Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Анықталған интеграл.
13.1.1 Анықталған интегралдың анықтамасы
Анықталған интеграл ертеректе жазық фигуралардың ауданын табу негізінде туындады. Ал қазір анықталған интеграл барлық техникалық ғылымдардағы аз шаманың үлкен сандарының қосындысын табуға арналған есептерді шешуде қолданылады.
13.1.2 Анықталған интегралдың қасиеттері
Ары қарай, біз тек интегралданатын функцияларды ғана қарастырамыз.
1) , - тұрақты.
2) Егер кесіндісінде болса, онда .
3) Егер кесіндісінде функциясы төменнен және жоғарыдан сәйкесінше және сандарымен шектелген болса, яғни, егер кесіндісінде теңсіздігі орындалса, онда орынды.
Бұл тұжырымның дәлелдеуі бірінші және екінші қасиеттерден шығады. Бұл қасиеттер – анықталған интегралдың жоғарғы және төменгі жағынан бағалануы деп аталады. Мысал 1. интегралын бағалайық.
болғандықтан, болады. Бұдан,
.
4) Орта мән туралы теорема.
функциясы кесіндісінде үзіліссіз болсын, онда бұл кесіндіден теңдігі орындалатындай нүктесі табылады. .
Бұл мәні функцияның аралығындағы орта мәні деп аталады.
5) .
Бұл қасиет анықталған интегралдың модулын бағалау деп аталады.
6) Егер теңсіздігі орындалса, онда
.
7)Егер болса, онда интегралы деп санын айтамыз.
8) Егер а=в болса, онда =0.
6-қасиет сандары қалай орналасса да ақиқат екендігін дәлелдеуге болады (егер интегралдың табылу шарты орындалса), яғни, орындалуы міндетті емес.
13.2 Интегралдың интегралдың жоғарғы шегі бойынша туындысы. Ньютон – Лейбниц формуласы
Жоғарыда айтылғандардан басқа, анықталған интегралдардың басқа да бірнеше негізгі қасиеттері бар, біз оларды теоремалар түрінде берелік.
функциясы кесіндісінде интегралданатын болсын және . үшін жаңа функциясын былай анықтайық:
.
Бұл жерде, жоғарғы шегі айнымалысы болатын функциясының интегралы арқылы өрнектеледі. Анықталған интегралда функцияның айнымалысын кез келген әріппен белгілеуге болатынын байқаймыз. Анықталған интегралдың анықтамасынан, оның шамасы бұдан өзгермейтіндігі шығады.
Теорема 2. Егер функциясы аралығында үзіліссіз болса, онда функциясы функциясының аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады,яғни, бұл аралықта .
Келесі теорема интегралдық есептеудегі негізгі теорема болып есептеледі, өйткені ол анықталмаған интегралды шешудің көмегімен анықталған интегралды шешу әдісі.
Теорема 3 (Ньютон - Лейбниц).
функциясы аралығында үзіліссіз болсын және функциясы осы аралықтағы оның алғашқы функциясы, онда
.
Көбінде, айырмасы қысқа түрде былай жазылады:
.