Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.2 ретті анықтауыштар, қасиеттері.-ші ретті анықтауыш немесе детерминантдеп
(1)
түрінде жазылған және төмендегідей формуламен есептелінетін санды айтамыз:
(2)
мұндағы қосынды алмастыруының барлық мүмкін әртүрлі мәндері үшін таралған.(2)-
дегі қосылғыштар саны тең.Көрсетілген екінші анықтама 2 ретті анықтауыштарға да қолданылатыны
белгілі,яғни:
a11, a12,a21,a22- анықтауыштың элементтері. а11 және а22 бас диагональді құрайды , а12 және а21 – қосымша диагональдың элементтері.Немесе 2ретті анықтауышарды Екі белгісізі бар сызықтық екі теңдеу жүйесін құрастыру арқылы да қорытып шығаруға болады.Мысалы Ол үшін
Белгісіздерді анықтау үшін бірінші теңдеуді а 22 көбейтіп, ал екінші теңдеуді- a12 көбейтіп екі теңдеуді қосып белгісіз х-ті табамыз. (a11a22-a12a21)x=b1a22-b2a12oсындай операцияны жасап белгісіз у-ті анықтаймыз: (a11a22-a12a21)y=b22a22-b1a21 .Соңғы екі теңдеулерден х және у айнымалыларды анықтаймыз:
(1.2) формулалардапайдаболған a11a22-a12a21, b22a22-b1a21, a11b2-b1a21
өрнектерді 2-шіреттіанықтауыштардепатайды. Яғни:Көріп отырғанымыздай дәл екінші анықтамадағыдай өрнек шығып отыр.Егер анықтауыштарды:
белгілесек онда (1.2) формулалары келесі түрге келтіріледі:
Айнымалылардың алдында тұрған коэффициентерінен құрылған анықтауышын жүйенің бас анықтауышы деп атайды. Ал ∆х анықтауышы бас анықтауыштың бірінші бағандағы элементтерін жүйенің бос мүшелерімен алмастырылып құралады, ал - ∆y екінші бағанның элементтерін бос мүшелерден құралған бағанмен алмастырады.
(1.4) формуларынКрамерформуласыдепатайды.Мысалы:
Анықтауыштың негізгі қасиеттері:
1. Анықтауыштың жолдарын оның сәйкес бағандарымен орын алмастырғаннан ол анықтауыштың сан мәні өзгермейді.
2. Егер анықтауыштың екі жолын (бағанын) бірімен-бірінің орындарын алмастырса онда анықтауыш таңбасы қарама-қарсы таңбаға ауысады.
3. Егер анықтауыштың кез-келген екі жолы өзара тең болса, онда ол нөлге тең болады.
4. Егер анықтауыштың қандай да болса бір жолының барлық элементтері нөлге тең болса, онда анықтауыш нөлге тең болады.
5. Анықтауыштың жолының немесе бағанының элементтерінің ортақ көбейткішін анықтауыш алдына шығаруға болады.
6. Егер анықтауыштың екі жолының элементтері өзара пропорционал болса онда анықтауыш нөлге тең.
7. Анықтауыштың қандай да болса бір жолының элементтерін олардың сәйкес алгебралық толықтауыштарына көбейтіп қосқаннан шыққан қосынды анықтауыш шамасына тең болады.
8. Егер анықтауыштың бір жолының элементтері екі қосылғыш арқылы берілген болса, онда анықтауыш екі анықтауыштың қосындысына тең болады. Бірінші анықтауыштың сәйкес жолында бірінші қосылғыш, екінші анықтауышта екінші қосылғыш.
9. Егер анықтауыштың қандай болса да бір жолының элементтерін бір ғана санына көбейтіп басқа бір жолының сәйкес элементтеріне қосса, онда бұдан анықтауыш шамасы өзгермейді.
2.Екі және үш белгісізді теңдеулер жүйесі.Крамер ережесі мысалдар келтіру. белгісізі бар сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі деп мына түрде берілген жүйені айтамыз:
(1)
Мұндағы а11а12,.аmn– теңдеулер жүйесінің коэффиценттері ,b1,b2,bm - бос мүшелері,xj-белгіісіздер деп аталады . сандары (2) жүйесінің шешімдері деп аталады, егер бұл сандардытеңдеудегі сәйкес белгісіздердің орнына қойғанда, осы жүйедегі тепе-теңдіктер орындалса. . (2) жүйесі үйлесімді деп аталады, егер оның тым болмағанда бір шешімі табылса, кері жағдайда жүйе үйлесімсіз деп аталады.(Кронекер-Капелли теоремасы).Үйлесімді (2) жүйесінің тек бір ғана шешімдері табылса, онда жүйе анықталған деп аталады, кері жағдайда жүйе анықталмаған деп аталады.Егер , онда (2) жүйесін біртектес теңдеулер жүйесі деп атаймыз.Егер осы сызықтық теңдеуді матрицалық әдіспен жазатын болсақ:
Кронекер-Капелли теоремасы. (2) жүйесі үйлесімді болуы үшін теңдігінің орындалуы қажетті және жеткілікті, мұндағы
- (2) жүйесінің кеңейтілген матрицасы деп аталады.(2) теңдеулер жүйесінің әрбір теңдеуі осы теңдеудің коэффиценттерімен бірмәнді анықталатындықтан, матрицасының жолдарын вектордың координаталары ретінде қарастыра отырып, - (2) жүйесінің сызықтық тәуелсіз теңдеулерсанына тең болатындығына көз жеткіземіз . және жағдайын қарастыралық. Онда (2) жүйесі анықталған және осы теңдеулер жүйесін шешу үшін келесі әдістерді қарастырамыз.Крамер ережесі:Крамер ережесі мынадай формула арқылы анықталады: , мұндағы - Δмұндағы - Δ анықтауыштағы -ші бағанды бос мүшелер бағанымен алмастырғаннанпайда болған анықтауыштар.Онымен қатар матрицаларды шешудің матрицалық ж/е гаус әдісі бар.Берілген n- белгісізді n сызықты теңдеулер жүйесінматрица түрінде жазамыз,яғни:AX=B.Бұл тәсіл бойынша, негізгі А матрицасына кері А-1 матрицасын тауып, оны Вбаған- матрицаға сол жағынан көбейтеміз, яғни шешімі келесі түрдежазылады: X=A-1B. Гаусс әдісі:Айталық n белгісізді n-теңдеулер жүйесі берілсін.Бұлтәсілдің негізгі мақсаты айнымалыларды біртіндеп жою. Ол үшін кеңейтілгенматрицаны алып, оның негізгі бөлігін, оң жағын ескере отырып, үшбұрыштыматрица түріне келтіреміз.Кейіннен эквивалентті матрицаға сәйкес теңдеулер жүйесін жазып,Осы жүйеден хn тауып, біртіндеп жоғарылай х n-1,х n-2,х2,х1-ді табамыз. Крамерге Мысал.
3.Матрицалар оларға амалдар қолдану.Матрица д/з- m жолдан n бағаннан құралатын сандық кестені айтамыз.Оны латынның үлкен әрпімен белгілейміз- Аmxn.Матрицаның элементтерін латынның кіші әріптерімен белгілейміз.аij- матрица элементі,бұл жердегі i-жол,j-баған.Яғни:
түріндегі тіктөртбұрышты кесте өлшемді матрица немесе-матрицасы деп,ал - матрицаның элементтері деп аталады.Егер m=n б/са онда ол квадраттық матрица деп аталады:B3x3 A4x4: m=n тең болған жағдайда в11 в22 вmn-диагональдық элементтер.Матрицалардың бірнеше түрлері бар.Олар:диагональдық, бірлік ж/е кері матрицалар.Диагональдық матрица деп-Квадраттық матрицаның диагоналіндағы элементтері нөлден өзгеше ал қалған элементтері нөлге тең мартицаны айтамыз.Бірлік матрица д/з- диагоналіндегі элементтері бірге тең матрица. Кері матрица: В матрицасы А матрицасының кері матрицасы деп аталады егер олардың көбейтіндісі бірлік матрицаға тең болса,яғни: АхВ=Е: А=В-1
Матрицаларды элементар түрлендіру деп мына түрлендірулерді айтады:а.Матрицаның i-жолын(бағанын) к≠0 санға көбейту;б.i-жолға(бағанға) j-жолды(бағанды) к≠0 санға көбейтіп қосу.в. .i-жолмен(бағанмен) j-жолдың(бағанның) орындарын ауыстыру.Матрицаларға амалдар қолдану:а.Матрицаларды қосу.Бірдей өлшемді А ж/е В матрицаларыныңқосындысы деп өлшемі А ж/е В өлшеміндей,элементтері А ж/е В элементтерінң өосындысына тең матрицаны айтады.Бұл анықтамадан мына тепе-теңдіктер тікелей шығады:А+В=В+А А+(В+С)=(А+В)+С: (α+β)*А=α*А+β*А; α(А+В)=α*А+β*В А+0=АМатрицаларды алу.Бір өлшемді А ж/е В матрицаларының айырымы деп өлшемі А ж/е В өлшеміндей,А матрицасы мен В матрицасына қарама-қарсы матрицаның қосындысына тең матрицаны айтады ж/е А-В арқылы белгілейді.Сонымен А-В=А+(-В).Бұл анықтамадан А+(-А)=0 –(А+В)= -А-В -(-А)=А теңдіктері тікелей шығады.В.Матрицаны санға көбейту өлшемді матрицасының санына көбейтіндісі деп өлшемді матрицасын айтамыз, мұндағы .D.Матрицаларды бір-бірімен көбейту.А ж/е В матрицасының көбейтіндісі деп өлшемді матрицасы мен өлшемді матрицаларының көбейтіндісі деп өлшемді матрицасын айтамыз, мұндағы , , .Е с к е р т у.Матрицаларды көбейте аламыз тек сол жағдайда ғана, егер бірінші көбейгіш матрица бағанының саны екінші көбейткіш матрицаның жолының санына тең болса.Егер және көбейтінділері табылса, онда жалпы жағдайда .
4.Кері матрицаны есептеу,мысал.А текше матрицасы қайтымды емес немесе ерекше матрица деп аталады, егерdetA=0, кері жағдайда қайтымды немесе ерекше емес матрица деп аталады. Егер A -қайтымды матрица болса, онда A-1 матрицасы табылады және ол тек біреу ғанаболып, төмендегі теңдік орындалады: мұндағы E –бірлік матрица. A-1 A-1матрицасы кері матрица деп аталады және төмендегі формула бойынша есептелінеді:
мұндағы ,А-матрицасының алгеб.толықтауышы
Элементтері А матрицасының элементтерінің алгебралық толықтауыштары болатынматрицаны көмекші матрица деп атаймыз ж/е былай белгілейміз.А матрицасының жолдарын сәйкес бағандарымен алмастырғаннан пайда болған матрицаныА матрицасын транспонирлеу деп атаймыз(тоқсан градусқа бұрылған) және былай белгілейміз:АТ.Онда кері матрицаны былай жазуға болады:Ал бұл жердегі матрица элементтерінің толықтауышы д/з- Аij=(-1)i+j•Mij.Кері матрицаға мысал:
5.Аналитикалық геометрияның қарапайым есептері.Екі нүкте арақашықтығы,берілген кесіндіні белгілі бір қатынасқа бөлу.
6.Векторлар оларға қолданылатын сызықты амалдар,екі вектордың скаляр көбейтіндісі. Вектор деп басы нүктесі, ұшы нүктесі болатын бағытталған кесіндісін айтамыз.болсын. Онда векторының ұзындығы (модулы) деп кесіндісінің ұзындығын айтамыз. векторлары берілсін. Онда.
Векторлар тең деп аталады, егер олардың ұзындықтары тең болса және бірдей бағытталған болса. 4. Бір түзудің бойында немесе параллель түзулердің бойында жататын векторлар, коллинеар (параллель) векторлар деп аталады және былай белгіленеді:. 5.Егер А ж/е В нүктелері беттесетін болса, ондаонда немесе нөлдік вектор. 6.Егер , онда - бірлік вектор. 7. векторлары компланар деп аталады, егер олар бір жазықтықта жатса не параллельжазықтықтарда орналасқан болса. 8. векторының L осіне проекциясы деп шамасын айтамыз, мұндағы - осінің бағыты мен векторының арасындағы бұрыш. 9. санының векторына көбейтіндісі деп ұзындығы-ға тең болатын және болғанда бағыты векторымен бағыттас, ал болғанда векторына қарама-қарсы бағытталатын векторды айтамыз. Төмендегі қорытындылар бірден анықтамадан шығады: а) Егер , ондатеңдігі орындалатын саны табылады б) Егер және олар қарама-қарсы бағытталған болса, сонымен қатар, болса, онда немесе . векторының бағыттаушы косинустары деп сандарын айтамыз, мұндағы - векторының сәйкесінше координат осьтерімен жасайтын бұрыштары. Бағыттаушы косинустар . Бұдан. векторының векторына векторлық көбейтіндісі деп төмендегі теңдіктерді қанағаттандыратын векторын айтамыз:Векторлық көбейтіндінің қасиеттері: Егер , онда
Векторлық көбейтіндінің координаталық формадағы өрнектелуін табалық. болсын. Онда екенін ескерсек:
Векторларды векторлық көбейтудің көмегімен олардың коллинеарлығы: және векторларынан құрылған параллелограммның ауданы табыладыВекторларды скаляр көбейту және оның қасиеттері. және векторларының скаляр көбейтіндісі деп осы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы бұрыш косинусының көбейтіндісіне тең болатын санды атайды.Ол мынадай формула бойынша есептелінеді:
Скаляр көбейтудің қасиеттері: 1.Егер , онда 2.3. 4. 5. Скаляр көбейтудің координаталық формадағы өрнектелуін табалық. болсын. Онда екенін ескерсек, .Немесе мынадай теңдік шығады.Қорыт ынды. Векторларды скаляр көбейтудің көмегімен мыналар анықталады:1.Екі вектордың перпендикулярлығы 2.Векторлар арасындағы бұрыштың косинусы Бір вектордың екінші векторға түсірілген проекциясы