Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Дослідження точності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам яті методом статистичних випробувань Монте Карло

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-13

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 20.5.2024

Міністерство освіти і науки України

Міжнародний економіко-гуманітарний університет

ім. Академіка С. Дем’янчука

ДОСЛІДЖЕННЯ

точності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методом статистичних випробувань Монте Карло

Модель ППП 051- 1

Науковий керівник:

кандидат технічних наук,

доцент Р.М. Літнарович

Рівне, 2007

Абрамович К.П. Дослідження точності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методом статистичних випробувань Монте Карло. Модель ППП О51 –1.МЕГУ, Рівне, 2007, -30с,

Рецензент: С.В. Лісова, доктор педагогічних наук, професор. Відповідальний за випуск: Й.В. Джунь, доктор фізико-математичних наук, професор.

На основі результатів психологічного експерименту побудована математична модель залежності ситуативної тривожності на характеристики пам’яті у вигляді кубічного поліному по способу найменших квадратів.

В даній роботі генеруються середні квадратичні похибки, які приводяться до заданих нормованих, будується спотворена модель, зрівноважується по способу найменших квадратів. Знаходяться ймовірніші значення коефіцієнтів а, в, с, d кубічного поліному апроксимуючої математичної моделі.

Робиться оцінка точності і даються узагальнюючі висновки. Примінений метод статистичних випробовувань Монте Карло дав можливість провести широкомасштабні дослідження і набрати велику статистику.

Для студентів і аспірантів педагогічних вузів

Передмова

За результатами психолого-педагогічного експерименту при дослідженні впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті, будується математична модель у вигляді поліному третього порядку.

Вихідними даними для проведення досліджень в даній роботі беруться результати психолого-педагогічного експерименту –бали тесту самооцінки тривожності по шкалі Спірбергера (Хі) і характеристики пам’яті –кількість правильних відповідей на запитання вікторини (Уі).

За цими даними була побудована математична модель у вигляді поліному третього порядку способом найменших квадратів. Дана модель приймалась за істинну модель.

Генерувались випадкові числа, знаходився коефіцієнт пропорційності К і дані випадкові числа приводилися до середньої квадратичної похибки 0,1 і 0,05, що відповідає ціні найменшої поділки шкали Спірбергера і половині поділки даної шкали.

Будується спотворена модель, яка зрівноважується по способу найменших квадратів.

Дається оцінка точності елементів, зрівноважених процедурою способу найменших квадратів. Робляться узагальнюючі висновки.

Представлення істинної моделі

За результатами строгого зрівноваження [6,c.33] отримана емпірична формула залежності характеристик пам’яті Х від ситуативної тривожності У9(істинна модель)

у = -4,717425 Х3 + 33,731505 Х2 –85,78331 Х + 88,244437. (1.1)

Таблиця 1. Вихідні дані істинної моделі у табличному вигляді [6,c.28]

Х	,6		,1	,3	,5	,8	,9		,1	,3
у	,021	,864	,167	,986	,898	,949	,101	,108	,939	,965

За даними табл.. 1 побудуємо точкову діаграму і графік

Рис.1. Точкова діаграма і графік

Побудувавши ймовірнішу модель по способу найменших квадратів і зробивши оцінку точності її елементів, в подальшому необхідно провести дослідження точності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методом статистичних випробувань Монте Карло. Для цього необхідно генерувати істинні похибки за допомогою генератора випадкових чисел.

2. Генерування істинних похибок для дослідження математичної моделі методом статистичних випробувань Монте Карло

По шкалі Спірбергера [1] незалежні змінні представляються з точністю 0,1. прийнято, що точність спостережень дорівнює половині шкали.

Тому логічно генерувати випадкові похибки з точністю, яка б дорівнювала 0,05, тобто половині шкали з якою ми працюємо. Але поставимо перед собою задачу ще дослідити математичні моделі з граничною точністю, яку приймемо вдвічі більшу за 0,05, тобто рівну 0,1. При цьому непарні моделі генерують середню квадратичну похибку 0,1, а парні –,05.

Сучасні калькулятори мають “вшиті” генератори для генерування випадкових чисел від 0 до 1. але вони генерують числа тільки зі знаком “плюс”.

Приведемо методику розрахунку випадкових чисел, які приймемо в подальшому як істинні похибки для побудови спотвореної моделі.

Отримавши ряд випадкових (а точніше псевдовипадкових) чисел ξі , натиском клавіш К, Cч, розраховують середнє арифметичне генерованих псевдовипадкових чисел ξір .

(2.1)

де п –сума випадкових чисел.

Розраховуються попередні значення істинних похибок Δ΄і за формулою

, (2.2)

Знаходять середню квадратичну похибку попередніх істинних похибок за формулою Гаусса

, (2.3)

Вичисляють коефіцієнт пропорційності К для визначення істинних похибок необхідної точності

, (2.4)

де С –необхідна нормована константа.

Так, наприклад, при т Δ΄ = 0,28 і необхідності побудови математичної моделі з точністю с=0,1, будемо мати

а при С=0,05, отримаємо К0,05= 0,05/0,28 =0,178

Істинні похибки розраховуються за формулою

, (2.5)

Заключним контролем служить розрахунок середньої квадратичної похибки т∆ генерованих істинних похибок ∆

, (2.6)

і порівняння

(2.7)

Таблиця 2. Генерування псевдовипадкових чисел і розрахунок істинних похибок

№ п/п	ξ і	- ξср		∆΄і2		∆і2
1	,008	,457	-0,449	,20174	-0,207	,04283629
2	,39	,457	-0,067	,004457	-0,031	,00094637
3	,37	,457	-0,087	,007527	-0,04	,00159833
4	,78	,457	,3232	,104484	,149	,02218548
5	,47	,457	,0132	,000175	,0061	,00003722
6	,24	,457	-0,217	,046985	-0,100	,00997656
7	,46	,457	,0032	,05E-05	,00149	,00000223
8	,61	,457	,1532	,023482	,071	,00498610
9	,5	,457	,0432	,00187	,01992	,00039699
10	,74	,457	,2832	,080225	,13052	,01703443
П = 10	4,568	Суми	E-16	,470955	,6E-16	,10000000

Середня квадратична похибка попередніх істинних похибок

mΔ’ = (0,470955/10)0.5 =0,2170151.

Коефіцієнт пропорційності

Середня квадратична похибка при генеруванні випадкових чисел з точністю с=0,1

mΔ’=(0.10000000/10)0.5 = 0.1000000.

Таблиця 3. Побудова спотвореної моделі

№ п/п	Істинна Хіст.	Модель Уіст.	∆іст.	Хспотв.
1	,6	,021	-0,207	,393
2		,864	-0,031	,969
3	,1	,167	-0,04	,060
4	,3	,986	,149	,449
5	,5	,898	,0061	,506
6	,8	,949	-0,100	,700
7	,9	,101	,00149	,901
8		,108	,071	,071
9	,1	,939	,01992	,120
10	,3	,965	,13052	,431
п = 10	,6	,998	,6E-16	,600

По даним спотвореної моделі виконують строге зрівноваження методом найменших квадратів і отримують ймовірніші моделі, яким роблять оцінку точності зрівноважених елементів і дають порівняльний аналіз на основі якого заключають на предмет поширення даної моделі для рішення проблеми в цілому.

Представлення системи нормальних рівнянь

В результаті проведеного експерименту ми маємо ряд результатів Хі , Уі , функціональну залежність між якими будемо шукати за допомогою поліному степені К, де коефіцієнти аі являються невідомими.

Тоді, система нормальних рівнянь буде

па0 +а1[х]+а2[х2]+...+ат[хт]- [у] = 0,

а0 [х]+а1[х2]+а2[х3]+...+ат[хт+1]- [ху] = 0,

а0 [х2]+а1[х3]+а2[х4]+...+ат[хт+1]- [х2у] = 0, (3.1)

............................

а0 [хт]+а1[хт+1]+а2[хт+2]+...+ат[х2т]- [хту] = 0,

де знаком [ ] позначена сума відповідного елемента.

Для поліному третього порядку виду

y = ax3 + bx2 + cx + d (3.2)

система нормальних рівнянь буде

dn + c[x] + b[x2] + a[x3] - [y] = 0,

d[x] + c[x2] + b[x3] + a[x4] - [xy] = 0, (3.3)

d[x2] + c[x3] + b[x4] + a[x5] - [x2y] = 0,

d[x3] + c[x4] + b[x5] + a[x6] - [x3y] = 0,

або

a[x6] + b[x5] + c[x4] + d[x3] –[x3y]= 0,

a[x5] + b[x4] + c[x3] + d[x2] –[x2y]= 0, (3.4)

a[x4] + b[x3] + c[x2] + d[x] –[xy] = 0,

a[x3] + b[x2] + c[x] + dn –[y]= 0,

В подальшому будемо рішати систему лінійних нормальних рівнянь (3.3) або (3.4) одним із відомих в математиці способів.

Встановлення коефіцієнтів нормальних рівнянь

Приведемо розрахункову таблицю, на основі якої отримують коефіцієнти нормальних рівнянь.

Таблиця 4. Розрахунок коефіцієнтів нормальних рівнянь.

№ п/п	xоп	yіст	x˚	x2	x3	x6	x5	x4
1	,393	,021		,941	,703	,307	,246	,766
2	,969	,864		,878	,636	,316	,614	,038
3	,060	,167		,244	,742	,424	,099	,009
4	,449	,986		,997	,687	,713	,084	,968
5	,506	,898		,281	,740	,737	,854	,445
6	,700	,949		,291	,686	,521	,520	,153
7	,901	,101		,419	,427	,663	,640	,874
8	,071	,108		,429	,952	,204	,976	,900
9	,120	,939		,734	,369	,284	,611	,749
10	,431	,965		,768	,372	,884	,113	,496
n=10	,600	,998		,980	,314	,054	,756	,398

Продовження таблиці 4.

№ п/п	х3у	х2у	ху
1	,7148	,97037	,10381
2	,8723	,76312	,3015
3	,107	,87662	,1243
4	,0406	,88419	,35309
5	,5309	,44533	,31149
6	,1661	,24388	,16335
7	,8805	,19956	,50499
8	,7891	,01892	,82591
9	,3622	,80981	,52923
10	,7025	,89342	,17148
n=10	1497,166	,105	,389

Параметр S розраховується за формулою

S= x+x2+x3+x0-y (4.1)

Таким чином, на основі проведених розрахунків нами отримана слідуюча система нормальних рівнянь

10 d+25,6 c+68,980b+193,314a-101=0,

d+68,980c+193,314b+558,398a-234,389=0,

68,980d+193,314c+558,398b+1651,756a-578,105=0, (4.2)

193,314d+558,398c+1651,756b+4980,054a-1496,166=0,

або

4980,054a+1651,756b +558,398c +193,314d -1496,166=0,

1651,756a+558,398b +193,314c +68,980d-578,105=0,

578,105a+100,998 b+68,980c+25,6d-234,389=0, (4.3) 193,314a+68,980b+25,6c+10d-101=0

Рішення системи лінійних рівнянь способом Крамера

Нехай, маємо систему лінійних рівнянь

a11x1+a12x2+…+amxn=b1,

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2, (5.1)

………………………..

an1x1+an2x2+…+annxn=bn.

Для того, щоб із цієї системи визначити невідомі хі , складемо із коефіцієнтів при невідомих визначних Δ, який називається визначником системи рівнянь (5.1)

Δ=

а11 а12 ........... а1п

а21 а22 ........... а2п

................................................

ап1 ап2 ........... апп

(5.2)

Помножимо ліву і праву частини рівності (5.2) на хі . В лівій частині будемо мати Δ хі , в правій же частині введемо у всі члени і –го стовпчика визначника акі множник хі

Δ · хі =

а11 а12 ... а1іхі ... а1п

а21 а22 ... а2іхі ... а2п

.......................................

ап1 ап2 ...апіхі ... апп

(5.3)

Після до і –го стовпчика визначника (5.3) додамо всі остальні стовпчики, помножені відповідно на х1, х2, ... , хп . Величина визначника від цього не зміниться. Тоді і-й стовпчик представить собою ліву частину системи рівнянь (5.1).

Замінимо його вільними членами цієї системи і позначимо через Δі

Δ · хі = Δі =

а11 а12 ... b1 ... а1п

а21 а22 ... b2 ... а2п

.......................................

ап1 ап2 ...bn ... апп

(5.4)

Звідки:

(5.5)

Формула (5.5) дає можливість визначити кожне невідоме системи лінійних рівнянь (5.1).

Якщо вільні члени системи лінійних рівнянь рівні нулю, то вона буде системою лінійних однорідних рівнянь.

Система лінійних однорідних рівнянь може мати рішення відмінне від нульового, якщо визначник системи Δ рівний нулю.

Для системи чотирьох лінійних рівнянь

(5.6)

якщо визначник системи Δ не дорівнює нулю

(5.7)

то система визначена і по Крамеру її невідомі виражаються формулами

(5.8)

(5.9)

, (5.10)

, (5.11)

Як бачимо, що

(5.12)

(5.13)

(5.14)

(5.15)

Приведемо формулу знаходження визначника четвертого порядку

(5.16)

І в нашому випадку

тоді невідомий коефіцієнт а при х3 буде

Невідомий коефіцієнт b при х2буде

;

і невідомий коефіцієнт с при х буде:

Коефіцієнт d буде

d = Δx4/Δ =40,522935

Таким чином, на основі проведених досліджень, математична модель впливу ситуативної тривожності хі на характеристики пам’яті уі виражається формулою

(5.17)

6. Контроль зрівноваження

Підставляючи отриманні значення коефіцієнтів а,b,c,d у формули (4.3), отримаємо слідуючі результати.

х3]	x2]	x]	х0]	Y	Контроль
4980,054	1651,756	558,398	193,314	1496,166	1496,166
1651,756	558,398	193,314	68,980	578,105	578,105
558,398	193,314	68,980	,6	234,389	234,389
193,314	68,980	,6		100,998	,998
A -1,446868	B 9,543536	C -26,67376	D 40,522935

7. Оцінка точності параметрів, отриманих із рішення системи нормальних рівнянь

Середні квадратичні похибки визначаємих невідомих х1, х2, х3, х4 , розраховуються за формулами

, (7.1.)

, (7.2)

, (7.3)

, (7.4)

де тх1 , тх2 , тх3 , тх4 –середні квадратичні похибки невідомих, що визначаємо х1, х2, х3, х4 , т –середня квадратична похибка одиниці ваги, яка розраховується за формулою

, (7.5)

У формулі (7.5) п –число значень факторних і результуючих ознак (х і у), к –степінь поліному. В нашому випадку п=10; к=3. V- різниця між вихідним значенням уі і вирахуваним значенням у΄ за отриманою нами формулою (5.17);

, (7.6)

А11 , А22 , А33 , А44 –алгебраїчні доповнення першого, другого, третього і четвертого діагональних елементів

, (7.7)

, (7.8)

, (7.9)

, (7.10)

де

(7.11)

Приведемо формулу розкриття визначника третього порядку

. (7.12)

І в нашому випадку отримаємо

Величина оберненої ваги

(1/Px11)0.5= 10.399008.

(1/Px2)0.2= 71,748385.

; (1/Px33)0.5=843.11354

; (1/Px44)0.5 = 256.49004.

Підставляючи у виведену нами формулу (5.17) значення Х спотвореної моделі, отримаємо розрахункові значення у΄, які будуть дещо відрізнятись від вихідних значень У.

Таблиця 6. Порівняльний аналіз результатів строгого зрівноваження.

№ п/п	Хвихідне	Увихідне	У΄зрівноваж..	V=Уі - Уі΄	V2
1	,6	,021	,974	,04708	0,00222
2		,864	,956	-0,0918	,00843
3	,1	,167	,426	-0,2586	,06686
4	,3	,986	,186	,80025	0,6404
5	,5	,898	,841	,05685	0,00323
6	,8	,949	,5967	-0,6477	0,41946
7	,9	,101	,1308	-0,0298	0,00089
8		,108	,7115	,39646	,15718
9	,1	,939	,2588	-0,3198	0,10227
10	,3	,965	,918	,047	,00221
п=10	25,6	,998	,00	,000	,403

Тоді, середня квадратична похибка одиниці ваги буде

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта а

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта b

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта с

Середня квадратична похибка визначення коефіцієнта d

Висновки.

На основі проведених досліджень в даній роботі:

Генеровані випадкові числа, які приведено до нормованої досліджуваної точності.
На основі істинної моделі і генерованих істинних похибок побудована спотворена модель впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті.
Математична модель апроксимована по способу найменших квадратів кубічним поліномом.
Отримана формула

залежності характеристик пам’яті У від ситуативної тривожності Х.

Встановлено, що середня квадратична похибка одиниці ваги за результатами зрівноваження складає балів по шкалі Спірбергера:

середня квадратична похибка визначення коефіцієнта а при х3 та= 0,676073 ;

середня квадратична похибка визначення коефіцієнта b при х2 тb= 4,900198 ;

середня квадратична похибка визначення коефіцієнта с при х тс= 11,4082 ;

середня квадратична похибка визначення коефіцієнта d тd= 8,472532 ;

Розроблена методика підготовки істинних похибок наперед заданої точності.
Дана робота відкриває дорогу для проведення досліджень методом статистичних випробовувань Монте Карло.
Вона дає можливість охопити велику аудиторію, тому що генеруються похибки індивідуально і вони не повторюються в других моделях.
Робота виконується вперше. Нам невідомі літературні джерела, де б виконувались аналогічні дослідження в царині психології.

Література.

Максименко С.Д., Е.Л. Носенко Експериментальна психологія (дидактичний тезаурус). Навчальний посібник –К.: МАУП, 2004, -128 с.
Літнарович Р.М. Основи математики. Дослідження впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті. Навчальний посібник для студентів Педагогічного факультету. Частина 2. МЕГУ, Рівне, 2006,-270.
Літнарович Р.М. Основи математики. Дослідження результатів психолого-педагогічного експерименту логарифмічною функцією. Частина 3. МЕГУ, Рівне, 2006 –с.
Літнарович Р.М. Основи математики. Дослідження результатів психолого-педагогічного експерименту експоненціальною функцією. Частина 4. МЕГУ, Рівне, 2006 –с.
Літнарович Р.М. Основи математики. Дослідження результатів психолого-педагогічного експерименту степенною функцією. Частина 5. МЕГУ, Рівне, 2006, - 17с.
Літнарович Р.М. Дослідження точності апроксимації результатів психолого-педагогічного експерименту методом статистичних випробувань Монте Карло.Ч.1.МЕГУ, Рівне,2006,-45с.

Додаток 1

Генерування псевдовипадкових чисел, підпорядкування їх нормальному закону розподілу і розрахунок істинних похибок

0,008	,457	-0,449	,20174	-0,207	,04283629
0,39	,457	-0,067	,004457	-0,031	,00094637
0,37	,457	-0,087	,007527	-0,04	,00159833
0,78	,457	,3232	,104484	,149	,02218548
0,47	,457	,0132	,000175	,0061	,00003722
0,24	,457	-0,217	,046985	-0,100	,00997656
0,46	,457	,0032	,05E-05	,00149	,00000223
0,61	,457	,1532	,023482	,071	,00498610
0,5	,457	,0432	,00187	,01992	,00039699
0,74	,457	,2832	,080225	,13052	,01703443
4,568	Суми	E-16	,470955	,6E-16	,10000000
A	B	C	D	E	F

Додаток 2.Побудова спотвореної моделі

1,393	,6	,021	-0,207	,393
1,969		,864	-0,031	,969
2,060	,1	,167	-0,04	,060
2,449	,3	,986	,149	,449
2,506	,5	,898	,0061	,506
2,700	,8	,949	-0,100	,700
2,901	,9	,101	,00149	,901
3,071		,108	,071	,071
3,120	,1	,939	,01992	,120
3,431	,3	,965	,13052	,431
25,600	,6	,998	,6E-16	,600
I	G	H	E	I

Хспотв.	Xіст.	Уіст.	Істинні похиб.	Хспотв.

Додаток 3.Розрахункова таблиця

1	,941	,703	,766	,246	,307	,10381	,97037
1	,878	,636	,038	,614	,316	,3015	,76312
1	,244	,742	,009	,099	,424	,1243	,87662
1	,997	,687	,968	,084	,713	,35309	,88419
1	,281	,740	,445	,854	,737	,31149	,44533
1	,291	,686	,153	,520	,521	,16335	,24388
1	,419	,427	,874	,640	,663	,50499	,19956
1	,429	,952	,900	,976	,204	,82591	,01892
1	,734	,369	,749	,611	,284	,52923	,80981
1	,768	,372	,496	,113	1629,884	,17148	,89342
10	,980	,314	,398	,756	4980,054	,389	,105
J	K	L	M	N	O	P	Q

X0	X^2	X^3	X^4	X^5	X^6	YX	YX^2

Продовження розрахункової таблиці

48,7148	,974	,04708	,00222	,7564
105,8723	,956	-0,0918	,00843	,2105
115,107	,426	-0,2586	,06686	,3699
176,0406	,186	,80025	,6404	,6642
171,5309	,841	,05685	,00323	,7664
176,1661	,5967	-0,6477	,41946	,0846
197,8805	,1308	-0,0298	,00089	,6262
205,7891	,7115	,39646	,15718	,52366
180,3622	,2588	-0,3198	,10227	,27172
119,7025	,918	,047	,00221	,791225
1497,166	,00	,000	,403	,065
R	S	T	U	V

YX^3	Yзрівн.	V=Yi-Yз	VV	YY

Додаток 5. Розрахунок визначників

4980,054	,756	,398	,314
1651,756	,398	,314	,980
558,398	,314	,980	,6
193,314	,980	,6

D=	,637181

1497,166	,756	,398	,314
578,105	,398	,314	,980
234,389	,314	,980	,600
100,998	,980	,600

D1=	-29,85928

4980,054	,166	,398	,314
1651,756	,105	,314	,980
558,398	,389	,980	,6
193,314	,998	,6

D2=	,95168

4980,054	,756	,166	,314
1651,756	,398	,105	,980
558,398	,314	,389	,6
193,314	,980	,998

D3=	-550,4712

4980,054	,756	,398	,166
1651,756	,398	,314	,105
558,398	,314	,980	,389
193,314	,980	,6	,998

D4=	,2791

Додаток 6.Вільні члени нормальних рівнянь

1497,166

578,105

234,389

100,998

Додаток 7.Розрахунок коефіцієнтів апроксимуючого поліному

a=D1/D=	-1,446868
b=D2/D=	9,543536
c=D3/D=	-26,67376
d=D4/D=	40,522935

Y=aX^3+bX^2+cX+d

Нами виведена формула за результатами теоретичних досліджень

Додаток 8.Знаходження алгебраїчних доповнень

				,054	,756	,398
		A44=	,4458	,756	,398	,314
				,398	,314	,980

				,054	,398	,314
		A22=	,131	,398	,980	,6
				,314	,600

		A33=	,186	,054	,756	,314
				,756	,398	,980
				,314	,980

				,398	,314	,980
		A11=	,05777	,314	,980	,6
				,980	,6
Додаток	.
КОНТРОЛЬ ЗРІВНОВАЖЕННЯ:

1,40315

1,403150

0,000000

Додаток 10.Оцінка точності зрівноважених елементів

Середня

квадратична похибка одиниці ваги

m=	0,447716

Середня	квадратична похибка коефіцієнта а
ma=	0,676073

Се редня квадратична похибка коефіцієнта в
mb=	4,900198
Середня квадратична похибка коефіцієнта с
mc=	11,4082
Середня квадратична похибка коефіцієнта d
md=	8,472532

Абрамович К.П.

Дослідження точності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методом статистичних випробувань Монте Карло

Модель ППП 051- 1

Комп’ютерний набір, Верстка і макетування та дизайн в редакторі Microsoft®Office® Word 2003 Абрамович Катерина

Міжнародний Економіко-Гуманітарний Університет ім.акад. С.Дем’янчука

Кафедра математичного моделювання

,м.Рівне,вул..акад. С.Дем’янчука,4.

1. нафтові чи синтетичні оливи 3 Як називаються пластичні мастила загушені натрієвим милом консталіни 4 Як
2. Доклад- Интуитивное письмо как медитационная практика
3. Реферат на тему- ldquo;Суть і значення травлення
4. управленческих и правовых дисциплин ИНФОРМАЦИОННАЯ ЭВРИСТИКА Учебно методич
5. . Ананьева Анна СПбГУСЭ 79817772828
6. тематичних наук Київ~8 Дисертацією є рукопис Роботу виконано в Інституті фізики нап
7. Теоретические основы организации игровой деятельности
8. СФЕРА Москва ~ 2002 Джебран Хал иль Джебран 18831931 ~ выдающийся арабоамериканский писатель поэт
9. Издание классических литературных текстов в интернете
10. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ 3
11. Тема3 Оценка сложных систем
12. История волжского казачьего войска
13. Поняття та предмет статистики
14. .2009 56 Список документов цитированных в отчете о поиске- RU 2229759 С1 27
15. а [5] Трансформаторы сухие с высшим напряжением 6 15 кВ [6] Трансформаторы маслонаполненные с
16. Реферат Сахарный диабет, 2 часть
17. .Ф. Каптерев Ю.К.Бабанский В.
18. Молодое поколение выбирает
19. Проектирование усилителя мощности на основе ОУ
20. ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФИЛИАЛ

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе