Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
29. Электромагнитный контур. Собственные и вынужденные колебания.
Э/м колебательный контур и свободные колебания:
Колебательный контур= цепь, состоящая из последовательно соединенных активного сопротивления, конденсатора и катушки.
Пусть в колеб. контуре в нач. момент времени t0 осуществлено некое возмущение: либо конденсатору сообщен заряд q(0)<>0, где <> -«не равно», либо в контуре возбужден ток I(0)<>0, либо и то, и другое, после чего контур предоставлен самому себе.
L(d2q/dt2)+R(dq/dt)+(1/C)q=(эпсилон)(t), где (d2q/dt2)- производная 2 порядка - основное дифференциальное ур-е для цепи квазистационарного тока c cосредоточенными емкостью С, индуктивностью L, и сопротивлением R.
(эпсилон)=0, т.к. источник отсутствует => L(d2q/dt2)+R(dq/dt)+(1/C)q=0.
Аналогичное уравнение из механики: m(d2x/dt2)+b(dx/dt)+kx=0 - ур-е движ-я материальн. точки массой m, наход-ся под действием квазиупругой силы f=kx и силы жидкого трения fтр= -b(dx/dt). Т.к. ур-я математически эквивалентны, а отличается лишь физический смысл неизвестной ф-ии и коэффициентов =>
m <-> L, x(t) <-> q(t), k трения b <-> R, k жесткости <->1/C, и решение, таким образом:
x(t)=Ae^(-(бета)t)cos((омега)t+(фи)) -> q(t)=Ae^(-(бета)t)cos((омега)t+(фи)),
где коэффициент затухания (бета)=b/2m -> (бета)=R/2L,
круговая частота (омега)=корень((омега0)^2 – (бета0)^2), где (омега0)=корень(k/m) -> (омега0)=1/корень(LC),
постоянные (фи) и А опр-ся начальными условиями, т.е. выражаются ч/з x(0),v(0) -> q(0), I(0).
При не слишком большом затухании ((бета)< (омега0)), заряд на конденсаторе изм-ся со врменем по закону затухающего колебания q(t)=Ae^(-(бета)t)cos((омега)t+(фи)). Сходным образом ведут себя и все другие переменные эл. величины в контуре: I(t), UR(t), UC(t), UL(t), где R,C,L- индексы. Такие эл. колебания называются свободными, т.к. они происходят при отсутствии внешних возд-й.
Практический интерес обычно пред-т контуры с малым активным сопротивлением, для кот. (бета)<< (омега0).
З-н сохр-я энергии: (дельта)Аст=(дельта)Q+(дельта)Wэ+(дельта)Wм.
Т.к. источник отсутствует, (дельта)Аст=0 => -(дельта)Q=(дельта)Wэ+(дельта)Wм. Энергия, запасенная в контуре в виде эл. поля конденсатора и магн. поля катушки, убывает, переходя в тепловую. В идеальном контуре (дельта)Q=0, т.к. R=0 => (дельта)(Wэ+ Wм)=0 => (Wэ+ Wм)=const. Это означает, что энергия процесса колеб-й лишь перераспределяется со временем м/у конденсатором и катушкой, сохр-я свое полное значение.
Вынужденные эл. колебания:
Свободные колеб-я в контуре затухают из-за потерь энергии вследствие выделения тепла на активном сопротивлении. Иначе обстоит дело, если на контур оказывается периодическое внешнее возд-е, например, посредством включения последовательно с эл-тами контура источника переменного напряжения с ЭДС, изменяющейся по з-ну гармонического колеб-я (эпсилон)=(эпсилон0)sin((омега)t). Осн. Дифференциальное ур-е тогда имеет вид L(d2q/dt2)+R(dq/dt)+(1/C)q=(эпсилон0)sin((омега)t).
Аналогичное ур-е из механики: m(d2x/dt2)+b(dx/dt)+kx=f0sin((омега)t) - ур-е движ-я материальн. точки массой m, наход-ся под действием квазиупругой силы f=kx, силы жидкого трения fтр= -b(dx/dt) и периодической вынуждающей силы fx=f0sin((омега)t), где х и 0-индексы.
Заменяя эквивалентные величины ((эпсилон0) -> f0), получим решение ур-я:
x(t)=Asin((омега)t+(фи)) -> q(t)=q0sin((омега)t+(фи)),
где A=f0/(mкорень(((омега)^2 – (омега0)^2)^2 + 4(бета)^2(омега)^2)) ->
q0=(эпсилон0)/(Lкорень(((омега)^2 – (омега0)^2)^2 + 4(бета)^2(омега)^2)),
tg(фи)=2(бета)(омега)/ ((омега)^2 – (омега0)^2).
(бета)=R/2L; (омега0)=1/корень(LC) =>
q0=(эпсилон0)/((омега)корень(R^2+(((омега)L – 1/((омега)С))^2)),
tg(фи)=R/((омега)L – 1/((омега)С)).
Зная, как зависит от времени заряд конденсатора, находим силу тока и напряжения на всех эл-тах контура:
I=dq/dt=d/dt[q0sin((омега)t+(фи))]=q0(омега)sin((омега)t+(фи)+П/2),
UR=RI= q0(омега)Rsin((омега)t+(фи)+П/2),
UC=q/C=(q0/C)sin((омега)t+(фи)),
UL=L(dI/dt)= q0(омега)^2Lsin((омега)t+(фи)+П), где R,C,L в левой части- индексы.
Итак, при подключении в колебательный контур послед-но его эл-там источника переменного напряжения в контуре происходят вынужденные эл. колеб-я, при кот. все переменные эл. величины I(t), q(t), UR(t), UC(t), UL(t) совершают гармонические колеб-я, у кот. частота равна частоте источника напр-я, а амплитуды и фазы зависят от параметров контура, а так же от амплитуды и частоты ЭДС источника.
Дополнительно:
(Можно сказать о резонансе и добротности, но не советую, иначе могут заставить вывести )
Резонанс-явление, характерное для вынужденных колеб-й, кот. заключается в возрастании амплитуды вынужденных колеб-й при приближении частоты внешнего возд-я (в нашем случае – частоты ЭДС источника напряжения (омега)) к резонансной частоте, зависящей от параметров колебательной с-мы (в нашем случае-параметров R,C,L контура). При послед. соединении источника переменного напр-я с эл-тами контура сие явление называется резонансом напряжения.
Добротность контура: Q=(1/R)корень(L/C). Q>>1 => слабое затухание колеб-й, острота резонанса при вынужд. колеб-х; добротность хороших контуров достигает нескольких сотен.