Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Индивидуальное задание по линейным пространствам и линейным преобразованиям
Задача №1 Является ли линейным пространством множество:
всех дифференцируемых функций = f(t), = g(t), если + = f(t) .g(t), = f(t)?
всех векторов V3 , лежащих на оси OZ, с обычными операциями сложения и умножения на число?
всех линейных функций = f(t), = g(t), если + = f(t) .g(t), =f(t)?
всех векторов V3 , параллельных заданной прямой, с обычными операциями сложения и умножения на число?
всех функций= f(t),= g(t), принимающих отрицательные значения, если
+= –f(t) .g(t), == f(t)?
симметрических матриц второго порядка?
всех нечётных функций = f(t), = g(t), заданных на отрезке [-1,1], если + = f(t) + g(t), = f(t)?
всех векторов V3 , концы которых лежат на данной прямой?
множество чисел вида а +, где а и b– рациональные числа, с обычными операциями сложения и умножения на число?
всех чётных на [-1,1] функций = f(t), = g(t), если + = f(t) + g(t), = f(t)?
всех непрерывных на [0,1] функций= f(t), = g(t), если + = f(t) + g(t), = f(t)?
всех невырожденных квадратных матриц= Ап, = Вп, если + = Ап.Вп, = Ап?
непрерывных на [0,1] функций, если a + b = f(t) + g(t), a = f(t)?
Множество всех многочленов, удовлетворяющих условию Р(0) = 1?
Задача№2 Выяснить, является ли линейно независимой заданная система векторов указанного пространства. Если нет, выразить один из векторов этой системы через остальные.
1. a) пространства R3 a1 = [2,-3,1], a2 = [3,-1,5], a3 = [1, - 4, 3].
(–; ).
2. a) пространства R3 a1 = [5,-6,1], а2 = [3,-5,-2], а3 = [2,-1,3].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1/x, x, 1 на (0; 1) .
(использовать определитель Вронского).
3. a) пространства R3 a1 = [1,1,1], a2 = [1,2,3], a3 = [1, 3, 6].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций cosx, sinx, cos2x на (–; ). (использовать определитель Вронского).
4. a) пространства R3 a1 = [3,2,-4], а2 = [4,1,-2], а3 = [5,2,-3].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1 + x2, 1+2x2, 1+3x2 на (- ; + ) (использовать определитель Вронского).
5. a) пространства R3 a1 = [1,-1,2], а2 = [-1,1,-1], а3 = [2,-1,1].
6. a) пространства R3 a1 = [2,1,0], а2 = [-5,0,3], а3 = [3,4,3].
b)пространства непрерывно – дифференцируемых функций ex , xex , x2ex на (- ; + ) (использовать определитель Вронского).
7. a) пространства R3 a 1 = [1,2, 3], a 2 = [6,5,9], a 3 = [7, 8, 9].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций x, 1 + x, (1+x)2 на (- ; + ) (использовать определитель Вронского).
8. a) пространства R3 a 1 = [7,1, -3], a 2 = [2,2,-4], a 3 = [3, -3, 5].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, tgx, ctgx на (0; ) .
(использовать определитель Вронского).
9. a) пространства R3 a 1 = [0,1,1], a 2 = [1,0,1], a 3 = [1,1,0].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, ex , (ex – e–x )/2 на (- ; + ) (использовать определитель Вронского).
10. a) пространства R3 a 1 = [1,2, 3], a 2 = [4,5,6], a 3 = [7, 8, 9].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, 2x, (1+x)2 на (- ; + ) (использовать определитель Вронского).
11. a) пространства R3 a 1 = [1, -1, 2], a 2 = [-1,1,-1], a 3 = [2, -1, 1].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций x, x2, (1+x)2 на (- ; + ) (использовать определитель Вронского).
12. a) пространства R3 a = [5,3,4], b = [3,3,2], c = [8,1,3].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, x, sinx на (- ; + ) (использовать определитель Вронского).
13. a) пространства R3 a = [1,1,1], b = [1,0,1], c = [2,1,2].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций ex , e2x , e3x на (- ; + ) (использовать определитель Вронского).
14. a) пространства R3 a 1 = [2,-3,1], a 2 = [3,-1,5], a 3 = [1,-4,3].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций 1, x, cosx на (- ; + ) (использовать определитель Вронского).
15. a) пространства R3 a = [1,4,6], b = [1,-1,1], c = [1,1,3].
b) пространства непрерывно – дифференцируемых функций sinx, cosx, tgx на
(–; ). (использовать определитель Вронского).
Задача №3 В базисе Б1: {а1 а2 а3} задано 4 вектора b1, b2, b3 , х :
а) образуют ли векторы b1, b2, b3 базис L3?
б) если да, то найти
в) найти координаты х в Б2.
Задача №4 В некотором базисе Б1: {а1, а2, а3} заданы три вектора g1, g2, g3:
а) образуют ли они базис Б2?
б) является ли этот базис ортонормированным?
в) построить по базису Б2 : {g1, g2, g3} ортонормированный базис {е1, е2, е3}.
|
|
Задача №5 В пространстве V2 задана декартова система координат. Базис {i , j}
повернули на угол в указанном направлении. Нужно:
а) записать матрицу преобразования и формулы преобразования координат
б) найти координаты вектора х в новом базисе {i, j}.
Задача №6 Заданы преобразования А, В, С пространства R3.
найти образ вектора х при заданном преобразовании
в каноническом базисе е1=[1,0,0] , е2=[0,1,0] , е3=[0,0,1] составить матрицу одного линейного преобразования. В каноническом базисе Б1 и базисе Б2: {а1, а2, а3}, где а1=[1,1,1] , a2=[1,1,0] , a3=[1,0,0] , составить матрицы одного линейного преобразования. Показать, что эти матрицы подобны.
Задача №7 В некотором базисе Б1 : {a1, a2, a3} пространства L3 задана матрица А преобразования А и вектор b:
1) используя определение, доказать, что b – собственный вектор А. Найти соответствующее собственное значение
2) найти все собственные значения и собственные векторы.
|
|
Задача №8 В декартовой системе координат V3 задано уравнение кривой 2-го порядка. Требуется:
Дополнительная задача
В пространстве V3 задана декартова система координат и
преобразование А . Требуется:
а) проверить линейность А .
б) составить матрицу А в базисе {i , j , k}.
PAGE 7