Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция №5
Лекция5.
Математическое описание законов электрического тока
Сила тока определяется известной формулой
,
где – заряд переносимый через полезное сечение проводника за время .
В общем случае, если говорить об электромагнитных полях и движущихся зарядах, в некоторой области пространства, целесообразно ввести понятие силы тока следующим образом. Пусть имеется некоторый объем , охваченный поверхностью , через которую движутся заряды, рис. 5.1.
Рис. 5.1. Объем , из которого течет ток
Тогда силой тока назовем скорость уменьшения зарядов в объеме
. (5.1)
Величина силы тока является положительной, т.к. скорость убывания как соответствующая производная убывающей функции – отрицательна.
Введем понятие потока плотности тока через площадку
.
По абсолютной величине
, (5.2)
т.е. это ток, отнесенный к единичной площади, расположенной перпендикулярно направлению движения зарядов.
Полный ток – это поток вектора через поверхность
. (5.3)
Если , то .
Выразим через объемную плотность заряда
.
Тогда
.
С другой стороны по теореме Гаусса-Остроградского
, (5.4)
следовательно
. (5.5)
Это означает, что ток и его линии зарождаются там, где плотность заряда меняется во времени. Там, где
и . (5.6)
Условие означает постоянство тока, а левое равенство означает отсутствие истоков или стоков тока и замкнутость контура движения постоянного тока, т.е. непрерывность тока, поскольку отсутствуют области его дополнительного возникновения или исчезновения, т.е. области истока и стока. Правое равенство составляет содержание первого закона Кирхгофа. Это равенство не утверждает, что ток в проводнике отсутствует. Оно лишь говорит о том, что количество втекающего тока в объем равно количеству вытекающего из него тока, рис. 5.2.
Рис. 5.2. К пояснению формулы (5.6)
В цилиндрическом проводнике ток течет только через торцевые поверхности , , и
.
Так как
,
то
и .
Очевидно, что через боковую поверхность ток в непроводящую среду равен нулю.
Закон Ома
В дифференциальной форме закон Ома формулируется так:
, (5.7)
где – удельная электропроводность среды.
Найдем работу поля при перемещении зарядов от до в проводнике, показанном на рис. 5.2.
, (5.8)
где – разность потенциалов в соответствующих точках.
После подстановки в последнюю формулу величину из формулы (5.7) и учета того, что направления и совпадают, получим
,
где, очевидно,
, . (5.9)
В результате имеем закон Ома,
.
При постоянной удельной электропроводности
, (5.10)
где – удельное сопротивление проводника.
Сторонние силы и их напряженность. Электродвижущая сила
В поле потенциальных сил, как было ранее установлено
.
Для поддержания тока необходимо наличие сторонних сил не электростатического происхождения. Это могут быть силы, порожденные гальваническими процессами в источниках электрического питания, тепловые индукционные и др. Они создают стороннюю напряженность поля, поддерживающую ток
. (5.11)
Тогда для проводника с длиной и поперечным сечением
или
,
где
, .
Рис. 5.3. К пояснению существования тока за счет сторонних сил
В замкнутой цепи, рис. 5.3, и
,
где полное сопротивление замкнутой цепи, включающее и нагрузку и внутренние сопротивления источников сторонних сил.
Условно считаем, что подводящие провода имеют нулевое сопротивление. Более корректным является правый рисунок. Очевидно, что сторонние силы не являются потенциальными (т.к. интеграл работы по замкнутому контуру не равен нулю).
Выражения для работы и мощности тока в дифференциальной и
интегральной формах
Пусть при переносе заряда на расстояние совершается работа
,
где – разность потенциалов в точках и .
В соответствии с законом Ома
,
где – сопротивление участка .
Тогда .
Мощность
.
Плотность мощности (мощность, выделяющаяся в единицу объема)
, (5.12)
где
, , или , .
Здесь учтено, что направления и совпадают.
Тогда
. (5.13)
Переменный ток в цепи. Ток смещения
Условие
,
означает замкнутость линий постоянного тока. Что касается переменного тока, то в связи с изменением плотности заряда в каждой точке, имеет место условие
, (5.14)
т.е. возможны мгновенные истоки и стоки зарядов, а в цепи протекания токов могут быть разрывы (например, при переходе с пластин конденсаторов в диэлектрическую среду между ними). Однако, и цепь переменного тока можно условно замкнуть, имея (как в конденсаторе) механически разорванную цепь. Это можно сделать следующим образом. Ранее была получена формула
.
Тогда в соответствии с (5.14)
,
или
.
Обозначим
, (5.15)
тогда
,
где .
Ток (5.15) называют током смещения. Это не ток зарядов. Однако, переменное поле в среде, например, в среде между пластинами конденсатора (рис. 5.4) за счет своего изменения во времени обеспечивает движение зарядов в подводящих к пластинам конденсатора проводниках.
Рис. 5.4. Ток смещения в емкости
В этой цепи течет единый ток . Но в подводящих проводниках – это ток проводимости, который между пластинами конденсатора переходит в ток смещения. Этот ток равен
,
т.к. емкость , то получим известную формулу для тока, протекающего «через» конденсатор , .
PAGE 7