Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
11
Преобразование сигналов в нелинейных
радиотехнических цепях
Большинство процессов (нелинейное усиление сигналов, модуляция,
демодуляция, ограничение, генерация, умножение, деление и перенос частоты и т. д.), связанных с преобразованием спектра сигналов, осуществляют с помощью нелинейных и параметрических цепей. В нелинейных цепях параметры элементов зависят от входных воздействий, и процессы, протекающие в них, описывают нелинейными дифференциальными уравнениями. При этом к ним неприменим принцип суперпозиции. Эти цепи отличаются большим разнообразием и поэтому не существует общих методов их анализа.
Анализ нелинейных цепей мы ограничим рассмотрением только их определённого класса. Это радиотехнические цепи, анализ которых проводится в основном с помощью вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Промежуточное положение между линейными и нелинейными цепями занимают параметрические цепи, которые являются линейными и к которым применим принцип суперпозиции. Однако в спектре выходного сигнала таких цепей могут появиться новые частоты. Параметрические цепи описывают линейными дифференциальными уравнениями с переменными (т. е. зависящими от времени) коэффициентами. Теория этих уравнений по сравнению с теорией линейных уравнений с постоянными коэффициентами более сложна. Некоторые параметрические цепи работают в существенно нелинейном режиме. Это позволяет методологически объединить параметрические цепи с нелинейными цепями, тем более что результат обработки сигнала связан с преобразованием его спектра.
Аппроксимация характеристик нелинейных элементов
В общем случае анализ процесса преобразования сигналов в нелинейных цепях – весьма сложная задача, что связано с проблемой решения нелинейных дифференциальных уравнений. При этом неприменим принцип суперпозиции, так как параметры нелинейной цепи при воздействии одного источника входного сигнала отличаются от её параметров при подключении нескольких источников. Однако исследование нелинейных цепей удаётся осуществить сравнительно простыми методами, если нелинейный элемент (НЭ) отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность НЭ означает мгновенное установление отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Строго говоря, безынерционных (резистивных, или омических, т.е. только поглощающих энергию входного сигнала) практически не существует. Все нелинейные элементы – диоды, транзисторы, аналоговые и цифровые микросхемы, – обладают инерционными свойствами. В то же время современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам и их удаётся идеализировать с точки зрения безынерционности.
Нелинейные динамические системы описывают нелинейными дифференциальными уравнениями, в этих системах нелинейность обязательно присутствует. Нелинейную цепь можно определить не только по входящим в нее элементам, но и по внешним признакам, к числу которых при гармоническом входном сигнале относят:
Известны и используют следующие методы анализа нелинейных цепей при прохождении через них детерминированных сигналов:
фильтрации высших гармоник сигнала на выходе цепи;
нелинейных уравнений, описывающих работу устройства;
выходного сигнала;
помощью компьютера;
Наиболее часто используют метод анализа нелинейных цепей, основанный на линеаризации характеристик НЭ при фильтрации высших гармоник сигнала на выходе цепи.
Линеаризация (от лат. linearis – линейный) – метод приближённого
представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование
нелинейной системы заменяют анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной. Методы линеаризации имеют ограниченный характер, т. е. эквивалентность исходной нелинейной системы и её линейного приближения сохраняется лишь при определённом «режиме» работы системы, а если система переходит из одного режима работы на другой, то следует изменить и её линеаризированную модель. Вместе с тем, применяя линеаризацию, можно выяснить многие качественные и количественные свойства нелинейной системы.
В качестве примера нелинейных цепей, точнее элементов, можно привести полупроводниковый выпрямительный диод, оставляющий от синусоидального сигнала только однополярные (положительные или отрицательные) полусинусоиды, или трансформатор, насыщение сердечника которого магнитным полем приводит к «затуплению» вершин синусоиды (а с точки зрения частотного спектра, это сопровождается появлением гармоник основной частоты, а иногда и частот меньшей в кратное число раз основной частоты – субгармоник).
При использовании метода линеаризации анализ прохождения сигнала
через нелинейную цепь сравнительно просто осуществить, если нелинейный
элемент отвечает условиям безынерционности. Физически безынерционность нелинейного элемента (НЭ) означает мгновенное изменение отклика на его выходе вслед за изменением входного воздействия. Если говорить строго, то безынерционных (резистивных, или омических, т. е. поглощающих энергию сигнала) НЭ практически не существует. Все НЭ – диоды, транзисторы, микросхемы, электровакуумные приборы и т. д. – обладают инерционными свойствами. Вместе с тем, современные полупроводниковые приборы достаточно совершенны по своим частотным параметрам, и их удаётся идеализировать с точки зрения безынерционности.
Большинство нелинейных радиотехнических цепей и устройств определяется структурной схемой, представленной на рис.1.
Рис.1. Структурная схема нелинейного устройства
Согласно этой схеме, входной сигнал непосредственно воздействует на нелинейный элемент, к выходу которого подключён фильтр (линейная цепь).
В этих случаях процесс в радиоэлектронной нелинейной цепи можно охарактеризовать двумя независимыми друг от друга операциями.
В результате первой операции в безынерционном нелинейном элементе происходит такое преобразование формы входного сигнала, при котором в его спектре появляются новые гармонические составляющие. Вторую операцию осуществляет фильтр, выделяющий нужные спектральные составляющие преобразованного входного сигнала. Меняя параметры входных сигналов и используя различные нелинейные элементы и фильтры, можно осуществлять требуемую трансформацию спектра. К такой удобной теоретической модели сводятся многие схемы модуляторов, детекторов, автогенераторов, выпрямителей, умножителей, делителей и преобразователей частоты.
Как правило, нелинейные цепи характеризуются сложной зависимостью между входным сигналом и выходной реакцией , которую в общем виде можно записать так:
.
В нелинейных цепях с безынерционными НЭ в качестве воздействия наиболее удобно рассматривать входное напряжение , а отклика – выходной ток , связь между которыми определяется нелинейной функциональной зависимостью:
...................... (1)
Данное соотношение аналитически может представлять собой обычную вольтамперную характеристику НЭ. Такой характеристикой обладает и нелинейный двухполюсник (полупроводниковый диод), и нелинейный четырёхполюсник (транзистор, ОУ, цифровая микросхема), работающий в нелинейном режиме при различных амплитудах входного сигнала. Вольтамперные характеристики (для нелинейных элементов их получают экспериментально) большинства НЭ имеют сложный вид, поэтому представление их аналитическими выражениями является достаточно трудной задачей. Как правило, не имеет большого смысла проектирование систем анализа и обработки сигналов по высокоточным формулам, если снижение погрешности расчётов и соответствующее усложнение систем не дает ощутимого эффекта в повышении точности обработки данных. Во всех этих условиях возникает задача аппроксимации – представление исходных сложных функций простыми и удобными для практического использования относительно простыми функциями (или их набором) таким образом, чтобы отклонение от в области её задания было наименьшим по определенному критерию приближения. Функции называют функциями аппроксимации. Нахождение аналитической функции по экспериментальной вольт-амперной характеристике нелинейного элемента называют аппроксимацией.
В радиотехнике и теории передачи информации используются несколько способов аппроксимации характеристик НЭ – степеннáя, показательная, кусочно-линейная (линейно-ломаная). Наибольшее распространение получили аппроксимация степенным полиномом и кусочно-линейная аппроксимация сложных функций.
Аппроксимация ВАХ степенным полиномом
Данный вид аппроксимации особенно эффективен при малых амплитудах входных сигналов (как правило, доли вольта) в тех случаях, когда характеристика НЭ имеет вид гладкой кривой, т.е. кривая и её производные непрерывны и не имеют скачков. Наиболее часто при аппроксимации в качестве степеннго полинома используют ряд Тейлора:
, ....... (2)
где – постоянные коэффициенты;
– значение напряжения , относительно которого ведётся разложение в ряд и называемое рабочей точкой.
Постоянные коэффициенты ряда Тейлора определяются известной формулой
. .................. (3)
Оптимальное число членов ряда берётся в зависимости от требуемой точности аппроксимации. Чем больше выбрано членов ряда, тем точнее аппроксимация. Аппроксимацию характеристик обычно удаётся достаточно точно осуществить полиномом не выше второй-третьей степени. Для отыскания неизвестных коэффициентов ряда (2) необходимо задаться диапазоном , нескольких возможных значений напряжения и положением рабочей точки в этом диапазоне. Если требуется определить коэффициентов ряда, то на заданной характеристике выбирается точек со своими координатами . Для упрощения расчётов одну точку совмещают с рабочей точкой , имеющей координаты ; ещё две точки выбираются на границах диапазона и . Остальные точки располагают произвольно, но с учётом важности аппроксимируемого участка ВАХ. Подставляя координаты выбранных точек в формулу (2), составляют систему из уравнений, которая решается относительно известных коэффициентов ряда Тейлора.
Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ
В большинстве практических случаев, когда на нелинейный элемент радиоэлектронной цепи воздействует сигнал значительной амплитуды, реальную ВАХ нелинейного элемента можно аппроксимировать кусочно-линейной линией, состоящей из нескольких отрезков прямых с различными углами наклона к оси абсцисс. Данная аппроксимация связана непосредственно с двумя важными параметрами нелинейного элемента – напряжением начала характеристики и её крутизной (рис.2).
Рис.2. Кусочно-линейная аппроксимация входной
характеристики транзистора
В общем случае дифференциальная крутизна характеристики в рабочей точке определяется отношением приращения тока к приращению напряжения, и при малых их значениях имеем
.................................... (4)
(Крутизна вольт-амперной характеристики измеряется в ).
Уравнение отрезка прямой при кусочно-линейной аппроксимации характеристики записывается в виде
....................... (5)
Во многих радиотехнических устройствах характеристику нелинейного элемента, к которому подводится сигнал большой амплитуды, удаётся с приемлемой точностью аппроксимировать всего двумя отрезками прямых линий.
Пример 1. Экспериментально снятая входная характеристика транзистора КТ601А представлена на рис.2 штриховой линией. Выполнить кусочно-линейную аппроксимацию данной характеристики в окрестности рабочей точки
Решение. В соответствии с заданной ВАХ транзистора находим, что величина тока базы в рабочей точке . Крутизну характеристики в рабочей точке вычислим приближённо по формуле (4). Задав линейное приращение напряжения
, находим приращение тока базы:
.
Тогда крутизна ВАХ определится как
В результате проведенной аппроксимации характеристики ток базы транзистора в окрестности рабочей точки с координатами , определится как:
;
Подставив значения величин , и , получим:
Из этой формулы следует, что при ток базы транзистора должен принимать отрицательные значения, что не отражается заданной характеристикой. Значит, полученная функция будет аппроксимировать заданную зависимость только при амплитуде входного напряжения . Если же входное напряжение будет
, то можно принять . Таким образом, аппроксимирующая функция (сплошная линия на рис.2), отражающая характеристику транзистора, запишется в следующем виде:
Повышение точности аппроксимации характеристик нелинейных элементов достигается увеличением количества отрезков линий. Однако это усложняет аналитическое выражение аппроксимирующей функции.
Отклик нелинейной цепи на гармонический входной сигнал
Как уже отмечалось ранее, существенно упростить анализ процессов в нелинейной радиоэлектронной цепи удаётся при её теоретическом представлении последовательно соединёнными безынерционным нелинейным элементом и линейной цепью – фильтром. Проанализируем физические процессы, протекающие в нелинейной цепи (рис.3), при воздействии на вход безынерционного нелинейного элемента гармонического сигнала и постоянного напряжения смещения .
Рис.3. Схема цепи с нелинейным элементом
Используя ВАХ нелинейного элемента и проведя несложные графические построения, найдём аналитическую запись форму тока в радиоэлектронной цепи в зависимости от фазового угла (рис.4).
Вследствие нелинейности характеристики форма тока на выходе становится несинусоидальной. Причину этого искажения гармонического колебания можно пояснить следующим образом.
Рис.4. График процессов в нелинейном элементе
Так как ток и напряжение связаны линейной зависимостью , а крутизна ВАХ на разных участках неодинаковая (имеет нелинейный характер), то равным приращениям напряжения соответствуют неравные приращения тока.
Поскольку функция тока обладает периодичностью, то её можно представить тригонометрическим рядом Фурье:
...................... (6)
Здесь , – амплитуды постоянной и гармонических составляющих.
Спектр тока в цепи с НЭ при степеннй аппроксимации
его характеристики
Пусть суммарное напряжение источников смещения и входного гармонического сигнала
................... (7)
приложено к нелинейному элементу, ВАХ которого в окрестности рабочей точки аппроксимирована полиномом Тейлора вида:
2 3 ....... (8)
Подставив формулу (7) в выражение (8), получим:
.....
Используя известные формулы разложения степеней косинусов, получим:
; ;
и т.д.
Выполнив подстановки и упростив выражения, запишем общее выражение для тока нелинейной цепи в компактной форме:
....... (9)
Здесь постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока:
..... ;
..... ; ......... (10)
..... ;
..... .
Анализ состава формул (10) показывает, что при степеннй аппроксимации характеристики гармонический состав тока в цепи с НЭ существенно зависит от степени полинома. При этом постоянная составляющая и амплитуды чётных гармоник определяются чётными, а амплитуды нечётных гармоник – нечётными коэффициентами степеннго полинома.
Спектр тока в цепи с НЭ при кусочно-линейной
аппроксимации его характеристики
Пусть суммарное гармоническое и постоянное напряжение вида (7) подаётся на вход электрической цепи с НЭ, характеристика которого аппроксимирована кусочно-линейной линией и описывается формулой (5). В этом случае временнáя диаграмма тока, протекающего через нелинейные цепи, имеет форму косинусоидальных импульсов с отсечкой их нижней части (рис.5).
Рис.5. Форма тока при кусочно-линейной аппроксимации
характеристики НЭ
Параметр (в радианах или градусах), при котором ток изменяется от максимального значения до нуля, называется углом отсечки.
(Другое определение этого параметра: угол, соответствующий половине той части периода, в течение которой в выходной цепи нелинейного элемента протекает ток, называется углом отсечки и обозначается буквой ).
Изменение фазы, соответствующее длительности полного импульса на выходе цепи, равно . Из графиков рис.5 можно определить, что при фазовом угле напряжение начала характеристики
,
откуда
........................ (11)
Подставив в формулу (5) суммарное напряжение источников сигнала и смещения из выражения (7) и напряжение начала характеристики получим аналитическую запись формы тока в зависимости от фазового угла:
, при условии . ...... (12)
Полученную чётную функцию периодической последовательности импульсов тока (12) можно разложить в тригонометрический ряд Фурье (8), в котором период повторения составляет , длительность импульса - , а текущей переменной является мгновенный фазовый угол .
В этих импульсах тока постоянная составляющая запишется следующим образом:
. ....... (13)
Амплитуда первой гармоники
. ....
.... (14)
Подобным же образом определяются амплитуды гармонических составляющих и для .... . При этом обобщённая формула для вычисления этих гармоник будет:
. ................ (15)
В радиотехнике полученные результаты записываются в специальной форме:
; ; ..... ....... (16)
Здесь , , ...... , – так называемые функции (коэффициенты) Берга, или коэффициенты гармоник, отражающие величины присутствующих гармоник в спектре преобразованного тока, которые аналитически записываются следующим образом:
,
,
, ............ (17)
где ......
Пример 2. Характеристика нелинейного элемента имеет кусочно-линейную аппроксимацию двумя отрезками, у которой . На элемент воздействует суммарное (постоянное и переменное) напряжение . Определить постоянную составляющую и первую гармонику тока, протекающих через нелинейный элемент цепи.
Решение. Воспользовавшись формулой (11), находим, что . Отсюда угол отсечки тока, протекающего через нелинейный элемент, . Два первых коэффициента гармоник, соответствующих этому углу, будут: . Подставив последовательно эти значения в соотношение (16), вычисляем соответственно амплитуды постоянной составляющей и первой гармоники: , .
Коэффициенты гармоник очень часто используются в инженерных расчётах, например, при проектировании схем нелинейных усилителей мощности, умножителей частоты и автогенераторов. Поэтому они приводятся в специальной литературе.
Нелинейное усиление мощности и умножение частоты
В различных устройствах радиоэлектроники (особенно в радиопередающих устройствах) широкое применение находят резонансные усилители мощности и умножители частоты. Обычно транзисторный резонансный усилитель работает в линейном режиме (усилительный элемент работает в режиме «А») и поэтому имеет КПД менее 50%. Эффективный способ повышения энергетических показателей резонансного усилителя мощности – использование заведомо нелинейного режима работы его активного элемента (режим с отсечкой выходного тока, режим «С»). Необходимым условием работы таких схем является сохранение формы усиливаемого сигнала с минимальными нелинейными искажениями.
Нелинейный резонансный усилитель мощности
Проведём анализ упрощённой электрической схемы нелинейного резонансного усилителя мощности на транзисторе (рис.6,а), к входу которого последовательно подключены источники гармонического напряжения и постоянного напряжения смещения , а резонансный контур нагрузки настроен на частоту усиливаемого сигнала . Положим, что коллекторный ток транзистора имеет форму косинусоидальных импульсов с отсечкой. Временные диаграммы импульсов коллекторного тока =, тока первой гармоники
и выходного напряжения
показаны на рис.6,б.
а) б)
Рис.6. Транзисторный резонансный усилитель:
а) схема; б) временные диаграммы токов и напряжений
Спектральный состав косинусоидальных импульсов коллекторного тока содержит множество составляющих кратных частот, однако наибольшую амплитуду имеет первая гармоника. Это объясняется тем, что на резонансной частоте активное сопротивление параллельного контура максимально и поэтому на нём выделяется усиливаемое напряжение с частотой входного сигнала . Сопротивление же параллельного контура на частотах , ..... столь мало, что высшие гармонические составляющие практически не дают вклада в формирование выходного сигнала .
Используя формулу (16) для коэффициентов Берга, запишем выражение для амплитуды выходного напряжения
, ................... (18)
где – резонансное сопротивление параллельного контура;
– коэффициент Берга для первой гармоники.
Умножитель частоты
Необходимость в умножителях частоты возникает при разработке высокостабильных источников гармонических колебаний повышенной частоты, когда непосредственное генерирование сигналов такого диапазона затруднительно. Умножитель частоты – это устройство, повышающее частоту входного сигнала в раз, где – целое число – коэффициент умножения.
Наличие в спектре коллекторного тока гармонических составляющих с частотами, кратными входной частоте, позволяют использовать нелинейный резонансный усилитель в качестве умножителя частоты. Для этого достаточно в схеме резонансного усилителя (рис.6,а) настроить колебательный контур на требуемую частоту. Известно, что при больших значениях коэффициенты гармоник довольно малы, поэтому важно выбрать такой угол отсечки коллекторного тока , при котором соответствующие коэффициенты гармоник максимальны. Практически доказано, что оптимальный угол отсечки, дающий наибольшую амплитуду выходного напряжения в умножителях частоты, примерно равен .
Принципы действия умножителя частоты и нелинейного резонансного усилителя мощности в основном одинаковы и различия заключаются лишь в выборе угла отсечки тока. По аналогии с выражением (18) определим амплитуду выходного напряжения умножителя частоты при кусочно-линейной аппроксимации характеристики транзистора
\ , ............... (19)
где – резонансное сопротивление контура на - й гармонике;
– коэффициент Берга для - й гармоники.