У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тематическая статистика для специальности 230401 ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ ПО ОТРАСЛЯМ по программе баз

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-03-05

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 6.3.2025

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования Ярославской области

Ярославский градостроительный колледж

Учебно-методическое пособие по организации самостоятельной внеаудиторной работы студентов

по дисциплине

«Теория вероятностей

и математическая статистика»

для специальности

230401 ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ (ПО ОТРАСЛЯМ)

по программе базовой подготовки

Идентификационный номер

ДСМК-2.4 ИС ЕН.03


	Номер экземпляра:

	Место хранения:

Ярославль 2013 г.

Рассмотрено и одобрено

на заседании кафедры ОБЩ

Протокол № __ от __________ г.

Руководитель кафедры:

____________ Шереметьева Н.В.

Составитель:

преподаватель Шереметьева Н.В.

Аннотация

Данная работа представляет собой учебно-методическое пособие по организации самостоятельной внеаудиторной работы студентов по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для специальности 230401 «Информационные системы» (по отраслям).

Работа включает в себя рекомендации по работе с данным учебным пособием, задания для самостоятельной внеаудиторной работы, методические рекомендации по их выполнению с образцами типовых задач, основными правилами и формулами, а также критериями оценки выполнения самостоятельной работы.

Материалы, изложенные в пособии, помогут студентам систематизировать и закрепить полученные на аудиторных занятиях по теории вероятностей и математической статистике теоретические знания, сформировать практические навыки, активизировать учебно-познавательную деятельность.

СОДЕРЖАНИЕ

Пояснительная записка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	4
Рекомендации по работе с учебно-методическим пособием . . . . . . . . . . . . . . . .	6
Рекомендации по выполнению разных видов самостоятельной работы . . . . .	7
Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
Раздел 1. Элементы комбинаторики
Задание 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	11
Задание 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
Раздел 2. Основы теории вероятностей
Задание 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
Задание 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	15
Задание 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
Задание 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	20
Задание 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22
Задание 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	23
Раздел 3. Дискретные случайные величины
Задание 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	25
Задание 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	27
Задание 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
Раздел 4. Непрерывные случайные величины
Задание 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	32
Задание 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	33
Задание 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	35
Раздел 5. Центральная предельная теорема
Задание 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	35
Раздел 6. Выборочный метод. Статистические оценки параметров распределения
Задание 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	36
Задание 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	39
Задание 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	41
Задание 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
Раздел 7.Моделирование случайных величин. Метод статистических испытаний
Задание 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43
Критерии оценки выполнения самостоятельной работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .	46
Список рекомендуемой литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	47
Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	48

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Согласно требованиям Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования каждый студент обязан выполнить по каждой учебной дисциплине определенный объем внеаудиторной самостоятельной работы.

Методические указания по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы составлены для студентов специальности 230401 «Информационные системы» (по отраслям). Цель методических указаний состоит в обеспечении эффективности самостоятельной работы, определении ее содержания, установления требований к оформлению и результатам самостоятельной работы.

Целями самостоятельной работы студентов по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» являются:

систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических навыков;
развитие навыков применения полученных знаний при решении конкретных прикладных задач;
углубление и расширение теоретических знаний;
формирование умений использовать справочную и дополнительную литературу;
развитие познавательных способностей и активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности и самоорганизации;
активизации учебно-познавательной деятельности будущих специалистов.

Рабочей программой дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» предусмотрены следующие виды внеаудиторной самостоятельной работы:

изучение материала лекций или учебника;
решение вероятностных задач;
выполнение домашних контрольных работ;
выполнение проектной работы.

Каждое задание включает в себя:

название раздела (в соответствии с рабочей программой);
название темы;
цель выполнения работы;
формулировку заданий для самостоятельной внеаудиторной работы:

- задания, предполагающие актуализацию теоретических знаний;

- задания для письменного решения;

- экспериментальные задания;

- дополнительные задания повышенного уровня сложности;

методические указания по выполнению работы;
список литературы.

Хочется верить, что данное пособие поможет студентам в правильной организации их самостоятельной работы, даст возможность получить прочные и глубокие знания, добиться хорошо сформированных умений по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика», а главное - может послужить ступенькой к их дальнейшему самосовершенствованию и творческой самореализации.

ТЕМАТИКА И ОБЪЁМ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ВНЕАУДИТОРНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Название раздела и темы	№ зада-ния	Тематика самостоятельной внеаудиторной работы	Объем в часах	Виды отчётных работ
Введение	1	Исследование частоты букв русского алфавита	1	отчёт об исследовании
Раздел 1. Элементы комбинаторики
Тема 1.1. Основные понятия комбинаторики	2	Основное правило комбинаторики, размещения, перестановки, сочетания без повторений	2	решение задач
3	Размещения, перестановки, сочетания с повторениями	1	решение задач
4	Задачи на применение формул комбинаторики	1	решение задач
Раздел 2. Основы теории графов
Тема 2.1. Основные понятия теории графов	5	Исследование графов на связность и эйлеровость	1	решение задач
6	Задание графов и деревьев	1	генеалогическое дерево
Раздел 3. Основы теории вероятностей
Тема 3.1. Случайные события. Понятие вероятности события	7	Виды событий, алгебра событий	1	решение задач
8	Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности	1,5	решение задач
9	Вычисление вероятностей событий методом графов	1,5	решение задач
Тема 3.2. Вероятности сложных событий	10	Теоремы сложения и умножения вероятностей	3	решение задач
11	Вычисление вероятностей сложных событий с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса	2	решение задач
Тема 3.3. Схема Бернулли	12	Вычисление вероятностей в схеме Бернулли	1	решение задач
13	Приближённые формулы в схеме Бернулли	1	дом к.р. №1
Раздел 4. Дискретные случайные величины (ДСВ)
Тема 4.1. ДСВ: закон и функция распределения	14	Закон распределения и интегральная функция ДСВ	1	решение задач
Тема 4.2. Числовые характеристики ДСВ	15	Нахождение числовых характеристик ДСВ	2	дом к.р. №2
Тема 4.3. Законы распределения ДСВ	16	Запись распределения и вычисление характеристик для биномиальной ДСВ	1	решение задач
17	Запись распределения и вычисление характеристик для геометрически распределённой ДСВ	1	решение задач
18	Запись распределения и вычисление характеристик для ДСВ	1	решение задач
Раздел 5. Непрерывные случайные величины (НСВ)
Тема 5.1. НСВ: функции распределения	19	Геометрическое определение вероятности	1	решение задач
20	Вычисление вероятностей, запись функции плотности и интегральной функции распределения ДСВ	2	решение задач
Тема 5.2. Числовые характеристики НСВ	21	Нахождение числовых характеристик НСВ	2	решение задач
Тема 5.3. Законы распределения НСВ	22	Нахождение числовых характеристик для равномерно и показательно распределенной НСВ	1,5	решение задач
23	Нахождение числовых характеристик для нормально распределенной НСВ	1,5	решение задач
Раздел 6. Закон больших чисел
Тема 6.1. Закон больших чисел	24	Неравенство Чебышева, статистическое определение вероятности	1	решение задач
Раздел 7. Основы математической статистики
Тема 7.1. Основы математической статистики	25	Сбор и обработка статистических данных	2	проект
26	Интервальное оценивание М(Х) и вероятности события	2	решение задач
Итого	37

Уважаемые студенты!

Прежде чем приступить к выполнению заданий, прочтите рекомендации по работе с данным учебно-методическим пособием.

Главное, чему Вы должны научиться при изучении теории вероятностей – умению мыслить, анализировать, рассуждать, и, конечно же, решать интереснейшие вероятностные задачи.

Каждая задача по теории вероятностей – особенная, и нужно постараться найти путь, ключ к ее решению.

Последовательно выполняя задания из предложенного пособия, вы изучите азы науки, начавшейся с оценки шансов на победу в азартных играх, и постепенно внедрившуюся во все сферы окружающего нас мира.

Не торопитесь сразу же решать задачи, заданные преподавателем!

Внимательно изучите теоретический материал!

Такие задания в пособии обозначены символом .

Затем постарайтесь самостоятельно решить задачи.

Не забудьте выписать исходные данные, решение, ответ.

Задания для письменного решения обозначены в пособии символом .

Если Вы никак не можете отыскать ключ к решению задачи, внимательно прочтите

методические указания по выполнению работы. В них вы найдете:

основные правила, формулы, теоремы;
указания, как решать задачи данного типа;
разобранные примеры решения ключевых задач.

Если Вас заинтересовала эта тема, Вы хотите испытать себя и решить более сложные задачи, то попробуйте решить задачи, обозначенные символом .

Если Вы хотите узнать о критериях оценки, которые поставит Вам преподаватель за выполненную работу, обратитесь к критериям оценки (стр. 46)

Помните, что работа должна быть выполнена к следующему занятию по дисциплине!

Успехов Вам!!!

Если знания, полученные на занятии, не кажутся Вам исчерпывающими, обратитесь

к списку рекомендуемой литературы (стр. 47).
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗНЫХ ВИДОВ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Как самостоятельно изучить теоретический материал

Прежде чем приступать к решению задач, необходимо внимательно изучить теоретический материал учебника или конспект лекции.

Советуем Вам соблюдать следующие правила:

Правило 1. Внимательно прочтите материал несколько раз. Это не займет много времени, но совершенно необходимо, так как, какими бы большими математическими способностями ни обладал человек, после одного - двух прочтений нового материала обычно невозможно полноценно усвоить его содержание.

При первом прочтении нужно ставить цель - понять, а не запомнить. Обычно для достижения хорошего понимания материала одного прочтения мало. К тому же часто приходится, полистав книгу или конспект лекций, припомнить кое-что из ранее изученного.

А для того, чтобы хорошо запомнить главное (основные утверждения, формулы и т.п.) необходимо второе, а иногда и третье прочтение.

Правило 2. Повторите по памяти формулировку основных правил, понятий, теорем из изученного параграфа. Только тогда вы приобретете знания, ради которых изучается курс.

Правило 3. Разберите типовые примеры и решение ключевых задач по данной теме. Тогда Вы поймете, как усвоенные теоретические знания могут применяться в различных ситуациях.

Правило 4. Ответьте на контрольные вопросы, не заглядывая в книгу или в тетрадь. Обычно контрольные вопросы приведены в конце каждого параграфа учебника. Попробуйте оценить свои знания, сравнив свой ответ с текстом книги или конспекта лекции.

Правило 5. Самостоятельно решите предложенные задачи по данной теме.

Только при выполнении всех этих правил Вы можете быть уверены, что теоретический материал по данной теме Вами усвоен.

2. Как решать задачи (методика Д. Пойа)

Понимание постановки задачи
Нужно ясно понять задачу	Внимательно прочтите условие задачи. Четко определите для себя, что дано в условии задачи, а что требуется найти. Спросите себя, что означают понятия, о которых идет речь в задаче. И ответьте себе. Если же ответить сразу не удается, то ответ надо поискать, например, в теоретической части курса. Иначе для Вас задача может оказаться неразрешимой.
Составление плана решения
Нужно найти связь между данными и неизвестными. В конечном итоге нужно перейти к плану решения.	Ответьте на вопрос: как взаимосвязаны понятия в задаче? Именно благодаря взаимосвязи понятий задачу удается решить. Чаще всего такие взаимосвязи предстают в виде формул, формулировок теорем, а некоторые из них задаются формулировкой задачи. Знаете ли Вы теорему (теоремы), формулы, которые помогут в решении? Известна ли Вам похожая задача? Нельзя ли использовать метод ее решения? Все ли данные нами были использованы? Приняты ли во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?
Осуществление плана
Нужно осуществить план решения	Осуществляя план решения, контролируйте каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли вы доказать, что он правильный?
Взгляд назад (изучение полученного решения)
Нужно изучить найденное решение	Нельзя ли проверить найденный результат? Нельзя ли проверить ход решения? Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли увидеть его сразу?

Помните! Вы должны не только решить задачу, но и грамотно оформить ее решение.

Оформление решения задачи включает в себя:

запись исходных данных (чаще всего это проводимое испытание);
что требуется найти по условию задачи (чаще всего необходимо описать событие, вероятность которого просят найти, или случайную величину, закон распределения которой нужно составить);
собственно решение задачи с указанием используемых формул и теорем;
запись ответа.

3. Как выполнить домашнюю контрольную работу

Ознакомьтесь с темой работы.
Прочитайте цель выполнения работы.
Внимательно изучите задание (обратите внимание на номер своего варианта). Все ли понятия, о которых идет речь в задании, Вам известны? Если нет, то обратитесь к лекциям, учебнику или изучите материал, предлагаемый в указаниях по решению работы.
Ознакомьтесь с пояснениями к решению.
Приступите к выполнению работы (опираясь на приведенные формулы).
Проанализируйте полученные результаты: не получено ли противоречий с теорией? Проверьте правильность проведенных вычислений.
Продумайте выводы, которые можно извлечь из проделанной работы. Рекомендации о том, что должны содержать выводы, прочтите в инструкции к работе.
Оформите отчет о выполнении домашней контрольной работы в тетради для практических работ по следующему образцу:

Домашняя контрольная работа №___.

Тема «_____________________________________________»

Вариант №__.

Цель работы: _______________________________________________________________________

Решение

/помните, что Вы должны привести в решении все используемые формулы и записать все проведенные вычисления/

Выводы.

4. Как создать презентацию

Помните, что презентация – это последовательность слайдов с текстовой информацией и визуальными материалами (рисунками, фотографиями, диаграммами, видеороликами).

Презентация должна иметь следующую структуру:

титульный слайд (тема исследования, авторы, № группы);
основная часть:
цель исследования;
статистические данные в виде интервального или дискретного вариационного ряда;
геометрическая интерпретация статистических данных;
среднее значение и его интерпретация;
дисперсия и среднее квадратичное отклонение и их интерпретация.
выводы.

При подготовке презентации удобно соблюдать тот же порядок работы, что и при подготовке доклада.

При оформлении презентации продумайте, как будет представлена информация на каждом слайде. Используйте следующие рекомендации:

По содержанию информации:
используйте короткие слова и предложения, выражающие основную мысль;
минимизируйте количество предлогов, наречий, прилагательных;
дополните текстовую информацию визуальными материалами (фотографиями, формулами, рисунками…);
структурируйте информацию, выделяйте ключевые слова, термины, понятия.
По объёму информации:
не заполняйте один слайд слишком большим объемом информации;
используйте не более 7 строк на слайде.
По расположению информации на слайде:
отдавайте предпочтение горизонтальному расположению информации;
продумайте подписи изображений.
По оформлению слайдов:
соблюдайте единый стиль оформления презентации.
при выборе шрифта
1. используйте шрифты без засечек (Arial, Franklin и др.);
2. для заголовков – размером не менее 24 пунктов;
3. для информации – размером не менее 18 пунктов;
4. для выделения применяйте жирный шрифт или курсив.
при выборе цвета:
1. для фона выбирайте светлые тона;
2. для фона и текста используйте контрастные цвета;
3. на одном слайде применяйте не более трёх цветов.
при выборе эффектов анимации:
1. анимационные эффекты не должны отвлекать от содержания информации на слайде;
2. не применяйте анимации к заголовкам на пустом слайде.

5. Как составить кроссворд

Помните, что кроссворд, который Вы составите, должен соответствовать выбранной тематике. Решать его будут такие же как Вы студенты. Поэтому постарайтесь проявить максимум фантазии и творчества при его составлении и оформлении.

При составлении кроссворда удобно соблюдать следующий порядок работы:

Вспомните основные понятия теории вероятностей и математической статистики, фамилии людей, связанных с этой наукой, интересные исторические факты. Запишите их.
Придумайте форму кроссворда. Чем она интереснее, тем лучше!
Отберите 10-15 понятий и разместите их в заготовленную форму, при необходимости корректируя её.
Постарайтесь придумать интересную формулировку выбранным понятиям, но при этом смысл понятия теряться не должен. Чувство юмора приветствуется!
Оформите кроссворд на листе формата А4. Он должен содержать:
заголовок («Кроссворд по теме «____»);
фамилии, № группы авторов работы;
собственно кроссворд;
вопросы, на которые необходимо ответить.

На отдельном листе запишите ответы к заданиям кроссворда.

Помните, что при выставлении оценки за составление кроссворда учитывается не только правильность его составления, но и оригинальность, красочность его оформления.

6. Как подготовить доклад

Помните, что доклад – публичное сообщение на определенную тему.

Доклад имеет следующую структуру:

план;
основную часть;
выводы и обобщения.

При подготовке доклада удобно соблюдать следующий порядок работы:

Подберите литературу по изучаемой теме, познакомьтесь с ее содержанием.
Отметьте или выпишите ключевые моменты, раскрывающие данную тему. Продумайте, как можно изложить основной текст кратко, но с минимальными информационными потерями: что исключить? что обобщить?
Составьте план доклада.
Используя составленный план, напишите текст доклада:
в начале доклада необходимо обосновать выбор темы, показать ее актуальность; чтобы доклад был интересен слушателям, сформулируйте проблемный или оригинальный вопрос по теме выступления;
в основной части доклада раскройте каждый пункт плана; старайтесь использовать только понятную Вам информацию, иллюстрируя ее яркими, образными, запоминающимися примерами;
в заключении доклада кратко изложите основные мысли, затронутые в докладе; выразите свое отношение к излагаемой теме и ее содержанию; для резюмирования можно использовать фразы: «таким образом…», «итак…», «можно утверждать…», «основная идея, следовательно, сводится к следующему…», «подытожим сказанное…».
Прочитайте текст доклада и отредактируйте его.
Оформите текст доклада в соответствии со структурой. Если Вы будете набирать текст доклада на компьютере, то используйте шрифт Times New Roman № 12, междустрочный интервал одинарный, поля по 2 см, снизу по центру – нумерация страниц. По-возможности текст доклада могут иллюстрировать картинки и фотографии.
Оформите титульный лист следующим образом:

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования Ярославской области

Ярославский градостроительный колледж

Доклад на тему «_______________________»

Дисциплина: Теория вероятностей

и математическая статистика

Выполнил: студент группы ___

__________________________

Проверил: преподаватель

____________________________

Ярославль, ____ год

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Введение

Задание 1. Исследование частоты букв русского алфавита – 1 ч.

Цель: формирование представлений о теории вероятностей как науке, выявляющей закономерности в случайных явлениях.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

1.1. Разберите, какие разделы математики называют теорией вероятностей и математической статистикой, какова история развития науки и сферы её применения в других областях знаний.

Основные сведения из теории:

1.2. Закончите высказывания:

а) Математическая статистика – раздел математики, изучающий …

б) Теория вероятностей – раздел математики, изучающий …

в) Этапы развития теории вероятностей (ТВ):

I (середина – конец XVII века) – возникновение ТВ - характеризуется …, связан с именами великих математиков …
II (XVIII – середина XIX века) – становление ТВ как науки - характеризуется …, связан с именами великих математиков …
III (середина – конец XIX века) – развитие ТВ в Петербургской математической школе - характеризуется …, связан с именами великих математиков …
IV (XX - XXI век) –современный период развития теории вероятностей - характеризуется …, связан с именами великих математиков …

г) Теория вероятностей и математическая статистика используется в науках: …

Примеры и упражнения:

1.3. Проведите следующий эксперимент:

Выберите два текста, содержащие по 1000 символов (включая пробелы).
Выпишите 4 буквы русского алфавита, которые кажутся Вам наиболее распространёнными, 4 буквы со средней частотой использования, 2 редко используемые буквы (всего 10 букв).
Составьте программу или посчитайте вручную, сколько раз в каждом тексте встретились выбранные Вами буквы. Внесите данные в таблицу:

Буква	Число символов текста (п)	Первый текст	Второй текст
Сколько раз встретилась буква (т)	Частота использования буквы в тексте	Сколько раз встретилась буква (т)	Частота использования буквы в тексте
«…»	1000	…	…	…	…
«…»	1000	…	…	…	…

Найдите частоту, с которой встречается каждая буква в тексте по формуле , где – число символов в тексте (п = 1000), т – число, показывающее, сколько раз данная буква встретилась в тексте.
сделайте выводы о частоте букв русского алфавита (обладает ли она устойчивостью, какие буквы самые, какие менее распространённые в русском языке).
подготовьте отчёт о проделанной работе, содержащий
данные о студенте, выполнившем работу (фамилия, имя, номер группы);
2 выбранных текста по 1000 символов;
отчётную таблицу;
текст используемой программы (при использовании возможностей ПК);
выводы о проделанной работе;

и пришлите его на электронную почту преподавателя или сдайте на бумажном носителе.

Список литературы:

Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Введение, с. 7-13.
Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. – Глава 1, §1.1, с. 8-9.

Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Тема 1.1. Основные понятия комбинаторики

Задание 2. Основное правило комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания без повторений – 2 ч.

Цель: формирование умения применять основное правило комбинаторики (правило произведения) определять тип комбинаторного объекта и рассчитывать количество выборок без повторения заданного типа в заданных условиях.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

2.1. Повторите основное правило комбинаторики. Вспомните, какие основные понятия комбинаторики существуют. Проанализируйте, чем отличаются размещении, перестановки и сочетания. Как рассчитать их число?

Основные сведения из теории:

2.2. Закончите высказывания:

а) Комбинаторика – раздел математики, изучающий ….

б) Правило произведения: пусть требуется выполнить … . Если первое действие может быть выполнено … способами, второе - … способами и т.д., то все … действий могут быть выполнены … способами.

в) Пусть из элементов некоторого множества производят выборку объектов. Если элементы в выборке не повторяются, то для решения комбинаторных задач используют ….

г) В размещениях и перестановках порядок внутри выборки …, а в сочетаниях - …

д) Факториал натурального числа – произведение …

е) Число размещений из п элементов по т находят по формуле: …

ж) Число сочетаний из п элементов по т находят по формуле: …

з) Число перестановок из п элементов находят по формуле: …

Примеры и упражнения:

2.3. Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W. Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из латинских

а) трех букв, причем эти буквы могут повторяться;

б) четырех букв, которые не повторяются?

2.4. У людоеда в подвале томятся 20 пленников. Сколькими способами он может выбрать трех из них

а) одного на завтрак, одного на обед, одного на ужин?

б) чтобы отпустить на свободу?

2.5. На поле 5 игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке с помощью стрелок изображен один из возможных вариантов передачи шайбы между игроками. Сколько всего вариантов передачи возможно?

2.6. В автомашине 5 мест. Сколькими способами пять человек могут разместиться в машине, если занять место водителя может только один из них?

2.7. У англичан принято давать детям несколько имён. Сколькими способами можно назвать ребёнка, если общее число имён равно 300, а ребёнку дают

а) одно; б) два; в) три; г) не более трёх имён?

2.8. Восемь студентов группы ИС1-31 решили сыграть в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека?

2.9. Туристы запланировали посетить 5 храмов г. Ярославля: церковь Ильи Пророка, Успенский собор, церковь Богоявления, Иоанна Предтечи, Никола - рубленый город. Обязательное условие – посещение церкви Ильи Пророка и Успенского собора должны идти сразу друг за другом (возможен вариант – сначала – посещение Успенского собора, потом сразу за ним - церкви Ильи Пророка). Сколько вариантов маршрута существует у туристов?

2.10. На вечеринку собралось 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

Методические указания по выполнению работы:

Комбинаторика – раздел математики, изучающий вопрос о существовании и подсчёте числа комбинаций, которые можно составить из элементов данного множества.

При решении задач по комбинаторике проанализируйте:

Каково исходное множество и сколько элементов оно содержит (п).
Какие выборки производят из элементов данного множества и сколько элементов в выборке (т).
Если элементы в выборке могут повторяться, и порядок в выборке важен, то для решения используйте правило произведения: Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе – n2 способами и т.д., то все k действий могут быть выполнены n1 n2 n3… nk способами.
Если элементы в выборке не повторяются, используйте размещения, перестановки или сочетания. Проанализируйте, важен ли порядок внутри каждой выборки. Для этого возьмите любую конкретную выборку и поменяйте два элемента местами. Если от этого смысл изменится, то порядок в выборке важен, если не изменится – не важен. Вам поможет следующая таблица:

Размещения

число размещений

упорядоченность выборки

Перестановки

число перестановок

упорядоченность выборки

Сочетания

число сочетаний

упорядоченность выборки

–

Где n! - факториал () - произведение натуральных чисел от 1 до n (n! = 1∙2∙3∙…∙( n – 1)∙ n).

Пример 2.1. Из Москвы в Париж ведут 4 пути, а из Парижа в Лондон два. Сколькими способами можно добраться из Москвы в Лондон, заезжая в Париж?

Решение.

Определяем количество действий k. В нашем примере k = 2, т.к. по условию нужно выполнить 2 действия: первое – путешествие из Москвы в Париж, второе – путешествие из Парижа в Лондон.
Определяем, сколькими способами можно выполнить каждое действие, т.е. находим n1 и. n2. Первое действие – путешествие из Москвы в Париж – можно выполнить 4 способами, т.к. из Москвы в Париж ведут 4 пути, значит n1 = 4. Второе действие – путешествие из Парижа в Лондон - можно выполнить 2 способами, т.к. из Парижа в Лондон ведут 2 пути, следовательно, n2 = 2.
Пользуемся правилом произведения: наши 2 действия можно выполнить n1 n2 способами, следовательно, из Москвы в Лондон с заездом в Париж ведут 24 = 8 дорог.

Пример 2.2. В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами может определиться тройка призеров?

Решение. Переведем задачу на язык комбинаторики. Исходное множество - 16 команд первенства России - содержит 16 элементов (п = 16).

Из элементов данного множества мы составляем наборы (тройки призеров) по 3 элемента, следовательно, т = 3. Элементы внутри выборки не повторяются (одна и та же команда не может занять 2 призовых места).

Смотрим, важен ли порядок элементов в каждом наборе. Например, возьмем набор команд Спартак, Динамо, Шинник. Это значит, что Спартак занял в чемпионате первое место, Динамо – второе, Шинник – третье. Если мы изменим порядок следования команд в наборе, получим совершенно другое распределение мест. Следовательно, порядок элементов в каждом наборе нам важен, мы имеем дело с размещениями из 16 по 3. Их число находим как по формуле : .

Итак, тройка призеров в чемпионате России по футболу может определиться 3360 способами.

Пример 2.3. На рабочем столе пользователя компьютера находится 7 ярлыков. Сколькими способами он может разместить их в один столбец?

Решение. Выделим исходное множество – 7 ярлыков на рабочем столе (п = 7).

Их необходимо разместить на 7 мест, т.е. составлять наборы по 7 элементов (т = 7). Элементы внутри выборки не повторяются (ярлык на одну программу не встречается 2 раза).

Порядок следования ярлыков в каждом наборе важен, поэтому мы имеем дело с размещениями всех 7 элементов, или с перестановками Р7. Количество таких перестановок находим по формуле: . Тогда Р7 = 7! = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7 = 5040.

Итак, пользователь может разместить ярлыки на рабочем столе 5040 способами.

Пример 2.4. В соревнованиях по футболу участвуют 4 команды: Шинник, Спартак, Динамо, Алания. Сколько матчей будет сыграно, если турнир, организован по круговой системе (каждый участник встречается с каждым 1 раз)?

Решение. Исходное множество представляет собой 4 команды, следовательно, состоит из 4 элементов (п = 4).

Из элементов этого множества мы составляем пары команд, участвующих в турнире, т.е. т = 2. Элементы внутри выборки не повторяются (команда не играет сама с собой).

При проведении турнира по круговой системе каждый участник встречается с каждым и порядок их вхождения в пару не важен. Пара Ш-С и С-Ш – одна и та же. Поэтому мы имеем дело с сочетаниями. Их число находим по формуле Следовательно, по круговой системе потребуется провести встреч.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 1, §1.1, с. 15 - 19.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.8, с. 20 - 24.

Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Тема 1.1. Основные понятия комбинаторики

Задание 3. Размещения, перестановки, сочетания с повторениями – 1 ч.

Цель: формирование умения определять тип комбинаторного объекта и рассчитывать количество выборок с повторениями заданного типа в заданных условиях.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

3.1. Проанализируйте, когда используются размещения, перестановки и сочетания с повторениями. Как рассчитать их число?

Основные сведения из теории:

3.2. Заполните таблицу:

Размещения с повторениями

число размещений

упорядоченность выборки

…

Перестановки с повторениями

число перестановок

где т1+ т2+…+ mk = …

…

упорядоченность выборки

Сочетания с повторениями

число сочетаний

…

упорядоченность выборки

Примеры и упражнения:

3.3. Сколько различных трёхзначных номеров для автомобилей одной серии можно составить из нечётных цифр?

3.4. Для награждения 12 лучших спортсменов колледжа администрация подготовила 5 одинаковых мячей, 3 набора для бадминтона и 4 набора для тенниса. Сколькими способами этими подарками можно наградить 12 лучших спортсменов колледжа?

3.5. Дима решил на день рождения подруги сам составить и оформить красивый букет, в который могут входить только её любимые цветы: хризантемы, герберы и розы. Дима решил купить 7 цветов. Сколько вариантов подбора цветов для букета есть у Димы?

3.6. Сколькими способами можно расставить белые фигуры на первой линии шахматной доски (короля, ферзя, 2 коней, 2 ладьи, 2 слона)?

3.7. Сколькими способами Шереметьева Н.В. может поставить оценки на экзамене по теории вероятностей и математической статистике 30 студентам группы ИС1-31?

3.8. Три юноши и две девушки группы ИС1-41 подыскали для прохождения практики 7 организаций: «Дельта1», «Дельта2», «Дельта3», «Корунд1», «Корунд2», «Лидер1» и «Лидер2». Но в «Дельте» согласились взять только юношей, в «Корунде» - только девушек, а «Лидер» готов принять любых студентов независимо от пола. Сколько способов распределения 5 данных студентов на практику существует?

Методические указания по выполнению работы:

Иногда в выборках допускается повторение элементов, что является достаточно естественным (например, в телефонных и автомобильных номерах возможно использование одной цифры несколько раз).

Размещениями с повторениями называют упорядоченные выборки по т элементов из исходного множества п элементов, где некоторые из элементов могут оказаться одинаковыми.

Число размещений с повторениями обозначается и находится как

Пример 3.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1 и 2?

Решение. Примерами таких трехзначных чисел могут служить 111, 112, 221 и т.д.

Найдем п – число элементов исходного множества, п=2 (т.к. числа состоят только из цифр 1 и 2).

Найдем т – число элементов в каждой выборке, т=3 (т.к. составляются трехзначные числа).

Определяем, важен ли порядок элементов в каждой выборке. Числа 112 и 211 состоят из одних и тех же цифр, но эти числа различны, т.к. порядок цифр в них разный. Следовательно, порядок элементов в каждой выборке важен. Значит, мы имеем дело с размещениями, а поскольку цифры 1 и 2 в каждом трехзначном числе могут повторяться, то перед нами размещения с повторениями:

Ответ: из цифр 1 и 2 можно составить 8 трехзначных чисел.

Пусть в исходном множестве содержится п элементов, при этом первый элемент встречается т1 раз, 2-й – т2 раз, а k-й – mk раз (т1+ т2+…+ mk = п), то число перестановок с повторениями Рт1,т2,…,тk находится следующим образом:

Пример 3.2. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА»?

Решение. Исходное множество состоит из букв слова «МАТЕМАТИКА». Их ровно 10, следовательно п=10.

Заметим, что если бы все буквы были различны, то получили бы Р10 новых «слов». Но буква «М» употребляется в «слове» 2 раза, «А» – 3 раза, «Т» – 2 раза, оставшиеся три буквы – по разу. Следовательно, т1 = 2, т2 = 3, т3 = 2, т4 = т5 = т6 = 1. В данном примере порядок в каждом наборе 10 букв важен, значит, мы имеем дело с размещениями всех 10 элементов или с перестановками с повторением.

Искомое число перестановок будет равно

Ответ: 151200 «слов» можно получить, переставляя буквы в слове «МАТЕМАТИКА».

Число сочетаний с повторениями из п элементов по т выражается через число сочетаний без повторений:

Пример 3.3. 8 студенток решили купить себе по одному пирожному. Они зашли в кафе, где в продаже имеются 5 сортов пирожных. Сколько различных заказов официантке могут сделать студентки?

Решение. Исходное множество содержит 5 элементов (идет выбор из 5 пирожных), следовательно п=5.

Так как каждая студентка заказывает себе по одному пирожному, то каждая выборка включает в себя 8 элементов (8 пирожных), т.е. т=8. Смотрим, важен ли порядок элементов в каждой выборке. Поскольку официантке важно лишь сколько пирожных какого вида она должна принести, а порядок пирожных в каждом заказе не важен, то мы имеем дело с сочетаниями. Т.к. пирожные в одном и том же заказе могут повторяться, то перед нами сочетания с повторениями.

Таким образом,

Ответ: студентки могут сделать 495 различных заказов.

Список литературы:

Раздел 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Тема 1.1. Основные понятия комбинаторики

Задание 4. Задачи на применение формул комбинаторики – 1 ч.

Цель: формирование умения определять тип комбинаторного объекта и рассчитывать количество выборок заданного типа в заданных условиях, применяя формулы комбинаторики.

4.1. Проанализируйте, когда используются размещения, перестановки и сочетания без повторения и с повторениями. Как рассчитать их число?

Примеры и упражнения:

4.2. Сколько двузначных чисел можно составить из чётных цифр (2; 4; 6; 8) так, чтобы

а) использовались любые из них;

б) цифры не повторялись;

в) использовались одинаковые цифры?

4.3. Сколько можно составить «слов» (под «словом» понимаем любую комбинацию заданных букв) из букв слова «компьютер» так, чтобы

а) «слова» были пятибуквенные;

б) «слова» были девятибуквенные;

в) «слова» из пяти букв не начинались с «ь»?

4.4. Сколько можно составить «слов» из букв слова «программа» так, чтобы

а) «слова» были девятибуквенные;

б) девятибуквенные слова начинались с «г», заканчивались на «а»;

в) в «словах» из 9 букв две «м» шли подряд?

4.5. Сколькими способами можно выбрать из 8 девушек и 5 юношей активистов профкома троих для подготовки сценария к юбилею колледжа, если

а) все трое должны быть девушки;

б) в состав группы должны входить 2 девушки и 1 юноша;

в) в состав группы должен входить хотя бы один юноша?

Методические указания по выполнению работы:

Из всех задач по теории вероятностей задачи по комбинаторике легко узнаются по формулировке поставленного вопроса «Сколькими способами?», «Сколько вариантов?» и т.д. Ответ в таких задачах всегда выражается целым числом.

При решении комбинаторных задач удобно использовать следующую схему:

Список литературы:

Раздел 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Тема 2.1. Основные понятия теории графов

Задание 5. Исследование графов на связность и эйлеровость – 1 ч.

Цель: формирование умения задавать графы и деревья.

5.1. Изучите, что называют графом, каковы его основные элементы. Вспомните, что называют степенью вершины, какой граф называют связным, эйлеровым путём и эйлеровым циклом.

Примеры и упражнения:

5.2. Определите, какие графы можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги. Какие из них являются Эйлеровыми графами?

5.3. Может ли граф иметь только одну нечетную вершину?

5.4. На рисунке изображен план подземелья, в одной из комнат которого скрыты богатства рыцаря. После его смерти наследники нашли завещание, в котором было сказано, что для отыскания сокровищ достаточно войти в одну из крайних комнат подземелья, пройти через все двери, причем в точности по одному разу через каждую. Сокровища скрыты за той дверью, которая будет пройдена последней. В какой комнате были скрыты сокровища? Составьте граф для решения задачи. Выпишите путь, которым нужно пройти наследникам рыцаря, указывая пройденные вершины (например, 2-5-…).

Методические указания по выполнению работы:

Графом называется конечное множество точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки называются вершинами графа, а соединяющие линии – рёбрами.

Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а чётную степень – чётной.

Путь Эйлера — это путь, проходящий ровно один раз по каждому ребру. Если начало и конец такого пути совпадают, то путь называют циклом Эйлера. Путь и цикл Эйлера можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Дискретная математика: учебник для студ. СПО / М.С. Спирина , П.А. Спирин. - М.: Академия, 2012. – 368 с. – Гл. 2, §2.1, 2.3, стр. 69-78, 80-84.

Раздел 2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Тема 2.1. Основные понятия теории графов

Задание 6. Задание графов и деревьев – 1 ч.

Цель: формирование умения задавать графы и деревья.

6.1. Изучите, какой граф называют деревом, каковы его основные элементы.

Примеры и упражнения:

6.2. Составьте генеалогическое дерево своей семьи, состоящее не менее чем из четырёх ярусов. Оформите его красиво на листе формата А4 и сдайте преподавателю.

Методические указания по выполнению работы:

В качестве примера изучите генеалогическое дерево Александра Сергеевича Пушкина.

При составлении генеалогического дерева своей семьи обязательно включите в него следующее:

даты жизни членов Вашей семьи;
если есть возможность – фотографии родных, краткую информацию о них - род занятий, награды.

Соблюдайте структуру дерева, иерархию уровней. Критерии оценки выполняемой работы Вы найдёте на странице __.

Список литературы:

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.1. Случайные события. Понятие вероятности события

Задание 7. Виды событий. Алгебра событий – 1 ч.

Цель: усвоение понятий случайного события, видов событий, операций, выполнимых над событиями.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

7.1. Внимательно изучите теоретический материал по теме «Случайное событие. Виды событий. Алгебра событий».

7.2. Приведите свои примеры

испытания и связанных с ним случайного, невозможного, достоверного события;
событий равновозможных и неравновозможных;
событий попарно совместных и несовместных.

7.3. Составьте множество элементарных исходов, полученное при подбрасывании трех монет достоинством 1, 5, 10 коп.

7.4. На плоскости нарисовали два пересекающихся круга и наудачу стали бросать точку. Пусть событие А – точка попадет в первый круг, В – точка попадет во второй круг. Опишите, какой смысл имеют события , , , , , ? Проиллюстрируйте каждое из них диаграммами Эйлера-Венна.

7.5. По телеграфной сети передаются три сообщения. Событие А1 – первое сообщение передано правильно, А2 – второе сообщение передано правильно, А3 – третье сообщение передано правильно. Выразите через А1, А2 и А3 следующие события:

все три сообщения переданы без искажений;
во всех трех сообщениях есть искажения;
хотя бы одно сообщение передано без искажений;
ровно одно сообщение без искажений;
только третье сообщение без искажений;
третье сообщение без искажений;
хотя бы два сообщения без искажений.

Методические указания по выполнению работы:

Неразложимые исходы ω1,ω2,…,ωn некоторого эксперимента будем называть элементарными событиями, а их совокупность Ω = {ω1,ω2,…,ωn}- пространством элементарных исходов.

Пример 7.1. Составьте пространство элементарных исходов для испытаний: а) подбрасывание игральной кости; б) подбрасывание монеты 2 раза.

Решение: а) При подбрасывании игральной кости пространство элементарных исходов состоит из шести элементов: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

б) Подбрасываем монету два раза подряд, тогда Ω = {ГГ, ГР, РГ, РР}.

Над событиями выполнимы следующие операции:

Сумма событий А и В - новое событие, состоящее в выполнении или события А, или события В. А+В или А или В

2. Произведение событий А и В - новое событие, которое происходит только в том случае, если события А и В осуществляются одновременно. А∙В

и А и В

3. Противоположное по отношению к событию А - событие Ā, которое заключается в том, чтобы событие А не произошло.

не А

Пример 7.2. Испытание – наблюдение за двумя объектами.

А – обнаружение первого объекта, В – обнаружение второго объекта. В чем заключаются события , , , , ?

Решение. - обнаружение или первого, или второго объекта (хотя бы одного объекта);

- обнаружение и первого, и второго объекта (обнаружение обоих объектов);

- не обнаружить первый объект;

- обнаружить только второй объект;

- обнаружить ровно один объект (или первый, или второй).

Список литературы:

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.2-1.4, с. 9 - 15.

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.1. Случайные события. Понятие вероятности события

Задание 8. Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности – 1,5 ч.

Цель: формирование умения применять классическое определение и формулы комбинаторики для вычисления вероятностей событий.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

8.1. Выучите классическое определение вероятности события. Изучите, какими свойствами обладает вероятность события. Повторите известные вам элементы комбинаторики.

Основные сведения из теории:

8.2. Закончите высказывания:

а) Случайное событие – событие, которое …

б) Вероятностью события называют отношение числа исходов … к …

в) Вероятность события – число из промежутка … Вероятность достоверного события равна …, вероятность невозможного события - ….

Примеры и упражнения:

8.3.В году 365 дней. Наугад выбирается один из листков отрывного календаря. Найдите вероятность того, что число на листке равно 30.

8.4. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 7 прыгунов из Германии, 8 из России и 2 прыгуна из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать прыгун из России.

8.5. Слово «спаниель» составлено из букв разрезной азбуки. Наудачу извлекают карточки и складывают их друг за другом в порядке появления. Какова вероятность получить слово

а) «лес», если извлекают три карточки;

б) «апельсин», если извлекают все карточки?

8.6. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня, лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найдите вероятность того, что набраны нужные цифры.

8.7. В подгруппе 12 студентов, среди которых 3 отличника. Наудачу отбирают двух студентов. Найдите вероятность того, что среди отобранных студентов а) оба отличника; б) оба не отличника; в) ровно один отличник; г) хотя бы один отличник.

8.8. На кафедре работает 12 преподавателей. С какой вероятностью дни рождения каждого из них придутся на разные месяцы года?

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач необходимо знание классической формулы вероятности события:

Вероятностью события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих событию А (m), к числу всех несовместных равновозможных исходов данного испытания (n).

Эта формула носит название классического определения вероятности.

Свойства классической вероятности:

Если событие А – невозможное, то Р(А) = 0.
Если событие А – достоверное, то Р(А) = 1.
Вероятность любого события 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

При решении каждой вероятностной задачи выделите:

Каково испытание – комплекс условий, результатом которого является появление или непоявление события.
Выпишите случайное событие, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.
По формуле классического определения вероятности найдите вероятность данного события (определите значение параметров п и т).

Пример 8.1. Игральную кость подбрасывают один раз. Найдите вероятности следующих событий:

А – появление «6»;
В – появление четного числа очков;
С – появления не менее 5 очков.

Решение: При решении будем пользоваться формулой: .

Испытание – подбрасывание 1 раз игральной кости. Опыт имеет 6 равновозможных независимых исходов (появление 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков), образующих полную систему событий, следовательно, n = 6.

Событию А благоприятствует один исход – выпадение 2, значит m = 1. Тогда .
Событию В благоприятствует три исхода – выпадение 2, 4 или 6, значит m = 3. Тогда .
Событию С благоприятствует два исхода – выпадение 5 или 6, значит m = 2. Тогда .

Пример 8.2. В компьютерном классе стоит 10 компьютеров. 10 студентов рассаживаются за ними случайным образом. Какова вероятность того, что Оля будет сидеть радом с Колей?

Решение. Выделим испытание - разместить 10 студентов у 10 компьютеров. Искомое событие А - Оля будет сидеть радом с Колей.

Воспользуемся формулой: . Найдем значение m и n.

Всего возможных способов размещения 10 студентов у 10 компьютеров существует Р10 = 10!, следовательно, n = 10!

Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих событию А. Раз Оля обязательно должна оказаться рядом с Колей, объединим их вместе. Получили пару Оля + Коля и еще 8 остальных студентов. Их можно рассадить в аудитории 9! способами. Внутри пары Олю и Колю также можно поменять местами, тогда благоприятных исходов m будет 2·9!

Следовательно, .

Список литературы:

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.7, с. 18 – 19, §1.9, с. 28 – 30.

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.1. Случайные события. Понятие вероятности события

Задание 9. Вычисление вероятностей событий методом графов – 1,5 ч.

Цель: формирование умения применять метод графов для вычисления вероятностей событий.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

9.1. Повторите классическое определение вероятности события. Изучите материал о применимости метода графов к решению вероятностных задач.

Основные сведения из теории:

9.2. Закончите высказывания:

а) Наглядной интерпретацией проводимого испытания является …

б) На рёбрах графа проставляется … каждого исхода.

в) Граф обладает свойствами:

сумма вероятностей на рёбрах графа, исходящих из одной вершины, равна…
вероятность попадания из начальной вершины графа в конечную (вероятность исхода) можно вычислить, … вероятности, встречающиеся на ребрах графа;
если нужно вычислить вероятность события, которому благоприятствует несколько исходов, то вероятности этих исходов ….

Примеры и упражнения:

9.3. В подгруппе 12 студентов, среди которых 3 отличника. Наудачу отбирают двух студентов. Найдите вероятность того, что среди отобранных студентов а) оба отличника; б) оба не отличника; в) ровно один отличник; г) хотя бы один отличник.

9.4. В группе ИС1-21 есть добрая традиция: приносить в свой день рождения в колледж конфеты и угощать всех студентов и преподавателей. Первого – по старшинству – преподавателя. Сегодня День Рождения у Миши. Он купил 35 конфет «Белочка» и 30 «Мишка косолапый» и положил в один пакет. Наталье Владимировне было предложено взять наугад две конфеты. Какова вероятность того, что ей достанутся а) две «Белочки»; б) два «Мишки»; в) разные конфеты; г) хотя бы одна «Белочка».

9.5. (задача Гюйгенса). В урне 2 белых и 4 черных шара. Один азартный человек держит пари с другим, что среди вынутых 3 шаров будет ровно один белый. В каком отношении находятся шансы спорящих?

9.6. Действующие лица этой истории: звездочет, властелин, палач.

Властелин. Звездочет! Твои последние предсказания об ожидающих нас несчастьях опять не сбылись! Ты не способен читать книгу звезд. За свои ложные предсказания ты будешь казнен!

Звездочет. О, мудрый и справедливый повелитель! Помилуй меня! Язык звезд сложен и, тем не менее, иногда я делал правильные предсказания!

Властелин. В память о твоих заслугах, я даю тебе последний шанс. Вот тебе два черных и два белых шара. Ты должен их распределить по двум урнам.

Палач. Я выберу наугад одну из урн и вытащу из нее наугад один шар. Если шар будет черный, то тебя ожидает казнь. Если шар будет белый, то ты будешь помилован.

Звездочет. Дорогие студенты!!! Помогите! Умоляю – на Вас вся моя надежда! Каким образом я должен разместить шары в урнах, чтобы обеспечить себе максимальную возможность спастись? Переберите все варианты и оцените все вероятности. Да поможет Вам ГРАФ!

Методические указания по выполнению работы:

Облегчить решение многих вероятностных задач позволяет метод графов, делающий это решение наглядным и доступным.

При решении задач методом графов нужно:

построить дерево исходов;
на каждом ребре графа проставить вероятность соответствующего исхода;
при подсчете вероятностей использовать следующие правила:
сумма вероятностей на ребрах графа, исходящих из одной вершины, должна быть равна 1;
вероятность попадания из начальной вершины графа в конечную (вероятность исхода) можно вычислить, перемножая вероятности, встречающиеся на ребрах графа;
если нужно вычислить вероятность события, которому благоприятствует несколько исходов, то вероятности этих исходов складываются.

Пример 9.1. В корзине лежит 2 белых и 4 черных шара. Из нее случайным образом извлекают 2 шара. Какова вероятность того, что

оба шара белые (событие А);
оба шара черные (событие В);
шары разного цвета (событие С);
шары одного цвета (событие D).

Решение. Испытание – выбор двух шаров из корзины, содержащей 2 белых и 4 черных шара. Составим вероятностное дерево исходов.

1-й шар

2-й шар

исходы

вероятность

=Р(А)

+ =Р(С)

= Р(В)

Расставим вероятности на ребрах графа. При извлечении первого шара вероятность достать белый шар равна (в корзине из 6 шаров 2 белых), а черный - (в корзине из 6 шаров 4 черных).

Когда мы извлекаем второй шар, в корзине уже осталось 5 шаров. Если первый шар был белый, то в корзине осталось 4 черных и 1 белый шар, следовательно, вероятность достать белый шар равна , а черный - . Если первым был извлечен черный шар, то в корзине осталось 3 черных и 2 белых шара, следовательно, вероятность достать белый шар равна , черный - .

Проверим, верно ли мы расставили вероятности. Сумма вероятностей на ребрах графа, исходящих из одной вершины, равна 1, следовательно, все сделали верно.

В колонке «исходы» получили все возможные исходы данного испытания. Для вычисления вероятности каждого исхода, необходимо перемножить вероятности на ветвях графа.

По графу легко определить вероятности событий А (извлечь 2 белых шара) и В (извлечь 2 черных шара). Для нахождения вероятности события С (извлечь шары разного цвета) необходимо сложить вероятности второго и третьего исходов. Для нахождения вероятности события D (извлечь шары одного цвета) необходимо сложить вероятности первого и четвертого исходов: .

Список литературы:

Афанасьев В.В. Введение в теорию вероятностей с помощью графов / В.В.Афанасьев // Математика. – 1999. - №35. – С.8-12. – («Приложение к газете 1 сентября».)

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.2. Вероятности сложных событий

Задание 10. Теоремы сложения и умножения вероятностей – 3 ч.

Цель: формирование умения представлять сложные события через элементарные с помощью операций над событиями, вычислять вероятности сложных событий с использованием теорем сложения и умножения вероятностей.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

10.1. Повторите, какие операции можно выполнять над событиями. Выучите теоремы сложения вероятностей для совместных и несовместных событий, теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий, теорему о вероятности противоположного события.

10.2. Вероятность попасть в «десятку» равна 0,2, в «девятку» - 0,3, в «восьмерку» - 0,4. Определите вероятность при одном выстреле выбить а) не менее 9 очков, б) не менее 8 очков.

10.3. Из чисел 1, 2, 3,… 20 наудачу выбирается число. Найдите вероятность того, что оно делится на 2 или на 3.

10.4. Электронный прибор состоит из двух последовательно включённых блоков. Вероятность выхода из строя за месяц работы первого блока равна 1/3, второго – 1/4, обоих – 1/6. Найдите вероятность безаварийной работы прибора в течение месяца.

10.5. Кириллу подарили две коробки конфет. В первой лежит 10 конфет с тёмным шоколадом и 5 с молочным, а во второй – 5 конфет с тёмным шоколадом и 7 с молочным, одинаковые на вид. Кирилл угостил Алёну. Из каждой коробки Алёна выбрала по одной конфете. Найдите вероятность того, что:

а) обе конфеты с тёмным шоколадом;

б) обе конфеты с молочным шоколадом;

в) одна конфета с тёмным, другая с молочным шоколадом;

г) хотя бы одна конфета с молочным шоколадом.

10.6. В компьютере одновременно работают две независимые программы. Вероятность того, что первая программа даст сбой, равна 0,3, а вторая – 0,4. Найдите вероятность того, что:

а) обе программы дадут сбой;

б) обе программы проработают без сбоя;

в) ровно одна программа даст сбой;

г) хотя бы одна программа даст сбой;

д) хотя бы одна программа проработает без сбоя;

е) будет не более одного сбоя.

10.7. В автопробеге участвуют три автомобиля. Первый может сойти с маршрута с вероятностью 0,16, второй – с вероятностью 0,12, третий – с вероятностью 0,2. Определите вероятность того, что к финишу:

а) прибудут все автомобили;

б) прибудут два автомобиля;

в) прибудут по крайней мере два автомобиля;

г) прибудет не более двух автомобилей;

д) прибудет только один автомобиль;

е) прибудет более трёх автомобилей;

ж) не прибудет никто.

10.8. На столе преподавателя разложено 40 карточек с вопросами, из них 30 – по теории вероятностей, 10 – по статистике. Каждому студенту предлагается ответить на 2 вопроса. Студент вытащил первый вопрос по статистике. Какова вероятность того, что второй вопрос тоже будет по статистике?

10.9. Из букв разрезной азбуки составлено слово «параллелепипед». Какова вероятность того, что перемешав буквы и укладывая их наудачу в ряд, получим слово

а) репа;

б) парад?

Решите эту задачу с использованием теоремы произведения вероятностей зависимых событий.

10.10. Четыре брата определяют дежурного по квартире при помощи четырех спичек, одна из которых короче остальных. В равных ли условиях находятся братья? (Указание: методом графов оцените вероятность дежурить для каждого брата)

10.11. Из 15 инвестиционных фондов 5 – «пирамиды». Вы приобретаете по одной акции трёх фондов. Какова вероятность того, что среди приобретённых акций хотя бы одна - не акция «пирамиды»?

10.12. В жюри из трёх человек 2 члена независимо друг от друга принимают правильные решения с вероятностью 0,9, а третий для решения бросает монету. Окончательное решение жюри выносится большинством голосов. С другой стороны, некий судья принимает правильное решение с вероятностью 0,9. Кто с большей вероятностью принимает правильное решение: жюри или судья?

Методические указания по выполнению работы:

При решении вероятностных задач на теоремы сложения и умножения вероятностей:

Выделите испытание.
Выпишите случайное событие, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.
Определите, из каких более простых событий состоит данное событие.
Представьте данное событие в виде комбинации более простых событий, используя операции суммы, произведения или понятие противоположного события.
Примените соответствующие теоремы сложения (с учетом совместности или несовместности событий), умножения (с учетом зависимости или независимости событий) вероятностей или вероятности противоположного события.

При решении задач необходимо знание следующих теорем:

Теорема 1. Р(А+В) = Р(А) + Р(В), если А и В – несовместные события

Теорема 2. Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В), если А и В – совместные события

Применение теоремы 1 всегда требует проверки несовместности рассматриваемых событий.

Пример 10.1. В памяти компьютера в папке «Важное» находится 30 файлов. 5 из них имеют объем менее 5 страниц, 10 документов имеют объем от 5 до 10 страниц, остальные – более 10 страниц. Пользователь наугад открывает файл. Какова вероятность того, что он откроет документ объемом не менее 5 страниц?

Решение. 1. Выделим испытание – открыть файл из папки «Важное».

2. Искомое событие А – открытый документ имеет объем не менее 5 страниц.

3. Событие А можно разложить на более простые события А1 и А2, где

А1 – открыть документ объемом от 5 до 10 страниц,

А2– открыть документ объемом свыше 10 страниц.

4. Поскольку для осуществления события А необходимо выполнение или А1, или А2, то А = А1 + А2.

5. События А1 и А2 несовместны, т.к. не могут произойти одновременно. Тогда по теореме 1

Р(А) = Р(А1) + Р(А2).

Р(А1) = , Р(А2) = , следовательно, Р(А) = .

Пример 10.2. Найдите вероятность того, что при подбрасывании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет шестерка.

Решение. 1. Испытание - подбрасывание двух игральных костей.

2. Искомое событие А – выпадение хотя бы одной шестерки.

3. Разложим событие А на более простые события А1 и А2:

А1 – выпадение 6 очков на первом кубике,

А2 – выпадение 6 очков на втором кубике.

4. Поскольку для осуществления события А необходимо выполнение или А1, или А2, то А = А1 + А2.

5. Проверим, совместны ли события А1 и А2. По условиям испытания 6 очков может появиться или на одном кубике, или на обоих сразу, т.е. события А1 и А2 могут произойти одновременно, следовательно, эти события совместны. Тогда по теореме 2 Р(А) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1·А2).

Учитывая, что Р(А1) = Р(А2) = , Р(А1·А2)= , получим, что Р(А) = .

Теорема 3. Р(А) + Р(Ā) = 1

Теорема 4. Р(А·В) = Р(А) · Р(В), если события А и В независимы

Теорема 5. Р(А·В) = Р(А) · Р(В/А), если события А и В зависимы, где Р(В/А) - условная вероятность события В, вычисленная при предположении того, что событие А уже наступило.

Пример 10.3. В компьютерный класс решили приобрести 3 дополнительных компьютера, заказав их в трех разных фирмах. Вероятность того, что первая фирма выполнит заказ в срок, равна 0,9, вторая – 0,8, третья – 0,95. Найдите вероятность того, что:

все три компьютера будут доставлены в срок,
ни один компьютер не будет доставлен в срок.

Решение. 1. Испытание - приобретение трех компьютеров в разных фирмах.

2. Искомое события А - все три компьютера будут доставлены в срок.

3. Разложим событие А на более простые события:

событие А1 – первая фирма выполнит заказ в срок, Р(А1) = 0,9,

событие А2 – вторая фирма выполнит заказ в срок, Р(А2) = 0,8,

событие А3 – третья фирма выполнит заказ в срок, Р(А3) = 0,95.

4. Событие А произойдет только тогда, когда будут выполнены и событие А1, и событие А2, и событие А3. Следовательно, А = А1· А2· А3.

5. События А1, А2 и А3 независимы, т.к. осуществление или неосуществление любого из событий не влияет на вероятность осуществления остальных события. Тогда по теореме 4

Р(А) = Р(А1·А2·А3) = Р(А1) · Р(А2) · Р(А3),

Р(А) = 0,9·0,8·0,95 = 0,684.

6. Найдем вероятность события В – ни один компьютер не будет доставлен в срок. Событие В произойдет только тогда, когда и первый, и второй, и третий компьютеры не будут доставлены в срок. В решении появляются события, противоположные данным.

Событие Ā1 – первая фирма не выполнит заказ в срок, Р(Ā1) = 1 – 0,9 = 0,1

событие Ā2 – вторая фирма не выполнит заказ в срок, Р(Ā2) = 1 – 0,8 = 0,2,

событие Ā3 – третья фирма не выполнит заказ в срок, Р(Ā3) = 1 – 0,95 = 0,05.

Раз события Ā1, Ā2, Ā3 должны быть выполнены одновременно, то мы имеем дело с произведением этих событий, т.е. В = Ā1· Ā2· Ā3 .

События Ā1, Ā2, Ā3 независимы, поэтому по теореме 4 Р(В) = Р(Ā1·Ā2·Ā3) = Р(Ā1) · Р(Ā2) · Р(Ā3),

Р(В) = 0,1·0,2·0,05 = 0,001.

Пример 10.4. Слово «МАТЕМАТИКА» разделено на отдельные буквы, из них произвольным образом отбираются и выкладываются по порядку четыре буквы. Какова вероятность получения слова «МАМА»?

Решение. 1. Испытание – выбор и расположение по порядку четырех букв из слова «МАТЕМАТИКА».

2. Событие А - получить слово «МАМА».

3. Первой буквой надо обязательно извлечь букву «М», назовем это событием А1. Тогда P(A1) = , т.к. в слове «МАТЕМАТИКА», состоящем из 10 букв, две буквы «М».

Второй буквой надо обязательно извлечь букву «А», назовем это событием А2. Тогда P(A2/A1) = , т.к. осталось 9 букв, из них 3 буквы «А».

Третьей буквой надо обязательно извлечь букву «М», назовем это событием А3. Тогда P(A3/A1·A2) = , т.к. осталось 8 букв, из них 1 буква «М».

Четвертой буквой надо извлечь букву «А», назовем это событием А4. Тогда P(A4/A1·A2·A3) = , т.к. осталось 7 букв, из них 2 буквы «А».

Удобно эту задачу проиллюстрировать методом графов, взяв в дереве испытаний только одну ветвь, соответствующую событию А:

4. Для осуществления события А необходимо выполнение всех событий А1, А2, А3, А4, следовательно, А = А1·А2·А3 ·А4.

5. События А1, А2, А3 и А4 зависимы, тогда в силу теоремы 5 Р(А) = Р(А1·А2·А3·А4) = Р(А1) · Р(А2/А1) · Р(А3/А1·А2)∙ Р(А4/А1·А2·А3), и

Список литературы:

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 1, §1.14 -1.16, с. 37-41.

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.2. Вероятности сложных событий

Задание 11. Вычисление вероятностей сложных событий с помощью формулы полной вероятности и формулы Байеса – 2 ч.

Цель: формирование умения вычислять вероятности сложных событий с использованием формулы полной вероятности и формулы Байеса.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

11.1. Выучите формулу полной вероятности и формулу Байеса. Разберите, в каких ситуациях применяют данные формулы.

11.2. Театрал может приобрести билет на спектакль в одной из трех касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, вторую и третью – по 0,3. Вероятность того, что к приходу театрала билеты будут распроданы, равна 0,5 для первой, 0,3 для второй и 0,2 для первой кассы. Какова вероятность театралу купить билет на спектакль?

11.3. Легковых автомобилей у заправочной станции проезжает вчетверо больше, чем грузовых. Вероятность того, что проезжающая машина подъедет на заправку, составляет для грузовой машины 0,05, для легковой – 0,15. Какова вероятность того, что приближающаяся машина заедет на заправку?

11.4. Из пункта А в пункт В можно добраться тремя маршрутами. Водитель, незнакомый с трассой, выбирает дорогу наугад. Состояние дорог разное. Если водитель поедет по первому маршруту, то вероятность попасть в пункт В за сутки равна 0,6, по второму – 0,5, по третьему – 0,3. Водитель приехал в пункт В в течение суток. Какова вероятность того, что он ехал по первому маршруту? Второму? Третьему?

11.5. Маша испекла на День Учителя 10 пирожков, из них 8 с яблоками. Алёна испекла 12 пирожков, из них 8 с яблоками, а Света - 28 пирожков, из них 14 с яблоками. Девочки выложили все пирожки на большое блюдо. Наталье Владимировне было предоставлено почётное право первой выбрать себе пирожок. Ей достался пирожок с яблоками. Какова вероятность того, что этот пирожок испекла Света?

11.6. В корзине лежат пять белых и четыре черных шара. Вынимают три шара. Какова вероятность того, что третий вытащенный шар будет белым?

11.7. У рыбака есть три излюбленных места рыбалки, которые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность клева на первом месте равна 1/3, на втором – 0,5, на третьем – 0,25. Известно, что рыбак забрасывал удочку 3 раза, а вытащил только одну рыбку. Какова вероятность того, что он ходил на первое излюбленное место?

Методические указания по выполнению работы:

При решении вероятностных задач на формулу полной вероятности и формулу Байеса:

Выделите испытание.
Выпишите случайное событие А, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.
Определите, при осуществлении каких гипотез Н1, Н2, …, Нn может наступить событие А. Найдите вероятность осуществления каждой из гипотез: Р(Н1), Р(Н2)… Р(Нп).
Найдите условные вероятности события А при выполнении гипотез Н1, Н2, …, Нn: P(A/H1), P(A/H2)… P(A/Hп).
Если необходимо найти вероятность события А, то примените формулу полной вероятности. Если событие А произошло, и нужно найти вероятность того, что была выполнена какая-либо из гипотез, используйте формулу Байеса.

При решении задач необходимо знание следующих формул:

Пусть А – событие, которое может наступить только при появлении одной из гипотез Н1, Н2, …, Нn, где n гипотез образуют полную систему событий. Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(Н1)Р(А/Н1)+ Р(Н2)Р(А/Н2)+…+ Р(Нn)Р(А/Нn),

где Р(Нi) – вероятность гипотезы Нi, P(A/Hi) – условная вероятность события А при выполнении гипотезы Hi (i = 1, 2, …, n).

Вероятностный граф в этом случае имеет вид:

Вероятность каждой гипотезы находится по

формуле Байеса:

Пример 11.1. На заводе, изготовляющем болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2%.

а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?

б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной?

Решение. 1. Испытание – выбор одного болта среди болтов, производимых тремя машинами.

2. Пусть событие А - выбрать дефектный болт.

3. Мы не знаем точно, какая машина произвела дефектный болт. Выдвигаем три гипотезы:

Н1 - болт изготовлен первой машиной, Р(Н1)=0,25 (т.к. первая машина производит 25% продукции);

Н2 - болт изготовлен второй машиной, Р(Н2)=0,35;

Н3 - болт изготовлен третьей машиной, Р(Н3)=0,4.

4. В задаче необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный. Запишем вероятности брака для каждой машины.

Р(А/Н1)=0,05 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на первой машине);

Р(А/Н2)=0,04 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на второй машине);

Р(А/Н3)=0,02 (вероятность того, что выбрали дефектный болт при условии, что он сделан на третьей машине).

Проиллюстрируем решение задачи на графе:

5 а) Вероятность события А находится по формуле полной вероятности: Р(А)=Р(Н1)Р(А/Н1)+ Р(Н2)Р(А/Н2)+ Р(Н3)Р(А/Н3).

Р(А) = 0,25ּ0,05 + 0,35ּ0,04 + 0,4ּ0,02 = 0,0345.

б) Событие А уже произошло, т.е. дефектный болт уже извлечен. Нужно найти вероятность осуществления трех возможных гипотез: что он был произведен первой (Н1/А), второй (Н2/А), третьей (Н3/А) машиной. В этом случае применяем формулу Байеса: .

Список литературы:

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.3. Схема Бернулли

Задание 12. Вычисление вероятностей в схеме Бернулли – 1 ч.

Цель: формирование умения находить вероятности событий в схеме Бернулли.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

12.1. Проанализируйте, когда применяется схема Бернулли. Выучите формулу для расчета вероятностей событий в схеме Бернулли.

12.2. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% случаях. Чему равна вероятность того, что из трех больных поправятся а) все три, б) два, в) не менее двух человек?

12.3. По данным маркетинговой службы компьютерного салона, в среднем 20% покупателей в течение 3 лет с момента покупки модернизируют компьютер. Какова вероятность того, что из 4 наугад выбранных покупателей модернизировать компьютер в течение 3 лет будет а) ровно 1 человек; б) никто; в) не менее 3 человек?

12.4. (Задача де Мере). Сколько раз надо бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью, не меньшей можно было утверждать, что хотя бы раз появится 12 очков?

Методические указания по выполнению работы:

При решении вероятностных задач на использование формулы Бернулли:

Если в задаче рассматривается серия повторных независимых испытаний, то выделите их число - n испытаний.
Выпишите случайное событие А, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.
Определите, что для события А будет являться успехом, а что неудачей при одном испытании.
Найдите вероятность успеха p и вероятность неудачи q в одном испытании.
Подсчитайте, сколько «успехов» т соответствует событию А.
Если число испытаний п невелико, то примените формулу Бернулли.

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Если проводятся повторные независимые испытания (исход следующего испытания не зависит от исходов предыдущих), то

вероятность того, что в п испытаниях интересующее нас событие произойдет т раз, вычисляется по формуле Бернулли: , где

n – число испытаний,

m – число успехов,

p - вероятность успеха в одном испытании,

q = 1 – p - вероятность неудачи в одном испытании.

Пример 12.1. Подбрасывают игральную кость 3 раза. Какова вероятность того, что шестерка выпадет ровно два раза?

Решение: 1. В задаче рассматривается 3 повторных независимых испытания: 3 подбрасывания игральной кости, следовательно, число испытаний n = 3.

2. Искомое событие А – выпадет ровно две шестерки.

3. Для события А успехом в одном испытании будет выпадение «6».

4. Вероятность успеха p (выпадения «6») в одном испытании равна , неудачи q - невыпадения «6» равна 1 – p = 1 - = .

5. Событию А будет соответствовать ровно 2 успеха (2 шестерки), следовательно, т = 2.

6. Поскольку число испытаний невелико, применим формулу Бернулли: .

Тогда Р(А) = Р3(2) = .

Список литературы:

Раздел 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Тема 3.3. Схема Бернулли

Задание 13. Приближённые формулы в схеме Бернулли – 1 ч.

Цель: формирование умения находить вероятности событий с использованием формулы Бернулли, локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

13.1. Изучите, когда применяют приближённые формулы в схеме Бернулли. Проанализируйте, в чём отличие интегральной и локальной теорем Муавра-Лапласа.

13.2. ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

Задание 1: Садоводом посеяно 3 зерна с процентом всхожести р. Найдите вероятность того, что взойдёт k зёрен.

Задание 2: На опытном участке посеяно п зёрен с процентом всхожести р. Найдите вероятность того, что

число взошедших зёрен будет равно т;
число взошедших зёрен будет колебаться между т1 и т2.

№ варианта соответствует Вашему номеру по списку в журнале учебной группы

№ вар.	п	р(%)	k	т	т1	т2
1	600	90%	0	545	525	550
2	590	95%	0	555	550	570
3	580	80%	0	465	460	480
4	570	85%	0	490	480	500
5	560	90%	1	500	490	510
6	550	95%	1	520	510	530
7	540	80%	1	430	420	440
8	530	85%	1	455	450	470
9	520	90%	2	465	460	480
10	510	95%	2	480	470	490
11	500	80%	2	410	390	420
12	490	85%	2	415	400	420
13	480	90%	3	430	420	440
14	470	95%	3	450	440	460
15	460	80%	3	360	350	370
16	450	85%	3	380	370	390
17	440	90%	0	400	390	410
18	430	95%	0	405	400	420
19	420	80%	0	340	330	350
20	410	85%	0	350	340	360
21	400	90%	1	365	350	380
22	390	95%	1	375	370	380
23	380	80%	1	300	290	310
24	370	85%	1	310	300	320
25	360	90%	2	320	310	330
26	350	95%	2	330	320	340
27	340	80%	2	270	260	280
28	330	85%	2	280	270	300
29	320	90%	3	290	280	300
30	310	95%	3	295	280	300
31	300	80%	3	245	220	250
32	290	85%	3	250	240	260

Методические указания по выполнению работы:

Домашняя контрольная работа выполняется в тетради для практических работ. Все расчеты следует выполнять с применением калькулятора или персонального компьютера с точностью 4 знака после запятой. В тетради необходимо прописать концепцию схемы Бернулли, все расчеты и используемые формулы. Значения функций Гаусса и Лапласа берутся из таблиц приложений 1 и 2.

Прежде чем приступать к расчётам проанализируйте, рассматривается ли в задаче серия повторных независимых испытаний. Если да, то выделите их число - n испытаний.
Выпишите случайные событие А и В, вероятность которых необходимо найти в заданиях 1 и 2.
Определите, что для событий А и В будет являться успехом, а что неудачей при одном испытании.
Найдите вероятность успеха p и вероятность неудачи q в одном испытании.
Если число испытаний п невелико, то примените формулу Бернулли (задание 1). Если при выполнении задания 1 возникают сложности, обратитесь к методическим указаниям по выполнению практической работы №12 и разобранному примеру.
Если число испытаний п достаточно велико и то примените приближённые формулы (задание 2).

Если в задаче требуется определить, что интересующее нас событие появится в п испытаниях ровно т раз, то искомая вероятность находится по локальной теореме Муавра-Лапласа: где .

Функция называется функцией Гаусса. Значения функции Гаусса помещены в специальных таблицах и приведены в приложении 1.

Важно, что т.е. - четная функция.

Если необходимо вычислить вероятность того, что интересующее нас событие появится в п испытаниях от т1 до т2 раз, то применяют интегральную теорему Муавра- Лапласа:

где ,

Функция Ф(х) – функция Лапласа, таблица значений которой приведена в приложении 2.

Функция Ф(х) – нечетная, т.е. Ф(-х) = - Ф(х).

Пример 13.1. Вероятность того, что один компьютер не выйдет из строя в течение года, равна 0,8. Определите вероятность того, что из имеющихся в колледже 400 компьютеров

а) 315 будут в рабочем состоянии в течение года;

б) не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров.

Решение. 1. Эксперимент заключается в проведении 400 повторных независимых испытаний с постоянной вероятностью в каждом. Следовательно, применима схема Бернулли, причём п = 400.

Будем искать вероятность события А - 315 ПК будут в рабочем состоянии в течение года

Введём вспомогательное событие А1 - один ПК будет в рабочем состоянии в течение года.

Для А1 р = 0,8, q = 0,2.

2. Поскольку п достаточно велико, проверим, выполняется ли равенство :

npq = 400·0,8·0,2 = 64 > 10, следовательно, локальная и интегральная теоремы применимы.

3. а) Используем локальную теорему Муавра-Лапласа при т = 315.

Найдем значение х:

Найдем В силу того, что по таблице значений функции Гаусса находим φ(0,625) ≈ φ(0,63) = 0,3271.

По теореме Муавра-Лапласа Р(А) =

Итак, вероятность того, что из имеющихся в колледже 400 компьютеров ровно 315 будут в рабочем состоянии в течение года, равна 0,0409.

б) По условию задачи т1 = 300, т2 = 340. Найдём вероятность события В - не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров

Для вычисления Р(В) используем интегральную теорему Муавра-Лапласа.

Найдем значения х1 и х2:

Найдем по таблицам значение функции Лапласа Ф(х). Т.к. Ф(-х) = - Ф(х), Ф(-2,5) = - Ф(2,5), Ф(2,5) = 0,4938. Тогда

Р(В) =

Итак, вероятность того, что в течение года из 400 компьютеров не потребуют ремонта от 300 до 340 компьютеров, равна 0,9876.

Ответ: Р(А) = 0,0409; Р(В) = 0,9876.

Список литературы:

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (ДСВ)

Тема 4.1. ДСВ: закон и функция распределения

Задание 14. Закон распределения и интегральная функция ДСВ – 1 ч.

Цель: формирование умения составлять закон и интегральную функцию распределения ДСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

14.1. Выучите, что называют случайной величиной, какая случайная величина называется дискретной, чем задается ДСВ. Разберите, что называют интегральной функцией распределения случайной величины и какими свойствами она обладает.

14.2. Составьте закон распределения количества делителей натурального числа, выбранного наугад из чисел от 1 до 10.

14.3. Преподаватель предлагает студенту Петрову решить две задачи. Вероятность правильно решить первую задачу для Петрова оценивается преподавателем как 0,7, вторую – 0,5. Составьте закон распределения числа задач, правильно решённых студентом Петровым.

14.4. В группе туристов из 12 человек умеют готовить 8. Руководитель туристической группы назначает двух дежурных. Составьте закон распределения числа человек среди выбранных дежурных, которые умеют готовить.

14.5. Составьте интегральную функцию распределения и постройте ее график для следующей случайной величины:

а)	X	-3	1	4	б)	X	-1	1	2	4	6
	P	0.6	0.3	?		P	0,18	0,27	0,12	0,32	?

14.6. Найдите закон и интегральную функцию распределения для числа выпадения «герба» при трех подбрасываниях монеты.

14.7. Составьте закон и интегральную функцию распределения для суммы очков, выпадающих на двух игральных костях.

14.8. Рассматривается работа трех независимо работающих технических устройств (ТУ). Вероятность нормальной работы первого ТУ равна 0,8, второго – 0,6, третьего – 0,5. Составьте закон и интегральную функцию распределения для числа нормально работающих ТУ.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач на составление закона и интегральной функции распределения ДСВ:

Выделите испытание.
Опишите случайную величину Х, закон распределения которой необходимо составить по условию задачи.
Для заданной случайной величины начните составлять таблицу (закон распределения), выписав её возможные значения в верхней строке.
Найдите вероятность каждого значения ДСВ, используя ранее изученные методы, и занесите их во вторую строку закона распределения.
Проверьте корректность задания ДСВ: сумма вероятностей в нижней строке должна быть равна 1.

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Случайная величина называется дискретной, если в результате опыта она принимает числовые значения, которые можно перечислить, или они эквивалентны счетному множеству.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и ее вероятностями называют законом распределения случайной величины и записывают в виде таблицы:

Х	х1	х2	…	хn	…
Р	p1	p2	…	pn	…	1

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, меньшее х:

F(x) = P(X < x), .

Пример 14.1. В стопке лежат 10 тетрадей с одинаковой обложкой, 4 из которых в линейку, остальные – в клетку. Саша наугад вынимает 2 тетради. Составьте закон распределения числа выбранных тетрадей в клетку.

Решение. 1. Испытание – выбор двух тетрадей из 10 (6 в клетку, 4 в линейку).

2. Случайная величина Х - число выбранных тетрадей в клетку.

3. Выделим возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2.

4. Для нахождения вероятности каждого исхода воспользуемся методом графов:

На рёбрах графа, ведущих к случайной величине Х, расставляем значения, которые принимает случайная величина при каждом исходе: выбрано 2 тетради в клетку (x1=2), одна тетрадь в клетку (x2 = 1), ни одной тетради в клетку (x3 = 0).

С помощью графа найдем вероятности, с которыми случайная величина принимает то или иное числовое значение:

Р(Х = 2) = , Р(Х = 1) =, Р(Х = 0) =.

Искомый закон распределения запишем в виде таблицы:

Х	0	1	2
Р

5. Проверим сумму вероятностей в нижней строке: . Следовательно, закон распределения составлен корректно.

Пример 14.2. Составьте интегральную функцию распределения и постройте ее график для следующей случайной величины:

-2

-1

0,2

0,4

0,3

0,1

-2

-1

0.6

0.2

0.9

у = F(x)

Решение.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 2, §2.1.1-2.1.2, с. 102-106.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.1-2.3, с. 60-68.

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 4.2. Числовые характеристики ДСВ

Задание 15. Нахождение числовых характеристик ДСВ – 2 ч.

Цель: формирование умения находить функции от ДСВ, вычислять числовые характеристики ДСВ, заданной законом распределения, строить графики функций от ДСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

15.1. Разберите, какие числовые характеристики дискретной случайной величины существуют. Вспомните формулы для расчёта и единицы измерения каждой ДСВ.

15.2. Случайная величина Х задана законом распределения:

а)

Х	3	5	7	11	12
Р	0,14	0,20	0,39	0,17	?

б)

Х	-2	-1	0	1	2
Р	0,15	0,21	0,13	0,32	?

Найдите недостающую вероятность, числовые характеристики ДСВ, F(x). Постройте многоугольник распределения и график F(x).

15.3. Для участия в олимпиаде по программированию в ЯГК были отобраны три юноши и три девушки. Три победителя будут участвовать в региональной олимпиаде. Составьте закон распределения числа девушек, которые будут участвовать в региональной олимпиаде. Составьте интегральную функцию распределения и постройте её график. Найдите числовые характеристики ДСВ.

15.4. ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

В таблице в зависимости от варианта (совпадает с номером по журналу учебных занятий) дан закон распределения дискретной случайной величины Х.

Найдите:

недостающее значение вероятности;
моду;
медиану;
математическое ожидание;
дисперсию;
среднеквадратическое отклонение;
интегральную функцию распределения ДСВ.

Постройте:

многоугольник распределения ДСВ;
график интегральной функции распределения ДСВ.

№ вар.	Вер - ть	Значения случайной величины Х
0	1	2	3	4	5	6
1	Р	0,01	0,12	0,23	0,28	0,19	0,11	?
2	Р	0,20	0,31	0,24	0,13	0,07	0,04	?
3	Р	0,04	0,08	0,32	0,31	0,15	0,08	?
4	Р	0,42	0,23	0,15	0,10	0,06	0,03	?
5	Р	0,03	0,29	0,12	0,15	0,21	0,16	?
6	Р	0,05	0,12	0,18	0,30	0,18	0,12	?
7	Р	0,06	0,08	0,12	0,24	0,33	0,14	?
8	Р	0,16	0,25	0,25	0,16	0,10	0,05	?
9	Р	0,02	0,38	0,30	0,16	0,08	0,04	?
10	Р	0,08	0,10	0,10	0,17	0,19	0,18	?
11	Р	0,04	0,05	0,08	0,12	0,16	0,29	?
12	Р	0,01	0,06	0,17	0,40	0,18	0,16	?
13	Р	0,14	0,16	0,20	0,22	0,16	0,04	?
14	Р	0,08	0,10	0,26	0,18	0,16	0,12	?
15	Р	0,04	0,10	0,32	0,20	0,12	0,12	?
16	Р	0,03	0,17	0,20	0,30	0,16	0,11	?
17	Р	0,40	0,24	0,16	0,11	0,05	0,02	?
18	Р	0,05	0,16	0,29	0,20	0,16	0,08	?
19	Р	0,02	0,05	0,13	0,30	0,24	0,13	?
20	Р	0,21	0,31	0,22	0,13	0,10	0,02	?
21	Р	0,04	0,05	0,21	0,34	0,19	0,10	?
22	Р	0,07	0,13	0,16	0,24	0,22	0,16	?
23	Р	0,03	0,06	0,11	0,19	0,21	0,25	?
24	Р	0,35	0,24	0,17	0,15	0,05	0,03	?
25	Р	0,12	0,18	0,22	0,20	0,12	0,10	?
26	Р	0,41	0,22	0,13	0,10	0,07	0,04	?
27	Р	0,01	0,09	0,17	0,44	0,19	0,08	?
28	Р	0,06	0,14	0,22	0,33	0,15	0,09	?
29	Р	0,07	0,16	0,23	0,25	0,19	0,06	?
30	Р	0,34	0,21	0,18	0,13	0,07	0,04	?
31	Р	0,02	0,09	0,27	0,32	0,20	0,07	?
32	Р	0,05	0,15	0,29	0,21	0,19	0,10	?
33	Р	0,11	0,16	0,23	0,28	0,15	0,06	?
34	Р	0,39	0,24	0,17	0,11	0,06	0,02	?
35	Р	0,08	0,15	0,22	0,27	0,13	0,07	?
36	Р	0,13	0,19	0,23	0,18	0,13	0,10	?

15.5. Санкт-Петербургский парадокс: Вы решили сыграть в следующую игру: Вы платите некоторое количество денег за участие в игре. Затем Вы берёте монету и подбрасываете её до тех пор, пока не выпадет решка. Если решка выпадет при первом броске монеты, то Вы получите 2$, если при втором - 4$, если при третьем – 8$, если при четвертом - 16$ и т.д. (приз каждый раз удваивается). Сколько денег Вам нужно заплатить за участие в игре, чтобы игра была безобидной? (Указание: игра безобидная, если математическое ожидание случайной величины Х – суммы Вашего выигрыша, такое же, как ставка за участие в игре.)

Методические указания по выполнению работы:

1. Пояснения к решению:

Домашняя контрольная работа №2 включает в себя 8 заданий и состоит из двух частей: расчетной и графической. Работа выполняется в тетрадях для практических работ.

Все расчеты следует выполнять с применением калькулятора или персонального компьютера с точностью 4 знака после запятой. В отчетной работе необходимо приводить все расчеты и используемые формулы.

Расчетная часть: при выполнении расчетной части примените изученные Вами формулы.

1.2. Графическая часть: Графики выполняются в тетради для практических работ. Обязательно задание единиц измерения и соблюдение масштаба при построении графиков.

1.3. Выводы: В конце работы следует сделать вывод о том, какие числовые значения Мо(Х), М(Х), D(Х), получены, что они характеризуют и в каких единицах измеряются.

В случае затруднений при выполнении работы обратитесь к примеру 15.1.

Пример 15.1. Для ДСВ, заданной законом распределения

Х	-5	0	2	6
Р	0,1	0,2	0,3	?

найдите недостающую вероятность, числовые характеристики, F(x). Постройте многоугольник распределения и график F(x).

Решение:

№	Теоретический материал	Пример
1	Сумма вероятностей для всех значений ДСВ всегда равна единице, т.е. р1 + р2 + … + рп = 1.	Р(Х=6) = 1 – (0,1+0,2+0,3) = = 1 – 0,6 = 0,4
2	Мода – такое значение ДСВ, вероятность которого наибольшая	Мо(Х) = 6 (ед.). т.к. у значения ДСВ х=6 наибольшая среди всех вероятность 0,4
3	Медиана – среднее по положению в пространстве событий значение ДСВ. Медиана для упорядоченного по возрастанию значений закона ДСВ есть одно или два «серединных» значения х, для которых номер мест вычисляется по формуле:	Т.к. п = 4 (число значений х в таблице), то . Следовательно, номера мест значений медианы – 2 и 3. Ме(Х) = 0 (ед.) и Ме(Х) = 2 (ед.).
4	Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и находится по формуле: M(X) = х1·р1 + х2·р2+…+ хп·рп. Математическое ожидание измеряется в тех же единицах, что и случайная величина.	М(Х) = -5·0,1 + 0·0,2 + 2·0,3 + 6·0,4 = -0,5 + 0,6 + 2,4 = 2,5(ед.)
5	Дисперсия характеризует степень отклонения значений случайной величины от ее среднего значения. Для вычисления D(X) удобна формула: D(X) = M(X2) - M2(X), где M(X2) = х12·р1 + х22·р2+…+ хп2·рп, а M(X) находится в пункте 4. Дисперсия измеряется в квадратных единицах.	М(Х) = 2,5, M(X2) =(-5)2·0,1 + 02·0,2 + 22·0,3 + 62·0,4 = 2,5 + 1,2 + 14,4 = 18,1 (ед2.) Тогда D(X) = M(X2) - M2(X)= 18,1 – 2,52 = 18,1 – 6,25 = 11,85 (ед2.)
6	Среднеквадратическое отклонение σ(Х) также характеризует степень рассеяния ДСВ относительно среднего значения, но измеряется в тех же единицах, что и случайная величина. Среднеквадратическое отклонение σ(Х) находится по формуле:	= (ед.)
7	Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, меньшее х: F(x) = P(X < x), .
8	Графическим изображением закона распределения ДСВ является набор точек с координатами (х1; р1), (х2; р2)… (хп; рп), последовательно соединенных отрезками (многоугольник распределения).
9	График интегральной функции распределения имеет ступенчатый вид

Список литературы:

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 4.3. Законы распределения ДСВ

Задание 16. Запись распределения и вычисление характеристик для биномиальной ДСВ – 1 ч.

Цель: формирование умения составлять закон распределения и вычислять числовые характеристики биномиальной ДСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

16.1. Изучите особенности биномиально распределенной ДСВ.

16.2. Ученику в начале урока предлагается небольшая тестовая работа, состоящая из 5 заданий. В каждом задании нужно ответить только «да» или «нет». Составьте закон распределения числа вопросов, на которые ученик может ответить правильно, если он отвечает наугад. Найдите числовые характеристики ДСВ.

16.3. Кандидата Петрова перед выборами мэра города поддерживают 20% избирателей. На теледебаты пригласили четырёх человек – жителей города. Составьте закон и интегральную функцию распределения числа поддерживающих Петрова жителей города, участвующих в теледебатах. Найдите числовые характеристики ДСВ.

16.4. Докажите разумность или опровергните идею мартингальной системы, заключающейся в удвоении ставки при проигрыше. (Предположим, что мы играем в рулетку и всегда ставим на красное. Сначала поставим один доллар. Если выигрываем, то прекращаем игру; при проигрыше ставим в следующий раз 2 доллара и т.д.)

Методические указания по выполнению работы:

При выборе закона распределения, применяемого при решении конкретной задачи, удобно воспользоваться следующей схемой:

Испытания

зависимые

повторные независимые

выборка т объектов из п

(п1 нужного вида)

число испытаний п задано

испытания проводятся до успеха

биномиальное

распределение

геометрическое распределение (или ему аналогичное)

для составления закона распределения используйте метод графов

для составления закона распределения используйте формулу Бернулли

Числовые характеристики

для бесконечного случая

для составления закона распределения используйте метод графов или

гипергеометрическое распределение

Пример 16.1. Студент, работая в Internet, по системе поиска нашел ссылки на 3 сайта, в каждом из которых может быть полезная для него информация с вероятностью 0,6. Составьте закон распределения числа сайтов с полезной для студента информацией. На скольких в среднем сайтах он найдет полезную для себя информацию? Найдите дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Решение. Испытание – поиск информации на 3-х сайтах.

Случайная величина Х - число сайтов с полезной для студента информацией. Она принимает значения 0, 1, 2 или 3.

Имеем серию повторных независимых испытаний, число испытаний задано (n = 3). Следовательно, перед нами биномиальное распределение. Вероятность успеха в одном испытании р = 0,6, вероятность неудачи q = 1 – 0,6 = 0,4.

По формуле Бернулли , тогда

;

Искомый закон распределения можно записать с помощью таблицы:

Х	0	1	2	3
Р	0,064	0,288	0,432	0,216

Проверим сумму вероятностей в нижней строке: 0,064+0,288+0,432+0,216=1. Следовательно, закон распределения составлен корректно.

Найдем числовые характеристики биномиально распределенной случайной величины:

М(Х) = 3·0,6 = 1,8, т.е. в среднем студент найдет полезную информацию на двух сайтах.

D(Х) = 3·0,6·0,4 = 0,72.

σ(Х) = .

Ответ: М(Х) = 1,8, D(Х) = 0,72, σ(Х) .

Список литературы:

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.7, с. 85-86.

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 4.3. Законы распределения ДСВ

Задание 17. Запись распределения и вычисление характеристик для геометрически распределённой ДСВ – 1 ч.

Цель: формирование умения составлять закон распределения и вычислять числовые характеристики геометрически распределённой ДСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

17.1. Изучите особенности геометрически распределенной ДСВ.

17.2. У Васи есть 3 верных друга. В каникулы Вася, чтобы не скучать в одиночестве, звонит по очереди своим друзьям. Если он застает первого друга дома, то сразу идет к нему в гости. Если нет – звонит следующему. Составьте закон распределения числа сделанных Васей звонков, если вероятность застать любого друга дома – 0,3. Найдите числовые характеристики ДСВ.

17.3. Вы решили сыграть в следующую игру: Вы платите некоторое количество денег за участие в игре. Затем Вы берёте и бросаете игральную кость до тех пор, пока не выпадет шестерка. Если шестёрка выпадет при первом броске, то Вы получите 1 рубль, при втором – 2 рубля, при k-м броске - k рублей. Какой вступительный взнос Вам следует заплатить за участие в игре, чтобы игра была безобидной? (Указание: игра безобидная, если математическое ожидание случайной величины Х – суммы Вашего выигрыша, такое же, как ставка за участие в игре.)

Методические указания по выполнению работы:

При выборе закона распределения, применяемого при решении задач, воспользуйтесь схемой, приведённой в задании 16.

Пример 17.1. Студент, работая в Internet, по системе поиска нашел ссылки на 3 сайта, в каждом из которых может быть полезная для него информация с вероятностью 0,6. Если студент, зайдя на сайт, нашел информацию, он прекращает поиск. Составьте закон распределения числа посещенных сайтов.

Решение. Испытание – поиск информации в Internet до успеха (всего 3 сайта).

Случайная величина Х - число посещенных сайтов. Она принимает значения 1, 2 или 3.

Перед нами повторные независимые испытания, которые проводятся до успеха, следовательно, имеем распределение, аналогичное геометрическому, с ограничением числа проводимых испытаний.

Для нахождения вероятности каждого значения ДСВ используем метод графов:

0,6

0,4

0,6

0,4

0,6

0,4

; ; .

Тогда искомый закон распределения можно записать с помощью таблицы:

Х	1	2	3
Р	0,6	0,24	0, 16

Проверим сумму вероятностей в нижней строке: 0,6+0,24+0,16=1. Следовательно, закон распределения составлен корректно.

Список литературы:

Раздел 4. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Тема 4.3. Законы распределения ДСВ

Задание 18. Запись распределения и вычисление характеристик для ДСВ – 1 ч.

Цель: формирование умения составлять закон распределения и вычислять числовые характеристики разного вида ДСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

18.1. Повторите особенности биномиально и геометрически распределенной ДСВ.

18.2. В библиотеке Ильи 12 книг по математике, из них 5 – по теории вероятностей и математической статистике. Алексей приходит к Илье в гости и выбирает 2 книги наугад. Составьте закон распределения случайной величины Х – числа книг по математической статистике, отобранных Алексеем. Запишите интегральную функцию распределения. Вычислите числовые характеристики составленной ДСВ.

18.3. В библиотеке Ильи есть также четырёхтомник А.С. Пушкина. Алексей, увлечённый теорией вероятностей и играми, наугад вынимает тома в поисках «Пиковой дамы». Составьте закон распределения случайной величины Х – числа книг, которые просмотрел Алексей пока не нашёл нужную. Запишите интегральную функцию распределения. Вычислите числовые характеристики составленной ДСВ.

18.4. Решите задачу 18.2 при условии, что Алексей выбирает 4 книги.

Методические указания по выполнению работы:

Список литературы:

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.1. НСВ: функции распределения

Задание 19. Геометрическое определение вероятности – 1 ч.

Цель: формирование умения применять формулу геометрического определения вероятностей.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

19.1. Разберите, в чем заключается геометрическое определение вероятности события, в каких случаях оно применимо.

19.2. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Ремонтная бригада, обслуживающая этот участок, располагается на 50-м километре. В какую сторону ей лучше выезжать? С какой вероятностью Ваш совет окажется правильным?

19.3. На паркет, составленный из правильных треугольников со стороной 7 см, брошена монета радиусом 1 см. Какова вероятность того, что монета не заденет границы ни одного из треугольников?

19.4. Малыш наугад показывает пальцем точку на глобусе. Какова вероятность, что он попадет: а) в Россию; б) в Тихий океан; в) в Восточное полушарие.

Указание: для решения этой задачи Вам придется обратиться к энциклопедии или учебнику географии.

19.5. Два студента договорились о встрече в колледже в случайный момент времени с 12.00 до 13.00. Терпения друзей хватает только на 15 минут. Какова вероятность того, что встреча состоится?

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач на геометрическую вероятность:

Выделите испытание.
Опишите случайное событие, вероятность которого необходимо найти по условию задачи.
Определите, можно ли использовать формулу геометрической вероятности: каждый исход должен быть представим в виде точки на прямой, на плоскости или в пространстве. Общее число всех возможных исходов должно быть бесконечно.
Выполните чертеж, на котором обозначьте пространство всех возможных исходов , и область исходов, благоприятствующих наступлению событию А.
Выберите соответствующую формулу для расчета в зависимости от того, какие области вы построили, и найдите вероятность события А.

При решении задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области исходов Ω:

На числовой прямой «мера» - длина;

на плоскости «мера» - площадь;

в пространстве «мера» - объем.

Пример 19.1. На острове пираты зарыли клад. Искатели сокровищ точно знают, что клад надо искать на этом острове, но не знают, в каком месте зарыт клад. Они определили место для поисков в форме квадрата со стороной 10 метров. Какова вероятность того, что они найдут клад, если площадь острова 1000 м2?

Решение. 1. Испытание – поиск клада на острове площадью 1000 м2.

2. Событие А – найти клад на выбранном участке в форме квадрата со стороной 10 метров.

3. Каждый исход (место расположения клада) можно рассматривать в виде точки на плоскости, следовательно, геометрическое определение вероятности применимо.

4. Выполним чертеж. Пространство элементарных исходов – область Ω произвольной формы, область исходов, благоприятствующих событию А – квадрат со стороной 10 м.

5. Поскольку мы работаем на плоскости, мерой является площадь, и Р(А) = ; SΩ = 1000 м2, SА = 100 м2 (площадь квадрата).

Тогда Р(А) = 100/1000 = 0,1.

Список литературы:

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.1. НСВ: функции распределения

Задание 20. Вычисление вероятностей, запись функции плотности и интегральной функции распределения ДСВ – 2 ч.

Цель: формирование умения находить функцию плотности по интегральной функции распределения НСВ и наоборот; вычислять вероятности для НСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

20.1. Разберите, какой функцией задаётся НСВ и каковы её основные свойства. Проанализируйте, как связаны интегральная функция распределения и функция плотности вероятности для НСВ.

20.2. Установите, какие из функций могут задавать f(x), какие - F(x) для НСВ и заполните таблицу:

Может задавать f(x)	Может задавать F(x)	Не задаёт ни f(x), ни F(x)

20.3. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

1) 2) 3)

а) найдите функцию плотности вероятности f(x),

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 1);

г) постройте график функции плотности вероятности f(x), на нем отметьте вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 1);

д) постройте график интегральной функции распределения F(x).

20.4. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

1) 2)

а) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

б) найдите интегральную функцию распределения,

в) найдите вероятность попадания случайной величины в интервал

20.4.1) (1; 2,5);

20.4.2)

г) постройте график функции плотности вероятности f(x), на нем отметьте вероятность попадания случайной величины в заданный интервал;

д) постройте график интегральной функции распределения F(x).

20.5. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

а) найдите функцию плотности вероятности f(x),

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите вероятность попадания случайной величины в интервал (0; 2).

20.6. Интегральная функция распределения задана выражением: F(х)= . Найдите коэффициент а, вероятность попадания в интервал (π/6; π/3), постройте график F(х).

Методические указания по выполнению работы:

Для решения задач нам потребуется знание следующего материала:

1. Интегральная функция распределения F(x) и функция плотности вероятности f(x) связаны соотношениями: f(x) = F’(x), F(x) = .

Функция плотности вероятности f(x) задана корректно, если выполняется равенство:

2. Вероятность того, что случайная величина Х принадлежит интервалу (а,в), находится по формулам: P(а<X < в) = F(в) - F(а) или P(а<X < в)= .

Пример 20.1. Интегральная функция распределения задана выражением: F(х)= .

найдите f(x),
докажите корректность задания НСВ,
вычислите Р(0,61)
постройте графики F(х) и f(x), отметьте на графиках вероятность, найденную в пункте (в).

Решение.

Для нахождения f(x) воспользуемся формулой: f(x) = F´(x), тогда

f(x) = 0’ = 0 при х<0,

f(x) =(х2)’ = 2х при 0≤ х<1,

f(x) = 1’ = 0 при х≥1.

Получили, что функцию f(x) можно представить в виде:

Проверим корректность задания НСВ. Очевидно, что f(x) ≥ 0; проверим выполнение условия . В силу свойств определенного интеграла, исходный интеграл можно представить как сумму трех интегралов:

f(x) задана корректно.

Вычислим Р(0,61). Для этого воспользуемся свойствами интегральной функции F(x): , тогда а=0,2, b=1.

Р(0,61) = F(1) - F(0,6) = 12 – 0,62 = 1 – 0,36 = 0,64.

Построим графики F(х) и f(x):

0,6

у=f(х)

S= P(0,6<x<1)

у=F(х)

F(1)

Видим, что график интегральной функции распределения НСВ непрерывен.

Вероятность того, что случайная величина принимает значения от 0,6 до 1, равна площади фигуры S.

Пример 20.2. По известной функции плотности вероятности f(x) найдите интегральную функцию распределения F(х), если .

Решение.

Воспользуемся формулой:

Поскольку функция у = f(х) состоит из трех частей, для каждой части будем применять данную формулу:

при х < -π/2
при -π/2 ≤ х <0

= sinx + 1

3) при х ≥ 0

= 1

Получили, что F(х) имеет вид: F(х)= , что согласуется с определением и свойствами F(х).

Список литературы:

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.4, с. 69-73.

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.2. Числовые характеристики НСВ

Задание 21. Нахождение числовых характеристик НСВ – 2 ч.

Цель: формирование умения находить числовые характеристики НСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

21.1. Повторите, как связаны интегральная функция распределения и функция плотности вероятности для НСВ. Изучите, какие числовые характеристики можно вычислить для НСВ, в чём сущность каждой характеристики.

21.2. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

1)2)3)

а) найдите функцию плотности вероятности f(x),

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х).

21.3. Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности

а) найдите числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х).

б) проверьте корректность задания функции плотности вероятности f(x);

в) найдите интегральную функцию распределения.

21.4. Случайная величина Х задана интегральной функцией распределения

F(х)= ех, при х0.

1 , при х>0

Найдите f(х), Р(-2 0), М(Х).

Методические указания по выполнению работы:

При выполнении работы необходимо знание числовых характеристик НСВ:

1. Математическое ожидание – среднее значение случайной величины – находится по формуле:

. Измеряется в тех же единицах, что и случайная величина.

2. Дисперсия характеризует степень отклонения значений случайной величины от ее среднего значения. Для вычисления D(X) удобна следующая формула:

, где M(X) находится в пункте 1.

Дисперсия измеряется в квадратных единицах.

3. Среднеквадратическое отклонение σ(Х) также характеризует степень рассеяния ДСВ относительно среднего значения, но измеряется в тех же единицах, что и случайная величина. Среднеквадратическое отклонение σ(Х) находится по формуле:

4. Медианой называется такое значение случайной величины Ме, что P{X < Me} = P{X > Me}. Для нахождения медианы нужно воспользоваться соотношением: .

Пример 21.1. Для найдите М(Х), D(Х), , Ме(Х).

Решение:

Найдём математическое ожидание: следовательно (т.к. при f(x)=0 крайние интегралы равны нулю: )

По формуле дисперсии D(X) = M(X2) - M2(X), где .

Тогда .

Получили, что D(X) = =.

3. Среднеквадратическое отклонение

4. Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, что P{X < Me} = P{X > Me}.

Для расчета медианы используют формулу: F(Me) = ½.

Поскольку F(х)= (пример 20.1), а F(Me) = ½, получим уравнение:

х2 = ; х = . Нам подойдет только одно значение корня – положительное, поскольку функция принимает положительные значения лишь при х, принадлежащих промежутку от 0 до 1.

Тогда Me = , Me≈0,7.

Если на чертеже провести прямую х=Me, она разделит площадь под кривой у= f(x) на две равные части.

0,7

у=f(х)

S1= S2

Так, если в нашем примере на чертеже провести прямую х=, она разделит исходный прямоугольный треугольник на две фигуры (треугольник и трапецию), имеющие одинаковые площади:

Список литературы:

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 2, §2.5, с. 73-80.

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.3. Законы распределения НСВ

Задание 22. Нахождение числовых характеристик для равномерно и показательно распределенной НСВ – 1,5 ч.

Цель: формирование умения находить числовые характеристики для равномерно и показательно распределенной НСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

22.1. Изучите, какими функциями задаются равномерно и показательно распределённые НСВ. Разберите, какие формулы существуют для расчёта числовых характеристик данных НСВ.

22.2. Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на отрезке

1) [3; 5]; 2) [-1; 7]; 3) [-6; -5]. Найдите:

а) функцию плотности вероятности f(x) и постройте её график;

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х);

в) интегральную функцию распределения и постройте её график;

г) вероятность попадания значений НСВ в интервал

22.2.1) [3; 4];

22.2.2) [0; 4];

22.2.3) [-5,5; -5].

22.3. НСВ задана графически:

Определите:

а) вид распределения НСВ;

б) функцию плотности вероятности f(x);

в) числовые характеристики НСВ.

22.4. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с плотностью вероятности

1) ; 2) .

Найдите:

а) параметр λ и постройте график функции плотности вероятности f(x);

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;

в) интегральную функцию распределения и постройте её график:

г) вероятность попадания значений НСВ в интервал [0; 1].

22.5. Время безотказной работы компьютера распределено по показательному закону с надёжностью R(t). Найдите вероятность того, что компьютер проработает t часов, если

а) , t = 2 000 часов;

б) , t = 4 000 часов.

22.6. Вращаем рулетку в интеллектуальном казино. Случайная величина Х – угол, образованный стрелкой и сектором «зеро». Определите, на каком промежутке распределена случайная величина Х. Составьте функцию плотности вероятности f(х), найдите вероятность того, что стрелка отклонится от сектора «зеро» не более чем на 90о в обе стороны.

22.7. Холодильник имеет постоянную интенсивность отказа, равную λ = 10-5 откл/час. Какова вероятность того, что холодильник откажет после гарантийного срока 20 000 часов?

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач данной темы определите вид распределения НСВ и в зависимости от этого (равномерно или показательно распределённая НСВ) используйте соответствующие формулы. Они приведены в примерах 22.1 и 22.2.

Пример 22.1. Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [0; 10]. Найдите:

а) функцию плотности вероятности f(x) и постройте её график;

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), , Ме(Х);

в) интегральную функцию распределения и постройте её график;

г) вероятность попадания значений НСВ в интервал [3; 4];

Решение:

№	Теоретический материал для равномерного распределения	Пример
1	Распределение вероятностей называется равномерным на промежутке [a;b], если оно задается функцией плотности вероятности вида: .	Поскольку НСВ Х распределена равномерно на отрезке [0; 10], то a=0, b=10, и функция плотности вероятности будет иметь вид: .
2	График функции плотности вероятности для равномерного распределения имеет вид:	1/10 10 у=f(х) х 0 у
3	Математическое ожидание
4	Дисперсия
5	Среднеквадратическое отклонение
6	Медиана
7	Интегральная функция распределения для равномерного распределения имеет вид:	F(х)=
8	График интегральной функции распределения имеет вид:	10 у=F(х) х 1 0 у
9	Вероятность попадания значений ДСВ в заданный интервал определяется как	= =

Пример 22.2. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с плотностью вероятности .

Найдите:

а) параметр λ и постройте график функции плотности вероятности f(x);

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;

в) интегральную функцию распределения и постройте её график;

г) вероятность попадания значений НСВ в интервал [3; 4];

Решение:

№	Теоретический материал для показательного распределения	Пример
1	Распределение вероятностей называется показательным, если оно задается функцией плотности вероятности вида: где λ – параметр.	Данная случайная величина распределена по показательному закону с параметром λ = 2.
2	График функции плотности вероятности для показательного распределения имеет вид:
3	Математическое ожидание
4	Дисперсия
5	Среднеквадратическое отклонение
6	Интегральная функция распределения для показательного распределения имеет вид:
7	График интегральной функции распределения имеет вид:
8	Вероятность попадания значений ДСВ в заданный интервал определяется как	= == 0,0025-0,0003 = 0,0022

Пример 22.3. Длительность безотказной работы элемента распределена по показательному закону при t > 0: R(t) =. Найдите вероятность того, что за время t = 40 ч

а) элемент не откажет;

б) элемент выйдет из строя.

Решение. Условие задачи указывает на показательный закон надежности для времени t = 40 ч.

Функция надёжности, определяющая вероятность безотказной работы за время t, имеет вид:

R(t) = , где λ – интенсивность отказов.

То есть вероятность безотказной работы элемента за 40 ч равна:

Поэтому вероятность противоположного события – отказа или выхода из строя элемента за 40 ч –.

Ответ: а) вероятность безотказной работы элемента равна 0,45;

б) вероятность выхода элемента из строя – 0,55.

Список литературы:

Раздел 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (НСВ)

Тема 5.3. Законы распределения НСВ

Задание 23. Нахождение числовых характеристик для нормально распределенной НСВ – 1,5 ч.

Цель: формирование умения находить числовые характеристики для нормально распределенной НСВ.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

23.1. Изучите, как задаётся и какие числовые характеристики можно вычислить для НСВ, распределённой по нормальному закону. Проанализируйте, что будет происходить при изменении параметров а и σ.

23.2. Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятности

1) ; 2) .

Найдите:

а) параметры а и σ и постройте схематически график функции плотности вероятности f(x);

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;

в) вероятность попадания значений НСВ в интервал

23.2.1. [1; 4];

23.2.2. [-2; 0].

23.3. Текущая цена акции может быть смоделирована по нормальному закону с математическим ожиданием 15 усл.ед. и среднеквадратическим отклонением 0,3 усл.ед. Найдите вероятность того, что цена акции

а) не превышает 15,5 усл.ед.;

б) не ниже 15,5 усл.ед.;

в) заключена в пределах от 15,1 до 15,4 усл.ед.;

г) с помощью правила трёх сигм установите границы, в которых будет находиться текущая цена акций.

23.4. Волжский автомобильный завод запускает в производство новый двигатель. Конструкторы двигателя предполагают, что благодаря ему средняя длина пробега составит 160 тыс. км, а среднеквадратическое отклонение – 30 тыс. км. Средняя длина пробега автомобиля – случайная величина, подчинённая нормальному закону распределения. Найдите вероятность того, что длина пробега автомобиля с таким двигателем составит

а) не менее 110 тыс. км;

б) не более 170 тыс. км;

в) от 110 до 180 тыс. км;

г) с помощью правила трёх сигм установите границы, в которых будет находиться длина пробега автомобиля.

23.5. Изменение индекса ценных бумаг на фондовой бирже может быть смоделировано как НСВ с нормальным распределением, параметры которой а = 1 и σ = 0,2. Постройте схематически график функции плотности вероятности f(x). Что произойдёт с кривой, если изменить параметры:

а) а = 1,5, σ = 0,2;

б) а = 0,8, σ = 0,2;

в) а = 1 и σ = 0,1;

г) а = 1 и σ = 0,3.

Постройте разными цветами на одном чертеже кривые для п. а) – г).

23.6. Чистая прибыль крупных нефтяных компаний за текущий год является нормально распределенной случайной величиной. Среднее значение прибыли составляет 40 млрд. руб, σ=10 млрд. руб. С вероятностью 0,9545 определите симметричный относительно математического ожидания интервал, в котором будет находиться чистая прибыль крупных нефтяных компаний.

Методические указания по выполнению работы:

Пример 23.1. Непрерывная случайная величина Х распределена по нормальному закону с плотностью вероятности .

Найдите:

а) параметры а и σ и постройте схематически график функции плотности вероятности f(x);

б) числовые характеристики НСВ: М(Х), D(Х), ;

в) вероятность попадания значений НСВ в интервал [3; 6].

Решение:

№	Теоретический материал для нормального распределения	Пример
1	Распределение вероятностей называется нормальным, если оно задается функцией плотности вероятности вида: где а и σ – параметры.	Данная случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами а = 8, σ = 2.
2	График функции плотности вероятности для нормального распределения имеет вид:
3	Математическое ожидание
4	Дисперсия
5	Среднеквадратическое отклонение
6	Вероятность попадания значений ДСВ в заданный интервал определяется как Р(α<x<β) = . Ф(х) – табличная функция Лапласа, Ф(-х) = - Ф(х)	Найдём Р(3<x<6), т.е. α = 3, β = 6. Р(3<x<6) = = == = = -0,3413 + 0,4938 = 0,1525.

Пример 23.2. Автомат штампует детали. Контролируемая ширина детали Х распределена нормально с математическим ожиданием (проектной длиной) 50 мм. Известно, что среднеквадратическое отклонение длины детали 3,6 мм.

а) Найдите вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет от 48 до 55 мм.

б) С помощью правила трёх сигм установите границы, в которых будет находиться длина детали.

Решение. а) Выделим параметры нормального распределения: а = 50 мм, σ = 3,6 мм. Найдем Р(48<x<55), т.е. α=48, β=55 мм.

Воспользуемся формулой: Р(α<x<β) = .

Найдем =,

Тогда Р(48<x<55) = = 0,4177-(-0,2123) = 0,63.

б) По правилу трёх сигм можно считать практически достоверным, что значения случайной величины, распределенной по нормальному закону, принадлежат интервалу (a – 3σ, a + 3σ). Следовательно, длина детали будет от до мм, т.е. лежит в промежутке (44,2; 65,8) мм.

Ответ: а) Р(48<x<55) = 0,63, б) (44,2; 65,8) мм.

Список литературы:

Раздел 6. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Тема 6.1. Закон больших чисел

Задание 24. Неравенство Чебышева, статистическое определение вероятности – 1 ч.

Цель: формирование глубоких и прочных знаний центральной предельной теоремы, неравенства Чебышева, закона больших чисел в форме Чебышева и Бернулли, усвоения понятия «статистическая вероятность».

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

24.1. Изучите, используя список литературы, теоретический материал по теме «Закон больших чисел».

Основные сведения из теории:

24.2. Ответьте на следующие контрольные вопросы:

Что включает в себя закон больших чисел?
Какова формулировка неравенства Чебышева?
К каким видам распределения случайных величин применимо неравенство Чебышева?
На какой теореме основан применяемый в статистике выборочный метод? Приведите формулировку этой теоремы.
Что называют частотой события А?
Дайте определение статистической вероятности события А. Проанализируйте, когда применяется классическое, когда геометрическое, а когда статистическое определение вероятности события.
Какая теорема является теоретической основой статистического определения вероятности? Приведите ее формулировку.
Сформулируйте центральную предельную теорему. Какой опыт служит ее наглядной иллюстрацией?

Примеры и упражнения:

24.3. Известны значения М(Х) и D(Х). Оцените с помощью неравенства Чебышёва Р(α<x<β), если:

а) М(Х) = 12, D(Х) = 5, α = 8, β = 16;

б) М(Х) = 4, D(Х) = 1, α = 3, β = 5.

24.4. Волжская ГЭС обслуживает сеть из 20 000 объектов, вероятность включения каждого из которых в вечернее время зимой составляет 0,85.Найдите вероятность, с которой число объектов, включённых в сеть зимним вечером, будет отличаться от математического ожидания менее чем на 600. (Указание: используйте биномиальное распределение и неравенство Чебышёва).

24.5. Осветительная сеть зала включает десять параллельно подключённых ламп. Вероятность того, что в течение суток лампа будет включена, составляет 0,75. Оцените вероятность того, что модуль разности между числом включённых ламп и средним числом включённых ламп за сутки окажется не больше двух. (Указание: используйте биномиальное распределение и неравенство Чебышёва).

24.6. Задайте событие, вероятность которого можно вычислить только опираясь на понятие статистической вероятности. Проведите соответствующий эксперимент с максимально для Вас возможным числом опытов. Найдите вероятность заданного Вами события (например, вероятность попадания Вами мячом в баскетбольную корзину с расстояния 5 м).

Методические указания по выполнению работы:

Закон больших чисел – это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

По неравенству Чебышёва устанавливается вероятность отклонения Х от ее математического ожидания на величину ε:

Неравенство Чебышева задает вероятность попадания значений случайной величины в интервал (М(Х)–ε; М(Х)+ε) независимо от закона распределения случайной величины:

М(Х)–ε М(Х) М(Х)+ε х

Пример 24.1. При заданных технологических условиях масса заготовки является случайной величиной с математическим ожиданием 50 кг. Среднее квадратичное отклонение не превышает 0,2 кг. Оцените вероятность того, что масса наудачу взятой детали будет лежать в границах от 49,5 до 50,5 кг.

Решение. Введем случайную величину Х – масса наудачу взятой детали.

Известно, что М(Х) = 50 кг, σ = 0,2 кг, отклонение ε значений 49,5 и 50,5 от среднего 50 составляет 0,5 кг.

Воспользуемся формулой , где D(Х) = σ2 = 0,04.

Получаем, что .

Итак, вероятность того, что масса наудачу взятой детали будет лежать в границах от 49,5 до 50,5 кг, больше или равна 0,84.

Ответ: .

Пример 30.2. Вероятность выхода с автомата стандартной детали равна 0,96. С помощью неравенства Чебышева оцените вероятность того, что среди 2000 изделий брак будет составлять 60 – 100 деталей.

Решение. Введем случайную величину Х– число нестандартных деталей в партии из 2000 штук. Для того чтобы воспользоваться неравенством Чебышёва, нужно знать M[X] и D[X]. Нетрудно увидеть, что в задаче рассматривается серия повторных независимых испытаний (проверка на годность каждой из 2000 деталей), следовательно, имеем дело с биномиальным распределением, n=2000.

Вероятность успеха в одном испытании (вероятность того, что одна наудачу взятая деталь будет нестандартной) p= 1 – 0,96 = 0,04, соответственно q = 0,96.

Тогда M[X] = np = 2000·0,04 = 80 и D[X] = npq = 2000·0,04·0,96 = 76,8. Нужно оценить, что число нестандартных деталей (60-100) отличается от среднего (80) на ε = 20. Воспользуемся неравенством Чебышева: .

Подставив в него M[X] = 80, D[X] = 76,8, ε = 20, получим

Следовательно, вероятность того, что из 2000 изделий брак будет составлять 60 – 100 деталей, больше или равна 0,808.

Ответ:

Пусть А – случайное событие, связанное с некоторым опытом. Например, испытание – выстрел стрелком по мишени, событие А – поразить цель. Найти вероятность данного события по классической формуле невозможно. Тогда проведём опыт п раз в одних и тех же условиях, и пусть при этом событие А появится т раз.

Отношение числа т опытов, в которых событие А произошло, к общему числу п проведенных опытов, называется частотой события А.

Постоянная величина р, к которой все более приближается частота т/п события А при достаточно большом числе повторений опыта, называется статистической вероятностью события А.

Список литературы:

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 5, §5.1-5.4, с. 162-172.

Раздел 7. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Тема 7.1. Основы математической статистики

Задание 25. Сбор и обработка статистических данных – 2 ч.

Цель: формирование умения проводить статистические исследования: осуществлять сбор, систематизацию и проводить полную обработку статистических данных. в том числе строить графическую диаграмму выборки, рассчитывать по выборке ее числовые характеристики.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

25.1. Разберите, какие основные этапы включает в себя статистическое исследование, в виде какого ряда можно представить статистические данные, что является геометрической интерпретацией таких рядов. Изучите формулы для нахождения числовых характеристик выборки.

Основные сведения из теории:

25.2. Закончите высказывания:

а) Математическая статистика – раздел математики, изучающий …

б) Основными понятиями математической статистики являются … и …

в) Выборка должна быть …, т.е. достаточно полно отражать все изучаемые свойства генеральной совокупности.

г) Первым этапом статистического исследования является …

д) Вторым этапом статистического исследования является …

е) Статистические данные представляют в виде вариационного ряда, записываемого в виде таблицы, в верхней строке которой - …, в нижней - … .

ж) Вариационный ряд выбирается дискретный, если … или интервальный, если …, где d - ...

з) Если ряд статистический, то выписываются …, которые находятся по формуле …

и) Геометрической интерпретацией дискретного вариационного ряда является … - ломаная, …

к) Геометрической интерпретацией интервального вариационного ряда является … - ступенчатая фигура, …

л) Числовые характеристики выборки находятся по формулам:

выборочное среднее:
выборочная дисперсия: , где
выборочное среднеквадратическое отклонение:

Примеры и упражнения:

25.3. Выполните проектную работу по одной из следующих тем:

Блок «Познай себя!»

В течение месяца собирайте статистические данные по выбранной проблеме.

Сколько времени в день Вы проводите перед персональным компьютером (включая занятия в колледже)?
Сколько сигарет Вы выкуриваете за день? Какой вред своему здоровью Вы этим наносите?
Сколько минут в день Вы говорите по мобильному телефону или пользуетесь услугами ICQ?
Какую часть Вашей жизни занимает сон: проанализируйте, сколько часов в день Вы спите. Каковы гигиенические нормы сна для Вашего возраста?
Сколько времени в день Вы пользуетесь услугами сети Internet?
Сколько времени в день Вы тратите на выполнение домашнего задания?
Сколько денег в день Вы тратите на «карманные расходы» (питание, пользование услугами мобильной связи, любые текущие покупки (даже на «вредные привычки»), плату за проезд)?
Блок «Моя группа – какая она?»

Опросите всех студентов Вашей группы по выбранной проблеме.

Какова статистика роста студентов Вашей группы?
Какова статистика роста при рождении студентов Вашей группы?
Какова статистика веса при рождении студентов Вашей группы?
Сколько часов в день студенты Вашей группы уделяют занятию спортом (включая занятия по физической культуре)?
Сколько раз в месяц студенты Вашей группы употребляют спиртные напитки (включая пиво и энергетические напитки)? Какой вред своему здоровью они наносят?
Блок «Моя планета, моя страна, мой город»

Найдите соответствующие данные в сети Интернет

Проанализируйте данные о числе шайб, забитых в каждой игре чемпионата России по хоккею, прошедшему в 201__ году. Сколько в среднем шайб было забито в каждой игре?
Выберите любой вид спорта, входящий в программу олимпиады в _________. Проанализируйте данные о его результатах.
Какова экологическая ситуация в том районе, в котором я проживаю за последние 3 года (например, анализ содержания в воздухе оксида углерода по месяцам)?
Проанализировав данные о результатах в марафонском беге за последние 3 года, сделайте вывод о том, на какой возраст приходится расцвет спортивной карьеры бегуна-марафонца. Источник данных – http://www.alltime-athletics.com.
Проанализируйте данные о крупнейших авиакатастрофах ХХ века. Каково среднее число жертв в катастрофах за последний год? Источник данных – http://www.airdisasters.co.uk. Как Вы считаете, можно ли определить по этим данным наиболее опасные для полетов время года, месяц, день недели, тип самолета?
Проанализируйте последние статистические данные о самых населенных городах России. Составьте интервальный вариационный ряд с шагом d =100 тыс. человек для числа городов России с численностью более 500 тыс. человек (не включая Москву и Санкт-Петербург). Источник данных – http://rating.rbc.ru.
Анализ статистических данных по теме, выбранной Вами самостоятельно. Тема обязательно должна быть согласована с преподавателем.

Методические указания по выполнению работы:

Математическая статистика - раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Основными понятиями математической статистики являются генеральная совокупность – совокупности всех изучаемых объектов, и выборка – часть объектов генеральной совокупности. Выборка должна быть репрезентативной – достаточно полно отражать изучаемые признаки генеральной совокупности.

Статистическое исследование состоит из нескольких этапов:

Определение цели и методов исследования (опрос, наблюдение).
Сбор статистических данных (обязательное условие – данные должны выражаться числом).
Представление статистических данных в виде дискретного (если все значения целесообразно перечислить) или интервального вариационного ряда (если значения целесообразно разделить на интервалы одинаковой ширины d).

Дискретный вариационный ряд:

xi	х1	х2	х3	…	хk	∑
mi	т1	т2	т3	…	тk	п – объем выборки

Интервальный вариационный ряд:

xi	[хm; хm+d)	[хm+d; хm+2d)	…	∑
mi	т1	т2	…	п – объем выборки

где xi - варианты (те данные, которые были получены), xm – наименьшее значение изучаемого признака;

mi – частоты (показывают, сколько раз встретилась каждая варианта);

Для интервального вариационного ряда d подбирается самостоятельно таким образом, чтобы таблица содержала не более 7-8 столбцов. В нижней строке записывают сумму частот вариант, попавших в каждый интервал.

Помимо вариационного, составляют статистический ряд - таблицу, первая строка которой содержит в порядке возрастания элементы xi, а вторая – их относительные частоты fi .

Относительная частота fi - отношение частоты к объему выборки, т.е. .

Дискретный статистический ряд:

xi	х1	х2	х3	…	хk	∑
fi	f1	f2	f3	…	fk	1

Интервальный статистический ряд:

xi	[хm; хm+d)	[хm+d; хm+2d)	…	∑
fi	f1	f2	…	1

Относительная частота - аналог вероятности появления той или иной варианты. Очевидно, что

Геометрическая интерпретация статистических данных:
для дискретного вариационного ряда - полигон частот (ломаная с вершинами в точках (xi, mi));
для интервального вариационного ряда - гистограмма частот (ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, построенных на интервалах длиной d, высота которых равна отношению mi/d (плотность частоты на данном интервале)).
Нахождение числовых характеристик выборки:

№	Числовые характеристики	Формула
1	Выборочное среднее
2	Выборочная дисперсия	, где
3	Выборочное среднеквадратическое отклонение

Для интервального вариационного ряда в качестве xi выбирают середину соответствующего интервала.

Вывод по проведённой работе (достижение целей исследования).
Оформление результатов в виде презентации (см. рекомендации по созданию презентаций на стр. 9).

Пример 25.1. Данные о количестве баллов, полученных на вступительном экзамене по математике среди случайным образом выбранных десяти человек, были следующие:

4,5; 7,0; 9,0; 6,5; 9,0; 6,0; 7,0; 7,0; 8,0; 7,5.

Составьте дискретный и интервальный вариационные и статистические ряды оценок, найдите числовые характеристики выборки. Постройте полигон и гистограмму частот.

Решение. Выполним группировку статистических данных, т.е. расположим их в порядке возрастания: 4,5; 6,0; 6,5; 7,0; 7,0; 7,0; 7,5; 8,0; 9,0; 9,0.

Составим дискретный вариационный ряд:

xi	4,5	6,0	6,5	7,0	7,5	8,0	9,0	∑
mi	1	1	1	3	1	1	2	10

Составим статистический ряд:

xi	4,5	6,0	6,5	7,0	7,5	8,0	9,0	∑
fi	0,1	0,1	0,1	0,3	0,1	0,1	0,2	1

В нашем примере полигон частот выглядит следующим образом:

Составим интервальный вариационный ряд. Зададим ширину интервала d. Пусть она равна 2 баллам. Тогда в вариационном ряду вместо значений вариант будем писать диапазон значений вариант, начиная с наименьшего возможного количества баллов (4), заканчивая наибольшим (10): 4,0 – 6,0; 6,0 – 8,0; 8,0 – 10,0. Договоримся значение левой границы каждого интервала считать принадлежащим данному интервалу, а правой – нет (за исключением двух крайних значений 4,0 и 10,0– их всегда берем включительно). Для вариант, попавших в один интервал, соответствующие частоты складываются. Тогда интервальный вариационный ряд будет иметь вид:

xi	(4,0 – 6,0)	[6,0 – 8,0)	[8,0 -10,0]	∑
mi	1	6	3	10

Составим статистический ряд:

xi	(4,0 – 6,0)	[6,0 – 8,0)	[8,0 -10,0]	∑
fi	0,1	0,6	0,3	1

тi

1,5

0,5

Построим гистограмму частот. Она будет состоять из трех прямоугольников, построенных на интервалах длиной d = 2 с высотами mi/d:

высота	гистограмма частот
h1	½ = 0,5
h2	6/2 = 3
h3	3/2 = 1,5

Найдем числовые характеристики выборки:

Для дискретного вариационного ряда

= .

Это означает, что средний балл у 10 наудачу выбранных абитуриентов равен 7,15.

Тогда 52,775 – (7,15)2 = 1,6525.

балла.

Для интервального вариационного ряда в качестве xi берут середину интервалов.

= балла;

, 56,2 – (7,4)2 = 1,44,

балла.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с. – Глава 3, §3.1-3.3, с. 181-197.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 7, §7.1-7.5, с. 212-224.

Раздел 7. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Тема 7.1. Основы математической статистики

Задание 26. Интервальное оценивание М(Х) и вероятности события – 2 ч.

Цель: формирование умения рассчитывать доверительные интервалы с заданной надежностью для математического ожидания и вероятности события.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

26.1. Вспомните, какая оценка называется интервальной. Изучите алгоритмы нахождения интервальной оценки М[Х] при известной D[Х] нормального распределения и интервальной оценки вероятности события.

26.2. Исследовалось время безотказной работы 50 лазерных принтеров, выпускаемых фирмой. Из наблюдений известно, что среднее квадратичное отклонение времени безотказной работы = 16 ч. По результатам исследований получено среднее время безотказной работы =1000 ч. Постройте доверительный интервал с надежностью 0,9 для среднего времени безотказной работы.

26.3. Из 225 тестируемых в экстремальных условиях компьютеров 10 вышли из строя. Найдите интервальную оценку вероятности события А – при тестировании компьютер выйдет из стоя - с надежностью 0,99.

Методические указания по выполнению работы:

Интервальной называют такую оценку параметра, которая определяется двумя числами – концами интервала.

При нахождении интервальной оценки удобно использовать следующие алгоритмы:

1. Нахождение интервальной оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии (известном среднеквадратическом отклонении)

Пусть – выборочное среднее, рассчитанное по данным, полученным в ходе эксперимента, тогда искомое значение математического ожидания а с доверительной вероятностью α будет принадлежать промежутку (-δ; +δ):

-δ +δ х

δ – точность оценки, находится по формуле: , где

п – объем выборки,

σ – среднеквадратическое отклонение (задано в условии задачи),

t – аргумент функции Лапласа, при котором , находится по таблице (приложение 2).

Алгоритм поиска доверительного интервала при заданных значениях х*, σ, надежности α можно представить в виде схемы:

Прилож.2 t ()

Пример 26.1. При контрольном испытании 100 батареек был определен средний срок службы батареек при максимальной нагрузке = 20 часов. Считая, что срок службы батареек распределен нормально с σ = 5 часов, найдите доверительный интервал для оценки с надежностью 0,9 неизвестного математического ожидания а.

Решение. Требуется найти доверительный интервал .

Поскольку надежность α = 0,9, то = 0,45.

Найдем t из соотношения Ф(t) = 0,45. По таблице приложения 2 находим t = 1,65.

По формуле , где t = 1,65, σ = 5 часов, п = 100 (число испытаний – испытывалось 100 батареек), найдем δ: (часов).

Получаем доверительный интервал ;

20 – 0,825 < a < 20 + 0,825;

19,175 < a < 20,825.

Ответ: с надежностью 0,9 неизвестное математическое ожидание а

принадлежит интервалу (19,175; 20,825).

2. Нахождение интервальной оценки вероятности события

Рассмотрим формулу для нахождения вероятности события Р(А), если число испытаний п гораздо больше 100. Пусть р = – частота события, рассчитанная по данным, полученным в ходе эксперимента, тогда искомое значение вероятности Р(А) с доверительной вероятностью α будет принадлежать промежутку (р-δ; р+δ), где

δ – точность оценки, находится по формуле: ,

п – объем выборки,

t – аргумент функции Лапласа, при котором , находится по таблице (приложение 2).

Алгоритм поиска интервальной оценки вероятности события с надежностью α можно представить в виде схемы:

Приложение2 t()

Пример 26.2. Из 500 случайным образом отобранных деталей оказалось 25 нестандартных. Найдите интервальную оценку вероятности события А – выбрать нестандартную деталь - с надежностью 0,95.

Решение. По условию α = 0,95, п = 500, т = 25.

Тогда р = , р = 25/500 = 0,05.

По схеме нахождения интервальной оценки вероятности события

α/2 = 0,95/2 = 0,475. По таблице значений функции Лапласа находим t=1,96.

Вычислим δ по формуле: .

Получаем доверительный интервал :

0,05 – 0,019 < Р(А)< 0,05 + 0,019

0,031 < Р(А)< 0,069.

Полученный результат означает, что с надежностью 0,95 неизвестная вероятность появления нестандартной детали принадлежит интервалу (0,031; 0,069).

Список литературы:

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с. - Глава 8, §8.1-8.4, с. 225-243.

ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ

Цель: обобщение и систематизация знаний, полученных при изучении дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика», расширение кругозора студентов в области приложения знаний по дисциплине, развитие творческих способностей студентов.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

П1. В газете «Окно» 8 страниц. Сколькими способами в ней можно разместить 4 фотографии, если на каждой страницы должно быть не более 1 фотографии?

П2. Одна и та же контрольная работа была проведена в трех параллельных группах. В первой группе из 30 студентов на «отлично» выполнили работу 3 человека, во второй из 25 – 5 человек, в третьей из 24 – 3 человека. Какова вероятность того, что при повторной проверке из наугад выбранной стопки выберут тетрадь студента, получившего «отлично»?

П3. Два друга договорились сыграть в настольный теннис 5 партий. Вероятность выигрыша первого оценивается как . Составьте закон распределения числа партий, выигранных первым игроком. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа выигранных первым игроком партий.

П4. Жильцы проанализировали количество сжигаемых в месяц киловатт по показаниям счетчика за электроэнергию в течение трех лет. Получились следующие данные:

потребляемое к-во энергии (кВатт)	100-120	120-140	140-160	160-180	180-200	∑
число месяцев	3	10	12	7	4	36

Найдите выборочную среднюю, постройте гистограмму частот.

П5. Ответьте на следующие вопросы:

Какими функциями можно задать непрерывную случайную величину? Какими свойствами они обладают?
Какие законы распределения НСВ существуют? Какой вид имеет функция плотности вероятности для каждого закона?
Как изменится вид кривой Гаусса для закона нормального распределения, если изменять поочередно параметры а и σ?

П6. Составьте кроссворд по дисциплине, включив в него изученные понятия, факты из истории теории вероятностей и математической статистики.

П7. Подберите литературу и оформите письменный доклад или создайте электронную презентацию по одой из тем:

«Теория вероятностей и области ее применения»;
«Теория вероятностей и моя будущая профессия»;
«Теория вероятностей – это интересно!»;
«Нормальное и показательное распределение вокруг нас».

Методические указания по выполнению работы:

Проанализируйте, к какому разделу теории вероятностей и математической статистики может быть отнесена каждая задача. Попробуйте самостоятельно найти алгоритм решения задач. Если это Вам не удается, воспользуйтесь следующими указаниями:

П1. Вспомните, какие основные понятия комбинаторики существуют (размещения, перестановки, сочетания). В чем их принципиальное отличие? Какое комбинаторное понятие применимо при решении данной задачи? При необходимости внимательно изучите методические указания к решению комбинаторных задач.

П2. Вспомните, какие основные приемы нахождения вероятности событий существуют (классическое определение вероятности, теоремы сложения, умножения вероятностей, метод графов, формулы полной вероятности и Байеса, формула Бернулли). Какую из них можно применить для решения данной задачи? Обратите внимание на наличие гипотез. При необходимости внимательно изучите методические указания к решению задач на формулу полной вероятности.

П3. Вспомните, как составлять закон распределения ДСВ (не забудьте выделить испытания и проанализировать, зависимые они или независимые). Идет ли в задаче речь о классических распределениях: биномиальном или аналогичном геометрическому? При необходимости внимательно изучите методические указания к решению задач на составление закона распределения ДСВ.

П4. Обратите внимание, дискретный или интервальный вариационный ряд представлен в условии задачи. Какова его геометрическая интерпретация и числовые характеристики. При необходимости внимательно изучите методические указания к решению задач по математической статистике.

П5. Внимательно изучите теоретический материал учебника или конспект лекций.

Список литературы:

1. Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с.

КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ВЫПОЛНЕНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ

ВНЕАУДИТОРНОЙ РАБОТЫ

Вид и наименование

работы

Вид

контроля

Критерии оценок

«отлично»

«хорошо»

«удовлетворительно»

«неудов-но» или работа не

засчитывается

1. Изучение материала лекции или учебника

Устный контроль

1. Демонстрирует полное усвоение изученных понятий

2. Иллюстрирует теорию примерами

3. Не нуждается в наводящих вопросах

1. Демонстрирует усвоение изученных понятий

2. Иллюстрирует теорию примерами

3. Возможны 1-2 наводящих вопроса

1. Демонстрирует понимание вопроса

2. Имеются затруднения в формулировке понятий

3. Отвечает на наводящие вопросы

1. Демонстрирует непонимание вопроса

2. Не может сформулировать понятия

3. Не отвечает на наводящие вопросы преподавателя

2. Решение

задач, упражнений, домашней контрольной работы

Письменный

контроль

Задачи решены

безошибочно или допущено не более 2 недочетов (96-100% работы)

Допущено не более одной негрубой ошибки и двух недочетов

(выполнено 80 – 95% работы)

Допущено не более одной грубой ошибки и трех недочетов

(выполнено 50 – 79% работы)

Выполнено менее 50% работы.

3. Выполнение проектной работы и подготовка презентации

Показ презентации

Проведены полные правил. обработка и анализ собранных стат. данных, сделаны выводы.
Презентация составлена в соотв. с требованиями.
Хорошее представление презентации

Проведены в целом правил. обработка и анализ собранных стат. данных, сделаны выводы.
Недостаточная наглядность презентации.
Хорошее представление презентации

Проведены в целом правил. обработка и анализ собранных стат. данных, но не сделаны выводы.
Недостаточная наглядность презентации.
Удовлетвор. представление презентации

Проведены неверные обработка и анализ собранных стат. данных.
Презентация не представлена.

4. Составление генеалогического дерева

Письменный

контроль

1. Генеалогическое дерево составлено грамотно.

2. В дереве присутствует не менее 4 ярусов.

3. Оформление работы соответствует требованиям.

4 .Уровень эстетического оформления работы высокий.

1. Генеалогическое дерево составлено грамотно.

2. В дереве присутствует 3 яруса.

3. Оформление работы соответствует требованиям.

4. Уровень эстетического оформления работы недостаточно высокий.

1. Генеалогическое дерево составлено грамотно.

2. В дереве присутствует 3 яруса.

3. Оформление работы не полностью соответствует требованиям.

4. Уровень эстетического оформления работы невысокий.

1. Генеалогическое дерево составлено неграмотно.

2. В дереве присутствует менее 3 ярусов.

3. Оформление работы не соответствует требованиям.

5. Составление кроссвордов

Письменный

контроль

1. Корректное определение терминов и понятий.

2. Хорошая грамотность.

3. Хорошее эстетическое оформление

1. Небольшие недочеты в формулировках терминов и понятий.

2. Недостаточное эстетическое оформление

1. Существенные недочеты в формулировках терминов и понятий.

2. Плохое эстетическое оформление

3. Низкая грамотность

1. Не предоставлен кроссворд.

2. Допущены грубые ошибки в формулировках вопросов.

6. Подготовка докладов, сообщений

Устное выступление, проверка текста доклада

1. Текст составлен в соответствии с планом.

2. Логичное изложение.

3. Четкая дикция

4. Оформление доклада соотв. требованиям

1. Небольшие неточности в тексте доклада.

2. Неточности в изложении доклада.

3.Оформление доклада соотв. требованиям

1. Неточности в тексте доклада.

2. Неточности в изложении доклада.

3. Плохая дикция

4. Оформление доклада не полностью соответствует требованиям

1. Нет текста доклада.

2. Студент не готов к выступлению

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература:

Спирина М.С. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для студ. учредж. СПО / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М: Изд. центр «Академия», 2012. – 352 с.
Письменный, Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис пресс, 2010. – 288 с.

Дополнительная литература:

Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк., 2009. – 479 с.
Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие. - 11-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. – 404 с..
Калинина В.Н. Математическая статистика: учебник для ССУЗов / В.Н. Калинина, В.Ф.Панкин - М: Высш.шк., 2002. – 336 с.
Спирина М.С. Дискретная математика: учебник для студ. СПО / М.С. Спирина , П.А. Спирин. - М.: Академия, 2012. – 368 с.
Кочетков Е.С. Теория вероятностей в задачах и упражнениях: учебное пособие / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская. – М.: Форум: Инфра-М, 2005. – 480 с.
Афанасьев В.В. Теория вероятностей в примерах и задачах: учебное пособие / В.В.Афанасьев Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 1994. – 123 с.
Афанасьев В.В. Введение в теорию вероятностей с помощью графов / В.В.Афанасьев // Математика. – 1999. - №35. – С.8-12. – («Приложение к газете 1 сентября».)
Афанасьев В.В. Теория вероятностей: учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности «Математика» / В.В.Афанасьев. – М.: Изд-во «Владос», 2007 – 351 с.
Афанасьев В.В. Школьникам о статистике в играх: учебное пособие / В.В.Афанасьев, М.А.Суворова. - Ярославль, Изд-во ЯГПУ, 2012. – 153 с.

Приложение 1

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3905	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3825
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3725	3712	3697
0,4	3683	3668	3653	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	3011	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	0,2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0135	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3,0	0,0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	006
3,6	0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3,7	0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001
4,0	0,0001	0001	0001	0001	0001

Таблица значений функции , где , причём =.

Приложение 2

Таблица значений функции Лапласа Ф(х), где , причём Ф(х) = - Ф(х).

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,0000	0040	0080	0120	0159	0199	0239	0279	0319	0359
0,1	0398	0438	0478	0517	0557	0596	0636	0675	0714	0753
0,2	0793	0832	0871	0909	0948	0987	1026	1064	1103	1141
0,3	1179	1217	1255	1293	1331	1368	1406	1443	1480	1517
0,4	1554	1591	1628	1664	1700	1736	1772	1808	1844	1879
0,5	1915	1950	1985	2019	2054	2088	2123	2157	2190	2224
0,6	2257	2291	2324	2356	2389	2421	2454	2486	2517	2549
0,7	2580	2611	2642	2673	2703	2734	2764	2793	2823	2852
0,8	2881	2910	2939	2967	2995	3023	3051	3078	3106	3133
0,9	3159	3186	3212	3238	3264	3289	3315	3340	3365	3389
1,0	0,3413	3437	3461	3485	3508	3531	3554	3577	3599	3621
1,1	3643	3665	3686	3708	3728	3749	3770	3790	3810	3830
1,2	3849	3869	3888	3906	3925	3943	3962	3980	3997	4015
1,3	4032	4049	4066	4082	4099	4115	4131	4147	4162	4177
1,4	4192	4207	4222	4236	4251	4265	4279	4292	4306	4319
1,5	4332	4345	4357	4370	4382	4394	4406	4418	4429	4441
1,6	4452	4463	4474	4484	4495	4505	4515	4525	4535	4545
1,7	4554	4564	4573	4582	4591	4599	4608	4616	4625	4633
1,8	4641	4684	4656	4664	4671	4678	4686	4692	4699	4706
1,9	4713	4719	4726	4732	4738	4744	4750	4756	4761	4767
2,0	0,4772	4778	4783	4788	4793	4798	4803	4808	4812	4817
2,1	4821	4826	4830	4834	4838	4842	4846	4850	4854	4857
2,2	4861	4864	4868	4871	4874	4878	4881	4884	4887	4890
2,3	4893	4896	4898	4901	4904	4906	4909	4911	4913	4916
2,4	4918	4920	4922	4924	4927	4929	4930	4932	4934	4936
2,5	4938	4940	4941	4943	4945	4946	4948	4949	4951	4952
2,6	4953	4955	4956	4957	4958	4960	4961	4962	4963	4964
2,7	4965	4966	4967	4968	4969	4970	4971	4972	4973	4974
2,8	4974	4975	4976	4977	4977	4978	4979	4979	4980	4981
2,9	4981	4982	4982	4983	4984	4984	4985	4985	4985	4986
3,0	0,4986
3,1	0,4990
3,2	0,4993
3,3	0,4995
3,4	0,4997
3,5	0,49981
3,6	0,49985
3,7	0,49989
3,8	0,49993
3,9	0,49995
4,0	0,499968
4,5	0,499997
5,0	0,4999997

1. экономическую задачу обеспечить с помощью рыночных методов хозяйствования устойчивый рост валового внут
2. Гигиенические требования к условиям труда медицинского персонала
3. Владимир Лобов
4. Полевые и камеральные работы при наземной стереофотограмметрической съемке
5. Zdchk.ru Таблица для заполнения ответов на задания IV Всероссийской дистанционной олимпиады по хи.
6. 2D модели Компонент канал должен быть использован когда определяется геометрия канал будет передать значит
7. Феникс изд. 3е 2004
8. практикум по дошкольной педагогике Учебнометодический комплекс курса Специальность- 050703
9. методическое пособие Древний период Самый длительный период в истории человечества каменный век И
10. Количество массовых мероприятий 56 из них-

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе

тематическая статистика для специальности 230401 ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ ПО ОТРАСЛЯМ по программе баз

Поможем написать учебную работу

Выберите тип работы:

СОДЕРЖАНИЕ

Каждое задание включает в себя:

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РАБОТЕ С УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИМ ПОСОБИЕМ

Уважаемые студенты!

Прежде чем приступить к выполнению заданий, прочтите рекомендации по работе с данным учебно-методическим пособием.

Каждая задача по теории вероятностей – особенная, и нужно постараться найти путь, ключ к ее решению.

Не торопитесь сразу же решать задачи, заданные преподавателем!

Внимательно изучите теоретический материал!

Такие задания в пособии обозначены символом .

Затем постарайтесь самостоятельно решить задачи.

Не забудьте выписать исходные данные, решение, ответ.

Задания для письменного решения обозначены в пособии символом .

Если Вы никак не можете отыскать ключ к решению задачи, внимательно прочтите

методические указания по выполнению работы. В них вы найдете:

Если Вас заинтересовала эта тема, Вы хотите испытать себя и решить более сложные задачи, то попробуйте решить задачи, обозначенные символом .

Если Вы хотите узнать о критериях оценки, которые поставит Вам преподаватель за выполненную работу, обратитесь к критериям оценки (стр. 46)

Помните, что работа должна быть выполнена к следующему занятию по дисциплине!

Успехов Вам!!!

Если знания, полученные на занятии, не кажутся Вам исчерпывающими, обратитесь

к списку рекомендуемой литературы (стр. 47).РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗНЫХ ВИДОВ

САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Доклад на тему «_______________________»

Дисциплина: Теория вероятностей

и математическая статистика

Выполнил: студент группы ___

__________________________

Вер - ть

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

Р

к списку рекомендуемой литературы (стр. 47).
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАЗНЫХ ВИДОВ