Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Контрольная работа №4
Теория функций комплексного переменного.
Уравнения математической физики
Теория вероятности
Математическая статистика
Введение.
Общий курс высшей математики, изучаемой студентами-заочниками инженерно-технических и технологических специальностей, состоит из аналитической геометрии с элементами линейной алгебры, математического анализа, элементов теории вероятности и математической статистики.
Этот курс ставит основной своей задачей сообщить студенту сведения о высшей математике, необходимые для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, и также развить навыки логического мышления.
Учебный материал по курсу высшей математики распределен на пять первых семестров. В конце каждого семестра предусмотрен зачет или экзамен по изученным разделам математики. Соответственно этим разделам студенты выполняют контрольные работы согласно учебному плану своей специальности.
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом. Лекции, практические, индивидуальные межсессионные занятия призваны помочь им в самостоятельной работе и выполнении контрольных работ.
Работа студента-заочника над учебным материалом по математики состоит из следующих элементов: слушание лекций, участие в практических занятиях, участие в межсессионных индивидуальных занятиях, изучение материала по учебникам, решение задач, ответы на вопросы для самоконтроля, выполнение контрольных работ (1-5 в семестр), сдача зачетов и экзаменов.
Настоящий сборник содержит все задания для выполнения контрольных работ по высшей математике а также ставит цель помочь студенту-заочнику самостоятельно работать над учебным материалом по высшей математике, в нем перечислена литература, рекомендованная для самостоятельного изучения материала, содержится программа по всему курсу, методика изучения и решения типовых вариантов контрольных работ.
Требования к оформлению контрольных работ
Контрольная работа должна выполняться студентом в соответствии с номером варианта, который определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки студента.
При оформлении контрольной работы необходимо учитывать следующие требования:
Контрольную работу необходимо сдать за 10 дней до начала экзаменационной сессии, в противном случае студент не будет допущен до зачета или экзамена.
Пример 1. Указать область, определяемую условиями , , .
Решение. Неравенство , равносильное неравенству , определяет внешность круга (включая границу) радиусом 1 с центром в точке . Неравенство или определяет полосу, заключенную между прямыми и . Неравенство или определяет полосу, заключенную между прямыми и .
Пример 2. Найти аналитическую функцию по ее заданной действительной части .
Решение. Для определения мнимой части воспользуемся условиями Коши-Римана. Так как , то согласно первому условию . Отсюда, интегрируя по y, находим:
Для определения функции воспользуемся вторым условием Коши-Римана. Так как , а , то . Отсюда и , где . Поэтому . Находим функцию :
Пример 3. Решить задачу Коши
,
.
Решение. По условию , поэтому, пользуясь формулой , получим
Пример 4. Дан тонкий однородный стержень длиной , изолированный от внешнего пространства, начальная температура которого равна . Концы стержня поддерживаются при температуре, равной нулю. Определить температуру стержня в момент .
Решение. Математически данная задача сводится к решению следующей смешанной задачи для одномерного однородного уравнения теплопроводности:
,
,
,
решение которой дается формулой , где при . Вычислим :
,
при и . Если и , получим
,
.
Замечание. Коэффициенты можно определить из тождества
.
Отсюда в силу линейной независимости системы функций получим , , для .
Пример 5. Найти решение уравнения Лапласа в области, заключенной между двумя концентрическими окружностями радиусов и с центрами в начале координат, удовлетворяющее граничным условиям .
Решение. Запишем граничные условия в полярных координатах: первое не изменится, второе примет вид
.
Решение задачи ищем в виде . Удовлетворим граничным условиям:
,
.
Отсюда
для ;
для ,
для .
З этих двух серий соотношений (линейной алгебраической системы уравнений) определяем коэффициенты:
а) ,
б) ,
в) все остальные коэффициенты равны нулю.
Итак,
,
или в декартовых координатах , ,
.
Задача 5.1. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных (событие ).
Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. числу сочетаний из 10 элементов по 6 элементов: .
Определим число исходов, благоприятствующих событию А. Четыре стандартные детали можно взять из семи стандартных деталей способами. Остальные 6-4=2 детали должны быть нестандартными. Их можно взять из 10-7=3 нестандартных деталей способами. Таким образом, число благоприятствующих исходов равно .
Следовательно, искомая вероятность равна
.
Задача 6.
6.1. Консультационный пункт университета получает пакеты с контрольными работами из городов А, В и С. Вероятность получения пакета из города А равна 0,7, из города В – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из города С.
Решение. События «пакет получен из города А», «пакет получен из города В», «пакет получен из города С» образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице:. Отсюда искомая вероятность равна: .
6.2. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна . Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна .
Искомая вероятность по формуле Бернулли равна
.
Задача 6.3. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна . Найти вероятность того, что среди случайно отобранных деталей окажется не проверенных от до деталей.
Решение. Точное значение искомой вероятности можно найти с помощью формулы Бернулли, однако это приводит к громоздким вычисления, поэтому воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа:
, , .
Так как , то
, ,
поэтому
.
Пользуясь таблицей значений функции Лапласа, находим
.
Задача 7.
7.1. При установившемся технологическом процессе предприятие выпускает своих изделий первым сортом и вторым сортом. Найти закон распределения случайной величины – числа изделий первого сорта из взятых наугад четырех изделий. Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
Решение. Очевидно, что случайная величина может принимать следующие возможные значения: 0,1,2,3,4. вероятности этих значений вычислим по формуле Бернулли:
,
,
,
,
.
Проверка: , т. е. вычисления выполнены правильно.
Итак, закон распределения случайной величины :
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение:
;
;
.
7.2. Непрерывная случайная величина задана плотностью вероятностей
Найти: а) постоянный параметр с; б) функцию распределения ;в) вероятность того, что в результате испытания примет значение из интервала (0,5; 1,5); г) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины .
Решение.
а) Определим параметр с из условия :
, т е. .
б) Найдем функцию распределения :
1) если , то ;
2) если , то ;
3) если , то .
Следовательно
в)
г) ;
;
.
Задача 8. Случайная величина имеет нормальное распределение с выборочным средним и средним квадратическим отклонением . Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания , если объем выборки и задана надежность (доверительная вероятность) оценки .
Решение. Воспользуемся рабочей формулой
,
где точность оценки .
По таблице функции Лапласа (см. приложение) из соотношения найдем . Определим точность оценки
.
Следовательно, доверительный интервал будет
т. е. .
Отв.: .
Замечание. Так как – постоянная величина, то было бы ошибочным написать , ибо либо заключена в этом интервале (тогда событие достоверно и вероятность равна единице), либо нет (это событие невозможно, вероятность его равна нулю).
Надежность указывает, сто если произведено достаточное число выборок, то 95% из них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр действительно заключен; лишь в 5% случаев он может выйти за границы доверительного интервала.
Задания к контрольной работе
1. Изобразить на комплексной плоскости множества, заданные соотношениями:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. ;
17. ;
18. ;
19. ;
20. ;
21. ;
22. ;
23. ;
24. ;
25. ;
26. ;
27. ;
28. ;
29. ;
30. ;
31. ;
32. ;
33. ;
34. ;
35. ;
36. ;
37. ;
38. ;
39. ;
40. ;
41. ;
42. ;
43. ;
44. ;
45. ;
46. ;
47. ;
48. ;
49. ;
50. ;
51. ;
52. ;
53. ;
54. ;
55. ;
56. ;
57. ;
58. ;
59. ;
60. ;
61. ;
62. ;
63. ;
64. ;
65. ;
66. ;
67. ;
68. ;
69. ;
70. ;
71. ;
72. ;
73. ;
74. ;
75. ;
76. ;
77. ;
78. ;
79. ;
80. ;
81. ;
82. ;
83. ;
84. ;
85. ;
86. ;
87. ;
88. ;
89. ;
90. ;
91. ;
92. ;
93. ;
94. ;
95. ;
96. ;
97. ;
98. ;
99. ;
100. .
2. Восстановить аналитическую функцию по ее мнимой или действительной части и найти ее производную:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. ;
17. ;
18. ;
19. ;
20. ;
21. ;
22. ;
23. ;
24. ;
25. ;
26. ;
27. ;
28. ;
29. ;
30. ;
31. ;
32. ;
33. ;
34. ;
35. ;
36. ;
37. ;
38. ;
39. ;
40. ;
41. ;
42. ;
43. ;
44. ;
45. ;
46. ;
47. ;
48. ;
49. ;
50. ;
51. ;
52. ;
53. ;
54. ;
55. ;
56. ;
57. ;
58. ;
59. ;
60. ;
61. ;
62. ;
63. ;
64. ;
65. ;
66. ;
67. ;
68. ;
69. ;
70. ;
71. ;
72. ;
73. ;
74. ;
75. ;
76. ;
77. ;
78. ;
79. ;
80. ;
81. ;
82. ;
83. ;
84. ;
85. ;
86. ;
87. ;
88. ;
89. ;
90. ;
91. ;
92. ;
93. ;
94. ;
95. ;
96. ;
97. ;
98. ;
99. ;
100. .
3. Решить задачу Коши для уравнения колебания струны
,
, если
|
№ варианта |
|||
|
01 |
1 |
||
|
02 |
1 |
0 |
|
|
03 |
1 |
||
|
04 |
1 |
||
|
05 |
2 |
0 |
|
|
06 |
3 |
0 |
|
|
07 |
2 |
0 |
|
|
08 |
1 |
0 |
|
|
09 |
4 |
||
|
10 |
2 |
||
|
11 |
1 |
0 |
|
|
12 |
1 |
||
|
13 |
1 |
||
|
14 |
1 |
||
|
15 |
1 |
||
|
16 |
1 |
||
|
17 |
1 |
0 |
|
|
18 |
2 |
||
|
19 |
2 |
0 |
|
|
20 |
2 |
0 |
|
|
21 |
2 |
||
|
22 |
2 |
||
|
23 |
2 |
||
|
24 |
2 |
||
|
25 |
2 |
||
|
26 |
2 |
||
|
27 |
2 |
||
|
28 |
3 |
||
|
29 |
3 |
||
|
30 |
3 |
||
|
31 |
2 |
||
|
32 |
2 |
||
|
33 |
2 |
||
|
34 |
2 |
||
|
35 |
2 |
||
|
36 |
2 |
||
|
37 |
1 |
||
|
38 |
1 |
0 |
|
|
39 |
1 |
||
|
40 |
1 |
||
|
41 |
2 |
0 |
|
|
42 |
3 |
0 |
|
|
43 |
2 |
0 |
|
|
44 |
1 |
0 |
|
|
45 |
4 |
||
|
46 |
2 |
||
|
47 |
1 |
0 |
|
|
48 |
1 |
||
|
49 |
1 |
||
|
50 |
1 |
||
|
51 |
1 |
||
|
52 |
1 |
||
|
53 |
1 |
0 |
|
|
54 |
2 |
||
|
55 |
2 |
0 |
|
|
56 |
2 |
0 |
|
|
57 |
2 |
||
|
58 |
2 |
||
|
59 |
2 |
||
|
60 |
2 |
||
|
61 |
2 |
||
|
62 |
2 |
||
|
63 |
2 |
||
|
64 |
3 |
||
|
65 |
3 |
||
|
66 |
3 |
||
|
67 |
2 |
||
|
68 |
2 |
||
|
69 |
2 |
||
|
70 |
2 |
||
|
71 |
2 |
||
|
72 |
2 |
||
|
73 |
1 |
||
|
74 |
1 |
0 |
|
|
75 |
1 |
||
|
76 |
1 |
||
|
77 |
2 |
0 |
|
|
78 |
3 |
0 |
|
|
79 |
2 |
0 |
|
|
80 |
1 |
0 |
|
|
81 |
4 |
||
|
82 |
2 |
||
|
83 |
1 |
0 |
|
|
84 |
1 |
||
|
85 |
1 |
||
|
86 |
1 |
||
|
87 |
1 |
||
|
88 |
1 |
||
|
89 |
1 |
0 |
|
|
90 |
2 |
||
|
91 |
2 |
0 |
|
|
92 |
2 |
0 |
|
|
93 |
2 |
||
|
94 |
2 |
||
|
95 |
2 |
||
|
96 |
2 |
||
|
97 |
2 |
||
|
98 |
2 |
||
|
99 |
2 |
||
|
100 |
3 |
4. Дан тонкий однородный стержень длиной , изолированный от внешнего пространства, начальная температура которого равна . Концы стержня поддерживаются при температуре, равной нулю. Определить температуру стержня в момент времени . Решить задачу, если
|
№ варианта |
|||
|
01 |
1 |
1 |
|
|
02 |
1 |
2 |
|
|
03 |
1 |
||
|
04 |
1 |
3 |
|
|
05 |
2 |
||
|
06 |
3 |
||
|
07 |
2 |
2 |
|
|
08 |
1 |
2 |
|
|
09 |
4 |
2 |
|
|
10 |
2 |
1 |
|
|
11 |
1 |
4 |
|
|
12 |
1 |
5 |
|
|
13 |
1 |
6 |
|
|
14 |
1 |
7 |
|
|
15 |
1 |
8 |
|
|
16 |
1 |
9 |
|
|
17 |
1 |
||
|
18 |
2 |
1 |
|
|
19 |
2 |
2 |
|
|
20 |
2 |
3 |
|
|
21 |
2 |
4 |
|
|
22 |
2 |
5 |
|
|
23 |
2 |
6 |
|
|
24 |
2 |
7 |
|
|
25 |
2 |
8 |
|
|
26 |
2 |
9 |
|
|
27 |
2 |
||
|
28 |
3 |
1 |
|
|
29 |
3 |
3 |
|
|
30 |
3 |
4 |
|
|
31 |
1 |
8 |
|
|
32 |
1 |
9 |
|
|
33 |
1 |
||
|
34 |
2 |
1 |
|
|
35 |
2 |
2 |
|
|
36 |
2 |
3 |
|
|
37 |
2 |
4 |
|
|
38 |
2 |
5 |
|
|
39 |
1 |
1 |
|
|
40 |
1 |
2 |
|
|
41 |
1 |
||
|
42 |
1 |
3 |
|
|
43 |
2 |
||
|
44 |
3 |
||
|
45 |
2 |
2 |
|
|
46 |
1 |
2 |
|
|
47 |
4 |
2 |
|
|
48 |
2 |
1 |
|
|
49 |
1 |
4 |
|
|
50 |
1 |
5 |
|
|
51 |
1 |
6 |
|
|
52 |
1 |
7 |
|
|
53 |
1 |
8 |
|
|
54 |
1 |
9 |
|
|
55 |
1 |
||
|
56 |
2 |
1 |
|
|
57 |
2 |
2 |
|
|
58 |
2 |
3 |
|
|
59 |
2 |
4 |
|
|
60 |
2 |
5 |
|
|
61 |
2 |
6 |
|
|
62 |
2 |
7 |
|
|
63 |
2 |
8 |
|
|
64 |
2 |
9 |
|
|
65 |
2 |
||
|
66 |
3 |
1 |
|
|
67 |
3 |
3 |
|
|
68 |
3 |
4 |
|
|
69 |
1 |
8 |
|
|
70 |
1 |
9 |
|
|
71 |
1 |
||
|
72 |
1 |
2 |
|
|
73 |
1 |
||
|
74 |
1 |
3 |
|
|
75 |
2 |
||
|
76 |
3 |
||
|
77 |
2 |
2 |
|
|
78 |
1 |
2 |
|
|
79 |
4 |
2 |
|
|
80 |
2 |
1 |
|
|
81 |
1 |
4 |
|
|
82 |
1 |
5 |
|
|
83 |
1 |
6 |
|
|
84 |
1 |
7 |
|
|
85 |
1 |
8 |
|
|
86 |
1 |
9 |
|
|
87 |
1 |
||
|
88 |
2 |
1 |
|
|
89 |
2 |
2 |
|
|
90 |
2 |
3 |
|
|
91 |
2 |
4 |
|
|
92 |
2 |
5 |
|
|
93 |
2 |
6 |
|
|
94 |
2 |
7 |
|
|
95 |
2 |
8 |
|
|
96 |
2 |
9 |
|
|
97 |
2 |
||
|
98 |
3 |
1 |
|
|
99 |
3 |
3 |
|
|
100 |
3 |
4 |
5. Найти решение уравнения Лапласа и области, заключенной между двумя концентрическими окружностями радиусов и с центрами в начале координат, удовлетворяющее граничным условиям , если
|
№ варианта |
||||
|
01 |
1 |
2 |
1 |
|
|
02 |
1 |
3 |
0 |
|
|
03 |
1 |
4 |
2 |
|
|
04 |
1 |
5 |
||
|
05 |
1 |
6 |
1 |
|
|
06 |
2 |
3 |
1 |
|
|
07 |
2 |
4 |
4 |
|
|
08 |
2 |
5 |
||
|
09 |
2 |
5 |
1 |
|
|
10 |
2 |
7 |
||
|
11 |
3 |
4 |
||
|
12 |
3 |
5 |
||
|
13 |
3 |
6 |
0 |
|
|
14 |
3 |
7 |
4 |
|
|
15 |
3 |
8 |
||
|
16 |
3 |
9 |
||
|
17 |
4 |
5 |
||
|
18 |
4 |
6 |
||
|
19 |
4 |
7 |
0 |
|
|
20 |
4 |
8 |
2 |
|
|
21 |
4 |
9 |
||
|
22 |
2 |
9 |
0 |
|
|
23 |
2 |
8 |
||
|
24 |
2 |
7 |
2 |
|
|
25 |
2 |
6 |
0 |
|
|
26 |
2 |
5 |
1 |
|
|
27 |
2 |
4 |
||
|
28 |
2 |
3 |
2 |
|
|
29 |
1 |
3 |
2 |
|
|
30 |
1 |
2 |
-3 |
|
|
31 |
4 |
5 |
||
|
32 |
4 |
6 |
||
|
33 |
4 |
7 |
0 |
|
|
34 |
4 |
8 |
2 |
|
|
35 |
4 |
9 |
||
|
36 |
2 |
9 |
0 |
|
|
37 |
2 |
8 |
||
|
38 |
1 |
2 |
0 |
|
|
39 |
0,5 |
1 |
0 |
|
|
40 |
1 |
2 |
0 |
|
|
41 |
1 |
2 |
1 |
|
|
42 |
0,5 |
1 |
1 |
1 |
|
43 |
0,5 |
1 |
0 |
|
|
44 |
1 |
2 |
0 |
|
|
45 |
0,5 |
1 |
0 |
|
|
46 |
0,5 |
1 |
0 |
|
|
47 |
2 |
7 |
||
|
48 |
0,5 |
1 |
0 |
|
|
49 |
3 |
5 |
||
|
50 |
1 |
3 |
3 |
|
|
51 |
1,5 |
2 |
0 |
|
|
52 |
3 |
8 |
||
|
53 |
3 |
9 |
||
|
54 |
1,5 |
2 |
0 |
|
|
55 |
4 |
6 |
||
|
56 |
4 |
7 |
0 |
|
|
57 |
4 |
8 |
2 |
|
|
58 |
4 |
9 |
||
|
59 |
2 |
9 |
0 |
|
|
60 |
2 |
8 |
||
|
61 |
2 |
7 |
2 |
|
|
62 |
2 |
6 |
0 |
|
|
63 |
2 |
5 |
1 |
|
|
64 |
2 |
4 |
||
|
65 |
2 |
3 |
2 |
|
|
66 |
1 |
3 |
2 |
|
|
67 |
1 |
2 |
-3 |
|
|
68 |
4 |
5 |
||
|
69 |
4 |
6 |
||
|
70 |
4 |
7 |
0 |
|
|
71 |
4 |
8 |
2 |
|
|
72 |
4 |
9 |
||
|
73 |
2 |
9 |
0 |
|
|
74 |
2 |
8 |
||
|
75 |
1 |
2 |
1 |
|
|
76 |
1 |
3 |
0 |
|
|
77 |
1 |
4 |
2 |
|
|
78 |
1 |
5 |
||
|
79 |
1 |
6 |
1 |
|
|
80 |
2 |
3 |
1 |
|
|
81 |
2 |
4 |
4 |
|
|
82 |
2 |
5 |
||
|
83 |
2 |
5 |
1 |
|
|
84 |
2 |
7 |
||
|
85 |
3 |
4 |
||
|
86 |
3 |
5 |
||
|
87 |
3 |
6 |
0 |
|
|
88 |
3 |
7 |
4 |
|
|
89 |
3 |
8 |
||
|
90 |
3 |
9 |
||
|
91 |
4 |
5 |
||
|
92 |
4 |
6 |
||
|
93 |
4 |
7 |
0 |
|
|
94 |
4 |
8 |
2 |
|
|
95 |
4 |
9 |
||
|
96 |
2 |
9 |
0 |
|
|
97 |
2 |
8 |
||
|
98 |
2 |
7 |
2 |
|
|
99 |
2 |
6 |
0 |
|
|
100 |
2 |
5 |
1 |
6. Решить следующие задачи:
1. В ящике имеется 15 деталей, из них 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает из ящика 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
2. Студент данного курса изучает 12 дисциплин. В расписание занятий каждый день включается по 3 предмета. Сколькими способами может быть составлено расписание на каждый день?
3. Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся поставленными рядом.
4. Шесть пассажиров садятся в электропоезд, состоящий из 10 вагонов. Каждый пассажир с одинаковой вероятностью может сесть в любой из десяти вагонов. Определить число всех возможных вариантов размещения пассажиров в поезде.
5. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какое из двух событий вероятнее: в течение одной минуты позвонят три абонента; позвонят четыре абонента?
6. На складе хранятся в нерассортированном виде 20 изделий первого сорта и 10 – второго. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу пяти изделий два будут второго сорта.
7. Восемь человек договорились ехать в одном поезде, состоящем из восьми вагонов. Сколькими способами можно распределить этих людей по вагонам, если в каждый вагон сядет по одному человеку?
8. В среднем на 1 м2 площади посева встречается 0,5 стеблей сорняков. Найти вероятность того, что на 4м2 не окажется ни одного сорняка.
9. В урне 3 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что эти шары разного цвета.
10. В шахматном турнире участвовало 14 шахматистов, каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего сыграно партий?
11. Среднее число заявок, поступающих на склад в течение месяца, равно двум. Найти вероятность того, что в течение 0,5 месяца поступит не более одной заявки.
12. Из ящика, в котором находится 31 стандартная и 6 нестандартных деталей, взято наугад 3 детали. Какова вероятность следующих событий: а) все три детали стандартные; б) по крайней мере одна деталь стандартная?
13. Из девяти значащих цифр составляются трехзначные числа. Сколько различных чисел может быть составлено?
14. Было посажено 400 деревьев. Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250, если вероятность, что отдельное дерево приживется, равна 0,8.
15. Цепь состоит из двух последовательно включенных элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы первого элемента , а второго – . Вычислить вероятность разрыва сети.
16. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать с помощью девяти значащих цифр, из которых ни одна не повторяется?
17. Найти вероятность того, что в партии из 800 изделий число изделий высшего сорта заключено между 600 и 700, если вероятность, что отдельное изделие будет высшего сорта, равна 0,62.
18. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о,п,р,с,т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных «в одну линию» кубиках можно будет прочесть слово «спорт».
19. В пассажирском поезде 10 вагонов. Сколькими способами можно размещать вагоны, составляя этод поезд?
20. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что: а) студент знает все три вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете; б) студент знает только два вопроса своего экзаменационного билета; в) студент знает только один вопрос своего экзаменационного билета.
21. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани.
22. Бригадир должен отправить на работу звено из 5 человек. Сколько таких звеньев можно составить из 12 человек бригады?
23. В семье четверо детей. Принимая равновероятным рождение мальчика и девочки, найти вероятность того, что мальчиков в семье: а) три; б) не менее трех; в) два.
24. Из партии втулок, изготовленных за смену токарем, случайным образом отбирается для контроля 10 шт. Найти вероятность того, что среди отобранных втулок 2 – второго сорта, если во всей партии 25 втулок первого сорта и 5 – второго.
25. Сколькими способами можно составить патруль из трех солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?
26. При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,1. Найти вероятность того, что сообщение из 10 знаков: а) не будет искажено; б) содержит три искажения; в) содержит не более трех искажений.
27. В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выйдет на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут на четвертом этаже.
28. Сколькими способами можно распределить 6 различных книг между тремя учениками так, чтобы каждый получил 2 книги?
29. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,25. Найти вероятность того, что событие наступит 50 раз в 243 испытаниях.
30. В группе спортсменов 7 лыжников и 3 конькобежца. Из нее случайным образом выделены три спортсмена. Найти вероятность того, что все выбранные спортсмены окажутся лыжниками.
31. Сколькими различными способами собрание, состоящее из 40 человек, может выбрать председателя собрания, его заместителя и секретаря? (59 280)
32. Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из взятых на проверку 1000 деталей 10 бракованных.
33. Из восьми книг две художественные. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу четырех книг, хотя бы одна художественная.
34. Сколькими способами можно выбрать два карандаша и три ручки из пяти различных карандашей и пяти различных ручек?
35. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 75 раз.
36. На полке 6 радиоламп, из которых две негодные. Случайным образом отбираются две радиолампы. Какова вероятность того, что они годны для использования.
37. Сколько различных пятизначных чисел можно записать при помощи цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9 без повторения цифр?
38. Размер диаметра детали, выпускаемой цехом, распределяется по нормальному закону с параметрами а=5 см, σ2=0,8 см2. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) составит от 4 до 7 см; б) отличается от математического ожидания не более, чем на 2 см.
39. В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец, три из них восстановленные. Определить вероятность того, что среди взятых наугад четырех колец два окажутся восстановленными.
40. При встрече 12 человек обменялись рукопожатиями. Сколько рукопожатий было сделано при этом?
41. Десять студентов условились ехать определенным рейсом электропоезда с 10 вагонами, но не договорились о номере вагона. Какова вероятность того, что ни один их них не встретится с другим, если возможности в размещении студентов по вагонам равновероятны?
42. Сколькими способами можно выставить на игру футбольную команду, состоящую из трех нападающих, трех полузащитников, четырех защитников и вратаря, если всего в команде 6 нападающих, 3 полузащитника, 6 защитников и 1 вратарь?
43. В группе из 8 спортсменов шесть мастеров спорта. Найти вероятность того, что из двух случайным образом отобранных спортсменов хотя бы один – мастер спорта.
44. Автоколонну, состоящую из 30 автомобилей, просят выделить на сельхозработы 12 автомобилей. Сколькими способами можно это сделать?
45. На полке случайным образом расставляются 10 книг. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся стоящими рядом.
46. На шахматном турнире было сыграно 45 партий, причем каждый из шахматистов сыграл с остальными по одной партии. Сколько шахматистов участвовало в турнире?
47. Мальчик забыл две последние цифры номера телефона и набрал их наугад, помня только, что эти цифры нечетны и различны. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
48. На станции имеется 6 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?
49. Доля плодов, заряженных болезнью в скрытой форме, составляет 20%. Случайным образом отбирается шесть плодов. Найти вероятность того, что в выборке окажется: а) ровно три заряженных плода; б) не менее одного заряженного плода.
50. Из группы студентов инженерно-физического факультета в 16 человек формируются две строительные бригады в 10 и 6 человек. Сколькими способами можно создать эти бригады?
51. В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу пяти волокон длинных окажется: а) три; б) не более двух.
52. В коробке шесть одинаковых пронумерованных кубиков. Найти вероятность того, что при извлечении по одному всех шести кубиков их номера появятся в возрастающем порядке?
53. Из партии, в которой доля первосортных деталей равна 0,8, отобрано 60 единиц (с возвратом). Определить вероятность того, что среди отобранных деталей окажется 45 первого сорта.
54. Буквенный замок содержит на общей оси 5 дисков, каждый из которых разделен на 6 секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. определить вероятность открыть замок, если установлена произвольная комбинация букв.
55. Партия из 100 деталей проверяется контролером, который наугад выбирает 10 деталей и определяет их качество. Если среди выбранных контролером деталей нет ни одной бракованной, то вся партия принимается. В противном случае ее посылают на дополнительную проверку. Какова вероятность того, что партия деталей, содержащая 5 бракованных, будет принята контролером?
56. Из пруда, в котором плавают 40 щук, выловили 5 штук, пометили их и пустили обратно в пруд. Во второй раз выловили 9 щук. Какова вероятность, что среди них окажутся только две помеченные щуки?
57. На шахматную доску из 64 клеток ставят наудачу две ладьи белого и черного цвета. С какой вероятность они не будут «бить» друг друга?
58. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что извлеченные наугад два шара окажутся черными?
59. Мальчик забыл две последние цифры номера телефона одноклассника и набрал их наугад, помня только, что эти цифры нечетны и различны. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
60. В мастерскую для ремонта поступило 20 телевизоров. Известно, что 7 из них нуждаются в настройке. Мастер берет любые 5 телевизоров. Какова вероятность того, что 2 из них нуждаются в настройке?
61. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которых по жребию распределяют в две группы по 10 человек. Найти вероятность того, что два сильнейших шахматиста будут играть в разных группах.
62. В партии, состоящей из 20 радиоприемников, 5 неисправных. Наугад берут 3 радиоприемника. Какова вероятность того, что в число выбранных войдут 1 неисправный и 2 исправных радиоприемника?)
63. В магазине из 100 пар зимних сапог одного фасона 10 – коричневого цвета, а остальные – черного. Произвольно отбирают 8 пар сапог. Какова вероятность того, что все выбранные сапоги черного цвета?
64. В телестудии три телевизионные камеры. Вероятности того, что в данный момент камера включена, соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) две камеры; б) не более одной камеры; в) три камеры.
65. На железобетонном заводе изготовляют панели, 90% из которых – высшего сорта. Какова вероятность того, что из трех наудачу выбранных панелей высшего сорта будут: а) три панели; б) хотя бы одна панель; в) не более одной панели?
66. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,7. Оба стрелка сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что цель поражена: а) хотя бы один раз; б) два раза; в) один раз?)
67. Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найти вероятность того, что из 6 посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех; в) четыре.
68. Из семи букв разрезной азбуки составлено слово «пароход». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него получилось слово a) «хор», б) «пароход».
69. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь две окрашенные грани.
70. Из партии втулок, изготовленных за смену токарем, случайным образом отбирается для контроля 10 шт. Найти вероятность того, что среди отобранных втулок две второго сорта, если во всей партии 25 втулок первого сорта и 5 - второго.
71. В лифт шестиэтажного дома на первом этаже вошли 4 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выйдет на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что все пассажиры выйдут на четвертом этаже.
72. В группе спортсменов 7 лыжников и 3 конькобежца. Из нее случайным образом выделены три спортсмена. Найти вероятность того, что все выбранные спортсмены окажутся лыжниками.
73. Из букв разрезной азбуки составлено слово «ремонт». Карточки с отдельными буквами тщательно перемешивают, затем наугад вытаскивают 4 карточки и раскладывают их в порядке извлечения. Какова вероятность получения при этом слова «море»?
74. Из восьми книг две художественные. Найти вероятность того, что среди взятых наугад четырех книг, хотя бы одна художественная.
75. На полке 6 радиоламп, из которых две негодные. Случайным образом отбираются две радиолампы. Какова вероятность того, что они годны для использования?
76. В запасе ремонтной мастерской 10 поршневых колец, три из них восстановленные. Определить вероятность того, что среди взятых наугад четырех колец два окажутся восстановленными?
77. Десять студентов условились ехать определен ным рейсом электропоезда с 10 вагонами, но не договорились о номере вагона. Какова вероятность того, что ни один из них не встретится с другим, если воз можности в размещении студентов по вагонам равно вероятны?
78. Из колоды карт (52 листа) наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что:
а) среди них окажется ровно один туз;
б) среди них окажется хотя бы один туз:
в) это будут тройка, семерка и туз (в любом порядке).
79. В группе из 8 спортсменов шесть мастеров спорта. Найти вероятность того, что из двух случай ным образом отобранных спортсменов хотя бы один - мастер спорта.
80. Из партии деталей, среди которых 100 стан дартных и 5 бракованных, для контроля наугад взято 12 шт. При контроле выяснилось, что первые 10 из 12 деталей - стандартные. Определить вероятность того, что следующая деталь будет стандартной.
81. Определить вероятность того, что серия наудачу выбранной облигации не содержит одинаковых цифр, если номер серии может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001.
82. Буквенный замок содержит на общей оси 5 дисков, каждый из которых разделен на 6 секторов с различными нанесенными на них буквами. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Определить вероятность открыть замок, если установлена произвольная комбинация букв.
83. На железобетонном заводе изготовляют панели, 90 % из которых - высшего сорта. Какова вероятность того, что из трех наугад выбранных панелей высшего сорта будут: а) три панели; б) хотя бы одна панель; в) не более одной панели?
85. В блок входят три радиолампы. Вероятности выхода из строя в течение гарантийного срока для них соответственно равны: 0,3; 0,2; 0,4. Какова вероят ность того, что в течение гарантийного срока выйдут из строя: а) не менее двух радиоламп; б) ни одной радиолампы; в) хотя бы одна радиолампа?
86. В первом ящике 20 деталей, 15 из них - стан дартные, во втором ящике 30 деталей, 25 из них - стандартные. Из каждого ящика наугад берут по одной детали. Какова вероятность того, что: а) обе детали будут стандартными; б) хотя бы одна деталь стандартная; в) обе детали нестандартные?
87. При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны: 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен: а) тремя стан циями; б) не менее чем двумя станциями; в) ни одной станцией.
88. Вычислительная машина состоит из четырех блоков. Вероятность безотказной работы в течение времени Т первого блока равна 0,4, второго - 0,5, третьего - 0,6, четвертого - 0,4. Найти вероятность того, что в течение времени Т проработают: а) все четыре блока; б) три блока; в) не менее трех блоков.
89. Трое рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим,- высшего качества, равна 0,7, вторым - 0,8, третьим - 0,6. Для контроля взято по одному под шипнику из собранных у каждого рабочего. Какова ве роятность того, что высшего качества будут: а) все подшипники; б) два подшипника; в) хотя бы один подшипник?
90. На сборку поступают детали с трех станков с ЧПУ. Первый станок дает 20%, второй - 30% третий - 50 % однотипных деталей, поступающих на сборку. Найти вероятность того, что из трех наугад взятых деталей: а) три с разных станков; б) три с третьего станка; в) две с третьего станка.
91. Первый станок-автомат дает 1 % брака, вто рой - 1,5%, а третий - 2%. Случайным образом отобрали по одной детали с каждого станка. Какова вероятность того, что стандартными окажутся: а) три детали; б) две детали; в) хотя бы одна деталь?
92. В цехе имеется три резервных электродви гателя. Для каждого из них вероятность того, что в данный момент он включен, соответственно равна: 0,2; 0,3; 0,1. Найти вероятность того, что включены: а) два электродвигателя; б) хотя бы один электродви гатель; в) три электродвигателя.
93. Два бомбардировщика преодолевают зону ПВО. Вероятность того, что будет сбит первый бомбардировщик, равна 0,7, второй - 0,8. Найти вероятность: а) уничтожения одного бомбардировщика; б) поражения двух бомбардировщиков; в) промахов.
94. Стрелок произвел четыре выстрела по удаляю щейся от него цели, причем вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,7, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Вычислить вероятность того, что цель будет поражена: а) четыре раза; б) три раза; в) не менее трех раз.
95. Первый рабочий изготавливает 40% изделий второго сорта, а второй - 30%. У каждого рабочего взято наугад по два изделия. Какова вероятность того, что: а) все четыре изделия - второго сорта; б) хотя бы три изделия второго сорта; в) менее трех изделий - второго сорта.
96. При некоторых определенных условиях вероятность сбить самолет противника из первого зенитного орудия равна 0,4, из второго - 0,5. Сделано по одному выстрелу. Найти вероятность того, что: а) самолет уничтожен двумя снарядами; б) самолет поражен хотя бы одним снарядом; в) ни один снаряд не попал цель.
97. В коробках находятся детали: в первой - 20, из них 13 стандартных; во второй - 30, из них 6 стандартных. Из каждой коробки наугад берут по одной детали. Найти вероятность того, что: а) обе дета ли окажутся нестандартными; б) одна деталь нестан дартная; в) обе детали стандартные.
98. Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя, равна 0,1, второй - 0,2 и третий - 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены выйдут из строя: а) не менее двух станков; б) два станка; в) три станка.
99. В вопросах к зачету имеются 75% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту. Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ.
100. Что вероятнее в игре без ничьих двух равных по силам противников, выиграть 5 партий из 8 или 18 из 36?
7. Решить задачи:
(Варианты 1 - 15). Найти закон распределения указанной дискретной СВ Х и ее функцию распределения F(X). Вычислить математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X). Построить график функции распределения F(X).
1. Производятся три выстрела по мишени. Вероятность поражения мишени первым выстрелом равна 0,4, вторым – 0,5, третьим – 0,6. СВ Х – число поражений мишени.
2. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,6. СВ Х – число поражений цели при четырех выстрелах.
3. Вероятность поступления вызова на АТС в течение 1 мин равна 0,4; СВ Х – число вызовов, поступивших на АТС за 4 мин.
4. Вероятность успешной сдачи первого экзамена для студента равна 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. СВ Х – число сданных экзаменов.
5. Вероятность перевыполнения плана для СУ-1 равна 0,9, для СУ-2 – 0,8, для СУ-3 – 0,7. СВ Х – число СУ, перевыполнивших план.
6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8; СВ Х – число попаданий в цель при трех выстрелах.
7. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/6; СВ Х – число выигрышных билетов из четырех.
8. В первой студенческой группе из 24 человек 4 отличника, во второй из 22 – 3 отличника, в третьей из 24 – 6 отличников и в четвертой из 20 – 2 отличника. СВ Х – число отличников, приглашенных на конференцию, при условии, что из каждой группы выделили случайным образом по одному человеку.
9. В партии из 15 телефонных автоматов 5 неисправных; СВ Х – число неисправных аппаратов среди трех случайным образом отобранных.
10. Вероятность сдачи данного экзамена для каждого из четырех студентов равна 0,8; СВ Х – число студентов, сдавших экзамен.
11. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято три детали. СВ Х – число стандартных деталей в выборке.
12. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на 10 (десять) наугад извлекаются 3 работы. СВ Х – число работ, оцененных на 10 среди извлеченных.
13. В урне 5 белых и 20 черных шаров. Вынули три шара. СВ Х – число вынутых белых шаров.
14. Вероятность попадания мячом в корзину при каждом броске для данного баскетболиста равна 0,4. СВ Х – число попаданий при четырех бросках.
15. СВ Х – число мальчиков в семье с пятью детьми, при равновероятном рождении мальчика и девочки.
(Варианты 16 - 29). Дана функция распределения F(x) непрерывной СВ Х. Найти плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и вероятность попадания СВ Х на отрезок [a;b]. Построить графики функций F(х) и f(x).
16. 17.
18. 19.
20. 21.
22. 23.
24. 25.
26. 27.
28. 29.
(Варианты 30 - 55). Решить задачу.
(Варианты 56 - 71). Таблицей задан закон распределения дискретной случайной величины Х. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение (X).
|
Вари-ант |
Закон распределения |
Вари-ант |
Закон распределения |
|
56 |
X –6 8 9 10 p 0,1 0,1 0,6 0,2 |
57 |
X –2 –1 0 3 p 0,2 0,5 0,1 0,2 |
|
58 |
X –5 –4 2 3 p 0,1 0,5 0,2 0,2 |
59 |
X –2 0 1 4 p 0,5 0,1 0,2 0,2 |
|
60 |
X –7 –5 –2 3 p 0,4 0,4 0,1 0,1 |
61 |
X –2 1 3 8 p 0,1 0,1 0,3 0,5 |
|
62 |
X –5 –2 3 7 p 0,1 0,3 0,2 0,4 |
63 |
X –3 –1 0 2 p 0,3 0,2 0,2 0,4 |
|
64 |
X –2 –1 3 8 p 0,1 0,5 0,2 0,2 |
65 |
X –3 2 4 6 p 0,3 0,2 0,2 0,3 |
|
66 |
X –4 3 5 6 p 0,1 0,3 0,4 0,2 |
67 |
X –2 –1 0 1 p 0,2 0,4 0,1 0,3 |
|
68 |
X –2 –1 2 5 p 0,1 0,5 0,2 0,2 |
69 |
X –8 -3 1 4 p 0,3 0,3 0,2 0,2 |
|
70 |
X –4 –3 –2 3 p 0,4 0,4 0,1 0,1 |
71 |
X –2 2 3 8 p 0,1 0,1 0,3 0,5 |
(Варианты 72 - 100).
Дана плотность распределения случайной величины . Найти:
1) параметр с;
2) функцию распределения ;
3) математическое ожидание ;
4) дисперсию ;
5) вероятность попадания случайной величины на отрезок [a; b];
9. Заданы среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X, выборочная средняя , объем выборки n. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания a, если заданная надежность равна а) ; б) . Величины и n для каждого варианта определяются следующим образом: − количество букв в фамилии студента, n − номер варианта студента, если n > =50, то = ; если n<50, то =. Значение берется округленное до сотых.