Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Исходные данные – множество пар {xi, yi}, i=0, 1, ..., n – могут быть заданы с погрешностью, обусловленной различными причинами. В этом случае использование интерполяции для решения задачи приближения функции не имеет особого смысла. Необходимо провести аппроксимирующую зависимость таким образом, чтобы она отражала основные особенности исследуемой зависимости и обеспечивала сглаживание выбросов, обусловленных погрешностями эксперимента.
Пример
В таблице 1 и на рисунке 1 приведены результаты эксперимента по определению сопротивления резистора с использованием закона Ома.
Таблица 1
Рисунок 1
Известно, что взаимосвязь между напряжением U и током I резистора в ограниченном диапазоне изменения тока описывается прямо пропорциональной зависимостью U=R I. В идеальном случае все экспериментальные точки должны лежать на прямой, проходящей через начало координат. В действительности 1) измеренные значения (таблица 1) не лежат на одной прямой; 2) результаты эксперимента содержат погрешность, обусловленную конкретными методами и средствами измерений. На рисунке 1 условно отображены погрешности +/- DU.
Для построения аналитического выражения, отображающего результаты эксперимента, использовать методы интерполяции невозможно (нет одной прямой, проходящей через все точки) и не имеет смысла (в нашей задаче погрешности надо сгладить, а не отобразить).
Применяют более общие методы приближения функций. Одним из них является аппроксимация сеточной функции с использованием метода наименьших квадратов. График аппроксимирующей функции не обязательно проходит через заданные точки, но обеспечивается достаточно малое отклонение значений аппроксимирующей зависимости от исходных данных.
Аппроксимирующая зависимость g(x) определяется с учетом выполнения условия минимума среднеквадратичного отклонения S:
(1)
В качестве аппроксимирующей зависимости могут быть выбраны различные функции; ограничимся случаем, когда используется алгебраический многочлен порядка m. Порядок многочлена m < n, на практике – чаще всего m << n.
(2)
Аппроксимация многочленом первого порядка
Рассмотрим случай аппроксимации сеточной функции f(xi), i=0, 1, 2, …, n многочленом первого порядка (m=1)
|
g(x) = a0 x + a1. |
(3) |
Тогда S принимает вид:
|
(4) |
Минимальное значение S достигается при условии, что
|
(5) |
В результате дифференцирования с использованием правил дифференцирования сложной функции получим:
|
(6) |
или с учетом (5)
|
(7) |
Теперь можно записать систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов искомой линейной зависимости a0, a1:
|
(8) |
Ясно, что
Расширенная матрица коэффициентов системы (8) имеет следующий вид:
|
(9) |
Для вычисления элементов расширенной матрицы (9) системы (8) удобно использовать таблицу типа (10):
|
i 0 1 2 … n S Xi Yi Xi2 XiYi |
(10) |
Значения Xi, Yi вводятся в соответствии с исходными данными; значения в строках Xi2, XiYi вычисляются. Затем производится вычисление значений элементов расширенной матрицы (9) (последний столбец таблицы 10). Естественно, что следует использовать средства автоматизации ввода формул.
Систему (8, 9) удобно решать матричным методом. Найденные значения коэффициентов линейной зависимости a0, a1 используются для вычисления значений аппроксимирующей зависимости в узлах сетки.
Аппроксимация многочленом второго порядка
Если взаимосвязь между переменными объекта целесообразно отображать параболической зависимостью, то аппроксимирующий многочлен имеет следующий вид (m=2):
|
g(x) = a0 x2 + a1x + a2. |
(11) |
Следовательно, необходимо найти три коэффициента выражения (11), составив предварительно систему трех линейных алгебраических уравнений.
Критерий близости исходной сеточной функции и аппроксимирующей зависимости S принимает вид:
|
(12) |
Частные производные S по коэффициентам a0, a1, a2 имеют следующий вид:
|
(13) |
Тогда система линейных алгебраических уравнений относительно a0, a1, a2 :
|
(14) |
Расширенная матрица системы
|
|
(15) |
может быть использована для решения системы (14, 15) и нахождения коэффициентов a0, a1, a2.
Для проведения вычислений в табличном процессоре удобно построить таблицу по типу таблицы (10).
PAGE 4