У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

Теорема 1 необходимое и достаточное условие интегрируемости

Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-10

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 8.6.2025

22 вопрос

Условия существования тройного интеграла

Для тройного интеграла аналогично случаю двойного интеграла вводятся понятия нижней и верхней сумм Дарбу:

где ,  .

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие интегрируемости). Для того, чтобы ограниченная функция f(x;y;z) была интегрируема на замкнутой кубируемой области (V), необходимо и достаточно, чтобы .

Теорема 2 (достаточное условие интегрируемости). Всякая непрерывная на замкнутой кубируемой области (V) функция интегрируема на ней.

Теорема 3 (необходимое условие интегрируемости). Если функция f(x;y;z) интегрируема на (V), то она ограничена на (V). (Обратное неверно.)

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла.

1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному

Пусть функция f(x;y;z) непрерывна в некоторой области (V). Пусть поверхность (S), ограничивающая тело (V), пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из осей координат (например Oz). Более сложные области сводятся к рассматриваемой путем разбиения на части.

Опишем около тела (V) цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Пусть (Pz) - проекция тела (V) на плоскость XOY. Линия касания этой цилиндрической поверхности с поверхностью (S) разбивает (S) на две части: верхнюю и нижнюю. Пусть нижняя часть поверхности задана уравнением z=z1(x;y), а верхняя – уравнением z=z2(x;y), где z1(x;y), z2(x;y) - однозначные непрерывные функции, заданные на (Pz). Тогда сводится к последовательному взятию внутреннего интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по области (Pz):

A

B

(Pz)

y=y1(x)

y=y2(x)

z=z1(x;y)

z=z2(x;y)

a

b

x

y

z

0

Предположим теперь, что область (Pz) тоже имеет простую форму, то есть любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает контур области (Pz) не более, чем в двух точках. Через a и b обозначим абсциссы самой левой и самой правой точек на контуре области (Pz). Эти точки делят контур на две части, на одной из которых прямые параллельные оси Oy входят в область (Pz), а на другой – выходят. Каждая из этих частей имеет свое уравнение. Первая: y=y1(x), вторая: y=y1(x) (axb). В этом случае

,

a

b

x

0

y

z

(Py)

(V)

z=z2(x)

z=z1(x)

y=y2(x;z)

y=y1(x;z)

то есть тройной интеграл сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Порядок интегрирования может быть другим. Для этого тело (V) надо проектировать на плоскость XOZ или YOZ. Например, спроектируем на XOZ, (Ру) - проекция на XOZ. Тогда

==

.




1. Большинство тех кто хочет осуществить свою мечту и открыть свой собственный бизнес затрудняются определит
2. Коломенское является комплексным памятником истории и культуры России
3. Опыление Оплодотворение
4. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата історичних наук
5. Жизненные формы харовых водорослей (Chrophyt) Северного Казахстана
6. ТЕМАТИКА КУРСОВЫХ РАБОТ2 Принципы равенства прав граждан в трудовых отношениях
7. Тема- Образование СССР
8. винчестер возник из жаргонного названия первой модели жесткого диска емкостью 16 Кбайт IBM 1973гю имевшего 30
9. тема кот нет у жив
10. Государственное регулирование лесных отношений