Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Поліноми Чебишева — дві послідовності поліномів і , названі на честь Пафнутія Чебишова.
Назва поліноми Чебишева устоялася в математиці, незважаючи на те, що прізвище математика, на честь якого вони названі, читається з /о/: Чебишов.
Поліном Чебишева першого роду Tn(x) є поліномом степеня n зі старшим коефіцієнтом 2n − 1, що має найменше відхилення від нуля серед таких поліномів. .
Поліном Чебишева другого роду Un(x) є поліномом степеня n зі старшим коефіцієнтом 2n, інтеграл від абсолютної величини якого на проміжку [ − 1,1] приймає найменше можливе значення.
Поліноми Чебишева першого роду Tn(x) можуть бути визначені за допомогою рекурсивних співвідношень:
Поліноми Чебишева другого роду Un(x) можуть бути визначені за допомогою рекурсивних співвідношень:
Генератриса поліномів першого роду має вигляд:
Генератриса поліномів другого роду має вигляд:
Поліноми Чебишева є розвязками рівняння Пелля:
Tn(x)2 − (x2 − 1)Un − 1(x)2 = 1
в кільці поліномів з дійсними коефіцієнтами і задовольняють рівність:
З останньої рівності також випливають формули:
Поліноми Чебишева першого роду Tn(x) можуть бути визначені за допомогою рівняння:
або,
Поліноми Чебишева другого роду Un(x) можуть бути визначені за допомогою рівняння:
Поліноми Чебишева є розвязками диференційних рівнянь:
і
відповідно для поліномів першого і другого роду.
Поліноми Чебишева першого роду на відрізку−1 < x < 1:T0, T1, T2, T3, T4 and T5.
Приклади поліномів Чебишева другого роду
Поліноми Чебишева другого роду на відрізку −1 < x < 1:U0, U1, U2, U3, U4 and U5.
Поліноми Чебишева мають наступні властивості:
Серед усіх поліномів значення яких на відрізку [ − 1,1] не перевищує за модулем 1, поліном Чебишева має: