Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вариант № 24
1. Найти область определения функции : .
Область определения данной функции определяется неравенствами и . Умножим первое неравенство на 2 и освободимся от знака модуля: . Из левого неравенства находим или . Из правого неравенства или . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .
2. Построить график функции: .
Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Построим сначала график функции . Затем части графика, лежащие в нижней полуплоскости отразим зеркально по отношению к оси OX в верхнюю полуплоскость. Получим график функции . Отразим его полностью зеркально по отношению к оси OX в нижнюю полуплоскость. Получим график функции .
Ответ: Последовательность построения графика представлена на рисунках.
3. Построить график функции: .
Область определения функции – вся числовая ось: . Функция обращается в нуль в точке . График функции симметричен относительно прямой . Поэтому достаточно построить график в области , затем отобразить его влево зеркально по отношению к этой прямой. Строим сначала график функции . Затем сдвигаем его по оси ОХ на 2 единицы вправо. Затем отображаем его симметрично влево от прямой . Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.
4. Построить график функции: .
Исключим параметр t: . Таким образом, получили уравнение прямой: . Заданная функция представляет только отрезок этой прямой, так как всегда .
Ответ: График представлен на рисунке.
5. Построить график функции: .
При будет , и при будет . Это раскручивающаяся спираль. Для построения графика сделаем таблицу.
|
φ |
0 |
π/2 |
π |
3π/2 |
2π |
|
ρ |
1 |
2 |
4 |
Заметим, что при увеличении аргумента на π значение функции ρ удваивается. Это облегчает построение графика.
Ответ: график представлен на рисунке.
6. Вычислить предел: .
Возведём все скобки в степени и приведём подобные:
. Ответ: .
7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:
. Ответ: .
8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Дополним числитель до разности кубов, умножая числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы:
. Ответ: .
9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Преобразуем выражение и воспользуемся первым замечательным пределом: :
. Ответ: .
10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).
Приведём предел ко второму замечательному пределу: :
. Ответ: .
11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Сделаем замену переменной: . Тогда
| ln(t+1)~t|=. Ответ: .
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничных точках области определения: ,. Таким образом, в точках x=0 и x=2 функция имеет разрывы второго рода. Прямые x=0 и x=2 являются вертикальными асимптотами. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Прямая y=1 и x=2 является горизонтальной асимптотой.
Ответ: В точках x=0 и x=2 функция имеет разрывы второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция f(x) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:
. Таким образом, в точке x=1 функция остаётся непрерывной.
Ответ: Функция непрерывна во всех точках области определения. Эскиз графика представлен на рисунке.
14. Исходя из определения производной, найти :
.
По определению . Заменим Δx на x-x0:
. Но , поэтому . В данном случае , следовательно, производная не существует. Ответ: не существует.
15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда y: .
Ответ: .
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :
.
Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:
. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .
Ответ:
17. Функция y(x), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .
Дифференцируем уравнение по x, предполагая, что y= y(x):
. Или . Из этого равенства находим:
. Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .
Примечание: Точка не удовлетворяет уравнению функции!!!
18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .
По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (0∞). Преобразуем предел:
. Найдём предел в показателе степени:
. Следовательно, .
Ответ: .
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (∞-∞):
.
Ответ: .
21. Многочлен по степеням x представить в виде многочлена по степеням : .
Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .
Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .
Ответ: .
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки x0 с точностью до : .
Применяем формулу Тейлора:
.
Вычисляем последовательно:
.
Ответ:
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .
Найдём значения функции и её первых трёх производных в заданной точке:
,. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (0, 2) функция ведёт себя как степенная функция третьей степени. Точка (0, 2) является точкой перегиба. Слева от этой точки интервал вогнутости, справа – интервал выпуклости графика функции.
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
Заметим, что . По формуле Тейлора . Далее, . Подставим это в предел: . Ответ: .
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .
Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничной точке области определения: . Отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой. Исследуем функцию при : . Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.
26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .
1. Область определения: . 2. Функция нечётная, периодичность отсутствует. 3. Исследуем функцию в точке разрыва: . Вертикальных асимптот нет.
4. . Ищем наклонные асимптоты в виде :
. Следовательно, прямая является наклонной асимптотой.
5. Первая производная . Производная обращается в нуль не обращается. В области определения функция монотонно возрастает, так как везде . Экстремумов нет.
6. Вторая производная: . Вторая производная обращается в нуль в точках и . Производная не существует в точке . Имеем четыре интервала: в интервале вторая производная - график функции вогнутый, в интервале вторая производная - график функции выпуклый, в интервале вторая производная - график функции вогнутый, в интервале вторая производная - график функции выпуклый. Точки , , являются точками перегиба. Значения функции в точках перегиба соответственно равны: .
7. График функции пересекает оси координат в точке (0, 0).
Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремумов нет, точки перегиба - , , .