А Принял - Котоусов А
Работа добавлена на сайт samzan.net:
9
Р Е Ф Е Р А Т
на тему :
“ Динамическое представление сигналов “
Выполнил: Зазимко С.А.
Принял : Котоусов А.С.
МОСКВА
Динамическое представление сигналов.
Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.
ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.
Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем:
Реальный сигнал представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса.
На практике широкое применение нашли два способа динамического представления.
Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени . Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени . В результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1.
рис. 1
При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее . В этом случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.
рис. 2
Теперь рассмотрим свойства элементарных сигналов. Для начала : используемого для динамического представления попервому способу.
ФУНКЦИЯ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :
0, t < -,
u(t) 0.5(t/+1), - t , (1)
1, t > .
Такая функция описывает процесс перехода некоторого физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние.
Переход совершается по линейному закону за время 2. Теперь если параметр устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое будет происходить мгновенно. Такая математическая модель предельного сигнала получила название функции включения или функции Хевисайда :
t <
t t (2)
t
В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину t0. Запись смещенной функции такова :
t < t0
t - t0 t t0 (3)
t t0
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ.
Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что S(t)=0 при t<0. Пусть {,2,3,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то текущее значение сигнала при любом t можно приближенно представить в виде суммы ступенчатых функций :
s(t)s0(t)+(s1-s0)(t-)+...=s0(t)+(sk-sk-1)(t-k).
k=1
- Если теперь шаг устремить к нулю. то дискретную переменную k можно заменить непрерывной переменной . При этом малые приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы ds=(ds/d)d , и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда
ds
S(t)=s0 (t) + (t-) d (4)
d
0
Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие - понятие дельта-функции.
ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .
Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом :
1
u(t;) = ----- (t + ---- ) - (t - ---- ) (5)
2 2
При любом выборе параметра площадь этого импульса
равна единице :
П = u dt = 1
-
Например, если u - напряжение, то П = 1 В*с.
Теперь устремим величину к нулю. Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при 0 носит название дельта-функции , или функцииДирака2 :
(t) = lim u (t;)
0
Дельта функция - интересный математический объект. Будучи равной нулю всюдю, кроме как в точке t = 0 3 дельта-функция тем не менее обладает единичным интегралом. А вот так выглядит символическое изображение дельта-функции :
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.
Теперь вернемся к задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов (рис. 2) . С помощью дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих импульсов. Если Sk - значение сигнала на k - ом отсчете, то элементарный импульс с номером k представляется как :
k(t) = Sk [ (t - tk) - (t - tk - ) ] (6)
В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых :
S(t) = (t) (7)
k= - k
В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для t :
tk < t < tk+1
Теперь, если произвести подстановку формулы (6) в (7) предварительно разделив и умножив на величину шага , то
1
S(t) = Sk --- [ (t - tk) - (t - tk - ) ]
k=-
Переходя к пределу при 0 , необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной , дифференциал которой d ,будет отвечать величине .
Поскольку
1
lim [ (t - tk) - (t - tk - ) ] ---
получим искомую формулу динамического представления сигнала
S (t) = s () (t - ) d
-
Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен - импульс. Принято говорить, что в этом состоит фильтрующее свойство дельта-функции.4
Из определения дельта-функции следует (3) . Следовательно, интеграл дельта-функции от - до t есть единичный скачок , и дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка :
(t) = 1’ (t) ;
(t-t0) = 1’ (t-t0) .
Обобщенные функции как математические модели сигналов.
В классической математике полагают, что функция S(t) должна принемать какие-то значения в каждой точке оси t . Однако рассмотренная функция (t) не вписывается в эти рамки - ее значение при t = 0 не определено вообще, хотя эта функция и имеет единичный интеграл. Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие обобщенной функции.
В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости. Аналогом проекции исследуемой функции (t) может служить, например, значение интеграла
(t) (t) dt (8)
-
при известной функции (t) , которую называютпробной функцией.
Каждой функции (t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула (8) задает некоторый функционал на множестве пробных функций (t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть
(, 2) = a(,) + (,2).
Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций (t) задана обобщенная функция (t) 5
. Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.
Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.
И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения. На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными.
Литература :
1. А. Л. Зиновьев, Л. И. Филипов ВВЕДЕНИЕ В
ТЕОРИЮ СИГНАЛОВ И ЦЕПЕЙ.
2. С. И. Баскаков РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
И СИГНАЛЫ.
2 Также эту функцию называют единичной импульсной функцией,
3 Говорят, что дельта-функция сосредоточена в этой точке.
4 Отсюда вытекает структурная схема систем, осуществляющей измерение мгновенных значений аналогового сигнала S(t). Система состоит из двух звеньев : перемножителя и интегратора.
5 Обобщенные функции иногда называют также распределениями.
2. Предмет органической химии ее место среди других естественнонаучных дисциплин
3. НарКом 19981999 язык- russin НарКом Вопросы профилактики аддик
4. Курсовой проект Проектирование металлоконструкции мостового электрического крана
5. і. Утворюють солі та різні похідні речовини- галогенангідриди аміди складні ефіри
6. О Владико Христе Боже Ми приносим що хто може В дар Тобі в дар Тобі
7. ст Кондак 1 Препрославленный от Господа святителю и чудотворче Спиридоне Ныне всечестную память твою
8. Столкновение цивилизаций и что оно может означать для России
9. История развития средств вычислительной техники
10. практикуме студенты вначале знакомятся с основными приемами проведения физических измерений и правилами об
11. Тема 10 Основи фінансової звітності
12. Беларускі дзяржаўны тэхналагічны ўніверсітэт
13. Лабораторная работа 11Э ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗВЕТВЛЁННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ Цель
14. офтальмологом с мировым именем автором множества научных трудов; мать ~ светская дама писавшая стихи об Ир
15. Значение строительства для народного хозяйства Капитальное строительство одна из важнейших отраслей м
16. тематический состав типа Mollusc Признаки положенные в основу выделения надродовых кат
17. Реферат Программа лекционных и практических занятий спецкурса экономическая психология
18. Денеге т~скен с~уле энергиясы Ет
19. Аналитическая геометрия
20. Монтаж сборного железобетонного каркаса промышленного здания