Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
4. Пример анализа опытных данных
Исходные данные.
На проволочном прокатном стане в течении нескольких лет производили катанку с минимально возможным по условиям прокатки диаметром 6 мм по ГОСТ 2590-88. По накопленным данным измерений фактического диаметра готовой проволоки установлено, что стандартное отклонение диаметра от номинала составляет 0,18 мм. Данные десяти случайно выбранных измерений диаметра приведены в табл. 4.1.
С целью увеличения точности готовой проволоки и уменьшения ее диаметра на стане установлен чистовой блок клетей (ЧБК). После запуска стана в эксплуатацию проведены случайные выборочные измерений диаметра. Результаты этих измерений приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Данные измерений диаметра проволоки, мм
|
№ измерения |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Старая технология |
6,13 |
5,30 |
5,94 |
5,46 |
5,96 |
5,67 |
5,75 |
5,91 |
5,69 |
6,00 |
|
Новая технология |
6,13 |
5,30 |
5,94 |
5,46 |
5,96 |
5,67 |
5,75 |
5,91 |
5,69 |
6,00 |
Для приведенных данных при уровне значимости 0.05 необходимо:
Рассчитать точечные и интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии диаметра проволоки.
Определить, какое количество измерений необходимо произвести для того, чтобы оценить математическое ожидание диаметра проволоки с точностью 0.1 мм и стандартное отклонение с точностью 0.5.
Проверить, соответствует ли полученная выборка нормальному закону распределения.
Проверить, нет ли среди результатов измерений диаметра проволоки резко выделяющихся значений.
Определить вероятность попадания диаметра в допуск по ГОСТ и то значение диаметра, которое не будет превышено с вероятностью 95%.
Определить, повлияла ли установка чистового блока клетей на точность прокатки и возможность получения проволоки меньшего диаметра.
Решение.
4.1. Точечные и интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии диаметра проволоки
Всю обработку опытных данных удобно производить в табличной форме, например, как это сделано в табл. 4.2, где - выборочное среднее.
Таблица 4.2.
Таблица расчета
|
Номер |
Старая технология |
Новая технология |
||||
|
измер. |
х |
х2 |
х |
х2 |
||
|
1 |
6,13 |
37,5769 |
0,35 |
5,49 |
30,1401 |
0,02 |
|
2 |
5,30 |
28,0900 |
0,48 |
5,52 |
30,4704 |
0,05 |
|
3 |
5,94 |
35,2836 |
0,16 |
5,74 |
32,9476 |
0,27 |
|
4 |
5,46 |
29,8116 |
0,32 |
5,40 |
29,1600 |
0,07 |
|
5 |
5,96 |
35,5216 |
0,18 |
5,01 |
25,1001 |
0,46 |
|
6 |
5,67 |
32,1489 |
0,11 |
5,53 |
30,5809 |
0,06 |
|
7 |
5,75 |
33,0625 |
0,03 |
5,62 |
31,5844 |
0,15 |
|
8 |
5,91 |
34,9281 |
0,13 |
5,47 |
29,9209 |
0,00 |
|
9 |
5,69 |
32,3761 |
0,09 |
5,54 |
30,6916 |
0,07 |
|
10 |
6,00 |
36,0000 |
0,22 |
5,42 |
29,3764 |
0,05 |
|
|
57,81 |
334,7993 |
2,07 |
54,74 |
299,9716 |
1,19 |
Для расчета точечных и интервальных оценок воспользуемся значениями сумм (), рассчитанных в табл. 4.2 и выражениями из п.п. 2.5 и 2.6. (здесь и в дальнейшем нижним индексом “с” обозначены величины относящиеся к старой технологии, без применения ЧБК, а нижним индексом “н” - для новой технологии, с ЧБК).
Точечные оценки
а) для старой технологии:
выборочное среднее арифметическое
;
выборочная дисперсия
;
среднеквадратическое (стандартное) отклонение
;
б) для новой технологии:
выборочное среднее арифметическое
;
выборочная дисперсия
;
среднеквадратическое (стандартное) отклонение
.
4.1.2. Интервальные оценки
а) для старой технологии генеральная дисперсия известна, поэтому для построения доверительного интервала для математического ожидания с используем нормальное нормированное распределение, выбрав из табл. П2 значение квантили для уровня значимости 0.975 - z0.975=1.96. Тогда
; ;
.
Строить интервальную оценку для дисперсии для старой технологии не имеет смысла, так как известно точное численное значение генерального среднеквадратического отклонения =0.18 , а следовательно, можно рассчитать точное значение генеральной дисперсии 2=0,0324.
б) для новой технологии генеральная дисперсия неизвестна, поэтому для построения доверительного интервала для математического ожидания н используем распределение Стьюдента. Для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы =N-1=10-1=9 табличное значение квантили составит (см. табл. П6) . Тогда ;
; .
Для дисперсии:
; ;
.
Вывод: Для старой технологии среднее значение диаметра проволоки составляло 5.78 мм при стандартном отклонении 0.26. Для новой технологии эти показатели имеют значения 5.47 и 0.19. Можно сделать предварительное заключение (статистическая значимость которого будет оценена ниже) о преимуществах новой технологии по сравнению со старой с точек зрения возможности получения катанки меньшего диаметра () и повышения ее точности ()
4.2. Расчет числа измерений, которые необходимо произвести для того, чтобы оценить математическое ожидание диаметра проволоки с точностью 0.1 мм и стандартное отклонение с точностью 0.5
4.2.1. Необходимое число измерений для оценки математического
ожидания с точностью 0.1 мм
а) Для старой технологии известно генеральное среднеквадратическое отклонение, поэтому для расчета необходимого количества измерений можно воспользоваться нормированным нормальным распределением (табл. П2) и выражением, полученным из уравнения для расчета интервальной оценки математического ожиданиям . Подставив L=20.1=0.2, s=0.18 и z(1-a/2)=z0.975=1.96, получим измерений.
а) Для новой технологии известно только выборочное среднеквадратическое отклонение, поэтому для расчета необходимого количества измерений следует воспользоваться распределением Стьюдента (табл. П6) и выражением, полученным из уравнения для соответствующего случая расчета интервальной оценки математического ожидания . Подставив L=20.1=0.2 и s=0.19, получим . Так как значения квантилей распределения Стьюдента зависят от количества измерений, то решение этого уравнения может быть получено численным методом.
Примем в качестве начального приближения 11 измерений. Будем округлять результаты вычислений до ближайшего целого в большую сторону.
При N=11 ta,N-1=2.228, N’=3.622.228218;
При N=18 ta,N-1=2.110, N’17;
При N=17 ta,N-1=2.120, N’17.
Так как принятое значение N=17 и рассчитанное N’ совпали, то расчет закончен.
4.2.2. Необходимое число измерений для оценки стандартного
отклонения с точностью 0.5
Под точностью оценки стандартного отклонения понимается величина , где L-ширина доверительного интервала.
Определение необходимого числа измерений может быть произведено с использованием неравенства . Так как в это выражение не входят числовые характеристики распределение конкретной случайной величины, то для достижения одинаковой точности оценки в обоих случаях (и для новой и для старой технологий) потребуется проделать одинаковое число опытов, которое можно определить из неравенства . Решение этого неравенства может быть произведено методом подбора, с использованием таблиц квантилей распределения Пирсона (табл. П3), как это показано в табл. 4.3. При этом, из соображений экономии затрат, следует подобрать минимально допустимое число измерений.
Таблица 4.3
Расчет необходимого числа измерений для оценки стандартного
отклонения с точностью 0.5
|
N |
|||
|
5 |
11.14 |
0.48 |
23.00 |
|
10 |
19.02 |
2.70 |
7.04 |
|
20 |
32.85 |
8.91 |
3.69 |
|
30 |
45.72 |
16.05 |
2.85 |
|
40 |
58.12 |
23.65 |
2.46 |
|
50 |
70.22 |
31.55 |
2.23 |
|
45 |
64.20 |
27.57 |
2.33 |
|
46 |
65.41 |
28.37 |
2.31 |
|
47 |
66.62 |
29.16 |
2.28 |
|
48 |
67.82 |
29.96 |
2.26 |
|
49 |
69.02 |
30.75 |
2.24 |
Вывод: Для того чтобы оценить математическое ожидание диаметра проволоки с точностью 0.1 мм, необходимо произвести 13 измерений для старой технологии и 17 измерений для новой. Для нахождения оценки стандартного отклонения диаметра с точностью 0.5 необходимо произвести 49 измерений.
4.3. Проверка соответствия выборок нормальному закону распределения
Проверку согласия распределения случайной величины диаметра катанки нормальному закону распределения произведем с применением приближенного критерия - среднего абсолютного отклонения, пригодного для анализа выборок малого объема. Статистикой этого критерия является величина . Значения сумм подсчитаны в табл. 4.3. Закон распределения с вероятностью 95 % не противоречит нормальному, если выполняется неравенство .
а) Для первой выборки: .
Так как , то эта выборка не противоречит нормальному закону распределения.
б) Для второй выборки: .
Так как , то и вторая выборка также не противоречит нормальному закону распределения.
Вывод: Выборки результатов измерений диаметров катанки полученные для старой и новой технологий не противоречит нормальному закону распределения.
4.4. Проверка выборок на наличие резко выделяющихся значений
Проверку проведем с применением стандартного алгоритма проверки статистических гипотез описанного в п.3.1 и критериев приведенных в п.3.2.
а) Для первой выборки.
Из табл. 4.2 видно, что наибольшее абсолютное отклонение от выборочного среднего имеет второе значение х2=5.30. Именно его следует проверить на принадлежность генеральной совокупности Х в первую очередь.
1) Н0: х2=5.30Х;
Н1: х2=5.30Х;
Так как для старой технологии известно генеральное среднеквадратическое отклонение диаметра проволоки от номинала (s=0.18), то в качестве статистического критерия следует использовать t-критерий (см. п. 3.2.1);
t-статистика: ;
Из табл. П7 для уровня значимости a=0.05 и числа опытных данных N=10 находим ta,N=t0.05,10=2.44.
Так как t=2.667>ta,N=2.44, то t-статистика попала в критическую область, что дает основания отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную, говорящую о том, что проверяемое значение 5.30 является резко выделяющимся, его следует отбросить и при дальнейших рассуждениях не учитывать.
б) Для второй выборки.
Из табл. 4.2 следует, что проверить на принадлежность генеральной совокупности Х в первую очередь следует пятое значение х5=5.01. Оно имеет наибольшее абсолютное отклонение от выборочного среднего .
1) Н0: х5=5.01Х;
Н1: х5=5.01Х;
Так как для новой технологии генеральное стандартное отклонение не известно, то для проверки принадлежности следует использовать критерий Н.В.Смирнова (см. п. 3.2.2);
u-статистика: ;
Из табл. П7 для уровня значимости a=0.05 и числа опытных данных N=10 находим ua,N=u0.05,10=2.18.
Так как u=2.42>ua,N=2.18, то u-статистика попала в критическую область. Это говорит о том, что значение 5.01 является резко выделяющимся, его не следует учитывать при дальнейших расчетах.
Выявленные резко выделяющиеся значения (которые могут быть ошибками измерений, ошибками записи, следствием нарушения технологии прокатки и т.п.) следует отбросить из массивов опытных данных и рассчитать новые точечные оценки числовых параметров распределения как это сделано в п. 4.2. Расчет опущен, его результаты приведены в табл. 4.4.
Таблица 4.4
Точечные оценки распределения диаметра проволоки
после исключения резко выделяющихся значений
|
Технология |
Среднее значение |
Выборочная дисперсия |
Стандартное отклонение |
|
Старая |
5,83 |
0,0428 |
0,21 |
|
Новая |
5,53 |
0,0108 |
0,10 |
Для урезанных выборок вновь следует выявить подозрительные значения и проверить их принадлежность генеральной совокупности как это проделано выше. Результаты такого расчета приведены в табл. 4.5.
Таблица 4.5
Результаты расчетов при проверке выборок на наличие
резко выделяющихся значений (второй расчет)
|
Старая технология (первый массив) |
Новая технология (второй массив) |
||||||
Проверяемое значение |
t-стати- |
ta,N |
Проверяемое значение |
u-стати- |
ua,N |
||
|
Номер |
Величина |
cтика |
Номер |
Величина |
стика |
||
|
3 |
5.46 |
2.08 |
2.39 |
3 |
5.74 |
2.06 |
2.11 |
Из табл. 4.5 видно, что условия tta,N и uua,N выполняются. Это говорит о попадании статистики в область принятия нулевой гипотезы, что в свою очередь подтверждает принадлежность рассматриваемых значений соответствующим генеральным совокупностям.
Вывод: Исходные массивы данных содержали по одному резко выделяющемуся значению (2-е значение в табл. 4.1 и 5-е значение в табл. 4.2), которые отброшены и в дальнейших расчетах учитываться не будут.
Расчет вероятности попадания диаметра в допуск по ГОСТ и значения диаметра, которое не будет превышено с вероятностью 95%
По ГОСТ 2590-88 допуск на проволоку с номинальным диаметром 6 мм составляет мм. Т.е. диапазоном возможных изменений диаметра проволоки является 5.5...6.3 мм.
Проведем нормирование границ оцениваемого интервала:
а) Для старой технологии:
; .
б) Для новой технологии:
; .
Для определения вероятности попадания диаметра катанки в поле допусков воспользуемся функцией Лапласа (табл. П1):
а) Для старой технологии:
P(5.5<XC6.3)=P(-1.57<ZC2.24)=Ф(2.24)-Ф(-1.57)= Ф(2.24)-(1-Ф(1.57))=
=0.9875-(1-0.9418)=0.9293.
б) Для новой технологии:
P(5.5<XН6.3)=P(-0.3<ZН7.7)=Ф(7.7)-Ф(-0.3)= Ф(7.7)-(1-Ф(0.3))=
=1-(1-0.6179)= 0.6179.
Расчет значения, которое не будет превышено с вероятностью 95% можно осуществить используя квантили распределения функции Лапласа (табл. П2). Для доверительной вероятности 95% табличное значение z0.95=1.645, тогда используя условие нормирования получим:
а) для старой технологии
;
б) для новой технологии
.
Анализируя полученные результаты расчетов, можно отметить следующее.
1) Для старой технологии вероятность попадания диаметра проволоки в поле допусков составляет 92.9%, что говорит о недостаточно высокой устойчивости процесса прокатки, так как вероятность получения брака по размерам весьма высока 1-92.9=7.1%. Необходим поиск путей совершенствования технологии. Одним из известных путей повышения точности сортового проката является установка ЧБК.
2) Расчет вероятности получения проволоки в поле допуска после установки ЧБК показал, что она стала еще меньше – 61.79 %. Это с первого взгляда кажется не логичным, однако, следует учитывать стремление прокатать проволоку как можно меньшего диаметра. В результате расчета значения диаметра, который не будет превышен с вероятностью 95% установлено, что таковым для прокатки с применением ЧБК является значение 5.69. По ГОСТ 2590-88 значение диаметра 5.69 мм входит также в поле допусков диаметра катанки более мелкого размера мм.
Рассчитаем вероятность попадания диаметра катанки произведенной по новой технологии в поле допуска номинального диаметра 5.5 мм, то есть в диапазон величин от 5.0 мм до 5.8 мм.
Проведем нормирование границ рассматриваемого интервала диаметров:
; .
Воспользовавшись функцией Лапласа (табл. П1) получим
P(5.0<XН5.8)=P(-5.3<ZН2.7)=Ф(2.7)-Ф(-5.3)= Ф(2.7)-(1-Ф(5.3))=
=0.9965-(1-1)= 0.9965.
Вывод: Вероятность попадания диаметра катанки производимой по старой технологии в поле допуска по ГОСТ мм составляет 61.79 %, при этом с вероятностью 95% не превышается значение диаметра 6.17 мм.
С использованием ЧБК целесообразно производить катанку с номинальным диаметром 5.5 мм. Вероятность попадания диаметра катанки в поле допуска по ГОСТ мм составляет при этом 99.65%, и с вероятностью 95% не будет превышено значение диаметра 5.69 мм.
4.6. Определение влияния установки ЧБК на точность прокатки
и возможность получения проволоки меньшего диаметра.
4.6.1. Точность прокатки
Ответ на вопрос о увеличении точности прокатки можно получить сравнивая между собой дисперсии диаметра катанки произведенной с использованием различных технологий.
При работе по старой технологии известна как генеральная, так и выборочная дисперсии. Убедимся, что выборочная дисперсия статистически значимо оценивает генеральную.
4.6.1.1. Сравнение выборочной дисперсии с известной генеральной
При решении этой задачи нулевая гипотеза Н0 будет заключаться в том, что дисперсия для генеральной совокупности из которой взята выборка будет равна известной дисперсии .
Н0: .
В данной ситуации в качестве альтернативной следует выбрать гипотезу о неравенстве дисперсий:
Н1: .
Для проверки нулевой гипотезы используем двусторонний критерий Пирсона (см. п. 3.3.1.1).
Значение статистики .
Для выбранного уровня значимости a=0.05 и числа степеней свободы n=N-1=9-1=8 из таблиц квантилей распределения Пирсона (табл. П3) определяем границы критической области:
и .
6) Так как неравенство выполняется (2.18<10.5717.53), то статистика не попала в критическую область, нулевая гипотеза справедлива, т.е. для старой технологии выборочная дисперсия статистически равна генеральной.
Для сравнения точности профиля прокатанного по двум рассматриваемым технологиям проведем сравнение соответствующих генеральных дисперсий диаметров, основываясь на рассчитанных значениях выборочных дисперсий.
Сравнение дисперсий двух совокупностей
Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что полученные выборки принадлежат генеральным совокупностям с равными дисперсиями.
1) Н0: ,
где - генеральная дисперсия диаметра катанки при прокатке по старой технологии (без ЧБК), - генеральная дисперсия диаметра катанки при прокатке по новой технологии (с применением ЧБК).
В качестве альтернативной гипотезы (учитывая цели модернизации производства) следует использовать гипотезу о том, что дисперсия диаметра катанки полученной по старой технологии больше дисперсии диаметра катанки полученной по новой технологии:
Н1: .
Для проверки нулевой гипотезы при выбранной альтернативной следует использовать односторонний критерий Фишера.
Значение статистики .
Границу критической области определим из таблиц квантилей распределения Фишера (табл. П4) для уровня значимости a=0.05 и числа степеней свободы nc=Nc-1=9-1=8 и nн=Nн-1=9-1=8. .
Так как неравенство не выполняется (4.8>3.44), то нулевую гипотезу следует отвергнуть и принять альтернативную. Это означает, что точность прокатки при использовании ЧБК статистически значимо выше, чем при прокатке без него.
Статистически строгий ответ на вопрос о возможности получения проволоки меньшего диаметра с применением ЧБК может быть решен путем сравнения математических ожиданий диаметра проволоки прокатанной по старой и новой технологиям.
4.6.2. Сравнение математических ожиданий двух совокупностей
Известны оценки математических ожиданий и .
Нулевая гипотеза в данном случае может быть сформулирована как утверждение о равенстве математических ожиданий диаметров катанки выпускаемой по обоим технологиям.
Н0: .
Учитывая тот факт, что , в качестве альтернативной следует избрать гипотезу о том, что математическое ожидание диаметра катанки прокатанной по старой технологии больше чем математическое ожидание диаметра катанки прокатанной по новой технологии:
Н1: .
Для проверки нулевой гипотезы, при выбранной альтернативной, следует использовать односторонний критерий Стьюдента.
Так как дисперсии диаметров катанки не равны, то в качестве статистики следует использовать следующую:
Для определения границ критической области этого критерия определим число степеней свободы из выражения
,
где .
, откуда n=8.
Табличное значение квантили распределения Стьюдента (табл. П6) для уровня значимости a=0.05 и рассчитанного числа степеней свободы составляет .
6) Так как неравенство не выполняется, то нулевую гипотезу следует отвергнуть и принять альтернативную. Это означает, что статистически значимо (с вероятностью 95%) математическое ожидание диаметра катанки произведенной по старой технологии больше, чем тот же показатель для новой технологии.
Вывод: Применение чистового блока клетей на проволочном стане позволило повысить точность прокатки и дало возможность производить катанку меньшего диаметра.
Библиографический список
Налимов В.В. Теория эксперимента. - М.: Наука, 1971.
Богатов А.А. Рабочая программа по дисциплине “Организация эксперимента”. - Свердловск: УПИ, 1986.
ГОСТ 24026-80. Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения. - М.: Изд-во стандартов, 1980.
ГОСТ 15895-77. Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения. - М.: Изд-во стандартов, 1989.
Хайкин Б.Е. Построение и анализ статистических распределений технологических параметров. - Свердловск:УПИ, 1984.
Степнов Н.М. Статистические методы обработки результатов механических испытаний. Справочник. - М.: Машиностроение, 1985.
Математическая статистика: Учебник / Иванова В.М., Калинина В.Н., Нешумова Л.А. и др. - М.: Высш. школа, 1981.
Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятности и математической статистики для технических приложений. - М.: Высш. школа, 1965.
Приложение
статистические таблицы
Таблица П1
Нормированная функция нормального распределения (функции Лапласа)
|
Сотые доли Z |
||||||||||
|
Z |
0 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
|
0 |
0,5000 |
0,5040 |
0,5080 |
0,5120 |
0,5160 |
0,5199 |
0,5239 |
0,5279 |
0,5319 |
0,5359 |
|
0,1 |
0,5398 |
0,5438 |
0,5478 |
0,5517 |
0,5557 |
0,5596 |
0,5636 |
0,5675 |
0,5714 |
0,5753 |
|
0,2 |
0,5793 |
0,5832 |
0,5871 |
0,5910 |
0,5948 |
0,5987 |
0,6026 |
0,6064 |
0,6103 |
0,6141 |
|
0,3 |
0,6179 |
0,6217 |
0,6255 |
0,6293 |
0,6331 |
0,6368 |
0,6406 |
0,6443 |
0,6480 |
0,6517 |
|
0,4 |
0,6554 |
0,6591 |
0,6628 |
0,6664 |
0,6700 |
0,6736 |
0,6772 |
0,6808 |
0,6844 |
0,6879 |
|
0,5 |
0,6915 |
0,6950 |
0,6985 |
0,7019 |
0,7054 |
0,7088 |
0,7123 |
0,7157 |
0,7190 |
0,7224 |
|
0,6 |
0,7257 |
0,7291 |
0,7324 |
0,7357 |
0,7389 |
0,7422 |
0,7454 |
0,7486 |
0,7517 |
0,7549 |
|
0,7 |
0,7580 |
0,7611 |
0,7642 |
0,7673 |
0,7704 |
0,7734 |
0,7764 |
0,7794 |
0,7823 |
0,7852 |
|
0,8 |
0,7881 |
0,7910 |
0,7939 |
0,7967 |
0,7995 |
0,8023 |
0,8051 |
0,8078 |
0,8106 |
0,8133 |
|
0,9 |
0,8159 |
0,8186 |
0,8212 |
0,8238 |
0,8264 |
0,8289 |
0,8315 |
0,8340 |
0,8365 |
0,8389 |
|
1 |
0,8413 |
0,8438 |
0,8461 |
0,8485 |
0,8508 |
0,8531 |
0,8554 |
0,8577 |
0,8599 |
0,8621 |
|
1,1 |
0,8643 |
0,8665 |
0,8686 |
0,8708 |
0,8729 |
0,8749 |
0,8770 |
0,8790 |
0,8810 |
0,8830 |
|
1,2 |
0,8849 |
0,8869 |
0,8888 |
0,8907 |
0,8925 |
0,8944 |
0,8962 |
0,8980 |
0,8997 |
0,9015 |
|
1,3 |
0,9032 |
0,9049 |
0,9066 |
0,9082 |
0,9099 |
0,9115 |
0,9131 |
0,9147 |
0,9162 |
0,9177 |
|
1,4 |
0,9192 |
0,9207 |
0,9222 |
0,9236 |
0,9251 |
0,9265 |
0,9279 |
0,9292 |
0,9306 |
0,9319 |
|
1,5 |
0,9332 |
0,9345 |
0,9357 |
0,9370 |
0,9382 |
0,9394 |
0,9406 |
0,9418 |
0,9429 |
0,9441 |
|
1,6 |
0,9452 |
0,9463 |
0,9474 |
0,9484 |
0,9495 |
0,9505 |
0,9515 |
0,9525 |
0,9535 |
0,9545 |
|
1,7 |
0,9554 |
0,9564 |
0,9573 |
0,9582 |
0,9591 |
0,9599 |
0,9608 |
0,9616 |
0,9625 |
0,9633 |
|
1,8 |
0,9641 |
0,9649 |
0,9656 |
0,9664 |
0,9671 |
0,9678 |
0,9686 |
0,9693 |
0,9699 |
0,9706 |
|
1,9 |
0,9713 |
0,9719 |
0,9726 |
0,9732 |
0,9738 |
0,9744 |
0,9750 |
0,9756 |
0,9761 |
0,9767 |
|
2 |
0,9772 |
0,9778 |
0,9783 |
0,9788 |
0,9793 |
0,9798 |
0,9803 |
0,9808 |
0,9812 |
0,9817 |
|
2,1 |
0,9821 |
0,9826 |
0,9830 |
0,9834 |
0,9838 |
0,9842 |
0,9846 |
0,9850 |
0,9854 |
0,9857 |
|
2,2 |
0,9861 |
0,9864 |
0,9868 |
0,9871 |
0,9875 |
0,9878 |
0,9881 |
0,9884 |
0,9887 |
0,9890 |
|
2,3 |
0,9893 |
0,9896 |
0,9898 |
0,9901 |
0,9904 |
0,9906 |
0,9909 |
0,9911 |
0,9913 |
0,9916 |
|
2,4 |
0,9918 |
0,9920 |
0,9922 |
0,9925 |
0,9927 |
0,9929 |
0,9931 |
0,9932 |
0,9934 |
0,9936 |
|
2,5 |
0,9938 |
0,9940 |
0,9941 |
0,9943 |
0,9945 |
0,9946 |
0,9948 |
0,9949 |
0,9951 |
0,9952 |
|
2,6 |
0,9953 |
0,9955 |
0,9956 |
0,9957 |
0,9959 |
0,9960 |
0,9961 |
0,9962 |
0,9963 |
0,9964 |
|
2,7 |
0,9965 |
0,9966 |
0,9967 |
0,9968 |
0,9969 |
0,9970 |
0,9971 |
0,9972 |
0,9973 |
0,9974 |
|
2,8 |
0,9974 |
0,9975 |
0,9976 |
0,9977 |
0,9977 |
0,9978 |
0,9979 |
0,9979 |
0,9980 |
0,9981 |
|
2,9 |
0,9981 |
0,9982 |
0,9982 |
0,9983 |
0,9984 |
0,9984 |
0,9985 |
0,9985 |
0,9986 |
0,9986 |
|
3 |
0,9987 |
0,9987 |
0,9987 |
0,9988 |
0,9988 |
0,9989 |
0,9989 |
0,9989 |
0,9990 |
0,9990 |
Примечание. Ф(-z)=1-Ф(z)
Таблица П2
Квантили нормированного нормального распределения zp порядка P
|
Тысячные доли Р |
||||||||||
|
P |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
0,50 |
0,000 |
0,003 |
0,005 |
0,008 |
0,010 |
0,013 |
0,015 |
0,018 |
0,020 |
0,023 |
|
0,51 |
0,025 |
0,028 |
0,030 |
0,033 |
0,035 |
0,038 |
0,040 |
0,043 |
0,045 |
0,048 |
|
0,52 |
0,050 |
0,053 |
0,055 |
0,058 |
0,060 |
0,063 |
0,065 |
0,068 |
0,070 |
0,073 |
|
0,53 |
0,075 |
0,078 |
0,080 |
0,083 |
0,085 |
0,088 |
0,090 |
0,093 |
0,095 |
0,098 |
|
0,54 |
0,100 |
0,103 |
0,105 |
0,108 |
0,111 |
0,113 |
0,116 |
0,118 |
0,121 |
0,123 |
|
0,55 |
0,126 |
0,128 |
0,131 |
0,133 |
0,136 |
0,138 |
0,141 |
0,143 |
0,146 |
0,148 |
|
0,56 |
0,151 |
0,154 |
0,156 |
0,159 |
0,161 |
0,164 |
0,166 |
0,169 |
0,171 |
0,174 |
|
0,57 |
0,176 |
0,179 |
0,181 |
0,184 |
0,187 |
0,189 |
0,192 |
0,194 |
0,197 |
0,199 |
|
0,58 |
0,202 |
0,204 |
0,207 |
0,210 |
0,212 |
0,215 |
0,217 |
0,220 |
0,222 |
0,225 |
|
0,59 |
0,228 |
0,230 |
0,233 |
0,235 |
0,238 |
0,240 |
0,243 |
0,246 |
0,248 |
0,251 |
|
0,60 |
0,253 |
0,256 |
0,259 |
0,261 |
0,264 |
0,266 |
0,269 |
0,272 |
0,274 |
0,277 |
|
0,61 |
0,279 |
0,282 |
0,285 |
0,287 |
0,290 |
0,292 |
0,295 |
0,298 |
0,300 |
0,303 |
|
0,62 |
0,305 |
0,308 |
0,311 |
0,313 |
0,316 |
0,319 |
0,321 |
0,324 |
0,327 |
0,329 |
|
0,63 |
0,332 |
0,335 |
0,337 |
0,340 |
0,342 |
0,345 |
0,348 |
0,350 |
0,353 |
0,356 |
|
0,64 |
0,358 |
0,361 |
0,364 |
0,366 |
0,369 |
0,372 |
0,375 |
0,377 |
0,380 |
0,383 |
|
0,65 |
0,385 |
0,388 |
0,391 |
0,393 |
0,396 |
0,399 |
0,402 |
0,404 |
0,407 |
0,410 |
|
0,66 |
0,412 |
0,415 |
0,418 |
0,421 |
0,423 |
0,426 |
0,429 |
0,432 |
0,434 |
0,437 |
|
0,67 |
0,440 |
0,443 |
0,445 |
0,448 |
0,451 |
0,454 |
0,457 |
0,459 |
0,462 |
0,465 |
|
0,68 |
0,468 |
0,470 |
0,473 |
0,476 |
0,479 |
0,482 |
0,485 |
0,487 |
0,490 |
0,493 |
|
0,69 |
0,496 |
0,499 |
0,502 |
0,504 |
0,507 |
0,510 |
0,513 |
0,516 |
0,519 |
0,522 |
|
0,70 |
0,524 |
0,527 |
0,530 |
0,533 |
0,536 |
0,539 |
0,542 |
0,545 |
0,548 |
0,550 |
|
0,71 |
0,553 |
0,556 |
0,559 |
0,562 |
0,565 |
0,568 |
0,571 |
0,574 |
0,577 |
0,580 |
|
0,72 |
0,583 |
0,586 |
0,589 |
0,592 |
0,595 |
0,598 |
0,601 |
0,604 |
0,607 |
0,610 |
|
0,73 |
0,613 |
0,616 |
0,619 |
0,622 |
0,625 |
0,628 |
0,631 |
0,634 |
0,637 |
0,640 |
|
0,74 |
0,643 |
0,646 |
0,650 |
0,653 |
0,656 |
0,659 |
0,662 |
0,665 |
0,668 |
0,671 |
|
0,75 |
0,674 |
0,678 |
0,681 |
0,684 |
0,687 |
0,690 |
0,693 |
0,697 |
0,700 |
0,703 |
|
0,76 |
0,706 |
0,710 |
0,713 |
0,716 |
0,719 |
0,722 |
0,726 |
0,729 |
0,732 |
0,736 |
|
0,77 |
0,739 |
0,742 |
0,745 |
0,749 |
0,752 |
0,755 |
0,759 |
0,762 |
0,765 |
0,769 |
|
0,78 |
0,772 |
0,776 |
0,779 |
0,782 |
0,786 |
0,789 |
0,793 |
0,796 |
0,800 |
0,803 |
|
0,79 |
0,806 |
0,810 |
0,813 |
0,817 |
0,820 |
0,824 |
0,827 |
0,831 |
0,834 |
0,838 |
|
0,80 |
0,842 |
0,845 |
0,849 |
0,852 |
0,856 |
0,860 |
0,863 |
0,867 |
0,871 |
0,874 |
|
0,81 |
0,878 |
0,882 |
0,885 |
0,889 |
0,893 |
0,896 |
0,900 |
0,904 |
0,908 |
0,912 |
|
0,82 |
0,915 |
0,919 |
0,923 |
0,927 |
0,931 |
0,935 |
0,938 |
0,942 |
0,946 |
0,950 |
|
0,83 |
0,954 |
0,958 |
0,962 |
0,966 |
0,970 |
0,974 |
0,978 |
0,982 |
0,986 |
0,990 |
|
0,84 |
0,994 |
0,999 |
1,003 |
1,007 |
1,011 |
1,015 |
1,019 |
1,024 |
1,028 |
1,032 |
|
0,85 |
1,036 |
1,041 |
1,045 |
1,049 |
1,054 |
1,058 |
1,063 |
1,067 |
1,071 |
1,076 |
|
0,86 |
1,080 |
1,085 |
1,089 |
1,094 |
1,098 |
1,103 |
1,108 |
1,112 |
1,117 |
1,122 |
|
0,87 |
1,126 |
1,131 |
1,136 |
1,141 |
1,146 |
1,150 |
1,155 |
1,160 |
1,165 |
1,170 |
|
0,88 |
1,175 |
1,180 |
1,185 |
1,190 |
1,195 |
1,200 |
1,206 |
1,211 |
1,216 |
1,221 |
|
0,89 |
1,227 |
1,232 |
1,237 |
1,243 |
1,248 |
1,254 |
1,259 |
1,265 |
1,270 |
1,276 |
|
0,90 |
1,282 |
1,287 |
1,293 |
1,299 |
1,305 |
1,311 |
1,317 |
1,323 |
1,329 |
1,335 |
|
0,91 |
1,341 |
1,347 |
1,353 |
1,359 |
1,366 |
1,372 |
1,379 |
1,385 |
1,392 |
1,398 |
|
0,92 |
1,405 |
1,412 |
1,419 |
1,426 |
1,433 |
1,440 |
1,447 |
1,454 |
1,461 |
1,468 |
|
0,93 |
1,476 |
1,483 |
1,491 |
1,499 |
1,506 |
1,514 |
1,522 |
1,530 |
1,538 |
1,546 |
|
0,94 |
1,555 |
1,563 |
1,572 |
1,580 |
1,589 |
1,598 |
1,607 |
1,616 |
1,626 |
1,635 |
|
0,95 |
1,645 |
1,655 |
1,665 |
1,675 |
1,685 |
1,695 |
1,706 |
1,717 |
1,728 |
1,739 |
|
0,96 |
1,751 |
1,762 |
1,774 |
1,787 |
1,799 |
1,812 |
1,825 |
1,838 |
1,852 |
1,866 |
|
0,97 |
1,881 |
1,896 |
1,911 |
1,927 |
1,943 |
1,960 |
1,977 |
1,995 |
2,014 |
2,034 |
|
0,98 |
2,054 |
2,075 |
2,097 |
2,120 |
2,144 |
2,170 |
2,197 |
2,226 |
2,257 |
2,290 |
|
0,99 |
2,326 |
2,366 |
2,409 |
2,457 |
2,512 |
2,576 |
2,652 |
2,748 |
2,878 |
3,090 |
Примечание: Z1-P=-ZP
Таблица П3
Квантили распределения Пирсона ( распределения)
в зависимости от уровня значимости a и числа степеней свободы n
|
a |
|||||||||||
|
n |
0,995 |
0,99 |
0,975 |
0,95 |
0,9 |
0,5 |
0,1 |
0,05 |
0,25 |
0,01 |
0,005 |
|
1 |
0,00004 |
0,00016 |
0,00098 |
0,0039 |
0,016 |
0,455 |
2,706 |
3,841 |
5,024 |
6,635 |
7,879 |
|
2 |
0,010 |
0,020 |
0,051 |
0,103 |
0,211 |
1,386 |
4,605 |
5,991 |
7,378 |
9,210 |
10,60 |
|
3 |
0,072 |
0,115 |
0,216 |
0,352 |
0,584 |
2,366 |
6,251 |
7,815 |
9,348 |
11,34 |
12,84 |
|
4 |
0,207 |
0,297 |
0,484 |
0,711 |
1,064 |
3,357 |
7,779 |
9,488 |
11,14 |
13,28 |
14,86 |
|
5 |
0,412 |
0,554 |
0,831 |
1,145 |
1,610 |
4,351 |
9,236 |
11,07 |
12,83 |
15,09 |
16,75 |
|
6 |
0,676 |
0,872 |
1,237 |
1,635 |
2,204 |
5,348 |
10,64 |
12,59 |
14,45 |
16,81 |
18,55 |
|
7 |
0,989 |
1,239 |
1,690 |
2,167 |
2,833 |
6,346 |
12,02 |
14,07 |
16,01 |
18,48 |
20,28 |
|
8 |
1,344 |
1,647 |
2,180 |
2,733 |
3,490 |
7,344 |
13,36 |
15,51 |
17,53 |
20,09 |
21,95 |
|
9 |
1,735 |
2,088 |
2,700 |
3,325 |
4,168 |
8,343 |
14,68 |
16,92 |
19,02 |
21,67 |
23,59 |
|
10 |
2,156 |
2,558 |
3,247 |
3,940 |
4,865 |
9,342 |
15,99 |
18,31 |
20,48 |
23,21 |
25,19 |
|
11 |
2,603 |
3,053 |
3,816 |
4,575 |
5,578 |
10,34 |
17,28 |
19,68 |
21,92 |
24,73 |
26,76 |
|
12 |
3,074 |
3,571 |
4,404 |
5,226 |
6,304 |
11,34 |
18,55 |
21,03 |
23,34 |
26,22 |
28,30 |
|
13 |
3,565 |
4,107 |
5,009 |
5,892 |
7,041 |
12,34 |
19,81 |
22,36 |
24,74 |
27,69 |
29,82 |
|
14 |
4,075 |
4,660 |
5,629 |
6,571 |
7,790 |
13,34 |
21,06 |
23,68 |
26,12 |
29,14 |
31,32 |
|
15 |
4,601 |
5,229 |
6,262 |
7,261 |
8,547 |
14,34 |
22,31 |
25,00 |
27,49 |
30,58 |
32,80 |
|
16 |
5,142 |
5,812 |
6,908 |
7,962 |
9,312 |
15,34 |
23,54 |
26,30 |
28,85 |
32,00 |
34,27 |
|
17 |
5,697 |
6,408 |
7,564 |
8,672 |
10,09 |
16,34 |
24,77 |
27,59 |
30,19 |
33,41 |
35,72 |
|
18 |
6,265 |
7,015 |
8,231 |
9,390 |
10,86 |
17,34 |
25,99 |
28,87 |
31,53 |
34,81 |
37,16 |
|
19 |
6,844 |
7,633 |
8,907 |
10,12 |
11,65 |
18,34 |
27,20 |
30,14 |
32,85 |
36,19 |
38,58 |
|
20 |
7,434 |
8,260 |
9,591 |
10,85 |
12,44 |
19,34 |
28,41 |
31,41 |
34,17 |
37,57 |
40,00 |
|
21 |
8,034 |
8,897 |
10,28 |
11,59 |
13,24 |
20,34 |
29,62 |
32,67 |
35,48 |
38,93 |
41,40 |
|
22 |
8,643 |
9,542 |
10,98 |
12,34 |
14,04 |
21,34 |
30,81 |
33,92 |
36,78 |
40,29 |
42,80 |
|
23 |
9,260 |
10,196 |
11,69 |
13,09 |
14,85 |
22,34 |
32,01 |
35,17 |
38,08 |
41,64 |
44,18 |
|
24 |
9,886 |
10,856 |
12,40 |
13,85 |
15,66 |
23,34 |
33,20 |
36,42 |
39,36 |
42,98 |
45,56 |
|
25 |
10,520 |
11,524 |
13,12 |
14,61 |
16,47 |
24,34 |
34,38 |
37,65 |
40,65 |
44,31 |
46,93 |
|
26 |
11,160 |
12,198 |
13,84 |
15,38 |
17,29 |
25,34 |
35,56 |
38,89 |
41,92 |
45,64 |
48,29 |
|
27 |
11,808 |
12,878 |
14,57 |
16,15 |
18,11 |
26,34 |
36,74 |
40,11 |
43,19 |
46,96 |
49,65 |
|
28 |
12,461 |
13,565 |
15,31 |
16,93 |
18,94 |
27,34 |
37,92 |
41,34 |
44,46 |
48,28 |
50,99 |
|
29 |
13,121 |
14,256 |
16,05 |
17,71 |
19,77 |
28,34 |
39,09 |
42,56 |
45,72 |
49,59 |
52,34 |
|
30 |
13,787 |
14,953 |
16,79 |
18,49 |
20,60 |
29,34 |
40,26 |
43,77 |
46,98 |
50,89 |
53,67 |
|
40 |
20,707 |
22,164 |
24,43 |
26,51 |
29,05 |
39,34 |
51,81 |
55,76 |
59,34 |
63,69 |
66,77 |
|
50 |
27,991 |
29,707 |
32,36 |
34,76 |
37,69 |
49,33 |
63,17 |
67,50 |
71,42 |
76,15 |
79,49 |
|
60 |
35,534 |
37,485 |
40,48 |
43,19 |
46,46 |
59,33 |
74,40 |
79,08 |
83,30 |
88,38 |
91,95 |
|
70 |
43,275 |
45,442 |
48,76 |
51,74 |
55,33 |
69,33 |
85,53 |
90,53 |
95,02 |
100,4 |
104,2 |
|
80 |
51,172 |
53,540 |
57,15 |
60,39 |
64,28 |
79,33 |
96,58 |
101,9 |
106,6 |
112,3 |
116,3 |
|
90 |
59,196 |
61,754 |
65,65 |
69,13 |
73,29 |
89,33 |
107,6 |
113,1 |
118,1 |
124,1 |
128,3 |
|
100 |
67,328 |
70,065 |
74,22 |
77,93 |
82,36 |
99,33 |
118,5 |
124,3 |
129,6 |
135,8 |
140,2 |
Примечание: Для n>100
Таблица П4
Квантили распределения Фишера (F-распределения)
для уровня значимости a=0.05 в зависимости от чисел степеней
свободы n1 и n2
|
n1 |
|||||||||||||||||
|
n2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
12 |
15 |
30 |
30 |
40 |
60 |
120 |
|
1 |
161,4 |
199,5 |
215,7 |
224,6 |
230,2 |
234,0 |
236,8 |
238,9 |
240,5 |
241,9 |
243,9 |
245,9 |
250,1 |
250,1 |
251,1 |
252,2 |
253,3 |
|
2 |
18,51 |
19,00 |
19,16 |
19,25 |
19,30 |
19,33 |
19,35 |
19,37 |
19,38 |
19,40 |
19,41 |
19,43 |
19,46 |
19,46 |
19,47 |
19,48 |
19,49 |
|
3 |
10,13 |
9,55 |
9,28 |
9,12 |
9,01 |
8,94 |
8,89 |
8,85 |
8,81 |
8,79 |
8,74 |
8,70 |
8,62 |
8,62 |
8,59 |
8,57 |
8,55 |
|
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
6,39 |
6,26 |
6,16 |
6,09 |
6,04 |
6,00 |
5,96 |
5,91 |
5,86 |
5,75 |
5,75 |
5,72 |
5,69 |
5,66 |
|
5 |
6,61 |
5,79 |
5,41 |
5,19 |
5,05 |
4,95 |
4,88 |
4,82 |
4,77 |
4,74 |
4,68 |
4,62 |
4,50 |
4,50 |
4,46 |
4,43 |
4,40 |
|
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
4,53 |
4,39 |
4,28 |
4,21 |
4,15 |
4,10 |
4,06 |
4,00 |
3,94 |
3,81 |
3,81 |
3,77 |
3,74 |
3,70 |
|
7 |
5,59 |
4,74 |
4,35 |
4,12 |
3,97 |
3,87 |
3,79 |
3,73 |
3,68 |
3,64 |
3,57 |
3,51 |
3,38 |
3,38 |
3,34 |
3,30 |
3,27 |
|
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
3,84 |
3,69 |
3,58 |
3,50 |
3,44 |
3,39 |
3,35 |
3,28 |
3,22 |
3,08 |
3,08 |
3,04 |
3,01 |
2,97 |
|
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
3,63 |
3,48 |
3,37 |
3,29 |
3,23 |
3,18 |
3,14 |
3,07 |
3,01 |
2,86 |
2,86 |
2,83 |
2,79 |
2,75 |
|
10 |
4,96 |
4,10 |
3,71 |
3,48 |
3,33 |
3,22 |
3,14 |
3,07 |
3,02 |
2,98 |
2,91 |
2,85 |
2,70 |
2,70 |
2,66 |
2,62 |
2,58 |
|
11 |
4,84 |
3,98 |
3,59 |
3,36 |
3,20 |
3,09 |
3,01 |
2,95 |
2,90 |
2,85 |
2,79 |
2,72 |
2,57 |
2,57 |
2,53 |
2,49 |
2,45 |
|
12 |
4,75 |
3,89 |
3,49 |
3,26 |
3,11 |
3,00 |
2,91 |
2,85 |
2,80 |
2,75 |
2,69 |
2,62 |
2,47 |
2,47 |
2,43 |
2,38 |
2,34 |
|
13 |
4,67 |
3,81 |
3,41 |
3,18 |
3,03 |
2,92 |
2,83 |
2,77 |
2,71 |
2,67 |
2,60 |
2,53 |
2,38 |
2,38 |
2,34 |
2,30 |
2,25 |
|
14 |
4,60 |
3,74 |
3,34 |
3,11 |
2,96 |
2,85 |
2,76 |
2,70 |
2,65 |
2,60 |
2,53 |
2,46 |
2,31 |
2,31 |
2,27 |
2,22 |
2,18 |
|
15 |
4,54 |
3,68 |
3,29 |
3,06 |
2,90 |
2,79 |
2,71 |
2,64 |
2,59 |
2,54 |
2,48 |
2,40 |
2,25 |
2,25 |
2,20 |
2,16 |
2,11 |
|
16 |
4,49 |
3,63 |
3,24 |
3,01 |
2,85 |
2,74 |
2,66 |
2,59 |
2,54 |
2,49 |
2,42 |
2,35 |
2,19 |
2,19 |
2,15 |
2,11 |
2,06 |
|
17 |
4,45 |
3,59 |
3,20 |
2,96 |
2,81 |
2,70 |
2,61 |
2,55 |
2,49 |
2,45 |
2,38 |
2,31 |
2,15 |
2,15 |
2,10 |
2,06 |
2,01 |
|
18 |
4,41 |
3,55 |
3,16 |
2,93 |
2,77 |
2,66 |
2,58 |
2,51 |
2,46 |
2,41 |
2,34 |
2,27 |
2,11 |
2,11 |
2,06 |
2,02 |
1,97 |
|
19 |
4,38 |
3,52 |
3,13 |
2,90 |
2,74 |
2,63 |
2,54 |
2,48 |
2,42 |
2,38 |
2,31 |
2,23 |
2,07 |
2,07 |
2,03 |
1,98 |
1,93 |
|
20 |
4,35 |
3,49 |
3,10 |
2,87 |
2,71 |
2,60 |
2,51 |
2,45 |
2,39 |
2,35 |
2,28 |
2,20 |
2,04 |
2,04 |
1,99 |
1,95 |
1,90 |
|
21 |
4,32 |
3,47 |
3,07 |
2,84 |
2,68 |
2,57 |
2,49 |
2,42 |
2,37 |
2,32 |
2,25 |
2,18 |
2,01 |
2,01 |
1,96 |
1,92 |
1,87 |
|
22 |
4,30 |
3,44 |
3,05 |
2,82 |
2,66 |
2,55 |
2,46 |
2,40 |
2,34 |
2,30 |
2,23 |
2,15 |
1,98 |
1,98 |
1,94 |
1,89 |
1,84 |
|
23 |
4,28 |
3,42 |
3,03 |
2,80 |
2,64 |
2,53 |
2,44 |
2,37 |
2,32 |
2,27 |
2,20 |
2,13 |
1,96 |
1,96 |
1,91 |
1,86 |
1,81 |
|
24 |
4,26 |
3,40 |
3,01 |
2,78 |
2,62 |
2,51 |
2,42 |
2,36 |
2,30 |
2,25 |
2,18 |
2,11 |
1,94 |
1,94 |
1,89 |
1,84 |
1,79 |
|
25 |
4,24 |
3,39 |
2,99 |
2,76 |
2,60 |
2,49 |
2,40 |
2,34 |
2,28 |
2,24 |
2,16 |
2,09 |
1,92 |
1,92 |
1,87 |
1,82 |
1,77 |
|
26 |
4,23 |
3,37 |
2,98 |
2,74 |
2,59 |
2,47 |
2,39 |
2,32 |
2,27 |
2,22 |
2,15 |
2,07 |
1,90 |
1,90 |
1,85 |
1,80 |
1,75 |
|
27 |
4,21 |
3,35 |
2,96 |
2,73 |
2,57 |
2,46 |
2,37 |
2,31 |
2,25 |
2,20 |
2,13 |
2,06 |
1,88 |
1,88 |
1,84 |
1,79 |
1,73 |
|
28 |
4,20 |
3,34 |
2,95 |
2,71 |
2,56 |
2,45 |
2,36 |
2,29 |
2,24 |
2,19 |
2,12 |
2,04 |
1,87 |
1,87 |
1,82 |
1,77 |
1,71 |
|
29 |
4,18 |
3,33 |
2,93 |
2,70 |
2,55 |
2,43 |
2,35 |
2,28 |
2,22 |
2,18 |
2,10 |
2,03 |
1,85 |
1,85 |
1,81 |
1,75 |
1,70 |
|
30 |
4,17 |
3,32 |
2,92 |
2,69 |
2,53 |
2,42 |
2,33 |
2,27 |
2,21 |
2,16 |
2,09 |
2,01 |
1,84 |
1,84 |
1,79 |
1,74 |
1,68 |
|
40 |
4,08 |
3,23 |
2,84 |
2,61 |
2,45 |
2,34 |
2,25 |
2,18 |
2,12 |
2,08 |
2,00 |
1,92 |
1,74 |
1,74 |
1,69 |
1,64 |
1,58 |
|
60 |
4,00 |
3,15 |
2,76 |
2,53 |
2,37 |
2,25 |
2,17 |
2,10 |
2,04 |
1,99 |
1,92 |
1,84 |
1,65 |
1,65 |
1,59 |
1,53 |
1,47 |
|
120 |
3,92 |
3,07 |
2,68 |
2,45 |
2,29 |
2,18 |
2,09 |
2,02 |
1,96 |
1,91 |
1,83 |
1,75 |
1,55 |
1,55 |
1,50 |
1,43 |
1,35 |
Таблица П5
Квантили распределения Фишера (F-распределения)
для уровня значимости a=0.025 в зависимости от чисел степеней
свободы n1 и n2
|
n1 |
|||||||||||||||||
|
n2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
12 |
15 |
30 |
30 |
40 |
60 |
120 |
|
1 |
647,8 |
799,5 |
864,2 |
899,6 |
921,8 |
937,1 |
948,2 |
956,6 |
963,3 |
968,6 |
976,7 |
984,9 |
1001 |
1001 |
1006 |
1010 |
1014 |
|
2 |
38,51 |
39,00 |
39,17 |
39,25 |
39,30 |
39,33 |
39,36 |
39,37 |
39,39 |
39,40 |
39,41 |
39,43 |
39,46 |
39,46 |
39,47 |
39,48 |
39,49 |
|
3 |
17,44 |
16,04 |
15,44 |
15,10 |
14,88 |
14,73 |
14,62 |
14,54 |
14,47 |
14,42 |
14,34 |
14,25 |
14,08 |
14,08 |
14,04 |
13,99 |
13,95 |
|
4 |
12,22 |
10,65 |
9,98 |
9,60 |
9,36 |
9,20 |
9,07 |
8,98 |
8,90 |
8,84 |
8,75 |
8,66 |
8,46 |
8,46 |
8,41 |
8,36 |
8,31 |
|
5 |
10,01 |
8,43 |
7,76 |
7,39 |
7,15 |
6,98 |
6,85 |
6,76 |
6,68 |
6,62 |
6,52 |
6,43 |
6,23 |
6,23 |
6,18 |
6,12 |
6,07 |
|
6 |
8,81 |
7,26 |
6,60 |
6,23 |
5,99 |
5,82 |
5,70 |
5,60 |
5,52 |
5,46 |
5,37 |
5,27 |
5,07 |
5,07 |
5,01 |
4,96 |
4,90 |
|
7 |
8,07 |
6,54 |
5,89 |
5,52 |
5,29 |
5,12 |
4,99 |
4,90 |
4,82 |
4,76 |
4,67 |
4,57 |
4,36 |
4,36 |
4,31 |
4,25 |
4,20 |
|
8 |
7,57 |
6,06 |
5,42 |
5,05 |
4,82 |
4,65 |
4,53 |
4,43 |
4,36 |
4,30 |
4,20 |
4,10 |
3,89 |
3,89 |
3,84 |
3,78 |
3,73 |
|
9 |
7,21 |
5,71 |
5,08 |
4,72 |
4,48 |
4,32 |
4,20 |
4,10 |
4,03 |
3,96 |
3,87 |
3,77 |
3,56 |
3,56 |
3,51 |
3,45 |
3,39 |
|
10 |
6,94 |
5,46 |
4,83 |
4,47 |
4,24 |
4,07 |
3,95 |
3,85 |
3,78 |
3,72 |
3,62 |
3,52 |
3,31 |
3,31 |
3,26 |
3,20 |
3,14 |
|
11 |
6,72 |
5,26 |
4,63 |
4,28 |
4,04 |
3,88 |
3,76 |
3,66 |
3,59 |
3,53 |
3,43 |
3,33 |
3,12 |
3,12 |
3,06 |
3,00 |
2,94 |
|
12 |
6,55 |
5,10 |
4,47 |
4,12 |
3,89 |
3,73 |
3,61 |
3,51 |
3,44 |
3,37 |
3,28 |
3,18 |
2,96 |
2,96 |
2,91 |
2,85 |
2,79 |
|
13 |
6,41 |
4,97 |
4,35 |
4,00 |
3,77 |
3,60 |
3,48 |
3,39 |
3,31 |
3,25 |
3,15 |
3,05 |
2,84 |
2,84 |
2,78 |
2,72 |
2,66 |
|
14 |
6,30 |
4,86 |
4,24 |
3,89 |
3,66 |
3,50 |
3,38 |
3,29 |
3,21 |
3,15 |
3,05 |
2,95 |
2,73 |
2,73 |
2,67 |
2,61 |
2,55 |
|
15 |
6,20 |
4,77 |
4,15 |
3,80 |
3,58 |
3,41 |
3,29 |
3,20 |
3,12 |
3,06 |
2,96 |
2,86 |
2,64 |
2,64 |
2,59 |
2,52 |
2,46 |
|
16 |
6,12 |
4,69 |
4,08 |
3,73 |
3,50 |
3,34 |
3,22 |
3,12 |
3,05 |
2,99 |
2,89 |
2,79 |
2,57 |
2,57 |
2,51 |
2,45 |
2,38 |
|
17 |
6,04 |
4,62 |
4,01 |
3,66 |
3,44 |
3,28 |
3,16 |
3,06 |
2,98 |
2,92 |
2,82 |
2,72 |
2,50 |
2,50 |
2,44 |
2,38 |
2,32 |
|
18 |
5,98 |
4,56 |
3,95 |
3,61 |
3,38 |
3,22 |
3,10 |
3,01 |
2,93 |
2,87 |
2,77 |
2,67 |
2,44 |
2,44 |
2,38 |
2,32 |
2,26 |
|
19 |
5,92 |
4,51 |
3,90 |
3,56 |
3,33 |
3,17 |
3,05 |
2,96 |
2,88 |
2,82 |
2,72 |
2,62 |
2,39 |
2,39 |
2,33 |
2,27 |
2,20 |
|
20 |
5,87 |
4,46 |
3,86 |
3,51 |
3,29 |
3,13 |
3,01 |
2,91 |
2,84 |
2,77 |
2,68 |
2,57 |
2,35 |
2,35 |
2,29 |
2,22 |
2,16 |
|
21 |
5,83 |
4,42 |
3,82 |
3,48 |
3,25 |
3,09 |
2,97 |
2,87 |
2,80 |
2,73 |
2,64 |
2,53 |
2,31 |
2,31 |
2,25 |
2,18 |
2,11 |
|
22 |
5,79 |
4,38 |
3,78 |
3,44 |
3,22 |
3,05 |
2,93 |
2,84 |
2,76 |
2,70 |
2,60 |
2,50 |
2,27 |
2,27 |
2,21 |
2,14 |
2,08 |
|
23 |
5,75 |
4,35 |
3,75 |
3,41 |
3,18 |
3,02 |
2,90 |
2,81 |
2,73 |
2,67 |
2,57 |
2,47 |
2,24 |
2,24 |
2,18 |
2,11 |
2,04 |
|
24 |
5,72 |
4,32 |
3,72 |
3,38 |
3,15 |
2,99 |
2,87 |
2,78 |
2,70 |
2,64 |
2,54 |
2,44 |
2,21 |
2,21 |
2,15 |
2,08 |
2,01 |
|
25 |
5,69 |
4,29 |
3,69 |
3,35 |
3,13 |
2,97 |
2,85 |
2,75 |
2,68 |
2,61 |
2,51 |
2,41 |
2,18 |
2,18 |
2,12 |
2,05 |
1,98 |
|
26 |
5,66 |
4,27 |
3,67 |
3,33 |
3,10 |
2,94 |
2,82 |
2,73 |
2,65 |
2,59 |
2,49 |
2,39 |
2,16 |
2,16 |
2,09 |
2,03 |
1,95 |
|
27 |
5,63 |
4,24 |
3,65 |
3,31 |
3,08 |
2,92 |
2,80 |
2,71 |
2,63 |
2,57 |
2,47 |
2,36 |
2,13 |
2,13 |
2,07 |
2,00 |
1,93 |
|
28 |
5,61 |
4,22 |
3,63 |
3,29 |
3,06 |
2,90 |
2,78 |
2,69 |
2,61 |
2,55 |
2,45 |
2,34 |
2,11 |
2,11 |
2,05 |
1,98 |
1,91 |
|
29 |
5,59 |
4,20 |
3,61 |
3,27 |
3,04 |
2,88 |
2,76 |
2,67 |
2,59 |
2,53 |
2,43 |
2,32 |
2,09 |
2,09 |
2,03 |
1,96 |
1,89 |
|
30 |
5,57 |
4,18 |
3,59 |
3,25 |
3,03 |
2,87 |
2,75 |
2,65 |
2,57 |
2,51 |
2,41 |
2,31 |
2,07 |
2,07 |
2,01 |
1,94 |
1,87 |
|
40 |
5,42 |
4,05 |
3,46 |
3,13 |
2,90 |
2,74 |
2,62 |
2,53 |
2,45 |
2,39 |
2,29 |
2,18 |
1,94 |
1,94 |
1,88 |
1,80 |
1,72 |
|
60 |
5,29 |
3,93 |
3,34 |
3,01 |
2,79 |
2,63 |
2,51 |
2,41 |
2,33 |
2,27 |
2,17 |
2,06 |
1,82 |
1,82 |
1,74 |
1,67 |
1,58 |
|
120 |
5,15 |
3,80 |
3,23 |
2,89 |
2,67 |
2,52 |
2,39 |
2,30 |
2,22 |
2,16 |
2,05 |
1,94 |
1,69 |
1,69 |
1,61 |
1,53 |
1,43 |
Таблица П6
Квантили распределения Стьюдента (t-распределения) в зависимости от уровня значимости a и числа степеней свободы n
|
a |
|||||
|
n |
0,1 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
0,005 |
|
1 |
6,314 |
12,706 |
25,452 |
63,656 |
127,321 |
|
2 |
2,920 |
4,303 |
6,205 |
9,925 |
14,089 |
|
3 |
2,353 |
3,182 |
4,177 |
5,841 |
7,453 |
|
4 |
2,132 |
2,776 |
3,495 |
4,604 |
5,598 |
|
5 |
2,015 |
2,571 |
3,163 |
4,032 |
4,773 |
|
6 |
1,943 |
2,447 |
2,969 |
3,707 |
4,317 |
|
7 |
1,895 |
2,365 |
2,841 |
3,499 |
4,029 |
|
8 |
1,860 |
2,306 |
2,752 |
3,355 |
3,833 |
|
9 |
1,833 |
2,262 |
2,685 |
3,250 |
3,690 |
|
10 |
1,812 |
2,228 |
2,634 |
3,169 |
3,581 |
|
11 |
1,796 |
2,201 |
2,593 |
3,106 |
3,497 |
|
12 |
1,782 |
2,179 |
2,560 |
3,055 |
3,428 |
|
13 |
1,771 |
2,160 |
2,533 |
3,012 |
3,372 |
|
14 |
1,761 |
2,145 |
2,510 |
2,977 |
3,326 |
|
15 |
1,753 |
2,131 |
2,490 |
2,947 |
3,286 |
|
16 |
1,746 |
2,120 |
2,473 |
2,921 |
3,252 |
|
17 |
1,740 |
2,110 |
2,458 |
2,898 |
3,222 |
|
18 |
1,734 |
2,101 |
2,445 |
2,878 |
3,197 |
|
19 |
1,729 |
2,093 |
2,433 |
2,861 |
3,174 |
|
20 |
1,725 |
2,086 |
2,423 |
2,845 |
3,153 |
|
21 |
1,721 |
2,080 |
2,414 |
2,831 |
3,135 |
|
22 |
1,717 |
2,074 |
2,405 |
2,819 |
3,119 |
|
23 |
1,714 |
2,069 |
2,398 |
2,807 |
3,104 |
|
24 |
1,711 |
2,064 |
2,391 |
2,797 |
3,091 |
|
25 |
1,708 |
2,060 |
2,385 |
2,787 |
3,078 |
|
26 |
1,706 |
2,056 |
2,379 |
2,779 |
3,067 |
|
27 |
1,703 |
2,052 |
2,373 |
2,771 |
3,057 |
|
28 |
1,701 |
2,048 |
2,368 |
2,763 |
3,047 |
|
29 |
1,699 |
2,045 |
2,364 |
2,756 |
3,038 |
|
30 |
1,697 |
2,042 |
2,360 |
2,750 |
3,030 |
|
40 |
1,684 |
2,021 |
2,329 |
2,704 |
2,971 |
|
60 |
1,671 |
2,000 |
2,299 |
2,660 |
2,915 |
|
120 |
1,658 |
1,980 |
2,270 |
2,617 |
2,860 |
|
500 |
1,648 |
1,965 |
2,248 |
2,586 |
2,820 |
Примечание: Для n>500
Таблица П7
Критические значения критериев ta,N и ua,N для проверки гипотез
о принадлежности выборочных значения генеральной совокупности
|
ta |
ua |
|||||
|
N |
a=0.10 |
a=0.05 |
a=0.01 |
a=0.10 |
a=0.05 |
a=0.01 |
|
3 |
1.50 |
1.74 |
2.22 |
1.15 |
1.15 |
1.15 |
|
4 |
1.70 |
1.94 |
2.43 |
1.42 |
1.46 |
1.49 |
|
5 |
1.84 |
2.08 |
2.57 |
1.60 |
1.67 |
1.75 |
|
6 |
1.94 |
2.18 |
2.68 |
1.73 |
1.82 |
1.94 |
|
7 |
2.02 |
2.27 |
2.76 |
1.83 |
1.94 |
2.10 |
|
8 |
2.09 |
2.33 |
2.83 |
1.91 |
2.03 |
2.22 |
|
9 |
2.15 |
2.39 |
2.88 |
1.98 |
2.11 |
2.32 |
|
10 |
2.20 |
2.44 |
2.93 |
2.03 |
2.18 |
2.41 |
|
11 |
2.24 |
2.48 |
2.97 |
2.09 |
2.23 |
2.48 |
|
12 |
2.28 |
2.52 |
3.01 |
2.13 |
2.29 |
2.55 |
|
13 |
2.32 |
2.56 |
3.04 |
2.17 |
2.33 |
2.61 |
|
14 |
2.35 |
2.59 |
3.07 |
2.21 |
2.37 |
2.66 |
|
15 |
2.38 |
2.62 |
3.10 |
2.25 |
2.41 |
2.70 |
|
16 |
2.41 |
2.64 |
3.12 |
2.28 |
2.44 |
2.75 |
|
17 |
2.43 |
2.67 |
3.15 |
2.31 |
2.48 |
2.78 |
|
18 |
2.46 |
2.69 |
3.17 |
2.34 |
2.50 |
2.82 |
|
19 |
2.48 |
2.71 |
3.19 |
2.36 |
2.53 |
2.85 |
|
20 |
2.50 |
2.73 |
3.21 |
2.38 |
2.53 |
2.88 |
|
21 |
2.52 |
2.75 |
3.22 |
2.41 |
2.58 |
2.91 |
|
22 |
2.54 |
2.77 |
3.24 |
2.43 |
2.60 |
2.94 |
|
23 |
2.56 |
2.78 |
3.26 |
2.45 |
2.62 |
2.96 |
|
24 |
2.57 |
2.80 |
3.27 |
2.47 |
2.64 |
2.99 |
|
25 |
2.59 |
2.82 |
3.28 |
2.49 |
2.66 |
3.01 |
|
30 |
2.70 |
2.93 |
3.40 |
|||
|
40 |
2.79 |
3.02 |
2.48 |
|||
|
50 |
2.86 |
3.08 |
3.54 |
|||
|
100 |
3.08 |
3.29 |
3.72 |
|||
|
250 |
3.34 |
3.53 |
3.95 |
|||
|
500 |
3.53 |
3.70 |
4.11 |
Таблица П8
Квантили распределения Кохрена для уровня значимости a=0.05 в зависимости
от чисел степеней свободы n1 и n2
|
n1 |
|||||||||||||
|
n2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
16 |
36 |
144 |
|
2 |
0,9985 |
0,9750 |
0,9392 |
0,9057 |
0,8772 |
0,8534 |
0,8333 |
0,8159 |
0,8010 |
0,7880 |
0,7341 |
0,6602 |
0,5813 |
|
3 |
0,9669 |
0,8709 |
0,7977 |
0,7457 |
0,7071 |
0,6771 |
0,6530 |
0,6333 |
0,6167 |
0,6025 |
0,5466 |
0,4748 |
0,4031 |
|
4 |
0,9065 |
0,7679 |
0,6841 |
0,6287 |
0,5895 |
0,5598 |
0,5365 |
0,5175 |
0,5017 |
0,4884 |
0,4366 |
0,3720 |
0,3093 |
|
5 |
0,8412 |
0,6838 |
0,5981 |
0,5441 |
0,5065 |
0,4783 |
0,4564 |
0,4387 |
0,4241 |
0,4118 |
0,3645 |
0,3066 |
0,2513 |
|
6 |
0,7808 |
0,6161 |
0,5321 |
0,4803 |
0,4447 |
0,4184 |
0,3980 |
0,3817 |
0,3682 |
0,3568 |
0,3135 |
0,2612 |
0,2919 |
|
7 |
0,7271 |
0,5612 |
0,4800 |
0,4307 |
0,3974 |
0,3726 |
0,3535 |
0,3384 |
0,3259 |
0,3154 |
0,2756 |
0,2278 |
0,1833 |
|
8 |
0,6798 |
0,5157 |
0,4377 |
0,3910 |
0,3595 |
0,3362 |
0,3185 |
0,3043 |
0,2926 |
0,2829 |
0,2462 |
0,2022 |
0,1616 |
|
9 |
0,6385 |
0,4775 |
0,4027 |
0,3584 |
0,3286 |
0,3067 |
0,2901 |
0,2768 |
0,2659 |
0,2568 |
0,2226 |
0,1820 |
0,1446 |
|
10 |
0,6020 |
0,4450 |
0,3733 |
0,3311 |
0,3029 |
0,2823 |
0,2666 |
0,2541 |
0,2439 |
0,2355 |
0,2032 |
0,1655 |
0,1308 |
|
12 |
0,5410 |
0,3924 |
0,3264 |
0,2880 |
0,2626 |
0,2439 |
0,2299 |
0,2187 |
0,2098 |
0,2020 |
0,1737 |
0,1403 |
0,1100 |
|
15 |
0,4709 |
0,3346 |
0,2758 |
0,2419 |
0,2195 |
0,2034 |
0,1911 |
0,1815 |
0,1736 |
0,1671 |
0,1429 |
0,1144 |
0,0889 |
|
20 |
0,3894 |
0,2705 |
0,2205 |
0,1921 |
0,1735 |
0,1602 |
0,1501 |
0,1422 |
0,1357 |
0,1303 |
0,1108 |
0,0879 |
0,0675 |
|
24 |
0,3434 |
0,2354 |
0,1907 |
0,1656 |
0,1493 |
0,1374 |
0,1286 |
0,1216 |
0,1160 |
0,1113 |
0,0942 |
0,0743 |
0,0567 |
|
30 |
0,2929 |
0,1980 |
0,1593 |
0,1377 |
0,1237 |
0,1137 |
0,1061 |
0,1002 |
0,0958 |
0,0921 |
0,0771 |
0,0604 |
0,0457 |
|
40 |
0,2370 |
0,1576 |
0,1259 |
0,1082 |
0,0968 |
0,0887 |
0,0827 |
0,0780 |
0,0745 |
0,0713 |
0,0595 |
0,0462 |
0,0347 |
|
60 |
0,1737 |
0,1131 |
0,0895 |
0,0765 |
0,0682 |
0,0623 |
0,0583 |
0,0552 |
0,0520 |
0,0497 |
0,0711 |
0,0316 |
0,0245 |
|
120 |
0,0998 |
0,0632 |
0,0495 |
0,0419 |
0,0371 |
0,0337 |
0,0312 |
0,0292 |
0,0279 |
0,0266 |
0,0218 |
0,0168 |
0,0120 |
Михайленко Аркадий Михайлович
Бондин Андрей Рудольфович
Обработка опытных данных.
Статистические гипотезы и выводы
Редактор издательства
Компьютерная верстка авторская
Подписано в печать Формат 60х84/16
Бумага писчая Печать плоская Усл. печ. л.
Уч.-изд. л. Тираж 150 Заказ Цена "С"
Издательство ГОУ ВПО УГТУ-УПИ
620002, Екатеринбург, Мира 19