Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Цифра- знак служащий для обозначения чисел.
Натуральными называются числа, используемые для счета.
Нуль не является натуральным числом.
Натуральные числа, записанные одной цифрой, называются однозначными, а записанные несколькими цифрами – многозначными: двумя – двузначные, тремя – трехзначными и т.д.
Совокупность правил служащих для наименования и обозначения чисел, называется системой счисления, или нумерацией.
В системе, которую мы изложили, особо важное значение имеет число 10, и поэтому наша система носит название десятичной системы счисления (нумерации). Напишем число 285 468 с указанием возле каждой цифры места, занимаемого ею в этом числе:
Десятичную систему счислении (записи) натуральных чисел называют позиционной.
Из двух натуральных чисел больше то, которое в ряду натуральных чисел стоит правее (дальше от начала).
Для чтения многозначных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или дух цифр) Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.
Первый класс справа называют классом единиц, второй – классом тысяч, третий – классом миллионов, четвертый – классом миллиардов и т.д.
Каждое натуральное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых.
45673=40000+5000+600+70+3
Чтобы прочитать число, называют слева по очереди число единиц каждого класса и добавляют название класса. Не произносят название класса единиц, а также класса, все цифры которого – нули.
Координатный луч.
Деления и числа на приборах образуют шкалу, которая помогает определять значения измеряемой величины.
Шкала: линейка с делениями в различных измерительных приборах. Шкала термометра; ряд величин, цифр в восходящем или нисходящем порядке. Шкала температуры больного. Шкала заболеваний. Шкала заработной платы.
Каждое деление шкалы соответствует одному единичному отрезку.
Единичным называется отрезок, длина которого принята за единицу измерения (1 см, 1 мм, 1 попугай, 1 стол, 1 минута и т.д.).
Нарисуем горизонтальную прямую x, выберем на ней точку O и назовём её началом отсчёта, выберем на этой прямой направление (обычно слева направо) и единичный отрезок (то есть отрезок, длина которого по определению равна 1 (см. рисунок). Говорят, что,задана координатная прямая. Каждому натуральному числу можно поставить в соответствие одну и только одну точку.
Координатой точки А называют число, показывающее расстояние от начала отсчета до точки А.
Метрические меры длины:
километр (км) = 1 000 метрам,
метр (м) = 10 дециметрам = 100 сантиметрам,
дециметр (дм) = 10 сантиметрам,
сантиметр (см) = 10 миллиметрам (мм).
Меры веса.
1 грамм (г) = 100 миллиграммам,
1 килограмм (кг) = 1 000 граммам,
1 центнер (ц) = 100 килограммам,
1 тонна (т) = 1 000 килограммам.
Высказывание – мысль, выраженная повествовательным предложением. Высказывания бывают истинные и ложные.
Определениями называются такие предложения, в которых разъясняется значения новых слов.
Величинами называются такие понятия как: длина, ширина, площадь, объём, масс, время, скорость и т.д. Величина есть результат измерения.
Постоянными величинами называются такие величины которые никогда не меняют своего числового выражения: килограмм (кг), час (ч), год, секунда (сек.), метр (м) и т.д.
Переменной величиной называется такая величина, которая может принимать бесконечное число различных значений (либо с течением времени , либо в зависимости от других, изменяющихся величин или обстоятельств).
Выражениями называются числа, буквы, скобки, соединенные между собой знаками арифметических действий.
Выражения бывают: числовые и буквенные.
Значением выражения называют число, которое получится, если в числовом выражении произвести все указанные действия.
Упростить выражение, значит, выбрав удобный способ, произвести все указанные действия.
Умножение.
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3+ 3 + 3 = 30.
Если число 3 нужно повторить слагаемым 10 раз, то пишут: 3 10 = 30.
Следовательно, умножение это действие, состоящее в нахождении суммы одинаковых слагаемых.
Умножением называется сумма n слагаемых каждое из которых равно а.
Действие умножения всегда возможно и при данных сомножителях даёт единственный результат.
Если множитель равно единице (1), то произведение равно множителю
(1 • 6 = 6; так как 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1=6).
Если множитель равен единице, то произведение принимается равным другому множителю (7 • 1 = 7).
Если множитель равен нулю (0), то произведение равно нулю (0 • 5 = 0, так как 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0).
Если множитель равен нулю (0), то произведение принимается равным нулю (5•0 = 0).
Деление.
Делением называется действие, посредством которого по данному произведению двух сомножителей и одному из этих сомножителей отыскивается другой сомножитель.
Если а = b • с , то b = а : с
Если делимое равно делителю, то частное равно единице (9:9= 1).
Если делитель равен единице (1), то частное равно делимому (12 : 1 = 12).
Деление на нуль (0) невозможно.
Сложение, вычитание и умножение натуральных чисел обладают следующими свойствами и законами.
a – (b + c) = (a – b) – c или a – (b + c )= (a – с) – в (правило вычитания суммы из числа).
Чтобы из числа вычесть сумму, нужно из этого числа вычесть одно слагаемое , а потом из полученной разности другое слагаемое.
(a + b) – c = a – с + b или (a + b) – c = a – b + c (правило вычитания числа из суммы)
Чтобы из суммы вычесть число, можно из любого слагаемого вычесть это число, а потом прибавить второе слагаемое.
a + b = b + a (переместительный закон сложения).
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
(a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
В сумме нескольких слагаемых, слагаемые можно менять местами и заключать в скобки любым образом.
а + 0 = а (свойство нуля при сложении)
Если к числу прибавить нуль, то получим тоже самое число.
0 + а = а; (свойство нуля при сложении)
Если к нулю прибавить число, то получим тоже самое число.
а – 0 = а; (свойство нуля при вычитании)
Если от числа вычесть нуль, то получим тоже самое число.
а – а = 0; (свойство нуля при вычитании)
Если из числа вычесть тоже самое число, то получим нуль.
ab = ba (переместительный закон умножения).
От перемены мест множителей произведение не меняется.
(ab)c = a(bc) (сочетательный закон умножения).
В произведении нескольких множителей, множители можно менять местами и заключать в скобки любым образом.
a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).
Чтобы сумму умножить на число, необходимо каждое слагаемое умножить на это число, затем полученные произведения сложить.
a(b - c) = ab - ac (распределительный закон умножения относительно вычитания).
Чтобы умножить разность на число, достаточно умножить на это число, отдельно уменьшаемое и вычитаемое и затем из первого произведения вычесть второе.
(а + b) : с = а : с + b : с (свойство деления суммы на число)
(4 + 6) : 2 = 4 : 2 + 6 : 2 = 2 + 3 = 5.
Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сложить. (Предполагается, что все деления выполняются без остатка.)
(а – b) : с = а : с – b : с (свойство деления разности на число)
(18 – 6) : 3 =18:3 – 6 : 3 = 6 – 2 = 4.
Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, достаточно отдельно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе. (Предполагается, что и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на это число без остатка.)
Равенством называют высказывание, в записи которого присутствует знак « = ».
Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.
Корнем уравнения называют значение переменной, при котором данное уравнение превращается в верное равенство.
Решить уравнение, значит, найти его корни или доказать что их нет.
Формула деления с остатком
При делении числа а на число b устанавливается, сколько раз по b содержится в а:
Если получилось с откладываний и осталось r единиц (r < b), то а = b • c + r. Это равенство называют формулой деления с остатком. В нём показана взаимосвязь между делимым, делителем, частным и остатком:
Итак, при делении с остатком делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток (остаток меньше делителя).
Задача.
Некоторое число разделили на 8. Получилось частное 6 и остаток 3. Найти делимое.
Решение:
b = 8, с = 6, r = 3, Надо найти а. По формуле деления с остатком имеем:
а = b • с + r = 8 • 6 + 3 = 51.
Порядок выполнения совместных действий. Скобки.
Рассмотренные нами четыре действия — сложение, вычитание, умножение и деление — принято делить на две ступени. Первые два действия, т. е. сложение и вычитание, называются действиями первой ступени, а последние два, т. е. умножение и деление, — действиями второй ступени. В каждой ступени, следовательно, имеется одно прямое и одно обратное ему действие.
Мы будем называть арифметическим выражением всякую совокупность чисел и знаков, указывающих, какие действия над этими числами нужно произвести.
Если в выражении встречаются только действия первой ступени, то их принято выполнять в том порядке, в каком они написаны слева направо.
23 + 12— 5 = 35 — 5 = 30; 38— 18 + 11 = 20 + 11 = 31.
Если в выражении встречаются только действия второй ступени, то их принято выполнять в том порядке, в каком они написаны, слева направо. Например:
60 24 : 8 = 1 440 : 8 = 180; 100 : 5 6 = 20 6 = 120.
Если в выражении встречаются действия и первой, и второй ступени, то сначала принято выполнять действия второй ступени, а потом первой.
1) 80 20 + 10 = 1 600 + 10 = 1 610,
2) 90 + 60 : 4 = 90 + 15 = 105.
Всякое отклонение от этого порядка должно быть обозначено скобками.
Например: (15 + 10) 4 — (27 — 9) : 3 = 25 4 — 18 : 3 = 100 — 6 = 94.
Средним арифметическим нескольких чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их число.