У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематики и информатики Л

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 28.4.2025

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики и информатики

Л.А. Сараев, Ю.В. Хохрякова,

Е.А. Ильина, В.С. Глущенков

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ - III

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

РЯДЫ.

Издательство «Самарский университет»

2006

Учебное пособие содержит варианты контрольных заданий и рекомендации к их решению по курсу «Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды». Представлены основные методы вычисления неопределенных и определенных интегралов. Рассмотрены способы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка; уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка уравнения; изложена методика нахождения частных и общих решений линейных однородных и неоднородных уравнений. Кроме того, детально разобраны основные приемы исследования на сходимость положительных, знакопеременных и функциональных рядов.

Учебное пособие содержит теоретические и практические вопросы для самостоятельной подготовки студентов 2 курса гуманитарных специальностей всех форм обучения.

Авторы-составители: Л.А.Сараев, д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой высшей математики и информатики СамГУ; Ю.В.Хохрякова, к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики и информатики СамГУ; Е.А.Ильина, к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики и информатики СамГУ, В.С.Глущенков, к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики и информатики СамГУ.

Рецензент: В.П. Радченко, д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой прикладной математики и информатики СамГТУ.

Содержание

Программа курса «Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения. Ряды.» 4

Тематика контрольных работ 6

Методические указания к выполнению расчетного задания 24

Литература 40

Программа курса.

«Интегральное исчисление.

Дифференциальные уравнения. Ряды»

Лекции

Первообразная.

Неопределенный интеграл и его свойства. Примеры.

Методы интегрирования. Использование таблиц интегралов.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Определенный интеграл, его свойства.

Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами, их основные свойства.

Несобственные интегралы от неограниченных функций, их основные свойства.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Однородные уравнения.

Линейное уравнение первого порядка.

Уравнение Бернулли.

Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Уравнение Эйлера.

Однородные линейные дифференциальные уравнения. Понятие общего решения.

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных.

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнения с правой частью специального вида.

Нормальная система дифференциальных уравнений.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Понятие о числовом ряде, члены ряда, частичные суммы. Положительные ряды, необходимый признак сходимости ряда.

Признаки сходимости, основанные на сравнении положительных рядов.

Достаточные признаки сходимости положительных рядов (признак Даламбера, радикальный признак Коши).

Интегральный признак Коши.

Знакопеременные ряды, теорема Лейбница.

Знакочередующиеся ряды, абсолютная и условная сходимость.

Функциональные ряды, точка сходимости, область сходимости, равномерная сходимость.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.

Практические занятия

Неопределенный интеграл. Использование таблиц интегралов.

Замена переменной интегрирования.

Методы интегрирования по частям.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов.

Замена переменной интегрирования.

Методы интегрирования по частям.

Несобственные интегралы.

Уравнения с разделяющимися переменными.

Однородные уравнения.

Линейное уравнение первого порядка и уравнение Бернулли.

Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнения с правой частью специального вида.

Метод вариации произвольных постоянных.

Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Тематика контрольных работ

Задача 1

Вычислить неопределенные интегралы по частям.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

Задача 2

Вычислить неопределенные интегралы методом замены переменной.

1.		12.
2.		13.
3.		14.
4.		15.
5.		16.
6.		17.
7.		18.
8.		19.
9.		20.
10.		21.
11.		22.

23.		27.
24.		28.
25.		29.
26.		30.

Задача 3

Вычислить определенные интегралы.

1.		6.
2.		7.
3.		8.
4.		9.
5.		10.
11.		12.
13.		21.
14.		22.
15.		23.
16.		24.
17.		25.
18.		26.
19.		27.
20.		28.
29.		30.

Задача 4

Найти общее решение уравнений с разделяющимися переменными.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

Задача 5.

Найти общее решение линейных уравнений или уравнений Бернулли.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

Задача 6

Найти общее решение дифференциальных уравнений в полных дифференциалах.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Задача 7

Найти общее решение дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

Задача 8

Найти общее решение линейных, неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

Задача 9

Исследовать на сходимость числовые ряды, используя признаки Даламбера (№1–6), Коши (№7–14), Лейбница (№15–24), сравнения (№25–30).

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Задача 10

Определить область сходимости функциональных рядов (№1–15); для степенных рядов (№16–30) найти радиус сходимости и оценить поведение рядов на концах интервала сходимости.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

Задача 11

Разложить в степенной ряд Тейлора следующие функции:

1.	в окрестности точки
2.	в окрестности точки
3.	в окрестности точки
4.	в окрестности точки
5.	в окрестности точки
6.	в окрестности точки
7.	в окрестности точки
8.	в окрестности точки
9.	в окрестности точки
10.	в окрестности точки
11.	в окрестности точки
12.	в окрестности точки
13.	в окрестности точки
14.	в окрестности точки
15.	в окрестности точки
16.	в окрестности точки
17.	в окрестности точки
18.	в окрестности точки
19.	в окрестности точки
20.	в окрестности точки
21.	в окрестности точки
22.	в окрестности точки
23.	в окрестности точки
24.	в окрестности точки
25.	в окрестности точки
26.	Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции в окрестности точки
27.	Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции в окрестности точки
28.	Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции в окрестности точки
29.	Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции в окрестности точки
30.	Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции в окрестности точки

Методические указания к выполнению расчетного задания

Задача 1

Вычислить неопределенный интеграл по частям: .

Данный метод основан на использовании формулы интегрирования по частям.

Формула интегрирования по частям имеет вид

где , – непрерывно дифференцируемые функции. Применение ее целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом за берется функция, которая при дифференцировании упрощается (например: , , , ); за всегда выбирается такое выражение, содержащее , из которого посредством интегрирования можно найти .

Решение.

Пусть , тогда . По формуле интегрирования по частям получаем

Задача 2

Вычислить интеграл методом замены переменной: .

Формула замены переменной в неопределенном интеграле имеет вид

Новая переменная связана со старой переменной соотношениями

Смысл применения этого метода состоит в том, что новая переменная подбирается таким образом, чтобы интеграл в правой части получился проще, чем исходный и сводился к табличному.

Решение. Выполняем замену переменной . Дифференцируем обе части равенства: . Подставляем результаты в подынтегральное выражение, находим полученный интеграл и возвращаемся к заданной переменой :

Задача 3

Вычислить определенный интеграл: .

Для вычисления определенного интеграла используют формулу Ньютона–Лейбница

Для интегрирования по частям применяется формула:

Если определенный интеграл преобразуется заменой [или ], то старые пределы и необходимо заменить новыми пределами и , которые определяются из исходной подстановки, т.е. из уравнений , [или , ]:

Решение:

Проводим замену переменной в определенном интеграле: .

Дифференцируя обе части равенства, получаем откуда . В определенном интеграле в отличие от неопределенного, при замене переменной, необходимо найти новые пределы интегрирования:

если , то ; если , то . Тогда получаем

Задача 4

Найти общее решение уравнения с разделяющимися переменными:

Уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции и разлагаются на множители, зависящие каждый только от одной переменной: .

В таком уравнении после деления левой и правой частей на переменные разделяются:

После разделения переменных, когда каждое слагаемое левой части уравнения будет зависеть только от одной переменной, общий интеграл уравнения находится по членным интегрированием:

Решение. Выразим производную через дифференциалы переменных: , умножим обе части уравнения на и разложим коэффициент при на множители:

Далее разделим переменные в данном уравнении, деля обе его части на :

и, интегрируя, находим общий интеграл

;

Задача 5.

Найти общее решение линейного уравнения: .

Уравнение вида , где и известные функции от , линейное (первой степени) относительно функции и ее производной называется линейным.

Посредством замены функции произведением двух вспомогательных функций линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно каждой из вспомогательных функций.

Уравнение Бернулли , отличающееся от линейного уравнения тем, что в правую часть входит множителем некоторая степень функции , решается так же, как и линейное. Посредством подстановки оно также сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными.

Решение. Убедившись, что данное уравнение линейное, полагаем ; тогда и данное уравнение преобразуется к виду

или

Так как одну из вспомогательных функций или можно взять произвольно, то выберем в качестве какой-либо частный интеграл уравнения .

Тогда для отыскания получим уравнение .

Решая первое из этих уравнений, найдем ; разделяя переменные и интегрируя, найдем его простейший, отличный от нуля частный интеграл:

; ; .

Подставляя во второе уравнение и решая его, найдем как общий интеграл этого уравнения:

; ; .

Зная и , находим искомую функцию :

Задача 6

Найти общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах:

Если в уравнении 1-го порядка коэффициенты и удовлетворяют условию , то его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции . Такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.

Записав такое уравнение в виде , и найдя первообразную функцию , получим общий интеграл этого уравнения, полагая .

Решение. Вначале убеждаемся, что данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах:

; ;

Затем находим неопределенные интегралы:

, считая постоянной;

, считая постоянной.

Беря все известные члены из первого результата и дописав к ним недостающие члены, зависящие только от , из второго результата, получим функцию

полным дифференциалом которой является левая часть данного дифференциального уравнения, а приравняв ее произвольной постоянной, получим искомый общий интеграл данного уравнения:

Задача 7

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка:

1) Уравнение -го порядка решается последовательным интегрированием.

Умножая обе его части на и интегрируя, получаем уравнение -го порядка:

Снова умножая обе части на и интегрируя, получаем уравнение -го порядка:

и т. д.

После -кратного интегрирования получаем общий интеграл этого уравнения в виде явной функции от и произвольных постоянных:

2) Уравнения 2-го порядка:

не содержащие явно функции или аргумента , преобразуются в уравнения 1-го порядка посредством подстановки , откуда

– для уравнения

или

– для уравнения .

Решение. Данное уравнение 2-го порядка не содержит явно функции . Полагая , получим и после постановки данное уравнение обращается в уравнение 1-го порядка:

Разделяя переменные и интегрируя, найдем ;

; ; .

Заменяя вспомогательную переменную через , получим уравнение , решая которое найдем искомый общий интеграл:

;

Задача 8

Найти общее решение линейного, неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

Линейным однородным уравнением называется уравнение

, (1)

все члены которого первой степени относительно функции и ее производных, а коэффициенты , , … , – известные функции от аргумента или постоянные.

Общий интеграл линейного однородного уравнения -го порядка (1) имеет вид

где , , … , – линейно независимые частные интегралы этого уравнения.

Если все коэффициенты линейного однородного уравнения (1) постоянны, то его общий интеграл находится с помощью характеристического уравнения

, (2)

которое получается из этого уравнения, если, сохраняя в нем все коэффициенты , заменить функцию единицей, а все ее производные соответствующими степенями . При этом:

1) если все корни , , … , характеристического уравнения (2) действительны и различны (однократны), то общий интеграл уравнения (1) выражается, формулой

; (3)

2) если характеристическое уравнение имеет пару однократных комплексных сопряженных корней , то в формуле (3) соответствующая пара членов заменяется слагаемым

;

3) если действительный корень уравнения (2) имеет кратность , то соответствующие членов в формуле (3) заменяются слагаемым

;

4) если пара комплексных сопряженных корней уравнения (2) имеет кратность , то соответствующие пар членов в формуле (3) заменяются слагаемым

Линейным неоднородным уравнением называется уравнение первой степени относительно функции и ее производных

, (4)

отличающееся от линейного однородного уравнения наличием в правой части некоторой известной функции от независимой переменной .

Общий интеграл линейного неоднородного уравнения равен сумме какого-либо его частного интеграла и общего интеграла соответствующего однородного уравнения (получающегося из неоднородного при ).

Для решения линейного неоднородного уравнения (4) с постоянными коэффициентами вначале находится функция , затем функция . Их сумма и дает общий интеграл неоднородного уравнения: .

Для некоторых специальных видов функции частный интеграл можно найти методом неопределенных коэффициентов. По виду правой части можно заранее указать вид частного интеграла , где неизвестны лишь числовые коэффициенты, и затем найти его без всяких квадратур в следующих простейших случаях:

1) , где – многочлен1,

2) ,

3) есть сумма указанных функций.

В этих случаях есть функция, подобная , т. е. отличается от только числовыми коэффициентами.

Но если число (для случая 1) или числа (для случая 2) являются корнями характеристического уравнения кратности , то отличается от множителем .

Решение. Вначале находим общий интеграл однородного уравнения , соответствующего данному неоднородному уравнению. Его характеристическое уравнение имеет корни , , поэтому общий интеграл соответствующего однородного уравнения есть

Далее находим частный интеграл данного неоднородного уравнения. Для правой части данного уравнения , согласно указанному правилу (случаи 3, 1 и 2), есть функция, подобная , т.е.

Для определения коэффициентов , , находим производные

подставляем и в данное уравнение:

и, сравнивая коэффициенты у подобных членов, получим систему:

из которой находим

Следовательно, ,

Задача 9

Исследовать на сходимость числовой ряд: .

Числовым рядом называется выражение

, (1)

где числа , , … , , … , называемые членами ряда, образуют известную числовую последовательность.

Числовой ряд (1) называется сходящимся, если сумма первых его членов при имеет предел.

Этот предел называется суммой сходящегося ряда.

Если же не существует, то ряд называется расходящимся.

I. Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то

Достаточный признак расходимости для всякого ряда. Если же , то ряд расходится.

Для числовых рядов с положительными членами (), при исследовании их сходимости, употребительны следующие достаточные признаки сходимости:

II. Признак сравнения. Если ряд с положительными членами

(а)

сравнить с другим рядом с положительными членами

(b)

сходимость или расходимость которого известна, и если, начиная с некоторого номера:

1) и ряд (b) сходится, то и ряд (а) также сходится;

2) и ряд (b) расходится, то ряд (а) также расходится.

При использовании этого признака исследуемый ряд часто сравнивается или с бесконечной геометрической прогрессией

, , (2)

которая при сходится, а при расходится, или с расходящимся гармоническим рядом

. (3)

Знакопеременный ряд (с членами разных знаков)

(4)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов

(5)

Знакопеременный сходящийся ряд (4) называется неабсолютно сходящимся, если ряд (5) расходится.

Всякий абсолютно сходящийся ряд есть ряд сходящийся.

III. Признак Даламбера. Если , то при ряд сходится, а при расходится. При вопрос о сходимости ряда остается нерешенным.

IV. Радикальный признак Коши. Если , то при ряд сходится, а при расходится. При признак ответа на вопрос о сходимости не дает.

V. Интегральный признак Коши. Ряд с положительными убывающими членами сходится или расходится, смотря по тому, сходится или расходится несобственный интеграл , где – непрерывная убывающая функция2.

Этим признаком можно пользоваться, когда выражение общего члена имеет смысл не только для целых положительных значений , но и для всех , больших некоторого положительного числа .

VI. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд (знаки членов которого строго чередуются) , сходится, если его члены убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю, т.е. если . и .

При практическом использовании рядов (сходящихся) обычно ограничиваются несколькими их первыми членами. Допускаемая при этом ошибка (остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередующихся рядов:

Ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

Решение. Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю: и .

Поэтому, согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Чтобы установить, сходится он абсолютно или неабсолютно, исследуем ряд с положительными членами , составленный из абсолютных значений членов данного ряда.

Применяя интегральный признак

заключаем, что ряд с положительными членами расходится.

Задача 10

Определить интервал сходимости степенного ряда: .

Ряд , члены которого являются функциями от переменной , называется функциональным.

При различных значениях из функционального ряда получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.

Совокупность значений , при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее употребительными являются степенные ряды вида

(1)

или более общего вида

(2)

Областью сходимости всякого степенного ряда является один интервал числовой оси, симметричный относительно точки (для ряда 1) или (для ряда 2), который может быть закрытым, открытым или полуоткрытым.

Для определения области сходимости функциональных рядов обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения , для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда (), исследуются особо, посредством других признаков сходимости рядов.

Решение. По известному члену ряда , заменяя в нем через , находим следующий за ним член :

; .

Далее, используя признак Даламбера, ищем предел

и определяем, при каких значениях этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство : ; .

Согласно признаку Даламбера, при любом значении из найденного интервала данный ряд сходится (абсолютно), а при расходится.

Граничные точки этого интервала, для которых и признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо.

При получим числовой ряд с положительными членами , который расходится, что следует из сравнения его с расходящимся гармоническим рядом . (Каждый член исследуемого ряда больше соответствующего члена гармонического ряда.)

При получим числовой знакочередующийся ряд , который сходится, согласно признаку Лейбница. (Члены этого ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю.)

Следовательно, интервалом сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал .

Задача 11

Разложить в степенной ряд Тейлора функцию: при .

Рядом Тейлора для функции в окрестности точки называется степенной ряд относительно двучлена вида

Формально ряд Тейлора можно написать для всякой функции, которая в окрестности точки имеет производные любого порядка. Однако этот ряд будет сходиться в породившей его функции только при тех значениях , при которых остаточный член формулы Тейлора для этой функции при неограниченном возрастании стремится к нулю.

При ряд Тейлора есть степенной ряд относительно независимой переменной :

который принято называть рядом Маклорена.

Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:

а) написать ряд Тейлора для данной функции, т.е. вычислить значения этой функции и ее производных при и подставить их в общее выражение ряда Тейлора для произвольной функции;

б) исследовать остаточный член формулы Тейлора для данной функции и определить совокупность значений , при которых полученный ряд сходится к данной функции (т.е. при которых ).

Для многих функций, употребляемых в практических применениях математического анализа, интервал сходимости ряда Тейлора полностью совпадает с совокупностью тех значений , при которых соответствующий остаточный член , когда , т.е. для многих функций каждая точка сходимости ряда Тейлора является и точкой сходимости этого ряда к породившей его функции. Поэтому при разложении многих функций в ряд Тейлора можно вместо исследования соответствующего остаточного члена , что во многих случаях весьма затруднительно, исследовать сходимость самого ряда Тейлора, как обычного степенного ряда.

Решение. а) Вычисляем значения данной функции и ее производных при :

Подставляя эти значения в ряд Тейлора для произвольной функции, получим

б) Исследуем сходимость полученного ряда по признаку Даламбера:

; .

; , если .

Решая это неравенство, находим интервал . Границы этого интервала исследуем особо. Подставляя в ряд , затем , получим числовые ряды и , которые расходятся, так как у них не выполняется необходимое условие сходимости ряда .

Следовательно, интервал сходимости полученного ряда Тейлора для данной функции есть . Исследуя остаточный член формулы Тейлора для данной функции, можно убедиться, что в указанном интервале полученный ряд сходится именно к данной функции.

Литература

Гусак А.А. Высшая математика. – Минск, 1998. – Т.1-2.
Кремер П.Ш. Высшая математика для экономистов. – М., 1999.
Щипачев В.С. Высшая математика. – М., 1998.
Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М., 1999.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. – Т.1-2.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. – М. – Т.1-2.

1 В частности, если , то – многочлен; а если есть постоянная (многочлен нулевой степени), то – показательная функция .

2 Нижним пределом интеграла может быть любое положительное число из области определения .

1. Нормування оборотних засобів та їх вплив на фінансовий стан підприємства
2. ТЕМА- АРТЕРИАЛЬНАЯ И ВЕНОЗНАЯ ГИПЕРЕМИИ ИШЕМИЯ ТРОМБОЗ ЭМБОЛИЯ СТАЗ.
3. практикум для родителей и детей 5 ~ 6 лет Как правильно организовать физические упражнения дома Це
4. Антропогенез
5. Взгляды Платона на воспитание
6. Святые помощники
7. тема принятия решений состоит в том что на рассмотрение готовится проект новшества Японская кольцевая
8. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Образовательная программа Культура русской речи далее Программа соста.html
9. Десять секретов любви
10. і Однойменні заряди відштовхуються різнойменні ~ притягаються

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.		6.
2.		7.
3.		8.
4.		9.
5.		10.
11.		12.
13.		21.
14.		22.
15.		23.
16.		24.
17.		25.
18.		26.
19.		27.
20.		28.
29.		30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.		6.
2.		7.
3.		8.
4.		9.
5.		10.
11.		12.
13.		21.
14.		22.
15.		23.
16.		24.
17.		25.
18.		26.
19.		27.
20.		28.
29.		30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.		6.
2.		7.
3.		8.
4.		9.
5.		10.
11.		12.
13.		21.
14.		22.
15.		23.
16.		24.
17.		25.
18.		26.
19.		27.
20.		28.
29.		30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

1.		16.
2.		17.
3.		18.
4.		19.
5.		20.
6.		21.
7.		22.
8.		23.
9.		24.
10.		25.
11.		26.
12.		27.
13.		28.
14.		29.
15.		30.