Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 13
1. Переход от канонических уравнений к общим.
2. Переход от общего уравнения к каноническому.
3. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве.
3.1. Взаимное расположение прямых в пространстве.
3.2. Нахождение расстояния от точки до прямой в пространстве.
3.3. Нахождение угла между прямой и плоскостью
4. Кривые второго порядка. Окружность
5. Эллипс.
6. Свойства эллипса.
2. Переход от канонического уравнения к общему.
Перейдем от этих уравнений к системе.
,
Здесь каждое уравнение определяет плоскость в пространстве, т.е. мы получили общее уравнение прямой линии в пространстве.
2. Переход от общего уравнения к каноническому.
2). Пусть прямая линия задана общим уравнением.
(4)
Для того, чтобы получить каноническое уравнение надо знать точку M0(x0,y0,z0) и направляющий вектор . Точку М0 можно найти из решения системы задав одну из координат. Вектор и , но таким свойством обладает вектор равный векторному произведению векторов . Следовательно
.
3. Основные задачи на прямую и плоскость в пространстве.
3.1. Взаимное расположение прямых в пространстве.
Пусть заданы прямые:
.
1) Прямые коллинеарные тогда .
2) Прямые не коллинеарные, тогда они:
а) пересекаются в одной плоскости. Прямые лежат в одной плоскости если . Это условие компланарности трех векторов. Тогда угол между ними ;
б) скрещивающиеся прямые, тогда . Скрещивающиеся прямые лежат в разных плоскостях.
3.2. Нахождение расстояния от точки до прямой в пространстве.
3.3. Нахождение угла между прямой и плоскостью.
Это угол .
Самостоятельно вывести условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
Задача 1. Выяснить как расположены в пространстве относительно друг друга прямые.
так как , то прямые линии и параллельны.
4. Кривые второго порядка. Окружность.
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид
(1)
при условии, что хотя бы одно из А,В,С0
Пример: xy=K- гипербола.
Определение: Уравнение (5) определяет окружность если А=В, а С=0. Каноническое уравнение окружности.
(2)
Центр окружности в точке C(x0;y0), радиус – R.
Пример: Определить тип кривой х2 - 6х + y2 + 4y - 12=0, здесь C=0; A=B. Выделим полный квадрат: (a + b)2=a2 + 2ab + b2.
x2 – 2 x 3+ 32 - 32+y2 + 2 y 2+ 22 - 22-12=0
(x-3) 2 + (y+2) 2 – 9 – 4 - 12=0
(x-3) 2 + (y+2) 2 = 25 окружность с центром в точке C(3;-2) и радиусом R=5.
5. Эллипс.
Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости сумма расстояний которых до двух точек называемых фокусами есть величина постоянная, равная 2с.
- каноническое уравнение эллипса.
Получим его:
6. Свойства эллипса.
2.
.
Т.е. эллипс заключен внутри квадрата .
Замечание: Если то будем иметь окружность.