Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ИНЖИНЕРНО – ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ
ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА
Кафедра Высшей Математики
Лабораторная работа № 5
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ.
Выполнил: Власенко И.Е.
Группа: Э-32
Номер варианта: 4
Проверила: Фоменко Н.А.
ТАГАНРОГ 2013
Задача работы: Используя численные методы решения задачи Коши, решить задачу:
Метод Эйлера.
Пусть требуется решить задачу Коши: найти функцию , непрерывную при , удовлетворяющую при дифференциальному уравнению и начальному условию при
|
. |
(5.1) |
Решение задачи (5.1) существует и единственно, если функции и непрерывны в области , содержащей точку .
Ставится задача нахождения приближенных значений функции – в точках соответственно отрезка . Совокупность точек называется сеткой; точки - узлами сетки, - шагом сетки.
Одним из простейших методов численного решения задачи Коши (5.1) является метод Эйлера, основанный на использовании разностной схемы Эйлера
.
Разностная схема (5.2) называется явной, т.к. значения находятся последовательно, начиная с по явной формуле
|
, , . |
(5.2) |
В результате получаем приближенные значения функции в узлах сетки , т.е. сеточную функцию , . Оценим теперь величину аппроксимации разностной схемой Эйлера (5.2) исходной задачи (5.1). Сеточная функция
|
(5.3) |
называется погрешностью разностной схемы.
Подставляя из (5.3) в уравнение (5.2), имеем
|
, |
(5.4) |
где
, .
Невязка , которую имеет разностная схема (5.2) на решении задачи (5.1), называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (5.2).
Оценим величину . Для этого, разлагая по формуле Тейлора функцию в окрестности точки , имеем
.
Учитывая, что , имеем или .
Таким образом, разностная схема (5.2) имеет первый порядок аппроксимации.
Докажем сходимость разностной схемы Эйлера (5.2), т.е. что . Действительно, определяя величину из (5.4) и оценивая ее, имеем
В этом случае разностная схема (5.2) называется сходящейся и имеющей первый порядок точности. Таким образом, метод Эйлера достаточно прост, но обеспечивает низкую точность.
Метод Рунге-Кутта.
Повышение порядка точности осуществляется путем усложнения разностной схемы. На практике широко распространенными являются разностные схемы Рунге-Кутта второго и четвертого порядка точности.
Метод Рунге-Кутта второго порядка точности
Вычисления по этому методу осуществляются в два этапа. На первом этапе по схеме Эйлера находится промежуточное значение
|
. |
(5.5) |
На втором этапе находится значение по схеме
|
, |
(5.6) |
где , – параметры. Подставляя из (5.5) в (5.6), имеем
|
. |
(5.7) |
Нетрудно проверить (разложение по формуле Тейлора), что схема (5.7) имеет второй порядок аппроксимации при условии . Частные случаи разностной схемы (5.7):
|
. |
(5.8) |
Эта разностная схема носит название предиктор-корректор, или счет-пересчет. Первая схема из (5.8) – схема Эйлера с шагом (предиктор), вторая – схема со значением на полушаге (корректор).
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности
Используется схема
|
. |
(5.9) |
где – поправки, вычисляемые по формулам
|
. |
(5.10) |
При определении по заданному необходимо четыре раза вычислять правую часть (5.9) в следующей последовательности: . Если предположить достаточную гладкость (непрерывную дифференцируемость вплоть до производных 4-го порядка) и разложить , в окрестности , нетрудно показать, что невязка , т.е. разностная схема (5.9) имеет 4-й порядок аппроксимации.
Метод Эйлера для решения задачи Коши.
Метод Рунге–Кутта второго порядка точности для решения задачи Коши.
Метод Рунге–Кутта четвертого порядка точности для решения задачи Коши.
В ходе данной лабораторной работы были исследованы и реализованы методы решения задачи Коши (Метод Эйлера и метод Рунге-Кутта 2-ого и 4-ого порядков точности).