Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лекция 15. Альфа-бета отсечение
(конспект)
При минимаксном поиске количество состояний игры, которые должны быть исследованы в процессе поиска, экспоненциально зависит от количества ходов. Эту зависимость, к сожалению, невозможно устранить, но существует возможность сократить ее наполовину.
Вычисление правильного минимаксного решения возможно без проверки каждого узла в дереве игры. Это означает, что можно использовать идею отсече ния, чтобы исключить из рассмотрения большие части дерева. Этот метод называется альфа-бета-отсечением.
Будучи применен к стандартному минимаксному дереву, этот метод возвращает такие же ходы, которые вернул бы минимаксный метод, но отсекает ветви, по всей вероятности, неспособные повлиять на окончательное решение.
Рассмотрим дерево игры с двумя полуходами и про ведем расчет оптимального решения, обращая особое внимание на то, что известно на каждом этапе этого процесса. Пояснения к этапам вычисления приведены на рис. 7.1. Минимаксное решение можно выявить, даже не приступая вычислению значений двух листовых узлов.
В каждой точке известен ряд возможных значений для каждого узла: первый лист, расположенный ниже узла В, имеет значение 3. Поэтому В, который является уз лом MIN, имеет, самое большее, значение 3 (а).
Второй лист, расположенный ниже узла B, имеет значение 12 (б). Игрок MIN должен избегать этого хода, поэтому значение В, все еще самое большее, равно 3.
Третий лист, расположенный ниже узла В, имеет значение 8; мы проверили всех преемников узла В, поэтому значение В в точности равно 3 (в).
Рис. 7.1 – Этапы вычисления оптимального решения для дерева игры
Теперь можно сделать вывод, что значение корня, самое меньшее, равно 3, поскольку игрок МАХ в корне делает выбор со значением 3.
Первый лист, находящийся ниже С, имеет значение 2. Поэтому С, который представляет собой узел MIN, имеет, самое большее, значение 2. Но известно, что узел В позволяет достичь значения 3, поэтому игрок МАХ ни в коем случае не должен выбирать узел С. Это означает, что нет смысла проверять остальных преемников узла С. Это — пример применения альфа-бета-отсечения (г). Первый лист, находящийся ниже D, имеет значение 14, поэтому D имеет, самое большее, значение 14. Оно все еще выше, чем наилучшая альтернатива для игрока МАХ (т.е. 3), поэтому необходимо продолжить исследование преемников узла D. Следует также отметить, что теперь определены предельные значения всех преемников корневого узла, поэтому значение корня также равно, самое большее, 14 (д); второй преемник D имеет значение 5, поэтому снова приходит ся продолжать исследование. Значение третьего преемника ровно 2, поэтому теперь значение D точно равно 2. В корневом узле игрок MAX принимает решение сделать ход, ведущий к узлу B, что позволяет ему получить значение 3 (e).
Этот подход может также рассматриваться под другим углом - как упрощение формулы для получения минимаксного значения Minimax-Value. Допустим, что два преемника узла С на рисунке, еще не обработанные в процессе вычисления, имеют значения х и у, и предположим, что z — минимальное значение среди x и y. В таком случае значение корневого узла можно найти следующим образом:
Minimax-Value(root) = max(min(3, 12, 8), min(2, x, y), min(14, 5, 2))
= max(3, min(2, x, y), 2)
= max(3, z, 2)
= 3, где z<=2
Иными словами, значение корневого узла, а следовательно, и минимаксное ре шение не зависит от значений отсеченных листовых узлов х и у.
Альфа-бета-отсечение может применяться к деревьям любой глубины; к тому же часто возникает возможность отсекать целые поддеревья, а не просто листья. Общий принцип состоит в следующем: рассмотрим узел п, находящийся где-либо в дереве (следующий рисунок), такой, что участник игры со стороны наблюдателя (назовем его Игрок) имеет возможность выбрать ход, ведущий к этому узлу. Но если Игрок имеет лучший выбор m либо в родительском узле узла n, либо в любой другой точке выбора, нахо дящейся еще выше в дереве, то узел п никогда не будет достигнут в игре, происходящей в действительности. Поэтому после получения достаточной информации об узле m (путем исследования некоторых из его потомков) для того, чтобы с полной уверенностью прийти к этому заключению, можно выполнить его отсечение.
Рис. 7.2 – Альфа-бета-отсечение: общий случай. Если для Игрока узел m лучше чем n, то узел n никогда не встретится в игре
Поскольку минимаксный поиск осуществляется в глубину, в любой момент времени достаточно рассматривать узлы вдоль единственного пути в дереве. Алгоритм альфа-бета-отсечения получил название по следующим двум пара метрам, которые представляют пределы в зарезервированных значениях, присутст вующих во всех узлах вдоль этого пути:
• α = значение наилучшего варианта (т.е. варианта с самым высоким значением), который был сих пор найден в любой точке выбора вдоль пути для иг рока MAX;
• β = значение наилучшего варианта (т.е. варианта с самым низким значени ем), который был до сих пор найден в любой точке выбора вдоль пути для иг рока MIN.
Алгоритм альфа-бета-поиска в процессе своей работы обновляет значения α и β, а также отсекает оставшиеся ветви в узле (т.е. прекращает рекурсивные вызовы), как только становится известно, что значение текущего узла хуже по сравнению с теку щим значением α или β для игрока МАХ или MIN соответственно. Полный алгоритм приведен в листинге. Рекомендуем читателю проследить за его поведением при менительно к дереву, показанному ранее.
function Alpha-Beta-Search(state) returns действие action
inputs: state, текущее состояние в игре
v <— Max-Value (state, -∞, +∞)
return действие action из множества Successors(state) со значением v
function Max-Value(state, α, β) returns значение полезности
inputs: state, текущее состояние в игре
α, значение наилучшей альтернативы для игрока МАХ вдоль
пути к состоянию state
β, значение наилучшей альтернативы для игрока MIN вдоль пути к состоянию state
if Terminal-Test(state) then return Utility(state)
v <— - ∞
for a, s in Successors(state) do
v <— Max(v, Min-Value(s, α, β))
if v >= β then return v
α <— Max (α, v)
return v
function Min-Value(state, α, β) returns значение полезности
inputs: state, текущее состояние в игре
α, значение наилучшей альтернативы для игрока МАХ вдоль
пути к состоянию state
β, значение наилучшей альтернативы для игрока MIN рдоль. пути к состоянию state
if Terminal-Test(state) then return Utility(state)
v <— + ∞
for α, s in Successors(state) do
v Min(v, Max-Value(s, α, β) )
if v <= (α then return v
β Min(β, v)
return v
Эффективность алгоритма альфа-бета-отсечения в высшей степени зависит от того, в каком порядке происходит проверка преемников. Например, на рисунке д, е невозможно было бы вообще выполнить отсечение каких-либо преемников узла D поскольку в первую очередь были бы сформированы наихудшие преемники (с точки зрения игрока min). А если бы в первую очередь был сформирован третий преемник, то была бы возможность отсечь двух остальных. На основании этого можно сделать вывод, что имеет смысл стремиться исследовать в первую очередь таких преемников, которые, по всей вероятности, могут стать наилучшими.
Если принять допущение, что это может быть сделано (очевидно, что при этом невозможно достичь идеальных результатов, поскольку в противном случае функцию упорядочения можно было бы использовать для ведения идеальной игры!), то окажется, что в алгоритме альфа-бета-отсечения для определения наилучшего хода достаточно исследовать только 0(bm/2) узлов, а не 0(bm) узлов, как при использовании минимаксного алгоритма. Это означает, что эффективный коэффициент ветвления становится равным , а не b; например, для шахмат он равен 6, а не 35. Иными словами, за такое же время альфа-бета-поиск позволяет заглянуть в дерево игры примерно в два раза дальше по сравнению с минимаксным поиском. А если исследование преемников происходит в случайном порядке, а не по принципу первоочередного выбора наилучших вариантов, то при умеренных значениях b общее количество исследованных узлов будет составлять примерно О(b3m/4). В случае шахмат применение до вольно простой функции упорядочения (например, такой, в которой в первую оче редь рассматриваются взятия фигур, затем угрозы, затем ходы вперед, а после этого ходы назад) позволяет оставаться в пределах, не превышающих удвоенное значение результата 0(bm/2), который может быть получен в наилучшем случае. Добавление динамических схем упорядочения ходов, в частности, таких, в которых в первую очередь проверяются ходы, обозначенные как наилучшие на предыдущем этапе, позволяют подойти совсем близко к этому теоретическому пределу.
Наличие повторяющихся состояний в дереве поиска может вызвать экспоненциальное увеличение стоимости поиска. В играх повторяющиеся состояния встречаются часто из-за возникновения транспозиций — различных перестановок последовательностей ходов, которые оканчиваются в одной и той же позиции. Например, если белые имеют в своем распоряжении ход а1 на который черные могут ответить ходом b1 а также еще один не связанный с ним ход а2 на другой стороне доски, на который может быть дан ответ b2, то обе последовательно сти, [a1,b1,a2,b2] и [a1,b2,a2,b1] оканчиваются в одной и той же позиции (как и перестановки, начинающиеся с а2). Поэтому целесообразно сохранять оценку каждой конкретной позиции в хэш-таблице при первом ее возникновении, чтобы не приходи лось вычислять ее повторно при последующих возникновениях. По традиции хэш-таблица с ранее встретившимися позициями называется таблицей транспозиций; она по сути идентична списку closed в алгоритме Graph-Search. Использование таблицы транспозиций может оказать чрезвычайно эффективное воздействие, которое иногда выражается в удваивании достижимой глубины поиска в шахматах. С другой стороны, если существует возможность вычислять оценки со скоростью в несколько миллионов узлов в секунду, то практически нет смысла хранить данные обо всех этих узлах в таблице транспозиций.
PAGE \* MERGEFORMAT 1