Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1)Аналитическая геометрия на плоскости:
1.Виды уравнений прямой на плоскости. Общее уравнение прямой : (1); AиВ. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0 с заданным угловым коэффициентом k: для произвольной точки М(х,у) (*), отсюда (2). Уравнение прямой, проходящей через две точки М1, М2: из уравнения (2) и равенства (*) следует (3).Замечание: если, например, , тогда, уравнение прямой имеет вид ;, то . Уравнение прямой с угловым коэффициентом: уравнение (2) или (3) можно привести к виду (4). Уравнение прямой «в отрезках» имеет вид: (5), a-общая точка пересечения с осью Ох; b-общая точка пересечения с осью Oy.
2.Угол между прямыми с угловым коэффициентом. Пусть имеется две прямые с угловыми коэффициентами k1 и k2, тогда найти угол между ними мы можем с помощью следующий формулы: . k1=k2 (если прямые параллельны). Если они взаимно перпендикулярны, то .Если прямые заданы общими уравнениями, то для параллельности: , а если перпендикулярны: .
3.Эллипс, гипербола, парабола: определение и каноническое уравнение. Эллипс – это геометрическое место точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная; каноническое уравнение: (). Гипербола – это геометрическое место точек, для каждой из которых абсолютная величина, разность расстояний до двух фиксированных точек, называющихся фокусами, есть величина постоянная; каноническое уравнение: (). Парабола - это геометрическое место точек равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой; каноническое уравнение: .
4.Связь между прямоугольными и полярными координатами. Часто совмещают полярную и прямоугольную системы координат. При этом полюс находится в начале координат, а положительная ось совпадает с осью Ох(рис.). . И наоборот, ; . Значение φ определяется по четверти, в которой максимальная точка.
2)Введение в анализ. Точки разрыва первого и второго рода. Непрерывность функции в данной точке означает выполнение равенств . Если эти равенства каким-либо образом нарушаются, то говорят, что функция имеет разрыв, если при этом оба предела конечны, то разрыв первого рода, а если хотя бы один бесконечен, то – второго рода.
3)Производные.
1.Точки максимума(минимума): определение. Пусть задана функция y=f(x). Точка х0 называется точкой максимума(локального), если существующая её окрестность такая, что для всех точек х из неё выполняется неравенство f(x)<f(x0), для точек (локального) минимума - f(x)>f(x0). Точками максимума и минимума называются точки экстремума, а значение функции у них соответствующее.
2.Теорема Ферма. Если функция y=f(x) дифференцируема в точке экстремума х0, то (.
3.Теорема Ролля. Пусть непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (а;b), f(a)=f(b) (на концах равные значения), тогда .
4.Теорема Коши. Пусть непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (a;b): , тогда .
5.Теорема Лагранжа. Пусть непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (а;b),тогда найдётся .
6.Необходимый признак экстремума. Пусть х0 – точка экстремума функции y=f(x), тогда в ней производная функции равна нулю или не существует. Если функция в точке экстремума дифференцируема, то по теореме Ферма, производная в ней равна нулю. Также в точке экстремума функция может и не быть дифференцируема. Замечания: Точки, в которых производная функции равна нулю, называются критическими. Они могут быть точками экстремума, а могут и не быть ими, но экстремумами могут быть только в точках, которые принадлежат критическим. Наличие или отсутствие критических точек проверяют при помощи достаточных признаков.
7.Достаточный признак монотонности. Пусть непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (а;b). Если (, то возрастает на отрезке [a;b]. Если (, то убывает на отрезке [a;b]. Доказательства: возьмем произвольные точки х1 и х2, такие, что , на отрезке [x1; x2] применим теорему Лагранжа: , , то при (, , , аналогично при ( - функция убывает.
8.Первый достаточный признак экстремума. Пусть функция непрерывна в окрестности точки х0 и дифференцируема в ней может быть за исключением самой точки х0, тогда: а) Если ( и (, то х0 точка максимума; б) Если ( и (, то х0 точка минимума. Доказательства: а) по достаточному признаку монотонности функция возрастает и , а , . - х0 – точка максимума; б) также доказывается случай б.
9.Второй достаточный признак экстремума. Пусть ( и ( - существует, тогда если ( > 0, то х0 – точка минимума, а если ( < 0, то х0 – точка максимума. Доказательства: ( = = . Пусть ( > 0, тогда при х достаточно близких к х0 , так как при переходе через точку х0 меняет знак с минуса на плюс, то и ( также меняет знак с минуса на плюс. По первому достаточному признаку точка х0 равна минимуму. Точно также, если ( < 0, то х0 – максимум.
10.Выпуклость кривой вверх (вниз). Говорят, что кривая выпукла ↓ (↑) на интервале (a,b), если все её точки расположены выше (ниже) любой касательной, проведённой к кривой на этом интервале.
11.Достаточный признак выпуклости вверх (вниз). Если на интервале (a,b) ( < 0, то кривая выпукла вверх, а если ( > 0, то кривая выпукла вниз.