Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
21
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
МОЛИБОГА Володимир Миколайович
УДК 517.984.5; 517.927.25
СПЕКТРИ ПЕРІОДИЧНИХ ЗАДАЧ
З УЗАГАЛЬНЕНИМИ ФУНКЦІЯМИ
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ –
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті математики НАН України.
Науковий керівник
доктор фізико-математичних наук, професор
Михайлець Володимир Андрійович,
Інститут математики НАН України,
провідний науковий співробітник.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор
Горбачук Мирослав Львович,
Інститут математики НАН України,
завідувач відділу;
кандидат фізико-математичних наук, доцент
Микитюк Ярослав Володимирович,
Львівський національний університет імені Івана Франка,
доцент механіко-математичного факультету.
Провідна установа
Фізико-технічний інститут низьких температур
ім. Б.І. Вєркіна НАН України, м. Харків.
Захист відбудеться “ 21 ” червня 2005 р. о 15 годині на
засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.206.01 Інституту
математики НАН України за адресою:
01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту
математики НАН України.
Автореферат розісланий “ 13 ” травня 2005 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
В дисертаційній роботі вивчаються спектральні задачі на класах 1-періодичних узагальнених функцій: в гільбертовому просторі досліджуються спектри операторів , які породжуються на скінченному інтервалі несамоспряженими двочленними диференціальними виразами довільного парного порядку з потенціалом, який є 1-періодичною узагальненою функцією, та (пів)періодичними граничними умовами,
, ,
,
Dom()=,
де через відповідно позначені простори Соболєва 1-періодичних та 1-півперіодичних функцій; —спряжений до простору (відносно гільбертового простору ) простір неперервних анти лінійних функціоналів.
Досліджувана проблема має такі особливості:
•високий порядок незбуреного оператора;
•сильна сингулярність збурення;
•несиметричність збурення;
•нелокальні граничні умови.
В роботі отримано рівномірні на класах 1-періодичних узагальнених функцій неасимптотичні (ефективні) та асимптотичні оцінки власних значень операторів ; проведено дослідження неперервного спектру одновимірного періодичного самоспряженого оператора Шредінгера —встановлено кількісну відповідність між гладкістю потенціалу та швидкістю спадання (зростання) довжин лакун.
Дослідженню спектральних властивостей диференціальних операторів довільного порядку, як і одновимірних операторів Шредінгера (операторів Штурма-Ліувіля) з регулярним потенціалом, присвячено безліч робіт. Згадаємо тому тільки авторів, результати яких, в тій чи іншій мірі, були використані при підготовці дисертаційної роботи та сприяли розв'язанню поставлених задач.
В регулярному випадку: , —дослідженням якісних спектральних властивостей самоспряжених двочленних диференціальних операторів займався І. Глазман; спектри диференціальних операторів довільного порядку з регулярними коефіцієнтами вивчав М.Най-марк; Б. Лєвітан та І. Саргсян розробляли спектральну теорію самоспряжених звичайних диференціальних операторів другого порядку; В. Марченком було проведено детальне дослідження операторів Штурма-Ліувіля.
Класичною роботою в теорії одновимірних операторів Шредінгера зсингулярним потенціалом (потенціал є узагальненою функцією), що описують точкову взаємодію: потенціал є сумою -функцій Дірака, —є робота Кроніга і Пенні 1931 року; Ф. Аткінсон, J. Brasche вивчали оператори Штурма-Ліувіля з сингулярним потенціалом, який є узагальненою функцією —мірою Радона.
Актуальність теми. На межі XXст. та XXIст. почали інтенсивно вивчатися оператори Штурма-Ліувіля з сингулярним потенціалом, що є узагальненою функцією з негативного простору Соболєва порядку -1. У випадку скінченного інтервалу визначення та детальне дослідження спек\-тральних властивостей було проведено О. Шкаліковим та О. Савчуком: для сильно регулярних за Біркгофом граничних умов ними знайдені асимптотичні оцінки власних значень. Р. Гринівим та Я. Микитюком детально вивчалися одновимірні періодичні оператори Шредінгера. Передували цим дослідженням роботи О. Шкалікова, М. Неймана-Заде та Т. Кара-таєвої, В. Кошманенка, в яких була збудована загальна теорія збурення самоспряжених обмежених знизу операторів сингулярними білінійними формами.
В роботах Ю. Березанського, J. Brasche'а та T. Kappeler'a, C.Möhr'а сингулярно збурені самоспряжені обмежені знизу оператори вивчаються в негативних гільбертових просторах, що дозволяє розглядати їх як звичайні й спрощує дослідження спектральних властивостей; хоча при цьому не виконується природне бажання працювати з операторами, визначеними в "нульовому" гільбертовому просторі.
Особливо відзначимо результати швейцарських математиків: T. Kappeler'а та C. Möhr'а. Ними детально вивчалися визначені в негативних періодичних просторах Соболєва порядку –оператори, породжені на скінченному інтервалі несамоспряженими диференціальними виразами другого порядку з потенціалом, який є 1-періодичною узагальненою функцією: отримані рівномірні на класах 1-періодичних узагальнених функцій асимптотичні оцінки власних значень. Методика саме цих авторів була розвинена в роботах [1-4].
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН України у відділі нелінійного аналізу згідно із загальним планом дослідження в рамках науково-дослідної теми "Розробка методів нелінійного функціонального аналізу та їх застосувань до нелінійних проблем математичної фізики". Номер державної реєстрації 0101U000623.
Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є спектральні властивості операторів , породжених на скінченному інтервалі несамоспряженими двочленними диференціальними виразами довільного парного порядку з потенціалом, що є 1-періодичною узагальненою функцією, та (пів)періодичними граничними умовами. Завдання дослідження —отримання рівномірних асимптотичних оцінок власних значень операторів .
Об'єктом дослідження є оператори ; спектри цих операторів є предметом дослідження.
Методи дослідження: ряди Фур'є-Шварца —визначення просторів Соболєва 1-періодичних та 1-півперіодичних елементів; теорія збурень лінійних операторів та півторалінійних форм в гільбертовому просторі —визначення операторів ; дискретне перетворення Фур'є —ізоспектральна трансформація задачі; метод порівняння резольвент —локалізація та оцінка власних значень.
Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:
Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи знайшли застосування при дослідженні спектральних властивостей одновимірного періодичного самоспряженого оператора Шредінгера, який є одним з модельних операторів математичної фізики.
Особистий внесок здобувача. Результати дисертації опубліковано в роботі [1], що написана без співавторів, та роботах [2, 3, 4], написаних спільно з науковим керівником. Доведення результатів проведено автором особисто.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювалися на засіданнях Київського міського семінару з функціонального аналізу (керівники: академік НАН України Ю.М. Березанський, член.-кор. НАН України М.Л. Горбачук, член.-кор. НАН України Ю.С. Самойленко), Київського міського семінару з нелінійного аналізу (керівник: академік НАН України І.В. Скрипник) та на засіданні семінару з математичної фізики в м. Харькові (керівник: академік НАН України Є.Я. Хруслов); а також на двох міжнародних конференціях:
Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в роботах [1-3], препринті [4] та тезах двох міжнародних конференцій [5,6].
Структура й об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел і містить 167 сторінок друкованого тексту.
Список використаних джерел містить 37 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ
Простори
Через , , будемо позначати простори Соболєва 1-періодичних та 1-півперіодичних елементів, які визначаються рядами Фур’є-Шварца:
,
, ,
, ,
де через позначено півторалінійну форму, що спарює дуальні простори дуальні простори та і є розширенням по неперервності скалярного добутку в
Зауважимо, що в означенні просторів Соболєва 1-пріодичних та 1-півперіодичних елементів ми використали подвійне позначення: тільки при парних k —-періодичний елемент простору а тільки при непарних k —це 1-півперіодичний елемент простору Причому при s≥0 елементами просторів є звичайні функції (при s>1/2 це вже неперервні функції), а при s<0 елементами просторів є розподіли (узагальнені функції), і
Оператор перетворення Фур’є встановлює ізометричний ізоморфізм між просторами Соболєва та ваговими просторами двосторонніх послідовностей:
Через () будемо позначати вагові простори двосторонніх послідовностей:
причому
Якщо n=0, то ми просто будемо писати замість . А через будемо позначати k-елемент послідовності .
Для елементів та вагових просторів двосторонніх послідовностей визначимо комутативну операцію згортки
таким чином:
Умови неперервності білінійного відображення , тобто виконання оцінки
дає така відома основна лема про згортку.
Лема 1 (л. 1.1). Нехай та , причому
(a) (b) (c)
Лема про згортку дає умови існування добутку двох елементів просторів Соболєва, який визначається в такий спосіб:
Далі, нехай
Елемент , комплексно-спряжений до , визначається таким чином:
Тобто, умова дійснозначності елемента простора Соболєва еквівалентна умові ермітовості перетворення Фур’є цього елемента:
Постановка задачі
Нехай . В просторі розглянемо періодичні оператори диференціювання довільного парного порядку (з періодичними та періодичними граничними умовами):
, ,
.
Властивості операторів :
,
де власне значення 0 однократне, а всі інші —двократні. Причому, при парних значеннях k відповідне власне значення належить спектру оператора , а при непарних —спектру оператора .
.
, .
Нехай —комплекснозначний 1-періодичний розподіл з негативного простору Соболєва :
.
Розподіл визначає сингулярний відносно простору оператор множення V на узагальнену функцію:
.
Сингулярний оператор V добре визначений в негативному просторі Соболєва (лема про згортку).
Оператор V в просторі породжує півтора лінійну форму
, ,
яка у випадку дійснозначності розподілу є симетричною.
Метою дисертаційної роботи є дослідження в операторів ,
, ,
що утворюються при збуренні обмежених знизу самоспряжених операторів сингулярним оператором V. Задачі дослідження умовно можна розбити на три частини:
Визначення та загальні властивості операторів
Фундаментальною в цьому пункті є така теорема.
Теорема 2 (т. 4.1, 4.4). Півтора лінійна форма є -обмеженою з -межею рівною 0, тобто .
Ця теорема дозволяє визначити таку
—щільно визначену замкнену секторну півтора лінійну форму, яка у випадку дійснозначності розподілу є симетричною. Згідно з першою теоремою про представлення, формі взаємно однозначно відповідає деякий m-секторний оператор. І як показує наступна теорема, це —саме оператор .
Теорема 3 (т. 4.2, 4.5). Оператор добре визначений в гільбертовому просторі як форм-сума операторів,
зі щільною областю визначення
і
.
Безпосередньо з теореми отримуємо такий наслідок: спектр оператора складається з ізольованих власних значень скінченної алгебраїчної кратності, що не мають граничної точки, крім .
Наступна теорема дозволяє дати інше природне визначення операторів : оператори можна розглядати як границю послідовності операторів з гладкими потенціалами в сенсі рівномірної резольвентної збіжності.
Теорема 4 (т. 4.3, 4.6). Нехай і в просторі при , тобто . Тоді оператори збігаються до оператора в сенсі рівномірної резольвентної збіжності,
Остання теорема також може бути використана при наближених обчисленнях власних значень оператора : спектри операторів збігаються до спектру оператора (збіжність є неперервною зверху); причому у випадку дійснозначності розподілів та ця збіжність є неперервною.
Ефективні та асимптотичні оцінки
Нехай
Теорема 5 (т. 4.8). Нехай розподіл належить простору і
Спектри операторів та складаються з нескінченної послідовності ізольованих власних значень скінченної алгебраїчної кратності, що не мають граничної точки, крім при парному значенні k власне значення належить спектру оператора , а при непарному значенні k —спектру оператора .
власні значення операторів задовольняють такі оцінки:
знаходиться точно власне значення оператора і точно власних значень оператора
власні значення операторів задовольняють оцінки:
Безпосередньо з теореми отримуємо одночленні асимптотичні оцінки власних значень.
Наслідок. Нехай розподіл належить простору . Власні значення операторів задовольняють такі одночленні асимптотичні оцінки:
що при є локально рівномірні, а при —рівномірні, по параметру на обмежених множинах у відповідних просторах
Тут варто згадати про результат М. Наймарка: у випадку власні значення двочленного диференціального періодичного оператора 2m-го порядку:
задовольняють такі асимптотичні оцінки:
Інших кількісних результатів в цьому напрямку нема. Якісними дослідженнями спектру двочленних диференціальних операторів з регулярним потенціалом займався І. Глазман.
Для отримання більш точних асимптотичних оцінок, ми окремо розглянемо послідовності середніх арифметичних та різниць власних значень й відповідно:
Теорема 6 (т. 4.9, 4.10). Нехай розподіл належить простору Для середнього арифметичного та різниці власних значень та відповідно, операторів рівномірно по параметру V на обмежених множинах у відповідних просторах виконуються такі асимптотичні оцінки
(i)
(ii)
Використовуючи результати попередньої теореми, отримуємо рівномірні на класах 1-періодичних узагальнених функцій багаточленні асимптотичні оцінки власних значень.
Теорема 7 (т. 4.11). Нехай розподіл належить простору . Власні значення операторів рівномвірно по параметру V на обмежених множинах у відповідних проторах (при в просторі , а при в просторі ) задовольняють такі асимптотичні оцінки :
(I)
(II)
У випадку, коли розподіл є дійнозначним, між гладкістю розподілу та швидкістю спадання (зростання) полідовноті існує однозначна кількісна відповідність.
Теорема 8 (т. 4.12). Нехай і —дійснозначний розподіл. Тоді, в тому і тільки тому випадку, коли .
Застосування
В просторі розглянемо періодичний самоспряжений оператор Шредінгера:
тобто .
В цьому випадку оператор Шредінгера можна визначити кількома еквівалентними способами:
—обмежений знизу самоспряжений оператор з чисто абсолютно неперервним спектром, що має зонну структуру:
Через будемо позначати середини лакун, а через —довжини:
При цьому, послідовність кінців лакун з парними номерами —це власні значення оператора
а послідовність кінців лакун з непарними номерами —це власні значення оператора
Останнє твердження випливає з теореми Біркгофа-Ляпунова та теореми про апроксимацію Р. Гриніва та Я. Микитюка.
Таким чином, вивчення спектру періодичного самоспряженого оператора Шредінгера можна звести до вивчення спектрів операторів та .
Нагадаємо спочатку результати, що належать В.О. Марченку у випадку регулярного потенціалу.
Теорема 9 (т. 4.13, В.О. Марченко). Нехай дійсно значний розподіл є регулярним:
Кінці лакун спектру періодичного самоспряженого оператора Шредінгера задовольняють такі асимптотичні оцінки:
.
.
Між гладкістю потенціалу та швидкістю спадання (зростання) довжин лакун існує однозначний кількісний зв’язок:
У випадку сингулярного потенціалу:
отримано аналоги цих результатів.
Теорема 10 (т. 4.14, 4.15, 4.16, 4.17, 4.18). Нехай дійснозначний розподіл належить негативному простору Соболєва , Кінці, середини та довжини лакун спектру періодичного самоспряженого оператора Шредінгера рівномірно на класах 1-періодичних узагальнених функцій у відповідних просторах задовольняють такі асимптотичні формули
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Між гладкістю потенціалу та швидкістю спадання (зростання) довжин лакун існує однозначний кількісний зв’язок,
З останньої теореми отримуємо цікаві наслідки, які мають безпосередній фізичний зміст і пов’язують властивості послідовності довжин лакун періодичного самоспряженого оператора Шредінгера в з властивостями його потенціалу .
Введемо потрібні нам позначення та означення:
—простір двосторонніх послідовностей, що збігаються до 0;
—простір двосторонніх обмежених послідовностей.
Далі, будемо говорити, що розподіл є псевдофункцією, якщо і псевдомірою —якщо
Означення. Нехай розподіл належить простору Соболєва Порядком гладкості розподілу будемо називати величину , яка визначається рівністю
Теорема 11 (т. 4.19). Нехай дійснозначний розподіл належить простору
(a) —псевдофункція;
(b) —псевдоміра.
Зауваження. Питання про поведінку послідовності довжин лакун при залишається відкритим.
Якщо або і то, як відомо, В роботі побудовано приклад, який показує, що існують потенціали з для яких послідовність довжин лакун є необмеженою.
ВИСНОВКИ
В дисертаційній роботі досліджуються спектральні задачі на класах 1-періодичних узагальнених функцій. Отримано такі результати:
Список опублікованих праць за темою дисертації:
Автор висловлює щиру подяку науковому керівникові —доктору фізико-математичних наук, професору Володимиру Андрійовичу Михайлецю —за постановку задач, постійну увагу та допомогу в роботі.
Анотації
Молибога В.М. Спектри періодичних задач з узагальненими функціям. —Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.1.01 - математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2005.
В дисертаційній роботі досліджуються спектральні задачі на класах 1-періодичних узагальнених функцій: вивчаються спектри операторів, породжених на скінченному інтервалі несамоспряженими двочленними диференціальними виразами довільного парного порядку з потенціалом, який є 1-періодичною узагальненою функ\-цією, та (пів)періодичними граничними умовами. Використовуючи метод ізоспектральної трансформації, знайдено рівномірні на класах 1-періодичних узагальнених функцій неасимптотичні (ефективні) та асимптотичні оцінки власних значень.
Високий порядок, сильна сингулярність та несиметричність збурення, в сукупності з нелокальними граничними умовами, визначають особливість досліджуваної проблеми, яка може розглядатися як подальший крок у вивченні операторів, що описують "точкову взаємодію".
Отримані результати застосовано до дослідження спектральних властивостей одновимірного періодичного самоспряженого оператора Шредінгера: знайдено рівномірні на класах 1-періодичних узагальнених функцій асимптотичні оцінки кінців, середин та довжин лакун неперервного спектру; всановлено кількісну відповідність між гладкістю потенціалу та швидкістю спадання (зростання) довжин лакун, —можуть розглядатися ак аналоги відомих формул В.О. Ма-рченка у випадку гладкого потенціалу.
Ключові слова: спектральна задача, задача на власні значення, (пів)періодичні граничні умови, сингулярне збурення, рівномірні на класах ефективні оцінки, рівномірні на класах асимптотичні оцінки.
Molyboga V.M. The spectra of periodic problems with distributions. —Thesis for the Candidate degree by speciality 01.01.01 — mathematical analysis. Institute of mathematics of National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 2005.
In dissertation on the classes of 1-periodic distributions the spectral problems are investigated: the spectra operators generated on the finite interval by the non-selfadjoint two-members differential expressions of even order with periodic distribution potential and (semi)periodic boundary conditions are studied. Using the isospectral transformation method the uniform on the classes of 1-periodic distributions the non-asymptotic (effective) and asymptotic estimates for eigenvalues are proved.
Tall order, strong singularity and non-symmetric of perturbation together with non-local boundary conditions are defined the putting problem specialty, which (problem) can be considered as a next step in investigation of describing "point interaction" operators.
Obtained results are used for investigation spectral properties of the 1-D periodic self-adjoint Schrodinger operator: the uniform on the classes of 1-periodic distributions non-asymptotic (effective) and asymptotic estimates for the ends, centers and lengthes of the continuous spectrum gaps have been got; calculus relations between the potential smoothness and the decreasing (growing) lengthes speed of spectrum gaps are obtained, - and they can be considered as analogs of famous Marchenko's fomulae in the case of smooth potential.
Key words: spectral problem, eigenvalue problem, (semi)periodic boundary conditions, singular perturbation, uniform on the classes effective estimates, uniform on the classes asymptotic estimates.
Молибога В.М. Спектры периодических задач с обобщёнными функциями. —Рукопись. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.
В диссертационной работе исследуются спектральные задачи на классах 1-периодических обобщённых функций: изучаются спектры операторов, порождённых на конечном интервале двучленными дифференциальными выражениями произвольного чётного порядка с потенциалом, который является 1-периодической обобщённой функцией, и (полу)периодическими граничными условиями. Используя метод изоспектральной трансформации, доказаны равномерные на классах 1-периодических обобщённых функций неасимптотические (эффективные) и асимптотические оценки собственных значений.
Высокий порядок, сильная сингулярность и несимметричность возмущения, в совокупности с нелокальными граничными условиями, определяют особенность изучаемой проблемы, которая может рассматриваться как последующий шаг в изучении операторов, описывающих "точечное взаимодействие".
Используя полученные результаты, исследуются спектральные свойства одномерного периодического самосопряжённого оператора Шрёдингера: доказаны равномерные асимптотические формулы концов, середин и длин лакун непрерывного спектра; установлены количественные соотношения между гладкостью потенциала и скоростью убывания (роста) длин лакун, - могут рассматриваться как аналоги известных формул В.А. Марченка в случае гладкого потенциала.
Диссертационная работа состоит из вступления, четырёх глав, выводов и библиографии.
Во вступлении даётся общая характеристика диссертационной работы: краткое освещение имеющихся результатов выбранной тематики, её актуальность, цель и задачи работы, новизна полученных результатов и т.д.
В первой главе вводятся периодические пространства Соболева и гильбертовые весовые пространства двусторонних последовательностей. В негативных периодических пространствах Соболева определяются операторы , порождённые на конечном интервале двучленными дифференциальными выражениями произвольного чётного порядка с потенциалом, который является 1-периодической обобщённой функцией; исследуются их общие свойства.
Во второй и третьей главах работы исследуются спектры операторов и соответственно. Основная идея –дискретизация задачи: переход от операторов к матричным операторам (их Фурье-образам). Исследуя затем спектры матричных операторов , определённых в негативных гильбертовых весовых пространствах двусторонних последовательностей, доказаны равномерные на классах 1-периодических обобщённых функций неасимптотические (эффективные) и асимптотические оценки собственных значений. Причём для получения многочленных асимптотических оценок, приходится отдельно искать асимптотики средних арифметических и разностей соответствующих пар собственных значений.
Четвёртая глава - основная глава диссертационной работы. В гильбертовом пространстве даётся определение операторов (как форм-суммы), порождённых на конечном интервале двучленными дифференциальными выражениями произвольного парного порядка с потенциалом, который является 1-периодической обобщённой функцией, и (полу)периодическими граничными условиями; исследуются их общие свойства. Используя метод изоспектральной трансформации: изоспектральность операторов и , и далее и , - доказаны равномерные на классах 1-периодических обобщённых функций неасимптотические (эффективные) и асимптотические оценки собственных значений.
Полученные результаты использованы для исследования непрерывного спектра одномерного периодического самосопряжённого оператора Шрёдингера.
Все результаты диссертационной работы являются новыми.
Ранее, швейцарскими математиками: T. Kappeler'ом и C. Mohr'ом - было проведено исследование определённых в негативных переодических пространствах Соболева операторов L, порождённых на конечном интервале дифференциальными выражениями второго порядка с 1-периодическим сингулярным потенциалом.
Ключевые слова: спектральная задача, задача на собственные значения, (полу)периодические граничные условия, сингулярное возмущение, равномерные на классах эффективные оценки, равномерные на классах асимптотические оценки.
____________________________________________________________________________________
Підписано до друку 25.04.2005. Формат . Папір офс. Офс. друк.
Фіз. друк. арк. 1,4. Умов. друк. арк. 1,34. Тираж 100 пр. Зам. 86. Безкоштовно.
_____________________________________________________________________________________
Інститут математики НАН України,
, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.