Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
5
Рассмотрим систему
|
, , |
(1) |
где – дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Пусть – некоторая траектория системы (1), содержащаяся при в ограниченной области . В дальнейшем будем также предполагать, что в замыкании области .
Введём в рассмотрение симметричную не особую матрицу , где – дважды непрерывно дифференцируемые вектор-функции, и дважды непрерывно дифференцируемую вектор-функцию , удовлетворяющую неравенству
.
Пусть – некоторая симметричная – матрица, –дифференцируемая функция, и –числовые последовательности, удовлетворяющие условиям , , . Здесь и – некоторые числа.
Введём также обозначение
.
Теорема. Пусть выполнено неравенство
Тогда если квадратичная форма на множестве положительно определена и выполнено неравенство
Если квадратичная форма на множестве не вырождена, может принимать отрицательные значения и выполнены неравенства
Доказательство. Рассмотрим множество . Здесь – некоторое достаточно малое число.
Зафиксируем некоторую точку и будем изучать поверхность в некоторой достаточно малой окрестности точки . Из следует, что найдётся число такое, что , . Возьмём число , близкое к . В этом случае .Определим теперь отображение точки в гиперплоскость таким образом, чтобы
|
. |
(2) |
При этом число будем выбирать так, чтобы , а матрицу такой, чтобы имело место соотношение (2). Ясно, что
.
Здесь , считаем, что величина является большой. Отсюда следует, что для выполнения соотношения (2) достаточно, чтобы выполнялось равенство
Из соотношения (2) следует, что вектор ,нормальный к в точке , может быть определён следующим образом:
,
где
,
.
Заметим, что
.
Поэтому
.
Отсюда и из соотношения (3) получим, что
|
. |
(4) |
Покажем теперь, что траектория системы (1), проходящая в момент времени через точку , удовлетворяет с точностью до соотношению
|
. |
(5) |
Для этого отметим, что при малых .Поэтому вектор с точностью до принадлежит гиперплоскости , которая параллельна гиперплоскости, касательной к поверхности , и проходит через точку
.
Ясно также, что проходит через расположенную в гиперплоскости точку , где
.
Отсюда, из соотношения и того факта, что векторы, нормальные к и в точке , совпадают с точностью до , следует соотношение (5).
Из включения (5), равенства (4) и условия 1) теоремы вытекает при всех соотношение , где – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неравенству
.
Используя это неравенство, условия 2), 3) теоремы и стандартную ляпуновскую технику, получим утверждение теоремы.
В случае , , , , получим широко известный признак Пуанкаре.
Список использованных источников
Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970.