Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ГАОУ СПО «Стерлитамакский колледж строительства, экономики и права»
Специальность 230115
«Программирование в компьютерных системах»
КУРСОВОЙ ПРОЕКТ
по МДК-0102Р2
“Обработка векторных данных”
Выполнил: студент 3 курса, ПО-31 группы
Цацин Максим Викторович
Руководитель:
Аришина Вера Федоровна
Стерлитамак, 2013
Содержание
Введение..............................................................................3
1. Векторные и скалярные величины..................................4-5
2. Длина вектора ..............................................................6-8
2.1. Сумма веторов ..........................................................9-11
2.2. Разность векторов........................................................12
2.3. Умножение векторов на число...................................13
3. Скалярное произведение векторов...............................14
3.1. Взаимное расположение ............................................15
3.2. Название раздела..........................................................30
Заключение..........................................................................35
Список литературы............................................................36
Приложения.........................................................................37
Введение
Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.
Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.
В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.
Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор – с элементарно-геометрической точки зрения - есть геометрический объект, характеризуемый направлением (т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной. Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений. Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. И действительно, можно было бы принять такое определение: “Вектором называется всякий параллельный перенос”. Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность, нас здесь также не может удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах.
Целью данной работы является рассмотреть векторы на плоскости и пространстве.
Реализации данной цели служит ряд задач:
1. Рассмотреть направленные отрезки.
2. Дать понятие вектора.
3. Рассмотреть сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число.
4. Рассмотреть линейную зависимость векторов.
5. Изучить скалярное, векторное и смешанное произведение векторов .
6. Произвести вычисление
Теоретическая часть
§ 1. Векторные и скалярные величины
В механике, физике, во многих технических науках изучаются величины разного рода. Одни величины (длина, площадь, объем, масса, плотность, температура и т. д.) при выбранной единице измерения вполне характеризуются одним числовым значением. Такие величины начинаются скалярными (числовыми).
Другие величины (сила, скорость, ускорение и т. д.) определяются не только числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие величины называютсявекторными.
Векторную величину геометрически изображают с помощью отрезка определенной длины и определенного направления. Причем длина отрезка при выбранной единице масштаба равна числовому значению векторной величины, а направление отрезка совпадает с направлением этой величины.
Например, пусть в точке О приложены две силы F1 и F2 (рис. 1). Величины этих сил равны, но они имеют разные направления, и поэтому на рисунке они изображены двумя разными направленными отрезками OA1> и OA2> одинаковой длины.
Если же величина силы F1 больше величины силы F2, то длина отрезка OA1>, изображающего силу F1, должна быть соответственно больше длины отрезка OA2>, изображающего силу F2 (рис. 2).
Из механики известно, что силы, приложенные в одной точке, складываются поправилу параллелограмма. Например, действие сил F1 и F2, приложенных в точке О, равносильно действию силы F, которая на рисунке изображается направленной диагональю OA> параллелограмма ОА1АА2 (рис. 3), построенного на направленных отрезках OA1> и OA2>. В этом случае пишут F = F1 + F2.
Вообще, для изучения векторных величин удобно пользоваться направленными отрезками, для которых по соответствующим правилам введено понятие равенства и определены операции сложения и умножения на число. Такие направленные отрезки называют векторами.
Длина вектора.
Из курса геометрии восьмилетней школы известно, что расстояние между точками А и В, расположенными на координатной прямой (оси), вычисляется по формуле
|АВ| = |хB — хA|,
где хA и хB — координаты точек А и В.
Пусть на плоскости, в которой выбрана прямоугольная система координат О, i, j, заданы две точки A(x1; y1) и В(x2; y2) (рис. 45). Требуется найти длину отрезка [АВ].
По теореме Пифагора из треугольника АВС1 находим |АВ|2 = |АС1|2 + |С1В|2, но так как
|АС1| = |А1В1| = |х2 — х1|
и
|С1В| = |А2В2| = |y2 — y1|,
то
|АВ|2 = |х2 — х1| 2 + |y2 — y1|2,
и, следовательно,
|АВ| = √(х2 — х1)2+ (y2 — y1)2 . (1)
Если отрезок АВ параллелен оси абсцисс, то y1 = y2 (рис. 46) и длина отрезка АВ равна длине отрезка А1В1 :
|АВ| = |А1В1| = |х2 — х1|
Если же отрезок АВ параллелен оси ординат Оу (рис. 47), то
|АВ| = |y2 — y1|
Последние две формулы являются частными случаями формулы (1).
Итак, длина отрезка на плоскости равна корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат его концов.
Если одна из точек, например В, совпадает с началом координат (рис. 48), то формула (1) упрощается и принимает вид
Пусть точки А и В находятся в пространстве: А(х1, y1, z1) и В(х2, y2, z2).
Построим прямоугольный параллелепипед ACB1DA1C1BD1, в котором точки А и В будут концами его диагонали (рис. 49).
Тогда из /\ADB1 и /\АB1В по теореме Пифагора следует, что
|АВ| = √ |AD|2 + |DB1|2 + |B1B|2 .
Выразив |AD|, |DB1| и |B1B| в координатах, получим
|АВ| = √(х2 — х1)2+ (y2 — y1)2+ (z2 — z1)2 . (2)
Ясно, что при z1= z2 = 0 формула (2) обращается в формулу (1); в этом случае отрезок А В принадлежит плоскости хОу.
Напомним, что длина вектора а = AB> равна длине отрезка АВ.
Поэтому, используя формулы (1) и (2), длину вектора а = AB> на плоскости и в пространстве можно выразить через координаты концов следующим образом:
|AB>| = |АВ| = √(х2 — х1)2+ (y2 — y1)2 (3)
|AB>| = |АВ| = √(х2 — х1)2+ (y2 — y1)2+ (z2 — z1)2 (4)
Пусть вектор а = (х; у; z) задан в прямоугольной декартовой системе координат. Тогда координаты вектора а = AB> выражаются через координаты точек А(х1, y1, z1) и В(х2, y2, z2) следующим образом (§ 12):
x = x2 — x1; y = y2 — y1; z = z2 — z1,
Из формулы (4) получим выражение длины вектора а = (х; у; z) через его координаты:
| а | = √ х2+ y2+ z2 (5)
Для плоскости формула (5), очевидно, примет вид
| а | = √ х2+ y2
Сумма векторов
Чтобы сложить два вектора, нужно от конца одного из них отложить второй вектор; тогда сумма – это вектор с началом в начале первого вектора и концом в конце второго вектора: . Это правило называется правилом треугольника.
Если векторы неколлинеарны, то можно воспользоваться правилом параллелограмма: отложить векторы от одной точки и достроить полученные два отрезка AB и AC до параллелограмма ABDC; тогда вектор , идущий по диагонали параллелограмма равен сумме данных векторов.
Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых; например, на плоскости: (x; y) + (x1; y1) = (x +x1; y + y1).
Пусть даны два вектора а = OA> и b = OB> (рис. 5).
От точки А отложим отрезок АС такой, что AС> = b. Тогда, вектор с =OС> называется суммой векторов а и b и обозначается а + b.
Таким образом, OA> + AС> = OС>. Это равенство называют правилом треугольникасложения двух векторов.
Oчевидно, что это правило справедливо и в том случае, когда точки О, А и В лежат на одной прямой (рис. 6, 7). В частности, а + 0 = а.
Сложение векторов обладает следующими свойствами:
1. Свойство коммутативности (перестановочности): для любых векторов а и b
а + b = b + а.
2. Свойство ассоциативности (сочетательности): для любых векторов а, b и с
(а + b) + с = а + (b + с).
1. Пусть a = OA>, b = OB>. Рассмотрим случай, когда точки О, А и В не лежат на одной прямой. На отрезках ОА и ОВ построим параллелограмм ОАСВ (рис. 8).
Тогда |ОА| = |ВС|, (ОА) || (ВС) и |ОВ| = |АС|, (ОВ) || (АС), как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, а = OA>= BC>, b = OB> = AC>,
и поэтому а + b = OA>+ AC> = OC>, b + а = OB> + BC> = OC> ,что и доказывает равенство(1).
Для случая, когда точки О, А, В лежат на одной прямой, доказательство равенства (1) проведите самостоятельно.
2. От некоторой точки О отложим вектор OA> = а, от точки А отложим вектор AB> =b и, наконец, от точки В отложим вектор BC> = с (рис. 9, 10).
Соединим точки О и С отрезком ОС. Тогда, с одной стороны (см. рис. 9),
(а + b) + с = (OA> + AB>) + BC> = OB> + BC>= OC>
и, с другой стороны (см. рис. 10),
а + (b + с) = OA> + (AB>+ BC>) = OA> + AC> = OC>,
что и доказывает равенство (2).
Из риc. 8 видно, что сумма векторов а = OA> и b = OB> равна направленной диагонали OC> параллелограмма ОАСВ, построенного на отрезках ОА и ОВ, т.е.
OA> + OB> = OC>.
Это равенство называется правилом параллелограмма сложения двух векторов.
Так как сложение векторов ассоциативно, то сумма трех и большего числа векторов записывается без скобок. Например, вместо (а + b) + с или а + ( b + с ) пишут а + b + с.
Если требуется найти сумму трех или большего числа векторов, то применяют так называемое правило многоугольника. Оно состоит в следующем.
Пусть даны векторы а, b, с, d и требуется найти их сумму.
Выберем некоторую точку О (рис. 11) и построим отрезок ОА такой, что OA> = а,
затем построим отрезок АВ такой, что AB> = b, и т. д.
Построение продолжается до тех пор, пока не будут исчерпаны все векторы-слагаемые. Направленный отрезок OD>, замыкающий полученную ломаную, будет равен сумме данных векторов.
Разность векторов
Разностью двух векторов и называется такой вектор , который будучи сложенным с вектором , даст . Разность двух векторов и представляется направленным отрезком, соединяющим концы этих векторов и имеющим направление «к концу того вектора, из которого вычитают».
Если для вектора ввести противоположный ему вектор , который коллинеарен вектору , имеет тот же модуль, но направлен в противоположную сторону, то разность векторов и представляется как сумма вектора и вектора , т. е. .
Сумма противоположных векторов равна нулю: .
Под произведением вектора на число понимается такой вектор, который коллинеарен вектору , имеет модуль и направлен в ту же сторону, что и — если положительно, и в противоположную — если отрицательно. Геометрически умножение вектора на число означает растяжение или сжатие вектора и, возможно, перемену его направления на противоположный.
Имеют место равенства:
,
,
в которых и произвольные действительные числа.
Вектор называется линейной комбинацией векторов и . Если и — произвольные действительные числа, а и — неколлинеарные вектора, то варьируя эти числа, можно получить произвольный вектор плоскости.
Если и — два неколлинеарных вектора, отложенные от точки , то вектор, оканчивающийся в середине отрезка , равен полусумме векторов и , т. е. .
В общем случае, вектор точки , делящий отрезок в соотношении ( и — положительные числа) и начинающийся в точке , дается формулой : .
Умножение вектора на число
Произведением ненулевого вектора а на число х =/= 0 называется вектор, длина которого равна | x | • | а |, а направление совпадает с направлением а, если х > 0, и противоположно ему, если х < 0.
Произведением нулевого вектора на любое число х и произведением любого вектора на число нуль называется нулевой вектор.
Произведение вектора а на число х обозначается х • а (числовой множитель пишется слева).
Согласно определению | x • а | = | x | • | а | для любого вектора а и любого числа х.
На рис. 18 изображены произведения вектора а на число х = 2 (вектор CD>) и на число х = —2 (вектор EF>).
Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:
1. Свойство ассоциативности (сочетательности):
х • (у • а) = (х • у) • а.
2. Свойство дистрибутивности (распределительности) относительно векторного множителя:
х • а + y • а = (х + у) • а.
3. Свойство дистрибутивности (распределительности) относительно числового множителя:
х • а + х • b = х • (a + b).
Если a = 0 или ху = 0, то равенство х(уа) = = (ху)а очевидно, так как слева и справа стоят нулевые векторы.
Пусть а =/= 0, ху =/= 0 и а = OA>. Тогда векторы х (у • OA>) и (ху) OA> лежат на прямой OA>, имеют длину |x| • |y| • |OA>| и направлены в одну сторону: в сторону вектора а = OA>, если ху > 0, и в противоположную сторону, если ху < 0. Таким образом, свойство 1 доказано.
Скалярное произведение двух векторов.
В физике работа А постоянной силы F при прямолинейном движении материальной точки из положения В в положение С (рис. 52) вычисляется по формуле
Эта формула вектору силы F и вектору перемещения ВС ставит в соответствие скалярную величину — работу. Величину А называют скалярным произведением векторов F и BC>. Скалярное произведение может быть определено для любых двух векторов. Оно широко используется в физике и в математике.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Если из двух векторов хотя бы один нулевой, то скалярное произведение этих векторов принимается равным нулю.
Скалярное произведение векторов а и b обозначается а • b. Итак, по определению
а • b = | а | • | b | cos . (1)
Если а = b, то скалярное произведение принимает вид а • a и называется скалярным квадратом вектора а и обозначается символом a2. Очевидно, что a2 = а • a = |а|2.
Как известно (см. § 16), проекция вектора b на ось, направление которой совпадает с направлением вектора а, выражается формулой
npab = | b | cos .
Используя формулы (1) и (2), можно записать
а • b = | а | npab.
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из них и проекции второго вектора на направление первого.
Аналогично получается формула а • b = | b | npba.
Взаимное расположение векторов
Взаимное расположение векторов не изменяется, так как оба они вращаются с одной и той же угловой скоростью со - угловая частота обеих синусоидальных функций одинакова.
Взаимное расположение векторов на векторной диаграмме с течением времени не изменяется, поэтому нет необходимости вращать векторы при изображении синусоидально изменяющихся величин на комплексной плоскости, достаточно изобразить векторы в начальный момент времени, представить их комплексами.
Взаимное расположение векторов напряжения UAX и U ах в этом случае аналогично расположению стрелок часов, показывающих 6 часов.
Поскольку взаимное расположение векторов t -, v, b не изменяется, соответствующее движение естественного трехгранника можно рассматривать как движение твердого тела: поступательное перемещение вместе с точкой М и вращение относительно этой точки с угловой скоростью И. Вектор Q называется вектором Дарбу.
В этом случае взаимное расположение векторов ti, t2, n не изменяется, и образуемый ими триедр поворачивается при переходе от точки к точке как жесткое целое.
В этом случае взаимное расположение векторов tj, t2, n не изменяется, и образуемый ими триедр поворачивается при переходе от точки к точке как жесткое целое.
Ясно, что взаимное расположение векторов на диаграмме при этом не изменилось.
На векторной диаграмме важно взаимное расположение векторов, неизменное для величин, изменяющихся с одной и той же частотой. Поэтому изображение векторов величин, изменяющихся с различной частотой, на одной и той же векторной диаграмме недопустимо, так как взаимное расположение таких векторов будет различным для разных моментов времени.
Важным частным случаем взаимного расположения векторов является тот, когда они взаимно перпендикулярны. Перпендикулярные векторы называются также ортогональными. Если нам дан некоторый набор векторов, в котором любые два вектора ортогональны друг другу, то этот набор называется ортогональной системой векторов.
На рисунке 3.5. показано взаимное расположение векторов пары и ее момента. Момент пары есть свободный вектор, так как он представляет собой скорость поступательного движения тела и может быть отнесен к любой его точке.
11