Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
2.2.2. Прямая общего положения
Прямая, непараллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения (Рис.2.6а, б).
По проекциям отрезка прямой общего положения можно представить себе положение этого отрезка в пространстве. Однако, ни одна из проекций отрезка прямой общего положения не дает его натуральной величины и углов наклона к плоскостям проекций.
Рис. 2.6 Прямая общего положения:
а)- в диметрии; б)- на эпюре
2.2.3 Определение натуральной величины отрезка прямой и углов его наклона к плоскостям проекций
Натуральная величина отрезка прямой всегда может быть принята за гипотенузу прямоугольного треугольника, одним катетом которого является отрезок, равный и параллельный проекции, а другим – разность расстояний концов отрезка до плоскости проекций (Рис.2.7а, б).
В прямоугольном треугольнике АВВ - катет АВ = АнВн; катет ВВ= Zв – Zа = ∆Z; гипотенуза АВ – натуральная величина отрезка, α – угол наклона прямой АВ к плоскости Н.
В прямоугольном треугольнике АВА - сторона АВ = AvBv; сторона АА = Yа – Yв = ∆Y; сторона АВ – натуральная величина отрезка; β – угол наклона прямой к плоскости V.
Рис. 2.7. Определение натуральной величины отрезка и углов
наклона: а) в диметрии; б) на эпюре
2.2.4. Следы прямой линии
Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называют следами прямой линии (Рис.2.8а, б). Продолжим прямую АВ до пересечения с плоскостью Н. Получим точку М, которая является горизонтальным следом прямой. Продолжая прямую АВ до пересечения с плоскостью V получим точку N – фронтальный след прямой.
Чтобы на эпюре найти горизонтальный след, необходимо продолжить фронтальную проекцию AvBv до пересечения с осью Х; через точку пересечения Мv (фронтальную проекцию горизонтального следа) провести перпендикуляр к оси Х до пересечения с продолжением горизонтальной проекции прямой АнВн. Точка пересечения Мн является горизонтальной проекцией горизонтального следа (она совпадает с самим следом М).
Для нахождения фронтального следа необходимо продолжить горизонтальную проекцию АнВн до пересечения с осью Х; через точку Nн (горизонтальную проекцию фронтального следа) провести перпендикуляр до пересечения с продолжением фронтальной проекции AvBv. Точка Nv является фронтальной проекцией фронтального следа (она совпадает с точкой N – самим фронтальным следом прямой).
Рис. 2.8. Следы прямой: а) в диметрии; б) на эпюре
2.3. Взаимное положение прямых линий
Если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны.
Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точках, которые являются проекциями точки пересечения этих прямых.
Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой, хотя проекции их могут пересекаться или быть параллельными.
Точки пересечения этих проекций не лежат на одной линии связи. Одной точке 1v соответствуют две точки 1н и 1'н. Эти точки лежат на одном перпендикуляре к плоскости V (Рис.2.9а, б, в).
Рис. 2.9. Взаимное положение отрезков на эпюре:
а) параллельные; б) пересекающиеся; в) скрещивающиеся
2.3.1. Конкурирующие точки
Точки, лежащие на одном перпендикуляре к плоскости проекций, называются конкурирующими относительно этой плоскости (Рис.2.10а, б).
По конкурирующим точкам определяется видимость геометрических образов на эпюре. Видимой на данной проекции всегда будет та из конкурирующих точек, которая лежит дальше от этой плоскости проекций, следовательно, ближе к зрителю. Точки А и В являются фронтально конкурирующими. На фронтальной плоскости проекции будет видима точка А, т.к. она дальше от плоскости V и ближе к наблюдателю. Точки А и С – горизонтально конкурирующие. На горизонтальной плоскости проекций будет видима также точка А, т.к. она отстоит от плоскости Н дальше, чем точка С.
Рис. 2.10. Конкурирующие точки: а) в диметрии; б) на эпюре
2.4. Проекции плоских углов
Две пересекающиеся прямые образуют плоский угол.
Если угол расположен в плоскости, параллельной плоскости проекций, то он проецируется на нее в натуральную величину.
В общем случае плоский угол, стороны которого не параллельны плоскости проекций, проецируется на эту плоскость с искажением.
2.4.1. Теорема о проекциях прямого угла
Для того, чтобы прямой угол проецировался ортогонально в виде прямого угла, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере, одна из его сторон была параллельна плоскости проекций, а вторая – не перпендикулярна к этой плоскости (Рис.2.11а, б).
Рис. 2.11. Проекции прямого угла на эпюре:
а) на фронтальной плоскости проекции;
б) на горизонтальной плоскости проекции
Доказательство: Пусть имеем в пространстве прямой угол ВАС. Проецируем его на плоскость Н ортогонально. Предположим, что сторона АВ данного угла параллельна плоскости Н. Тогда имеем: ВАС = 90˚; АВ || Н; ААнН. Докажем, что ВнАнСн = 90º (Рис.2.12). АнАВ = 90°, т.к. фигура ААнВВн – прямоугольник. Следовательно, прямая АВ перпендикулярна к проецирующей плоскости Q как перпендикулярная к двум прямым этой плоскости (АВАС; АВААн). Поэтому АВQ, но АнВн || АВ отсюда и АнВн Q, а это означает, что ВнАнСн = 90º.
2.5. Ортогональные проекции плоскости
Плоскость представляет собой множество точек, которые при проецировании в общем случае покроют всю плоскость проекций, не давая на ней изображения. Поэтому плоскость в пространстве на проекциях определяют расположенные в ней элементы.Такими элементами, определяющими плоскость, могут быть: три точки не лежащие на одной прямой (Рис.2.14а), прямой и не принадлежащей ей точки (Рис.2.14б), две параллельные прямые (Рис.2.14в), две пересекающиеся прямые (Рис.2.14г), плоская фигура (Рис.2.14д).
Рис. 2.14. Задание плоскости на эпюре
Кроме этого плоскость может быть задана следами(Рис.2.15а,б).
Рис. 2.15. Задание плоскости следами:
а) в диметрии; б) на эпюре
Прямые, по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций называются следами плоскости. Рн – горизонтальный след, Рv – фронтальный след и Рw – профильный след.
Точки РX, РY, РZ называются точками схода следов.
2.5.1. Прямая и точка в плоскости
Задание плоскости на чертеже любым из перечисленных способов единственным образом определяет проекции всех точек и прямых, принадлежащих плоскости.
Прямая CD, проходящая через две точки C и D, лежащие в плоскости, заданной прямыми АВ и CD, принадлежит этой плоскости (рис.2.16).
Рис. 2.16. Принадлежность прямой плоскости
Точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести в этой плоскости прямую. Если точка М принадлежит плоскости АВС (Рис.2.17а, б), то по одной заданной проекции Мн можно определить другую проекцию Мv и притом единственную. Для этого через точку М (Мн) проведем какую-либо прямую АN (AнNн), принадлежащую данной плоскости; по линиям связи найдем вторую проекцию прямой (АvNv) и на ней соответствующую точку Мv.
В качестве такой вспомогательной прямой часто берут линии уровня, лежащие в данной плоскости.
Рис. 2.17. Принадлежность точки плоскости:
а) заданной прямоугольником; б) заданной следом
2.5.2. Особые линии плоскости
К особым линиям плоскости относятся горизонталь плоскости, фронталь плоскости и линии наибольшего наклона к плоскости Н (линия ската).
Горизонталь плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости Н (Рис.2.18а, б).
Рис 2.18 Горизонталь плоскости
Фронталь плоскости – прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости V (Рис.2.19а, б).
Рис 2.19 Фронталь плоскости
Линия ската S плоскости – это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная к горизонтали плоскости (Рис.2.20а, б). Линия ската определяет угол наклона плоскости к плоскости проекции Н.
Рис. 2.20 Линии ската плоскости:а)S =ВК в плоскости АВС;б) S=АВ в плоскости заданной следами РV и РH
Плоскость на чертеже может быть задана линией ската и горизонталью (как двумя пересекающимися прямыми). Этот способ является рациональным, т.к. достаточно задать положение линии ската, а горизонталь строится перпендикулярно к ней.
2.5.3. Плоскости общего положения
Плоскости не параллельные и не перпендикулярные ни одной из плоскостей проекций называются плоскостями общего положения. Такие плоскости изображены на рис. 2.14а, б, в, г, д.
2.5.4. Плоскости частного положения
К плоскостям частного положения относятся плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций – проецирующие плоскости.
Такая плоскость проецируется в прямую линию на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна. На этой прямой лежат проекции всех точек, линий и фигур, принадлежащих данной проецирующей плоскости (Рис.2.21а, б).
Проецирующая плоскость вполне определяется той своей проекцией, на которой она проецируется в линию (Рис.2.22а, б, в).
Рис. 2.21. Проецирующая плоскость:
а) в диметрии; б) на эпюре
Рис. 2.22 Проецирующие плоскости
Рис. 2.23. Плоскости уровня
Все точки, лежащие в этих плоскостях, одинаково отстоят от соответствующей плоскости проекций. Любая плоская фигура, расположенная в плоскости уровня, проецируется на параллельную ей плоскость проекций без искажения, т.е. в натуральную величину.
Глава 3. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ, ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Прямая относительно плоскости может занимать следующие положения:
Плоскости могут занимать одна относительно другой следующие положения:
3.1. Пересечение прямой общего положения с проецирующей
плоскостью
Если в пространстве прямая общего положения а пересекает горизонтально-проецирующую плоскость Р (Рис.3.1а), то на эпюре (Рис.3.1б) горизонтальная проекция К точки их пересечения будет определяться как точка пересечения горизонтальной проекции Рн с горизонтальной проекцией а. Фронтальная проекция точки К находится по линии связи на фронтальной проекции прямой а.
Рис. 3.1. Пересечение прямой с проецирующей плоскостью:
а) в диметрии; б) на эпюре
3.2. Линия пересечения проецирующей плоскости с
плоскостью общего положения
Возьмем горизонтально-проецирующую плоскость Р и плоскость общего положения АВС (рис.3.2а, б). На эпюре (рис.3.2б) плоскость Р проецируется в прямую Рн. Линия пересечения двух плоскостей d – это линия, принадлежащая каждой из них, а следовательно, и горизонтально-проецирующей плоскости Р. Значит, горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией плоскости dн = Рн. Построение фронтальной проекции линии пересечения сводится к построению точек 1v и 2v, принадлежащих фронтальным проекциям прямых АС и АВ. Фронтальная проекция dv линии пересечения d проводится через точки 1v и 2v.
Рис. 3.2. Линия пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения: а)- в диметрии; б)- на эпюре
3.3. Пересечение плоскости с прямой общего положения
Чтобы найти точку пересечения прямой общего положения АВ с плоскостью общего положения Q, нужно:
1) через прямую провести вспомогательную плоскость Р (посредник) частного положения;
2) построить линию пересечения (1-2) вспомогательной плоскости Р с заданной;
3) найти точку (I) пересечения заданной прямой с линией пересечения плоскостей (Рис.3.3).
Задача: Найти точку пересечения прямой FE с плоскостью, заданной треугольником ABC (Рис.3.4).
Рис. 3.3. Пересечение прямой линии с плоскостью
Рис. 3.4. Пресечение прямой линии с плоскостью на эпюре
Решение.
1. Проводим через прямую EF фронтально проецирующую плоскость Р (след Рv);
2. Находим линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей (1-2);
3. В пересечении горизонтальных проекций прямых FE (FнEн) и 1-2 (1н 2н) находим горизонтальную проекцию точки пересечения прямой с плоскостью (Iн). Точка Iv строится по линии связи.
Видимость прямой и плоскости определяется по конкурирующим точкам (Рис.2.10а, б).
3.4 Взаимное пересечение плоскостей общего положения
Рассмотрим пример, в котором плоскости заданы треугольником и параллелограммом (Рис. 3.5). Требуется построить линию пересечения этих фигур. Для построения искомой линии достаточно найти две точки, в которых стороны одной фигуры пересекают плоскость другой фигуры. Поэтому возьмем одну из сторон параллелограмма, например, EF, и найдем точку пересечения ее с плоскостью треугольника. Для построения точки I, в которой прямая EF пересекает плоскость треугольника, проведем через EF горизонтально-проецирующую плоскость Р (след Рн), находим проекции 1н, 2н и 1v, 2v линии пересечения проведенной вспомогательной плоскости Р с треугольником. В пересечении прямых 1v 2v и EvFv находим Iv и затем Iн, т.е. искомую точку. Таким же образом, посредством вспомогательной плоскости R, найдена точка II, в которой сторона параллелограмма DK пересекается с плоскостью треугольника. Остается соединить одноименные проекции найденных точек I и II.
Рис. 3.5. Взаимное пересечение плоскостей
Видимость плоских фигур определяется с помощью конкурирующих точек.
При помощи плоскостей – посредников можно найти общие точки, принадлежащие двум пересекающимся плоскостям, не имеющих общих точек на чертеже (Рис.3.6). Вводим горизонтальную плоскость – посредник Р (след Pv). Эта плоскость пересекает заданные плоскости по линиям уровня (горизонталям 1-2 и 3-4), в пересечении которых и лежит общая для всех трех плоскостей искомая точка I (проекции Iv и Iн). Для определения второй общей точки (II) проводится вспомогательная плоскость S.
Рис 3.6. Построение линии пересечения двух плоскостей, не имеющих общих точек
3.5. Прямая, параллельная плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, лежащей в плоскости.
Задача: Через точку А провести одну из возможных прямых, параллельных заданной плоскости (Рис.3.7).
Решение.
Чтобы построить прямую, параллельную заданной плоскости, следует взять в плоскости какую-либо прямую (например, D1) и параллельно ей через точку А провести искомую прямую. Можно также провести прямую, параллельную одной из сторон треугольника.
Рис. 3.7. Прямая параллельная плоскости
3.6. Параллельные плоскости
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
У параллельных плоскостей соответственно параллельны линии уровня, линии ската и следы.
Задача: Через точку К провести плоскость, параллельную данной, задать ее линией ската и горизонталью (Рис.3.8).
Решение.
Провести в плоскости горизонталь и перпендикулярную ей линию ската. Через точку К провести плоскость, заданную двумя пересекающимися прямыми, одна из которых параллельна горизонтали, а вторая – линии ската.
Рис. 3.8. Параллельные плоскости
3.7. Прямая, перпендикулярная плоскости
Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости.
Для того, чтобы на чертеже прямая была перпендикулярна к плоскости, согласно п.п. 2.4.1, необходимо, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – к фронтальной проекции фронтали плоскости (Рис.3.9).
Рис.3.9. Перпендикулярность прямой и плоскости
Задача: Через точку К провести прямую, перпендикулярную плоскости треугольника АВС (Рис.3.10).
Рис. 3.10. Перпендикулярность прямой к плоскости
Решение.
В плоскости треугольника провести фронталь и горизонталь. Построить фронтальную проекцию прямой KD (КvDv) перпендикулярно к фронтальной проекции фронтали плоскости (Аv2v), а горизонтальную проекцию прямой (KнDн) перпендикулярно проекции горизонтали (Сн1н).
Задача: Определить расстояние от точки А до заданной плоскости (Рис.3.11).
Решение.
Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно из точки опустить перпендикуляр на плоскость, найти точку пересечения этого перпендикуляра с плоскостью и определить его натуральную величину.
Рис. 3.11. Определение расстояния от точки до плоскости
3.8. Взаимно перпендикулярные плоскости
Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то плоскости взаимно - перпендикулярны.
Задача: Через точку К провести одну из возможных плоскостей, перпендикулярных к заданной плоскости.
Решение.
Возможны два варианта:
Первый вариант решения. Через точку К провести прямую, перпендикулярную заданной плоскости, и через нее провести любую плоскость (Рис. 3.12);
Второй вариант решения. Через точку К провести плоскость, перпендикулярную одной из сторон параллелограмма, например, ВС, задав ее горизонталью и фронталью (рис.3.13).
Рис 3.12 Взаимно перпендикулярные
плоскост
Рис. 3.13. Плоскость, заданная прямыми h и f,
перпендикулярная плоскости ABCD и линии BC