Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Планиметрия.
1. Неопределяемые понятия: точка, прямая, плоскость.
2. Треугольник – это фигура, состоящая из 3-х отрезков и 3-х точек, не лежащих на одной прямой, эти точки – вершины треугольника, а отрезки – стороны треугольника.
|
По виду углов |
По количеству равных сторон |
|
1) остроугольный (с2 < a2 + b2)
|
1) разносторонний |
|
2) прямоугольный (с2 = а2 + b2)
|
2) равнобедренный |
|
3) тупоугольный (с2 > a2 + b2)
|
3) равносторонний |
3. Признаки параллельности прямых.
Ð
1 и Ð2 – накрест лежащие углы
Ð1 и Ð4 – соответственные углы
Ð1 и Ð3 – односторонние углы
Ð2 и Ð3 – смежные углы (их сумма равна 1800)
Ð2 и Ð4 – вертикальные углы ( они равны)
4. Признаки равенства треугольников.
1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (по 2-м сторонам и углу между ними).
2) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (по стороне и 2-м прилежащим к ней углам).
3) Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (по 3-м сторонам).
5. Основные линии треугольника.
1) Медиана – это отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий его пополам.
Свойство:
Все медианы пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины ( = ).
2) Биссектриса – это луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам.
Свойство:
Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, все биссектрисы пересекаются в одной точке ().
3) Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины угла на противоположную сторону.
Свойство:
Все высоты пересекаются в одной точке.
4) Средняя линия-отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Свойство: параллельна основанию и равен его половине.
6. Признаки равенства прямоугольных треугольников.
По катету и прилежащему острому углу AC=A1C1, ÐA=ÐA1
По катету и противолежащему острому углу BC=B1C1, ÐA=ÐA1
По гипотенузе и острому углу AB=A1B1, ÐA=ÐA1
По двум катетам AC=A1C1, AB=A1B1
По гипотенузе и катету AB=A1B1, AC=A1C1
7. Признаки подобия треугольников.
1) по 2 углам;
2) по углу и 2 пропорциональным сторонам;
3) по 3 пропорциональным сторонам. = = = k
Свойства:
а) P1: P =k – отношение периметров 2-х подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
б) S1: S = k2 – отношение площадей 2-х подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
8. Прямоугольный треугольник.
Sin a = Cos a = tg a = Ctg a =
медиана = AB
h2 = ca cb , a2 = c ca , b2 = c cb
Свойства прямоугольных треугольников.
Равнобедренный треугольник- это треугольник, у которого две стороны равны.
Свойства р/б треугольника:
9. Равносторонний треугольник.
S =
10. Правильные многоугольники (все стороны равны).
R = ; a – сторона, n – количество сторон, r = ; a – сторона, n – количество сторон
|
n |
R |
r |
|
n = 3 |
||
|
n = 4 |
||
|
n = 6 |
a |
11. Площадь фигур.
1) треугольник
S = ah S = S = Pr
S = ab a S = ;
p = (a + b + c)
Свойства площадей треугольника:
a) Если треугольники имеют общую высоту, то их площади относятся, как основания, к которым проведена эта высота;
=
б) площади 2-х треугольников имеющие общую сторону, относятся как высоты, проведенные к этой стороне;
=
в) площади треугольника имеющие общий угол, относятся как произведения сторон заключающих этот угол.
=
2) четырехугольники
а) параллелограмм S = ah, S = absina, S = d1d2sinb
Свойство диагоналей:
d12 + d22 = 2a2 + 2b2 (сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон).
б) ромб
S = ah, S = a2sina, S = d1d2
в) прямоугольник
d1=d2 , S = ab, S = d2sinb, R = d
г) квадрат
d = a2, S = d2 S = a2
д) трапеция
QP – средняя линия (средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме).
S = MNh, S =
12. Окружность.
1)
AB = d, BC – хорда, d = 2r, AO = OB = r
C=2ПR, S= ПR2
Ð a = 90
Свойства:
а) Ð a(вписанный угол) =
б) Ð b(центральный угол) =
2) окружность, вписанная в треугольник:
а) разносторонний
Свойство касательных к окружности:
Касательные, к окружности, проведенные из одной точки равны и образуют равные углы с прямой проходящей через эту точку и центр окружности.
б) равнобедренный
AH – медиана, высота, биссектриса
т.О AH
в) равносторонний
AH, BM, CK – медиана, высота, биссектриса
т.О AH, BM, CK
3) окружность описанная около треугольника:
а) разносторонний б) равнобедренный в) равносторонний
AH – медиана, высота, биссектриса
OH = r
Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма длин противоположных сторон равна.
Около четырехугольника можно описать окружность, если сумма противоположных углов равна .
13. Теорема sin, cos.
Теорема косинусов: a2 = b2 + c2 - 2bc
Теорема синусов: = =2R