Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Аппроксимация функций методом наименьших квадратов Оглавлени

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 24.11.2024

КУРСОВАЯ РАБОТА

По дисциплине ИНФОРМАТИКА

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Оглавление

[1]
1 Введение

[2]
2 Задание

[3]
3 Практическая часть

[4] 4 ГРАФИКИ.

[5]
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

[6]

[7] Список литературы:

1 Введение

Базовые знания в области информатики и практические навыки работы на персональном компьютере позволяют эффективно применять современное программное обеспечение для решения прикладных задач в области экологии. В данной курсовой работе проводится аппроксимация функции методом наименьших квадратов. Расчеты проведены при помощи программ Microsoft Excel и Turbo Pascal.

2 Задание

Функция y = f(x) задана таблицей 1.

аргумент Хi	функция yi	аргумент Хi	функция yi	аргумент Хi	функция yi	аргумент Хi	функция yi	аргумент Хi	функция yi

0,28	1,05	2,34	9,11	3,33	29,43	4,23	86,44	5,55	187,54
0,87	2,87	2,65	16,86	3,41	37,45	4,83	90,85	6,32	200,45
1,65	6,43	2,77	17,97	3,55	42,44	4,92	99,06	6,66	212,97
1,99	8,96	2,83	18,99	3,85	56,94	5,14	120,45	7,13	275,74
2,08	8,08	3,06	23,75	4,01	75,08	5,23	139,65	7,25	321,43

Таблица 1

Требуется выяснить - какая из функций – линейная, квадратичная или экспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную таблицей 1.

Поскольку в данном примере каждая пара значений (хi ,yi) встречается один раз, то корреляционная таблица примет вид единичной матрицы. Значит условные средние yi совпадают со значениями yi. Отсюда следует, что корреляционные отношение n2y/x равно 1 и следовательно между x и y существует функциональная зависимость.

Для проведения расчетов данные приводим в виде таблицы 2, используя средства табличного процессора Microsoft Exel.

Таблица 2

	A	B	C	D	E	F	G	H	I
1	0,28	1,05	0,08	0,29	0,02	0,01	0,08	0,05	0,01
2	0,87	2,87	0,76	2,50	0,66	0,57	2,17	1,05	0,92
3	1,65	6,43	2,72	10,61	4,49	7,41	17,51	1,86	3,07
4	1,99	8,96	3,96	17,83	7,88	15,68	35,48	2,19	4,36
5	2,08	8,08	4,33	16,81	9,00	18,72	34,96	2,09	4,35
6	2,34	9,11	5,48	21,32	12,81	29,98	49,88	2,21	5,17
7	2,65	16,86	7,02	44,68	18,61	49,32	118,40	2,82	7,49
8	2,77	17,97	7,67	49,78	21,25	58,87	137,88	2,89	8,00
9	2,83	18,99	8,01	53,74	22,67	64,14	152,09	2,94	8,33
10	3,06	23,75	9,36	72,68	28,65	87,68	222,39	3,17	9,69
11	3,33	29,43	11,09	98,00	36,93	122,96	326,35	3,38	11,26
12	3,41	37,45	11,63	127,70	39,65	135,21	435,47	3,62	12,35
13	3,55	42,44	12,60	150,66	44,74	158,82	534,85	3,75	13,31
14	3,85	56,94	14,82	219,22	57,07	219,71	843,99	4,04	15,56
15	4,01	75,08	16,08	301,07	64,48	258,57	1207,29	4,32	17,32
16	4,23	86,44	17,89	365,64	75,69	320,16	1546,66	4,46	18,86
17	4,83	90,85	23,33	438,81	112,68	544,24	2119,43	4,51	21,78
18	4,92	99,06	24,21	487,38	119,10	585,95	2397,89	4,60	22,61
19	5,14	120,45	26,42	619,11	135,80	698,00	3182,24	4,79	24,63
20	5,23	139,65	27,35	730,37	143,06	748,18	3819,83	4,94	25,83
21	5,55	187,54	30,80	1040,85	170,95	948,79	5776,70	5,23	29,05
22	6,32	200,45	39,94	1266,84	252,44	1595,40	8006,45	5,30	33,50
23	6,66	212,97	44,36	1418,38	295,41	1967,42	9446,41	5,36	35,71
24	7,13	275,74	50,84	1966,03	362,47	2584,39	14017,77	5,62	40,07
25	7,25	321,43	52,56	2330,37	381,08	2762,82	16895,16	5,77	41,85
26	95,93	2089,99	453,31	11850,65	2417,57	13982,99	71327,34	90,98	415,08
	хi	yi	хi2	хi*yi	xi3	xi4	хi2*yi	ln(yi)	хi ln (yi)

3 Практическая часть

Аппроксимируем функцию y = f(x) линейной функцией y = a1 + a2x. Для определения коэффициентов a1 и a2 воспользуемся системой (1):

n n

a1n + a2∑xi = ∑yi

i=1 i=1

n n n

a1∑xi + a2∑xi2 = ∑xiyi (1)

i=1 i=1 i=1

Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A26, B26, C26, D26, запишем систему (1) в виде:

25a1 + 95,93a2 = 2089,99

95,93a1 + 453,31a2 = 11850,65

Решив которую, получим a1 = -88,9208, a2 = 44,9600

Таблица 3

	A	B	C	D
28	25	95,93	2089,99
29	95,93	453,31	11850,65
30
31
32	0,21280	-0,04503	а1=	-88,9208
33	-0,04503	0,01174	а2=	44,9600

Таким образом, линейная аппроксимация примет вид

у=-88,9208+44,9600х

Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией . Для определения коэффициентов , и воспользуемся системой (2).

(2)

Используя итоговые значения таблицы 2, запишем эту систему в виде:

25a1 + 95,93a2 + 453,31a3 = 2089,99

95,93a1 + 453,31a2 + 2417,57a3 = 11850,65

453,31a1 + 2417,57a2 + 13982,99a3 = 71327,34

решив которую, получим a1 = 1066362, a2 = -18,92451, a3 = 8,02723

Таблица 4

	A	B	C	D	E
36	25	95,93	453,31	2089,99
37	95,93	453,31	2417,57	11850,65
38	453,31	2417,57	13982,99	71327,34
39
40	0,6327	-0,31439	0,03385	а1=	10,66362
41	-0,3144	0,18453	-0,02171	а2=	-18,92451
42	0,0338	-0,02171	0,00273	а3=	8,02723

Таким образом, квадратичная аппроксимация примет вид

у=10,66362+(-18,92451х)+8,02723x^2

Аппроксимируем функцию экспоненциальной функцией . Для определения коэффициентов a1 и a2 прологарифмируем значения yi и, используя итоговые суммы таблицы 2, получим систему:

25c + 95,93a2 = 90,98

95,93c + 453,31a2 = 415,08

где c=ln(a1).

Найдем c = 0,6677, a2 = 0,7744.

После потенцирования получим a1 = 1,9497.

Таблица 5

	A	B	C	D
46	25	95,93	90,98
47	95,93	453,31	415,08
48
49		с=	0,6677
50	0,21280	-0,04503	а2=	0,7744
51	-0,04503	0,01174	а1=	1,9497

Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид

у = 1,9497 e0,7744x

Вычислим среднее арифметическое x и y по формулам:

; .

Результаты расчета представлены в таблице 6.

Таблица 6

	A	B
54	Хср=	3,8372
55	Уср=	83,5996

Чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности, необходимо заполнить таблицу 7.

Таблица 7

	A	B	J	K	L	M	N	O
1	0,28	1,05	293,645	12,65367	6814,436	5987,9765	24,4441	1,8818
2	0,87	2,87	239,541	8,80428	6517,268	2774,7222	6,7335	0,9107
3	1,65	6,43	168,785	4,78384	5955,147	448,0357	26,3958	0,3207
4	1,99	8,96	137,874	3,41215	5571,070	70,7359	17,3682	0,0206
5	2,08	8,08	132,703	3,08775	5703,210	12,1387	4,2039	2,8248
6	2,34	9,11	111,526	2,24161	5548,701	51,4882	1,4986	7,9958
7	2,65	16,86	79,233	1,40944	4454,174	178,5730	0,0006	2,8338
8	2,77	17,97	70,040	1,13892	4307,244	311,4631	3,4777	1,7306
9	2,83	18,99	65,075	1,01445	4174,400	373,4910	5,7914	2,3823
10	3,06	23,75	46,515	0,60404	3581,975	620,3441	17,3755	8,4231
11	3,33	29,43	27,475	0,25725	2934,346	983,8198	52,2462	13,9447
12	3,41	37,45	19,715	0,18250	2129,786	725,9091	4,0904	102,2541
13	3,55	42,44	11,821	0,08248	1694,113	797,8984	4,8610	143,3219
14	3,85	56,94	-0,341	0,00016	710,734	741,7500	0,0231	342,3946
15	4,01	75,08	-1,472	0,02986	72,584	265,3212	126,0007	996,9257
16	4,23	86,44	1,116	0,15429	8,068	219,6288	148,7578	1214,7776
17	4,83	90,85	7,198	0,98565	52,568	1397,7026	245,6958	76,6489
18	4,92	99,06	16,741	1,17246	239,024	1103,7185	163,9776	121,8680
19	5,14	120,45	48,009	1,69729	1357,952	471,9084	25,1788	258,6007
20	5,23	139,65	78,067	1,93989	3141,647	43,1629	70,4516	769,9408
21	5,55	187,54	178,029	2,93368	10803,607	725,3842	1200,5291	1951,0602
22	6,32	200,45	290,116	6,16430	13654,016	27,2879	126,2827	3577,4085
23	6,66	212,97	365,187	7,96820	16736,700	6,0388	767,7885	15795,8684
24	7,13	275,74	632,680	10,84253	36917,933	1944,4749	65,1469	44766,9232
25	7,25	321,43	811,668	11,64720	56563,299	7121,8415	677,9664	45516,7965
26	95,93	2089,99	3830,945	85,20790	199644,003	27404,8153	3786,2861	115678,0580
			суммы	Остаточные суммы
			(Х-Хср)*(У-Уср)	(Х-Хср)^2	(У-ср)^2	линейн.	квадр.	экспон

Коэффициент корреляции подсчитывается по формуле :

где , ,

и - среднее арифметическое значение соответственно по x и y.

только для линейной аппроксимации.

Коэффициент детерминированности считаем по формуле :

Результаты расчетов представлены в таблице 8.

Таблица 8

	A	B
57	коэфицент корреляции	0,92883
58	коэффицент детермированности (линейная апроксимация)	0,86273
59	коэффицент детермированности (квадратная апроксимация)	0,98103
60	коэффицент детермированности (экспонеециальная апроксимация)	0,42058

ВЫВОД : Из результатов расчетов видно, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом отражает зависимость экспериментальных данных, так как коэффициент детерминированности для этой аппроксимации ближе к 1, чем в других случаях.

4 ГРАФИКИ.

Рассмотрим результаты эксперимента. Пользуемся таблицей 1.

Исследуем характер зависимости в три этапа:

построим график зависимости.
построим линию тренда (, , ).
получим числовые характеристики коэффициентов этого уравнения.

Сравнивая результаты, полученные графически, видим, что они полностью совпадают с вычислениями, произведенными выше. Это говорит о том, что вычисления верны.

Примечание: полученное при построении линии регрессии значение коэффициента детерминации для экспоненциальной зависимости R2= 0.946 не совпадает с истинным значением R2=0.421, поскольку при вычислении коэффициента детерминации используются не истинные значения yi, а преобразованные ln yi с дальнейшей линеаризацией.

ПОЛУЧЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК.

Для построения числовых характеристик пользуемся функцией ЛИНЕЙН. Функция ЛИНЕЙН использует метод наименьших квадратов для определения наилучшей аппроксимации данных. Точность линейной аппроксимации, вычисленной при помощи этой функции, зависит от разброса данных. Чем ближе данные к прямой, тем точность выше.

Результаты представлены в таблице 9.

Таблица 9.

	A	B
65	44,9600	-88,9208
66	3,7395	15,9235
67	0,8627	34,5183
68	144,5549	23
69	172239,19	27404,815

Величины в ячейках A65 и B65 характеризуют соответственно наклон и сдвиг.

A67- коэффициент детерминированности.

A68- F-статистика.

B68 – число степеней свободы.

A69 – регрессионная сумма квадратов.

B69 – остаточная сумма квадратов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Сделаем заключение по результатам полученных данных:

1. Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные, т.к. согласно таблице 8 коэффициенты детерминированности линейной аппроксимации - 0,86273; квадратической аппроксимации – 0,98103; экспоненциальной аппроксимация – 0,42058.

2. Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН видим, что они полностью совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то, что вычисления верны.

3. Полученное при построении линии тренда значение коэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости не совпадает с истинным значением поскольку при вычислении коэффициента детерминированности используются не истинные значения y, а преобразованные значения ln(y) с дальнейшей линеаризацией.

Список литературы:

1, Книга "Word и Excel. Самоучитель Левина в цвете" 2-е изд. Автор Левин А. Издательство "Питер" 224 стр.

2, Word 2010. Создание и редактирование текстовых документов Автор: П. П. Мирошниченко, А. И. Голицын, Р. Г. Прокди Год издания: 2010 Издат.: Наука и техника Страниц: 192 стр.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

Фрагмент отчета

1. Детский сад комбинированного вида 65 Машенька Консультация для родителейФГОС в ДОУ
2. Казахстанский государственный университет имени М
3. Сыктывкарский гуманитарнопедагогический колледж имени И
4. это- процедура рассмотрения законопроекта одобренного нижней палатой парламента в верхней палате;
5. Управленческий учет в рыночной экономике
6. максимальную постоянную времени 2 установившуюся ошибк
7. темах управления войсками силами и оружием
8. до нэ до 12 12 в о н
9. то злой настырной настойчивостью грозил дескать брошу тебя ко всем чертям понеси тя леший да без возврат
10. тематичних наук
11. Органымишени при артериальной гипертензии ~ все кроме- 1 Печени
12. Центр Эльга 2007 ББК 65.
13. I Виробнича
14. Дробилка молотковая
15. Понадежнее это про гидравлику
16. Исследование работы скважины
17. і Високий рівень раціоналізації та антропоморфна спрямованість реалізувалися у вченні про знання яке здобу
18. Правознавство Шифр за ОПП Дніпропетровськ ~ 2012
19. Возникновение Центральных банков
20. статья След статья Преобразование в сфере занятости населения являются одним из условий рыночной трансфо

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе