Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
,(1)
,(2)
, , . (3)
Виконаємо дискретну апроксимацію даної задачі. Для цього розіб’ємо відрізок точками , і будемо обчислювати значення цільового функціонала і закону руху тільки в точках розбиття: , , . Закон руху в цьому випадку можна записати у вигляді:
.
Тепер дискретна задача оптимального керування, що апроксимує неперервну задачу (1) – (3), матиме вигляд:
, , (4)
, (5)
(6)
, . (7)
Для пошуку оптимального розв’язку отриманої дискретної задачі може бути застосований метод множників Лагранжа. Функція Лагранжа має вигляд:
,
,(8)
де .
Обмеження на керування введемо далі, під час реалізації чисельного методу. Відзначимо, що перед першим доданком стоїть знак «–», оскільки і якщо не додавати «–», то характер екстремуму початкової функції зміниться.
Якщо –локально-оптимальний процес для задачі (4) – (7), то існують такі нерівні одночасно нулю множники Лагранжа , , , , що матимуть місце наступні умови:
1. або
,
,
. (10)
2. або
,
. (11)
Із (9) одержимо ітераційні співвідношення для спряжених змінних , а з (10) –співвідношення для :
, (12)
. (13)
Перепишемо співвідношення (12) у вигляді:
.
Очевидно, що останнє співвідношення є аналогом спряженої системи для неперервних задач керування. Дійсно,
.
Якщо , то з останнього співвідношення одержимо
.
Зі співвідношення (13) випливає, що .
Сформулюємо критерій оптимальності для задачі (4) – (7). Вважатимемо, що функції , неперервно-диференційовані за змінними і опуклі за . Тоді для локально-оптимального процесу існують такі множники Лагранжа , , , , не всі рівні нулю одночасно, що матимуть місце необхідні умови екстремуму:
) умови стаціонарності в точці :
;
2) . (14)
Розпишемо (14), використовуючи вираз для функції Лагранжа:
Перетворимо вираз під знаком мінімуму, переходячи до довільного :
Або
Якщо , то з останнього співвідношення одержимо
Розглянемо ітераційний метод пошуку оптимального керування задачі (4) – (7). Суть методу полягає в тому, що на кожній ітерації обчислюються два вектори: і . Перший із них містить -е наближення для керувань у моменти часу для системи (14), при , а другий –-е наближення для фазових станів системи в ці ж моменти часу. Отже, на кожній ітерації ми одержуємо процес , що є -м наближенням до шуканого оптимального процесу.
Контроль у методі подвійного перерахування полягає в повторному перерахуванні результатів задачі і порівнянні отриманих даних для різних значень кроку розбиття. У випадку розбіжності виконується корекція і обчислення повторюються.
Розглянемо алгоритм методу.
. Задаємо крок розбиття та точність обчислень .
. Задаємо початкове наближення –припустимий набір керувань на кожному кроці –початкову стратегію керування:
, , ,
де –наближення керування в момент на ітерації .
3. За визначеною в п. 2 стратегією керування будуємо фазову траєкторію процесу
, ,
на початкової ітерації , використовуючи початкові умови і різницеві співвідношення, що апроксимують рівняння руху:
, .
4. Визначаємо початкове наближення відповідно до (5).
5. Знаходимо спряжені змінні за формулами (12) – (13).
Визначаємо наступні наближення до оптимального керування ,
в момент як розв’язки задачі (15) або (16):
, .
7. Обчислюємо відповідну стратегії траєкторію
за формулами (4), (6):
, , .
8. Знаходимо наступне наближення цільового функціонала
за формулою (5).
. Якщо , то переходимо до п. 10, інакше вважаємо, що
, , і переходимо до п. 13.
і ,
то переходимо до п. 13, інакше –до п. 11.
. Позначаємо
, , .
12. Виконуємо наступний крок ітераційного методу –п. 5.
13. Позначаємо
, , –розв’язок, отриманий із кроком розбиття .
1 Якщо крок не ділився, то переходимо до п. 15, інакше –до п. 1
. Ділимо крок
. Тоді і переходимо до п. 2 при .
і ,
то переходимо до п. 18, інакше переходимо до п. 17.
. Позначаємо
, , , , і переходимо до п. 15 –наступного кроку подвійного перерахування.
. , , –розв’язок задачі.
Кінець алгоритму.
Розглянемо відображення , що задане формулою
, (17)
за таких припущень:
параметр приймає значення з вимірного простору . Для будь-якої фіксованої пари задана ймовірнісна міра на просторі , а символ у формулі (12) означає зовнішній інтеграл відносно цієї міри. Отже,
;
функції і відображують множину відповідно в множини і , тобто , ;
скаляр додатний.
Формули (1), (6) є окремими випадками відображення з (12). Очевидно, що відображення (1) для детермінованої задачі випливає з (12), якщо множина складається з єдиного елемента, а відображення (6) (для стохастичної задачі зі зліченним простором збурень) відповідає випадку, коли множина зліченна, а є -алгеброю, складеною із всіх підмножин .
Очевидно, що відображення з (12) задовольняє припущенню монотонності. Якщо на множини , і функції , і накласти вимоги вимірності, то витрати за кроків можна визначити в термінах звичайного інтегрування для будь-якої стратегії , для якої функції , вимірні.
Для початкового стану і стратегії ймовірнісні міри
, ...,
у сукупності із системою рівнянь
, (18)
визначають єдину міру на -кратному прямому добутку копій простору . У випадку, якщо , , і виконується одна з умов
або
,
то функція витрат за кроків, що відповідає вимірній стратегії , приводиться до звичайного вигляду
,
де стани , виражено як функції змінних , ..., за допомогою рівнянь (13) та початкового стану .
Рекурентне співвідношення методу динамічного програмування для розв’язання багатоетапних задач оптимального стохастичного керування зі скінченним горизонтом можна записати так:
, ,
де –щільність розподілу величини .
Розглянемо відображення , що задане формулою
, (19)
за припущення, що параметр приймає значення зі зліченної множини відповідно до заданого розподілу ймовірностей, що залежать від стану і керування . Вважатимемо також, що , , , . Тоді відображення з формули (14) задовольняє припущенню монотонності.
Якщо , , то задача оптимального керування з мультиплікативним функціоналом витрат і скінченним горизонтом матиме такий вигляд:
, (20)
. (21)
а відповідна задача з нескінченним горизонтом:
, (22)
. (23)
Границя в (23) існує, якщо : або .
Самостійний інтерес становить задача з експоненціальною функцією витрат
,
,
де .
Для розв’язання багатоетапних задач оптимального стохастичного керування з мультиплікативним функціоналом витрат використовується таке рекурентне співвідношення алгоритму динамічного програмування:
, ,
де –щільність розподілу величини .
Розглянемо задачу керування системою, у якій некерованими впливами є стратегії супротивника (або явища природи) , , що обираються залежно від поточного стану і керування . Вважатимемо, що припустимі стратегії супротивника приймають значення із множини , . Будемо обчислювати стратегію керування , орієнтуючись на найгіршу поведінку супротивника. Розглянемо відображення , задане формулою
,
за таких припущень:
параметр приймає значення з деякої множини , а –непуста підмножина при будь-яких , ;
функції і відображують множину в множини та відповідно, тобто , ;
скаляр додатний.
За таких умов припущення про монотонність для відображення має місце. Якщо при цьому , і для всіх , , , то відповідну -крокову задачу мінімаксного керування можна сформулювати так:
, (17)
. (18)
Задача з нескінченним горизонтом формулюється аналогічно:
, (24)
. (25)
Границя у співвідношенні (25) існує при виконанні будь-якої з умов:
Для розв’язання багатокрокових мінімаксних задач оптимального стохастичного керування рекурентне співвідношення алгоритму динамічного програмування використовується у такому вигляді:
, ,
,
.