Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
16.Основні положення теорії хаосу в економічних дослідженнях 1
17.Фрактальна розмірність 3
18.Теорія катастроф й економічна динаміка 5
19.Основні моделі теорії катастроф 5
20.Нейромережне моделювання 5
21.Задачі, що розв’язуються за допомогою нейромережних моделей 8
Теория хаоса - раздел математики, изучающий кажущееся случайным или очень сложное поведение детерминированных динамических систем. Динамическая система - это такая система, состояние которой меняется во времени в соответствии с фиксированными математическими правилами; последние обычно задаются уравнениями, связывающими будущее состояние системы с текущим.
Теория хаоса служит для описания явлений, кажущихся сложными, которые можно смоделировать математически простыми численными формулами, многократно повторяемыми. Некоторые хаотичные системы являются фрактальными, т е. содержат взаимно подобные геометрические структуры или компоненты. Другими словами, небольшая часть такой системы будет напоминать всю систему в целом, и потому возможность дать математическое описание части системы означает возможность описания системы в целом.
Центральный принцип теории хаоса гласит, что определенная цепь взаимосвязей может привести к схематично логичному, но в целом совершенно неожиданному исходу.
1. небольшие изменения могут привести к радикальным последствиям в поведении системы
2. несмотря на кажущееся случайное поведение таких систем, определенные поведенческие «рисунки» можно предугадать. Ведь такие системы не перестают существовать, и определенные пути их развития возникают достаточно часто (их назвают «странными», «привлекающими» путями).
Теория хаоса - это представление менеджмента как механизма, малейшие изменения в котором ведут к принципиальным изменениям в управляемом объекте. Согласно принципам этой теории, руководителю следует абстрагироваться от небольших, кажущихся случайными изменений и сосредоточиться на выявлении общей тенденции. Менеджер предсказывает наиболее вероятные последствия и принимает соответствующие правильные решения.
Само понятие фрактал, предложенное Б. Мандельбротом, в наиболее общем смысле обозначает нерегулярную, самоподобную структуру , т.е– это множество, подмножества и элементы которого подобны самому множеству, но в другом масштабе, что определяет свойство масштабной инвариантности фракталов. Классическим примером фрактала является дерево, в котором от каждой предыдущей ветки (начиная со ствола) отходят две аналогичные, но меньшего размера.
Фракталы получили широкое применение в моделировании временных рядов. В частности, такая характеристика временного ряда, как фрактальная размерность, позволяет определить момент, в который система становиться нестабильна и готова перейти в новое состояние
Фрактальная размерность характеризует то, как предмет заполняет пространство. Фрактальная размерность временного ряда измеряет, насколько изрезанным является временной ряд. Согласно ожиданиям прямая линия должна иметь, фрактальную размерность 1, равную ее евклидовой размерности (фрактальная размерность плоскости– 2).
Фрактальная размерность временного ряда важна, потому что она признает, что процесс может быть где-то между детерминистическим (линия с фрактальной размерностью 1) и случайным (фрактальная размерность 1,5). Фактически, фрактальная размерность линии может находиться в пределах от 1 до 2. При значениях 1,5 < d < 2 временной ряд более зазубрен, чем случайная последовательность, или имеет больше инверсий. Само собой разумеется, статистика временного ряда с фрактальными размерностями, отличными от 1,5, сильно отличалась бы от гауссовой статистики и не обязательно находилась бы в пределах нормального распределения.
Для определения размерности следует использовать простую формулу
D = ln(n)/ln(N)
где N – количество частей, на которые поделен исходный отрезок, а n – количество получаемых в итоге отрезков,
Отличительной чертой фрактальной размерности является самоповторение в масштабе. Это можно проиллюстрировать на простом линейном фрактале – Множестве Коха (снежинке Коха). Берется прямой отрезок с размерностью 1, делится на три части. Средняя часть заменяется на два отрезка, равные этой части и строится ломаная из четырех отрезков, как показано на рисунке. На втором шаге действие повторяется с каждым из четырех отрезков. Эти итерации можно проводить бесконечное число раз, после чего мы получим структуру, изображенную на самом верху.
Увеличивая фрагмент снежинки Коха до бесконечности, мы будем получать точно такую же структуру с идентичной размерностью
D = ln(4)/ln(3) = 1.2618
Т.е. получается, что это уже не просто отрезок или ломаная (т.к. длина снежинки Коха бесконечна), но еще не двухмерная плоскость. Значит, кривая Коха имеет фрактальную (дробную) размерность.
Основные свойства фракталов на рынке:
Рыночные диаграммы обладают фрактальной размерностью.Фрактальная размерность рыночной диаграммы всегда 1<D<2
Рыночные диаграммы обладают свойством масштабной инвариантности или скейлинга. Разные временные интервалы самоподобны.
Рыночные диаграммы всегда образуют определенную структуру, обладающую уникальными свойствами.
Рыночные фракталы обладают "памятью" о своих "начальных условиях".
Предмет экономической динамики — это исследования важных аспектов развития экономической системы. Происходят качественные и количественные изменения производительных сил, отношений, хозяйственного механизма.
Теории экономической динамики:
В современной исторической теории различают два типа движения национальной экономики во времени: трендовое и циклическое. Вековой тренд экономической динамики показывает необратимое движение экономики в направлении роста, что соответствует процессу последовательного расширения экономической системы в темпе, заданном внутренними возможностями долгосрочного роста. В то же время вокруг линии тренда происходят циклические колебания экономической активности, повторяющиеся с определенной регулярностью, что свидетельствует о происходящих в экономике обратимых процессах.
Эволюционный процесс — определенная последовательность медленных, постепенных этапов развития и качественных скачков разного масштаба, периодический процесс смены ее качественных состояний, движение от одной неустойчивости к другой, от одной точки бифуркации к другой.
Катастрофа - качественные, скачкообразные, внезапные ("гладкие") изменения, скачки в развитии;
- качественного изменения объекта при плавном изменении параметров, от которых объект зависит.
Математическим базисом теории катастроф является теория особенностей гладких отображений – обобщение исследования функции на наличие экстремумов. Т.е. теория катастроф анализирует критические потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны нулю же производные более высокого порядка.
Точка бифуркации - это состояние системы, когда очень маленькое воздействие приводит к глобальным изменениям; это очек «выбора» системой дальнейшего пути развития.
Устойчивыми становятся два или несколько (вместо одного) новых состояний. Выбор между ними определяется случаем, в явлениях общественной жизни - волевым решением. После осуществления выбора механизмы саморегулирования поддерживают систему в одном состоянии (на одной траектории), переход на другую траекторию становится затруднительным.
Аттрактор - это множество точек фазового пространства, к которому с течением времени "притягивается" траектория динамической системы
Основными предположениями теории катастроф являются:
Различные динамические системы, развиваясь во времени, часто проявляют одни и те же свойства:
1. При движении по устойчивой траектории небольшие отклонения не влияют на развитие событий -- система сама возрващается на устойчивый маршрут.
2. В точках бифуркации малейший толчок может направить систему по одному двух устойчивых из путей.
3. При некоторых условиях последовательное ветвление устойчивой траектории ведет к тому что маршрутов становится очень много и они так плотно расположены, что предсказать дальнейшее движение системы невозможно.
Картина вблизи рассматриваемого локального экстремума могла быть примерно такой:
- вначале оптимальное решение единственно;
- по мере развития системы вместе с близким локальным минимумом возникает новый локальный максимум;
- с момента, когда побочный максимум обгоняет исходный, новый режим становится выгоднее старого. Но переход на него затруднен необходимостью резкого скачка – катастрофы.
Поэтому при плавном переходе от одного локально-оптимального режима к другому необходимо временное ухудшение.
Рис. 8. Катастрофическое изменение режима. Модели, основанные на представлениях теории катастроф» некоторые авторы пробуют применять и социальным системам и экономке.
Рис. 9. Сценарий глобальных перестроек в развивающейся системе. При плановом переходе от одного локально-оптимального режима к другому необходимо временное ухудшение.
Классификационной теоремой Тома доказано, что если число параметров не превышает четырех, то существует лишь семь типов структурных неустойчивостей, названных элементарными катастрофами, независимо от числа фазовых переменных.
Катастрофа состоит из двух частей: ростка катастрофы («особенность») и возмущения («универсальная деформация»)
Катастрофа типа Складка V = x 3 + ax
Катастрофа типа Сборник V = x 4 + ax 2 + bx
Катастрофа типа Хвост ласточки V = x 5 + ax 3 + bx 2 + cx
Катастрофа типа Бабочка V = x 6 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx :
Гиперболическая омбилика V = x 3 + y 3 + axy + bx + cy
Эллиптическая омбилика V = x 3/3 - xy 2 + a (x 2 + y 2) + bx + cy
Параболическая омбилика V = yx 2 + y 4 + ax 2 + by 2 + cx + dy
Складка: Предполагается, что система сначала находится в точке А на нижней ветви складчатого многообразия. С ростом переменной р переменная х тоже возрастает, так что система переходит через точку В и достигает точки С. В данной точке переменная р пересекает особенность S1, и система совершает «катастрофический» скачок на верхнюю ветвь многообразия в точку C’. Дальнейшее возрастание переменной р уводит систему далее за точку D.
Если же переменная р начинает теперь убывать, то система продолжает следовать вдоль верхней ветви многообразия через точку Е к точке F. В этой точке переменная р пересекает особенность S2, и система совершает «катастрофический» возврат на нижнюю ветвь многообразия в точку F’, после чего дальнейшие изменения переменной р ведут систему либо к точке А, либо к точке В до тех пор, пока она вновь не пересечет особенность S1.
Сборка Для катастрофы «сборка» обычно дается такой важный комментарий. Тот же лыжник. Тот же козырек нависшего снега. Но общий характер снежного склона теперь уже иной. Снежный козырек (если продолжать рисовать картинки и показывать их) образовался в данном месте, а вот здесь, сбоку, этот козырек постепенно и плавно сходит на нет. И здесь, если знать заранее про опасный козырек, лыжник мог бы повернуть, объехать опасность, спокойно перейти в то же самое конечное состояние, но уже безо всякого падения, без нервозности, так, как это и полагается настоящему, опытному горнолыжнику.
Хвост ласточки:Управляющее пространство в данном типе катастроф является трёхмерным. Каскад бифуркаций в фазовом пространстве состоит из трёх поверхностей бифуркаций типа «свёртки», которые встречаются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в конечном итоге встречаются в одной точке, представляющей собой бифуркацию типа «ласточкин хвост».
По мере прохождения значений параметров по поверхностям областей бифуркаций типа «свёртка» пропадает один минимум и один максимум потенциальной функции. В области бифуркаций с точкой возврата два минимума и один максимум замещаются одним минимумом; за ними бифуркации типа «свёртка» исчезают. В точке ласточкиного хвоста два минимума и два максимума встречаются в одном значении переменной x. Для значений a > 0 за ласточкиным хвостом существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще никаких бифуркаций. Это зависит от значений параметров b и c. Две поверхности бифуркаций типа «свёртка» и две линии бифуркаций с точками возврата встречаются при a < 0, а потому исчезают в самой точке ласточкиного хвоста, заменяясь одной поверхностью бифуркаций типа «свёртка»
Бабочки В зависимости от значений параметров потенциальная функция может иметь три, два или один локальный минимум, причём все минимумы разделены областями с бифуркациями типа «свёртка». В точке с поэтичным наименованием «бабочка» встречаются три различные пространства (трёхмерных плоскости) таких бифуркаций типа «свёртка», две поверхности бифуркаций с точками возврата и кривая бифуркаций типа «ласточкин хвост». Все эти бифуркации пропадают в одной точке и преобразуются в простую структуру с точкой возврата тогда, когда значение параметра a становится положительным.
Рис. 3.4. Изображение катастрофы «складка»
Рисунок 1 Сборка
Рис. 10. Ласточкин хвост: универсальный закон зависимости оптимальных значений от параметров.
Принципиальное различие между методами регрессионного и нейрокомпьютерного моделирования состоит в том, что первые основаны на математическом трюке, придуманном Карлом Фридрихом Гауссом и называемом методом наименьших квадратов. Вторые же имеют под собой бионическую основу, т.е. являются результатом попытки заимствования у природы ее алгоритмов, по которым работает человеческий мозг: Сеть состоит из большого количества высоко связанных элементов обработки (нейронов), работающих параллельно, чтобы решить определенную проблему. Нейронные сети учатся примером. Они не могут быть запрограммированы на выполнение определенной задачи. Примеры должны быть отобраны тщательно, иначе полезное время тратится впустую или еще хуже, сеть будет функционировать неправильно. Недостаток в том, что сеть решает проблему самостоятельно и ее действие может быть непредсказуем
ИНС – параллельно распределенная структура обработки информации, состоящая из отдельных элементов (нейронов), которые соединены между собой связями
Каждый нейрон в свою очередь состоит из :
Нейросеть может быть достаточно формально определена , как совокупность простых процессорных элементов (часто называемых нейронами), обладающих полностью локальным функционированием, и объединенных однонаправленными связями (называемыми синапсами). Сеть принимает некоторый входной сигнал из внешнего мира, и пропускает его сквозь себя с преобразованиями в каждом процессорном элементе. Таким образом, в процессе прохождения сигнала по связям сети происходит его обработка, результатом которой является определенный выходной сигнал.
Нейроны в НС, как правило, группируются в слои. Под слоем НС будем понимать множество нейронных элементов, на которые в каждый такт времени параллельно поступает информация от других нейронных элементов сети. Входной слой при этом выполняет распределительные функции, выходной слой нейронов служит для обработки информации от последующих слоев и выдачи результатов. Слои нейронных элементов, расположенные между входными и выходными слоями, называют скрытыми. Пример многослойной нейронной сети приведен на рис. 9.2.
На вход нейронной сети подаются представительные данные и запускается алгоритм обучения, который автоматически анализирует структуру данных и генерирует зависимость между входом и выходом. Для обучения НС применяются алгоритмы двух типов: управляемое ("обучение с учителем") и неуправляемое ("без учителя").
Простейшая сеть имеет структуру многослойного персептрона с прямой передачей сигнала , которая характеризуется наиболее устойчивым поведением. Входной слой служит для ввода значений исходных переменных, затем последовательно отрабатывают нейроны промежуточных и выходного слоев. Каждый из скрытых и выходных нейронов, как правило, соединен со всеми элементами предыдущего слоя (для большинства вариантов сети полная система связей является предпочтительной). В узлах сети активный нейрон вычисляет свое значение активации, беря взвешенную сумму выходов элементов предыдущего слоя и вычитая из нее пороговое значение. Затем значение активации преобразуется с помощью функции активации (или передаточной функции), и в результате получается выход нейрона. После того, как вся сеть отработает, выходные значения элементов последнего слоя принимаются за выход всей сети в целом.
Осн. св-ва использования НС:
- нелинейность
-преобразование входной информации в выходную на осн. алгоритмов обучения
- адаптивность
- высокая достоверность результатов
-масштабируемость
-единообразие анализа и проектирования
Нейронные сети вошли в практику везде, где нужно решать задачи прогнозирования, классификации или управления.
Нейронные сети привлекательны с интуитивной точки зрения, ибо они основаны на примитивной биологической модели нервных систем. Нейронные сети возникли из исследований в области искусственного интеллекта, а именно, из попыток воспроизвести способность биологических нервных систем обучаться и исправлять ошибки, моделируя низкоуровневую структуру мезга. Основной областью исследований по искусственному интеллекту в 60-е - 80-е годы были экспертные системы. Такие системы основывались на высокоуровневом моделировании процесса мышления (в частности, на представлении, что процесс нашего мышления построен на манипуляциях с символами). Скоро стало ясно, что подобные системы, хотя и могут принести пользу в некоторых областях, не ухватывают некоторые ключевые аспекты человеческого интеллекта.
Класс задач, которые можно решить с помощью нейронной сети, определяется тем, как сеть работает и тем, как она обучается. При работе нейронная сеть принимает значения входных переменных и выдает значения выходных переменных. Таким образом, сеть можно применять (совокупность! усл.):
а)Как правило, нейронная сеть используется тогда, когда неизвестен точный вид связей между входами и выходами, - если бы он был известен, то связь можно было бы моделировать непосредственно. Д
б) зависимость между входом и выходом находится в процессе обучения сети.
Задачи, решаемые с помощью НС
Следует отметить, что существуют задачи, которые в зависимости от постановки могут быть отнесены более чем к одному из рассмотренных классов. Так, прогнозирование биржевых рядов традиционно относят к регрессионным задачам. Однако анализ практического применения полученных прогнозов позволил сделать вывод, что для конечного потребителя информации важны не столько точные значения курса в будущем, сколько направление его движения – в сторону увеличения, или уменьшения. В такой постановке задача регрессии превратилась в задачу классификации, что позволило, применив соответствующие этому классу задач инструменты, получить её практическое решение. В других работах эта же задача решена с позиции кластеризации, путем сегментации рыночных ситуаций и последующего анализа полученных сегментов.