- 2 x2-13 x3+ 3 x4- 4 x5  max


  8.1.2.16.  2 x1- 2 x2- 2 x3- 2 x4<=  2

             1 x1+ 0 x2- 1 x3+ 2 x4<= 13

               x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0

             3 x1-10 x2- 5 x3-12 x4  max

  8.1.2.17. -1 x1+ 0 x2+ 1 x3+ 2 x4- 2 x5+ 2 x6>=-1

             2 x1+ 2 x2+ 2 x3- 1 x4- 1 x5+ 0 x6<= 8

               x1>=0 x2>=0 x3>=0

                              x4<=0 x5<=0 x6<=0

            10 x1+ 8 x2+ 2 x3- 3 x4+ 1 x5- 1 x6  max

  8.1.2.18.  0 x1+ 2 x2- 0 x3- 0 x4>= 2

             2 x1- 1 x2- 2 x3+ 0 x4<= 7

               x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0

             8 x1-12 x2-13 x3- 1 x4  max

  8.1.2.19. -2 x1+ 2 x2- 2 x3- 2 x4<=  2

            -1 x1+ 0 x2- 1 x3+ 2 x4>= 13

               x1>=0 x2>=0

                         x3 <=0 x4<=0

            -3 x1+10 x2- 5 x3-12 x4  max

  8.1.2.20.  2 x1- 2 x2- 2 x3- 2 x4<=  2

             1 x1+ 0 x2- 1 x3+ 2 x4>= 13

               x1>=0 x2>=0 x3>=0 x4>=0

            -3 x1+10 x2+ 5 x3+12 x4  min

  1.  Симплекс метод решения задачи линейного программирования

Задачу с номером 8.1.3. решить графически и придумать интерпретацию. Здесь .  – остаток от деления нацело числа  на 20,  – номер студента в списке группы.

Для задач данного раздела следует составить двойственные. Те и другие перевести в каноническую форму (с ограничениями в виде равенств) и решить их симплекс методом, контролируя вычисления подстановкой промежуточных результатов  в исходные уравнения.

  8.1.3.1.  -2 x1+ 2 x2+ 2 x3 >= 4

             2 x1+ 2 x2+ 2 x3 >= 4

             1 x1+ 1 x2+ 0 x3 >= 0

            -2 x1+ 0 x2+ 0 x3 <= -2

                x1>=0 x2>=0 x3>=0

             4 x1-10 x2- 6 x3   max

  8.1.3.2.   1 x1+ 2 x2+ 1 x3+ 0 x4<=  9

            -2 x1+ 0 x2+ 0 x3- 2 x4>= -8

             0 x1+ 1 x2- 2 x3+ 1 x4>=-15

                x1>=0 x2>=0 x3>=0

            11 x1+ 2 x2+ 3 x3+ 3 x4  max

  8.1.3.3.   1 x1+ 1 x2+ 0 x3 >=  2

            -1 x1+ 1 x2+ 2 x3 <=  3

             0 x1- 1 x2+ 1 x3 <= -3

            -2 x1+ 1 x2+ 1 x3 >=  1

               x1>=0 x2>=0 x3>=0

             8 x1- 9 x2+ 0 x3  max

  8.1.3.4.   0 x1+ 1 x2+ 1 x3 >=  2

             2 x1+ 3 x2+ 1 x3 <=  4

             0 x1+ 2 x2+ 3 x3 <=  8

                x1>=0 x2>=0 x3>=0

             8 x1+ 4 x2+ 1 x3  max

  8.1.3.5.  0 x1+ 2 x2- 1 x3 >=  7

            -1 x1+ 1 x2- 2 x3 <=  2

             1 x1+ 1 x2+ 0 x3 >=  2

               x1>=0 x2>=0 x3>=0

            -5 x1- 7 x2- 1 x3  max

  8.1.3.6.  -2 x1+ 2 x2- 2 x3 <=  0

            -2 x1- 1 x2- 0 x3 >= -1

             1 x1- 1 x2+ 2 x3 >=  0

               x1>=0 x2>=0 x3>=0

            -4 x1+ 8 x2- 6 x3  max

  8.1.3.7.   0 x1- 1 x2+ 1 x3 <= -1

            -2 x1+ 1 x2+ 1 x3 <=  9

             0 x1- 1 x2+ 1 x3 <=  0

               x1>=0 x2>=0 x3>=0

           -10 x1+ 1 x2+ 5 x3  max

  8.1.3.8.   0 x1+ 1 x2- 1 x3 <= -1

            -2 x1- 1 x2- 1 x3 <=  9

             0 x1+ 1 x2- 1 x3 <=  0

               x1 >=0

                    x2 <=0 x3 <=0

           -10 x1- 1 x2- 5 x3  max


  8.1.3.9.  -2 x1- 2 x2+ 2 x3<=  0

            -2 x1+ 1 x2- 0 x3>= -1

             1 x1+ 1 x2- 2 x3>=  0

               x1 >=0

                     x2 <=0 x3 <=0

            -4 x1- 8 x2+ 6 x3  max

  8.1.3.10.  0 x1+ 2 x2- 1 x3>= 7

            -1 x1+ 1 x2- 2 x3<= 2

             1 x1+ 1 x2+ 0 x3>= 2

              x1 >=0 x2 >=0 x3 >=0

             5 x1+ 7 x2+ 1 x3  min

  8.1.3.11. -2 x1+ 2 x2+ 2 x3 >=  4

             2 x1+ 2 x2+ 2 x3 >=  4

             1 x1+ 1 x2+ 0 x3 >=  0

            -2 x1+ 0 x2+ 0 x3 <= -2

                x1>=0 x2>=0 x3>=0

            -4 x1+10 x2+ 6 x3  min

  8.1.3.12. -1 x1+ 2 x2- 1 x3+ 0 x4<=  9

             2 x1+ 0 x2+ 0 x3- 2 x4>= -8

             0 x1+ 1 x2+ 2 x3+ 1 x4>=-15

                     x2>=0       x4 >=0

               x1<=0      x3<=0

           -11 x1+ 2 x2- 3 x3+ 3 x4  max

  8.1.3.13. 1 x1+ 1 x2+ 0 x3 >=  2

            -1 x1+ 1 x2+ 2 x3 <=  3

             0 x1- 1 x2+ 1 x3 <= -3

            -2 x1+ 1 x2+ 1 x3 >=  1

               x1>=0 x2>=0 x3>=0

            -8 x1+ 9 x2+ 0 x3   min


  
8.1.3.14.  0 x1+ 1 x2- 1 x3 >=  2

            -2 x1+ 3 x2- 1 x3 <=  4

             0 x1+ 2 x2- 3 x3 <=  8

                     x2>=0

              x1<=0       x3<=0

            -8 x1+ 4 x2- 1 x3  max

  8.1.3.15. -2 x1+ 2 x2+ 2 x3 >=  4

             2 x1+ 2 x2+ 2 x3 >=  4

             1 x1+ 1 x2+ 0 x3 >=  0

            -2 x1+ 0 x2+ 0 x3 <= -2

                     x2>=0

               x1 и x3 не ограничены по знаку

            -4 x1+10 x2+ 6 x3  min


  8.1.3.16. -1 x1+ 2 x2- 1 x3+ 0 x4 <=  9

             2 x1+ 0 x2+ 0 x3- 2 x4 >= -8

             0 x1+ 1 x2+ 2 x3+ 1 x4 >=-15

                     x2>=0      x4>=0

               x1 и x3 не ограничены по знаку

           -11 x1+ 2 x2- 3 x3+ 3 x4  max

  8.1.3.17.  0 x1+ 1 x2- 1 x3 <=  7

             2 x1- 2 x2- 2 x3 >= -4

            -1 x1- 1 x2+ 0 x3 <= -8

               x1>=0  x2>=0  x3>=0

           -13 x1+ 7 x2+ 4 x3   max

  8.1.3.18.  1 x1+ 2 x2- 0 x3 <=  8

            -1 x1+ 2 x2- 1 x3 <= -2

            -2 x1- 0 x2+ 1 x3 <= -8

               x1>=0  x2>=0  x3>=0

           -11 x1+ 6 x2+ 0 x3   max

  8.1.3.19.  0 x1+ 1 x1- 1 x1 <=  7

            -2 x1- 2 x2- 2 x3 >= -4

             1 x1- 1 x2+ 0 x3 <= -8

               x1>=0  x2>=0  x3>=0

            13 x1+ 7 x2+ 4 x3   max

  8.1.3.20. 1 x1+ 2 x2- 0 x3 <=  8

            -1 x1+ 2 x2- 1 x3 <= -2

            -2 x1- 0 x2+ 1 x3 <= -8

                     x2>=0  x3>=0

               x1 не ограничен по знаку

            11 x1- 6 x2+ 0 x3   min


  1.  Транспортная задача

Обучающийся должен выбрать задачу с номером 8.1.4..

Здесь .  – остаток от деления нацело числа  на 20,  – номер обучающегося в списке группы.

В задачах данного раздела используются следующие обозначения:

А – вектор объемов поставок;

В – вектор объемов потребления;

С – матрица транспортных затрат;

X – искомый план перевозок.

Задачи раздела следует решать методом потенциалов, используя в качестве исходного опорного плана план, построенный методом северо-западного угла.

8.1.4.1 А= (22; 36; 18) В= (30; 15; 16; 30)

   4  3  6  5

С = 6  3  5  3

   3  3  3  1

8.1.4.2 А= (4; 7; 41)  В= (12; 8; 25; 24)

   1  3  3  5

С = 3  3  1  4

   1  5  1  2

8.1.4.3 А= (9; 27; 19; 19) В= (27; 5; 12)

   4  3  3

С = 6  4  3

   6  5  4

   4  5  4

8.1.4.4 А= (11; 18; 31; 21) В= (25; 18; 31)

   5  4  5

С = 8  6  2

   6  5  3

   9  4  6

8.1.4.5 А= (11; 17; 23) В= (13; 12; 35; 14)

   1  4  4  3

С = 4  5  1  5

   1  5  1  2

8.1.4.6 А= (26; 41; 11; 19) В= (27; 35; 13)

   5  4  5

С = 8  5  5

   7  7  7

   5  5  7

8.1.4.7 А= (18; 36; 14) В= (23; 32; 17; 4)

   4  5  5  6

С = 2  2  1  3

   5  8  7  7

8.1.4.8 А= (5; 13; 38; 18) В= (9; 6; 32)

   5  5  6

С = 7  5  4

   6  6  5

   9  5  8

8.1.4.9 А= (32; 14; 15; 30) В= (17; 32; 7)

   5  6  5

С = 4  5  3

   5  7  2

   2  7  4

8.1.4.10 А= (25; 38; 12; 19) В= (27; 32; 7)

   4  2  3

С = 7  3  2

   6  5  5

   4  3  2

8.1.4.11 А= (25; 23; 7; 8) В= (21; 15; 6)

   4  3  3

С = 6  4  3

   8  5  4

   4  4  3

8.1.4.12 А= (3; 19; 3; 12) В= (4; 14; 13)

   4  4  3

С = 5  4  2

   4  5  4

   6  5  6


8.1.4.13 А= (18; 12; 1; 4) В= (13; 10; 3)

   1  5  8

С = 4  6  6

   3  9  7

   1  6  6

8.1.4.14 А= (5; 27; 6; 6) В= (7; 16; 12)

   2  5  4

С = 4  6  3

   4  7  5

   2  2  3

8.1.4.15 А= (9; 20; 4) В= (15; 3; 5; 17)

   6  5  6  6

С = 3  1  1  1

   7  7  7  5

8.1.4.16 А= (6; 16; 30)  В= (19; 11; 29; 21)

   2  5  3  6

С = 5  6  4  6

   5  7  5  6

8.1.4.17 А= (19; 16; 13) В= (5; 26; 2; 18)

   4  3  6  4

С = 7  5  5  5

   6  6  4  3

8.1.4.18 А= (17; 29; 17)  В= (15; 23; 15; 24)

   4  3  4  4

С = 6  4  4  4

   4  4  5  2

8.1.4.19 А= (19; 26; 3) В= (22; 17; 12; 5)

   2  1  3  2

С = 6  2  2  2

   5  6  6  3

8.1.4.20 А= (10; 25; 16)  В= (17; 3; 4; 35)

   6  5  8  8

С = 5  1  1  1

  1.  7  6  5

  1.  Матричная игра двух лиц с нулевой суммой

Задачу с номером 8.1.5. решить графически и придумать интерпретацию. Здесь .  – остаток от деления нацело числа  на 20,  – номер студента в списке группы.

В задачах данного раздела используются следующие обозначения:

A – платежная матрица;

P – стратегия первого игрока;

Q – стратегия второго игрока;

– цена игры.

Для нижеследующих платежных матриц найти решения матричных игр (оптимальные стратегии игроков и цены игр) двумя способами: графическим и линейнопрограммным.

8.1.5.1. -12  3  9  5       8.1.5.2.     –8  2  1  1

      A = 0 –5  0 –1                 A = 4 –5  0  0

8.1.5.3.  15  9 15 -6       8.1.5.4.     –6  9 15 15

      A = 0 –5  0 –1                 A = 6  1  6  6

8.1.5.5.   5  6  2  7       8.1.5.6.      1  3  6 -3

      A = 6 –6  6  9                 A =-2  0  2  0

8.1.5.7.   -6 -3            8.1.5.8.      -2  7

      A =-12 -7                       A =-4 –5

          -7  3                           4 –5

           2 –3                          -4 -3

8.1.5.9.   -3 -4            8.1.5.10.      9  1

      A = -1  2                       A =-5  1

           2 -4                          -6  6

          -5 –4                          -3  2

8.1.5.11.  –7  8            8.1.5.12.     -3  3  9  5

      A = -5 -4                       A = 7 –2 10  4

          -8 -7                           

           5–10                          

8.1.5.13.  -8   7           8.1.5.14.     -4  0

      A = -9 -11                      A =-2  0

           4 -11                          5 –2

          -5  –5                         -3  3


8.1.5.15.  9 -1  5  8       8.1.5.16.    -7 -4

      A = 9  9  0  6                 A =-3  2

                                         6 –4

                                        -8 –4

8.1.5.17.  -3 -1           8.1.5.18.     -4  0

      A = -5 -3                       A = 3  0

           5  1                          -7 –2

           1  5                          -1  2

8.1.5.19.  -8  4           8.1.5.20.       4 -6

      A =  4 -8                       A =-6 -4

         -11 -8                         -11  4

         -11 –8                         -10 -6


8.2. Упражнения

Целью данного раздела является изучение идеи решения задачи оптимизации и геометрической интерпретации простейшей оптимизационной модели - линейной оптимизационной модели и ее элементов.

Для успешного изучения решения задачи линейного программирования необходимо ознакомиться со следующими основными положениями теории линейного программирования:

общая постановка задачи линейного программирования;

экономическая интерпретация переменных системы ограничений и критерия общей задачи линейного программирования,

понятие допустимого решения и области допустимых решений (ОДР);

определение линии уровня и градиента для задачи линейного программирования;

принципы оптимальности планового решения;

графическое решение системы линейных неравенств.


Общая постановка задачи линейного программирования

В качестве примера задачи линейного программирования в общей постановке рассмотрим нижеследующую.

8.2.1. Найти вектор , удовлетворяющий следующей системе ограничений:

и доставляющей максимум целевой функции

.

Данная задача иллюстрирует, строго говоря, не полное представление о задаче линейного программирования в общей постанове, но достаточно общее. В ней присутствуют главные элементы задачи линейного программирования:

  1.  Имеется система линейных неравенств-ограничений задачи, включая возможные ограничения на знаки переменных (общая постановка может включать и равенства, хотя задачу с ограничениями-равенствами нетрудно преобразовать в равносильную с ограничениями в виде неравенств).
  2.  Имеется линейная целевая функция задачи, предполагающая поиск ее максимума или минимума.


Экономическая интерпретация задачи линейного программирования

Задача линейного программирования может иметь множество приложений и, соответственно, интерпретаций. Ниже рассмотрим одну из них, называемую «задачей о производственной программе предприятия».

– план выпуска изделий на предприятии (производственная программа):

– объем выпуска изделий 1-го вида;

– объем выпуска изделий 2-го вида

– ограничение ресурсного типа;

– ограничения директивного типа;  

– экономический показатель, отражающий эффективность производства, например, объем выпуска товарной продукции в стоимостном выражении.

В общем виде целевая функция задачи линейного программирования «о производственной программе предприятия» записывается как

,

где – стоимость единицы продукции -го вида,


Поиск области допустимых решений (ОДР) задачи линейного программирования

Наиболее наглядно область допустимых решений иллюстрируется в задаче линейного программирования, содержащей не более 2-х переменных. В экономической интерпретации задачи о производственной программе предприятия это означает, что предприятие может выпускать всего два вида продукции с объемами  и .

Область допустимых решений в задаче линейного программирования задана системой неравенств. Построение ее геометрического аналога проводится в декартовой системе координат с двумя координатными осями  и  (на плоскости). Каждая точка на плоскости представляет собой план (программу) выпуска продукции обоих видов. Координаты этой точки определяют конкретные объемы выпуска 1-го и 2-го видов (см. рис. 8.2.1).

Последовательность графического построения области допустимых решений

  1.  Находится множество точек, удовлетворяющих первому неравенству .

Строится график  подобласти решений, удовлетворяющей равенству .

На графике 1 это прямая I.

Задается пробная точка, явно принадлежащая одной из полуплоскостей, расположенной по одну сторону от прямой. По этой точке определяются все точки полуплоскости, являющиеся решением первого неравенства (см. рис. 8.2.1).

Формального доказательства этого утверждения мы здесь не приводим. Однако для понимания ситуации призываем мобилизовать интуицию и воображение. Рекомендуем представить (можно нарисовать) серию прямых , задавая  как больше 8-ми (например, 9, 10, 11), так и меньше (7, 6, 5). Этого рисунка будет достаточно, чтобы понять, что прямая  является границей, разделяющей область (полуплоскость) допустимых решений для неравенства  и недопустимых (где неравенство не выполняется). Здесь легко сделать обобщение на многомерный случай:  задает границу (плоскость), разделяющую область (полупространство) допустимых решений для неравенства  и недопустимых (где неравенство не выполняется). Аналогично можно представить ситуацию для неравенства  в -мерном случае.

Следующим обобщением будет представление произвольной гиперплоскости , отделяющей полупространство, где условие  выполняется, от полупространства, где оно нарушается.

Рис. 8.2.1. Решение единственно (точка А)

  1.  На этом же графике находится область решений для второго неравенства: .

На плоскости в выбранной системе координат проведена прямая II. Координаты точек, расположенных выше этой прямой удовлетворяют рассматриваемому неравенству.

3) Для третьего неравенства  графически определяется решение. Это все планы , которые лежат выше прямой III.

4) Условия неотрицательности переменных  и  задачи линейного программирования определяют 1 квадрант, точки которого удовлетворяют этим ограничениям

  1.  На рис. 8.2.1 выделим область, являющуюся пересечением всех выделенных полуплоскостей. Эта область называется областью допустимых решений (ОДР). Координаты точек области допустимых решений будут удовлетворять всем ограничениям задачи

Определение линии уровня и градиента целевой функции

задачи линейного программирования

Градиент 

Пусть задана функция  в трехмерном пространстве. Вектор  с проекциями на оси

                                                                 (8.2.1)

называется градиентом функции  и обозначается  

Здесь  есть частная производная функции по переменной ,

Это формальное определение имеет недостаток, поскольку использует координатные оси и оставляет открытым вопрос о независимости понятия градиента от их выбора. Чтобы убедиться в этой независимости, рассмотрим определение производной от функции по заданному направлению  : , которая выражает скорость возрастания функции по направлению . Если через обозначить единичный вектор, проведенный в этом направлении, то

Здесь – скалярное произведение вектора на вектор,

– проекция вектора  на направление (см. рис. 8.2.2).

Наибольшего значения эта производная, очевидно, достигает в том случае, когда , то есть, когда направление градиента совпадает с направлением .

        направление

=                                                   

=

Рис.8.2.2. Иллюстрация максимальности скалярного произведения

векторов при совпадении их направлений

Таким образом, градиент скалярной функции  – это вектор, который по численному значению и по направлению характеризует наибольшую скорость возрастания функции .

Для знакомых с понятием нормали к поверхности легко усмотреть, что направление градиента совпадает с направлением нормали к поверхности уровня  , проходящей через данную точку.

Рассмотрим примеры градиентов различных функций.

Пример 1.    . (Воронка коническая с центром в начале координат). Очевидно, что линии уровня представляют собой концентрические круги   для разных значений константы .

Имеем  .

Соответственно, .

(x1,x2)                                 2x2

                      2x1

Рис. 8.2.3. В данном примере градиент показывает, что в зависимости от местонахождения (x1,x2),быстрее всего выбираться из воронки можно в направлении от ее центра.

Пример 2.    . (Плоская поверхность). Очевидно, что линии уровня представляют собой параллельные прямые   для разных значений константы .

Имеем  .

Соответственно, .

Здесь (при линейной целевой функции) направление градиента не зависит от точки, в которой он вычисляется. На наклонной плоской поверхности все линии уровня параллельны друг другу, подъем быстрее всего осуществляется поперек линиям уровня в постоянном направлении градиента.

Итак, в задачах линейного программирования координаты вектора градиента целевой функции равны коэффициентам при переменных этой функции .

  

Рис. 8.2.4. Взаиморасположение линий уровней и градиента для плоской поверхности

В заключение следует сказать, что понятие градиента легко обобщается на случай -мерной функции .

Понятие линии уровня обобщается понятием поверхности (трехмерный случай) и гиперповерхности ().


Отыскание оптимального решения в области

допустимых решений задачи линейного программирования

На данном этапе рассматривается критерий .

Для решаемой задачи , .

Отобразим графически требование  построением градиента и линии уровня целевой функции.

Градиент представлен (см. рис. 8.2.1) вектором,  отложенным от  начала координат  и определяющим проекцию  на ось  и  на ось .

Прямые, перпендикулярные градиенту, представляют множество точек, для координат которых линейная функция  сохраняет постоянное значение. Эти прямые называются линиями уровня.

Градиент задает направление наискорейшего возрастания целевой функции . Перемещая линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента, находим точку , которая уже принадлежит ОДР и в то же время является первой при достижении линии уровня этой области. Все остальные точки ОДР при дальнейшем перемещении линии уровня в направлении градиента будут доставлять большее значение целевой функции  в сравнении с ее величиной в точке . Поэтому координаты точки  определяют минимальное значение критерия  на изучаемой ОДР.

Точка  образована пересечением прямых IV и II (см.рис.1). Для определения координат этой точки решим систему уравнений:  

Решение: .

Минимальное значение .

Передвижение линии уровня по ОДР будет определять все большие значения . Очевидно, в последней точке касания линии уровня и ОДР будет наблюдаться максимальное значение целевой функции .  Эта точка обозначена  на рис. 8.2.1.

Точка  получена пересечением прямых I и III. Решив систему уравнений: ,

получим координаты точки : .

В этой точке целевая функция  достигает максимального значений . Соответственно план  является оптимальным. Задача имеет единственное решение.

Минимальная прибыль будет получена при реализации на производстве плана . Стоимость товарной продукции при этом плане будет минимальная: .

Всегда ли задача линейного программирования имеет решение и, если решение есть, то всегда ли оно является единственным? Разобраться в этом вопросе могут помочь нижеследующие примеры.

8.2.2.

Найти вектор , удовлетворяющий следующей системе ограничений:

и доставляющей максимум целевой функции:

.

Условие задачи 8.2.2. отличается от условия задачи 8.2.1. отсутствием первого ограничения.

Алгоритм поиска области допустимых значений аналогичен алгоритму, описанному в первой задаче.  Исключение первого ограничения привело к тому, что ОДР оказалась не ограниченной (см. рис. 8.2.5).

Рис. 8.2.5. Целевая функция не ограничена

В этом случае можно определить координаты точки , где целевая функция  получает минимальное значение:

 и  .

Найти максимальное значение критерия  не  удается (целевая функция неограничена): .

8.2.3.

Решить задачу линейного программирования:

Рис. 8.2.6. Область допустимых решений пуста

Постановка этой задачи отличается от условия задачи 8.2.1 значением правой части второго ограничения. Процедура построения первой и третьей прямой, а также определение полуплоскостей, координаты точек которых удовлетворяют этим ограничениям, остается без изменения.

Прямая  обозначена на рис. 8.2.6. цифрой 2, и стрелками показана полуплоскость, точки которой удовлетворяют второму ограничению.

Анализ графического решения рассматриваемых неравенств приводит к выводу, что невозможно найти точки, одновременно удовлетворяющих всем заданным ограничениям. Это означает, что заданная система является противоречивой и область допустимых значений отсутствует

8.2.4.

Решить задачу линейного программирования

 

Решение задачи 8.2.4 представлено на рис. 8.2.7. Область допустимых решений (ОДР) совпадает с ОДР задачи 8.2.1.

Поскольку в данной задаче изменен критерий: ,

то градиент будет иметь проекции .

Из графика видно, что линия уровня параллельна прямым I и II. Это означает, что линия уровня совпадет с отрезком  при поиске  и с отрезком  при определении . В этом случае задача имеет не единственное решение, а множество решений, т.е. все точки отрезка  будут доставлять максимум целевой функции .

Рис. 8.2.7. Решениями являются точки отрезка АС


8.2.5

Ответ 1.1.

8.2.6

Ответ 1.4

2x1+ x28

X=(0, 3)

2x1+ x26

X=(0, 1)

 x1+2x26

zmax=6

-x1+3x23

zmax=-2

x1+3x23

x10     x20

x10     x20

z=- x1+2x2

z= x1-2x2

8.2.7.

Ответ

8.2.8.

Ответ

3x1+ x22

-x1+3x22

zmax

x1+ x23

zmax

x1-2x24

x10     x20

x10     x20

z= x1+x2

z=-3x1+x2

8.2.9.

Ответ

8.2.10.

Ответ

 x1+ x22

2x1- x24

X=(3, 2)

 x1+2x26

Решения

3x1-2x22

zmin=28

x1+3x23

нет

 x11     x22

x10     x20

x10     x20

z=-3x1+ x2

z=12x1-4x2


9. Дисперсионный анализ

9.1. Индивидуальные задания

Индивидуальное задание получается из приведенной задачи прибавлением ко всем значениям объемов складской реализации числа N/20, где N – номер студента в списке группы.

9.1.1. Анализ значимости фактора. С целью разработки мероприятий, направленных на увеличение объема складской реализации на складах территориального управления необходимо выявить такие факторы, которые оказывают наибольшее (существенное) влияние на данный показатель. В результате предварительного экономического анализа, проведенного по 30 складам управления, отобраны несколько факторов, среди которых, в частности, оказался показатель «уровень механизации складских работ». Данные об объемах складской реализации (сотни тыс. руб.) сгруппированные в зависимости от уровня механизации (в %) по обследованным 30 складам, представлены в табл. 9.1.1. Из таблицы видно, что значения объемов складской реализации несколько отличаются при разных уровнях механизации. Однако, возможно, что эти отличия вызваны не столько различиями в уровне механизации, сколько действием каких-то других факторов или случайными колебаниями. Задача состоит в том, чтобы, используя методы однофакторного дисперсионного анализа проверить, существенно ли влияние фактора «уровень механизации» на объем складской реализации.

Таблица 9.1.1

Объемы складской реализации (сотни тыс. руб.)


9.2. Упражнение

9.2.1. Анализ значимости фактора. Решить предыдущую задачу 9.1.1. при N=0, то есть без придания ей индивидуальности.

Прежде, чем приступать к решению задачи, приведем краткие сведения о том, что представляет собой математическая модель однофакторного дисперсионного анализа и какова схема вычислений по этой модели.

Пусть дана случайная величина  и не случайная величина , которая может принимать значения . Величину  будем называть фактором, а  – градациями или уровнями фактора . Математическая модель однофакторного дисперсионного анализа записывается в виде:

,                   (9.2.1)

где  – случайная величина,  - вклад градации  в изменчивость ,  - среднее значение ,  - нормально распределенная случайная величина с нулевым средним и постоянной дисперсией. В задаче   – объем складской реализации,  – фактор «уровень механизации», у которого пять градаций. Будем предполагать, что даны  независимых реализаций случайной величины , при значении фактора  равном , которые обозначим через ;  независимых реализаций  при , которые обозначим через ; и т.д., наконец, даны  реализаций , при . Общее число реализаций обозначим через N, т.е. :

.

Имеем  .

Введем обозначения:

,  ,                      (9.2.2)

где  - Выборочное среднее величины  при i-ой градации фактора  (групповое среднее), m – общее среднее.

Проверка существенности влияния фактора  на случайную величину  сводится к проверке справедливости гипотезы  о равенстве групповых средних, которая может быть формально записана в виде:

                             (9.2.3)

Если гипотеза  справедлива (принимается), т.е. групповые средние  случайной величины , при различных градациях фактора  отличаются незначительно, то влияние фактора  на  признается несущественным, а имеющиеся фактические отличия в средних  объясняются действием каких-то случайных колебаний. Если же гипотеза  отвергается (несправедлива), т.е. существуют по крайней мере два номера , для которых  и  отличаются значительно, то влияние фактора  на  признается существенным.

В качестве проверочной статистики для проверки гипотезы  используется случайная величина   ,  где

, , ,

,  

Случайная величина  при справедливости гипотезы  удовлетворяет распределению Фишера (F – распределению) с () степенями свободы.

Проверка справедливости  осуществляется следующим образом. Задается уровень доверия или уровень значимости , который полагают равным достаточно малому положительному числу (0,1; 0,05 и т.п.) и который количественно характеризует степень риска получения неверного результата. Далее, по значениям  из таблицы распределения Фишера определяется квантиль распределения Фишера , где степени свободы соответственно числителя и знаменателя дроби . После этого осуществляется проверка выполнения неравенства:

.                                           (9.2.4)

Если неравенство (9.2.4) выполняется, то гипотеза  отвергается и делается вывод о существенном влиянии фактора  на величину . В противном случае, т.е. при выполнении противоположного неравенства, гипотеза  принимается и делается вывод о несущественном влиянии фактора  на .

Для более наглядного представления изложенного метода проверки существенности влияния фактора на исследуемую случайную величину можно составить таблицу, отражающую основные элементы однофакторного дисперсионного анализа (см. табл. 9.2.1).

Решение задачи 9.2.1 проведем в соответствии с вычислительной схемой, состоящей из четырех этапов. На первом этапе исходные данные записываются в табличной форме так, как это сделано в первой половине табл. 9.2.2. Отметим, что при составлении расчетной таблицы для упрощения вычислений все значения можно уменьшать (или увеличивать) на одно и то же число, так как значение  от этого не изменится.

Таблица 9.2.1

Основные элементы однофакторного дисперсионного анализа.

Источник

изменчивости

Сумма квадратов

Степени свободы

Средние квадраты

Фактор

Случайное воздействие

Сумма


Таблица 9.2.2

Расчетная таблица однофакторного дисперсионного анализа.

Максимальное число реализаций

Градации фактора

1

2

3

4

5

6

3,0

2,9

3,2

3,3

3,0

3,2

2,7

3,2

2,7

2,8

2,9

2,7

2,9

3,0

3,0

3,0

2,6

2,8

3,7

3,3

3,5

3,3

3,0

3,3

3,0

3,2

3,1

3,6

2,8

3,2

18,6

17,0

17,3

20,1

18,9

3,1

2,83

2,88

3,35

3,15

57,78

48,36

50,01

67,61

59,89

0,12

0,25

0,186

0,275

0,355

На втором этапе вычисляются и заносятся во вторую половину табл. 9.2.2 значения:

,   ,    ,    ,

а также определяются:

,     .

Таким образом,

;

;  ;   ;  ;  

;  

;

;   ;    ;

;

;  ;  ;  ;

;

;

;  ;   ;

Заносим полученные значения в табл. 9.2.2. Далее определяем:

;

;

На третьем этапе находим значения:

,  ,  ,  ,  ,

.

Таким образом:

;  ;

;

;

;

.

На четвертом этапе задаем уровень значимости , находим из таблиц распределения Фишера квантиль  и проверяем выполнение неравенства:

На четвертом этапе задаем уровень значимости , находим из таблиц распределения Фишера квантиль  и проверяем выполнение неравенства:

.

Пусть , тогда =

и делается вывод о существенном влиянии фактора  на случайную величину , т.е. влияние фактора «уровень механизации складских работ» на объем складской реализации существенно.

Необходимо отметить, что существенность (или не существенность) влияния фактора на случайную величину в значительной мере зависит от уровня доверия , т.к. с уменьшением , т.е. с уменьшением степени риска получения неверного результата, значение  увеличивается. Следовательно, может оказаться, что при  выполняется неравенство , т.е. влияние фактора признается существенным, а при , где , выполняется неравенство , т.е. влияние фактора признается несущественным.


10. Экспертные оценки в управленческих решениях

10.1. Индивидуальные задания

Пусть  N – номер студента в списке группы. Если этот номер неизвестен, то в качестве N можно взять день рождения студента в виде двузначного числа.

В качестве индивидуального задания студент выбирает один из вариантов задачи 4 в конце данного раздела. Номер K варианта вычисляется как 1 плюс остаток от деления нацело N на 8 по формуле

K=1+(N)mod 8

Например, N=15.  K=1+(15)mod 8=1+7=8

10.2. Роль и место экспертных оценок

Руководителям разного ранга приходится сталкиваться с необходимостью решения различных задач стратегического и тактического характера.

Это могут быть задачи поиска и выбора общих направлений деятельности, оценка ситуации на рынке, прогноз конъюнктуры рынка и выбор соответствующей стратегии и тактики поведения, более частные задачи выбора экономического партнера, задача подбора кадров и т.д.

Основные трудности, связанные с информационным обеспечением процесса принятия решений, могут быть обусловлены следующим рядом обстоятельств:

  1.  Недостаточная достоверность и полнота необходимой статистической информации (надо иметь ввиду, что даже при наличии достоверных данных о прошлом они не всегда могут служить надежной базой для принятия решений, так как существующие условия могут в дальнейшем измениться);
  2.  Наличие факторов, которые могут повлиять на реализацию решения, но не поддаются контролю со стороны принимающего решение и их нельзя точно предсказать;
  3.  Большие затраты времени и средств на получение необходимой информации, которую в принципе можно получить, но либо не хватает времени, либо нет средств, либо трата средств на получение дополнительной информации представляется нерациональной.
  4.  Информация имеет качественный характер и не имеет количественного измерения (например, степень влияния социальных и политических факторов на реализацию решения);
  5.  Наличие нескольких возможных путей решения и неоднозначность критерия оценки качества решения и т.п.

Это приводит к необходимости широкого применения экспертных оценок в процессе формирования и выбора решений как способа получения информации, позволяющей уменьшить неопределенность.

Экспертная оценка представляет собой индивидуальное мнение специалиста по определенной проблеме, выраженное в некоторой форме.

В процессе принятия решений эксперты выполняют информационную и аналитическую работу по формированию и оценке решений. Все разнообразие задач, решаемых экспертами, можно свести к трем типам:

1. Формирование объектов, что включает в себя

  •  определение возможных событий и явлений: (прогнозирование),
  •  построение гипотез,
  •  формулирование целей, разработку программ деятельности,
  •  определение ограничений, условий, критериев,
  •  выделение признаков и показателей для описания свойств объектов,
  •  определение взаимосвязей объектов и т.п.
  •  разработку вариантов решений проблемы,

2. Оценка характеристик, что включает в себя:

  •  оценку достоверности событий и гипотез,
  •  измерение и оценку важности целей,
  •  измерение значений признаков и показателей, оценку значений критериев при выборе альтернатив,
  •  оценку предпочтений.

3. Формирование и оценка характеристик объектов с целью выбора рационального решения, что включает в себя комплексное объединение в единой задаче элементов первых двух типов задач.

Сущность метода экспертных оценок состоит в получении формализованной обобщенной оценки мнений коллектива специалистов по тому пли иному вопросу.

Применение метода экспертных оценок осуществляется следующими этапами:

1) организация проведения экспертного опроса,

2) получение от экспертов информации,

3) обработка результатов опроса,

4) определение обобщенной оценки (интерпретация) мнений экспертов.

10.3. Организация экспертного опроса

Все методы проведения экспертных опросов, разработанные к настоящему времени, можно разделить, в основном, на две группы: методы групповых экспертных опросов и методы получения индивидуальных экспертных оценок. Наиболее простым и распространенным методом проведения экспертного опроса является метод анкетирования.

На примере этого метода рассмотрим порядок проведения экспертных опросов и основные методы обработки результатов экспертизы.

Порядок и этапы проведения экспертных опросов (анкетирование)

Получение индивидуальных экспертных оценок методом анкетирования можно разбить на следующие этапы:

1. Определение цели экспертизы:

  1.  четкая постановка задачи исследования;

обоснование целесообразности использования экспертных оценок (ЭО) в конкретном исследовании;

  1.  определение места ЭО в общем решении проблемы;
  2.  выбор путей использования полученных результатов.
  3.  Выбор метода анкетирования (опрос по телефону, рассылка анкет по почте и т.д.)
  4.  Подготовка к опросу:
  5.  выбор и инструктаж лиц, проводящих опрос;

выбор группы экспертов, предварительная проверка их компетентности;

составление анкеты с учетом всех особенностей конкретной задачи и выбранного метода анкетирования;

ознакомление групп экспертов с целью исследования; предварительное разъяснение работы, которую они должны выполнить.

  1.  Осуществление опроса.
  2.  Обработка результатов анкетирования:
  3.  представление данных в удобной для дальнейшей обработки форме (сводные таблицы);
  4.  проверка согласованности мнений экспертов;
  5.  получение обобщенного мнения.
  6.  Анализ и интерпретация результатов.

Рассмотрим подробнее некоторые из этих этапов.

Формирование группы экспертов и оценка их компетентности

При формировании группы экспертов необходимо учитывать насколько кандидат в эксперты соответствует тем требованиям, которые предъявляются к эксперту. Прежде всего желательно, чтобы уровень квалификации экспертов соответствовал уровню квалификации специалистов, ответственных за принятие решений по данной совокупности проблем. Вместе с тем эксперт и его оценки должны обладать следующими чертами: эксперт должен быть признанным специалистом в данной области знании, оценки эксперта должны быть стабильны во времени, наличие дополнительной информации о прогнозируемых признаках лишь улучшает оценку эксперта, эксперт должен обладать некоторым опытом успешных прогнозов в данной области знаний.

При формировании рабочей группы экспертов необходимо выявить работоспособную сеть экспертов. Это можно осуществить, например, следующим образом. Выбирается любой специалист, имеющий большой опыт работы в области анализируемой проблемы (публикации, практические результаты и т.д.). К нему обращаются с просьбой назвать 10 наиболее компетентных, по его мнению, специалистов по данной проблеме. Затем обращаются одновременно к каждому из десяти названных специалистов с аналогичной просьбой. Из полученного списка специалистов вычеркиваются десять первоначальных, а к остальным обращаются с этой же просьбой. Данную процедуру повторяют до тех пор, пока ни один из вновь названных специалистов не добавит новых фамилий к списку экспертов, т.е. пока не стабилизируется сеть экспертов. Полученную сеть экспертов можно считать генеральной совокупностью специалистов, компетентных в области исследуемой проблемы. Из этой совокупности формируется рабочая группа экспертов.

Хотя на практике стремятся к минимально возможному числу экспертов в группе, численность группы не должна быть малой, т.к. в этом случае теряется смысл применения групповых оценок, и на групповую оценку сильно влияет оценка каждого эксперта. Считается, что нижняя граница численности группы экспертов должна быть не меньше числа оцениваемых событий, явлений, параметров.

Результативность экспертных оценок во многом зависит от степени компетентности экспертов. Показатель степени компетентности эксперта должен учитывать его опыт и квалификацию, он является основной характеристикой эксперта и используется при определении групповых оценок.

Существуют различные приемы оценки компетентности экспертов. В ряде случаев компетентность экспертов может оцениваться руководителем вышестоящего звена управления, который каждому эксперту приписывает "вес", характеризирующпй его компетентность. Компетентность экспертов может быть оценена и самими экспертами, входящими в экспертную группу. При этом каждый эксперт задает оценки всем экспертам, кроме себя. Оценка компетентности каждого эксперта определяется как среднеарифметическая полученных оценок.

Компетентность экспертов может быть определена и в результате анализа специально вводимой в анкету опроса графы "относительная самооценка эксперта". Эксперту предлагается сделать отметку на шкале (от 0 до 10), исходя из уровня своей компетентности по заданному вопросу. Примерные оценки отражены ниже в таблице 1.3.1.

Затем определяется "вес" эксперта путем нормирования (деления указанной экспертом величины балла на высший балл – 10). Значения весовых коэффициентов можно рассматривать как вероятности выдачи экспертом достоверной оценки.


Таблица 1.3.1. Оценки степени знакомства с проблемой

Степень знакомства с проблемой

Балл

Специализация по данному вопросу, авторство или соавторство в разработках по данной проблеме (высший балл)

10

Участие в практическом решении вопроса, который  входит в сферу узкой специализации (несколько меньше)

8

Хорошее знание вопроса, т.к. он тесно связан с его узкой специализацией (смежная область деятельности) (половина высшего балла)

5

Знакомство с проблемой по литературным источникам, с опытом работы других (еще меньше)

3

Полное незнание проблемы

0

10.4. Виды экспертных оценок

Методика статистической обработки материалов экспертного опроса зависит от характера информации, поступившей от экспертов, которая в свою очередь связана с целью экспертизы и с теми задачами, которые были поставлены перед экспертами. Экспертная информация может выступать в качественной или количественной форме. Информация в качественной форме может касаться, например, вопроса о том, произойдет событие или нет.

Многие ситуации принятия решений, в которых используются экспертные методы, предполагают, что предмет оценки в них может быть не только описан, но еще и измерен. В этом случае качественные представления людей отображаются в числовом виде.

Постановка задачи измерений формулируется следующим образом:

Дан набор некоторых объектов (факторов) и эксперта просят поставить каждому объекту числовую оценку его величины. Под объектами можно понимать и один объект, но в разные моменты времени.

Цель экспертизы и характер исходной информации определяют методы решения задачи и степень требований к свойствам оценок экспертов.

Существует раздел научных знаний - «теория измерений». В нем основополагающее место занимает вопрос о «шкалах измерений». Проводя экспертизу и стремясь дать количественную оценку предмету исследования, эксперт выбирает ту или иную «шкалу измерений». В теории измерений рассматриваются следующие «шкалы измерений»:

  •  шкала наименований,
  •  шкала порядков,
  •  шкала интервалов,
  •  шкала отношений.

Наиболее простой задачей экспертного оценивания является задача классификации объектов. Постановка задачи не требует использования чисел для ее решения, поэтому классам можно присваивать и оригинальные имена. Так, например, задача классификации автомобилей может решаться отнесением их к классам с именами «Жигули», «Мерседес», «Рено», и т.п., или к классам «грузовые», «легковые» и т.п. Но если все-таки для обозначения классов были задействованы числа, то некорректно выполнять с этими числами арифметические операции. Числа, обозначающие классы не могут использоваться для определения каких-либо соотношений между классами, даже простого предпочтения – лучше/хуже, потому что по смыслу они являются всего лишь маркерами введенных классов. Ограничения в действиях над этими числами трактуются как их свойства, т.е. числа, обозначающие классы имеют лишь «маркерные» свойства и никаких других. Они не могут сравниваться, складываться, делиться – говорят, что они не обладают свойствами позволяющими производить эти действия. Числа, проставленные экспертами считаются измерениями проведенными в шкале наименований. Такое соотнесение со специальной шкалой является непосредственным указанием на специфику свойств этих чисел.

Основными требованиями при работе в шкале наименований являются запрет на: а) приписывание одного и того же числа различным классам, б) приписывание различных чисел одному и тому же классу, в) работы с пересекающимися классами.

Какую же новую информацию можно получить с помощью подобной процедуры оценки? Например, выяснить, какое количество объектов окажется в каждом классе, после чего полезным будет получить процентное распределение объектов по классам.

В качестве примера можно рассмотреть следующую задачу. Необходимо произвести экологическую оценку существующего парка автомобилей. Имеются несколько уровней экологических норм. В соответствии с ними вводят экологические классы. Классам можно дать имена, а можно приписать и номера. Все автомобили разносятся по классам. Подсчитывается процентное распределение автомобилей по классам. Делаются выводы о состоянии экологической обстановки на дорогах.

Следующей по сложности можно считать задачу упорядочивания объектов. Такая задача, например, решается судьями на некоторых соревнованиях. Целью является распределение спортсменов по местам, а оценка «расстояний» между местами при этом не производится, т.е. судьям нужно ответить только на вопрос какой спортсмен «сильнее/слабее», «лучше/хуже», а ответ на вопрос на сколько «лучше/хуже» или во сколько раз «лучше/хуже» либо не рассматривается, либо ответ на него невозможен. В этом случае говорят, что оценки получаются в шкале порядков (рангов) Главной задачей такой оценки является выстраивание объектов по порядку, причем не важно по какому – по убыванию или по возрастанию.

Разрешенные операции с полученными числами, которые называют рангами, ограничены операциями сложения и усреднения, поскольку при проставлении оценок отсутствовали требования учета величины их различий.

Ранжированием называется расположение ряда объектов (факторов, проблем, альтернатив и т.д.) в порядке возрастания (убывания) какого-либо присущего им свойства.

Ранжирование в экспертных исследованиях связанных с задачами принятия решений используется и как самостоятельный метод анализа объектов исследования, и в сочетании с другими методами.

Ранжирование, в основном, применяется в том случае, если нужно только упорядочить объекты по какому-либо измеримому признаку, но более точного измерения его производить не требуется.

С помощью ранжирования производится также упорядочивание явлений во времени, устанавливается очередность исследований.

К ранжированию прибегают и в том случае, когда анализируемые явления (факторы) имеют различную природу и вследствие этого несоизмеримы. В этих случаях можно установить с помощью ранжирования относительную значимость, место каждого явления с точки зрения общей решаемой проблемы.

При ранжировании эксперт должен расположить  анализируемых объектов в порядке предпочтения и приписать им числа натурального ряда () — ранги.

При этом наиболее предпочтительный объект получает ранг , а ранг наименее предпочтительный объект. При этом число ранжируемых объектов должно быть равно числу рангов. При проведении экспертного оценивания эксперт может посчитать важность нескольких объектов одинаковой и присвоить этим объектам одинаковые ранги. В таких случаях говорят, что имеется экспертиза со связанными рангами. Для дальнейшей корректной математической обработки оценок, их необходимо пересчитать. Для одинаковых рангов новые значения равны среднему из суммы мест, которые они поделили между собой. Ранги после пересчета называют стандартизированными рангами. Покажем процедуру пересчета рангов на примере.

Пример

В результате экспертизы пять объектов получили следующие ранги:

Объект

1

2

3

4

5

Ранг

1

2

3

3

2

Тогда объектам 2 и 5 приписывается стандартизированный ранг: , а объектам 3 и 4 ранг . В результате получаем следующую ранжировку:

Объект

1

2

3

4

5

Ранг

1

2,5

4,5

4,5

2,5

Главным условием, которого удается достичь пересчетом, является равенство суммы рангов сумме номеров объектов (в примере для связанных рангов оно равнялось , а для стандартизированных ). Это условие является необходимым при использовании различных методов обработки экспертных оценок в виде рангов.

При ранжировании объектов может производиться как индивидуальное экспертное оценивание, так и групповое. Результатом индивидуального экспертного оценивания является таблица, которую составляет каждый эксперт по результатам своей работы. Примером такой таблицы индивидуального экспертного оценивания может служить таблица оценки видов транспорта. Но результатам ранжирования определяется итоговая сумма рангов по каждому объекту и затем устанавливается результирующий ранг — место каждого объекта по оценке эксперта с учетом всех важных для него критериев.


Пример

Оценка23 различных видов транспорта крупных грузоотправителей

Оценка (ранги) различных видов транспорта крупных грузоотправителей

ранспорта п

э критерия

м крупных гр

узоотправите

лей

Критерии

Виды транспорта

оценки

Железно-дорожный

Водный

Автомобильный

Трубопроводный

Воздушный

Скорость (время доставки от двери до двери)

3

4

2

5

1

Частота отправок (по плану в сутки)

4

5

2

1

3

Надежность (соблюдение графиков доставки)

3

4

2

1

5

Перевозочная стабильность (способность пер. разные грузы)

2

1

3

5

4

Доступность (число обслуживаемых географических точек)

2

4

1

5

3

Стоимость (за тонно-милю)

3

1

4

2

5

Итого суммарный ранг

17

19

14

19

21

Итого результирующий ранг (место)

2

3

1

3

4

Полученные в таблице результирующие ранги являются индивидуальной экспертной оценкой одного эксперта.

При ранжировании объектов несколькими экспертами производят суммирование индивидуальных рангов и для каждого объекта определяют суммарный ранг. Затем, исходя из величины суммарных рангов, устанавливают результирующий ранг для каждого объекта. Наивысший ранг, равный , присваивают объекту, имеющему наименьший суммарный ранг. Остальные объекты упорядочиваются в соответствии с величиной суммарного ранга.

В нижеследующей таблице показаны результаты ранжирования проблем несколькими экспертами.

При организации опроса экспертов с применением ранжирования стремятся к тому, чтобы число оцениваемых объектов было не очень велико, иначе ухудшается "различимость" объектов и, следовательно, точность и надежность экспертных оценок. Считается, что количество ранжируемых объектов должно быть не более . А наиболее надежны оценки, если . Метод ранжирования чаще применяется в сочетании с другими методами экспертных оценок.

Пример

Номер

эксперта

Номер проблемы

1

2

3

4

5

1

1

4

3

2

5

2

2

1

3

4

5

3

4

3

5

2

4

1

3

4

2

5

5

5

4

2

3

1

6

4

1

3

2

5

Суммарный ранг

17

16

20

14

23

Результирующий ранг важности проблемы

3

2

4

1

5

Решая задачу оценивания, например, анализируя факторы по степени их важности для решения проблемы, эксперты могут приписывать каждому фактору определенные оценки (баллы) в соответствии с заранее выбранной шкалой оценок. Чаще всего используются три шкалы оценок: от  до , от  до , от  до , могут быть использованы и любые другие шкалы оценок.

Задание шкалы означает введение единицы измерения, в количествах которых эксперту предлагается оценить интервалы между объектами. На это указывает и название шкалы, к которой относятся такие оценки – шкала интервалов. Примерами интервальных шкал являются температурные шкалы по Цельсию и Фаренгейту, различные шкалы календарного времени, где переход от одной шкалы к другой может быть выполнен с помощью линейного преобразования. Такой переход между шкалами осуществляется благодаря условности нуля: Нулевая точка вовсе не означает точку, в которой отсутствует измеряемое свойство, например, температура по Цельсию.

Оценки, полученные в этой шкале, приближаются по своим свойствам к обычным числам, поэтому шкала интервалов характеризуется как количественная. Оценки можно вычитать с целью получения информации о том, на сколько больше/меньше измеряемое свойство у объектов. Но вопрос о том, во сколько раз больше/меньше и в этой задаче не рассматривается, а значит нельзя использовать операции деления и умножения.

При оценке объектов группой экспертов все эксперты могут выбирать для оценивания одинаковую шкалу оценок, но могут и разные.

Методы экспертного оценивания в виде баллов широко применяются в задачах принятия решений при выборе многокритериальных альтернатив.

На основе индивидуальных оценок определяются средние оценки каждого фактора. Средняя оценка в баллах может быть вычислена как среднеарифметическая оценка из индивидуальных оценок, приписанных экспертами каждому фактору, т.е.

.

где средняя оценка важности -го фактора;

 оценка (в баллах) -го фактора -ым экспертом;

число экспертов.

Нередко для выбора более предпочтительного фактора (объекта, критерия) сначала их нормируют, а затем ранжируют. Ранг  приписывают максимальной оценке, а ранг  минимальной.

Пример

Для более наглядного представления степени предпочтительности факторов (объектов) оценки важности, приписанные факторам каждым экспертом, нормируются. С этой целью каждая оценка, данная экспертом фактору, делится на сумму оценок, приписанных этим экспертом всем факторам, т.е.

.

В результате нормирования сумма оценок каждого эксперта будет равна . Например, из таблицы нормированная оценка 1-го фактора 2-ым экспертом определится как

.

Факторы

1

2

3

Оценки важности

1 эксперт

1

0,4

0,6

факторов

2 эксперт

0,9

1,8

0,3

Нормированные оценки

1 эксперт

0,5

0,2

0,3

важности факторов

2 эксперт

0,3

0,6

0,1

Ранги важности

1 эксперт

1

3

2

факторов

2 эксперт

2

1

3

Суммарный ранг важности

3

4

5

В задачах, которые требуют ответа на вопрос во сколько раз один фактор больше/меньше другого должны использоваться процедуры оценки, обладающие большей точностью (и соответственно, большей вычислительной сложностью. В процессе их выполнения осуществляется своего рода калибровка системы представлений эксперта и тем самым предполагается уточнение экспертом своих суждений.

Суть подхода заключается в измерении объектов через наименее значимый, который используется в качестве единицы измерения. Это равноценно тому, что при измерении в шкале интервалов удалось указать точку отсутствия свойства (полноценный ноль). Оценки, отвечающие таким свойствам, считаются измеренными в шкале отношений. Сложность процедур здесь вознаграждается получением полноценных числовых оценок.

Оценки в шкале наименований и ранговой шкале считаются качественными, а в шкале интервалов и шкале отношений количественными. Выполнение с оценками вычислений, не разрешенных для шкалы, приводят к искажению результатов или неправильным выводам.

10.5. Анализ и совершенствование экспертизы

10.5.1. Ошибки ранжирования

Трудности использования ранжирования и оценки для большого числа объектов (факторов, альтернатив) можно в определенной степени уменьшить, если предложить экспертам произвести сравнение этих объектов попарно с тем, чтобы установить в каждой паре наиболее важный (значимый).

Для облегчения этой процедуры составляют матрицы парных сравнений, в которых все объекты () записываются в одном и том же порядке дважды: в верхней строке и в крайнем левом столбце.

Приведем форму матрицы парных сравнений .

Таблица 10.5.1.1.

Матрица парных сравнений

1

2

...

...

1

-

2

-

...

...

-

Каждый эксперт, заполняющий такую матрицу, должен проставить на пересечении строки и столбца для двух сравниваемых факторов оценку — . В зависимости от того, является ли фактор  более предпочтительным, чем фактор , эта оценка равна  или  соответственно В главной диагонали такой матрицы проставляются прочерки или нули. Затем, в зависимости от числа предпочтений, для каждого фактора определяется суммарный ранг.

В приведенной матрице (Таблица 10.5.1.1) фактор С имеет наивысший суммарный ранг — 3, фактор D — 2, фактор А — 1, фактор В — 0. Затем могут определяться веса каждого фактора

В некоторых случаях сначала осуществляется предварительное ранжирование факторов, а затем с помощью метода парных сравнений производится уточнение их предпочтительности.

Таблица 10.5.1.2. Матрица  предпочтений для ранжирования
с помощью парного сравнения

-

1

0

0

1

1/6

0

-

0

0

0

0

1

1

-

1

3

1/2

1

1

0

-

2

1/3

Поскольку обычно в процедуре участвуют несколько экспертов, сначала каждый из них заполняет матрицу , а затем полученные индивидуальные предпочтения суммируются с учетом мнений всех экспертов.

Существуют различные варианты частичного парного сравнения. Так, например, эксперту могут предложить сравнить заранее сгруппированные пары факторов, где он должен лишь указать наиболее предпочтительный; в этом случае каждый фактор сопоставляется только с каким-либо другим.

Может быть заранее подготовлена матрица частичного парного сравнения, в которой одна группа факторов (целей, альтернатив, критериев) сопоставляется со всеми другими, тогда как остальные факторы сопоставляются лишь с некоторыми.

Метод парного сравнения обладает еще одним ценным свойством – он позволяет обнаружить противоречивость в оценках и тем самым проверить компетентность эксперта. Для проведения такого анализа необходимо построить фаф заключений эксперта. Граф состоит из вершин соответствующих объектам и ветвей их соединяющих. Ветви являются ориентированными т.е. их направление соответствует проставленному предпочтению (от большего к меньшему).

Предположим24, что нам даны три объекта и эксперт высказал следующие предпочтения: X>Y>Z>X или X<Y<Z<X. В этом случае будем говорить, что предпочтения по трем объектам характеризуются цикличностью или что предпочтения «несовместны». С помощью диаграммы можно показать, что цикличные предпочтения по трем объектам позволяют, двигаясь вдоль стрелок, последовательно обойти все вершины треугольника X Y Z.

Необходимым и достаточным условием того, что предпочтения могут быть выражены с помощью последовательности рангов, служит отсутствие цикличных предпочтений.

Наличие циклов в оценках говорит либо о невнимательности эксперта, либо о недостаточной его компетентности, т.е. нечетком его представлении о соотношении объектов по предложенному критерию. В графе может быть несколько циклов, и длины их могут быть разными. Нередки случаи, когда всего лишь одна оплошность эксперта приводит к возникновению нескольких циклов. Естественно предположить, что чем большее число циклов в графе, тем меньше компетентность эксперта.

Пример

Обойная фабрика приготовила к выпуску 5 вариантов обоев с новыми рисунками. Для того, чтобы спланировать объемы первого выпуска необходимо спрогнозировать спрос для каждого рисунка. К решению задачи привлекли четырех экспертов. Первый из них расставил предпочтения, так как приведено ниже. Место рисунка в паре значения не имеет, поэтому каждая пара предъявлялась только один раз.

p1 > р2 р2 < р3  р3 > р4 р4 > p5

p1 < р3 р2 < р4  р3 < p5

p1 > р4 р2 > p5

p1 > p5

Матрица парных сравнений, заполненная на основе этой экспертизы, выглядит следующим образом:

p1

р2

р3

р4

p5

v

w

p1

1

0

1

1

3

0,3

р2

0

-

0

0

1

1

0,1

р3

1

1

-

1

0

3

0,3

р4

0

1

0

-

1

2

0,2

p5

0

0

1

0

-

1

0,1

В столбце V матрицы проставлены количества единиц по строкам. Эти значения являются ранговыми оценками рисунков, в которых наиболее значимый имеет наибольшую величину.

В столбец W проставлены весовые коэффициенты вариантов рисунков обоев. Они получаются делением каждого значения из столбца V на общую сумму рангов.

Проведем анализ компетентности экспертов. Для этого построим граф заключений первого эксперта.

Анализ графа выявляет наличие в нем циклов предпочтения: р1531  и  р3453 т.е. ситуаций когда невозможно сказать какой же рисунок является предпочтительней поскольку мы оказались в ситуации «кольца» у которого нет начала и нет конца (в математике это называется нарушением принципа транзитивности)

В рассматриваемом примере ситуацию можно легко исправить. Это возможно благодаря тому, что оба цикла имеют общую ветвь -р53. Если изменить ее направление, а это, значит, поменять предпочтения между пятым и третьим объектом, то оба цикла сразу исчезают и новые циклы не появляются. После исправления таблица и граф будут выглядеть следующим образом.

p1

р2

р3

р4

p5

v

w

p1

-

1

0

1

1

3

0,3

р2

0

-

0

0

1

1

0,1

р3

1

1

-

1

1

4

0,4

р4

0

1

0

-

1

2

0,2

p5

0

0

0

0

-

0

0,0


10.5.2. Оценка близости мнений экспертов

Групповая оценка, данная экспертами, может считаться достаточно надежной только при условии хорошей согласованности мнений экспертов, входящих в группу. Поэтому статистическая обработка информации, полученной от экспертов, должна включать в себя оценку степени согласованности мнений экспертов и выявления причин их расхождения.

В общем случае статистический анализ согласованности оценок экспертов и получение групповой оценки включает:

  •  оценку степени согласованности по каждому признаку в отдельности и в целом по всему набору;
  •  выделение группы экспертов с «близким» мнением в случае существенных расхождений в ответах;
  •  выявление причин разброса мнений, определение влияния компетентности и других качеств экспертов на содержание ответов;
  •  формирование группового решения.

Числовые значения экспертных оценок можно рассматривать как реализацию случайной величины и для оценки согласованности и разброса мнений экспертов использовать методы математической статистики.

Рассмотрим некоторые статистические способы анализа согласованности оценок, полученных от экспертов.

Определение степени согласованности мнений экспертов
при оценке одного параметра

Если осуществляется количественная оценка какого-либо одного параметра объекта (например, прогноз времени свершения события, вероятности осуществления события в указанный срок, прогноз цены и т.д.), в этом случае каждый из  экспертов, участвующих в опросе, дает одну оценку –   ().

Оценка может быть точечной или интервальной.

После получения индивидуальных экспертных оценок производится их анализ. При этом, как и при других видах экспертного опроса определяется показатель обобщенного мнения экспертов, дастся оценка разброса и согласованности мнений экспертов.

Для анализа разброса и согласованности оценок, полученных от экспертов, применяются обобщенные статистические характеристики — средние и меры разброса.

В качестве средней может выступать средняя арифметическая оценка или медиана.

Существуют два основных метода измерения разброса: вариационный размах и средние отклонения.

Для оценки вариационного размаха (амплитуда колебаний)    часто используют крайние значения признака –  и  .

Используют и другие виды вариационных размахов – например, вариационный размах между третьим и первым квартилями (Q3 - Q1).

Рассмотрим два способа анализа экспертных оценок: в первом способе в качестве показателя обобщенного мнения будет выступать средняя арифметическая, во втором используется медиана распределения оценок.

В первом случае в результате обработки экспертных оценок могут быть получены следующие показатели:

среднее значение оценок (точечная оценка для данной группы экспертов), характеризующая их обобщенное мнение:

.

дисперсия оценок, характеризующая разброс мнения отдельных экспертов относительно среднего значения:

.

среднее квадратическое отклонение, характеризующее указанный разброс в размерности, совпадающей с размерностью величины :

.

коэффициент вариации, который служит мерой согласованности мнений экспертов:

.

Помимо точечной оценки обобщенного мнения экспертов можно получить и интервальную оценку, область, в которую с заданной вероятностью    попадет значение оцениваемой величины:

.

При предположении нормальности распределения случайной величины  интервальную оценку можно представить следующим образом:

,

где   – квантиль -распределения Стьюдента с  степенями свободы и уровнем значимости .

Мнение экспертов, далеко отстоящее от средней оценки, принятой за обобщенное мнение, могут считаться противоречащими обобщенному мнению.

Рассмотрим второй способ анализа индивидуальных экспертных оценок, при котором в качестве показателя обобщенного мнения экспертов используется медиана. Под медианой понимается такое значение прогнозируемого признака, которым обладает центральный элемент ряда, составленного в порядке возрастания значений признака.

Если в результате экспертного опроса получены точечные оценки, т.е. рассматриваемый ряд значений признака является дискретным, то медианным значением признака обладает член ряда с номером

,

где число членов ряда (экспертов).

Если рассматривается интервальный ряд, то медиана вычисляется по формуле:

,

где нижняя граница интервала, в котором лежит медиана;

порядковый номер того члена с начала ряда, на который приходится медиана;

 сумма частот во всех интервалах, предшествующих медианному;

частота медианного интервала;

– величина интервала.

Значение медианы принимается за усредненное значение данного показателя. В качестве показателей разброса индивидуальных мнений экспертов рассчитываются специальные показатели – квартили.

Квартили представляют собой такие значения изучаемого признака, которые делят ряд на четыре равные по численности части. Квартили и медиана разбивают совокупность оценок на четыре равночисленных группы. Вычисление квартилей аналогично вычислению медианы. Оценки, попавшие в первый и четвертый квартили характеризуют разброс оценок, данных экспертами.

Но при анализе мнений экспертов необходимо иметь ввиду и то, что противоречивость мнения эксперта остальным может объясняться тем, что он лучше других представляет ситуацию. Поэтому при наличии противоречивых мнений необходимо тщательно изучать доводы экспертов в пользу своих оценок, возможно проведение дополнительных туров опроса (по форме метода Дельфи) или формирование новых групп экспертов.

Пример

Пусть в результате опроса 53 экспертов относительно времени реализации некоторого события получили распределение, приведеное в нижеследующей таблице.

Рассчитаем все необходимые показатели для нахождения медианы:

1)   2)

3)   4)   5) .

время свершения события (начиная с 1980 г. число лет)

число ответивших экспортеров (частота ответов)

накопленные частоты ответов экспертов

5-10

6

6

10-15

7

13

15-20

10

23

20-25

10

33

25-30

6

39

30-35

4

43

35-40

5

48

40-45

3

51

45-50

1

52

50-55

1

53

Подставим найденные значения в формулу

.

Получим:    

Значение медианы говорит о том, что согласно групповому мнению экспертов следует ожидать свершения события через 22 года от начала анализируемого периода, т.е. в 2002 (1980+22 года).

Вычисление квартилей аналогично вычислению медианы. В нашем примере номер эксперта, которому соответствует оценка, равная первому квартилю  = 53/4 = 13,25. т.е. приблизительно равен 13, а номер эксперта, оценка которого определяет третий квартиль   = (53*3)/4 = 39,75, т.е. приблизительно равен 40.

Применяя способ расчета, аналогичный расчету медианы по ряду накопленных частот, определим QI и QIII.

 .

Следовательно, разброс экспертных оценок составляет диапазон от 15 до 31,25.

Определение степени согласованности мнений двух экспертов
при оценке п объектов (признаков)

Эту задачу можно решить, применяя для оценки степени согласованности мнений коэффициент ранговой корреляции Спирмэна, вычисляемый но формуле:

,

где   r1iранг, данный первым экспертом i-му объекту;

r2iранг, данный вторым экспертом i-му объекту;

– число объектов;

разности между рангами сопоставляемых пар оценок.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмэна может иметь значения в интервале от -1 до +1. Чем ближе значение  к числу «+1», тем больше оснований считать мнения экспертов согласованными. Равенство = 1 достигается при одинаковых ранжировках. Значение = -1 имеет место при противоположных ранжировках. При равенстве коэффициента ранговой корреляции нулю ранжировки считаются линейно независимыми.

Обязательным условием применения метода ранговой корреляции является условие равенства суммы  рангов сумме чисел от 1 до , т.е.

,  где  – число оцениваемых объектов.

В случаях, когда имеются одинаковые (связанные) ранги, необходимо рассчитывать стандартизированные ранги.

Коэффициент Спирмэна при наличии связанных рангов:

,

где  ,      .

Здесь показатель связанных рангов в ранжировке -м экспертом,

число групп равных рангов в -й ранжировке,

число равных рангов в -й группе связанных рангов при ранжировке -м экспертом.

Если совпадающих рангов нет, то ,  и .

Суммы  подсчитывается для каждого эксперта, у которого среди оценок оказались совпавшие ранги.

Определение статистической значимости
коэффициента ранговой корреляции

Пример. Два эксперта нижеследующим образом оценили важность 12 проектов (обозначенных условно буквами алфавита).

Проект

Ранг 1-го
эксперта

Ранг 2-го
эксперта

r1i

r2i

d=r1i-r2i

d2

1

А

7

6

1

1

2

Б

8

4

4

16

3

В

2

1

1

1

4

Г

1

3

-2

4

5

Д

9

11

-2

4

6

Е

3

2

1

1

7

Ж

12

12

0

0

8

3

11

10

1

1

9

И

4

5

-1

1

10

к

10

9

1

1

11

л

6

7

-1

1

12

м

5

8

-3

9

Итого

40

Определить степень согласия мнений экспертов.

Для определения статистической значимости коэффициента ранговой корреляции Спирмэна можно воспользоваться критерием , имеющим распределение Стьюдента с  степенями свободы.

Решение

.

Величина коэффициента  свидетельствует, что мнение одного с высокой степенью точности может быть получено линейным преобразованием мнений другого. То есть, имеется «похожесть» мнений обоих экспертов.

Определим статистическую значимость коэффициента корреляции  по критерию Стьюдента   при уровне значимости =0,05.

Табличное значение критерия: .

Наблюдаемое значение критерия

.

Следовательно, с вероятностью  коэффициент ранговой корреляции значимо отличается от нуля. Мнение экспертов находится во взаимном согласии.

Определение степени согласия мнений группы экспертов

В практике экспертного оценивания часто приходится решать задачу оценки  объектов группой экспертов более двух. Были разработаны специальные критерии, позволяющие оценить степень согласованности мнений группы из  экспертов при оценке  объектов.

Наиболее часто для решения данной задачи используется в качестве меры согласованности мнений групп экспертов дисперсионный коэффициент конкордации (коэффициент согласия).

Необходимо иметь ввиду, что коэффициент конкордации применяется в том случае, если оценивание осуществляется методом ранжирования. При использовании балльных оценок предварительно необходимо перейти к ранжированию этих же объектов.

Рассмотрим метод вычисления коэффициента конкордации. Пусть  экспертов оценивают  объектов методом ранжирования. Обозначим  – ранг, присваиваемый -м экспертом -му объекту. Результат ранжирования можно представить в виде матрицы:

Объекты

Эксперты

A1

A2

Ak

An

Э1

r11

r12

r1k

r1n

Э2

r21

r22

r2k

r2n

Эi

ri1

ri2

rik

rin

Эm

rm1

rm2

rmk

rmn

Сумма рангов по каждому столбцу представляет собой вектор с компонентами

, .

Величины  будем рассматривать как реализацию некоторой случайной величины.

Найдем оценку дисперсии по формулам:

  или   ,

где  – оценка математического ожидания, равная ,

– сумма квадратов отклонений рангов от среднего значения,

(можно также  определить по формуле ).

Дисперсионный коэффициент конкордации определяется как отношение дисперсии  оценок группы экспертов к максимальному возможному значению дисперсии  этих оценок:

.

Коэффициент конкордации может принимать значения от нуля до единицы, т.к. .

Максимальное возможное значение дисперсии  равно

,

тогда

.                (*)

Рассмотрим вычисление коэффициента конкордации  на примерах.

Пример25

На должность менеджера по рекламе претендовали четыре кандидата. Оценки кандидатов в порядке предпочтения, данные руководителями фирмы приведены в нижеследующей таблице.

Определить степень согласия мнений экспертов.


Кандидаты

Эксперты

A1

А2

А3

А4

Э1

1

2

3

4

Э2

1

3

2

4

Э3

2

1

4

3

Э4

2

1

3

4

Э5

1

2

4

3

сумма рангов

7

9

16

18

отклонение от среднего

-5,5

-3,5

3,5

5,5

квадраты отклонений

30,25

12,25

12,25

30,25

Решение:             

.

Решение примера в Excel

Concordat

m

n

rsr

W

Коэффициент конкордации

5

4

12,5

0,68

Кандидаты

A1

A2

A3

A4

Эксперты

Э1

1

2

3

4

Э2

1

3

2

4

Э3

2

1

4

3

Э4

2

1

3

4

Э5

1

2

4

3

Сумма рангов

7

9

16

18

Отклонение от средней

-5,5

-3,5

3,5

5,5

S

Квадраты отклонений

30,25

12,25

12,25

30,25

85

Значение коэффициента конкордации  говорит о не очень высоком согласии экспертов (при полном согласии , при полном рассогласовании ).

Формула (*) определяет коэффициент конкордации для случая отсутствия связанных рангов.

Если в ранжировках имеются связанные ранги, то максимальное значение дисперсии в знаменателе формулы  становится меньше, чем при отсутствии связанных рангов. При наличии связанных рангов коэффициент конкордации вычисляется по формуле:

,

где .

Здесь показатель связанных рангов в ранжировке -м экспертом,

число групп равных рангов в -й ранжировке,

число равных рангов в -й группе связанных рангов при ранжировке -м экспертом.

Если совпадающих рангов нет, то ,  и .

В этом случае .

Суммы  подсчитывается для каждого эксперта, у которого среди оценок оказались совпавшие ранги.

Пример

Пусть, например, -й эксперт присвоил следующие ранги: 1; 2; 2; 2; 3; 3; 4.

Первая группа образовалась приравниванием рангов, занимающих места 2, 3 и 4, которые эксперт посчитал неразличимыми. Вычислим стандартизированные ранги для первой группы – (2+3+4)/3=3. Вторая группа получилась в результате неразличения мест с номерами 5 и 6. Соответственно, для второй группы стандартизированные ранги будут равны – (5+6)/2=5,5. Очевидно, что на последнем месте (седьмом) оказывается ранг 7.

После преобразования в стандартизированные, ранги будут нижеследующими: 1; 3; 3; 3; 5,5 ;5,5 ;7.

В первоначальных оценках есть две группы связанных рангов: в первой группе 3 показателя, во второй - два показателя, тогда . величина  вычисляется следующим образом:

= (33-3)+(23-2) = 30.

Пример

Пред фирмой встала задача выбора банка-дилера для представления ее интересов на фондовой бирже. Результаты ранжирования восьми банков A1, А2. А3, A4 A5, А6, А7, А8 пятью экспертами представлены в таблице.

Эксперты \ Банки

A1

А2

Аз

А4

A5

A6

А7

A8

Э1

1

2

2

3

4

5

7

6

Э2

1

1

1

2

3

4

5

6

Э3

1

1

2

3

3

4

6

5

Э4

1

2

2

3

3

4

5

6

Э5

2

1

3

4

5

5

6

7

Имеются связанные ранги. Необходимо произвести преобразование результатов экспертного оценивания. После преобразований оценки будут нижеследующими.

Эксперты \ Банки

А1

Аг

А3

А4

A5

A6

А7

A8

Э1

1

2,5

2,5

4

5

6

8

7

Э2

2

2

2

5

4

6

7

8

Э3

1,5

1,5

3

4,5

4,5

6

8

7

Э4

1

2,5

2,5

4,5

4,5

6

7

8

Э5

2

1

3

4

5,5

5,5

7

8

Сумма рангов

7,5

9,5

13

22

23,5

29,5

37

38

Отклонение от средней

-15

-13

-9,5

-0,5

1

7

14,5

15,5

Квадраты отклонений

225

169

90,25

0,25

1

49

210,25

240,25


.

Поскольку в ранжировках есть связанные ранги, то вычисление знаменателя Dmax необходимо выполнить по формуле:

.

Предварительно вычислим величины Ts. Из таблицы видно, что в ранжировке экспертом Э1 имеется одна группа связанных рангов и в ней содержится два связанных ранга, отсюда T1=(23-2)=6. Соответственно для оценок других экспертов:

T2 =33-3=24;    

Подставляя найденные значения в формулу W получим коэффициент конкордации:

.

Величина коэффициента конкордации довольно большая и свидетельствует о достаточно высокой степени согласованности мнений экспертов.

Проверка статистической значимости
коэффициента конкордации
W

В данном случае, как и в стандартных приемах проверки статистических гипотез, полагают, что суждения экспертов не характеризуются общностью предпочтений. Для проверки этой гипотезы в теории ранговой корреляции рассматривается ряд способов: один из способов применяют, когда т (число экспертов в группе) принимает значения от 3 до 20, а n (число оцениваемых объектов) от 3 до 7.

В методе используется распределение величины S, значения которой, соответствующие 5% и 1% уровням значимости, приведены в Приложении 6.

Если значение S наблюдаемого будет больше указанного в таблице критического значения S, то коэффициент конкордации W значимо отличается от нуля с заданным уровнем значимости α.

Рассмотрим применение этого метода на примерах.

Пример

Оценить статистическую значимость коэффициента конкордации на основе выше рассчитанных данных (пример на стр. 196).

Имеем: W=0,68;  m=5;  n=4;  α=0,05;  S=85

Решение

Табличное значение S для уровня значимости α=0,05, m=5, n=4 равно 62,5. Имеем Sнабл > Sтабл (85>62,6). Следовательно коэффициент конкордации статистически значим, и с вероятностью р=0,05 согласованность оценок не случайна.

Пример

При оценке важности 6 направлений научно-практических исследований 12 экспертами было получено следующее значение W:

.

Можно ли считать полученное значение W значимо отличным от нуля с уровней α=0,05.

Решение:

В таблице Приложения нет величины S, соответствующие 5% уровню значимости при m =12 поэтому находим соседние значения: m=10, S=376,7   и   m=15, S=570,5.

Величина S при m=12 лежит между значениями, соответствующими m=10 и m=15. В данной задаче рассчитанное значение S=1166,4 заведомо больше. Следовательно полученное значение W статистически значимо при уровне значимости α=0,05.

Если число объектов ранжирования более 7 (n>7) используется другая процедура проверки статистической значимости коэффициента конкордации W. Проверка гипотезы осуществляется по критерию

,

который имеет распределение  с  степенями свободы.

Если  (,α) значение W при уровне значимости α значимо отличается от нуля (статистически значим).

Пример

При оценке 10 экспертами конкурентоспособности 12 моделей одежды была получена величина коэффициента конкордации W=0,6. Определить, значимо ли отличие от нуля значения W при уровне значимости α=0,05.

Решение:

Определим наблюдаемое значение :

.

По таблице  приложения найдем табличное значение  при v=n-1=11  степенях свободы  и уровне значимости α=0,05.

Имеем =19,675.

Наблюдаемое значение критерия больше табличного .

Следовательно, коэффициент конкордации W=0,6 значимо отличается от нуля при уровне значимости α=0,05.

Наличие связанных рангов в оценках экспертов не требует изменения в методах проверки статистической значимости, за исключением тех случаев, когда число связей велико или имеется большая их протяженность.

В таком случае значение  может быть определено по формуле:26

.

Пример

Оценить значимость коэффициента конкордации.

Число степеней свободы v=n-1=7. Табличное значение  для v=7 и уровня значимости α=0,05 равно .

Вычислим наблюдаемое значение критерия .

Поскольку 33,63>14,067 т.е.  то коэффициент конкордации статистически значим.

10.5.3. Формирование согласия мнений экспертов

Если по вычисленным оценкам коэффициентов W и  мнения экспертов оказались не согласованными, необходимо предпринять действия к улучшению результатов.

Возможны следующие виды действий:

  •  удалить эксперта, мнение которого существенно расходится с мнением остальных;
  •  распределить экспертов на группы по степени согласованности мнений, и анализ провести отдельно по каждой группе;
  •  удалить объект, вызывающий разногласия.


Удаление эксперта

Для всех пар экспертов рассчитываются ранговые коэффициенты корреляции Спирмэна на основе которых составляется симметрическая матрица. Для случая трех экспертов ее общий вид будет следующим:

.

Выбирается эксперт, у которого   i=1,….,m, т.е. мнение этого эксперта менее всего согласуется с мнением остальных, и удаляется из группы.

Пример

1 эксперт

2 эксперт

3 эксперт

1 эксперт

1

0,5

0,8

2 эксперт

0,5

1

0,7

3 эксперт

0,8

0,7

1

У второго эксперта степень согласованности мнений со всеми экспертами самая маленькая, поэтому его можно исключить из группы.

Может оказаться, что у экспертов большой разброс значений коэффициентов ρik и не очевидно, какого эксперта можно удалить. Тогда для всех экспертов определяют среднюю оценку на основе ρik и удаляют эксперта у которого среднее значение минимально.

После удаления эксперта вычисляют степень согласованности W для оставшейся группы. Если его значение существенно не улучшилось, значит выбранные действия неэффективны.

Удаление объекта, вызывающего разногласие экспертов

Необходимо выбрать объект, у которого дисперсия рангов будет максимальной, т.е.

,    k=1,…,n

где rik – ранг присвоенный k – му объекту i – м экспертом;

– средний ранг для k – го объекта;

m – количество экспертов.

Пример

Объекты

Эксперты

А

В

С

D

1

1

3

2

3

2

2

3

4

1

3

3

2

3

4

2

2,6

3

2,6

Максимальная дисперсия у объекта D, т.е. у него наибольший разброс оценок. Это наиболее спорный объект, если можно, то его удаляют из анализа. Затем выполняют проверку согласованности мнений экспертов без спорного объекта.

10.6. Упражнения

Задача 1

При выборе места строительства нефтеперерабатывающего завода возможные варианты места строительства оценивались с точки зрения следующих критериев:

  1.  стоимость строительства завода;
  2.  время строительства;
  3.  инфраструктура;
  4.  экологическая безопасность;
  5.  близость к потребителям.

Необходимо установить веса критериев. Для решения применить метод парных сравнений.

Задача 2

По условию примера (планирование объемов выпуска на обойной фабрике) провести анализ экспертизы сделанной

а) вторым экспертом

p1>p2     р2З     р34     р45 

р1> рЗ     р2> р4     р3 > р5 

p1< р4    р2 < р5 

p1>p5

б) третьим экспертом

p1 < р2   р2> р3     р3 > р4     р4 < р5

p13   р24     р35

р1> р4   р2> р5

p1<p5

в) четвертым экспертом

p1 < р2    р23     р34     р45

p1<p3    р24     р35

p1 > р4    р2> р5

p1>p5

Задача 3

На номинацию «лучшая шина года» популярного автожурнала было представлено 7 моделей автомобильных покрышек. Результаты разнообразных испытаний было поручено проанализировать 6 экспертам.

Предпочтения экспертов приведены ниже. Постройте по этим данным графы и матрицы парных сравнений. Проинтерпретируйте результаты.


а) оценки первого эксперта.

ш1 > ш2 

ш2 < ш3 

ш3 > ш4 

ш4 < ш5 

ш5 > ш6 

ш6 > ш7 

ш1 < ш3 

ш2 > ш4 

ш3 > ш5 

ш4 > ш6 

ш5 > ш7 

ш1 > ш4 

ш2 < ш5 

ш3 > ш6 

ш4 > ш7 

ш1 > ш5 

ш2 > ш6 

ш3 > ш7 

ш1 > ш6 

ш2 > ш7 

ш1 > ш7 

б) оценки второго эксперта.

ш1 > ш2 

ш2 < ш3 

ш3 > ш4 

ш4 < ш5 

ш5 > ш6 

ш6 < ш7 

ш1 > ш3 

ш2 < ш4 

ш3 < ш5 

ш4 > ш6 

ш5 > ш7 

ш1 > ш4 

ш2 < ш5 

ш3 < ш6 

ш4 > ш7 

ш1 > ш5 

ш2 < ш6 

ш3 > ш7 

ш1 > ш6 

ш2 > ш7 

ш1 > ш7 

в) оценки третьего эксперта.

ш1 > ш2 

ш2 < ш3 

ш3 > ш4 

ш4 < ш5 

ш5 > ш6 

ш6 < ш7 

ш1 < ш3 

ш2 < ш4 

ш3 < ш5 

ш4 > ш6 

ш5 > ш7 

ш1 > ш4 

ш2 < ш5 

ш3 > ш6 

ш4 > ш7 

ш1 < ш5 

ш2 < ш6 

ш3 > ш7 

ш1 > ш6 

ш2 < ш7 

ш1 > ш7 

г) оценки четвертого эксперта.

ш1 > ш2 

ш2 < ш3 

ш3 > ш4 

ш4 < ш5 

ш5 > ш6 

ш6 < ш7 

ш1 < ш3 

ш2 > ш4 

ш3 > ш5 

ш4 < ш6 

ш5 > ш7 

ш1 > ш4 

ш2 < ш5 

ш3 > ш6 

ш4 < ш7 

ш1 < ш5 

ш2 > ш6 

ш3 > ш7 

ш1 > ш6 

ш2 < ш7 

ш1 > ш7 

д) оценки пятого эксперта.

ш1 > ш2 

ш2 < ш3 

ш3 < ш4 

ш4 < ш5 

ш5 > ш6 

ш6 < ш7 

ш1 > ш3 

ш2 < ш4 

ш3 < ш5 

ш4 > ш6 

ш5 > ш7 

ш1 > ш4 

ш2 < ш5 

ш3 > ш6 

ш4 > ш7 

ш1 < ш5 

ш2 > ш6 

ш3 > ш7 

ш1 > ш6 

ш2 > ш7 

ш1 > ш7 

е) оценки шестого эксперта.

ш1 > ш2 

ш2 < ш3 

ш3 > ш4 

ш4 < ш5 

ш5 > ш6 

ш6 < ш7 

ш1 < ш3 

ш2 < ш4 

ш3 > ш5 

ш4 > ш6 

ш5 > ш7 

ш1 > ш4 

ш2 < ш5 

ш3 > ш6 

ш4 > ш7 

ш1 > ш5 

ш2 > ш6 

ш3 > ш7 

ш1 > ш6 

ш2 > ш7 

ш1 > ш7 

Задача 4

На основе ниже приведенных данных определить степень согласованности мнений всей группы экспертов, провести анализ экспертных оценок:

  1.  определить эксперта, мнение которого в наибольшей степени расходится с мнением группы;
  2.  исследовать, улучшит ли показатель W удаление данного эксперта из группы;
  3.  определить объект, вызывающий наибольшее разногласие экспертов;
  4.  исследовать, улучшит ли удаление спорного объекта коэффициент W.

Вариант 1

Вариант 2

   Издания

Читатели

1

2

3

4

5

6

   Издания

Читатели

1

2

3

4

5

6

1

1

2

3

4

5

5

1

2

1

1

3

1

4

2

2

1

3

5

4

6

2

1

2

2

4

2

3

3

1

1

2

5

3

4

3

1

2

4

4

2

3

4

3

1

1

3

1

2

4

1

2

3

4

5

5

5

1

1

1

2

2

2

5

2

3

1

4

4

4


Вариант 3

Вариант 4

   Издания

Читатели

1

2

3

4

5

6

   Издания

Читатели

1

2

3

4

5

6

1

3

1

1

2

1

3

1

3

3

3

1

2

2

2

3

2

2

1

4

5

2

4

3

4

1

2

3

3

1

3

1

2

3

4

3

4

4

4

2

3

1

4

2

4

3

1

2

4

4

5

4

3

2

1

1

5

3

1

3

2

1

3

5

6

5

4

3

2

1

Вариант 5

Вариант 6

   Издания

Читатели

1

2

3

4

5

6

   Издания

Читатели

1

2

3

4

5

6

1

4

3

4

2

2

1

1

5

5

4

3

2

1

2

3

3

2

3

3

1

2

5

4

3

2

1

2

3

4

5

3

5

2

1

3

4

3

4

4

2

1

4

2

6

5

4

1

3

4

3

3

3

4

2

1

5

5

4

5

1

2

3

5

3

2

2

2

1

1

Вариант 7

Вариант 8

   Издания

Читатели

1

2

3

4

5

6

   Издания

Читатели

1

2

3

4

5

6

1

4

3

4

2

2

1

1

3

3

3

1

2

2

2

3

3

2

3

3

1

2

4

3

4

1

2

3

3

4

5

3

5

2

1

3

4

4

4

2

3

1

4

2

6

5

4

1

3

4

5

4

3

2

1

1

5

5

4

5

1

2

3

5

6

5

4

3

2

1



11. Многокритериальные решения

11.1. Индивидуальные задания

Пусть  N – номер студента в списке группы. Если этот номер неизвестен, то в качестве N можно взять день рождения студента в виде двузначного числа.

Задача 1

В качестве индивидуальной задачи многокритериальной оценки в условиях определенности студент выбирает одну из задач с номерами от 1 до 7 в конце данного раздела. Номер K задачи вычисляется как 1 плюс остаток от деления нацело N на 7 по формуле

K=1+(N)mod 7

Например, N=15.  K=1+(15)mod 7=1+1=2

Задача 2

Число M вычисляется как 1 плюс остаток от деления нацело N на 5 по формуле    M=1+(N)mod 5, например, N=15. K=1+(15)mod 5=1+0 = 1

Предполагаемый спрос на книгу в ближайшие четыре года (Тыс. шт.) и вероятности спроса (соответственно) нижеследующи.

Спрос, тыс.шт

M

M+1

M+2

Вероятность

0,1

0,5

0,4

Доход от реализации книги составит 100 руб. за книгу. Если книга не продается, убытки составляют 50 руб. за книгу. Если издатель не удовлетворяет спрос, убытки по неудовлетворенному спросу составляют 10 руб. за книгу (для поддержания репутации фирмы).

Используя по очереди каждое из правил, определите, сколько книг должно быть издано в расчете на четырехлетний период.

Задача 3

Число M вычисляется как 1 плюс остаток от деления нацело N на 5 по формуле    M=1+(N)mod 5, например, N=14. K=1+(14)mod 5=1+4 = 5

Компания рассматривает возможность построить завод. Возможны три варианта:

A. Построить завод стоимостью M+300 тыс. долл. При этом варианте, если спрос будет большим, то ожидается годовой доход в размере 250 тыс. долл. в течение следующих пяти лет, если спрос низкий, то могут быть ежегодные убытки из-за больших капитальных вложений, которые составят 50 тыс. долл. Отдел маркетинга предполагает, что большого спроса следует ожидать в вероятностью 0,7, а низкого – с вероятностью – 0.3.

Б. Построить маленький завод стоимостью 350 тыс. долл. Здесь также возможны большой спрос с вероятностью 0,7 и низкий с вероятностью 0,3.

В случае большого спроса ежегодный доход в течение 5 лет составит 150 тыс. долл., при низком спросе – 25 тыс. долл.

B. Сразу завод не строить, а отложить решение на один год для сбора дополнительной информации, которая может быть позитивной или негативной с вероятностью 0,8 и 0,2 соответственно (например, изменится цена на нефть).

Через год, если информация окажется позитивной, можно построить большой или маленький завод по указанным выше ценам.

Руководство компании может принять решение вообще никакого завода не строить, если информация будет негативной.

Вне зависимости от типа завода вероятности большого и низкого спроса меняются на 0,9 и 0,1 соответственно, если будет позитивная информация. Доходы на последующие четыре года остаются такими же, какими они были в вариантах А и Б.

Все расходы выражены в текущей стоимости и не должны дисконтироваться.

Определить, какой вариант строительства предпочтительнее.

11.2. Формирование многокритериальных решений 

11.2.1. Формирование критериев

Для того, чтобы выбрать лучшую альтернативу, необходимо иметь признак, мерило, по которому ее можно отличить, выделить среди прочих альтернатив. Такой признак носит название критерия. Критерий обладает следующими чертами:

Критерий связан с какой-либо характеристикой, свойством альтернативы;

Эта характеристика является целевым показателем;

Для оптимальной альтернативы данная характеристика должна обладать наилучшим значением с точки зрения лица, принимающего решение, тем самым обеспечивать предпочтительность выбора. Например, оптимальный вариант производственной программы должен обеспечивать максимум прибыли, оптимальный инвестиционный проект минимум риска. Признак, по которому отличается лучший вариант, и есть критерий;

В задачах многокритериального выбора каждая альтернатива, описывается набором целевых показателей. Каждый показатель имеет свой признак – критерий оценки наилучшего варианта.

Пример (критерии выбора международного рынка)

Характеристики рынков

Критерии

Размер рынка

max

Динамика роста рынка

max

Издержки по ведению дел

min

Конкурентные преимущества

max

Степень риска

min

При разработке критериев необходимо опираться на принципы системного подхода. Каждую альтернативу можно рассматривать как систему, направленную на достижение одной или нескольких целей. Показатели-характеристики, описывающие свойства системы делятся на две группы: первая группа формирует условия-ограничения, вторая — цели.

Например, при покупке стиральной машины, предлагаемые в магазине модели, рассматриваются как альтернативы. При этом можно руководствоваться критерием минимума цены, а такие характеристики как число программ, надежность, потребление электроэнергии, размер и другие рассматривать и качестве условий — ограничений, установив для них определенные фапицы изменения (например, число программ не менее 12) и т.д. Выбранный целевой показатель и параметры-ограничения могут меняться местами. Так, для цены может быть установлена граница (не более 25 тыс. руб.), а критерием выбора будет минимальный размер стиральной машины. Можно выбирать товар по нескольким критериям — и цены, и размера, и др.

Проблема разработки критериев неразрывно связана с постановкой задачи по существу проблемной ситуации, с разработкой целей. Это ответственная стадия процесса принятия решений. Выбор правильных целевых установок определяет конечный результат — разрешение проблемной ситуации. При анализе сложных проблем в социально-экономических системах при разработке целей, системы критериев используют процедуры системного анализа, инструментарий дерева целей, привлекаются эксперты.

11.2.2. Разработка альтернатив

Если в оптимизационных задачах принятия решений разработка и анализ альтернатив предусмотрены математическим алгоритмом метода математического программирования, то в задачах многоцелевого выбора такую функцию должны осуществлять ЛПР и эксперты.

На предыдущем этапе процесса принятия решений была проанализирована проблемная ситуация, выявлены цели, которые необходимо достичь, чтобы разрешить противоречие, обусловившее проблемную ситуацию. Теперь необходимо думать о том, как осуществить выполнение поставленных целей.

Если предположить, что существует только один способ действия для достижения поставленной цели, то задача принятия решений как задача выбора просто не существует.

В теории принятия решений предполагается, что существуют различные способы решения проблемы и среди них находится оптимальный (лучший в данных условиях). Это предположение достаточно реалистично, учитывая то обстоятельство, что принимать решение конкретному ЛПР в конкретный момент времени приходится в условиях неопределенности, которая обусловлена сложностью социально-экономических систем, ограниченностью наших знаний и познавательных возможностей, ограничением времени, выделяемым на принятие решений. Это дает основание предположить, что, вероятно, помимо известных ЛПР способов существуют и такие, которые данным ЛПР в данной ситуации не предполагались. Особенно такое положение характерно при решении новых проблем, с которыми данная организация ранее не сталкивалась. Привлечением экспертов в процедуру принятия решений, использование различных приемов системного анализа, системотехники и др. позволяют уменьшить неопределенность и выработать варианты решений.

Варианты решений называют альтернативами. Ранее уже говорилось о том, что понятие альтернатива используется в смысле "каждая из исключающих друг друга возможностей". В такой трактовке допустимы такие словосочетания как "различные альтернативы", "взаимоисключаемость альтернатив", "совокупность альтернатив" и т.д. Итак, в теории принятия решений под альтернативами понимаются варианты, различные способы достижения намеченных целей, способы разрешения противоречий, обусловивших проблемную ситуацию.

Разработка альтернатив является творческим процессом, самые лучшие решения не всегда лежат на поверхности, нахождение их требует изобретательности ума, проницательности, творческого подхода.

В процессе разработки альтернатив необходимо учитывать и обеспечивать следующие требования:

взаимоисключаемость альтернатив,

обеспечение сравнимости альтернатив,

полнота совокупности альтернатив.

Требование взаимоисключаемости альтернатив вытекает из сущности термина "принятие решений" как осуществление выбора. Однозначный выбор возможен лишь в том случае, если рассматриваемые варианты исключают друг друга.

Чтобы обеспечить сравнимость альтернатив, необходимо их рассматривать в одних и тех же условиях, описывать одними и теми же показателями.

Выполнение требования полноты совокупности альтернатив наталкивается на определенные субъективные и объективные трудности. Субъективные факторы, влияющие на полноту набора альтернатив, связаны с творческими возможностями экспертов и ЛПР, а также субъективными предпочтениями экспертов, которые могут «защищать» кажущуюся им лучшей альтернативу и исключать варианты, которые, по их мнению, слишком сложные или невероятные. Объективные трудности обусловлены большой степенью неопределенности, а также невозможностью определить границы творческой деятельности и целым рядом других обстоятельств. В любом случае, полнота набора альтернатив субъективна, если альтернативы формируются ЛПР и экспертами. Отличие, например, методов математического программирования состоит в том, что в них рассматривается полный и конечный набор альтернатив, формирование которых осуществляется при реализации алгоритма метода.

Все множество решений условно можно разделить на три типа. Первый тип — это стандартные решения, применяемые в типовых проблемных ситуациях. Второй тип можно назвать решениями-усовершенствованиями и третий тип — это оригинальные решения.

Для выбора типа решения, естественно, прежде всего, обратиться к прошлому опыту, т. е. использовать метод прецедента. Если данная проблемная ситуация уже неоднократно встречалась в прошлом, то необходимо воспользоваться известным стандартным решением, которое является оптимальным для этой ситуации. Наличие банка данных с типовыми проблемными ситуациями и соответствующими им стандартными оптимальными решениями обеспечивает систематическое накопление прошлого опыта, что облегчает деятельность ЛПР.

Как показывает практика управления, наибольшее количество решений относится ко второму типу: решения-усовершенствования. Это объясняется тем, что большинство проблемных ситуаций имеет уже аналоги в прошлом, но они не полностью идентичны, не похожи и отличаются некоторыми особенностями. Поэтому для таких проблемных ситуаций в общем известны возможные решения. Необходимо только конкретизировать эти решения применительно к данной ситуации. Таким образом, сущность решений типа "усовершенствование" — это определенное видоизменение известных вариантов решений.

Оригинальные решения, как правило, возникают в так называемых тупиковых проблемных ситуациях, когда известные пути решения не годятся и необходимо найти принципиально новый подход. Новые решения, естественно, мопт быть и при решении традиционных проблем. Для разработки оригинальных решений часто на практике применяется один из видов экспертного оценивания — метод генерации идей (мозгового штурма).

Альтернативы могут представлять собой целые принципиально различные системы, направленные на достижение определенного конечного результата. Выявлению альтернатив в определенной степени может помочь постановка контрольных вопросов типа:

• Какие параметры системы необходимо изменить, чтобы успешно решить данную проблему? В этом случае можно опираться на один из основных законов системотехники, согласно которому любая система может перейти в качественно новое состояние семью различными способами, а именно изменениями:

  •  числа (элементов),
  •  качества (свойств элементов),
  •  отношения,
  •  числа и качества,
  •  числа и отношения,
  •  качества и отношения,
  •  числа, отношения и качества элементов.

• Нельзя ли данную проблему решить с помощью изменения окружающей среды?

• Нельзя ли данную проблему решить путем адаптации решения подобных проблем в других сходных условиях?

Разработке альтернативных вариантов могут в определенной степени помочь следующие контрольные вопросы:

  •  Почему выполняется именно данная работа (ставится данная цель, решается именно эта задача), что иное?
  •  Почему данная работа выполняется именно этим работником (организацией и т.д.) что иное?
  •  Почему данная работа (цель, задача и т.д.) решается именно в это время, что иное?
  •  Почему данная работа (цель, задача) реализуется именно таким образом, что иное?
  •  Почему данная работа (цель, задача) решается именно в этом месте, что иное?

Наглядно, альтернативы и необходимые для их реализации ресурсы можно представить в виде дерева «альтернативы – ресурсы» (см. рис. 11.2.2.1). Такие деревья целесообразно строить и анализировать для каждой цели и для каждого альтернативного варианта достижения цели. Такие деревья целесообразно строить и анализировать для каждой цели и для каждого альтернативного варианта достижения цели.

11.2.3. Сравнение альтернатив

Чтобы выбрать лучшую альтернативу, необходимо иметь возможность сравнить альтернативы между собой. Задачи сравнения альтернатив просто решаются, если целевая характеристика имеет количественное измерение и можно для каждой альтернативы установить величину целевого показателя.

На практике целевые характеристики могут иметь различную природу:

целевая характеристика имеет количественный показатель и для каждой альтернативы путем технико-экономических расчетов сравнительно легко в реальном времени подсчитать величину этого показателя:

целевая характеристика имеет количественный показатель, но для каждой альтернативы в условиях данной задачи подсчитать величину показателя не представляется возможным ввиду ограниченности ресурсов и времени:

целевая характеристика имеет качественную природу, не существует количественного измерителя, но можно подобрать некий условный заменитель, который имеет количественное измерение и может достаточно адекватно отражать степень достижения цели при реализации каждой альтернативы, и величину его можно подсчитать;

• целевая характеристика имеет качественную природу и затруднительно подобрать заменитель или не представляется возможным ввиду ограниченности времени и средств подсчитать величину показателя – заменителя для всех альтернатив.

Рис. 11.2.2.1. Фрагмент дерева «альтернативы – ресурсы»

В многоцелевых задачах принятия решений в социально-экономических системах могут одновременно присутствовать все случаи.

Для оценки альтернатив в процедуру принятия решений широко привлекаются эксперты.

Эксперты решают следующие задачи:

выбор целевых характеристик;

разработка показателей для измерения целевых характеристик;

оценка альтернатив по каждой целевой характеристике.

Экспертные оценки альтернатив могут выступать в различных видах:

непосредственная оценка альтернатив в натуральных единицах измерения данного целевого показателя в виде точечной или интервальной оценки (возможная величина прибыли в млн. рублей при реализации каждой альтернативы, если точные экономические расчеты затруднительно произвести, достаточно ориентировочной оценки);

ранжирование альтернатив в зависимости от предполагаемой величины целевого показателя для каждой альтернативы или в зависимости от степени предпочтительности альтернативы, устанавливаемой экспертом:

установление для каждой альтернативы балльной оценки по той или иной шкале.

Методы получения обобщенной оценки альтернатив и задачи выбора многокритериальных альтернатив рассматриваются в следующей главе.

Анализ и оценка альтернатив (без их формирования) в задачах принятия решений с несколькими целевыми показателями производится на основе базовой модели задачи принятия решений II типа27. Эта модель используется при решении задач как в условиях определенности, так и риска и неопределенности, хотя в последних случаях таблица задачи несколько трансформируется.


11.3. Оценки многокритериальных решений 

11.3.1. Многокритериальные оценки в условиях определенности

Исходными условиями для применения многокритериальных оценок в условиях определенности являются следующие:

  •  каждая альтернатива имеет один исход (один вариант реализации);
  •  существует возможность получить для каждой альтернативы по каждому критерию количественную оценку (значение показателя aik).

Это могут быть:

  •  показатели в натуральных единицах измерения, полученные методами технико-экономических расчетов (например, расчет прибыли, затрат и т.д. для каждой альтернативы-стратегии);
  •  показатели в натуральных единицах измерения, определенные экспертным путем;
  •  балльные оценки по той или иной шкале, устанавливаемые экспертами для каждой альтернативы в соответствии со степенью предпочтительности альтернативы по определенному критерию;
  •  оценки в рангах.

Конкретные требования к многокритериальным оценкам могут различаться в зависимости от применяемого метода.

Метод взвешенных сумм

Для применения данного метода необходимо создание условия соизмеримости оценок показателей для всех рассматриваемых альтернатив. Поэтому применяются бальные оценки

Используется модель задачи принятия решений II типа (оценка характеристик).


Альтернативы

Цели - критерии

Обобщенные оценки альтернатив

К1

К2

Кk

Кn

A1

a11

a12

a1k

a1n

u1

A2

a21

a22

a2k

a2n

u2

Ai

ai1

ai2

aik

ain

ui

Am

am1

am2

amk

amn

um

Вес критерия

b1

b2

bk

bn

Обобщенная оценка   i-ой   альтернативы рассчитывается по формуле:

,    k=1,…,n,

где   – оценка k -го критерия для i -й альтернативы,

bk – вес  k -го критерия.

Лучшей альтернативой считается та, которой соответствует максимальное значение обобщенной оценки.

.

Пример28

С целью анализа конкурентоспособности четырех типов холодильников была произведена сравнительная оценка этих товаров по четырем показателям. Оценку произвели независимые эксперты, мнение одного из них представлено в таблице. Оценка осуществлялась по шестибальной шкале. Наибольшее значение оценки соответствовало альтернативе, наиболее предпочтительной для ЛПР по данному критерию. Например, оценка 6 по критерию "цены" для альтернативы А4 означала, что данный тип холодильников имеет наименьшую цену, а оценка 5 по критерию "надежности" означает наибольшую надежность данного типа холодильников.

Типы
холодильников

Критерии оценки альтернатив

Обобщенная оценка альтернатив

продолжительность срока службы

Условия ухода и ремонта

Надеж-ность

Цена

A1

3

3

3

3

12

A2

2

4

4

4

14

A3

1

3

5

5

14

A4

1

1

5

6

13

Вес
критерия

1

1

1

1

Пусть все критерии равноценны, bk = 1, (k=1,2,…,4). Для этого случая имеем:

u1=13+13+13+13=12;

u2=12+14+14+14=14;

u3=11+13+15+15=14;

u4=11+11+15+16=13;

Нетрудно увидеть, что в порядке предпочтительности альтернативы расположились следующим образом:

А2 ∞ А3  А4  А1

- знак предпочтения, означает А4  А1
то есть,  А4 лучше (предпочтительнее) А1 ;
 – знак равноценности

Метод произведения

Исходные условия аналогичны предыдущему методу. Обобщенная оценка некоторой i -й альтернативы вычисляется по следующей формуле.

,  .

Пример

Для исходных данных приведенных в таблице имеем: u1=3333=81;   u2=2444=128;   u3=1355=75;   u4=1156=30;

В соответствии с полученными результатами имеем: А2  А1  А3  А4.

Метод расстояний

Если условием применения двух предыдущих методов является соизмеримость оценок aik по всем критериям, то метод расстояний можно применять и в случае, когда оценки несоизмеримы.

Обобщенная оценка i-й альтернативы вычисляется по формуле

,

где  – максимальные значения оценки по k-му критерию (если же наилучшим для ЛПР является минимальное значение показателя (цена, время, расход горючего), то вместо исходных значений критерия рассматриваются величины обратные к ним).

Лучшей альтернативой считается та, у которой показатель ui; будет наименьшим:

.

Пример

Исходные данные сведены в таблицу.

альтернативы/критерии

К1

К2

К3

К4

А1

3

3

3

3

А2

2

4

4

4

А3

1

3

5

5

А4

1

1

5

6

1 шаг. Выбрав в каждом столбце максимальный показатель, делим на него все элементы столбца.


Получаем таблицу

альтернативы/критерии

К1

К2

К3

К4

А1

1

3/4

3/5

1/2

А2

2/3

1

4/5

2/3

А3

1/3

3/4

1

5/6

А4

1/3

1/4

1

1

2 шаг. Находим разности между единицей и данными полученной таблицы:

альтернативы/критерии

К1

К2

К3

К4

А1

0

1/4

2/5

1/2

А2

1/3

0

1/5

1/3

А3

2/3

1/4

0

1/6

А4

2/3

3/4

0

0

3 шаг. Возводим элементы предыдущей таблицы в квадрат:

Альтернативы/Критерии

К1

К2

К3

К4

Обобщенная оценка альтернатив

А1

0

1/16

4/25

1/4

0,47

А2

1/9

0

1/25

1/9

0,26

А3

2/9

1/16

0

1/36

0,55

А4

2/9

9/16

0

0

1,007

4 шаг. Находим обобщенную оценку для каждой альтернативы, суммируя показатели по строкам.

 

 

Лучшей считается та альтернатива, для которой оценки находятся на наименьшем расстоянии от лучшей оценки по соответствующим критериям.

В данном случае альтернативы упорядочиваются так: А2  А1  А3  А4

Данный метод можно модифицировать, находя расстояния не от лучшей оценки, а как бы от начала координат – .

Тогда обобщенная оценка определится соотношением и лучшей будет альтернатива, у которой оценка ui  будет наибольшей.

Пример

Необходимо выбрать мобильный телефон. Выбор ограничен пятью моделями, примерно равными по набору функций. Однако необходимо сделать оптимальной выбор. Выбор производится по пяти критериям (цена, вес, время работы, дизайн, удобство использования). В таблице представлены модели телефонов и их характеристики.

Альтернативы

Критерии

Цена(руб)

Вес (г)

Время работы (ч)

Дизайн (баллы)

Удобство использования (баллы)

Nokia

10000

92

300

9

10

Sony Ericsson

8500

95

280

9

9

Siemens

9900

110

290

8

7

Samsung

11020

102

250

10

7

Motorola

7800

97

270

8

7

Выбрать наиболее подходящую модель телефона по пяти предложенным критериям.

Решение

Данную задачу можно решить несколькими способами, используя различные методы решения.

1) Оценка в рангах.

Составим новую таблицу, где будут те же названия строк и столбцов, но измениться их содержание. Критерии, представленные в натуральных единицах и баллах, необходимо перевести в ранги. Количество мест будет совпадать с количеством альтернатив. Также нужно добавить новый столбец (сумма рангов), где будет отражена сумма рангов по каждой альтернативе.

Альтернативы

Критерии

Сумма рангов

Цена (ранги)

Вес (ранги)

Время работы (ранги)

Дизайн (ранги)

Удобство использования (ранги)

Nokia

4

1

1

2

1

9

Sony Ericsson

2

2

3

2

2

11

Siemens

3

5

2

3

3

16

Samsung

5

4

5

1

3

18

Motorola

1

3

4

3

3

14

Наиболее приемлемым будет тот телефон, у которого наименьшая сумма рангов, в данном случае это телефон фирмы Nokia. Фирмы производители расположились следующим образом: Nokia > Sony Ericsson > Motorola > Siemens > Samsung.

Однако данный способ может оказаться неудовлетворительным, так как изменения в один ранг не учитывают, что изменение номинального показателя, переведенного в ранговый, может быть и большим (существенным) и незначительным (несущественным).

Оценки в баллах намного точнее.

2) Метод взвешенных сумм.

Для реализации метода взвешенных сумм небходимо составить новую таблицу, аналогичную той, которая представлена в условии, но нужно критерии, представленные в натуральных единицах, перевести в баллы. Также нужно добавить новую строку - вес критерия, где будет отражена значимость каждого из критериев. Сумма весов критерия должна равняться единице. Также нужно добавить новый столбец, где будет представлена сумма баллов.

Альтернативы

Критерии

Цена (баллы)

Вес (баллы)

Время работы (баллы)

Дизайн (баллы)

Удобство использования (баллы)

Nokia

8

10

10

9

10

Sony Ericsson

9

9

9

9

9

Siemens

8

7

10

8

7

Samsung

7

8

8

10

7

Motorola

10

9

9

8

7

Вес критерия

0,3

0,1

0,2

0,1

0,3

Сумма баллов находится по формуле:

,   k=1,….,n,

где aik оценка k -го критерия для i -й альтернативы,

bk – вес k -го критерия.

Наиболее подходящим будет тот телефон, у которого будет наибольшая сумма баллов. В данном случае это Nokia: Nokia > Sony Ericsson > Motorola > Siemens > Samsung.

3) Метод произведений.

Необходимо построить таблицу, аналогичную той, которая дана в условии, но критерии данные в натуральных величинах необходимо перевести в баллы. Добавим новый столбец – произведение баллов, где будут представлены произведения критериев каждой альтернативы.

Альтернативы

Критерии

Обобщенная оценка альтернатив

Цена (баллы)

Вес (баллы)

Время работы (баллы)

Дизайн (баллы)

Удобство использования (баллы)

Nokia

8

10

10

9

10

720

Sony Ericsson

9

9

9

9

9

590

Siemens

8

7

10

8

7

313

Samsung

7

8

8

10

7

313

Motorola

10

9

9

8

7

453

Обобщенная оценка некоторой i-й альтернативы вычисляется по следующей формуле.

,  .

В данном случае наиболее подходящим будет тот телефон, у которого будет максимальное произведение баллов, а именно телефон Nokia. Все телефоны расположились в следующем порядке: Nokia > Sony Ericsson > Motorola > Siemens > Samsung

4) Метод расстояний.

Данный метод будет наиболее подходящим, так как критерии даны в условии частично в натуральных и частично в бальных оценках.

Оценка альтернатив производиться по следующей формуле:

,

где аik - максимальные значения оценки по k -му критерию во всех предложенных альтернативах.

Среди критериев в данной задаче есть такие, у которых наилучшим показателем по критерию является минимальная оценка. Это относится к критериям цена и вес. Нужно вместо исходных значений взять им обратные.

а) Выберем максимальное («идеальное») значение по каждому критерию (найдем, аik для каждого критерия).


Альтернативы

Критерии

Цена (баллы)

Вес (баллы)

Время работы (баллы)

Дизайн (баллы)

Удобство использования (баллы)

Nokia

1/10000

1/92

300

9

10

Sony Ericsson

1/8500

1/95

280

9

9

Siemens

1/9900

1/110

290

8

7

Samsung

1/11020

1/102

250

10

7

Motorola

1/7800

1/97

270

8

7

Максимальное значение выделим жирным шрифтом.

б) В клетках каждого столбца таблицы вычислим разности между максимальным по столбцу и текущими по столбцу значениями критерия (аik* - аik ):

Nokia

0,000028

0

0

1

0

Sony Ericsson

0,000011

0,00343

20

1

1

Siemens

0,000027

0,001779

10

2

3

Samsung

0,000037

0,001066

50

0

3

Motorola

0

0,000560

30

2

3

в) Нормируем полученные разности (делим их на максимальные для каждого столбца значения) :

Nokia

0,220000

0,000000

0,000000

0,1

0,000000

Sony Ericsson

0,082353

0,031579

0,066667

0,1

0,082353

Siemens

0,212121

0,163636

0,033333

0,2

0,212121

Samsung

0,220000

0,000000

0,000000

0,0

0,220000

Motorola

0,000000

0,031579

0,066667

0,2

0,082353


г) Возводим нормированные отклонения в квадрат
:

Nokia

0,048400

0,000000

0,000000

0,010000

0,000000

Sony Ericsson

0,006782

0,000997

0,004444

0,010000

0,010000

Siemens

0,044995

0,026777

0,001111

0,040000

0,090000

Samsung

0,085379

0,009612

0,027778

0,000000

 0,090000

Motorola

0,000000

0,002657

0,010000

0,040000

 0,090000

д) Находим по каждой строке сумму квадратов (см. последний добавленный столбец):

Nokia

0,048400

0,000000

0,000000

0,010000

0,000000

0,05

Sony Ericsson

0,006782

0,000997

0,004444

0,010000

0,010000

0,0322

Siemens

0,044995

0,026777

0,001111

0,040000

0,090000

0,2028

Samsung

0,085379

0,009612

0,027778

0,000000

0,090000

0,2127

Motorola

0,000000

0,002657

0,010000

0,040000

0,090000

0,1426

Выберем наиболее близкую29 к идеалу альтернативу .

Модель телефона с наименьшей суммой квадратов отклонений от идеала будет оптимальным выбором. В данном случае это Sony Ericsson. Остальные телефоны расположились в следующем порядке.

Sony Ericsson  Nokia  Motorola  Siemens  Samsung.

11.3.2.  Многокритериальные оценки в условиях неопределенности

Исходными условиями для применения методов многокритериальных оценок в условиях неопределенности являются следующие:

  •  решение принимается в условиях большой степени неопределенности внешней среды, которая не позволяет однозначно определить исход реализации альтернативы;
  •  экспертным путем устанавливаются варианты состояний внешней среды;
  •  число исходов реализации альтернатив определяется условиями внешней среды;
  •  считается, что эффективность реализации каждой альтернативы зависит от того, в каких условиях внешней среды она будет реализовываться;
  •  предполагается, что возможно подсчитать (путем технико-экономических расчетов, экспертным путем и др.) величины  – эффекты (например, экономические) от реализации -й альтернативы при -м состоянии внешней среды.

Модель задачи принятия решений в условиях неопределенности можно представить в виде нижеследующей таблицы.

Альтернативы

Предположения о состоянии экономики
(внешней среды)

Оценки альтернатив

П1

Пk

Пn

А1

a11

a1k

a1n

u1

Аi

ai1

aik

ain

ui

Am

am1

amk

amn

um

Существует несколько подходов к принятию решения в такой ситуации. Каждый из них базируется на одном из критериев, основой которого является видение ситуации и ее оценки лицом, принимающим решение (ЛПР). Эти критерии следующие.

Критерий крайнего оптимизма 

,

где – есть оценка эффекта от реализации -й альтернативы при -м состоянии внешней среды.

При выборе этого критерия ЛПР считает, что при любом состоянии внешней среды ему повезет и ту альтернативу, которую он выберет, она и будет лучшей. По каждой альтернативе выбирается максимальное значение и затем из них также максимальное.


Критерий
пессимизма Вальда (критерий гарантированного дохода)

,

где  – есть оценка эффекта от реализации -й альтернативы при -м состоянии внешней среды.

При выборе этого критерия ЛПР считает, что ему обязательно не повезет, и как бы ни сложилась ситуация, он выберет самую худшую альтернативу, но зато этот вариант гарантирован.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица

,

где  – есть оценка эффекта от реализации -й альтернативы при -м состоянии внешней среды.

При выборе этого критерия ЛПР учитывает вероятность невезения при принятии решения ( — вероятность невезения). Значение коэффициента  задается в пределах от 0 до 1. Если равно 0 или 1, критерий Гурвица переходит или в критерий максимакса или в критерий максимина.

Критерий минимаксного сожаления Сэвиджа

,

где  – максимальный из обеспечиваемых разными стратегиями эффектов при -м состоянии внешней среды,

– условные потери при выборе -й альтернативы по сравнению с максимальным эффектом при -м состоянии внешней среды, то есть это те потери, которые мы понесем при -м состоянии внешней среды, если выберем не самую лучшую для этого состояния среды альтернативу,

– эффект применения -й альтернативы при -м состоянии внешней среды.

Критерий Сэвиджа, как и критерий Вальда, – это критерий крайнего пессимизма, только пессимизм при использовании критерия Сэвиджа проявляется в том, что при нем минимизируются максимальные для разных условий среды потери.

Для применения метода минимаксного сожаления (Сэвиджа) следует составить на основе таблицы эффектов  новую таблицу , которая называется таблицей потерь.

Пример

Оптовая база хочет закупить товар для реализации. По оценкам экспертов спрос на товар в ближайшем будущем может составлять от 2000 до 4000. Доход от реализации единицы товара составляет 10 у.е. Если товар не продается, то убытки за единицу непроданого товара составляют 4 у.е., при неудовлетворенном спросе убытки будут 1 у.е. за единицу. Используя все критерии, определить, какое количество товара надо закупить оптовой базе.

Составим таблицу эффектов (в рассматриваемом примере – доходов):

Доходы в зависимости от закупок и спроса, тыс. у.е.

                     Спрос, тыс.ед
Закупка, тыс.ед

2

3

4

2

20

19

18

3

16

30

29

4

12

26

40

Критерий крайнего оптимизма (критерий максимакса) предполагает выбор максимума дохода из максимальных значений по каждой альтернативе, т. е.

.

Следовательно, в соответствии с критерием максимакса лучшей альтернативой является закупка 4 тыс.ед. товара.

Критерий пессимизма Вальда имеет пессимистический оттенок: ЛПР настроено на то, что произойдет худшее и надо стремиться минимизировать потери в этой ситуации.

По критерию пессимизма Вальда в выше описанном примере ЛПР выбирает наименьший доход по каждой из альтернатив и затем из альтернатив выбирает такую, которая обеспечивает наибольший доход из наименьших по альтернативам. Таким образом, ЛПР, как бы «максимизирует» минимумы.

Решение также осуществляется на основе таблицы доходов.

Вариант спроса k

1

2

3

Стратегия
i

                 Спрос, тыс.ед
Закупка, тыс.ед

2

3

4

1

2

20

19

18

18

2

3

16

30

29

16

3

4

12

26

40

12

18

max

ЛПР вначале выбирает минимум доходов при каждой альтернативе, а потом из выбранных минимумов ЛПР выбирает максимум:

.

Итак, наиболее предпочтительной альтернативой по критерию максимина будет первая стратегия, которой соответствует доход в размере 18 тыс. у.е. т. е. закупка 2 тыс.ед. товара.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица

Прежде всего, вводится величина  — вероятность невезения. Эта величина задается ЛПР, исходя из его «личного опыта». Предположим, мы настроены более оптимистично, нежели пессимистично, вероятность везения предположим равной, например, 0,7. Тогда вероятность невезения .

После этого вычисляется критерий

.

Вариант спроса k

1

2

3

Страте-

гия i

             Спрос, тыс.ед
Закупка, тыс.ед

2

3

4

 

 

 

1

2

20

19

18

18

20

19,4

2

3

16

30

29

16

30

25,8

3

4

12

26

40

12

40

31,6

31,6

max


Имеем:

Таким образом, следуя критерию Гурвица, ЛПР выбирает максимум из выше полученных значений, то есть величину 31,6 тыс. у.е. Это означает, что при   в качестве альтернативы закупок необходимо выбрать 4000 ед. товара.

Особенностью критерия Гурвица является то, что ЛПР имеет возможность выбирать различные веса  . Взгляд на ситуацию, в которой принимается решение, при этом может меняться.

Критерий минимаксного сожаления Сэвиджа направлен на минимизацию упущенных возможностей. Ситуация упущенных возможностей возникает тогда, когда ЛПР теряет часть возможного выигрыша ввиду неправильно выбранной альтернативы.

Для применения метода Сэвиджа по таблице выигрышей (доходов) строится таблица возможных потерь (упущенной выгоды), которая и является исходным материалом для расчетов.

Таблица доходов, тыс.у.е.

Вариант спроса k

1

2

3

Стратегия
i

                 Спрос, тыс.ед
Закупка, тыс.ед

2

3

4

1

2

20

19

18

2

3

16

30

29

3

4

12

26

40

20

30

40

Таблица упущенной выгоды, тыс.у.е.

Вариант спроса k

1

2

3

Стратегия
i

                 Спрос, тыс.ед
Закупка, тыс.ед

2

3

4

1

2

0

11

22

22

2

3

4

0

11

11

3

4

8

4

0

8

8

min

1 Менеджмент – управление людьми на основе динамичных методов анализа, принятия решений и общения, которые направлены на постановку и достижение целей путем оптимального использования запланированных, организованных и контролируемых средств (определение, данное Комитетом по развитию менеджмента в Европе, г. Брюссель).

2 Осуществляя порождение новых структур и организаций (включая новые знания и новые технологии) человек реализует свое подобие Создателю в функциях.

3 Первая книга Моисеева: Бытие, стих 26, иудаизм и христианство, аналогично в других религиях:


«…дал тебе Мое подобие», Тайные слова Баха-Уллы, 3, Бахаизм;


«В каждом человеке есть от природы Будды. В нем он сам»,


Махапаринирвана сутра 214, Буддизм;


«Сделать себя соответствующим образу Бога», Хадис Абу Найма, Ислам.

4 В. А. Штофф. Роль моделей в познании. Л., Изд-во ЛГУ, 1963. – С. 52.

5 В. М. Глушков. Гносеологическая природа информационного моделирования. — «Вопросы философии», 1963, № 10. – С. 14.

6 Леонардо да Винчи. Эпиграф к книге: Дмитриев В. К. Экономические очерки. 1904.

7 Менделеев Д.И. О связи некоторых физических свойств тел с их химическими реакциями. Дополнения к "Основам химии". Соч., Т. 1, Л.-М, 1937. – С. 327-347.

8 Основа задания заимствована из [9].

9 Для получения обратной матрицы в Excel:


Исходную задать массивом n×n;


Поместить курсор в верхний левый угол будущей обратной матрицы;


Вызвать функцию МОБР() комбинацией =fx   МОБР();


Указать аргумент, получив МОБР(массив); Ok;


Выделить поле для размещения обратной матрицы, начиная с верхнего левого угла;


Нажать F2;


Нажать Ctrl+Shift+Enter.

10 Для выполнения матричного умножения в Excel:


Исходные задать массивами m×n и n×k;


Поместить курсор в верхний левый угол будущего результата (матрицы m×k);


Вызвать функцию МУМНОЖ() комбинацией =fx   МУМНОЖ();


Указать аргументы, получив МУМНОЖ(массив1; массив2); Ok;


Выделить поле для размещения матрицы-результата m×k, начиная с верхнего левого угла;


Нажать F2;


Нажать Ctrl+Shift+Enter.

11 Для первых двух моделей (линейной и параболической) метод наименьших квадратов (МНК) применяется непосредственно, для остальных – переходом в другие координаты, в которых данные модели становятся линейными (степенная и экспоненциальная модели линеаризуются их логарифмированием:


степенная — ,


экспоненциальная — ),


гиперболическая – заменой :         ).

12  - критическое значение - квантиль - распределения Фишера (см. приложение 3).

13 Символом будем обозначать суммирование по всем возможным значениям , кроме .

14 Сущность программно-целевого метода состоит в том, что он ориентирует программы на выполнение определенных общественно-значимых целевых изменений, в связи с чем строится на принципах единства цели решаемых проблем и носит комплексный междисциплинарный и межотраслевой характер. В конкретном выражении данный подход представляет сочетание методов, средств и различных приемов для достижения основной цели (или целей) научного, технического, производственного, социального и т.п. развития.


Методика построения целевых программ состоит в том, чтобы:


Сформулировать проблему и определить генеральную цель ее решений.


Разработать общий сценарий решения намеченной проблемы (например, постройки крупного предприятия, совершенствования системы перераспределения).


Определить набор (так называемое "дерево") целей процесса достижения главной цели.


Определить конкретные задачи как подцели нижнего уровня.


Выработать критерии достижения поставленных целей и их оценок.


Рассчитать распределение ресурсов между целями в соответствии со значимостью задач и трудоемкостью их решения.


Построить сетевую модель управления программой достижения конкретных целей и главной цели.


При помощи этого методического подхода осуществляется структуризация, разбивка на части крупной проблемы как составная часть процесса ее разрешения.


Программа – это мегапроект, т.е. проект, представляющий собой совокупность нескольких, тесно взаимосвязанных проектов.


Целевая программа – это программа конкретных, четко взаимосвязанных технических, экономических, производственных, организационных и других мероприятий, обеспечивающих достижение поставленной цели. Например, может быть "Целевая программа освоения месторождений нефти Новосибирской области" или "Целевая программа постройки термоядерного реактора" и т.п.

15 В американских названиях – системы PERT, SKANS и др., в расшифровке – метод критического пути

16 Аналогично, если известны стоимости работ , то для любого пути  может быть определена стоимость  пути как сумма стоимостей работ, образующих этот путь:


.                          (1.2.2)


С использованием соотношений (1.2.1) и (1.2.2) решаются задачи оптимизации сетевых графиков за счет варьирования (ускорения) работ критического пути, при условии, что цена ускорения с лихвой компенсируется дополнительным доходом за счет более раннего окончания проекта.

17 Для полного резерва времени справедливо также соотношение


.

18 При выполнении индивидуальных заданий и упражнений данного практикума представление результатов в виде табл. 1.2.1 не требуется.

19 С другой стороны .

20 Постановка некорректна. См. ниже предупреждение.

21 Основа примера заимствована из [20].

22 При представлении проекта потенциальному инвестору норма дисконта обычно задается исходя из нормы процента  на капитал (ставки рефинансирования ЦБР, наиболее распространенной ставки банковского кредита в -м году) выраженной в процентах: .

23 Ф. Котлер. Основы маркетинга. – М.: Изд-во "Прогресс", 1990. – С. 426

24 М.Кендэл. Ранговые корреляции. М.: Статистика. 1975. – С. 158

25 Есть ссылка на этот пример в следующем разделе.

26 М.Кендэл. Ранговые корреляции. Статистика, М.. 1975. стр. 111

27 Модель задачи принятия решений I типа – модель задачи математического программирования для формирования оптимальной стратегии. Примером задачи I типа является задача теории игр двух лиц с нулевой суммой.

28 Ряд задач и методические указания разделов 10 и 11 (с нашими корректировкой и исправлениями) заимствованы из работы [Н.В. Сернова, В.Ф. Артюшкин. Принятие решений в условиях многокритериальности. – М.: МГИМО, 2006. – 106 с.]

29 Здесь использована Евклидова метрика.


EMBED Equation.3  

EMBED Equation.3  

b

d

a

EMBED Excel.Sheet.8  

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

B2 – низкий спрос

E2 – низкий спрос

E1 – высокий спрос

C2 – низкий спрос

C1 – высокий спрос

A3 – низкий спрос (НС)

A2 – высокий, снижающийся спрос (ВНС)

A1 – высокий спрос (ВС)

В2 = НС

E – завод не

расширяется

В – строительство малого завода

C – расширение завода

А – строительство

большого завода

В1 = BC EMBED Equation.DSMT4  BHC

Р(B2)=0,3

Р(E2)=0,14

Р(E1)=0,86

Р(C2)=0,14

Р(C1)=0,86

Р(A3) =0,3

Р(A2)= 0,1

Р(A1)= 0,6

P(В2)=0,3

E – завод не

расширяется

В – строительство малого завода

C – расширение завода

А – строительство

большого завода

Р(В1) = 0,6+0,1=0,7

E2 – 40 тыс. руб. в год, 8 лет

500 тыс. руб. в год, 2 года

E1 – 300 тыс. руб. в год, 8 лет

500 тыс. руб. в год, 2 года

B2 – 40 тыс. руб. в год, 10 лет

C2 – 100 тыс. руб. в год, 8 лет

500 тыс. руб. в год, 2 года

C1 – 900 тыс. руб. в год, 8 лет

500 тыс. руб. в год, 2 года

A3 – 100 тыс. руб. в год, 10 лет

A2 – 1000 тыс. руб. в год, 2 года

100 тыс. руб. в год, 8 лет

A1 – 1000 тыс. руб. в год, 10 лет

E – завод не

расширен

В – строительство малого завода,

капиталовложения 1,3 млн. руб.

C – расширение завода

А – строительство

большого завода,

капиталовложения 3,5 млн. руб.

EMBED PBrush  

=0, как определитель матрицы с двумя одинаковыми строками, см. далее свойство 2 определителя матрицы

Как определитель с двумя одинаковыми строками

как определители матриц с двумя одинаковыми строками




1. ЗАТВЕРДЖУЮ Директор ВТ НУХТ __________________Корчук І
2. ВВЕДЕНИЕ При выборе электроизоляционного материала для конкретного применения приходится обращать вни
3. тема знаний предназначенная для решения целого ряда взаимосвязанных проблем возникающих и в естественно на
4. Казахстан в предвоенный период
5.  Сахар Первое что нужно сделать людям которые хотят похудеть ~ отказаться от чая и кофе с сахаром
6. задача решена верна не верно задача сдана но есть ошибки задача не сдана.html
7. Социология. Социология личности УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
8. тематики и информатики Специальность 220200 ~ Автоматизированные системы обработки информации
9. Мы должны быть готовы направить на поле сражения миллионные армии и обеспечить их всем необходимым в течени
10. Тема 10 Олигопольный рынок