Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Механика.
Кинематика точки — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение.
Движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой системе отсчета, включающей: тело отсчета, систему измерения положения тела в пространстве (систему координат) и Прибор для измерения времени (Часы).
Положение точки определяется набором обобщенных координат — упорядоченным набором числовых величин, полностью описывающих положение тела. В самом простом случае это координаты точки (радиус-вектора) в выбранной системе координат.
Материальная точка – это тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Является ли тело материальной точкой, зависит не от размеров тела, а от условий задачи.
Движением в механике называется изменение взаимного расположения тел. Движение происходит как в пространстве, так и во времени, поэтому для описания движения необходимо также определять время. Совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношении к которым рассматривается движение, и отсчитывающего время устройства называется системой отсчёта. Всякое движение твёрдого тела можно разложить на 2 вида: поступательное и вращательное. Поступательным называется движение, при котором любая прямая, связанная с движущимся телом, остаётся параллельной самой себе. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может быть и вне тела. Для того чтобы иметь возможность описывать движение количественно систему отсчёта связывают с системой координат.
Материальная точка при своём движении описывает некоторую линию, называемую траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное, криволинейное и движение по окружности.
Радиус-вектор — вектор, определяющий положение материальной точки в пространстве. Геометрически изображается вектором, проведенным из начала координат к материальной точке. Зависимость радиус-вектора от времени называется законом движения.
Траектория – это воображаемая линия, описываемая концом радиус-вектора в процессе движения. Иными словами, траектория — это линия вдоль которой движется материальная точка. При этом закон движения выступает как уравнение, задающее траекторию параметрически. Длину участка траектории между начальным и конечным моментами времени часто называют пройденным расстоянием или длиной пути и обозначают буквой S. При таком описании движения S выступает в качестве обобщенной координаты, а законы движения в этом случае записывается в виде и аналогичны соответствующим законам для координат. Например закон равноускоренного криволинейного движения может быть записан в виде: , где – модуль начальной скорости, а о – тангенциальное ускорение.
Радиус-вектора и вектор перемещения (черные стрелки). Вектора средней и мгновенных скоростей (Зеленые стрелки). Траектория (красная линия)
Разложение ускорения по сопутствующему базису
Перемещение - это векторная физическая величина, равная разности радиус-векторов в конечный и начальный моменты времени: . Иными словами, перемещение — это приращение радиус-вектора за выбранный промежуток времени.
Средняя скорость – это векторная физическая величина равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за который происходит это перемещение:
Мгновенная скорость — векторная физическая величина, равная первой производной от радиус-вектора по времени:. Характеризует быстроту перемещения материальной точки. Мгновенную скорость можно определить как предел средней скорости при устремлении к нулю промежутка времени, на котором она вычисляется: . Единица измерения скорости в системе СИ— м/с. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.
Мгновенное ускорение — векторная физическая величина, равная второй производной от радиус-вектора по времени и, соответственно, первой производной от мгновенной скорости по времени: . Характеризует быстроту изменения скорости. Единица ускорения в системе СИ— м/с². В случае движения в плоскости вектор ускорения можно разложить по сопутствующему базису: на вектор нормального и тангенциального ускорения: .Здесь — единичный вектор нормали, — единичный вектор касательной. Величина an называется нормальным ускорением и характеризует скорость изменения направления движения. Нормальное ускорение выражается через мгновенную скорость и радиус кривизны траектории: . В случае движения по окружности нормальное ускорение называется центростремительным. Как видно из предыдущей формулы, при движении по окружности с постоянной скоростью нормальное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности. Величина aτ называется тангенциальным ускорением и характеризует величину изменения модуля скорости:
Движение тела может быть как поступательным так и вращательным. В этом случае тело представляется в виде системы жестко связанных между собой материальных точек. Вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой (ось вращения)
Ось вращения может проходить через тело или лежать за его пределами. Если ось вращения проходит сквозь тело, то точки, лежащие на оси, при вращении тела остаются в покое. Точки твёрдого тела, находящиеся на разных расстояниях от оси вращения за одинаковые промежутки времени проходят различные расстояния и следовательно имеют различные линейные скорости
При вращении тела вокруг неподвижной оси точки тела за один и тот же промежуток времени совершают одно и тоже угловое перемещение . Модуль равен углу поворота тела вокруг оси за время , направления вектора углового перемещения с направлением вращения тела связано правилом винта: если совместить направления вращения винта с направлением вращения тела, то вектор будет совпадать с поступательным движением винта. Вектор направлен вдоль оси вращения.
Быстроту изменения углового перемещения определяет угловая скорость - ω. По аналогии с линейной скоростью вводят понятия средней и мгновенной угловой скорости: . . Угловая скорость - величина векторная. Быстроту изменения угловой скорости характеризует среднее и мгновенное угловое ускорение. , . Вектор может и совпадать с вектором , и быть противоположным ему. Угловое перемещение , угловая скорость и угловое ускорение для различных моментов времени t определяется по формулам : , , , где - угловая скорость в данный момент времени t ; - начальная угловая скорость, при t=0. В системе СИ угловое перемещение измеряется в радианах (рад.), угловая скорость - в (рад /с), угловое ускорение - в (рад /с2).
Законы Ньютона — три эмпирических закона, лежащих в основе классической механики и позволяющих записать уравнения движения для любой механической системы исходя из известных силовых взаимодействий слагающих её тел.
Первый закон Ньютона постулирует наличие такого явления, как инерция тел. Поэтому он также известен как Закон инерции. Инерция — это явление сохранения телом скорости движения (и по величине, и по направлению), когда на тело не действуют никакие силы или векторная сумма всех действующих сил (то есть равнодействующая) равна нулю. Чтобы изменить скорость движения, на тело необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным. Таким образом, говорят, что тела обладают инертностью. Инертность — это свойство тел сопротивляться изменению их текущего состояния. Величина инертности характеризуется массой тела.
В современной физике первый закон Ньютона принято формулировать в следующем виде: Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых свободная материальная точка сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго
Под свободной материальной точкой в данной формулировке понимается материальная точка, на которую не оказывается никакого внешнего воздействия, однако закон верен также для случая взаимно скомпенсированных внешних сил (это следует из 2-го закона Ньютона, так как скомпенсированные силы сообщают телу нулевое суммарное ускорение).
Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО). В инерциальной системе отсчета ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.
Второй закон Ньютона действителен только для скоростей, много меньших скорости света и в инерциальных системах отсчёта. Для скоростей, приближенных к скорости света, используются законы теории относительности.
Нельзя рассматривать частный случай (при ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.
Третий закон объясняет, что происходит с двумя взаимодействующими телами. Он утверждает, что сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия. Эти силы приложены к разным телам, а потому вовсе не компенсируются. Материальные точки попарно действуют друг на друга с силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению: . Закон отражает принцип парного взаимодействия. То есть все силы в природе рождаются парами.
Принцип относительности Галилея – это принцип физического равноправия инерциальных систем отсчёта в классической механике, проявляющегося в том, что законы механики во всех таких системах одинаковы. Движение материальной точки относительно: её положение, скорость, вид траектории зависят от того, по отношению к какой системе отсчёта (телу отсчёта) это движение рассматривается. В то же время законы классической механики, т. е. соотношения, которые связывают величины, описывающие движение материальных точек и взаимодействие между ними, одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Относительность механического движения и одинаковость (безотносительность) законов механики в разных инерциальных системах отсчёта и составляют содержание принципа относительности Галилея.
Математически принцип относительности Галилея выражает инвариантность (неизменность) уравнений механики относительно преобразований координат движущихся точек (и времени) при переходе от одной инерциальной системы к другой — преобразований Галилея. Из преобразований Галилея можно получить соотношения между скоростями движения точки и её ускорениями в обеих системах.
Принцип относительности Галилея справедлив лишь в классической механике, в которой рассматриваются движения со скоростями, много меньшими скорости света. При скоростях, близких к скорости света, движение тел подчиняется законам релятивистской механики Эйнштейна
Законы Кеплера — три эмпирических соотношения, описывающих идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты.
Первый закон Кеплера.
Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 и e = 0 эллипс превращается в окружность.
Второй закон Кеплера.
Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.
Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.
Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников. , где T1 и T2 — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a1 и a2 — длины больших полуосей их орбит.
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: , где M — масса Солнца, а m1 и m2 — массы планет.
Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.
Все материальные тела притягивают друг друга, причём величина силы тяготения не зависит от физических и химических свойств тел, от состояния их движения, от свойств среды, где находятся тела. На Земле тяготение проявляется прежде всего в существовании силы тяжести, являющейся результатом притяжения всякого материального тела Землёй.
В рамках классической механики гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения. Он гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы m1 и m2, разделёнными расстоянием R, пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними — то есть: , Здесь — гравитационная постоянная, равная .
Масса — одна из важнейших физических величин. Первоначально она характеризовала «количество вещества» в физическом объекте, от которого, по представлениям того времени, зависели как способность объекта сопротивляться приложенной силе (инертность), так и гравитационные свойства — вес. Тесно связана с понятиями «энергия» и «импульс» (по современным представлеиням — масса эквивалентна энергии покоя).
В современной физике понятие «количество вещества» имеет другой смысл, а под массой понимают два различных свойства физического объекта:
Гравитационная масса показывает, с какой силой тело взаимодействует с внешними гравитационными полями — фактически эта масса положена в основу измерения массы взвешиванием в современной метрологии, и какое гравитационное поле создаёт само это тело (активная гравитационная масса) — эта масса фигурирует в законе всемирного тяготения.
Инертная масса, которая характеризует меру инертности тел и фигурирует во втором законе Ньютона. Если произвольная сила в инерциальной системе отсчёта одинаково ускоряет разные исходно неподвижные тела, этим телам приписывают одинаковую инертную массу.
Гравитационная и инертная масса равны друг другу (практически с точностью (порядка 10−13), а в большинстве физических теорий — точно), поэтому в большинстве случаев просто говорят о массе, не уточняя, какую из них имеют в виду.
Гравитационная масса — характеристика материальной точки при анализе в классической механике, которая полагается причиной гравитационного взаимодействия тел, в отличие от инертной массы, которая определяет динамические свойства тел.
Как установлено экспериментально, эти две массы пропорциональны друг другу. Не было обнаружено никаких отклонений от этого закона, поэтому новых единиц измерения для инерционной массы не вводят (используют единицы измерения гравитационной массы) и коэффициент пропорциональности считают равным единице, что позволяет говорить и о равенстве инертной и гравитационной масс.
Неинерциальная система отсчёта — произвольная система отсчёта, не являющаяся инерциальной. Примеры неинерциальных систем отсчета: система, движущаяся прямолинейно с постоянным ускорением, а также вращающаяся система. В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже несправедливы. Однако законы динамики можно применять и для них, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода — так называемые силы инерции.
Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, поэтому в общем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил: 1) силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета; 2) силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета; 3) силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.
Для анализа этих дополнительных сил вводят так называемую абсолютную систему отсчета и разделяют силы на «реальные» и «фиктивные» (силы инерции). Реальные силы по определению действуют только в инерциальных системах отсчета. Они определяют только ускорение, поэтому инерциальных систем бесконечно много. Реальные силы, например сила тяжести, зависят только от разностей координат материальных тел; следовательно, все инерциальные системы отсчета равноправны, что выражает механическую относительность, не совпадающую с упомянутой выше кинематической относительностью. В ускоренных системах отсчета в дополнение к действующим в инерциальных системах реальным силам добавляются силы инерции, которые, в отличие от реальных сил, не подчиняются третьему закону Ньютона о равенстве действия и противодействия.
Центробежная сила — сила инерции, которую вводят во вращающейся (неинерциальной) системе отсчёта (чтобы применять законы Ньютона, рассчитанные только на инерциальные СО) и которая направлена от оси, вокруг которой происходит поворот тела — или — в двумерном случае — от центра вращения (отсюда и название).
Также центробежной силой, особенно в технической литературе, называют силу, действующую со стороны движущегося по круговой траектории тела на вызывающие это вращение связи, равная по модулю центростремительной силе и всегда направленная в противоположную ей сторону.
Центробежная сила для тел конечных размеров может быть рассчитана (как это обычно делается и для любых других сил) суммированием центробежных сил, действующих на материальные точки, являющиеся элементами, на которые мы мысленно разбиваем конечное тело.
Сила Кориолиса — одна из сил инерции, существующая в неинерциальной системе отсчёта из-за вращения и законов инерции, проявляющаяся при движении в направлении под углом к оси вращения. Причина появления силы Кориолиса — в кориолисовом (поворотном) ускорении. В инерциальных системах отсчёта действует закон инерции, то есть, каждое тело стремится двигаться по прямой и с постоянной скоростью. Если рассмотреть движение тела, равномерное вдоль некоторого вращающегося радиуса и направленное от центра, то станет ясно, что чтобы оно осуществилось, требуется придавать телу ускорение, так как чем дальше от центра, тем должна быть больше касательная скорость вращения. Это значит, что с точки зрения вращающейся системы отсчёта, некая сила будет пытаться сместить тело с радиуса. Если вращение происходит по часовой стрелке, то двигающееся от центра вращения тело будет стремиться сойти с радиуса влево. Если вращение происходит против часовой стрелки — то вправо.
Сила Кориолиса равна: , где — точечная масса, — вектор угловой скорости вращающейся системы отсчёта, — вектор скорости движения точечной массы в этой системе отсчёта, квадратными скобками обозначена операция векторного произведения.
Следовательно, Кориолисово смещение есть результат движения объекта, вращения Земли и географической широты. По этой причине в ответе должны присутствовать удвоенный синус широты, скорость тела и угловая скорость вращения Земли. Точная формула довольно проста: - результат векторного произведения частоты вращения Земли и скорости движения тела (вектор частоты вращения Земли направлен на полярную звезду). Кроме того, сила Кориолиса проявляется и в глобальных масштабах. В северном полушарии сила Кориолиса направлена вправо от движения, поэтому правые берега рек в Северном полушарии более крутые — их подмывает вода под действием этой силы. В Южном полушарии всё происходит наоборот. Сила Кориолиса ответственна также и за вращение циклонов и антициклонов.
Гравитационное поле Земли - поле силы тяжести, обусловленное притяжением (тяготением) Земли и центробежной силой, вызванной ее суточным вращением. Гравитационное поле Земли незначительно зависит также от притяжения Луны, Солнца и других небесных тел и масс земной атмосферы.
В рамках классической физики гравитационное взаимодействие описывается «законом всемирного тяготения» Ньютона, согласно которому сила гравитационного притяжения между двумя материальными точками с массами m1 и m2 пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
Вращение Земли и сплюснутость ее у полюсов приводит к тому, что ускорение свободного падения относительно геоцентрической системы отсчета на разных широтах различно: на полюсах gпол ≈ 9,83 м/с2, на экваторе gэкв ≈ 9,78 м/с2, на широте 45° g ≈ 9,81 м/с2. Следовательно вес тела экваторе меньше.
Вращение — круговое движение объекта. В плоском пространстве объект вращается вокруг центра (или точки) вращения. В трёхмерном пространстве объект вращается вокруг линии, называемой осью. Если ось вращения расположена внутри тела, то говорят, что тело вращается само по себе или обладает спином, который имеет относительную скорость и может иметь момент импульса. Круговое движение относительно внешней точки, например, вращение Земли, вокруг Солнца, называется орбитальным движением или, более точно, орбитальным вращением.
При вращательном движении динамическими характеристиками являются момент силы, момент инерции, момент импульса. Эти характеристики можно рассматривать относительно точки вращения (полюса) и относительно оси вращения. В дальнейшем будем рассматривать эти характеристики относительно оси вращения. Определим эти характеристики.
1.Момент силы, действующей на материальную точку, относительно оси вращения.
а) Пусть материальная точка массы m вращается относительно оси ОО ΄. Обозначим r - радиус-вектор, проведенный от оси вращения до точки приложения силы F (Рисунок 10).
Рисунок 10.Вращение материальной точки
Моментом силы F относительно оси вращения называется вектор M, равный векторному произведению радиус-вектора на вектор силы M = [ r∙ F] и направленный по оси вращения в сторону, определяемую по правилу правого буравчика
Модуль вектора момента силы равен M = F∙r∙sinα, где α - угол между векторами rи F.
2. Момент импульса.
Моментом импульса материальной точки относительно оси вращения называется вектор L, равный векторному произведению радиуса-вектора r на вектор импульса P: L = [ r∙P] = [ r∙ mv],
где m, v - соответственно масса и вектор скорости точки. Направление Lопределяется по правилу правого буравчика. Модуль вектора L = mv∙ r∙ sinα, где α - угол между векторами r и v.
3. Момент инерции материальной точки относительно оси вращения
Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется физическая величина, численно равная произведению массы точки на квадрат расстояния точки до оси вращения (Рисунок 10).
I = mr2
Момент инерции - величина скалярная.
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс всех точек системы на квадраты их расстояний до оси вращения.
I = mi∙ ri2
Для твердого тела, разбитого на элементарные массы ∆ mi, момент инерции относительно оси равен
I = ∆ mi∙ ri2.
Для расчета моментов инерции вращающихся тел вокруг оси, не проходящей через центр масс тела, можно использовать теорему Штейнера.
Теорема Штейнера.
Момент инерции тела относительно произвольной оси АА' равен сумме момента инерции тела относительно оси ОО', проходящей через центр масс тела и параллельной данной оси АА', и произведения массы тела как целого на квадрат расстояния d между осями АА' и ОО' (Рисунок 11).
IАА' = IОО' + md2
Рисунок 11.
Механическая работа — это физическая величина, являющаяся количественной характеристикой действия силы F на процесс γ(t), зависящая от численной величины, направления силы и от перемещения точки её приложения. При прямолинейном движении и постоянном значении силы работа равна произведению величины проекции вектора силы на направление движения и величины пройденного пути: . При этом действующая сила F и вектор скорости v за всё время наблюдения Δt должны быть постоянны.
Если масса частицы постоянна, а Atotal — полная работа, совершённая над частицей, определяемая как сумма работ совершенных приложенными к частице силами, то из второго закона Ньютона можно получить:, где Ek называется кинетической энергией.
Для сложных объектов, состоящих из множества частиц, кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий частиц.
Энергия — скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Введение понятия энергии удобно тем, что в случае, если физическая система является замкнутой, то её энергия сохраняется во времени. Это утверждение носит название закона сохранения энергии. Энергия является мерой способности физической системы совершить работу, поэтому количественно энергия и работа выражаются в одних единицах. Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль.
Механика различает потенциальную энергию (или, в более общем случае, энергия взаимодействия тел или их частей между собой или с внешними полями) и кинетическую энергию (энергия движения). Их сумма называется полной энергией.
Потенциальная энергия— скалярная физическая величина, характеризующая способность некоего тела (или материальной точки) совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил.
Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии.
Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными.
Кинетическая энергия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения.
Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением.
Мощность — физическая величина, равная отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени. - средняя мощность. Так как работа является мерой изменения энергии, мощность можно определить также как скорость изменения энергии системы.
Если на движущееся тело действует сила, то эта сила совершает работу. Мощность в этом случае равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется тело: , F — сила, v — скорость, α — угол между вектором скорости и силы.
В физике, имеющей дело с силовыми полями, математическое условие потенциальности силового поля можно представить как требование равенства нулю работы при перемещении частицы, на которую действует поле, по замкнутому контуру. В качестве потенциала поля в этом случае можно выбрать работу по перемещению пробной частицы из некоторой произвольно выбранной исходной точки в заданную точку (по определению эта работа не зависит от пути перемещения). Например, потенциальными являются статическое электрическое поле, а также гравитационное поле в ньютоновской теории гравитации.
Законы сохранения — фундаментальные физические законы, согласно которым при определённых условиях некоторые измеримые физические величины, характеризующие замкнутую физическую систему, не изменяются с течением времени.
Закон сохранения энергии — фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что энергия изолированной (замкнутой) физической системы сохраняется с течением времени. Другими словами, энергия не может возникнуть из ничего и не может исчезнуть в никуда, она может только переходить из одной формы в другую.
Закон сохранения импульса (Закон сохранения количества движения) утверждает, что сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.
Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил. В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона.
Закон сохранения момента импульса (закон сохранения углового момента) — векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем.
Внутри жидкости в любой ее точке существует давление, обусловленное весом верхних слоев жидкости на нижние. Если рассматривать жидкость в состоянии покоя, т.е. не двигающуюся, то это давление можно назвать "весовым " или гидростатическим давлением. На одном и том же уровне оно одинаково по всем направлениям / и вверх в том числе /. С глубиной давление увеличивается.
Расчетная формула для определения давления жидкости в любой ее точке, а также на дно и стенки сосуда:
Все вышесказанное справедливо и для газов, в которых тоже существует гидростатическое давление.
В механике жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Во многих задачах сжимаемостью жидкости можно пренебречь. В этом случае пользуются понятием несжимаемой жидкости — жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем, т.е. данная масса жидкости имеет определенный объем, а форма может быть любая (форма сосуда).
Пренебрегая изменениями объемов жидкости и газа, необходимо учитывать силы упругости, действующие между соседними частицами или слоями этих веществ. В отличие от твердых тел, где силы упругости возникают при изменении размеров и формы тел, в жидкостях они возникают только при растяжении или сжатии, в газах — только при сжатии. При изменении формы жидкостей и газов силы упругости не возникают.
Как показывает опыт, жидкости действуют с некоторыми силами на любую поверхность твердого тела, граничащего с ней: на дно, на стенки сосуда, в котором находится жидкость, на поверхность тела, помещенного в жидкость, со стороны одного слоя жидкости на другой. Эти силы называют силами давления. Они обладают рядом особенностей: 1) по природе это силы упругости сжатых жидкостей; 2) силы давления благодаря текучести всегда перпендикулярны поверхности, на которую действуют; 3) силы давления распределены по всей поверхности соприкосновения твердого тела с жидкостью, поэтому силы давления зависят от размеров этой поверхности.
Для того чтобы охарактеризовать распределение сил давления вдоль поверхности соприкосновения, вводят понятие давления.
Давление — физическая величина, измеряемая отношением силы давления F, действующей на поверхность, к площади поверхности S:
В СИ единицей давления является паскаль (Па).
1 Па — давление, производимое силой в 1 Н, равномерно распределенной по перпендикулярной к ней поверхности площадью 1 м2.
Опыт показывает, что давление в данном месте не зависит от ориентации площадки и величины ее площади. Оно зависит лишь от степени сжатия жидкости. Жидкость может быть сжата вследствие того, что она обладает весом, или потому, что на нее действуют внешние поверхностные силы.
Зная давление в данном месте, можно рассчитать силу давления, действующую на поверхность площадью S: F = pS.
Рис. 1
Рассмотрим жидкость, которая находится в сосуде под поршнем (рис. 1), когда силы , действующие на свободную поверхность жидкости, значительно больше веса жидкости или жидкость находится в невесомости, т. е. можно считать, что на жидкость действуют только поверхностные силы, и весом жидкости можно пренебречь. Выделим мысленно какой-то малый цилиндрический произвольно ориентированный объем жидкости. На основания этого объема жидкости действуют силы давления и остальной жидкости, на боковую поверхность — силы давления и . Условие равновесия выделенного в жидкости малого объема:
В проекции на ось Ox:
т.е. давление во всех точках невесомой неподвижной жидкости одинаково.
При изменении поверхностной силы будут изменяться величины p1 и p2, но их равенство будет сохраняться. Это впервые установил Б.Паскаль.
Закон Паскаля: жидкость (газ) передает производимое на нее поверх постными силами внешнее давление по всем направлениям без изменения.
Давление, производимое на жидкость или газ, передается не только в направлении действия силы, но и в каждую точку жидкости (газа) благодаря подвижности молекул жидкости (газа).
Данный закон является прямым следствием отсутствия сил трения покоя в жидкостях и газах.
Закон Паскаля неприменим в случае движущейся жидкости (газа), а также в случае, когда жидкость (газ) находится в гравитационном поле; так, известно, что атмосферное и гидростатическое давление уменьшается с высотой
Закон Архимеда: на тело, погружённое в жидкость (или газ), действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной этим телом жидкости (или газа)(называемая силой Архимеда)
FA = ρgV,
где ρ — плотность жидкости (газа), g — ускорение свободного падения, а V — объём погружённого тела (или часть объёма тела, находящаяся ниже поверхности). Если тело плавает на поверхности или равномерно движется вверх или вниз, то выталкивающая сила (называемая также архимедовой силой) равна по модулю (и противоположна по направлению) силе тяжести, действовавшей на вытесненный телом объём жидкости (газа), и приложена к центру тяжести этого объёма.
Что касается тела, которое находится в газе, например в воздухе, то для нахождения подъёмной силы нужно заменить плотность жидкости на плотность газа. Например, шарик с гелием летит вверх из-за того, что плотность гелия меньше, чем плотность воздуха.
В отсутствии силы тяжести, то есть в состоянии невесомости, закон Архимеда не работает. Космонавты с этим явлением знакомы достаточно хорошо. В частности, в невесомости отсутствует явление (естественной) конвекции, поэтому, например, воздушное охлаждение и вентиляция жилых отсеков космических аппаратов производятся принудительно, вентиляторами.
Поведение тела, находящегося в жидкости или газе, зависит от соотношения между модулями силы тяжести и силы Архимеда , которые действуют на это тело. Возможны следующие три случая:
— тело тонет;
— тело плавает в жидкости или газе;
— тело всплывает до тех пор, пока не начнет плавать.
Другая формулировка (где — плотность тела, — плотность среды, в которую оно погружено):
Закон Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной (то есть без внутреннего трения) несжимаемой жидкости: , здесь — плотность жидкости, — скорость потока, — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, — ускорение свободного падения. Константа в правой части обычно называется напором, или полным давлением, а также интегралом Бернулли. Размерность всех слагаемых — единица энергии, приходящейся на единицу объёма жидкости.
Согласно закону Бернулли полное давление в установившемся потоке жидкости остается постоянным вдоль этого потока. Полное давление состоит из весового (ρgh), статического (p) и динамического давлений.
Из закона Бернулли следует, что при уменьшении сечения потока, из-за возрастания скорости, то есть динамического давления, статическое давление падает. Закон Бернулли справедлив в чистом виде только для жидкостей, вязкость которых равна нулю, то есть таких жидкостей, которые не прилипают к поверхности трубы. На самом деле экспериментально установлено, что скорость жидкости на поверхности твердого тела почти всегда в точности равна нулю (кроме случаев отрыва струй при некоторых редких условиях). Закон Бернулли можно применить к истечению идеальной несжимаемой жидкости через малое отверстие в боковой стенке или дне широкого сосуда.
Силы вязкого трения.
В предыдущих лекциях мы рассматривали движение жидкости и газа в пренебрежении силами вязкого трения. Между тем, эти силы, действующие между частицами движущейся жидкости, могут кардинальным образом повлиять как на распределение скоростей в потоке жидкости, так и на обтекание жидкостью тел, помещенных в движущийся поток.
Еще Ньютон установил опытным путем, что при скольжении друг относительно друга двух параллельных плоскостей, пространство между которыми заполнено жидкостью, силы вязкого трения препятствуют этому скольжению (рис. 4.1). Так, при движении со скоростью v верхней плоскости с площадью S относительно нижней, возникает сила вязкого трения, направленная против движения и равная
|
(4.1) |
Эта сила пропорциональна площади S и изменению скорости на единицу длины в поперечном направлении v/h (градиенту скорости в направлении перпендикулярном движению) и зависит также от вязкости жидкости .
|
Рис. 4.1. |
Формула (4.1) справедлива, если расстояние h между пластинами значительно меньше их линейных размеров . Важно отметить, что частицы жидкости, прилегающие к верхней пластине, движутся вместе с нею со скоростью v (увлекаются пластиной). Напротив, частицы жидкости вблизи нижней (неподвижной) пластины находятся в покое (прилипают к пластине). Если мысленно разбить жидкость на параллельные плоские слои, движущиеся равномерно, то нетрудно понять, что каждый вышележащий слой увлекает за собой нижний соседний слой с силой . В свою очередь, этот нижний слой тормозит движение верхнего слоя с силой, численно равной . На каждый слой действует сверху и снизу две равные, но противоположные силы. Скорость слоев нарастает линейно с их высотой (рис. 4.2), а сила трения передается от одному слоя к другому. Как результат, усилие , приложенной к верхней пластине, передается на нижнюю пластину. Коэффициент вязкости среды определяется экспериментально, например, по скорости ее истечения через трубку известных размеров. (см. ниже). Как показывает опыт с нагреванием, вязкость жидкости уменьшается, а газов - увеличивается. Объяснение такого разного поведения коэффициента вязкости будет дано в курсе "Молекулярная физика".
|
Рис. 4.2. |
Течение вязкой жидкости. Уравнение Навье-Стокса.
Для анализа течения вязкой жидкости в правую часть уравнения движения (3.28) необходимо добавить силу вязкого трения, приложенную к единице объема жидкости. Для того, чтобы избежать лишних выкладок, мы ограничимся рассмотрением двумерного слоистого течения жидкости в направлении оси x, при этом единственная компонента скорости vx зависит от поперечной координаты y (рис. 4.3). На верхнюю грань dxdz кубика dxdydz (ось z перпендикулярна плоскости чертежа) в соответствии с (4.1) в направлении оси x действует увлекающая сила , а на нижнюю грань - тормозящая сила . Поэтому равнодействующая сил вязкого трения, приложенная к выделенному кубику, равна
|
(4.2) |
а сила, приложенная к единице объема, составит
|
(4.3) |
При линейном законе изменения скорости по высоте, как на рис. 4.2, . Если скорость изменяется нелинейно, как на рис.4.3, то . При трехмерном течении жидкости сила вязкого трения, вообще говоря, имеет три компоненты , где
|
(4.4) |
В (4.4) - оператор Лапласа, широко применяемый в физике для сокращения записи. Если теперь компоненты силы трения (4.4) подставить в правые части уравнений (3.29) для соответствующих компонент скоростей, то мы получим систему уравнений гидродинамики вязкой жидкости. Эти три уравнения могут быть записаны в виде одного векторного уравнения
|
(4.5) |
Оно отличается от (3.31) наличием в правой части члена . Уравнение (4.5) называется уравнением Навье-Стокса и является основным при расчете движения вязкой несжимаемой жидкости. Однако в общем случае оно не решается методами современной математики, и на практике приходится ограничиваться решением лишь частных задач. Одной из таких задач является течение невязкой несжимаемой жидкости, подчиняющееся уравнению Бернулли. Ранее мы получили условие, при котором сжимаемостью жидкости или газа можно пренебречь. Теперь мы выясним, в каких случаях можно пренебречь действием сил вязкости.
|
Рис. 4.3. |
Число Рейнольдса. Критерий отсутствия вязкости.
Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя горизонтальными пластинами, расстояние между которыми равно h. Поскольку частицы жидкости "прилипают" к пластинам, то скорость слоев текущей жидкости будет различной. Качественно распределение скоростей слоев изображено на рис. 4.4. Если известна характерная скорость течения (например, скорость v на оси потока), то легко оценить силы вязкого трения. Согласно (4.3)
|
(4.6) |
Отсюда следует, что силы вязкого трения убывают с увеличением расстояния между пластинами. В общем случае можно считать, что силы вязкости, возникающие в потоке, обратно пропорциональны квадрату характерного поперечного размера потока и пропорциональны скорости.
|
Рис. 4.4. |
С точки зрения динамики (см. уравнение 4.5) при отсутствии внешних сил F вязкостью можно пренебречь, если силы давления -grad p значительно превосходят силы вязкости . На первый взгляд, при течении жидкости между параллельными пластинами (равно как и по трубе постоянного сечения), где градиенты давлений отсутствуют вовсе, вязкостью в принципе нельзя пренебречь. И все наши выводы о течении идеальной жидкости становятся неверными.
Однако надо принять во внимание, что из-за флуктуаций линии тока "норовят" искривиться, и частицы в них движутся с ускорением. Поэтому давления p1 и p2 по разные стороны изогнутой трубки тока будут различными: p2>p1 (рис. 4.5). Возникающие градиенты давления обеспечивают криволинейное течение жидкости:
|
(4.7) |
Последнее уравнение является приближенным уравнением Навье-Стокса (=0) и записано в отсутствии внешних сил. Тогда критерий малости сил вязкости сводится к неравенству
|
(4.8) |
В гидродинамике очень часто используют понятие силы инерции Fи=-dv/dt. С точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с частицей жидкости, она находится в покое, потому что силы давления, вязкости и инерции уравновешивают друг друга (см. 4.5):
|
(4.9) |
Неравенство (4.8) означает, что силы вязкости значительно меньше сил инерции. В частном случае течения жидкости между пластинами силы инерции при искривлении трубок тока жидкости
|
(4.10) |
где v2/h - характерное центростремительное ускорение. В общем случае, силы инерции обратно пропорциональны поперечному размеру потока и пропорциональны квадрату скорости. С учетом оценок (4.6) и (4.10) условие (4.8) перепишется следующим образом:
|
(4.11) |
Здесь - число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инерции и сил вязкости. Таким образом, текущую жидкость можно рассматривать как невязкую, если число Рейнольдса для такого течения Re>1. Однако и в этом случае вязкость играет вспомогательную роль. При не очень высоких скоростях течения силы вязкости "гасят" компоненты скорости жидкости, поперечные к потоку, препятствуя, тем самым, возникновению неустойчивого течения (см. ниже).
|
Рис. 4.5. |
Дадим некоторые оценки течения жидкости по круглой трубе радиуса R. Число Рейнольдса в этом случае . Если принять радиус трубы R = 1 см и скорость течения v = 1 см/с, то для воды (=103 кг/м3, при t=15) число Re=86. Это означает, что силы вязкости не существенны, и воду можно рассматривать как невязкую жидкость. Однако это приближение становится несправедливым, если радиус трубки уменьшить на два порядка, и Re=0,86<1. При таком течении распределение давлений и скоростей в потоке уже не подчиняется уравнению Бернулли. Еще в большей степени это относится к вязкому глицерину (=1,4 кг/(м*с)). При течении воздуха по трубе (=1,3 кг/м3, =1,8*10-5 кг/(м*с)) число Рейнольдса приблизительно на порядок меньше, чем при аналогичном течении воды. Это указывает на то, что силы вязкости при течении воздуха и других газов играют большую роль, чем при аналогичном течении воды.
Турбуле́нтность, устар. турбуле́нция (лат. turbulentus — бурный, беспорядочный), турбуле́нтное тече́ние — явление, заключающееся в том, что при увеличении скорости течения жидкости или газа в среде самопроизвольно образуются многочисленные нелинейные фрактальные волны и обычные, линейные различных размеров, без наличия внешних, случайных, возмущающих среду сил и/или при их присутствии. Для расчёта подобных течений были созданы различные модели турбулентности.
Турбулентность экспериментально открыта английским инженером Рейнольдсом в 1883 году при изучении течения несжимаемой жидкости (воды) в трубах.
Для возникновения турбулентности необходима сплошная среда, которая подчиняется кинетическому уравнению Больцмана, Навье — Стокса или пограничного слоя. Уравнение Навье — Стокса (в него входит и уравнение сохранения массы или уравнение неразрывности) описывает множество турбулентных течений с достаточной для практики точностью.
Обычно турбулентность наступает при превышении некоторого критического параметра, например числа Рейнольдса или Релея (в частном случае скорости потока при постоянной плотности и диаметре трубы и/или температуры на внешней границе среды).
При определённых параметрах турбулентность наблюдается в потоках жидкостей и газов, многофазных течениях, жидких кристаллах, квантовых Бозе- и Ферми- жидкостях, магнитных жидкостях, плазме и любых сплошных средах (например, в песке, земле, металлах). Турбулентность также наблюдается при взрывах звёзд, в сверхтекучем гелии, в нейтронных звёздах, в лёгких человека, движении крови в сердце, при турбулентном (т. н. вибрационном) горении.
Турбулентность возникает самопроизвольно, когда соседние области среды следуют рядом или проникают один в другой, при наличии перепада давления или при наличии силы тяжести, или когда области среды обтекают непроницаемые поверхности. Она может возникать при наличии вынуждающей случайной силы. Обычно внешняя случайная сила и сила тяжести действуют одновременно. Например, при землетрясении или порыве ветра падает лавина с горы, внутри которой течение снега турбулентно. Мгновенные параметры потока (скорость, температура, давление, концентрация примесей) при этом хаотично колеблются вокруг средних значений. Зависимость квадрата амплитуды от частоты колебаний (или спектр Фурье) является непрерывной функцией.
Турбулентность, например, можно создать:
При больших числах Рейнольдса, скорости потока от небольших изменений на границе зависят слабо. Поэтому при разных начальных скоростях движения корабля формируется одна и та же волна перед его носом, когда он движется с крейсерской скоростью. Нос ракеты обгорает и создаётся одинаковая картина разгара, несмотря на разную начальную скорость.
Фрактальный — означает самоподобный. У прямой линии фрактальная размерность равна единице. У плоскости равна двум. У шара трём. Русло реки имеет фрактальную размерность больше 1, но меньше двух, если рассматривать его с высоты спутника. У растений фрактальная размерность вырастает с нуля до величины больше двух. Есть характеристика геометрических фигур, называется фрактальная размерность. Наш мир нельзя представить в виде множества линий, треугольников, квадратов, сфер и других простейших фигур. И фрактальная размерность позволяет быстро характеризовать геометрические тела сложной формы. Например, у осколка снаряда.
Нелинейная волна — волна, которая обладает нелинейными свойствами. Их амплитуды нельзя складывать при столкновении. Их свойства сильно меняются при малых изменениях параметров. Нелинейные волны называют диссипативными структурами. В них нет линейных процессов дифракции, интерференции, поляризации. Но есть нелинейные процессы, например, самофокусировка. При этом резко, на порядки увеличивается коэффициент диффузии среды, перенос энергии и импульса, сила трения на поверхность.
То есть, в частном случае, в трубе с абсолютно гладкими стенками при скорости выше некоторой критической, в течение любой сплошной среды, температура которой постоянная, под действием только силы тяжести всегда самопроизвольно образуются нелинейные самоподобные волны и затем турбулентность. При этом нет никаких внешних возмущающих сил. Если дополнительно создать возмущающую случайную силу или ямки на внутренней поверхности трубы, то турбулентность также появится.
В частном случае нелинейные волны — вихри, торнадо, солитоны и другие нелинейные явления (например, волны в плазме — обычные и шаровые молнии), происходящие одновременно с линейными процессами (например акустическими волнами).
На математическом языке турбулентность означает, что точное аналитическое решение дифференциальных уравнений в частных производных сохранений импульса и сохранения массы Навье-Стокса (это закон Ньютона с добавлением сил вязкости и сил давления в среде и уравнение неразрывности или сохранения массы) и уравнение энергии представляет собой при превышении некоторого критического числа Рейнольдса, странный аттрактор. Они представляют нелинейные волны и обладают фрактальными, самоподобными свойствами. Но так как волны занимают конечный объём, какая-то часть области течения ламинарна.
При очень малом числе Рейнольса — это всем известные линейные волны на воде небольшой амплитуды. При большой скорости мы наблюдаем нелинейные волны цунами или обрушение волн прибоя. Например, крупные волны за плотиной распадаются на волны меньших размеров.
Вследствие нелинейных волн любые параметры среды: (скорость, температура, давление, плотность) могут испытывать хаотические колебания, изменяются от точки к точке и во времени непериодически. Они очень чувствительны к малейшим изменением параметров среды. В турбулентном течении мгновенные параметры среды распределены по случайному закону. Этим турбулентные течения отличаются от ламинарных течений. Но управляя средними параметрами, мы можем управлять турбулентностью. Например, изменяя диаметр трубы, мы управляем числом Рейнольдса, расходом топлива и скоростью заполнения бака ракеты.
Уравнения Навье — Стокса (обычные, а не усреднённые по какому-то интервалу времени) описывают и мягкую, и жёсткую потерю устойчивости течений. Их можно вывести тремя способами из общих законов сохранения: постулируя закон трения Ньютона(обобщённый), следуя методу Чепмена-Энскога и из метода Грэда.
При вязкости равной нулю уравнения сводятся к уравнению Эйлера. Точные решения уравнения Эйлера также хаотичны.
Общепринято считать проекцию вектора скорости на ось координат в турбулентном потоке, состоящей из средней или осредненной величины, за некоторое выбранное время, и плюс мгновенной составляющей:
U = Ucp + u' = 100 м/c + 0.5 м/с.
Здесь u' — пульсационная составляющая или пульсация. Удобно оказалось ввести степень турбулентности:
e = 100 %*u'/Ucp = 100 %*0.5/100 = 0,5 %.
Для трёх осей: e = (u' + v' + w')/Ucp.
Турбуленое течение с большим числом Рейнольдса называют развитой турбулентностью. При разных граничных условиях оно всегда приводит к созданию одного и того же профиля скоростей. Это свойство независимости параметров от числа Рейнольдса называют автомодельностью течения. Наблюдается экспериментально в струях или в пограничном слое.
Можно создать изотропную турбулентность, когда статистические параметры течения (функция распределения вероятности, дисперсия, моменты) одинаковы в направлении разных осей координат и не зависят от времени.
Теория однородной турбулентности (то есть, при очень больших числах Рейнольдса, когда её статистические параметры не зависят от времени и примерно постоянны в течении, но зависят от направления) была создана советскими учёными Обуховым и Колмогоровым. И использовалась затем во многих инженерных расчётах. Теория привела к созданию упрощённых полуэмпирических моделей течения: k-ε (ка-эпсилон) и многих других.
Большинство течений жидкостей и газов в природе (движение воздуха в земной атмосфере, воды в реках и морях, газа в атмосферах Солнца и звёзд и в межзвёздных туманностях и т. п.), в технических устройствах (в трубах, каналах, струях, в пограничных слоях около движущихся в жидкости или газе твёрдых тел, в следах за такими телами и т. п.) турбулентны из-за наличия источников энергии и импульса, наличия внешних возмущающих сил или отсутствия сил сопротивления трения в квантовых жидкостях.
При процессах горения или химических реакциях на явление турбулентности накладываются множество других физических и химических процессов. Например, эффект конвекции, автоколебаний, гистерезиса. В этом случае говорят о турбулентной конвекции. Обычно принимается, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при достижении критического числа Рейнольдса (Re). Критическое значение числа Рейнольдса зависит от конкретного вида течения, его коэффициента вязкости, который зависит от температуры, которое зависит от давления (течение в круглой трубе, обтекание шара и т. п.). Например, для течения в круглой трубе . В последнее время показано, что это правомерно только для напорных потоков. Но удар по трубе, её резкое вращение или колебание могут вызвать появление турбулентности.
То есть, турбулентность может возникать самопроизвольно, а может в результате действий нескольких внешних сил.
При изучении течения жидкости через трубки малого диаметра французским врачом и учёным Пуазейлем в 1840—1842 гг. выведена формула, по которой можно рассчитать расход воды через трубу.[1][2] До Пуазейля исследованием движения вязкой жидкости через трубы малого диаметра занимался Хаген (1797—1884). При большом расходе формула оказалась неверной. Причина в том, что в трубе возникала турбулентность.
Стоксом, английским учёным-теоретиком были найдены решения уравнения движения вязкой жидкости для малых чисел Re (это второй закон Ньютона с добавками сил давления и сил вязкости), которые он вывел в 1845 г. для движения жидкости в круглой трубе. Затем он получил формулу силы сопротивления при равномерном движении шара в неограниченной жидкости в 1851 году. Её стали использовать для определения коэффициента динамической вязкости. Но решения совпали с опытом лишь при малых скоростях движения жидкости и диаметрах трубы и шара.
Причина этого расхождения была объяснена только опытами Рейнольдса в 1883 г. Он показал существование двух различных режимов движения жидкости — ламинарного и турбулентного — и нашёл один параметр — число Рейнольдса — который позволил предсказать, наличие турбулентности для данного течения в трубе. Если бы Стокс нашёл точные решения Навье-Стокса, он бы обнаружил турбулентность теоретически.
Это позволило Рейнольдсу в 1883 г. ввести положение, что течения одинакового типа (труба должна быть геометрически подобной) с одинаковым числом Рейнольдса подобны. Этот закон был назван законом подобия. Затем, на основе опытов, стала развиваться теория размерности и подобия.
Так как Хаген не знал, как выглядят уравнения Навье-Стокса, что такое число подобия Рейнольдса, то нельзя говорить, что он или Леонардо да Винчи открыл турбулентность. Они наблюдали хаотическое движение в воде. Но описать количественно, предсказать его наступление не могли. А подобие течения, рождение самоподобных структур, например вихрей, которые сами состоят из таких же вихрей — основное свойство турбулентности.
То есть Рейнольдс как бы открыл то, что уравнение для силы гравитации и закон Кулона подобны с разницей только в коэффициенте. А Хаген и Пуазейль только нашли отдельные параметры, которые входят в точное решение уравнения Навье-Стокса и влияют на течение.
Частичное описание развитой турбулентности в рамках математики XIX века предложил Л. Ричардсон в начале XX века. Мешая ложкой чай в стакане, мы создаём вихри размером порядка размера стакана, ложки. Вязкость действует на течение тем сильнее, чем меньше характерный размер течения. Под характерным размером понимают какой-то геометрический параметр, сильно влияющий на течение. Диаметр стакана, его высота, ширина ложки. При большом числе Рейнольдса на эти крупномасштабные движения молекулярная вязкость действует слабо.
Уравнение движения жидкости (Навье-Стокса) нелинейно, так как скорость жидкости переносится самой скоростью и эти вихри неустойчивы. Они дробятся на более мелкие вихри, те на более мелкие. В конце концов на малых размерах вступает в действие молекулярная вязкость, и самые мелкие вихри затухают за счёт неё. Эта представление назвали прямой каскад (или переход от больших масштабов в меньшие).
Турбулентность формально связана с биологическими объектами, с процессами митоза и роста некоторых раковых опухолей, с теорией радиоактивного распада, с процессами, происходящими на рынках акций.
Есть разница между понятием турбулентность и турбулентное течение. Термин турбулентное течение возник в гидравлике. Затем были открыты квантовые жидкости. Их вязкость всегда равна нулю. Если подсчитать для них число Рейнольдса, оно всегда равно бесконечности, когда проекция вектора скорости не равна нулю. Само турбулентное течение может присутствовать в системе очень мелких вихрей, в некоторых малых частях среды. Поэтому, средняя скорость течения равна нулю, когда квантовая жидкость покоится в сосуде. Число Рейнольдса не определено (в числителе нулевая скорость, в знаменателе нулевая вязкость).
Ламина́рное тече́ние (лат. lamina — пластинка, полоска) — течение, при котором жидкость или газ перемещается слоями без перемешивания и пульсаций (то есть беспорядочных быстрых изменений скорости и давления).
Ламинарное течение возможно только до некоторого критического значения числа Рейнольдса, после которого оно переходит в турбулентное. Переход от ламинарного к турбулентному состоянию происходит при разных скоростях, которые установить невозможно. При ламинарном течении могут существовать турбулентные области - пятна. Критическое значение числа Рейнольдса зависит от конкретного вида течения (течение в круглой трубе, обтекание шара и т. п.). Например, для течения в круглой трубе . Если труба некруглого сечения, то Reкр рассчитывается по гидравлическому диаметру dг=4F/χ, где F-площадь поперечного сечения трубы, χ-полный смоченный периметр.
Схематичное изображение ламинарного (a) и турбулентного (b) течения в плоском слое
Распределение скорости при ламинарном течении - параболическое. До 1917 года в российской науке пользовались термином Струйчатое течение.
Только в ламинарном режиме возможно получение точных решений уравнения движения жидкости (уравнений Навье-Стокса), например течение Пуазейля. В некоторых случаях для получения порогового числа Рейнольдса достаточно провести линейный анализ устойчивости — теоретический анализ устойчивости под воздействием бесконечно малых возмущений. Так, например, получены пороги для течения между параллельными плоскостями и течения Тейлора между вращающимися цилиндрами. Однако в некоторых случаях линейного анализа недостаточно: для течения в круглой трубе он приводит к абсолютной устойчивости, что опровергается экспериментами.
Колебания — повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия. Колебания почти всегда связаны с попеременным превращением энергии одной формы проявления в другую форму.
Колебания различной физической природы имеют много общих закономерностей и тесно взаимосвязаны c волнами. Поэтому исследованиями этих закономерностей занимается обобщённая теория колебаний и волн. Принципиальное отличие от волн: при колебаниях не происходит переноса энергии, это, так сказать, «местные» преобразования энергии.
Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом: , где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, — начальная фаза колебаний.
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.
Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.
Волна — изменение состояния среды (возмущение), распространяющееся в этой среде и переносящее с собой энергию. Другими словами: «…волнами или волной называют изменяющееся со временем пространственное чередование максимумов и минимумов любой физической величины, например, плотности вещества, напряжённости электрического поля, температуры».
Перенос энергии — принципиальное отличие волн от колебаний, в которых происходят лишь «местные» преобразования энергии. Волны же, как правило, способны удаляться на значительные расстояния от места своего возникновения ( по этой причине волны иногда называют «колебанием, оторвавшимся от излучателя»).
Математическое описание волн основывается на представлении о них, как о пространственно распространяющихся колебаниях, и в общем виде записывается:
где u — отклонение от некоего среднего положения в точке r во время t.
Более определённый вид уравнения зависит от типа волны.
Гармоническая волна
Изменение колеблющейся величины u для гармонически распространяющейся волны в начале координат описывается формулой:
или
где A — амплитуда, t — время, а T — период волны.
В любой другой точке, расположенной на расстоянии r от начала координат в направлении распространения волны, изменение u происходит с опозданием на время t1:
где c — скорость распространения волны в данной среде.
Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся точки как функцию ее координат (x, y, z) и времени t.
Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и координат (волна – это распространяющееся колебание, следовательно периодически повторяющееся движение). Кроме того, точки, отстоящие друг от друга на расстоянии l, колеблются одинаковым образом.
Уравнение плоской волны
Найдем вид функции x в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер.
Направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновая поверхность будет перпендикулярна оси x. Так как все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: . Пусть колебание точек, лежащих в плоскости , имеет вид (при начальной фазе )
|
|
(5.2.2) |
|
Найдем вид колебания частиц в плоскости, соответствующей произвольному значению x. Чтобы пройти путь x, необходимо время .
Следовательно, колебания частиц в плоскости x будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости , т.е.
|
|
, |
(5.2.3) |
|
– это уравнение плоской волны.
Таким образом, x есть смещение любой из точек с координатой x в момент времени t. При выводе мы предполагали, что амплитуда колебания . Это будет, если энергия волны не поглощается средой.
Такой же вид уравнение (5.2.3) будет иметь, если колебания распространяются вдоль оси y или z.
В общем виде уравнение плоской волны записывается так:
|
|
, или . |
(5.2.4) |
|
Выражения (5.2.3) и (5.2.4) есть уравнения бегущей волны.
Уравнение (5.2.3) описывает волну, распространяющуюся в сторону увеличения x. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, имеет вид:
.
Уравнение волны можно записать и в другом виде.
Введем волновое число , или в векторной форме:
|
|
, |
(5.2.5) |
|
где – волновой вектор, – нормаль к волновой поверхности.
Так как , то . Отсюда . Тогда уравнение плоской волны запишется так:
|
|
. |
(5.2.6) |
|
Уравнение сферической волны
В случае, когда скорость волны υ во всех направлениях постоянна, а источник точечный, волна будет сферической.
Предположим, что фаза колебаний источника равна wt (т.е. ). Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса r, будут иметь фазу . Амплитуда колебаний здесь, даже если волна не поглощается средой, не будет постоянной, она убывает по закону . Следовательно, уравнение сферической волны:
|
|
, или , |
(5.2.7) |
|
где А равна амплитуде на расстоянии от источника равном единице.
Уравнение (5.2.7) неприменимо для малых r, т.к. при , амплитуда стремится к бесконечности. То, что амплитуда колебаний , следует из рассмотрения энергии, переносимой волной.
Бегущими волнами называются волны, ко торые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности по тока энергии. Этот вектор для упругих волн называется вектором Умова (по име ни русского ученого Н. А. Умова (1846— 1915), решившего задачу о движении энергии в среде). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, пере носимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распро странения волны.
Для вывода уравнения бегущей во лны — зависимости смещения колеблю щейся частицы от координат и времени — рассмотрим плоскую волну, предполагая, что колебания носят гармонический ха рактер, а ось х совпадает с направлением распространения волны (рис. 220). В дан ном случае волновые поверхности перпен дикулярны оси х, а так как все точки волновой поверхности колеблются одина ково, то смещение x будет зависеть только от х и t, т. е. x=x(х, t).
На рис. 220 рассмотрим некоторую частицу среды В, находящуюся от источ ника колебаний О на расстоянии х. Если колебания точек, лежащих в плоскости х=0, описываются функцией x(0, t)=Аcoswt, то частица среды В колеблется по тому же закону, но ее колебания будут отставать по времени от колебаний источ ника на т, так как для прохождения во лной расстояния х требуется время t=x/v, где v — скорость распространения волны. Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид
x(x,t)=Acosw(t-x/v), (154.1)
откуда следует, что x(х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегу щей волны. Если плоская волна распро страняется в противоположном направлении, то x(х, t)=A cosw(t+x/v).
В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль поло жительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид
x(x,t)=Acos[w(t -х/v)+j0], (154.2)
где А=const — амплитуда волны, w — циклическая частота волны, j0 — началь ная фаза колебаний, определяемая в об щем случае выбором начал отсчета х и t, [w(t-x/v)+j0]—фаза плоской волны.
Для характеристики волн использует ся волновое число
k=2p/l=2p/vT=w/v. (154.3) Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид
x(x,t)=Acos(wt-kх+j0). (154.4)
Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком чле на kx.
Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде x(x,t)=Aei(wt-kx+j0), где физический смысл имеет лишь дей ствительная часть. Предположим, что при волновом про цессе фаза постоянна, т. е. w(t-x/v)+j0=const. (154.5) Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на w, получим dt-(1/v)dx=0, откуда dx/dt=v.
Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении есть не что иное, как скорость перемещения фазы во лны, и ее называют фазовой скоростью.
Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что урав нение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид кон центрических сфер, записывается как
x(r,t)=A0/rcos(wt-kr+j0), (154.7)
где r — расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не по глощающей энергию, амплитуда колеба ний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (154.7) справедливо лишь для r, значи тельно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).
Из выражения (154.3) вытекает, что фазовая скорость
v=w/k. (154.8)
Если фазовая скорость волн в среде за висит от их частоты, то это явление на зывают дисперсией волн, а среда, в кото рой наблюдается дисперсия волн, называ ется диспергирующей средой.
Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описы вается волновым уравнением — диффе ренциальным уравнением в частных про изводных
где v — фазовая скорость, D=д2/дx2 +д2/дy2+д2/дz2 — оператор Лапласа. Решением уравнения (154.9) является урав нение любой волны. Соответствующей под становкой можно убедиться, что уравне нию (154.9) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (154.2)) и сфериче ская волна (см. (154.7)). Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид
Интерференция волн — взаимное усиление или ослабление амплитуды двух или нескольких когерентных волн, одновременно распространяющихся в пространстве. Сопровождается чередованием максимумов и минимумов(пучностей) интенсивности в пространстве. Результат интерференции (интерференционная картина) зависит от разности фаз накладывающихся волн.
Интерферировать могут все волны, однако устойчивая интерференционная картина будет наблюдаться только в том случае, если волны имеют одинаковую частоту и колебания в них не ортогональны. Интерференция может быть стационарной и нестационарной. Стационарную интерференционную картину могут давать только полностью когерентные волны. Например, две сферические волны на поверхности воды, распространяющиеся от двух когерентных точечных источников, при интерференции дадут результирующую волну, фронтом которой будет сфера.
При интерференции энергия волн перераспределяется в пространстве. Это не противоречит закону сохранения энергии потому, что в среднем, для большой области пространства, энергия результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн.
При наложении некогерентных волн средняя величина квадрата амплитуды результирующей волны равна сумме квадратов амплитуд накладывающихся волн. Энергия результирующих колебаний каждой точки среды равна сумме энергий ее колебаний, обусловленных всеми некогерентными волнами в отдельности.
Интерференция света — нелинейное сложение интенсивностей двух или нескольких световых волн. Это явление сопровождается чередующимися в пространстве максимумами и минимумами интенсивности. Её распределение называется интерференционной картиной. Интерференция света - явление перераспределения энергии в пространстве.
Стоячая волна — колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания волны в месте отражения.
Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам её поглощения или излучения.