Теорема 1 необходимое и достаточное условие интегрируемости
Работа добавлена на сайт samzan.net:
22 вопрос
Условия существования тройного интеграла
Для тройного интеграла аналогично случаю двойного интеграла вводятся понятия нижней и верхней сумм Дарбу:
где , .
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие интегрируемости). Для того, чтобы ограниченная функция f(x;y;z) была интегрируема на замкнутой кубируемой области (V), необходимо и достаточно, чтобы .
Теорема 2 (достаточное условие интегрируемости). Всякая непрерывная на замкнутой кубируемой области (V) функция интегрируема на ней.
Теорема 3 (необходимое условие интегрируемости). Если функция f(x;y;z) интегрируема на (V), то она ограничена на (V). (Обратное неверно.)
Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.
1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному
Пусть функция f(x;y;z) непрерывна в некоторой области (V). Пусть поверхность (S), ограничивающая тело (V), пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из осей координат (например Oz). Более сложные области сводятся к рассматриваемой путем разбиения на части.
Опишем около тела (V) цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Пусть (Pz) - проекция тела (V) на плоскость XOY. Линия касания этой цилиндрической поверхности с поверхностью (S) разбивает (S) на две части: верхнюю и нижнюю. Пусть нижняя часть поверхности задана уравнением z=z1(x;y), а верхняя – уравнением z=z2(x;y), где z1(x;y), z2(x;y) - однозначные непрерывные функции, заданные на (Pz). Тогда сводится к последовательному взятию внутреннего интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по области (Pz):
A
B
(Pz)
y=y1(x)
y=y2(x)
z=z1(x;y)
z=z2(x;y)
a
b
x
y
z
0
Предположим теперь, что область (Pz) тоже имеет простую форму, то есть любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает контур области (Pz) не более, чем в двух точках. Через a и b обозначим абсциссы самой левой и самой правой точек на контуре области (Pz). Эти точки делят контур на две части, на одной из которых прямые параллельные оси Oy входят в область (Pz), а на другой – выходят. Каждая из этих частей имеет свое уравнение. Первая: y=y1(x), вторая: y=y1(x) (axb). В этом случае
,
a
b
x
0
y
z
(Py)
(V)
z=z2(x)
z=z1(x)
y=y2(x;z)
y=y1(x;z)
то есть тройной интеграл сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
Порядок интегрирования может быть другим. Для этого тело (V) надо проектировать на плоскость XOZ или YOZ. Например, спроектируем на XOZ, (Ру) - проекция на XOZ. Тогда
==
.
2. Статья 32 КоАП устанавливает следующие виды административных наказаний- 1 предупреждение; Предупреждение
3. Состав административного правонарушения1
4. Возрождение Полного расцвета она достигла к концу ХV ~ началу ХVI вв
5. Условия возникновения эмоций
6. Реферат- Кондиломы
7. тематики Дифференциальное исчисление
8. МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ОСНОВЫ НАСЛЕДСТВЕННОСТИ Всю первую половину ХХ века ученые считали что наследственная ин.html
9. вариантность бухгалтерских решений
10. Краткое содержание Всем известно что солнечный свет благотворно влияет на настроение человека оказывая
11. Методические особенности введения показательной функции в курсе математики средней школы
12. Доклад- Католицизм
13. Организация деятельности органов и подразделений по чрезвычайным ситуациям
14. Известно что и
15. Міжнародна політика і світовий політичний процес
16. Житие княгини Ольги XVI века
17. I. Вопросы итогового контроля по материалам лекций
18. 12 ОП12 ЭП112 ЭП212 ПН12 ИС12
19. Формирование технических наук
20. Анализ и учет товарооборота торгового предприятия ООО Волгаконтракт