Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.Введение
Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.
Mathcad был задуман и первоначально написан Алленом Раздовом из Массачусетского технологического института (MIT), соучредителем компании Mathsoft, которая с 2006 года является частью корпорации PTC (Parametric Technology Corporation).
Mathcad имеет простой и интуитивный для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов.
Некоторые из математических возможностей Mathcad (версии до 13.1 включительно) основаны на подмножестве системы компьютерной алгебры Maple . Начиная с 14 версии — использует символьное ядро MuPAD.
Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования. При создании документов-приложений используется принцип WYSIWYG (What You See Is What You Get — «что видишь, то и получаешь»).
Несмотря на то, что эта программа в основном ориентирована на пользователей-непрограммистов, Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования, путем использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.
Mathcad достаточно удобно использовать для обучения, вычислений и инженерных расчетов. Открытая архитектура приложения в сочетании с поддержкой технологий .NET и XML позволяют легко интегрировать Mathcad практически в любые ИТ-структуры и инженерные приложения
2.Описание МНК (метод наименьших квадратов)
Метод наименьших квадратов - один из методов регрессионного анализа для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные ошибки
Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.
Когда искомая величина может быть измерена непосредственно, как, например, длина отрезка или угол, то, для увеличения точности, измерение производится много раз, и за окончательный результат берут арифметическое среднее из всех отдельных измерений. Это правило арифметической середины основывается на соображениях теории вероятностей; легко показать, что сумма квадратов уклонений отдельных измерений от арифметической середины будет меньше, чем сумма квадратов уклонений отдельных измерений от какой бы то ни было другой величины. Само правило арифметической середины представляет, следовательно, простейший случай метода наименьших квадратов.
В большинстве экспериментальных данных, задаваемых с помощью табличной функции, имеется достаточно большой разброс точек. При этом использование кусочной или непрерывной интерполяции не всегда оправдано, поскольку ставится задача исследовать общую тенденцию изменения физической величины.
В этом общем случае аппроксимации искомая кривая не обязательно должна проходить через заданные точки.
Рассмотрим рис. 1, отражающий большой разброс точек. В простейшем случае будем искать аппроксимирующую функцию ф(х) в виде полинома первой степени (прямой):
Рис. 2. График аппроксимации
Таким образом, данная система точек группируется вокруг искомой прямой. Эту прямую легко провести на глаз так, чтобы она наиболее близко подходила к исходным точкам. Однако можно найти уравнение прямой более строгими математическими методами.
Метод наименьших квадратов наиболее часто используют для решения контрольных по эконометрике для нахождения параметров уравнений (линий, степенной функции, гиперболы и т.д.)
Пусть общее количество точек равно n. Отклонение i-й точки от искомой прямой:
видно из рис. 2, отклонения могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому для того, чтобы определить близость искомой функции к табличным точкам, необходимо составить сумму квадратов всех отклонений.
Метод наименьших квадратов заключается в минимизации суммы квадратов отклонений. В нашем случае эта функция равна
Рис. 2. График отклонения
Для нахождения минимума функции S необходимо приравнять нулю ее частные производные. В результате получим систему уравнений:
Опуская промежуточные преобразования, получим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов:
Здесь m - количество точек; суммирование здесь и далее предполагается по всем точкам.
Метод наименьших квадратов несложно распространить на общий случай, когда мы будем искать функцию ф(х) в виде полинома степени n:
Отметим, что в случае аппроксимации всегда справедливо следующее соотношение, связывающее количество исходных точек m и степень искомого полинома:
причем в случае равенства мы приходим к интерполяции (все отклонения равны нулю).
Неизвестные коэффициенты, а находим из условия минимизации суммы квадратов отклонений искомой функции от исходных точек. По аналогии с полиномом первой степени в нашем случае имеем систему уравнений: Z*A = B где Z - квадратная матрица размерностью (n+1)х(n+1), составленная из известных координат точек, А - вектор неизвестных коэффициентов; Y- вектор-столбец свободных членов.
3.Постановка задачи
Для полного массива исходных данных с помощью персонального компьютера в системе MathCAD:
4.Экспериментальные данные
X 352 355 359 358 346 360 364 375 368 370 377 380 379 376 382 386 387 389 390 386 390 389
Y 880 892 895 896 897 898 903 920 904 925 927 933 936 926 935 940 941 945 950 948 951 955
Уровень значимости 0.05
Доверительная вероятность 0.95
Данные проверки точности для Х=376
Y 921 928 935 930 922 919
5.Расчет коэффициентов регрессии
6.Построение графика линейных аргументов и точек эксперимента
7.Расчет моментов распределения
8.Расчет математических ожиданий
9.Расчет дисперсий для доверительной вероятности 5% по критерию Фишера
Табличное значение больше расчетного, следовательно дисперсии неоднородны, модель адекватно описывает экспериментальные данные.
10.Оцениваем доверительный интервал расчетных значений по критерию Стьюдента и строим график для полученных значений
11.Оцениваем коэффициент корреляции между X и Y
Коэффициент корреляции приближается к единице , следовательно связь между Y и X велика и функциональная зависимость между ними существует .
12.Оцениваем доверительные интервалы коэффициентов линейной модели с помощью матрицы дисперсий-ковариаций
Доверительные интервалы значительно меньше соответствующих значений коэффициентов в матрице А , следовательно коэффициенты значимы.
13.Заключение
В процессе подготовки данной курсовой работы погиб не один миллион нервных клеток. Минимальная оценка не должна быть менее»5»,ибо меньшая оскверняет их память…