Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ»
( специальность «Математика»)
Декартовы координаты на прямой. Направленный отрезок. Операции над направленными отрезками. Длина направленного отрезка. Основное тождество.
Декартова плоскость. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости. Расстояние между двумя точками. Проекция направленного отрезка на ось и ее свойства.
Векторы, Основные определения. Равенство векторов. Линейные операции над векторами и их свойства.
Коллинеарные векторы. Теорема о коллинеарных векторах.
Прямоугольные декартовы координаты в пространстве. Расстояние между двумя точками. Проекция направленного отрезка на ось и ее свойства.
Деление отрезка в данном отношении. Вычисление координат центра тяжести системы материальных точек.
Понятие линейно зависимой и линейно независимой системы векторов. Теоремы.
Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы из двух векторов, из трех векторов.
Система из четырех векторов в пространстве.
Аффинные координаты в пространстве. Базис. Координаты вектора в данном базисе. Единственность разложения по базису. Прямоугольная система координат как частный случай аффинной. Теорема о прямоугольных декартовых координатах вектора в пространстве.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Выражение скалярного произведения в декартовых координатах.
Векторное произведение векторов. Определения. Примеры. Геометрические свойства векторного произведения. Алгебраические свойства векторного произведения. Выражение векторного произведения в декартовых координатах.
Площадь треугольника на плоскости и в пространстве.
Смешанное произведение векторов и его свойства. Геометрический смысл смешанного произведения векторов. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах.
Двойное векторное произведение векторов и его свойства. Теорема о вычислении двойного векторного произведения.
Общее уравнение прямой на плоскости. Частные виды уравнения прямой на плоскости. Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Каноническое, параметрические и векторное уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой в отрезках. Углы между прямыми, взаимное расположение прямых на плоскости.
Уравнение прямой в нормальной форме. Отклонение точки от прямой. Расстояние от очки до прямой.
Пучок прямых на плоскости. Теорема.
Общее уравнение плоскости в пространстве. Частные виды общего уравнения плоскости.
Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки, не лежащие на одной прямой. Векторное и параметрические уравнения плоскости.
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
Нормированное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
Различные виды уравнения прямой в пространстве. Прямая как линия пересечения двух плоскостей.
Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Условия принадлежности двух прямых одной плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между двумя прямыми в пространстве.
Переход от одной аффинной системы координат к другой без изменения начала координат. Матрица перехода.
Переход от одной аффинной системы координат к другой с изменением начала координат.
Переход от одной прямоугольной системы координат к другой на плоскости.
Переход от одной прямоугольной системы координат к другой в пространстве. Ортогональные матрицы и их свойства.
Полярная система координат на плоскости. Уравнения кривых в полярных координатах. Примеры. Переход к прямоугольной системе координат.
Сферические и цилиндрические координаты в пространстве. Их связь с прямоугольными декартовыми координатами.
Конические сечения и их свойство. Уравнения конических сечений в полярных координатах.
Уравнения конических сечений в канонической форме.
Эллипс и его свойства. Вывод основных формул.
Гипербола и ее свойства. Вывод основных формул.
Парабола и ее свойства.
Касательные к коническим сечениям. Вывод уравнений. Свойство касательной.
Диаметры конического сечения. Сопряженные диаметры.
Оптические свойства конических сечений.
Алгебраические линии и поверхности. Порядок линии и поверхности. Инвариантность степени алгебраического многочлена при преобразованиях координат.
Преобразование алгебраического многочлена второй степени от двух переменных при преобразованиях координат.
Преобразование алгебраического многочлена второй степени от трех переменных при преобразованиях координат.
Ортогональное преобразование координат. Ортогональные инварианты кривой второго порядка.
Ортогональные инварианты поверхности второго порядка.
Приведение квадратичной формы от двух переменных к каноническому виду.
Теорема.
Приведение квадратичной формы от трех переменных к каноническому виду. Теоремы о существовании соответствующей системы координат и коэффициентах канонического представления.
Преобразование коэффициентов кривой второго порядка при повороте. Определение угла поворота.
Центральные кривые второго порядка. Классификация центральных кривых. Нецентральный случай классификации кривых второго порядка.
Центр поверхности второго порядка. Теоремы о числе линейно независимых векторов, соответствующих корням характеристического уравнения.
Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Центральный случай.
Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду. Нецентральный случай.
Поверхности вращения. Правило вывода уравнения поверхности вращения.
Вывод уравнений поверхностей вращения второго порядка.
Канонические уравнения эллипсоида, конуса, цилиндров. Вывод уравнений и исследование их методом сечений.
Канонические уравнения однополостного и двуполостного гиперболоидов. Вывод уравнений и исследование их методом сечений.
Канонические уравнения эллиптического и гиперболического параболоидов. Вывод уравнений и исследование их методом сечений.
Прямолинейные образующие гиперболического параболоида, однополостного гиперболоида и конуса.
Аффинные преобразования плоскости и пространства. Свойства аффинных преобразований. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей.
Аффинная классификация кривых второго порядка.
Аффинная классификация поверхностей второго порядка.
Движения плоскости и пространства, их свойства. Классификация движений плоскости.
Канонический вид движений плоскости.
Движения трехмерного пространства. Классификация движений пространства.
Канонический вид движений пространства.
Группы преобразований плоскости и пространства.
Преобразование подобия. Теорема.
Пополненная плоскость и связка. Однородные координаты.
Уравнение прямой на плоскости в однородных координатах.
Арифметическая проективная плоскость. Общее определение проективной плоскости. Модели проективной плоскости.
Принцип двойственности для проективной плоскости.
Проективная система координат.
Преобразование проективных координат.
Проективные преобразования проективной плоскости. Основная теорема о проективных преобразованиях.
Кривые второго порядка на проективной плоскости. Теорема единственности.
Проективная классификация кривых второго порядка.