У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Теорема 1 необходимое и достаточное условие интегрируемости

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-10

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 4.4.2025

22 вопрос

Условия существования тройного интеграла

Для тройного интеграла аналогично случаю двойного интеграла вводятся понятия нижней и верхней сумм Дарбу:

где ,  .

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие интегрируемости). Для того, чтобы ограниченная функция f(x;y;z) была интегрируема на замкнутой кубируемой области (V), необходимо и достаточно, чтобы .

Теорема 2 (достаточное условие интегрируемости). Всякая непрерывная на замкнутой кубируемой области (V) функция интегрируема на ней.

Теорема 3 (необходимое условие интегрируемости). Если функция f(x;y;z) интегрируема на (V), то она ограничена на (V). (Обратное неверно.)

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.

1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному

Пусть функция f(x;y;z) непрерывна в некоторой области (V). Пусть поверхность (S), ограничивающая тело (V), пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из осей координат (например Oz). Более сложные области сводятся к рассматриваемой путем разбиения на части.

Опишем около тела (V) цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Пусть (Pz) - проекция тела (V) на плоскость XOY. Линия касания этой цилиндрической поверхности с поверхностью (S) разбивает (S) на две части: верхнюю и нижнюю. Пусть нижняя часть поверхности задана уравнением z=z1(x;y), а верхняя – уравнением z=z2(x;y), где z1(x;y), z2(x;y) - однозначные непрерывные функции, заданные на (Pz). Тогда сводится к последовательному взятию внутреннего интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по области (Pz):

A

B

(Pz)

y=y1(x)

y=y2(x)

z=z1(x;y)

z=z2(x;y)

a

b

x

y

z

0

Предположим теперь, что область (Pz) тоже имеет простую форму, то есть любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает контур области (Pz) не более, чем в двух точках. Через a и b обозначим абсциссы самой левой и самой правой точек на контуре области (Pz). Эти точки делят контур на две части, на одной из которых прямые параллельные оси Oy входят в область (Pz), а на другой – выходят. Каждая из этих частей имеет свое уравнение. Первая: y=y1(x), вторая: y=y1(x) (axb). В этом случае

,

a

b

x

0

y

z

(Py)

(V)

z=z2(x)

z=z1(x)

y=y2(x;z)

y=y1(x;z)

то есть тройной интеграл сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Порядок интегрирования может быть другим. Для этого тело (V) надо проектировать на плоскость XOZ или YOZ. Например, спроектируем на XOZ, (Ру) - проекция на XOZ. Тогда

==

.




1. педагогической работы Стадия архантропа в процессе эволюции человека Дисциплина ~ Антропология
2. Беспроводная камера парковки отображает изображение на зеркале
3. Евгений Онегин Говоря о романе в целом Белинский отмечает его историзм в воспроизведённой картине рус
4. кровопускание третий угодил за решетку.html
5. модуль Напрям підготовки 6
6. Конвер Софт Комсомольский прт
7. Профилактика лесных пожаров.html
8. 1934 представитель концепции свободного воспитания
9. машинисты при производстве работ согласно имеющейся квалификации обязаны выполнять требования безопасно
10.  ярким представителем психологической теории права был- аГ