Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ТЕМА: ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Функция двух переменных
При изучении многих зависимостей используют понятие функции нескольких переменных.
Например: температура Т, измеряемая в различных точках некоторого тела или пространства, зависит от координат точки (х, у, z) (от места, где устанавливается термометр) и от момента времени t. В этом случае пишут T=f(x, у, z, t).
Мы будем рассматривать только случай функций двух переменных. Выводы, полученные при этом, можно легко распространить на функции от большего числа переменных.
Примером функции двух переменных может служить зависимость площади прямоугольника от длины a и от ширины b. формула имеет вид S=a*b
Опр. Функция двух переменных – это правило, по которому каждой паре х и у ставится в соответствие единственное значение Z.
Обозначают z=f(x,y), f-закон соответствие по которому паре х и у ставится в соответствие значение Z.
Значение функции двух переменных находится так же как и для функции одной переменной
Например: Вычислить значение функции двух переменных Z=x2–2xy, в точке М(1,2)
Z(1,2)= f(x,y)=12–2*1*2=1–4= –3
Опр. Область определения функции двух переменных z=f(x,y) называется множество пар переменных х и у для которых функция z=f(x,y) определена.
Область определения может иметь вид прямоугольника, круга, полуплоскости.
Пример 1:
Найти область определения для функции Z=
Корень существует, если ху0, это возможно когда
или
область определения функции двух переменных обычно изображается штриховкой в системе ПДСК координат на плоскости.
Пример 2:
Найти область определения для функции Z=,
Выражение будет существовать когда корень 0, знаменатель 0
, т.е. 4–х2–у2>0
4–х2–у2=0
х2+у2=4 окружность с центром в точке (0,0) и радиусом 2.
Возьмем точку из окружности (0,0) и подставим ее в неравенство, получим верное равенство, следовательно областью определений будет все множество точек лежащее внутри окружности.
Геометрический смысл функции двух переменных.
Дана функция двух переменных z=f(x,y). Каждой точке из области определения с координатами (х,у) соответствует одно значение переменной z=f(x,y). Таким образом определяется упорядоченная тройка чисел (х,у,f(x,y)), таких точек можно получить сколь угодно много, если переменные пробегают всевозможные значения из области определения, то в пространстве получится поверхность – график функции двух переменных.
Например: поверхность определяемая уравнением Z=x2+y2 называется параболоид вращения.
Предел функции двух переменных.
Опр. Пределом функции двух переменных называется число к которому стремится сама функция при стремлении аргументов каждый к своему значению. z=f(x,y) , М(х0,у0) обозначается
Например: z= x3–4xy2 M(-1,0)
Непрерывность функции двух переменных.
Опр Функция f(х,у) называется непрерывной в точке (х0;у0), если бесконечно малым изменениям значений аргументов х и у соответствует бесконечно малое изменение функции f(х,у).
График непрерывной функции представляет собой поверхность без разрывов, «проколов» и других особенностей.
Опр Функция двух переменных называется непрерывной в своей области определения, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Частные производные первого и второго порядка.
Рассмотрим функцию Z=f(x,y), зафиксируем переменную у=у0, тогда из функции двух переменных получим функцию одной независимой переменной Z=f(x,y0).
Опр. Разность между конечным и начальным значениями функции называется частным приращением функции от данной переменной.
Для х задаем приращение х
f(x+х,y0)– f(x,y0)= хZ– частное приращение по переменной х
Опр. Частной производной функции двух переменных Z=f(x,y) по переменной х называется предел отношения приращения функции по переменной х к приращению аргумента х, при условии что х0.
Обозначают , Z’x, f’x(x,y),
Z’x=
Аналогично определяем другую частную производную Z’у
Аналогично фиксируем переменную х=х0, у-переменная
f(x0,y+у)– f(x0,y)= уZ – частное приращение по переменной у,
Опр. Частной производной функции двух переменных Z=f(x,y) по переменной у называется предел отношения приращения функции по переменной у к приращению аргумента у, при условии что у0.
Z’у=
Производные от функции двух переменных находится по тем же самым правилам и формулам, как и производная функции одной переменной. Только необходимо помнить, какая из данных переменных зафиксирована, а какая продолжает изменяться.
Пример:
Z= x2–3y2–6xy–2x–y+9 Z’x =? Z’у–?
Z’x = (x2)’x –(3y2)’x–(6xy)’x–(2x)’x–(y)’x+(9)’x =2x–0–6у–2–0+0=2x–6у–2
У=const
Z’у= (x2)’у –(3y2)’у–(6xy)’у–(2x)’у–(y)’у+(9)’у=0–6у–6х–0–1+0= –6у–6х–1
Частные производные по переменным Х и У, станут новыми функциями двух переменных и при необходимости от них можно найти частные производные как по переменной Х так и по У – они называются частными производными второго порядка.
Z”xх – частная производная второго порядка дважды дифференцирован по переменной Х
Z”уу ,– част пр-я 2-го порядка дважды дифференцирован по переменной У
Z”ху ,– част пр-я 2-го порядка сначала найденная по перем Х, потом по У
Z”ух ,– част пр-я 2-го порядка сначала найденная по перем У, потом по Х
Пример: Найти частные производные второго порядка от функции
Z=x2–3y2–6xy–2x–y+9
Z’x = 2x–6у–2
Z’у= –6у–6х–1
Z”xх = (Z’x)’х = (2x–6у–2)’x=2-0-0=2
Z”yy = (Z’y)’y = (–6у–6х–1)’y=-6-0-0= –6
Z”xy = (Z’x)’y= (2x–6у–2)’y=0-5-0= –6
Z”yx = (Z’y)’x= (–6у–6х–1)’x=-0–5–0= –6
Заметим что частные производные второго порядка Z’xy Z’yx равны между собой, и следовательно не зависят от порядка дифференцирования.
Экстремум функции двух переменных.
Опр. Функция Z=f(x,y), в точке (х0;у0) будет иметь минимум, если для всех других точек с координатами (х;у) будет выполнено следующее условие: f(х0;у0)<f(x,y)
Опр. Функция Z=f(x,y), в точке (х0;у0) будет иметь максимум, если для всех других точек с координатами (х;у) будет выполнено следующее условие: f(х0;у0)>f(x,y)
Максимум и минимум функции как и в случае функции одной переменной будем называть экстремумами функции.
Теорема1: (необходимое условие существования экстремума)
Если функция Z=f(x,y) имеет экстремум в точке (х0;у0), то ее частные производные, первого порядка, в этой точке равны нулю.
Т.е. если для Z=f(x,y) (х0;у0)–экстремум
Точки в которых производная равна нулю называют критическими точками.
Теорема2: (достаточное условие существования экстремума)
Пусть функция Z=f(x,y)-непрерывная в области определения вместе со своими производными и точка М0(х0;у0)–критическая точка, обозначим
А= B= C=
если АС–В2>0, то функция имеет экстремум в точке М0, причем
Алгоритм исследования функции двух переменных на экстремум.
Пример: Исследовать на экстремум функцию Z=3x2+3xy+у2–6х–2y+7
1. Z’x = 6x+3у–6 Z’у= 2у+3х–2
2. Решим систему:
у=2–2х
3х+2(2–2х)–2=0 х=2
у=2-2(2)=–2 (2;–2)– критическая точка
3. Z”xx=6=A Z”xy=3=B Z”yy=2=C
4. АС–В2=3 >0 – экстремум есть и т.к. А=6>0 следовательно (2;–2) – точка минимума.
5.
(2;–2;3) – точка минимума.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Пусть фиксированная точка на поверхности, заданной функцией
Касательной плоскостью к поверхности в точке называется плоскость t проходящая через эту точку и такая, что угол между этой плоскостью и секущей проходящей через эту точку и любую точку поверхности стремится к нулю.
Уравнение t:
Нормалью называется прямая n, проходящая через точку и перпендикулярно касательной плоскости.
Уравнение n:
ЛЕКЦИЯ
ТЕМА: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Опр. Дифференциальным называется уравнение содержащее независимые переменные, функцию этих переменных и ее производные.
Опр. Если диф уравнение относительно функции одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным диф. уравнением.
Опр. Если функция зависит от одной, двух и более переменных, то его называют уравнением частных производных.
Опр. Порядком диф. уравнения называют порядок старшей производной, входящей в это уравнение.
Примеры:
– обыкновенное диф.уравнение 1-го порядка.
– обыкновенное диф. уравнение 2-го порядка.
, где z=f(x,y) – уравнение 2-го порядка в частных производных.
Диф. уравнение можно записывать в производных и дифференциалах:
заменив
Пример: -диф уравнение в дифференциалах.
Опр. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая будучи подставленной в уравнение, обращает его в верное тождество.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой диф. ур.
Пример:
Проверим является ли функция решением диф уравнения
тоже решение ()
тоже решение диф уравнения (проверить самостоятельно дома)
Для диф уравнения второго порядка , легко заметить решением является .
Таким образом для диф уравнения существует бесконечное множество решений.
Опр. Общим решением диф.ур. называется функция вида
Т.е. для диф.ур. 1-го порядка
для диф.ур. 2-го порядка
для диф.ур. n-го порядка
Если вместо постоянных подставить конкретные значения, то полученная функция будет называться частным решением.
Опр. Решить диф. ур. значит найти его общее решение.
Очень часто решение диф.ур. получается в неявном виде. Т.е. неявно заданное решение диф.ур. – называется интегралом уравнения.
Некоторые типы диф.ур. первого порядка
1. Диф.уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
Опр. Уравнения вида , называются уравнениями с разделенными переменными.
Решение таких уравнений находится непосредственным интегрированием.
Пример:
На первый взгляд кажется что решение у=х, но это только частное решение
Опр. Уравнения вида , называются уравнениями с разделяющимися переменными.
Сводится к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих частей уравнения на
Пример:
2. Однородные уравнения.
Функция называется однородной степени m, если имеет место тождество:
Уравнение называется однородным дифференциальным уравнением, если функции однородные функции одной оной и той же степени.
Решаются путем подстановки
Пример:
Функция однородная второй степени
Функция однородная второй степени
Следовательно, это однородное дифференциальное уравнение.
Применим подстановку,
3. Линейные дифференциальные уравнения.
Опр. Диф.ур. называется линейным первого порядка, если его можно представить в виде.
, Р(х) и Q(x)–функции от х и могут быть постоянными.
Решаются такие уравнения с помощью подстановки у= UVвместо функции у, которую нужно найти.
1. Подставим вместо у и у’ у= UV,
2. Сгруппируем 1-е или 2-е слагаемое с третьим
3. введем условие, что выражение в скобках было равно нулю – ЛОДУ 1-го порядка которое мы решали выше и его решением будет
4. Вернемся к брошенному уравнению (в пункте 2). Подставим в уравнение:
решим полученное диф.уравнение:
/dx
получим
5. – решение уравнения в общем виде.
Пример: Решить уравнение вида
Это уравнение линейное, т.к. у и у’ входят в него в первой степени и нет члена с произведением уу’
Положим у=UV, тогда наше уравнение примет вид:
сгруппируем второе и третье слагаемое
Приравняем выражение стоящее в скобках к нулю получим ЛОДУ 1-го порядка.
, проинтегрируем обе части
положим с=0
потенцируем обе части
От первоначального уравнения осталось
запишем решение уравнения у=UV=
4. Уравнения Бернулли
решаются тем же способом, что и в п.3.
Дифференциальные уравнения второго порядка.
1. Простейшее уравнение второго порядка имеет вид .
Правая часть уравнения – непрерывная функция одной переменной х.
Такие уравнения решаются последовательным двукратным интегрированием функции .
Пример:
2. Уравнение не содержащее в явном виде неизвестную функцию у
Решение находится понижением порядка уравнения, произведя замену тогда , в результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка
решив это уравнение получим решение и выполнив обратную замену () получим новое диф.уравнение с разделяющимися переменными из которого имеем отсюда
Пример:
Найти общее решение уравнения
выполним замену
получили уравнение с разделяющимися переменными умножим обе части на dx и разделим на z, получим
проинтегрируем обе части уравнения
потенцируем обе части уравнения
Выполним обратную замену ()
и результат
3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.
z
у
х