Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE \* MERGEFORMAT 49
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Запороцкова И.В.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
ЧАСТЬ 2: ЖИДКОСТИ И ПРОЦЕССЫ В НИХ
ЧАСТЬ 3: ТВЕРДЫЕ ТЕЛА И ПРОЦЕССЫ В НИХ
Методическое пособие по общему физическому практикуму
Волгоград, 2010
ЧАСТЬ 2: ЖИДКОСТИ И ПРОЦЕССЫ В НИХ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2-1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ МЕТОДОМ СТОКСА И МЕТОДОМ КАПИЛЛЯРНОГО ВИСКОЗИМЕТРА
1.Цель работы
Целью работы является ознакомление с явлением вязкости жидкостей и с методикой определения внутреннего трения по методу Стокса и с помощью капиллярного вискозиметра.
2. Теоретические пояснения
При движении различных тел в жидкости в ней возникают силы внутреннего трения, препятствующие перемещению слоев жидкости, а значит и движущегося в ней тела. Прилегающие к телу слои жидкости движутся со скоростью тела, а у более удаленных скорость слоев уменьшается. Согласно закону Ньютона, сила вязкости (сила внутреннего трения) F, препятствующая скольжению слоев жидкости, определяется уравнением:
F= -ή S (dv/dx), (1)
при условии, что градиент скорости направлен вдоль х (перпендикулярно направлению движения. Коэффициент ή называется коэффициентом внутреннего трения, или коэффициентом динамической вязкости жидкости. Он зависит от природы жидкости и ее физических характеристик (таких как температура). Коэффициент вязкости можно определить, изучая относительное движение жидкости и соприкасающихся с ней твердых тел. В нашей работе использованы два метода определения: а) по движению шарика в жидкости под действием силы тяжести; б) по течению жидкости через капилляр.
2.1. Определение вязкости по методу Стокса.
В методе Стокса измеряют установившуюся скорость падения шарика в жидкости.
На твердый шарик, падающий в жидкости, действуют три силы: сила тяжести, архимедова сила и сила трения, обусловленная вязкостью жидкости. Для шарика, падающего в безграничной жидкости, Стоксом вычислена сила трения:
Fст = 6πRvή, (2)
где R – радиус шарика, v – скорость его падения, ή - динамическая вязкость жидкости.
Формула (2) применима только для случая, когда обтекание шарика жидкостью является безвихревым, т.е. число Рейнольдса Re = (ρжvR)/ή мало по сравнению с единицей (Re << 1).
По второму закону Ньютона можем записать:
→ → → →
ma = mg + Fарх + Fст
Если три упомянутые выше силы скомпенсированы, то падение шарика происходит с постоянной скоростью vо (ускорение а = 0). Равенство сил запишем в виде:
mg - Fарх –Fст = 0,
или
ρшVшg – ρжVшg = 6πRήvо,
где ρш – плотность шарика, ρж – плотность жидкости, Vш – объем шарика, или
(4/3) πR3g(ρш - ρж) = 6πRήvо . (3)
Тогда, измерив R, vо и зная плотности жидкости и шарика, можно определить ή. Зная ή, нетрудно вычислить число Рейнольдса Re = (ρжv0R)/ή. Если Re << 1, то определение вязкости по формулам (2) и (3) проведено достаточно точно. Если же условие Re<<1 не выполнено, то формула Стокса (2) должна быть заменена уточненной формулой:
F =6πRήvо (1 + (3/8) Re) (4)
Кроме того, на движение шарика определенное влияние оказывают стенки сосуда (в реальности жидкость не безгранична). Если шарик падает вдоль оси цилиндрического сосуда с жидкостью, то с учетом (4) вязкость определяется выражением:
2gR2(ρш - ρж)
ή = (5)
9vо (1+(3/8)Re) (1+2,4 (R/Rк))
где Rк – радиус цилиндрической колбы с жидкостью.
В (5) не учтено также слабое влияние свободной поверхности жидкости и дна колбы. Легко видеть, что вязкость входит и в правую часть формулы (5), а именно в число Рейнольдса Re. Поэтому вычисление вязкости ή по измеренным R и Re проводится по следующей схеме:
- сначала вычисляется вязкость ή1 в предположении, что Re = 0,
- затем по величине ή1 вычисляется Re = (ρжvR)/ή1
- и подставляется в (5).
В результате получаем подправленное значение вязкости ή2.
Если (ή2 - ή1)/ ή1 << 1 (это происходит, если Re << 1), то за окончательное значение вязкости можно взять величину ή2.
2.2. Определение вязкости с помощью капиллярного визкозиметра.
При течении вязкой жидкости по трубе круглого сечения распределение скорости в зависимости от радиуса определяется выражением:
v(r) = (R2ΔP/4 ή l ) (1- r2/R2), (6)
где R – внутренний радиус трубы, l - ее длина, ΔP - перепад давления на длине трубы.
Скорость слоев жидкости равна нулю у стенок трубы и максимальна на ее оси. Объем жидкости V, протекающей за Δt секунд через поперечное сечение трубы, определяется формулой Пуазейля:
R
V = 2πΔt ∫ r v(r) dr = ((π ΔP/8 ή l) R4 Δt) (7)
0
Таким образом, измеряя время Δt протекания определенного объема жидкости через трубку (капилляр) радиуса R и длины l при разности давлений ΔP, можно определить динамическую вязкость ή из соотношения (7).
3.Установка и порядок работы.
3.1. Определение вязкости по методу Стокса.
Установка состоит из:
а) секундомера;
б) измерительного устройства с измерительной головкой (имеющей точность до 0,01 мм) или микрометра;
в) цилиндрической колбы, в которую наливается испытуемая жидкость – глицерин (на основании колбы написано – «свинец»).
Порядок выполнения работы:
Определение вязкости водных растворов глицерина
Описанным выше методом (см. п. 3.1) определить вязкость водных растворов глицерина различной концентрации. Концентрации семи различных растворов (объем воды : объем глицерина) указаны на цилиндрических колбах. В расчете использовать значения плотности растворов, приведенные в таблице 1. Опыт проводить с мелкими стеклянными шариками (ρш = 19,5 г/см3). Выполнить по 3 опыта с раствором каждой концентрации. Результаты занести в таблицу 1. Построить график зависимости вязкости водного раствора глицерина от его концентрации.
Таблица 1.
|
Вода : глицерин (по объему) |
0:10 |
1:10 |
2:10 |
3:10 |
4:10 |
5:10 |
6:10 |
|
Плотность раствора (г/см3) |
1,3 |
1,3 |
1,2 |
1,2 |
1,2 |
1,2 |
1,2 |
|
Вязкость раствора |
|||||||
|
Время падения шарика |
3.2. Определение вязкости с помощью капиллярного вискозиметра.
Используемый капиллярный вискозиметр представляет собой стеклянную трубку с двумя расширениями, оканчивающуюся капилляром радиусом 1 мм. Сверху на стеклянную трубку надевается короткий резиновый шланг, связывающий ее со шприцом. По обе стороны от нижнего расширения имеются риски, объем жидкости между которыми 3,6 мл.
Порядок выполнения работы:
Длина капилляра вискозиметра измеряется линейкой. Перепад давления определяется по формуле:
ΔP = ρжg(h1 + h2)/2 (8)
где h1, h2 – расстояние от основания капилляра до рисок на вискозиметре (измеряются линейкой).
Опыт проделать 5 раз. Найти среднее значение вязкости и погрешность ее определения. Сформулировать выводы по работе.
4. Контрольные вопросы.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2-2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
Ознакомление с явлением поверхностного натяжения жидкости и с методиками экспериментального определения значения коэффициента поверхностного натяжения различных жидкостей (воды, глицерина машинного масла): 1 - методом отрыва кольца; 2 - капиллярным методом.
2. Теоретические пояснения
2.1. Поверхностное натяжение
Поверхность жидкости, соприкасающейся с другой средой, на пример, с ее собственным паром, с какой-либо другой жидкостью или с твёрдым телом (в частности, со стенками сосуда, в котором она содер жится) находится в особых условиях по сравнению с остальной массой жидкости.
На молекулу жидкости действуют силы притяжения со стороны окружающих молекул. Если молекула удалена от поверхности жид кости на расстояние, превышающее радиус сферы молекулярного дей ствия, то эти силы в среднем уравновешиваются. Если же молекула на ходится в приграничном слое, толщина которого равна радиусу сферы молекулярного действия, то появляется результирующая сила, направ ленная либо в сторону объема жидкости, либо в сторону объема гра ничащей с ней среды. Вследствие этого перемещение молекулы из по верхностного слоя вглубь жидкости сопровождается совершением работы.
В случае, если жидкость граничит со своим собственным паром, сила, испытываемая молекулами поверхностного слоя, направлена внутрь жидкости. Это объясняется тем, что плотность молекул в жид кости много больше, чем в паре над жидкостью, и поэтому сила притя жения, испытываемая молекулой со стороны молекул жидкости, боль ше, чем со стороны молекул пара.
Отсюда следует, что, перемещаясь из поверхностного слоя внутрь жидкости, молекула совершает положительную работу. Наоборот, пе реход молекул из объема жидкости к поверхности сопровождается отрицательной работой, т.е. требует затраты внешней работы.
Пусть по каким-либо причинам поверхность жидкости уве личивается. Это значит, что некоторое количество молекул переходит из объема жидкости в поверхностный слой. Если изотермически обратимым путем изменить поверхность на бесконечно малую величину dS, то необходимая для этого работа
dA = -σ dS (1)
Знак минус указывает на то, что увеличение поверхности (dS > 0) со провождается отрицательной работой.
Коэффициент σ является основной величиной, характеризующей свойства поверхности жидкости, и называется коэффициентом поверхностного натяжения (σ > 0).
Опр.1. Коэффициент поверхностного натяжения измеряется работой, необходимой для изотермического увеличения площади поверхности жидкости на единицу.
Ясно, что молекулы поверхностного слоя жидкости обладают из быточной потенциальной энергией по сравнению с молекулами, нахо дящимися в объеме жидкости. Эта избыточная потенциальная энергия называется свободной поверхностной энергией . Как всякая потен циальная энергия, свободная поверхностная энергия стремится к мини муму, поэтому поверхность жидкости стремится сократиться. Именно поэтому в отсутствие сил тяжести жидкость принимает сферическую форму, т.к. сфера обладает минимальной площадью поверхности при данном объеме ограниченной ею жидкости.
Свободная поверхностная энергия измеряется работой, которую могут совершить молекулы поверхности, перемещаясь внутрь жидкости под действием сил притяжения со стороны молекул в объеме жидкости, т.е.
и
Следовательно,
(2)
Итак, можем дать второе определение коэффициента σ.
Опр. 2. Коэффициент поверхностного натяжения жидкости можно определить как свободную энергию единицы площади этой поверхности.
Так как жидкость в равновесии должна иметь минимально возможную поверхность, то должны существовать силы, стремящиеся со кратить эту поверхность. Эти силы направлены по касательной к поверхности и называются силами поверхностного натяжения.
Для разрыва поверхности необходимо приложить внешние силы, параллельные к поверхности и перпендикулярные к линии разрыва.
Пусть тонкая пленка жидкости (например, мыльного раствора) натянута на проволочную прямоугольную рамку, одна из сторон кото рой подвижна (рис. 1). Силы поверхностного натяжения принуждают пленку сокращаться, и подвижная перекладина АВ вслед за пленкой перемещается вверх. Чтобы сохранить ее в равновесии, к перекладине нужно приложить силу F в виде груза.
Рис. 1. Схема рамки с мыльным раствором.
Этот опыт может быть использован для определения численного значения коэффициента поверхностного натяжения жидкости, обра зующей пленку. Действительно, поверхностная сила f, с учетом того, что пленка имеет две поверхности (т.к. пленка есть тонкий слой жид кости), равна при равновесии весу груза F:
2f = F, f = F/2
Если под действием этой силы перекладина переместилась на расстоя ние dx из положения АВ, то работа, совершенная силой, будет:
dA = fdx
Эта работа равна уменьшению свободной энергии пленки:
dA = dψ.
В свою очередь, dψ = σ dS. В данном случае dS = l dx, где l- длина рамки. Отсюда
dA = σ dS = σ ldx = fdx = (F/2) dx
и
(3)
Итак, получаем третье определение σ:
Опр. 3. Коэффициент поверхностного натяжения равен силе, приходящейся на единицу длины линии разрыва и действующей по касательной к поверхности жидкости,
2.2. Краевые углы. Условия равновесия на границе жидкости и твердого тела
Пусть некоторый объем жидкости помещен на поверхность твер дого тела. Форма, которую в этом случае принимает жидкость, опреде ляется соотношением трех действующих на жидкость сил: силы тяжести, сил взаимодействия молекул жидкости и сил взаимодействия между частицами жидкости и частицами твердого тела, с которым она контактирует. Характеристикой соотношения двух последних из перечисленных сил служит краевой угол Θ, т.е. угол, образованный каса тельной к поверхности жидкости у ее границы с твердым телом и по верхностью твердого тела.
Пусть жидкость 2 (рис. 2) граничит с плоской поверхностью твердого тела 1. Величина краевого угла определяется из условия равновесия: сумма проекций сил, приложенных к любому элементу длины линии соприкосновения трех сред 1, 2, 3, должна равняться нулю. Тогда
Рис. 2. Схема равновесного положения жидкости на поверхности твердого тела, случай частичного смачивания; угол между σ23 и σ12 равен Θ.
Откуда
(4)
Если , т.е. Θ = 0, то жидкость растекается тонким слоем по поверхности твердого тела (например, вода на чистом стекле). Это явление называется полным смачиванием.
Случай, когда Θ = π (когда ) соответствует полному несмачиванию твердого тела жидкостью (вода на парафине).
В большинстве случаев имеет место частичное смачивание (0 < Θ < π/2, рис. 3а) или частичное несмачивание (π/2 <Θ < π, рис. 3б).
а б
Рис. 3. Схемы частичного смачивания (а) и частичного несмачивания (б) жидкостью твердого тела.
Явление краевого угла наблюдается у стенок сосудов, когда в них налита жидкость. Образуется мениск, вогнутый у смачивающих жид костей и выпуклый у несмачивающих. Величина краевого угла здесь также определяется формулой (4).
2.3. Формула Лапласа.
Во многих случаях поверхность жидкости оказывается искривленной. Кривизна поверхности жидкости приводит к появлению сил, действующих на жидкость под этой поверхностью. Представим себе сферическую каплю жидкости с радиусом сферы r. При увеличении (или уменьшении) радиуса сферы растет (или уменьшается) площадь ее по верхности, а вместе с ней увеличивается (или уменьшается) поверхност ная энергия. Ясно, что это может быть достигнуто только ценой затра ты работы, которая производится силами, действующими в самой кап ле. Следовательно, объем жидкости под сферической поверхностью всегда несколько сжат, т.е. испытывает дополнительное давление, на правленное радиально. Из этих соображений можно вычислить и ве личину этого дополнительного давления, связанного с кривизной по верхности.
Пусть под действием этого давления жидкий шар уменьшит свой объем на dV. Работа сжатия жидкости произведена, очевидно, за счет уменьшения поверхностной энергии, то есть
.
Работа сжатия равна:
dA = PdV . (5)
Уменьшение поверхностной энергии:
dψ = σ dS,
где dS - уменьшение поверхности шара, соответствующее уменьшению радиуса на dr. Известно, что для шара площадь поверхности и объем равны, соответственно,
Тогда
Подставляя dS и dV в формулу (5), получаем:
Если поверхность цилиндрическая, то дополнительное давление, вызванное кривизной, определяется формулой:
В общем случае поверхности любой формы давление, обуслов ленное кривизной поверхности, выражается уравнением Лапласа
(6)
где и - главные радиусы кривизны для данного элемента поверх ности.
Дополнительное давление, определяемое формулой Лапласа, на правлено к центру кривизны поверхности. Поэтому в случае выпуклой поверхности оно направлено внутрь жидкости и добавляется к нор мальному давлению жидкости. В случае же вогнутой поверхности жид кость будет находиться под давлением меньшим, чем та же жидкость под плоской поверхностью. Математически это соответствует тому, что радиус кривизны для вогнутой поверхности, когда центр кривизны на ходится вне жидкости, считается отрицательным, а для выпуклой по верхности - положительным.
Дополнительное давление Лапласа, направленное перпендику лярно поверхности, возникает в результате действия сил поверхностно го натяжения, искривляющих поверхность жидкости.
2.4. Капиллярные явления.
Поверхность жидкости, налитой в сосуд, имеет некоторую кри визну вблизи границы между жидкостью и твердой стенкой сосуда.
Опр. Ес ли размеры сосуда, в котором находится жидкость, сравнимы с радиу сом кривизны поверхности жидкости, то такие сосуды называются капиллярными. Явления, происходящие в таких сосудах, называются капиллярными явлениями.
Так как для капиллярных сосудов характерна кривизна поверх ности жидкости в них, то здесь больше всего сказывается влияние дополнительного давления Лапласа. Непосредственным следствием этого давления является так называемый капиллярный подъём.
Θ •О Θ Θ
Рис. 4. Схема капиллярного подъема жидкости.
На рис. 4 изображена узкая трубка, опущенная в широкий сосуд с жидкостью. Пусть стенки трубки смачиваются жидкостью. Тогда жид кость, проникшая в трубку, образует вогнутый мениск. Радиус трубки r сравним с радиусом мениска .
Из-за давления Лапласа жидкость, заполняющая трубку, испыты вает давление P, направленное к центру кривизны мениска, т.е. вверх, и равное . Под действием этого давления жидкость поднимется по трубке до уровня h, при котором гидростатическое давление ρgh столба жидкости высотой h уравновешивает давление Р. То есть условие рав новесия будет:
(7)
где ρ - плотность жидкости.
Нетрудно установить связь между высотой подъема h и радиусом трубки r. Центр сферы, частью которой является мениск, находится в точке О (см. рис. 4). Краевой угол жидкости, соприкасающейся со стенками капилляра, равен Θ. Из рис. 4 следует, что
Тогда равенство (7) перепишется в виде:
откуда
(8)
В частности, дата жидкости, которая полностью смачивает стенки капилляра, то есть при Θ = 0, имеем:
h=2σ/ρgr
Итак, высота подъема жидкости в капилляре растет с уменьшени ем радиуса капилляра и с увеличением коэффициента поверхностного натяжения.
Если жидкость не смачивает капилляра, картина будет обратной, так как мениск теперь выпуклый, центр кривизны находится внутри жидкости и давление Лапласа окажется направленным вниз. Уровень жидкости в капилляре будет теперь ниже уровня в сосуде, в который опущен капилляр (отрицательный капиллярный подъем).
3. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом отрыва кольца.
Установка для определения величины σ (весы Жоли) изображена на рис. 5. Кольцо 1, изготовленное из материала, который хорошо смачивается исследуемой жидкостью, подвешивается на пружине дина мометра 2. Динамометр прикрепляется к кронштейну, жестко связанно му со штангой 5. Вдоль штанги передвигается столик 4, на котором устанавливается кювета 3 с исследуемой жидкостью. Кольцо 1 опуска ется в жидкость. При попытке оторвать кольцо от поверхности жид кости по внешней и внутренней окружностям кольца образуется плен ка. Суммарная длина пленки
L = πD+π(D-2d),
где D - наружный диа метр кольца, d - диаметр проволоки, из которой сделано кольцо. По этому, в соответствии с (3), получим:
, (9)
где F - сила отрыва кольца от поверхности жидкости. Эта сила измеря ется стрелкой динамометра 2 по шкале, проградуированной в миллиньютонах (1 mН = 10-3 Н). Перед опусканием кольца в жидкость по шкале дина мометра измеряют силу (с точностью 0,1 mH), растягивающую пружину 2 - силу тяжести, действующую на кольцо.
Рис. 5. Схема установки для определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом отрыва кольца: 1 – металлическое кольцо, 2 - динамометр, 3 – кювета с жидкостью, 4 – передвижной столик, 5 - штанга.
Для измерения силы F кронштейн со всем устройством медленно опускают в жидкость вплоть до полного касания кольцом поверхности жидкости. Затем медленно поднимают его, растягивая тем самым пружину 2. (То же самое можно проделать, поднимая и опуская кювету с исследуемой жидкостью). В момент отрыва кольца от поверхности жидкости за мечают показания динамометра (с той же точностью 0,1 mН). Это пока зание, за вычетом показания динамометра перед опусканием кольца, и представляет собой искомую силу F.
4. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости
методом компенсации разности давлений в капилляре.
Как отмечалось в п. 2.4, для определения коэффициента поверх ностного натяжения σ можно использовать формулу (8). Однако измерить точно высоту поднятия жидкости в капилляре трудно. В данной работе используется метод компенсации разности давлений. Если соз дать в капилляре над жидкостью избыточное давление, то при некото ром его значении Pизб уровень жидкости в капилляре сравнятся с уров нем жидкости в сосуде. Это избыточное давление можно измерить ма нометром:
Pизб = ρжgH (10)
где ρж - плотность манометрической жидкости, Н - разность высот в коленах манометра. Тогда коэффициент поверхностного натяжения вычисляется по формуле:
(11)
где r - радиус капилляра.
4.1. Описание установки.
Установка (рис. 6) представлявляет собой два специальных столика, на кото рых размещены: капилляр 1, сосуд с исследуемой жидкостью 2, широкий стакан с водой 3, спиртовой манометр 4. Широкая метал лическая трубка 5 соединяет составные части установки. Один ее конец с помощью резиновой пробки вставляется в капилляр 1, широкий отросток металлической трубки 6 и стакан с водой служат для изменений давления в системе, другой конец трубки присоединен к манометру 4. Столик 7 можно под нимать и опускать винтом 8.
Рис. 6. Схема установки для определения коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом компенсации разности давлений в капилляре.
5. Порядок выполнения работы.
5.1. Определение σ по методу отрыва кольца.
Методом отрыва кольца (см. раздел 3) провести измерения коэф фициента поверхностного натяжения трех исследуемых жидкостей: во ды, глицерина и машинного масла. Проделать по 5 опытов для каждой из жидкостей, результаты занести в таблицу 1. Учесть, что диаметр кольца D = 2 см, диаметр проволоки d = 1 мм.
Таблица 1.
|
F |
σ |
σср |
σср ± Δσ |
||
|
Вода |
1 |
||||
|
2… |
|||||
|
Глицерин |
1 |
||||
|
2… |
|||||
|
Машинное масло |
1 |
||||
|
2… |
5.2. Определение σ капиллярным методом.
1. Промыть капилляр 1 сначала водопроводной, потом дистилли рованной водой, а затем исследуемой жидкостью. Поместить его с помощью пробки в установку и опустить в сосуд с исследуемой жид костью 2 (рис. 5).
2. Вращая винт 8, медленно поднимать столик 7; вода заполняет объем отростка 6 и в системе повышается давление.
3. В момент, когда уровень жидкости в капилляре 1 сравняется с поверхностью исследуемой жидкостью, произвести отсчет Н разности уровней по манометру.
4. Опыт повторить 5-7 раз. Результаты измерений записать в таб лицу 2.
5. По формуле (11) вычислить значение коэффициента поверх ностного натяжения исследуемой жидкости, учитывая, что диаметр ка пилляра равен 0,95 мм. Вычислить погрешности измерений. Предста вить результат, указав температуру опыта.
6. Повторить измерения (пп. 1-5) для всех заданных жидкостей (вода, глицерин, машинное масло). Результаты свести в таблицу 2. Сде лать выводы.
Таблица 2.
|
H |
σ |
σср |
σср ± Δσ |
||
|
Вода |
1 |
||||
|
2… |
|||||
|
Глицерин |
1 |
||||
|
2… |
|||||
|
Машинное масло |
1 |
||||
|
2… |
6. Контрольные вопросы.
1. Суть явления поверхностного натяжения. Определение коэффициента поверхностного натяжения.
2. Краевые углы. Смачивание и несмачивание.
3. Определить дополнительное давление Лапласа для цилиндрической поверхности жидкости.
4. Определить дополнительное давление Лапласа сферической по верхности жидкости.
5. Капиллярные явления. Опустится или поднимется уровень жидкости в капилляре, если жидкость:
а) не смачивает капилляр,
б) смачивает капилляр?
Почему?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2-3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ХИМИЧЕСКИ ОДНОРОДНЫХ ВЕЩЕСТВ
Определение точки фазового перехода при плавле нии и кристаллизации твердого химического вещества (высшие пре дельные углеводороды – пальмитиновая кислота).
2. Теоретические пояснения
2.1. Фаза. Фазовые превращения. Условие фазового равновесия.
Опр. Фазой называется макроскопическая часть вещества, отде ленная от остальных частей системы границами раздела, так что она может быть извлечена из системы механическим путём.
Если две или больше различных фаз при данных температуре и давлении существуют одновременно, соприкасаясь друг с другом, и ес ли при этом масса одной из фаз не растет за счет другой, то говорят о фазовом равновесии. Переход вещества из одного состояния в другое называется фазовым переходом, или фазовым превращением.
Примером фазовых превращений могут служить изменения агре гатного состояния вещества. Под агрегатными состояниями понимают твердое, жидкое и газообразное состояния вещества. Твердое и жидкое состояния называют конденсированными. Испарением называют пере ход вещества из конденсированного состояния в газообразное. Обрат ный переход называется конденсацией. Переход из твердого состояния непосредственно в газообразное называется сублимацией или возгонкой. Переход из твердого состояния в жидкое называется плавлением, а об ратный переход из жидкого состояния в твердое - кристаллизацией.
Для описания системы вводятся следующие функции состоя ния: энтропия S, свободная энергия Гельмголъца ψ и термодинамический потенциал Гиббса Ф.
Опр. Разность энтропий в двух равновесных состояниях 2 и 1 равна приведенному количеству тепла, которое надо сообщить системе, чтобы перевести ее из состояния 1 в состояние 2 по любому квазиста тическому пути.
(1)
Свободная энергия Гельмголъца:
Ψ = U - TS (2)
Термодинамический потенциал Гиббса:
Ф = ψ + РV = U – TS + РV (3)
Для их дифференциалов легко получить:
dψ = -SdT – PdV
dФ = -SdT+VdР (4)
Пусть имеется система из двух фаз 1 и 2 химически однород ного вещества. Обозначим через и удельные термодинамические потенциалы вещества в этих фазах. Условием равновесия фаз является равенство их удельных термодинамических потенциалов:
(5) или
Смысл условия (5) состоит в том, что при любых фазовых пре вращениях величина удельного термодинамического потенциала остаётся неизменной. Таким образом, при всех изменениях состояния ве щества его удельный термодинамический потенциал всегда изменяется непрерывно.
2.2. Фазовые переходы первого и второго рода.
Опр. Фазовые переходы, сопровождающиеся скачкообразным из менением физических свойств при непрерывном изменении внешних параметров, называются фазовыми переходами первого рода.
Напри мер, изменения агрегатного состояния вещества. При фазовых перехо дах первого рода новая фаза не возникает сразу во всем объеме. Сначала образуются зародыши новой фазы, которые затем растут, распространяясь на весь объем. Температура, при которой происходит фазовый переход, называется точкой перехода.
Встречаются фазовые переходы, при которых превращения про исходят сразу во всем объеме в результате непрерывного изменения кристаллической решетки. Это может привести к тому, что при опреде ленной температуре изменится симметрия решетки. Это температура и будет точкой фазового перехода, который в этом случае называется фа зовым переходом второго рода. Температура, при которой происходит фазовый переход второго рода, называется точкой Кюри.
Понятия фазовых переходов первого и второго рода можно сформулировать и по-иному. Каждое фазовое превращение сопровож дается скачкообразными изменениями каких-то величин, характери зующих свойства вещества. Удельный термодинамический потенциал φ (Т, Р) остается непрерывным при любых превращениях. Однако его производные могут испытывать разрыв непрерывности.
Опр. Фазовые превращения, при которых первые производные функции φ (Т, Р) меняются скачкообразно, называются фазовыми превращениями первого рода.
(6)
Такие превращения характеризуются скачкообразными изменениями либо удельной энтропии S, либо удельного объема V, либо обеих ве личин вместе. Скачкообразное изменение S означает, что фазовое пре вращение сопровождается выделением или поглощением тепла. Отсюда заключаем, что к фазовым превращениям первого рода относятся из менения агрегатного состояния.
Опр. Фазовые превращения, при которых первые производные функции φ (Т, Р) остаются непрерывными, а вторые производные меняются скачкообразно, называются фазовыми превращениями второго рода.
Из фор мулы (6) следует, что при таких превращениях величины S и V остаются непрерывными. То есть фазовые превращения второго рода не сопро вождаются выделением или поглощением тепла, а также изменением удельного объема вещества. Для вторых производных φ (T, P) можно записать:
Из этих формул видно, что фазовые превращения второго рода сопро вождаются скачкообразными изменениями одной или нескольких ве личин:
1) удельной теплоемкости СР ,
2) коэффициента теплового расширения
3) изотермического коэффициента сжатия .
К фазовым превращениям второго рода относится переход сплава из ферромагнитного состояния в парамагнитное, переход в сверхпроводящее состояние и т.д.
Для удельных термодинамических потенциалов вещества в пер вой и второй фазах можно записать, согласно (4):
Из условия (5) получаем:
(7)
где
Если фазовые превращения сопровождаются скачкообразными изменениями энтропии, то при таких превращениях поглощается или выделяется теплота, называемая удельной теплотой фазового превра щения. Например, при переходе единицы массы вещества из газообраз ного состояния 1 в жидкое 2 выделяется тепло
(8)
При переходе из 2 в 1 такое же тепло поглощается.
Подставим ∆S из выражения (8) в выражение (7), получаем:
(9)
Это важное соотношение называется уравнением Клапейрона - Клаузиуса.
2.3. Диаграмма состояния с тройной точкой.
Пусть число фаз химически однородного вещества, находящихся в равновесии друг с другом, равно трем. Примером может служить си стема, состоящая из твердой фазы, жидкости и ее пара. То есть выпол няются условия:
Первое уравнение системы изображает на плоскости кривую равнове сия между газом и жидкостью, т.е. кривую испарения 12 (рис. 1). Второе изображает кривую равновесия твердой и жидкой фаз, т.е. кривую плавления 23. Третье уравнение соответствует кривой возгонки 31, т.е. кривой равновесия между твердой и газообразной фазами. Эти три кривые пересекаются в точке А, называемой тройной точкой. Таким образом, три фазы могут находиться в равновесии друг с другом лишь в тройной точке, т.е. при вполне определенных значениях температуры и давления.
Рис. 1. Диаграмма состояния вещества с тройной точкой.
Плоскость РТ с указанными тремя кривыми равновесия называют диаграммой состояния. Точка К на кривой испарения называется кри тической точкой. Выше этой точки двух фаз нет. Благодаря этому воз можен непрерывный переход вещества из жидкого состояния в газооб разное, т.е. такой переход не сопровождается фазовыми превращения ми. Диаграмма состояния позволяет судить, какие будут происходить фазовые превращения при том или ином процессе. Например, произво дится нагревание при Р = cоnst. Если прямая, соответствующая этому процессу, проходит выше тройной, но ниже критической точки, то при нагревании твердое тело сначала расплавится (точка В), а затем жид кость испарится (точка С).
3. Методика выполнения работы и описание установки.
3.1. Физические принципы работы термопары. Эффект Зеебека.
В проводящей цепи, составленной из двух металлов, при наличии между двумя контактами этих металлов разности температур возникает разность потенциалов (ЭДС). Вольтметр, включенный в такую цепь (рис. 2), покажет эту разность потенциалов, если его клеммы имеют одинаковую температуру.
Опр. Явление возникновения ЭДС, обусловленной разностью темпера тур между контактами двух металлов, называется эффектом Зеебека, а сама эта ЭДС - термоэлектродвижущей силой, или термо-ЭДС (Е).
Термо-ЭДС обладает следующими свойствами:
1) Величина термо-ЭДС зависит лишь от рода металлов 1,2 и разности температур . Она не зависит от формы и размеров про водников и от геометрии контактов.
2) При замене знака на противоположный термо-ЭДС также ме няет свой знак.
Если в цепи, изображенной на рис. 2, контакты А и В представ ляют собой прочные и термостойкие спаи, то цепь называется диффе ренциальной термопарой. На использовании термопары основан один из наиболее точных и быстрых способов измерения температур.
Рис. 2. Схема дифференциальной термопары.
3.2. Методика выполнения работы.
Практическое выполнение работы включает два этапа:
- градуировка термопары с использованием ртутного термометра, имеющая целью каждому значению термо-ЭДС сопоставить соответ ствующую температуру; построение градуировочного графика;
- определение с помощью термопары фазового перехода исследуемого вещества путем нахождения температуры плавления и кристаллизации, построение графиков изменения температуры вещества (по значению термо-ЭДС) как функции времени при его нагревании и охлаждении.
Схема рабочей установки представлена на рис. 3.
Рис. 3. Схема рабочей установки: 1 - сосуд (пробирка) с исследуемым веществом; 2 - сосуд (пробирка) с водой для градуировки термопары; 3 - термометр ртутный; 4 - термопара; 5 - термостат (стакан); 6 - термостат охлаждающий (стакан); 7 - милливольтметр; 8 - нагреватель (электрическая плитка).
В термостат 5, заполненный водой, помещаются ртутный термо метр 3 с ценой деления 1°С, а также пробирки с водой 2 и исследуе мым веществом 1. В качестве нагревателя используется электрическая плитка 8. Температура воды и исследуемого вещества в пробирках определяется с помощью горячего спая термопары 4. Возникающая в термопаре ЭДС является функцией разности температур Т – Т0
,
где μ - термический коэффициент электродвижущей силы термопары.
Для фиксации ЭДС и определения температуры плавления и кри сталлизации вещества используется вольтметр 7, работающий в режиме милливольтметра (mV). Холодный спай термопары "медь - константан" находится в охлаждающем термостате 6, заполненном водой со льдом или снегом.
4. Порядок выполнения работы.
4.1. Градуировка термопары.
1. Термопару 4 поместить в пробирку 2 с водой комнатной температуры и включить нагреватель 8.
2. По контрольному ртутному термометру 3 через каждые до температуры воды записывать показания милливольтметра 7.
3. Отключить нагреватель. По мере охлаждения воды (примерно до 500С) по термометру проверить показания милливольтметра.
4. Результаты пп. 2, 3 занести в таблицу 1 и по ним построить гра фик в координатах «температура Т - значение термо-ЭДС Е» (зависимость Е(Т)).
4.2. Нахождение точки фазового перехода исследуемого вещества.
1 . Термопару 4 поместить в пробирку с исследуемым веществом 1.
2. Включить нагреватель 8. С помощью термопары исследовать температурный ход нагрева вещества. С интервалом в 1 мин. до тех же температур 80-900С в таблицу 2 записывать показания милливольт метра.
3. Выключить нагреватель. Аналогично п. 2 фиксировать темпе ратурный ход охлаждения вещества вплоть до окончания процесса кристаллизации. Результаты записывать в таблицу 3.
4. По записанным в таблицах 2, 3 результатам построить графики в координатах «значения термо-ЭДС Е - время t, мин» (зависимость E (t)). Из графиков определить точки фазового перехода при плавлении и кристаллизации исследуемого вещества. Особенно наглядно это вид но на графике охлаждения: достигнув определенного значения, Е оста ется практически неизменной в течение некоторого времени, а затем продолжает уменьшаться. Именно это "плато" и указывает на точку фазового перехода.
5. Контрольные вопросы.
1. Что называется фазой?
2. Что такое фазовый переход?
3. Чем характеризуется фазовый переход первого рода? Второго рода?
4. Вывод уравнения Клапейрона- Клаузиуса.
5. Диаграммы состояния. Тройная точка.
ЧАСТЬ 3: ТВЕРДЫЕ ТЕЛА И ПРОЦЕССЫ В НИХ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3-1
ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
Ознакомление с явлением теплопроводности и с методи кой экспериментального определения коэффициента теплопроводности твердого вещества (оргстекло) по известной теплопроводности эталон ного образца (чугун).
2. Теоретические пояснения.
Если в твердом теле существует разность температур между различными его частями, то тепло переносится от более нагретой части к менее нагретой путем теплообмена. В отличие от жидкостей и газов, в твердом теле не может возникнуть конвекция, т.е. перемещение массы вещества вместе с теплом. Поэтому перенос тепла в твердом теле осу ществляется только теплопроводностью. При рассмотрении математи ческой теории теплопроводности, основы которой были заложены французским математиком Фурье в первой четверти 19 века, предпола гается, что:
1) потерями тепла на лучеиспускание можно пренебречь;
2) объём системы остается постоянным, так что никаких перемещений ве щества в процессе передачи тепла не возникает;
3) рассмотрение огра ничивается только одномерными задачами, когда температура тела, помимо времени, зависит только от одной пространственной координа ты.
Опр. Плотностью потока тепла называется вектор j, совпадающий по направлению с направлением распространения тепла и численно равный количеству тепла, проходящему в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению потока тепла.
Пусть в неограниченной среде имеется поток тепла в направле нии, параллельном оси X. Выделим мысленно в среде цилиндр и рас смотрим бесконечно малый участок такого цилиндра АВ с длиной dx (рис. 1). Пусть S — площадь поперечного сечения цилиндра. Количе ство тепла, поступающее в цилиндр АВ за время dt через основание А с координатой х, равно j(x)Sdt. Количество тепла, уходящее за то же время через основание В, будет j(x+dx)Sdt. Полное количество тепла, вступающее за время dt в рассматриваемый участок цилиндра, равно
δQ =
C другой стороны, это количество тепла можно представить в виде
δQ =,
где - масса цилиндра АВ,
-удельная теплоёмкость,
dT – повышение температуры.
Рис.1. Схема передачи потока тепла в среде.
Приравнивая оба выражения, получаем:
(1)
Установим связь между плотностью потока тепла и темпера турой среды Т. Рассмотрим случай бесконечной однородной пластинки толщиной l. Пусть на одной стороне пластинки поддерживается темпе ратура , а на другой - , причем >. Опыт показывает, что поток тепла пропорционален разности температур - и обратно пропорционален толщине пластинки l, т.е.
,
где - коэффициент теплопроводности - положительная постоянная, зависящая только от материала пластинки.
Для бесконечно тонкой пластинки примем, что l = dx, , . Тогда формула (2):
(3)
Подставляя выражение (3) в формулу (1), получим:
(4)
Это уравнение называется уравнением теплопроводности.
Если в среде есть источники тепла (например, тепло может выде ляться в результате прохождения электрического тока или радиоак тивного распада), то для их учета вводится величина q, равная ко личеству тепла, выделяемому источниками в единице объема среды в одну секунду. Тогда уравнение теплопроводности запишется в виде:
(5)
Если среда и распределение температуры в ней обладают сферической и цилиндрической симметрией, вместо прямоугольной системы координат более удобно использовать сферическую или цилиндрическую координатные системы.
Тогда уравнение теплопроводности записывается для случая сферической симметрии:
(6)
где r - радиус сферы.
Для случая цилиндрической системы:
(7)
где r - расстояние до оси симметрии.
Все задачи на теплопроводность могут быть разделены на стационарные и нестационарные.
Опр. Стационарными называются такие задачи, в которых температура T не меняется во времени. В этом случае
.
Квантовая теория позволяет сопоставить распространяю щимся в твердом теле со скоростью звука колебаниям некоторые фик тивные частицы - фононы. Каждая частица характеризуется энергией hv, где h - постоянная Планка, v - частота колебания.
Пользуясь представлением о фононах, можно сказать, что тепло вые движения в твердом теле обусловлены именно ими, так как при аб солютном нуле фононы отсутствуют, а с повышением температуры их число возрастает. Твердое тело можно рассматривать как сосуд, содер жащий газ из фононов. Перенос тепла в фононном газе осуществляется столкновениями фононов с атомами решетки. Коэффициент теплопро водности твердого тела выражается формулой:
, (8)
где ρ - плотность тела, - его удельная теплоемкость, с - скорость звука в нем, λ - длина свободного пробега фононов.
В металлах, помимо колебаний решетки, в переносе тепла участвуют и электроны. При высоких температурах электронная часть теплопроводности много больше решеточной. Этим объясняются высо кая теплопроводность металлов по сравнению с неметаллами, в кото рых фононы - единственные переносчики тепла.
Пусть мы имеем два образца (в виде круглых пластинок) из различных материалов одинаковой площади, причем их толщина мно го меньше радиуса, чтобы не учитывать потери тепла через боковые стенки. Один образец - эталонный, его χ известен. В установившемся режиме при стационарном процессе тепловой поток через пластинки будет одним и тем же (рис. 2).
Рис.2. Схема теплового потока, проходящего через две пластинки.
Применив уравнение (2), получим:
,
где - коэффициент теплопроводности исследуемого образца; -толщины образцов; -температуры на поверхности образцов. Отсюда:
Если температура измеряется с помощью термопары и вольтметра (гальванометра), то показания вольтметра будут пропорциональны температуре какого-либо спая термопары (Т1, Т2 или Т3) при постоян ной температуре другого (комнатной). Тогда можно записать:
(9)
Для обратного расположения эталонной и исследуемой пластин:
(10)
3. Экспериментальная установка.
Экспериментальная установка для определения коэффициента теплопроводности твердого материала стационарным методом представлена на рис. 3.
Рис. 3. Установка для определения теплопроводности сравнительным методом: 1- нагреватель; 2 - холодильник; 3 - образец; 4 - эталон; 5 - переключатель; 6 - трансформатор.
Экспериментальная установка представляет собой нагреватель 1 и холодильник 2, между которыми находится исследуемый образец 3 и эталон 4. Между нагреваемым бло ком и исследуемым образцом помещена термопара I. Между исследуе мым образцом 3 и эталоном в теплопроводящей (медной) прослойке вмонтирована термопара II, и, наконец, между эталоном и холодиль ником - термопара III. Все термопары через переключатель 5 присоеди няются поочередно к гальванометру. С помощью этих термопар можно измерять все необходимые для расчета температуры. Тепловой поток создается за счет излучения тепла электрической лампочкой, которая питается от понижающего трансформатора 6. Эталонный и исследуе мый образцы представляют собой круглые пластинки, которые устана вливаются между нагревателем и холодильником.
Тумблер на передней панели установки включает и выключает только термопары, но не нагреватель. В положении "выкл." зайчик гальванометра должен стоять примерно на нулевом делении шкалы.
4. Порядок выполнения работы.
1. Поскольку первоначальный разогрев требует не менее 20 ми нут, то за это время надо сделать следующее:
1.1. Снять нагреватель с образцов и отставить его в сторону.
1.2. Не перегибая термопары, снять образцы и установить их на то же место в следующей последовательности: сначала установить ис следуемый образец из оргстекла выточкой вверх так, чтобы термопара легла в эту выточку, затем накрыть его эталонным образцом из чугуна выточкой вниз так, чтобы спай термопары попал как раз между выточ ками; сверху плотно установить нагреватель. При всех этих действиях не допускать никаких изгибов термопары, так как при этом константановый провод переломится, и установка выйдет из строя.
2. Включить установку в сеть. При этом начнет работать нагрева тель, а на шкале гальванометра появится зайчик. Записать время вклю чения.
3. Спустя 20 мин. записать показания гальванометра при трех по ложениях переключателя (при включенном тумблере) n1, n2 или n3, соот ветствующие температурам Т1, Т2 или Т3 на рис. 2. С интервалом в 5 ми нут продолжить эти измерения до установления стационарного потока тепла. Стационарность потока характеризуется тем, что все три темпе ратуры перестают изменяться, дойдя до некоторых определен ных значений (время установления стационарного потока ~ 60 минут).
Результаты записать в таблицу 1. Конечный результат (при стационарном потоке) использовать при вычислениях по формуле (9).
4. Нe выключая нагревателя и тумблера термопар, провести изме рения, аналогичные описанным в пп. 2 и 3, но для случая, когда стек лянная пластинка расположена сверху чугунной. Результаты записать в таблицу 2 и провести расчеты по формуле (10). Коэффициент теплопроводности чугуна принять равным χ = 0,12 Дж/м·с·К. Выключить установку из сети не, разбирая ее.
Таблица 1
|
чугун |
стекло |
холодильник |
|
|
t, мин |
|||
|
20 |
|||
|
… |
|||
|
60 |
|||
Таблица 2
|
стекло |
чугун |
холодильник |
|
|
t, мин |
|||
|
10 |
|||
|
… |
|||
|
45 |
|||
5. Контрольные вопросы.
1. Какие вам известны механизмы теплопередачи? Приведите примеры. 2. Дайте определение коэффициента теплопроводности.
3. Каков физический смысл величин, входящих в уравнение теплопроводности?
4.Почему опытные хозяйки предпочитают жарить на чугунных сковородах, а не на алюминиевых?
5. Почему металлические предметы, находящиеся в комнате, на ощупь кажутся холоднее, чем деревянные?
6. Один конец стержня, заключенного в теплоизолирующую оболочку поддерживается при температуре , а другой - при температуре . Сам стержень состоит из двух частей, длины которых l1 и l2 ? коэффи циенты теплопроводности χ1 и χ2. Найти температуру поверхности соприкосновения этих частей стержня.
7. Найти распределение температуры в пространстве между двумя ци линдрами с радиусами R1 и R2, заполненном однородным теплопроводящим веществом, если температуры цилиндров постоянны и равны соответственно Т1 и Т2.
8. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но для двух концентрических сфер с радиусами R1 и R2 и температурами Т1 и Т2.
9. Найти распределение температур в веществе, находящемся между двумя параллельными пластинами, если последние поддерживаются при температурах Т1 и Т2, расстояние между ними l и коэффициент теплопроводности веществ χ = √Т.
10. Каков механизм теплопередачи в твердых телах, жидкостях и газах?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3-2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ЛИНЕЙНОГО РАСШИРЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
Ознакомление с явлением теплового расширения твердых тел и с методикой определения значений коэффициентов линейного расширения твердых тел.
2. Теоретические пояснения
Опр. Явление изменения размеров тел при их нагревании
называют тепловым расширением.
Причина этого явления состоит в следующем. Потенциальная энергия взаимодействия пары соседних атомов в твердом теле в зависимости от расстояния между ними определяется графиком, изображенным на рис. 1.
Точка r0 на рис.1 соответствует равновесному расстоянию между взаимодействующими атомами; энергия взаимодействия при этом равна U0 и является минимальной из возможных для них энергией. Величина U0 характеризует глубину потенциальной ямы.
U
r0
0 r
U0
Рис. 1. График зависимости потенциальной энергии взаимодействия двух атомов от расстоянии r между ними.
При любом отклонении атомов от положения равновесия энергия их взаимодействия возрастает и возникает сила F, стремящаяся возвратить их в прежнее положение. Причем при r > r0 между атомами действует сила притяжения
F = - (dU/dr) < 0,
а при r < r0 – сила отталкивания
F = - (dU/dr) > 0.
При любой температуре атомы в твердом теле совершают тепловые ко лебания относительно положения равновесия. При этом каждый атом находится не на дне потенциальной ямы, а на определенном квантовом уровне Un > U0 (n = l, 2, 3……. ).
Приближенно можно считать, что, на пример, равновесное положение r0n атома на уровне Un соответствует середине отрезка rnI rnII (рис. 2). Повышение температуры приводит к переходу атома на более высокий уровень Um, Uk,….
U
rnI r0r0n r0k rnII r
Uk
Un
Uo
Рис.2. График, характеризующий изменение среднего расстояния между атомами с изменением их энергетического состояния.
Из рисунка 2 видно, что вследствие несимметричности потенциальной ямы точки равновесия смещаются вправо, что соответствует увеличению расстояния между атомами, т.к. r0k > r0n > r0.
Колебания в потенциальной яме такого вида являются ангармоническими, поскольку потенциальная энергия взаимодействия не является квадратичной функцией x, а представляется в виде ряда:
U = -U0 + ax2/2 - bx3/3 +…, (1)
где x = r – r0 – смещение атома от положения равновесия.
Действительно, гармонические колебания, как известно, происходят под действием силы, пропорциональной смещению
F = - ax . (2)
Для (1) же имеем:
F = dU/dx = - ax + bx2… (3)
То есть в разложении (3) присутствуют нелинейные члены.
Если бы колебания происходили по гармоническому закону (2), то энергия взаимодействия U была бы квадратичной функцией от x:
(4)
и, как видно из рисунка 3, при переходе атома на более высокий уровень (что соответствует нагреванию твердого тела) увеличения равновесного расстояния не было бы.
U ro r
Um
Un
Uo
Рис. 3. График зависимости среднего расстояния между атомами в случае их гармонического колебания.
Таким образом, необходимым условием теплового расширения твердых тел является ангармонизм колебаний атомов, который и наблю дается в асимметричной потенциальной яме.
Различают линейное тепловое расширение (изменение линейных размеров тела) и объемное тепловое расширение (изменение объемов тела). Первое характеризуется коэффициентом линейного расширения α, второе – коэффициентом объемного расширения β.
Опр. Коэффицент линейного расширения α твердого тела определяют величиной, численно равной относительному удлинению тела dl/l при повышении его температуры на 1 градус.
(5)
Вообще говоря, величина α зависит от температуры. При низких температурах, когда уровни низки и потенциальную кривую (рис. 1) можно аппроксимировать параболой (рис. 3), т.е. в разложении (1) членами третьего и выше порядков можно пренебречь, коэффициент линейного расширения близок к нулю. При повышении температуры он возрастает. Если интервал исследуемых температур невелик (до нескольких десятков градусов), то величину α с некоторой точностью можно считать постоянной для этого интервала.
Опр. Коэффициент объемного расширения β равен относительному изменению объема тела dV/V при повышении его температуры на 1 градус.
(6)
Для анизотропных кристаллов коэффициент линейного расширения различен для различных направлений. Это ведет к тому, что, расширяясь, кристалл меняет свою форму.
Из формул (5) и (6) следует, что длина тела lТ и объем тела VТ при некоторой температуре, отличной от начальной на ∆T, выражается (при малом ∆T) формулами:
lТ= l0(1+ α ∆T) и VТ = V0(1+ β ∆T),
где l0 и V0 – начальные длина и объем тела.
Коэффициенты объемного и линейного расширения практически остаются постоянными, если интервалы температур, в которых они измеряются, малы, а сами температуры высокие.
3. Методика выполнения работы
Для экспериментального определения коэффициента линейного расширения α, строго говоря, для каждой температуры Toi , кроме приращения необходимо измерить длину тела и вычислить α по формуле:
Однако в следующем интервале температур
Т Є [20, 100oC] (8)
длина изменяется слабо, т.е. ∆l << , и ее с допустимой погрешностью можно считать постоянной:
= │t = 20oC
Таким образом, набор коэффициента при различных температурах определяется по формуле:
l ∆ℓi
= (9)
ℓо∆Ti
где
∆ℓi = ℓi - ℓi - l
∆Ti = Ti – Ti - 1
i = 1, 2, 3,…, n.
4. Описание установки
Схема рабочей части установки приведена на рисунке 4.
Рис. 4. Схема установки для определения коэффициента линейного расширения твердых тел: 1 - исследуемый образец; 2 - вода; 3 - стеклянная пробирка; 4 - резиновая прокладка; 5 - нагреватель; 6 - индикатор малых перемещений (часового типа); 7 – кронштейн; 8 - стойка; 9 - датчик температур (термометр Г-образный); 10 - кнопка включения нагревателя в сеть.
Исследуемый образец 1 нагревается в воде 2, находящейся в стеклянной пробирке 3. Стеклянная пробирка со стержнем помещается через прокладку 4 внутрь нагревателя 5. Изменение длины нагреваемого образца по сравнению с его первоначальной длиной (при комнатной температуре) измеряется индикатором часового типа малых перемещений 6, закрепленным в крон штейне 7 на стойке 8. Кронштейн может поворачиваться вокруг оси стойки. Измерение температуры воды в пробирке производится с помощью датчика температур 9 ртутного Г-образного разного термометра.
Исследуемые образцы представляют собой три цилиндрических
стержня, изготовленные, соответственно из стали, алюминия и стекла.
5. Порядок выполнения работы
1. Налить в пробирку воды на ¾.
2. Измерив линейкой длину исследуемого стержня (с точностью до 0,5 мм), осторожно вставить его в пробирку. Туда же поместить до упора термометр 9. Уровень воды не должен доходить до края пробирки на 1,5 - 2 см.
3. Оттянув верхний шток индикатора малых перемещений 6, установить пробку в печь, поворотом кронштейна 7 индикатор установить над пробиркой, после чего опустить шток до касания торца стержня. Кронштейн зафиксировать винтом на торце стойки 8.
4. Записать показания индикатора 6 (с точностью до полуделения, т.е. с точностью до 5 микрон).
5. С помощью кнопочного выключателя 10 включить в сеть нагреватель 5. Через каждые 10°С возрастания температуры образца за писывать приращения его длины по индикатору. Нагревания проводить до 80°С.
6. Для продолжения работы и проведения опытов с другими образцами необходимо:
6.1. Кнопочным выключателем 10 отключить питание нагревателя.
6.2. Индикатор на поворотном кронштейне отнести в сторону, предварительно оттянув шток индикатора вверх.
6.3. Извлечь из прибора нагретую пробирку и поместить ее на подставку.
6.4. Выждать 30 минут. За это время печь охладиться, и установка будет готова для проведения опытов с другими образцами.
6.5. Повторить операции пунктов 6.1 – 6.6 для следующего образца.
7. По формуле (9) рассчитать ряд значений коэффициента α для каждого из трех образцов; построить графики зависимости их удлине ний от температуры и найти средние значения α.
8. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 1.
Таблица 1.
|
№ |
= … =… |
= … =… |
= … =… |
||||||
|
Сталь |
Алюминий |
Стекло |
|||||||
|
ТоС |
∆l,мм |
α, К-1 |
ТоС |
∆l,мм |
α, К-1 |
ТоС |
∆l,мм |
α, К-1 |
|
|
1 |
|||||||||
|
2 |
|||||||||
|
3 |
6. Контрольные вопросы
1. Дайте определение коэффициентов линейного и объемного расширения.
2. Объясните причину теплового расширения твердых тел. Почему увеличение амплитуды колебаний атомов не всегда приводит к увеличению среднего расстояния между ними?
3. В чем различие теплового расширения изотропных и анизо тропных тел?
4. Для тела в форме параллелепипеда со сторонами a, b и c найдите связь между коэффициентами линейного расширения αа, αb, αс и объемного теплового расширения β.
5. Объясните вид зависимости потенциала взаимодействия двух атомов от расстояния между ними.
6. Почему для газов и жидкостей не вводят понятия линейного
теплового расширения?
7. Металлический стержень состоит из трех частей разной длины с разными коэффициентами линейного теплового расширения. Найдите коэффициент линейного расширения стержня.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ