Лекція 6 Ультразвукові методи досліджень.html

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Чорноморський державний університет ім. Петра Могили

Кафедра медичних приладів і систем

МЕДИЧНІ ПРИЛАДИ І СИСТЕМИ.

Акустичні та механічні медичні прилади.

Ультразвукові медичні прилади і системи.

Лекція 6

Ультразвукові методи досліджень.

Ехо-імпульсні методи досліджень (ехографія).

Допплерівські ультразвукові методи досліджень.

Акустична ультразвукова мікроскопія.

2. УЛЬТРАЗВУКОВІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕНЬ

Ультразвук (УЗ) – механічні коливання і хвилі з частотами більше 20 кГц.

Верхньою межею УЗ частот умовно можна вважати 109 - 1010 Гц. Ця межа визначається міжмолекулярними відстанями і тому залежить від агрегатного стану речовини, в якій розповсюджується УЗ хвиля.

Рис. 6.1.

Для генерування УЗ використовують пристрої, які називаються УЗ-випромінювачами. Найбільше розповсюдження отримали електромеханічні випромінювачі, робота яких заснована на явищі оберненого п’єзоелектричного ефекту [2]. Обернений п’єзоефект полягає у механічній деформації тіл під дією електричного поля. Основною частиною такого випромінювача (рис. 6.1) є пластина або стержень 1 з речовини з добре вираженими п’єзоелектричними властивостями (кварц, сегнетова сіль, керамічний матеріал на основі титанату барію ті ін.). На поверхню пластини у вигляді провідних шарів нанесені електроди 2. Якщо до електродів прикласти змінну електричну напругу від генератора 3, то пластина завдяки оберненому п’єзоефекту почне вібрувати, випромінюючи механічну хвилю відповідної частоти.

Найбільший ефект випромінювання механічної хвилі виникає при виконанні умови резонансу. Так, для пластин товщиною 1 мм резонанс виникає:

1.  для кварцу - на частоті 2.87 МГц,
2.  для сегнетової солі – 1,5 МГц,
3.  для титанату барію – 2,75 МГц.

Приймач УЗ можна створити на основі п’єзоелектричного ефекту (прямий п’єзоефект). В такому випадку під дією механічної хвилі (УЗ-хвилі) виникає деформація кристалу (рис. 6.1.б), яка при п’єзоефекті призводить до генерації змінного електричного поля. Відповідну електричну напругу можна виміряти.

Застосування УЗ в медицині пов’язано з особливостями його розповсюдження та характерними властивостями.

Фізична природа УЗ, як і звуку, - механічна (пружна) хвиля. Однак, довжина хвилі УЗ суттєво менша довжини звукової хвилі. Наприклад, у воді:

Довжина хвилі	1,4 м	1,4 мм	1,4 мкм
Частота	1 кГц	1 МГц - УЗ	1 ГГц - УЗ

Дифракція хвиль, як відомо, суттєво залежить від співвідношення довжини хвилі і розмірів тіл, на яких вона дифрагує. Непрозоре (для звуку) тіло розміром 1 м НЕ буде перешкодою для звукової хвилі з довжиною 1,4 м, але стане перешкодою для УЗ хвилі з довжиною 1,4 мм: виникне «УЗ-тінь». Що дозволяє у деяких випадках не враховувати дифракцію УЗ-хвиль, якщо розглядати їх при заломленні та відбитті як промені (аналогічно заломленню та відбиттю світлових променів).

Відбиття УЗ на межі поділу двох середовищ залежить від співвідношення їх хвильових опорів (п.3, лекція 5). Наприклад, УЗ добре відбивається на межах:

1.  м’яз – надкісниця - кістка,
2.  на поверхні порожніх органів.

Тому, можна визначити розташування  і розмір неоднорідних включень, порожнин, внутрішніх органів та ін. (УЗ-локація). При УЗ-локації використовують:

Неперервне випромінювання	Імпульсне випромінювання
Досліджується стояча хвиля, що виникає при інтерференції падаючої та відбитої від межі поділу хвиль.	Спостерігається відбитий імпульс, вимірюється час розповсюдження УЗ до об’єкту, що досліджується, та час його розповсюдження у зворотному напрямку.

Знання швидкості розповсюдження УЗ дозволяє визначити глибину залягання об’єкту.

Хвильовий опір середовищ у 3000 разів більший хвильового опору повітря. Тому якщо УЗ-випромінювач прикласти до тіла людини, то УЗ не проникне всередину, а буде відбиватися за причини наявності тонкого шару повітря між випромінювачем та біологічним об’єктом. Аби виключити повітряний шар, поверхню УЗ-випромінювача покривають шаром масла.

Швидкість розповсюдження УЗ-хвиль та їх поглинання суттєво залежать від стану середовища. На цьому принципі засноване використання УЗ для дослідження молекулярних властивостей речовини. Дослідження такого роду є предметом молекулярної акустики.

З наступної формули для густини потоку енергії пружних хвиль:

 , (6.1)

де - густина середовища, - амплітуда коливань точок середовища, - циклічна частота, - швидкість розповсюдження хвилі у середовищі, випливає, що інтенсивність хвилі прямо пропорційна . Отже, можна отримати УЗ значної інтенсивності навіть при порівняно невеликій амплітуди коливань. Прискорення частинок, які коливаються в УЗ-хвилі, також може бути великим, оскільки також прямо пропорційне . Тому можна говорити про наявність суттєвих сил, що діють на частинки у біологічних тканинах під час опромінення УЗ.

Стискання та розрідження, створювані УЗ, призводять до утворення розривів суцільності середовища – кавітацій. Кавітації існують недовго і швидко закриваються. При цьому у невеликих об’ємах виділяється значна енергія, відбувається розігрів речовини, а також іонізація та дисоціація молекул.

Фізичні процеси, обумовлені дією УЗ, викликають у біологічних об’єктах наступні основні ефекти:

1.  Мікровібрації на клітинному та субклітинному рівнях.
2.  Руйнування біомакромолекул.
3.  Перебудову та пошкодження біологічних мембран, зміну проникливості мембран.
4.  Теплову дію.
5.  Руйнування клітин та мікроорганізмів.

Медико-біологічні застосування УЗ можна в основному поділити на два напрямки:

1.  Методи діагностики і дослідження.
2.  Методи впливу.

Методи діагностики і дослідження

До них відносять локаційні методи з використанням головним чином імпульсного випромінювання:

1.  Ехоенцефалографія – дослідження пухлин та набряків головного мозку. Наприклад, ехоенцефалограф російського виробництва «___» (рис. 6.2).
2.  Ультразвукова кардіографія – вимірювання розмірів серця в динаміці.
3.  Ультразвукова локація – в офтальмології для визначення розмірів середовищ ока.

За допомогою УЗ-ефекту Допплера вивчають характер руху серцевих клапанів та вимірюють швидкість кровотоку. З метою діагностики за швидкістю УЗ знаходять густину зрощеної або ушкодженої кістки.

Методи впливу

До цього напрямку відносять УЗ-фізіотерапію (рис. 6.3). Дія УЗ на пацієнта відбувається за допомогою спеціального випромінюючої головки апарату. Зазвичай для терапевтичних цілей застосовують УЗ частотою 800 кГц, середня його інтенсивність становить близько 1 Вт/см2 або менше.

Первинним механізмом УЗ-терапії є механічна та теплова дія на тканину.

Інші напрямки використання УЗ

Під час операцій УЗ використовують як УЗ-скальпель, здатний розсікати як м’які так кісткові тканини. Здатність УЗ подрібнювати тіла, розміщені у рідину, та створювати емульсії використовується у фармацевтичній промисловості при виготовленні лікарняних препаратів. Під час лікування таких захворювань, як туберкульоз, бронхіальна астма, катар верхніх дихальних шляхів, використовують аерозолі різних лікарняних речовин, отримані за допомогою УЗ.

У наш час розроблений новий метод «зварювання» ушкоджених або трансплантованих кісткових тканин за допомогою УЗ. Це так званий УЗ-остеосинтез.

Шкідлива дія УЗ на мікроорганізми використовується під час стерилізації.

Цікавим є використання УЗ для сліпих. Завдяки УЗ-локації за допомогою портативного приладу «Орієнтір» виявляти предмети та визначати їх характ6ер на відстані 10 м.

Перелічені приклади не вичерпують всіх медико-біологічних застосувань УЗ, до того є перспектива розширення. Так, наприклад, можна очікувати нових методів діагностики із впровадженням в медицину УЗ голографії.

Ультразвук (УЗ) – механічна пружна хвиля, яка може проникати та взаємодіяти з біологічними тканинами. З певним наближенням можна вважати, що ультразвукові хвилі (УЗХ) у біотканинах розповсюджуються так само, як і в рідинах (окрім кісткової тканини). Поперечні хвилі не можуть проникати у м’які тканини на більшу глибину. Тому у медицині знайшли застосування лише поздовжні хвилі. Для цілей діагностики найбільш інформативним можна вважати:

1.  відбиття УЗХ від межі поділу біотканини з різними акустичними властивостями,
2.  неповне поглинання енергії хвилі при проходженні через біосередовище.

За своїми акустомеханічними властивостями біотканини живих організмів можна віднести до шарових середовищ. Під час вертикального падіння УЗХ коефіцієнт відбиття:

 , (4.1)

де , - густини, а , - швидкості розповсюдження звуку в першому та у другому середовищі відповідно. Добуток отримав назву акустичного імпедансу. Врахуванням відмінностей густин біотканин та швидкостей розповсюдження звуку в них, отримують умови відбиття УЗХ від границі розділу, наприклад:

1.  шкіра – жирова тканина,
2.  жирова тканина – м’язова тканина,
3.  м’язова тканина – кісткова тканина.

Варто відмітити відсутність частотної дисперсії швидкості звуку у середовищах, хоча існує їх температурна залежність. У тканинах, які не містять жир, із зростанням температури швидкість збільшується, і зменшується у жиромістких тканинах.

Розповсюдження УЗХ супроводжується:

1.  частковим розсіюванням енергії хвилі,
2.  частковим поглинанням енергії хвилі безпосередньо біосередовищем.

Зміна інтенсивності хвилі описується відомим законом:

 , (4.2)

де - інтенсивність падаючої хвилі, - відстань, яку подолала хвиля у середовищі, - коефіцієнт поглинання акустичної хвилі. Коефіцієнт складним чином залежить від:

1.  в’язких властивостей середовища,
2.  теплових властивостей,
3.  квадрату частоти УЗХ – є прямо пропорційним цій величині.

Отже, чим вища частота УЗ коливань, тим на меншу глибину вони проникають.

Роздільна здатність УЗ досліджень прямо залежить від довжини хвилі акустичних коливань у біосередовищах. Наприклад, якщо вважати середню швидкість звуку у м’яких тканинах рівною 1540 м/с , то довжини хвиль для частот будуть відповідно:

Частота	Довжина хвилі
1 МГц	1,5 мм
10 МГц	0,15 мм
1 ГГц	1,5 мкм

Це дозволяє застосовувати УЗ коливання для досліджень на рівні не тільки органів і тканин, але й кліткових структур.

В залежності від цілей досліджень вирішують компромісну задачу між глибиною проникання УЗ та роздільною здатністю. Вважаються оптимальними наступні діапазони частот:

Частота	Застосування
20…300 кГц	Для підводної біолокації
0.8…15 МГц	Для УЗ діагностики та терапії
12 МГц … 1 ГГц	Для акустичної мікроскопії

3. ЕХО-ІМПУЛЬССНІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕНЬ (ЕХОГРАФІЯ)

Ехо-імпульсні методи досліджень засновані на принципі випромінювання зондуючого імпульсу УЗ та прийомі сигналів, відбитих від поверхонь розділу тканинних середовищ з різними акустичними властивостями (акустичним імпедансом). Оскільки інформація міститься у відбитому від багатьох шарів сигналі – акустичній луні, то використовується й термін «ехографія» для позначення цієї групи методів.

Рис. 4.2.

Рис. 4.1.

Розрізняють 4 режими (різновиди) ехографії:

1.  А-режим – відбиття одновимірної залежності амплітуди ехосигналу від часу (рис. 4.1). Обвідна А-ехограми відображується на реєструючому пристрої. А-режим застосовується для виявлення та локалізації патологічних неоднорідностей у м’яких тканинах. Широко застосовується в офтальмології, онкології, для досліджень головного мозку.
2.  М-режим (МТ-режим) – відображення часових змін А-ехограми. Зображення формується у вигляді растру, в яком кожному рядку відповідає власна А-ехограма. Зміна яскравості вздовж рядка розкладання відповідає зміні амплітуди даної А-ехограми. Принцип формування зображення в М-режимі показаний на рис. 4.2. Однією з умов отримання зображення в М-режимі є відповідність періоду слідування зондуючи імпульсів періоду рядкової розгортки. Час формування одного кадру зображення залежить від кількості рядків у растрі. Найбільш поширене використання М-режиму ехографії – визначення кількісних характеристик під час діагностування роботи стулок (створок – рус.) клапанів серця.
3.  В-режим – використовує принцип сканування УЗ променем досліджуваної області в тілі пацієнта. Для позначення цього режиму найчастіше використовується термін «ультразвукове дослідження» УЗД (УЗИ – рус.). візуалізація внутрішніх біоструктур на моніторі відбувається шляхом модуляції яскравості елементів растру (пікселів) пропорційно амплітудам сигналів А-ехограм, які відповідають заданим положенням УЗ датчика. Кадр зображення формується за час одно повного сканування датчиком досліджуваної області. У сучасній апаратурі УЗД використовується декілька способів сканування:
4.  Просте лінійне сканування (рис. 4.3.а) дає високу якість зображення, але потребує більшої області доступу (вікна) в тілі пацієнта. Остання обставина не дає повної візуалізації, наприклад, органів грудної клітини. Цей недолік виключений у наступному способі.
5.  Просте секторне сканування (рис. 4.3.б), для якого достатньо малої області доступу. Основним недоліком є спотворення геометричних розмірів на зображенні.
6.  Складне сканування використовує переваги перших двох способів, але потребує більш складної обробки інформації.

Рис. 4.3.

При швидкості сканування, що забезпечує формування зображень не менш 16-30 кадрів за секунду, можна спостерігати динамічні процеси в організмі. В-режим ехографії застосовується в медичній діагностиці:

1.  ехокардіографія,
2.  ехоенцефалографія,
3.  УЗ діагностика в акушерстві,
4.  УЗ діагностика в гінекології,
5.  офтальмологічні дослідження,
6.  порожнинна інтроскопія та ін.
7.  С-режим – модифікація В-режиму, при якому за допомогою часового стробування (англ. strobing, від strobe — посилати вибіркові імпульсі, від грец. strobos — кружляння, невпорядкований рух, - метод виділення деякого інтервалу на часовій осі, шкалі частот і т.і. для збільшення ймовірності виявлення корисних сигналів на фоні помех) виділяється певний часовий інтервал А-ехограм, який відповідає відбиттю УЗ сигналу з певної глибини сканування. Цей режим відповідає методу УЗ томографії.

У якості датчиків УЗ діагностичної апаратури застосовуються п’єзоелектричні перетворювачі. Як правило, такі перетворювачі почергово використовуються як для випромінювання зондуючи імпульсів, так і для прийому відбитого сигналу. Для усунення стрибка акустичного імпедансу на границях розділу середовищ п’єзокераміка-повітря і повітря0поверхня шкіри застосовуються спеціальні покриття як на поверхню, що випромінює, так і на ту частину датчика, яка приймає сигнал, а на шкіру пацієнта в місці дослідження наносять шар спеціального гелю (або зволожують її).

У сучасній апаратурі УЗД вікористовуюють багатоелементні матричні датчики. Їх конструкція дозволяє здійснювати електронне сканування досліджуваної області подібно до того, як це робиться у СВЧ радіолокації. Конструкція датчиків і вибір робочої частоти УЗ сигналу також залежать від області дослідження:

1.  акустичних властивостей біотканини,
2.  глибини зондування,
3.  потрібної просторової роздільної здатності.

Апаратура для ехографії спеціалізованого призначення тільки один з режимів – А або С. Універсальні УЗД працюють у будь-якому з вказаних вище режимів, використовують комплект спеціалізованих датчиків та програмне забезпечення для обробки інформації на ЕОМ. Спрощена структура апарату УЗД показана на рис. 4.4.

4. ДОППЛЕРІВСЬКІ УЛЬТРАЗВУКОВІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕНЬ

Рис. 4.4.

Ця група методів досліджень використовує ефект Допплера в ультразвуковій ехолокації. Суть цього явища полягає у зміні частоти сигналу, відбитого від рухомого об’єкту. В аналітичній формі ефект можна представити у вигляді:

 , (4.3)

де - допплерівський зсув частоти, - частота зондую чого сигналу, - частота відбитого сигналу, - швидкість переміщення об’єкта, - кут між напрямом зондування і напрямом переміщення об’єкта, - швидкість звука у досліджуваному середовищі.

Як видно з (4.3), - прямо пропорційна швидкості руху об’єкта. Для більшості біологічних процесів (рух крові у судинах, переміщення серця, легень та ін.) значення добутку знаходяться в інтервалі (0…1) м/с. Якщо частоту обрано в інтервалі (1…10) МГц, то допплерівський зсув частоти знаходитиметься у діапазоні чутних частот. Тому стандартний метод суб’єктивного сприйняття та якісної інтерпретації допплерівських сигналів від рухомих елементів біоструктур полягає в їх підсиленні та прослуховуванні.

Функціональна схема найпростішого вимірювача швидкості кровотоку з неперервним випромінюванням показана на рис. 4.5.

Варто відмітити, що при проведенні реальних досліджень область відбиття сигналу з елементами, які мають різні швидкості руху, має певні просторові розміри. Тоді допплерівський сигнал характеризується деяким спектром частот. Найбільш досконалі апаратні реалізації методу засновані на спектральному аналізі допплерівського сигналу і, відповідно, отриманні та розподіленні швидкостей переміщень елементів досліджуваної області.

Допплерівські системи з неперервним випромінюванням не здатні розділяти об’єкти за глибиною, оскільки ехосигнали, отримані від двох або більше елементів, розташованих на різній глибині, сприймаються як один сигнал. Вказаний недолік усунуто в імпульсно-допплерівській системі. В ній використовується імпульсний характер зондування, подібний методу ехографії для режиму С. відмінність полягає в тому, що фрагменти А-ехограм застосовуються не для візуалізації, а для спектрального аналізу допплерівського зсуву. Таким чином, імпульсно-допплерівська система дозволяє отримувати пошаровий розподіл швидкостей руху елементів в досліджуваній області, наприклад, швидкостей кровотоку у магістральних судинах.

В клінічній практиці ультразвукова допплерівська діагностика знайшла застосування у неінвазивному дослідженні:

1.  механічних скорочень серцевого м’язу,
2.  механічної функції міокарду та клапанного апарату,
3.  кровотоку у великих судинах,
4.  життєдіяльності плоду на ранніх стадіях вагітності.

5. АКУСТИЧНА УЛЬТРАЗВУКОВА МІКРОСКОПІЯ

Рис. 4.5.

Рис. 4.6.

Ультразвукова мікроскопія використовує можливості просторового розділення акустичних хвиль з частотами від 10 МГц до 1 ГГц. При цьому довжина хвилі ультразвуку у м’яких та водомістких біосередовищах спів вимірна з досліджуваними структурами. Для отриманні зображення можуть бути використані як амплітуда, так і фаза акустичних хвиль, що пройшли через об’єкт. Принцип реалізації методу показано на рис. 4.6.

У порівнянні з оптичними та рентгенівськими мікроскопами, ультразвукова мікроскопія дає підвищену контрастність, що дозволяє спостерігати мікрооб’єкти у природному середовищі проживання.

У медичній лабораторній практиці метод широкого застосування не отримав.

---. ІНФРАЗВУК

Інфразвуком (ІЗ) називаються механічні (пружні) хвилі із частотами меншими тих, які сприймає вухо людини ( < 20 Гц).

Джерелом ІЗ можуть бути як природні об’єкти (море, землетрус, грозові розряди та ін.), так і штучні (вибух, автомашини, станки та ін.).

ІЗ часто супроводжується шумом, який можна почути, наприклад, в автомобілі, тому виникають труднощі під час вимірювання та дослідження власне ІЗ коливань.

Для ІЗ характерним є слабке поглинання різними середовищами, тому він розповсюджується на значні відстані. Саме це дозволяє за розповсюдженням ІЗ у земній корі виявляти вибухи на великих відстанях від їх джерел, за виміряним ІЗ хвилям прогнозувати цунамі та ін. Оскільки довжина хвилі ІЗ більша, ніж у звуків які ми чуємо, то ІЗ хвилі сильніше дифрагують та проникають у приміщення, огинаючи перешкоди.

ІЗ спричинює несприятливу дію на функціональний стан ряду систем організму: викликає втому, головний біль, сонливість, роздратування та ін. Вважається, що первинний механізм дії ІЗ на організм має резонансну природу. Резонанс, як відомо, виникає при близьких значеннях частоти вимушеної сили і частоти власних коливань. Частоти власних коливань тіла людини:

1.  у положенні лежачи – 3-4 Гц,
2.  стоячи – 5-12 Гц,
3.  частоти власних коливань грудної клітини – 5-8 Гц,
4.  черевної порожнини – 3-4 Гц,

що відповідає частотам інфразвуків. Зниження рівня ІЗ у житлових, виробничих і транспортних приміщеннях – одна із задач гігєни.

---. ВІБРАЦІЇ

У техніці механічні коливання різних конструкцій і машин отримали назву вібрацій. Вони діють на людину, яка дотикається об’єктів, що вібрують. Ця дія може бути як шкідливою та призводити у певних умовах до вібраційної хвороби, так і корисною, лікувальною (вібротерапія, вібромасаж).

Основні фізичні характеристики вібрацій співпадають з характеристиками механічних коливань тіл, а саме:

1.  частота коливань або гармонічний спектр ангармонічного коливання,
2.  амплітуди зміщення, швидкості, прискорення,
3.  енергія і середня потужність коливань.

Окрім того, для розуміння дії вібрацій на біологічний об’єкт можна уявляти розповсюдження та згасання коливань в тілі. Під час дослідження цього питання використовують моделі, які складаються з інерційних мас, пружних і в’язких елементів.

Вібрації є джерелом звуків, які є чутними, УЗ та ІЗ.

Література:

1.  Аппаратніе методі исследов (42)
2.  Ремизов. Медицинская и биологическая фізика.
3.  Медицинские приборы. Разработка и применение
4.  Терапевтические аппараты и системы
5.  Медицинские приборы, аппараты, системы и комплексы
6.  Кромвель Л. Медицинская электронная аппаратура для здравоохранения, М Радио и связь, 1981
7.  Аппаратура и методы клинического мониторинга
8.  Биомедицинская_измерительная_техника_ВУЗ_Илясов_2007
9.  В.В. МОРОЗОВ А.В. ЖДАНОВ Е.А. НОВИКОВА Ю.А. НОВИКОВА А.Б. КОСТЕРИН. ИМПЛАНТИРУЕМАЯ СИСТЕМА ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО КРОВООБРАЩЕНИЯ НА БАЗЕ МЕХАТРОННЫХ МОДУЛЕЙ Монография 2006.
10.  Эфрусси М.М. Слуховые аппараты и аудиометры. – М.: Энергия. – 1975. – 96 с.

Стор.  1  з  10

1. Тема - АЛГОРИТМ ЛЕМПЕЛЯЗИВА Виконав- Студент групи СН41 Стодола В
2. Доклад- Принцип неопределенности или почему Бог до сих пор идеален
3. Новогодняя сказка для детей находящихся на стационарном лечении в больницах города Ярославля и Ярославск
4. х таблиц каждая из которых содержит инфю об объектах опред
5. Впереди времени - значит вовремя
6. Бухгалтерская отчетность ее состав содержание порядок составления
7. Аудиторські докази та робочі документи аудитора
8. Похвала Олені Горгія
9. процессуальными нормами деятельность всех участников судопроизводства в том числе и органов исполнения су
10. Теория государства и права специальность 030501
11. изучение объекта обработка полученных данных; цель и продолжительность исследований; на основании
12. Тема- Дослідження АЧХ та ФЧХ дискретних систем
13. Задачи, функции и система министерства внутренних дел Российской Федерации
14. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата історичних наук Київ ~
15. Китай в XIV-XVIII веках
16. Визначення базових понять
17. Тема- Обращение Тип урока- изучение нового Цели и задачи- раскрыть понятие обращение Задачи- Об
18. Тема- Теоретикометодичні основи фізичного виховання дітей молодшого шкільного віку з дисципліни ldquo;Ті1
19. Затверджую Проректор з навчальної та методичної роботи М
20. з курсу Статистика для студентів економічних спеціальностей усіх форм навчання

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе