Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
24. метод фазового пространства. анализ устойчивости по типовым фазовым портретам нелинейных систем.
2.1. Фазовое пространство
Введем понятие фазового пространства. Пусть система n–порядка описы-
вается дифференциальными уравнениями
с начальными условиями х1=х10, x2 = x20 , …, хn= хn0 при t = 0. В (2.1) f и v – возмущение и входное воздействие, а хi – переменные, имеющие в конкретной системе свой физический смысл. Это могут быть выходная координата и ее производные. Если в (2.1) n = 3 , то x1 , x2 , x3 можно представить как прямоугольные координаты (рис. 2.1).
Начальные условия ( х10 , х20, х30 ) определяют координаты точки M0 при t = 0. По мере
развития процесса в системе точка M перемещается в пространстве и значения x1, x2,x3 изменяются. Точка M называется изображающей точкой, ее траектория – фазовой траекторией, а пространство (x 1 , x 2 , x 3 ) – фазовым пространством. Если переменных n>3 , то фазовое пространство будет n –мерным, а если только две (система второго порядка), то фазовое пространство превращается в фазовую плоскость.
Рассмотрим поведение автономной линейной системы, описываемой уравнением второго порядка
Обозначим скорость изменения координаты x , т.е. dx/dt, через x’ . Тогда уравнение примет вид
Исключим из последней системы время t, разделив первое уравнение на
второе:
Решение последнего уравнения определяет семейство кривых на фазовой плоскости, которое называют фазовым портретом системы. При этом возможны шесть типовых случаев изображения портретов систем в зависимости от корней характеристического уравнения системы:
Анализ устойчивости по типовым фазовым портретам нелинейных систем.
1. Корни вещественные отрицательные при a12 > 4a2 , a1 > 0 , a2 > 0 (система устойчивая, апериодический монотонный процесс) (рис. 2.2).
Особые точки. В точках, которые соответствуют установившемуся состоянию системы на основании (2.3) имеем:
т.е. наклон касательных к фазовым траекториям не определен. Такие точки называют особыми точками. Для рассмотренных шести случаев, особые точки называют соответственно: устойчивым узлом – (рис. 2.2), неустойчивым узлом – рис. 2.3, устойчивым фокусом – рис. 2.4, неустойчивым фокусом – рис. 2.5, центром –
рис. 2.6, седлом – рис. 2.7.
Отметим общие свойства фазовых траекторий:
1) через всякую точку фазовой плоскости, за исключением особых точек, проходит единственная фазовая траектория, это означает, что фазовые траектории не пересекаются между собой;
2) в верхней фазовой полуплоскости при возрастании времени t изображающая точка движется слева направо, в нижней полуплоскости движение происходит справа налево.
3) в точках, где x’ = 0, f (x’, x)<>0 (не особых точках на оси абсцисс), фазовые траектории пересекают ось под прямым углом.
Фазовые портреты нелинейных систем. В нелинейных системах, как правило, существуют несколько особых точек. Возможны их самые различные комбинации. В связи с этим для определения характера движения системы необходимо строить фазовый портрет НСАУ. При этом каждая нелинейная система имеет собственный фазовый портрет.
Выделим основные особенности фазовых портретов нелинейных систем:
- нелинейные системы в отличие от линейных могут иметь несколько особых точек, в том числе и бесчисленное множество;
- в нелинейных системах существуют замкнутые кривые – предельные циклы, к которым сходятся или от которых расходятся все остальные фазовые траектории.
Все фазовые портреты можно классифицировать по типу предельного цикла. Рассматривают три типа предельных циклов.
1. Устойчивый предельный цикл: к нему стремятся все соседние фазовые траектории.
В системе существуют установившиеся устойчивые незатухающие колебания (автоколебания). При больших начальных условиях a’ колебания затухают, и система ведет себя как устойчивая. При начальных условиях внутри цикла a’’ колебания расходятся, что соответствует неустойчивому движению. Говорят, что система «устойчива в большом и неустойчива в малом» (рис. 2.8). В инженерной практике по виду предельного цикла можно определить амплитуду и частоту автоколебаний.
2. 2.Неустойчивый предельный цикл: с него сходят все соседние фазовые траектории. В системе никогда не будет установившихся колебаний, так как при наличии сколь-нибудь малых возмущений они гаснут, либо расходятся, если лежат за переделами цикла.
3. Полуустойчивый предельный цикл. С одной стороны к нему стремятся соседние фазовые траектории, с другой стороны сходят. Возможны два варианта: полуустойчивый предельный цикл в сторону устойчивости, когда движение всегда устойчиво, так как при любых рассогласованиях система придет в особую точку – начало координат и полуустойчивый предельный цикл в сторону неустойчивости, движение всегда неустойчиво, так как при любых начальных отклонениях процессы расходятся.
2.2. Методы построения фазовых портретов
При построении фазовых портретов используют методы решения уравнений по участкам, изоклин, Льенара, d-метод.
Метод решения уравнений по участкам. Поясним этот метод на примере.
Пусть НСАУ имеет структуру, приведенную на рис. 2.11.
Фазовый портрет, построенный по полученным выражениям, имеет вид, приведенный на рис. 2.12, а примерная кривая процесса y(t) соответствует рис. 2.13.
Метод изоклин.
кривых), а множество линий для разных значений N – семейство изоклин (штриховые линии на рис. 2.14). Уравнение изоклин y’i = f (Ni , yi )
Построение фазовой траектории осуществляется так (рис. 2.14):
строят изоклины; далее из начальной точки M0 проводят два луча с наклонами N1 и N2 до пересечения со следующей изоклиной; отрезок, отсекаемый ими на следующей изоклине делят пополам, точка M1 будет исходной точкой для следующего построения.
Таким образом, фазовая траектория – это линия, проходящая через средние точки. Точность построения тем выше, чем больше изоклин.
Достоинством метода изоклин является возможность построения фазовых траекторий для любых начальных условий, а недостатками – трудоемкость процесса построения и отсутствие возможности исследования системы при изменении параметров во времени или в зависимости от изменения внешних воздействий.
Метод Льенара. Этот метод применяется в том случае, когда свободное движение описывается уравнением вида: x’’ + f (x’) + x = 0 .
Наклон на фазовой плоскости определяется как dx’/dx= (f (x’)+x)/x’
Льенар предложил на фазовой плоскости строить кривую x = - f (x’) , а затем определять направление движения траектории согласно следующему алгоритму:
1. Выбирается начальная точка P1(x1’,x1) и осуществляется движение из этой точки до пересечения с кривой x = - f (x’) .
2. Из точки пересечения опускается перпендикуляр на ось x и находится точка Q1 .
3. Радиусом R1 , равным длине отрезка [ P1 , Q1 ], проводится дуга окружности с центром в точке Q1.
4. На этой дуге произвольно выбирается точка P2 и процесс повторяется:
осуществляется движение до пересечения с кривой x = - f (x’) , определяется Q2 , радиус R2 и т.д.
Для увеличения точности построения фазовых траекторий дуги окружности рекомендуется выбирать минимальной длины.
К методу Льенара близок d-метод построения фазовых портретов, который также основан на построении окружностей, отрезки дуг которых составляют фрагменты фазовых траекторий. В отличие от метода Льенара d-метод позволяет исследовать процессы в системах с изменяющимися во времени коэффициентами, а так же вынужденные движения.