тема n~порядка описы вается дифференциальными уравнениями с начальными условиями
Работа добавлена на сайт samzan.net:
24. метод фазового пространства. анализ устойчивости по типовым фазовым портретам нелинейных систем.
2.1. Фазовое пространство
Введем понятие фазового пространства. Пусть система n–порядка описы-
вается дифференциальными уравнениями
с начальными условиями х1=х10, x2 = x20 , …, хn= хn0 при t = 0. В (2.1) f и v – возмущение и входное воздействие, а хi – переменные, имеющие в конкретной системе свой физический смысл. Это могут быть выходная координата и ее производные. Если в (2.1) n = 3 , то x1 , x2 , x3 можно представить как прямоугольные координаты (рис. 2.1).
Начальные условия ( х10 , х20, х30 ) определяют координаты точки M0 при t = 0. По мере
развития процесса в системе точка M перемещается в пространстве и значения x1, x2,x3 изменяются. Точка M называется изображающей точкой, ее траектория – фазовой траекторией, а пространство (x 1 , x 2 , x 3 ) – фазовым пространством. Если переменных n>3 , то фазовое пространство будет n –мерным, а если только две (система второго порядка), то фазовое пространство превращается в фазовую плоскость.
Рассмотрим поведение автономной линейной системы, описываемой уравнением второго порядка
Обозначим скорость изменения координаты x , т.е. dx/dt, через x’ . Тогда уравнение примет вид
Исключим из последней системы время t, разделив первое уравнение на
второе:
Решение последнего уравнения определяет семейство кривых на фазовой плоскости, которое называют фазовым портретом системы. При этом возможны шесть типовых случаев изображения портретов систем в зависимости от корней характеристического уравнения системы:
Анализ устойчивости по типовым фазовым портретам нелинейных систем.
1. Корни вещественные отрицательные при a12 > 4a2 , a1 > 0 , a2 > 0 (система устойчивая, апериодический монотонный процесс) (рис. 2.2).
Особые точки. В точках, которые соответствуют установившемуся состоянию системы на основании (2.3) имеем:
т.е. наклон касательных к фазовым траекториям не определен. Такие точки называют особыми точками. Для рассмотренных шести случаев, особые точки называют соответственно: устойчивым узлом – (рис. 2.2), неустойчивым узлом – рис. 2.3, устойчивым фокусом – рис. 2.4, неустойчивым фокусом – рис. 2.5, центром –
рис. 2.6, седлом – рис. 2.7.
Отметим общие свойства фазовых траекторий:
1) через всякую точку фазовой плоскости, за исключением особых точек, проходит единственная фазовая траектория, это означает, что фазовые траектории не пересекаются между собой;
2) в верхней фазовой полуплоскости при возрастании времени t изображающая точка движется слева направо, в нижней полуплоскости движение происходит справа налево.
3) в точках, где x’ = 0, f (x’, x)<>0 (не особых точках на оси абсцисс), фазовые траектории пересекают ось под прямым углом.
Фазовые портреты нелинейных систем. В нелинейных системах, как правило, существуют несколько особых точек. Возможны их самые различные комбинации. В связи с этим для определения характера движения системы необходимо строить фазовый портрет НСАУ. При этом каждая нелинейная система имеет собственный фазовый портрет.
Выделим основные особенности фазовых портретов нелинейных систем:
- нелинейные системы в отличие от линейных могут иметь несколько особых точек, в том числе и бесчисленное множество;
- в нелинейных системах существуют замкнутые кривые – предельные циклы, к которым сходятся или от которых расходятся все остальные фазовые траектории.
Все фазовые портреты можно классифицировать по типу предельного цикла. Рассматривают три типа предельных циклов.
1. Устойчивый предельный цикл: к нему стремятся все соседние фазовые траектории.
В системе существуют установившиеся устойчивые незатухающие колебания (автоколебания). При больших начальных условиях a’ колебания затухают, и система ведет себя как устойчивая. При начальных условиях внутри цикла a’’ колебания расходятся, что соответствует неустойчивому движению. Говорят, что система «устойчива в большом и неустойчива в малом» (рис. 2.8). В инженерной практике по виду предельного цикла можно определить амплитуду и частоту автоколебаний.
2. 2.Неустойчивый предельный цикл: с него сходят все соседние фазовые траектории. В системе никогда не будет установившихся колебаний, так как при наличии сколь-нибудь малых возмущений они гаснут, либо расходятся, если лежат за переделами цикла.
3. Полуустойчивый предельный цикл. С одной стороны к нему стремятся соседние фазовые траектории, с другой стороны сходят. Возможны два варианта: полуустойчивый предельный цикл в сторону устойчивости, когда движение всегда устойчиво, так как при любых рассогласованиях система придет в особую точку – начало координат и полуустойчивый предельный цикл в сторону неустойчивости, движение всегда неустойчиво, так как при любых начальных отклонениях процессы расходятся.
2.2. Методы построения фазовых портретов
При построении фазовых портретов используют методы решения уравнений по участкам, изоклин, Льенара, d-метод.
Метод решения уравнений по участкам. Поясним этот метод на примере.
Пусть НСАУ имеет структуру, приведенную на рис. 2.11.
Фазовый портрет, построенный по полученным выражениям, имеет вид, приведенный на рис. 2.12, а примерная кривая процесса y(t) соответствует рис. 2.13.
Метод изоклин.
кривых), а множество линий для разных значений N – семейство изоклин (штриховые линии на рис. 2.14). Уравнение изоклин y’i = f (Ni , yi )
Построение фазовой траектории осуществляется так (рис. 2.14):
строят изоклины; далее из начальной точки M0 проводят два луча с наклонами N1 и N2 до пересечения со следующей изоклиной; отрезок, отсекаемый ими на следующей изоклине делят пополам, точка M1 будет исходной точкой для следующего построения.
Таким образом, фазовая траектория – это линия, проходящая через средние точки. Точность построения тем выше, чем больше изоклин.
Достоинством метода изоклин является возможность построения фазовых траекторий для любых начальных условий, а недостатками – трудоемкость процесса построения и отсутствие возможности исследования системы при изменении параметров во времени или в зависимости от изменения внешних воздействий.
Метод Льенара. Этот метод применяется в том случае, когда свободное движение описывается уравнением вида: x’’ + f (x’) + x = 0 .
Наклон на фазовой плоскости определяется как dx’/dx= (f (x’)+x)/x’
Льенар предложил на фазовой плоскости строить кривую x = - f (x’) , а затем определять направление движения траектории согласно следующему алгоритму:
1. Выбирается начальная точка P1(x1’,x1) и осуществляется движение из этой точки до пересечения с кривой x = - f (x’) .
2. Из точки пересечения опускается перпендикуляр на ось x и находится точка Q1 .
3. Радиусом R1 , равным длине отрезка [ P1 , Q1 ], проводится дуга окружности с центром в точке Q1.
4. На этой дуге произвольно выбирается точка P2 и процесс повторяется:
осуществляется движение до пересечения с кривой x = - f (x’) , определяется Q2 , радиус R2 и т.д.
Для увеличения точности построения фазовых траекторий дуги окружности рекомендуется выбирать минимальной длины.
К методу Льенара близок d-метод построения фазовых портретов, который также основан на построении окружностей, отрезки дуг которых составляют фрагменты фазовых траекторий. В отличие от метода Льенара d-метод позволяет исследовать процессы в системах с изменяющимися во времени коэффициентами, а так же вынужденные движения.
2. Сопровождение договоров страхования определение страховой стоимости и премии в объеме 72 часа с 20 но
3. статьях Гражданского кодекса РФ и других нормативных правовых актах
4. Лекция ’ 10 Характеристика немецкой классической философии гносеология этика и эстетика И
5. Финансовый рынок
6. Тема- Ми чуємо тебе Кобзарю крізь століття
7. по теме- ldquo;Конкурентоспособность фирмыrdquo;
8. Общесоюзные нормы технологического проектирования предприятий автомобильного транспорта
9. Working memoryоперативная память utomtic processionавтоматическая обработка Effortful memoryпамять требующая выполнения з
10. Статья 1 Основные понятия используемые в настоящем Кодексе В целях настоящего Кодекса используются следую
11. Особенности воспитания физических качеств силы и выносливости
12. Определение скорости света
13. Понятийная составляющая концепта язык в русской и английской лингвокультурах
14. Реферат- «Главное - опыт компании» (печать по текстилю)
15. Психологический портрет молодого современника как объект научного познания
16. главное упустив лишь
17. УТВЕРЖДАЮ Директор Европейской бизнесшколы БФУ им
18. Расточительство как возможное основание ограничения дееспособности
19. Тема 5 Кредит это система экономических отношений в связи с передачей от одного собственника другому в
20. Методы педагогического исследования