Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Элективный курс
«Изучение элементов четырехмерной геометрии»
Орел, 2013
Пояснительная записка
Многомерные пространства возникают естественным образом в различных задачах математики, физики и других наук.
Современная геометрия изучает многомерные пространства и свойства фигур, расположенных в этих пространствах.
Мы живем в четырехмерном пространстве, в котором роль четырехмерного пространства играет время.
Данный элективный курс посвящен геометрии четырехмерного пространства.
Знакомство с основными понятиями четырехмерной геометрии, выяснение взаимного расположения прямых, плоскостей в четырехмерном пространстве, позволяет не только узнать, как устроено четырехмерное пространство, но и лучше понять строение обычного трехмерного пространства, сформировать необходимые пространственные представления.
Многие формулировки определений, свойств и теорем четырехмерной геометрии, могут быть установлены по аналогии с соответствующими формулировками планиметрии и стереометрии. Поиск таких аналогий, нахождение аналогичных формулировок, проведение доказательств по аналогии, позволяет освоить один из основных методов математики – метод аналогий.
Решение задач и доказательство теорем четырехмерной геометрии в гораздо большей степени, чем решение задач и доказательство теорем обычной геометрии, способствует развитию логического мышления, поскольку опирается на логические рассуждения, в то время, как наглядные представления, связанные с трехмерным пространством, не всегда помогают, а в некоторых случаях и мешают найти правильные решения.
Переход от трехмерной геометрии к многомерной геометрии является наиболее важным шагом при изучении многомерной геометрии. Дальнейшее увеличение размерности не создает каких-либо принципиально новых эффектов. Основные свойства, теоремы и задачи n-мерной геометрии, n>4, формулируются, доказываются и решаются по аналогии со свойствами, теоремами и задачами четырехмерной геометрии.
Данный курс по выбору является предметно – ориентированным. Рассчитан на 34 часа в 11 – м классе. Предлагаемый к изучению материал расширяет и углубляет знания учащихся по стереометрии базового курса математики. Учитель на доступном пониманию учащихся материале показывает возможности использования аксиоматического метода при построении гиперстереометрии, формирует у учеников математический стиль мышления, развивает пространственное воображение.
Цели курса:
- расширение знаний по геометрии и дальнейшее развитие логического мышления учащихся;
- воспитание понимания значимости математики для научно-технического прогресса.
Задачи курса:
- развивать и закреплять навыки и умения решения геометрических задач и доказательства теорем;
- реализация учеником интереса к математике как выбранному профильному предмету;
- создание условий для подготовки к экзамену по выбору;
- расширить и систематизировать представления учащихся по аксиоматическому методу построения математической теории;
- дать опыт работы с математической литературой.
В результате изучения курса учащиеся должны:
- иметь представление о пространствах различных измерений;
- решать задачи на доказательство;
- решать задачи на вычисление геометрических величин, проводя необходимую аргументацию;
- изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию задачи;
- иметь опыт работы в паре и группе.
Контроль достижений учащихся осуществляется в форме поурочного балла, оценки качества выполнения домашних заданий, выполнения моделей трёхмерных проекций и реферата, его оформление и защита. Завершается изучение курса обобщающим уроком. Наивысшая оценка по завершении изучения курса ставится ученику при условии выполнения всех предложенных заданий.
Тематическое планирование
|
№ темы |
№ пункта |
Тема |
Кол-во часов |
Формы работы |
Самостоятельные работы |
|
1 |
§ 1 |
Начала четырехмерной геометрии. Основные понятия и аксиомы. Некоторые следствия из аксиом. |
2 |
Лекция. Фронтальная. Работа в парах. |
Реферат о многомерных пространствах |
|
§ 2 |
Пересечение трёхмерного пространства прямой и плоскостью. |
1 |
Лекция. Фронтальная. Работа в группе. |
||
|
2 |
§ 3 |
Параллельность плоскостей и трёхмерных пространств. Гиперкуб. |
2 |
Беседа. Фронтальная. Работа в группе |
Изготовление модели проекции гиперкуба |
|
3 |
§ 4 |
Параллельность прямых и трёхмерных пространств |
1 |
Работа с учебником. Работа с моделями |
Изготовление развёртки гиперкуба |
|
4 |
§ 5 |
Параллельность трёхмерных пространств |
2 |
Работа с учебником. Работа с моделями. Работа в парах. |
|
|
5 |
§ 6 |
Перпендикулярность прямых и трёхмерных пространств |
3 |
Фронтальная. Работа с учебником. Работа с моделями. Работа в парах. |
Выполнение изображений гиперкуба |
|
6 |
§ 7, § 8 |
Перпендикулярность плоскости и трёхмерного пространства. |
1 |
Фронтальная. Работа с моделями. Работа с учебником. Работа в группе. |
|
|
7 |
§ 9 |
Декартовы координаты и векторы в четырёхмерном пространстве. |
3 |
Лекция. Работа с учебником. Работа с моделями. Работа в парах. Работа в группе. |
Аналитическая модель гиперкуба |
|
8 |
§ 10 |
Гипермногогранники |
5 |
Фронтальная. Работа с учебником. Работа с моделями. |
Выполнение изображений гипермногогранников и моделей их проекций |
|
9 |
§ 11 |
Гипертела, полученные из тел вращения |
5 |
Работа в группе. Работа с моделями. |
Изготовление развёрток гипертел |
|
10 |
§12, §13 |
Гиперобъёмы гипертел |
4 |
Лекция. Работа с учебником. |
Подготовка реферата |
|
11 |
§14 |
Объёмы границ гипертел |
3 |
Фронтальная. Работа в группе. Работа с учебником. |
|
|
12 |
Повторение. Решение задач. |
1 |
Фронтальная |
||
|
Резерв |
1 |
||||
|
Итого: |
34 |
Содержание учебного материала
(1 час в неделю, всего 34 часа)
1. Начала четырехмерной геометрии (2 ч.).
Предмет гиперстереометрии. Аксиомы гиперстереометрии. Некоторые следствия из аксиом.
Основная цель – сформировать у учащихся представления об основных понятиях и аксиомах гиперстереометрии.
Тема играет важную роль в развитии математических представлений учащихся, фактически они впервые здесь знакомятся с четырёхмерным пространством. Учащиеся увидят, что геометрия не остановилась в своём развитии, а играет всё возрастающую роль в познании мира. Материал темы обобщает и систематизирует известные учащимся сведения из планиметрии и стереометрии.
2. Параллельность плоскостей и трёхмерных пространств (2 ч.).
Параллельные и скрещивающиеся плоскости в гиперпространстве. Плоскость, параллельная трёхмерному пространству. Признаки параллельности плоскости и трёхмерного пространства. Свойство трёхмерного пространства, проходящего через плоскость, параллельную другому трёхмерному пространству. Свойство плоскости, параллельной трёхмерному пространству. Гиперкуб.
Основная цель - дать ученикам систематические знания о параллельности плоскостей и трёхмерных пространств в гиперпространстве; ввести понятие скрещивающихся плоскостей в гиперпространстве.
Здесь учащиеся знакомятся с изображением гипертела на плоскости и моделями проекций гипертела на трёхмерное пространство.
3. Параллельность прямых и трёхмерных пространств (1 ч.).
Параллельность прямой и трёхмерного пространства. Признак параллельности прямой и трёхмерного пространства. Свойство прямой, параллельной трёхмерному пространству.
Основная цель - дать ученикам систематические сведения о параллельности прямых и трёхмерных пространств.
Изучение темы можно вести на наглядной основе, опираясь на изображение гиперкуба на плоскости и модели проекции его на трёхмерное пространство.
4. Параллельность трёхмерных пространств (2 ч.).
Параллельные трёхмерные пространства. Свойства параллельных трёхмерных пространств. Признаки параллельности трёхмерных пространств.
Основная цель - дать ученикам систематические сведения о параллельности трёхмерных пространств в гиперпространстве.
При изучении темы следует обратить внимание на часто используемый метод от противного при доказательстве теорем, знакомый учащимся из курсов планиметрии и стереометрии, и на теоремы, аналогичные теоремам стереометрии.
Использование трёхмерных проекций гиперкуба облегчит учащимся восприятие и усвоение материала темы.
5. Перпендикулярность прямых и трёхмерных пространств (3 ч.).
Перпендикулярность прямой и трёхмерного пространства. Свойства и признаки перпендикулярности прямой и трёхмерного пространства, связь параллельности прямых с перпендикулярностью прямой и трёхмерным пространством и связь параллельности трёхмерных пространств с перпендикулярностью прямой и трёхмерного пространства. Перпендикуляр и наклонная к трёхмерному пространству.
Теорема о трёх перпендикулярах.
Основная цель - дать учащимся систематические сведения о перпендикулярности прямых и трёхмерных пространств.
При изучении темы показать связь между параллельностью и перпендикулярностью, подчеркнуть аналогию между этими отношениями в четырёхмерном, трёхмерном и двумерном пространстве.
В ходе изучения темы обобщаются и систематизируются знания учащихся о перпендикулярности прямых, перпендикуляре и наклонных, известные из курсов планиметрии и стереометрии. Постоянное обращение к знакомому материалу и использование наглядности будет способствовать более глубокому усвоению темы.
6. Перпендикулярность плоскости и трёхмерного пространства (1 ч.).
Перпендикулярность плоскости и трёхмерного пространства. Признак перпендикулярности прямой и трёхмерного пространства. Свойство плоскости, перпендикулярной трёхмерному пространству.
Основная цель - дать учащимся систематические знания о перпендикулярности плоскости и трёхмерного пространства.
Использование трёхмерной модели проекции гиперкуба на трёхмерное пространство поможет учащимся в более глубоком усвоении темы.
7. Декартовы координаты и векторы в четырёхмерном пространстве (3 ч.).
Декартовы координаты в гиперпространстве. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка. Преобразования фигур в четырёхмерном пространстве. Движение и его свойства. Параллельный перенос и его свойства. Преобразование подобия. Угол между прямой и трёхмерным пространством. Угол между плоскостью и трёхмерным пространством. Угол между скрещивающимися плоскостями. Угол между трёхмерными пространствами. Ортогональная проекция гипертела на трёхмерное пространство. Векторы в четырёхмерном пространстве. Абсолютная величина, направление вектора, равенство векторов. Координаты вектора. Равенство векторов.
Действия над векторами: сложение векторов и его свойства, умножение вектора на число. Скалярное произведение векторов. Разложение вектора по координатным осям.
Уравнение трёхмерного пространства.
Основная цель - обобщить и систематизировать знания учащихся о векторах, декартовых координатах, преобразованиях фигур в пространстве; ввести понятие угла между прямой и трёхмерным пространством, угла между плоскостью и трёхмерным пространством, угла между трёхмерными пространствами, угла между скрещивающимися плоскостями.
Рассмотрение векторов и системы декартовых координат носит характер повторения, новым для учащихся является четырёхмерная система координат и четырёхмерный вектор , и уравнение трёхмерного пространства.
8. Гипермногогранники (5 ч.).
Гиперпризма. Прямая и правильная гиперпризма.Гиперпараллелепипед. Гиперпирамида. Правильная гиперпирамида. Усечённая гиперпирамида. Теорема о сечениях гиперпирамиды, параллельных её основанию. Правильные гипермногогранники. Теорема Эйлера.
Основная цель - дать учащимся систематические сведения об основных видах гипермногогранников. На материале, связанном с изучением геометрических фигур в четырёхмерном пространстве систематизируются знания учащихся о многогранниках трёхмерного пространства. Пространственные представления учащихся развиваются в процессе решения задач и построения соответствующих чертежей.
9. Гипертела, полученные из тел вращения (5 ч.).
Гиперцилиндр, его виды и элементы. Сечения гиперцилиндра. Гиперконус , его виды и элементы. Сечения гиперконуса. Гипершар. Сечения гипершара. Касательная плоскость к гипертелу. Касательное трёхмерное пространство к гипертелу. Уравнение гиперсферы.
Основная цель - познакомить учащихся с гипертелами, полученными из тел вращения. В ходе знакомства с теоретическим материалом изучается взаимное расположение гипертел и плоскостей, гипертел и трёхмерных пространств, происходит знакомствос понятиями описанных и вписанных гипермногогранников.
Продолжается развитие пространственных представлений и формирование логических и графических умений.
10. Гиперобъёмы гипертел (4 ч.).
Понятие о гиперобъёме. Свойства гиперобъёмов. Гиперобъёмы гипермногогранников: прямоугольного и наклонного гиперпараллелепипедов, гиперпризмы, гиперпирамиды. Гиперобъёмы гипертел, в основании которых лежат тела вращения. Гиперобъём гипершара.
Основная цель - продолжить систематическое изучение гипермногогранников и гипертел, в основании которых лежат тела вращения, в ходе решения задач на вычисление их гиперобъёмов.
В теоретическом материале темы выведено несколько формул, удобных для вычисления гиперобъёмов гипертел.
11. Объемы границ гипертел (3 ч.).
Объём границы гипермногогранников: гиперпризмы, гиперпирамиды.
Объём границы гипертел, полученных из тел вращения: прямого гиперцилиндра и прямого гиперконуса. Объём границы гипершара.
Основная цель - продолжить ознакомление учеников с геометрическими величинами. Аппарат для нахождения этих величин взят из курса начал анализа: интегрирование и вычисление пределов.
12. Повторение. Решение задач (2 ч.).
Начала четырехмерной геометрии
Основные понятия и аксиомы
Основными понятиями четырехмерной геометрии являются точка, прямая, плоскость, пространство и гиперпространство.
Точки будем изображать, как показано на рисунке 1.1, и обозначать прописными латинскими буквами А, В, С, …
А В
С
Рис.1.1
Прямые будем изображать, как показано на рисунке 1.2, и обозначать строчными латинскими буквами a, b, c, …
а
Рис.1.2
Плоскости будем изображать, как показано на рисунке 1.2, и обозначать строчными греческими буквами α, β, γ, …
α
Рис.1.3
Пространства будем изображать, как показано на рисунке 1.4, и обозначать прописными греческими буквами Ω, Σ, Ψ, …
Ω
Рис.1.4
Напомним аксиомы стереометрии (трехмерной геометрии).
По аналогии с аксиомами стереометрии сформулируем аксиомы четырехмерной геометрии.
Первые две из них повторяют первые две аксиомы стереометрии.
Третья аксиома дополняет первые две аксиомы.
Четвертая аксиома аналогична третьей аксиоме стереометрии, в которой прямая заменяется на плоскость, а плоскость – на пространство.
Пятая и шестая аксиомы аналогичны четвертой и пятой аксиомам стереометрии.
Задачи.
Решение: Поскольку каждая прямая однозначно задается двумя точками, то число таких пар называется числом сочетаний из n элементов по два и обозначается .
Формула: .
Решение: Поскольку каждая плоскость однозначно задается тремя точками, то число таких троек называется числом сочетаний из n элементов по три и обозначается .
Формула:
Решение: Поскольку каждое пространство однозначно задается четырьмя точками, то число таких четверок называется числом сочетаний из n элементов по четыре и обозначается .
Формула:
Следствия из аксиом
Используя аксиомы стереометрии, с помощью логических рассуждений, устанавливают справедливость других свойств. Рассмотрим некоторые из них.
В курсе стереометрии доказывалось следующее свойство.
Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, то она лежит в этой плоскости.
Используя аналогию, при которой плоскость заменяется на пространство, а прямая – на плоскость, получаем следующее свойство.
Свойство 1. Если прямая имеет с пространством две общие точки, то она лежит в этом пространстве.
Доказательство. Пусть прямая а имеет с пространством Ω две общие точки .
Так как в пространстве Ω выполняются аксиомы геометрии, то в этом пространстве через точки проходит единственная прямая. Если бы она не совпадала с прямой а, то мы получили бы две прямые в гиперпространстве, проходящие через две данные точки, а это противоречит аксиоме 1. Следовательно, эти прямые совпадают, и, значит, прямая а лежит в пространстве Ω.
Свойство 2. Если плоскость имеет с пространством три общие точки, не принадлежащие одной прямой, то она лежит в этом пространстве.
Доказательство. Пусть плоскость α имеет с пространством Ω три общие точки , не принадлежащие одной прямой. Так как в пространстве Ω выполняются аксиомы геометрии, то в этом пространстве через точки проходит единственная плоскость. Если бы она не совпадала с плоскостью α, то мы получили бы две плоскости в гиперпространстве, проходящие через три данные точки, а это противоречит аксиоме 2. Следовательно, эти плоскости совпадают, и, значит, плоскость α лежит в пространстве Ω.
Используя аналогию, при которой прямая заменяется на плоскость, получаем следующее свойство.
Свойство 3. Через плоскость и не принадлежащую ей точку проходит единственное пространство.
Доказательство. Пусть точка А не принадлежит плоскости α. Так как на плоскости α выполняются аксиомы планиметрии, то на ней найдутся точки B, C, D, не принадлежащие одной прямой. В силу аксиомы 3, через точки А, B, C, D проходит единственное пространство Ω. По свойству 2, плоскость α лежит в этом пространстве. Значит, пространство Ω проходит через плоскость α и точку А.
Покажем, что это пространство единственно. Действительно, всякое пространство, проходящее через плоскость α и точку А, будет проходить также через точки А, B, C, D. По аксиоме 3, оно должно совпадать с пространством Ω.
Задачи.
Решение. Нет, так как через эту плоскость и пятую точку проходит пространство, и все 5 точек будут лежать в этом пространстве, что недопустимо по условию.
Доказательство. Пусть даны плоскости α и β, имеющие общую прямую с. Выберем точки принадлежащие прямой с, точку А плоскости α и точку В плоскости β, не принадлежащие прямой с. Точки А, В, не принадлежат одной плоскости и, следовательно, через них проходит единственное пространство Ω. Это пространство будет содержать плоскости α, β. Любое пространство, содержащее эти плоскости будет содержать точки А, В, и, следовательно, будет совпадать с пространством Ω.
Доказательство. Пусть дано пространство Ω. По аксиоме 5 существует, по крайней мере, пять точек, не принадлежащих одному пространству Ω.
Доказательство. По свойству 3, существует единственное пространство Ω, содержащее данные плоскость и точку. Если прямая проходит через данную точку и пересекает данную плоскость, то она имеет с этим пространством две общие точки. По свойству 1, эта прямая содержит пространство Ω.