Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
XIII. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
Институт образовательных информационных технологий
XIII. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Учебное пособие
Научный редактор – проф., доктор физ. - мат. наук А.Б. Соболев
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Екатеринбург
2005
УДК 511.236(075.8)
ББК 22.132 я 73
Т 11
Рецензенты:
кафедра физики Уральского государственного лесотехнического университета;
доктор физ-мат. наук, проф. А.П. Танкеев, зав. лабораторией ИФМ УрО РАН
Авторы: М.А. Вигура, О.А. Кеда, Е.М. Пампура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко
Т 11 XIII. ТЕОРИЯ ПОЛЯ: учебное пособие / М.А. Вигура,
О.А. Кеда, Е.М. Пампура, А.Ф. Рыбалко, Н.М. Рыбалко. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. 68 с.
ISBN 5-321-00633-4
Учебное пособие посвящено изложению элементов теории поля – разделу физики, механики, математики, в которых изучаются скалярные и векторные поля. Содержит изложение теории, решение типичных задач, задания для самостоятельной работы и формулы этого раздела.
Рекомендовано Уральским отделением учебно-методического объединения
вузов РФ в области строительного образования в качестве учебного пособия для студентов специальностей направления 6533500 «Строительство» всех форм обучения
Подготовлено кафедрой высшей математики
УДК 511.236(075.8)
ББК 22.132 я 73
ISBN 5-321-00633-4 © ГОУ ВПО «Уральский государственный
технический университет – УПИ», 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ (ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА) 7
1.1. Скалярное поле 7
1.2.Поверхности и линии уровня 7
1.3.Производная по направлению 7
1.4.Градиент скалярного поля 8
1.4.1. Оператор Гамильтона (набла) 8
1.4.2. Связь производной по направлению с градиентом 8
1.4.3. Свойства градиента 9
1.2.Векторное поле 10
1.5.1. Векторные линии 10
1.5.2. Плоское векторное поле 12
2.ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 12
2.1.Односторонние и двусторонние поверхности 12
2.2.Площадь поверхности 12
2.3.Система координат ориентация поверхности 13
2.4.Поверхностный интеграл 1-го рода 14
2.4.1. Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода 14
2.5. Поверхностный интеграл 2-го рода 15
3. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ 16
3.1. Определение потока векторного поля 16
3.2.Свойства потока 16
3.3.Вычисление потока 16
3.3.1. Проектирование на одну координатную плоскость 17
3.3.2. Проектирование на три координатные плоскости 17
3.4. Физический смысл потока 18
3.5.Дивергенция векторного поля 19
3.5.1. Свойства дивергенции 19
3.5.2. Физический смысл дивергенции 19
3.6.Физический смысл потока через замкнутую поверхность 19
3.7.Теотема Остроградского - Гаусса 20
3.8.Инвариантное определение дивергенциии 22
4. Линейный интеграл в векторном поле 22
4.1. Понятие линейного интеграла 22
4.2. Свойства линейного интеграла 22
4.3. Вычисление линейного интеграла 23
4.4. Физический смысл линейного интеграла 23
4.5. Ротор (вихрь) векторного поля 23
4.6. Свойства ротора (вихря) 24
4.7.Теорема Стокса 24
4.8. Инвариантное определение ротора 25
4.9. Физический смысл ротора 25
4.10.Формула Грина 26
5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 26
5.1. Потенциальное векторное поле 26
5.1.1. Условия потенциальности поля 27
5.1.2. Вычисление потенциала поля 27
5.2.Соленоидальное поле 27
5.2.1. Свойства соленоидального поля 27
5.3.Операторы Гамильтона и Лапласа 27
5.3.1. Оператор Гамильтона (набла) 27
5.3.2. Оператор Лапласа 27
6. ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ 27
7. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 27
7.1. Ответы к задачам для самостоятельной работы 27
8. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ 27
9. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 68
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если с каждой точкой некоторой пространственной области G связана скалярная величина, то говорят, что в области G задано скалярное поле: , где - скалярная функция, называемая функцией поля.
Примеры скалярных полей: поле температур, поле давления, поле плотности, поле концентраций, поле электрического потенциала. Рассмотрим подробнее последний пример.
Пусть речь идет о точечном заряде q. Потенциал электростатического поля заряда q, помещенного в начало координат, задается в каждой точке пространства , за исключением начала координат, функцией поля вида:
.
Заметим, что если , - уравнение сферы. Следовательно, в точках, принадлежащих сфере, потенциал электростатического поля сохраняет свое значение, или .
Ограничимся рассмотрением так называемых стационарных полей, т.е. полей, не зависящих от времени.
В дальнейшем, если не оговорено особо, предполагаем функцию однозначной и непрерывно-дифференцируемой.
Рассмотрим точки области, в которой функция принимает постоянные значения: . Это уравнение можно рассматривать как уравнение некоторой поверхности в пространстве.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Геометрические места точек, где скалярное поле принимает одно и то же значение , называются поверхностями уровня или эквипотенциальными поверхностями.
В силу однозначности функции поверхности уровня, соответствующие различным значениям c, не пересекаются между собой.
Скалярное поле называется плоским, если при подходящем выборе системы координат функция поля зависит только от двух переменных. Множество точек плоскости , для которых , называется линией уровня плоского скалярного поля.
Например, линиями уровня поля температур бесконечной равномерно нагретой нити являются окружности
.
Пусть в пространственной области G задано скалярное поле: . Рассмотрим точку и исходящий из нее вектор . Найдем, как изменяется поле в направлении вектора . Сместимся из точки в направлении вектора в точку . Обозначим за длину вектора , тогда . При этом функция поля получит приращение
где - бесконечно малая более высокого порядка по при , а величина - средняя скорость изменения скалярной функции в направлении вектора .
.
Перейдем к пределу при ,что соответствует стремлению :
,
где , , - направляющие косинусы вектора . Поскольку , то их направляющие косинусы равны. Так как , то , , .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Производной функции u в точке (обозначение ) по направлению вектора называется предел (если он существует), равный .
Производная по направлению : - определяет скорость изменения скалярного поля в направлении вектора , в частности, если >0, поле возрастает, если <0, поле убывает.
ПРИМЕР. Найдите производную в точке Р (1,1,1) в направлении вектора , если .
Решение:
; ,
, следовательно, скалярное поле возрастает.
Пусть задано скалярное поле u(x,y,z)=u.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Градиентом скалярного поля u в точке называется вектор, обозначаемый символом и определяемый равенством
Введем символический вектор “набла” или оператор Гамильтона
.
Знак - используется для записи операций векторного анализа в сокращенной и удобной для расчётов форме.
Выражение вида понимается как результат действия оператора на соответствующую функцию.
Тогда
,
.
.
Пусть - единичный вектор (орт) в направлении , тогда видно, что
,
где - угол между единичным вектором данного направления и вектором градиента .
Если , то . Если , то для всех векторов , за исключением вектора , направленного в сторону .
Вывод: . Производная по направлению вектора в точке равна проекции градиента на данное направление.
Пусть задан градиент поля и производная по направлению:
, =.
1. Максимальное значение производной по направлению равно модулю градиента: ; .
2. Вектор направлен в сторону возрастания поля.
3. Вектор всегда нормален к поверхности (линии) уровня поля (эквипотенциальной поверхности).
Доказательство:
Пусть скалярное поле и - уравнение поверхности уровня. Выберем , которую обозначим , и проведём касательную плоскость к поверхности, описываемой уравнением
;
- уравнение касательной плоскости;
.
Тогда вектор нормали касательной плоскости имеет вид:
, .
Свойства 1-3 дают инвариантное (не зависящее от системы координат) определение градиента, т.е. утверждают, что независимо от системы координат указывает величину и направление наибольшего возрастания скалярного поля в точке: max.
Дифференциальные свойства градиента:
, то .
ПРИМЕР. Найдите наибольшую крутизну подъёма поверхности
в точке Р (2,2,4).
Решение: max.
=.
.
ПРИМЕР. Найдите нормаль к поверхности в точке Р(1,1,1).
Решение: По свойству 3 , , = .
ПРИМЕР. Найдите градиент функции
(модуль радиус-вектора).
Решение:
P0 -фиксированная точка, P(x,y,z) – изучаемая точка поверхности.
==
- единичный вектор направления вектора P0P.
Например, покажем, что для
скалярной функции , где , - расстояния от точки Р до фиксированных точек , , линиями уровня являются эллипсы.
Решение:
Имеем:, т.е. градиент равен диагонали ромба, построенного на ортах радиус-векторов, проведенных к точке Р из фокусов и . Нормаль к эллипсу в какой-либо точке делит пополам угол между радиус-векторами, проведёнными в эту точку.
Физическая интерпретация: луч света, вышедший из одного фокуса, попадает в другой фокус.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Если с каждой точкой пространственной области G связана векторная функция её радиус-вектора , то говорят, что в области G задано векторное поле.
Векторное поле определяется тремя скалярными характеристиками – координатами вектора , или , где , , - проекции векторного поля на оси координат или компоненты вектор - функции. Будем считать, что они непрерывны и дифференцируемы по всем переменным.
|
Векторное поле можно изобразить графически, указав положение вектора в некоторых точках. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторной линией поля в области G называется кривая, в каждой точке которой вектор направлен по касательной к этой кривой. Найдём уравнения векторных линий. Предположим, что векторные линии есть прямые, тогда их уравнения: , . Так как любую кривую можно на бесконечно малом участке величины заменить отрезком касательной, а направление касательной совпадает с направлением , то уравнения векторной линии имеют вид: . На самом деле речь идет о системе дифференциальных уравнений первого порядка.
Общее решение этой системы: определяет двухпараметрическое семейство линий и дает совокупность всех векторных линий поля. |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторной трубкой называется совокупность всех векторных линий, пересекающих часть некоторой лежащей в векторном поле поверхности S, ограниченная замкнутым контуром Г.
1.5.2. Плоское векторное поле
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Векторное поле называется плоским, если все вектора лежат в параллельных плоскостях.
Уравнение векторных линий .
В плоском поле векторные линии есть плоские
кривые .
ПРИМЕР. Найдите векторные линии поля, если поле задано вектором: в точке Р(1,0,0)
Решение:
.
1). ;
; - уравнение окружности.
2).
,
, P (1,0,0);
-
уравнение винтовой линии.
Рассмотрим гладкую и незамкнутую поверхность , ограниченную кусочно-гладким контуром . Это означает, что для уравнения поверхности существуют частные производные по всем переменным. В точке Р проведём нормаль к поверхности. Через точку P проведем замкнутый контур Г, не имеющий общих точек с границей .
При обходе контура возможны две ситуации:
а) нормаль к поверхности при возвращении в точку P сохранит свое направление;
б) при непрерывном движении вдоль замкнутого контура Г, непрерывно меняясь по направлению, нормаль изменит направление на противоположное при возвращении в исходную точку.
В случае «а» поверхность называется двусторонней, в случае «б» – односторонней. Совокупность точек поверхности с определенным направлением нормали называется стороной поверхности.
Классическим примером односторонней поверхности является лист Мебиуса.
Пусть - незамкнутая гладкая поверхность. Разобьем ее на участки , (), с помощью сети кривых. Выберем в каждом участке точку . Проведем в точке касательную плоскость к поверхности и спроектируем на касательную плоскость. На проекции получим плоскую фигуру с площадью .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Площадью поверхности называется предел суммы площадей () при условии, что диаметры всех частей разбиения стремятся к нулю: .
Поверхность, имеющая площадь, называется квадрируемой.
Пусть поверхность задается явным уравнением , где - непрерывно дифференцируемая функция, и однозначно проектируется в плоскую область на координатной плоскости . Нормаль к поверхности , как вектор, ортогональный к касательной плоскости, имеет компоненты: , и направляющие косинусы нормали равны:
,
,
.
Выбор знака перед радикалом соответствует острому или тупому углу нормали с соответствующей осью координат и определяет сторону поверхности .
Спроектируем элементы на касательной плоскости на координатную плоскость ; площадь проекции
.
Следовательно,
,
и предел, фигурирующий в определении площади поверхности , представляет собой двойной интеграл по области
.
Если уравнение поверхности дано в виде или , то площадь может быть представлена как
или
,
где и - проекции поверхности на плоскости и .
Введем систему координат в пространственной области G. Система векторов образует правую тройку, если поворот от вектора к вектору , видимый из конца вектора , совершается против часовой стрелки; в противном случае тройка называется левой. В дальнейшем будем работать с правой системой координат. В случае незамкнутой поверхности сторону можно определить, задавая направление обхода контура.
Выберем определенную сторону незамкнутой двусторонней поверхности, а в ней замкнутый контур Г. Он ориентирован положительно, если обход совершается против часовой стрелки (+), и отрицательно, если обход совершается по часовой стрелке (–).
Проведём внутри контура нормаль и воспользуемся: «правилом буравчика».
Поверхность является положительно ориентированной, если при обходе контура Г в положительном направлении движение винта совпадает с направлением нормали. Если движение винта противоположно направлению нормали, то поверхность отрицательно ориентирована.
Для замкнутой поверхности считается, что внешняя поверхность ориентирована положительно, а внутренняя - отрицательно.
Поверхностные интегралы первого рода – это обобщение двойных интегралов по области . Рассмотрим фигуру, которая является поверхностью ;. Интеграл по фигуре в данном случае является поверхностным интегралом 1-го рода от функции по поверхности
|
Вычислим . Пусть , а поверхность задана уравнением Лемма. Площадь проекции плоского участка одной плоскости на другую равна площади самого участка, умноженной на модуль косинуса двугранного угла между плоскостями: . Доказательство: (поскольку , косинус берется по модулю). Пусть требуется вычислить поверхностный интеграл 1-го рода по поверхности . Область является проекцией поверхности на плоскость . Через точку проведем касательную плоскость. Ее уравнение: . Выберем часть поверхности и спроектируем ее на касательную плоскость. Обозначим проекцию Будем считать . Обозначим - нормаль к плоскости: . Поскольку- нормаль к , то угол - угол между касательной плоскостью и плоскостью , он равен углу между векторами и . |
Найдем связь между (проекцией на плоскость ) и
;
в пределе при ;
;
.
Так записывается поверхностный интеграл, если поверхность задана уравнением
Если поверхность задана уравнением то
.
Аналогично, если то
,
где - проекции на плоскости .
Итак, для поверхности , в каждой точке которой задана функция: , если поверхность однозначно проектируется на плоскость в область и задана уравнением , то
.
Рассмотрим ориентированную поверхность . Спроектируем элемент поверхности на координатную плоскость . Составим интегральную сумму произведений значений функции в произвольной точке на величину площади проекции части на координатную плоскость :
.
Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю называется поверхностным интегралом 2-го рода от функции по определенной стороне поверхности и обозначается:
.
Знак (+) соответствует положительной (внешней), а (–) отрицательной (внутренней) сторонам поверхности.
Если на данной поверхности заданы другие функции , , то проектирование на другие координатные плоскости дает интегралы:
.
Соединение этих интегралов дает общее выражение для поверхностного интеграла 2-го рода:
.
Между поверхностными интегралами 1-го и 2-го рода существует следующая связь:
,
причем при интегрировании по положительной стороне поверхности:
,
а по отрицательной: .
Поверхностные интегралы 2-го рода обладают всеми свойствами двойных интегралов.
Поверхностный интеграл 2-го рода может быть также записан в более компактном виде. Пусть , где , , - векторное поле. Составим для координат этого вектора поверхностный интеграл 2-го рода.
.
Так как , - единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности , то .
Вводя - векторный элемент площади, направленный по нормали и имеющий длину , получаем .
Пусть - непрерывное векторное поле,
а - ориентированная кусочно-гладкая поверхность (конечное число границ - линий излома). Разобьем поверхность на n частей , каждая из которых имеет площадь , и выберем точку на каждом из участков . В точке построим единичный вектор нормали к поверхности .
Составим вектор с длиной , направленный по нормали . Вычислим скалярное произведение , просуммируем по всем участкам и рассмотрим предел суммы при .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения поверхности на участки и от выбора точки , то он называется потоком векторного поля через поверхность .
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Используя введенное ранее понятие поверхностного интеграла 2-го рода, можно определить поток вектора через поверхность как поверхностный интеграл второго рода от вектора по поверхности .
Поток вектора - скалярная характеристика векторного поля.
1. Поток меняет знак на обратный с изменением ориентации поверхности : .
2. Свойство аддитивности по отношению к области интегрирования. Если поверхность состоит из нескольких гладких частей: , то поток векторного поля равен сумме потоков поля через поверхности:
:
3. Свойство линейности ,
где и - некоторые постоянные.
Введем - векторный дифференциальный элемент поверхности, тогда
, .
Таким образом, по данной формуле поток сводится к интегралу 1-го рода по поверхности от скалярного произведения вектора на нормаль к этой поверхности (иначе: от проекции поля на нормаль к поверхности ).
Пусть поверхность задана явно уравнением и однозначно проектируется в область на координатной плоскости .
Тогда ,
=,
и поток вектора через эту поверхность равен
,
т.е. вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла. Знак зависит от направления положительной нормали к поверхности.
Аналогичные формулы получаются при проектировании на другие координатные плоскости для поверхностей вида и .
Пусть поверхность задана (неявно) уравнением ;
, , =
.
Пусть - углы, которые образует нормаль с осями координат. Тогда орт имеет координаты: . Так как , то
и
=.
Рассмотрим отдельные слагаемые: . Если поверхность описывается уравнением , а поле в поверхностном интеграле берётся в точке , для любой его компоненты координата выражается через и , , , и = .
Знак (+) соответствует острому углу между нормалью и осью (cosγ > 0), знак (–) – тупому углу между нормалью и осью (cosγ < 0).
Аналогично,
,
,
и окончательно имеем:
.
1). Знаки перед слагаемыми соответствуют знакам направляющих косинусов нормали .
2). Вычисление потока векторного поля сводится к вычислению трёх двойных интегралов при условии, что поверхность взаимно однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Если это не имеет места, поверхность нужно разбить на однозначно проектирующиеся участки.
3). Указанная формула устанавливает связь между потоком и поверхностным интегралом 2-го рода
+.
Пусть - поле скоростей некоторой жидкости , а - произвольная поверхность в поле, тогда: == - объём столба жидкости с основанием и высотой , т.е. объем жидкости, протекающей через площадку в единицу времени в направлении . Суммируя по поверхности , получаем, что - поток жидкости, протекающей через поверхность в единицу времени.
ПРИМЕР. Вычислить поток векторного поля радиус-вектора через внешнюю сторону цилиндра (H– высота, R- радиус).
Решение:
;,
следовательно,
.
==…
{, из рисунка ясно, что проекция на нормаль к равна R}
…=.
== …
{из рисунка ясно, что проекция на по равна H,
т.е. }
…=.
==0.
3R2H.
ПРИМЕР. Вычислить поток векторного поля через всю поверхность (нормаль внешняя): .
Решение:
Разобьем поверхность на две части и представим поток в виде ;
=, ; , , (знак выбирается «+», так как ), .
= =…
{перейдем в полярную систему координат}
.
=
{ }
=.
.
ПРИМЕР. Найдите поток вектора через часть сферы , расположенную в первом октанте (нормаль внешняя).
Решение:
{компоненты поля и области интегрирования обладают симметрией относительно замены и }
=.
Важно отметить, что cosα, cosβ, cosγ положительны, перед всеми интегралами берется знак (+), так как сторона поверхности - внешняя.
Дивергенция - это дифференциальная и локальная (зависит от точки) количественная характеристика векторного поля. Пусть вектор-функция имеет непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дивергенцией векторного поля в точке Р(x,y,z) называется число , или, опуская аргументы: . Используя оператор Гамильтона (набла): , дивергенцию можно записать в виде скалярного произведения .
1. Линейность , где и - произвольные постоянные.
2. Пусть - скалярное поле, тогда .
Доказательство:
=
=+()=.
ПРИМЕР. 1). .
.
2).,
Поскольку величина имеет смысл средней плотности потока в пространственной области G, то есть плотность потока в точке М.
Точки поля, в которых дивергенция положительна, т.е. , называют источниками векторного поля, а точки, в которых дивергенция отрицательна, - стоками векторного поля.
Векторные линии векторного поля начинаются в точках поля с положительной дивергенцией, а заканчиваются в точках с отрицательной дивергенцией.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величину называют мощностью источника или стока.
Рассмотрим замкнутую поверхность , ограничивающую объем G в векторном поле скоростей течения несжимаемой жидкости.
Поток вектора через поверхность равен количеству жидкости, протекающему через поверхность в единицу времени. Обозначим единичный вектор внешней нормали . Векторные линии входят и выходят из замкнутой поверхности . В точке угол ; это означает, что жидкость втекает внутрь поверхности.
В точке выхода , жидкость вытекает. Поток векторного поля через замкнутую поверхность численно равен разности потоков жидкости, втекающей и вытекающей в единицу времени со скоростью в пространственную область G, ограниченную .
Если П>0, жидкости вытекает больше, чем втекает, следовательно, в области G есть источники поля.
Если П<0, втекает жидкости больше, чем вытекает, значит в G есть стоки.
Если П=0, это означает, что источников и стоков нет или они компенсируют друг друга.
Если в некоторой области G трёхмерного пространства, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой поверхностью , задано непрерывно дифференцируемое векторное поле , то поток векторного поля через внешнюю сторону замкнутой поверхности равен тройному интегралу от функции по области G, ограниченной поверхностью :
,
где символ обозначает интеграл по замкнутой поверхности.
Доказательство:
а) Рассмотрим область G, правильную в направлении оси Oz, которую будем называть элементарной Hz областью. Это означает, что снизу и сверху она ограничена поверхностями: : и : соответственно, а сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz и направляющей Г.
Рассмотрим одно слагаемое:
==
==…
{на , а на .
Учитывая, что , получаем:
на : ,
на : } …=+=…
Добавим интеграл по в полученную сумму, так как на всюду равен нулю, а следовательно, и .
Тогда
…=++=
=.
б) Рассмотрим пространственную область G, которую можно разбить на n элементарных областей Hz типа, т.е. . Докажем, что и в этом случае справедлива теорема Остроградского-Гаусса.
Пусть , , - нижняя, верхняя и боковая части поверхности , ограничивающей область ,
тогда
++=,
так как интегралы по равны нулю, а по поверхности и составляют в сумме интеграл по поверхности .
в) Аналогично для Hx и Hy областей справедливо:
; .
Складывая почленно, получаем утверждение теоремы.
1). Векторная форма записи теоремы Остроградского-Гаусса имеет вид:
,
где - координаты единичного вектора внешней нормали.
2). Используя обозначение дивергенции, формулу Остроградского-Гаусса можно записать в виде
.
Поток векторного поля (вектора) через внешнюю сторону замкнутой поверхности равен тройному интегралу от по области G, ограниченной .
Применение теоремы Остроградского – Гаусса
Вычисление объемов.
ПРИМЕР. Пусть ; ; . , .
Вычисление потоков.
ПРИМЕР. Вычислите поток поля через замкнутую поверхность .
Решение:
===…
{перейдём в сферическую систему координат} …==.
ПРИМЕР. Найдите поток поля через внешнюю сторону полусферы:
Решение:
Воспользуемся результатами предыдущей задачи. Замкнем поверхность поверхностью , которая представляет собой часть плоскости XOY.
, , = =…{}… =,
т.к. на и =.
Пусть - векторное поле, удовлетворяющее условию теоремы Остроградского – Гаусса. Пусть точка M - произвольная точка области G. Выберем поверхность , охватывающую область G. Из теоремы Остроградского – Гаусса следует, что .
Воспользуемся теоремой о среднем, согласно которой существует такая точка М1, принадлежащая G, что ; , где V –объем G. Пусть стягивается в точку М, тогда М1→М, а →, .
Поскольку правая часть выражения не зависит от системы координат (инвариантна), то инвариантно и данное ОПРЕДЕЛЕНИЕ дивергенции.
Рассмотрим кусочно-гладкую кривую L и дугу AB (обозначение ) и векторное поле , непрерывное на L. Разобьем дугу произвольным образом точками A0, A1, …An на n частей. Обозначим - вектор, стягивающий концы дуги . Выберем точку . Найдём скалярное произведение и просуммируем по всем участкам дуг . Вычислим предел .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения дуги на отдельные участки и от выбора точки Pi, то он называется линейным интегралом вектора по дуге в направлении от А до В. Обозначение: . Координатная форма записи:
=
=,
=.
Линейный интеграл иногда называют криволинейным интегралом второго рода.
1. Свойство линейности:
=+.
2. Свойство аддитивности: =+.
3. При изменении направления интегрирования линейный интеграл меняет знак: =.
Свойства 1-3 доказываются из определения.
Определение криволинейного интеграла остается справедливым, если начальная и конечная точка совпадают.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией векторного поля по замкнутому контуру: .
Положительным направлением обхода считается то, при котором область, ограниченная контуром, остается слева.
Пусть и кривая L задана параметрическими уравнениями:
,
при этом при имеем точку , при ,
тогда
= = =,
где обозначения означают дифференцирование по переменной t.
ПРИМЕР. Дано:
, L: , A(t0 =0), B(t1 =2).
Вычислите линейный интеграл по .
Решение:
===
==…= R2+R.
Рассмотрим в качестве поля силу , приложенную к материальной точке Р и меняющуюся по величине и направлению при изменении местоположения точки Р. - работа по перемещению материальной точки по участку , тогда - работа силы по перемещению материальной точки по дуге АВ.
Пусть вектор-функция является непрерывно дифференцируемой в каждой точке области определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ротором векторного поля (вектора) называется вектор, обозначаемый символом , равный
.
Это выражение удобно записать в виде символического определителя
,
который вычисляется разложением по первой строке (базисным векторам ); произведение частных производных на компоненты вектора понимается как дифференцирование последних, т.е. и т.п. С использованием оператора набла или .
Если в некоторой точке поля , то поле в этой точке называется безвихревым.
ПРИМЕР. .
== .
1. Линейность: , где и - некоторые постоянные. Иначе, .
2. Пусть - скалярное поле, тогда =.
В векторных обозначениях: .
Доказательство:
+ = { }
+ + = .
ПРИМЕР. .
(устанавливает связь между циркуляцией и ротором)
Циркуляция непрерывно дифференцируемого векторного поля по произвольному кусочно-гладкому контуру L вычисляется по формуле
=
+ +.
При этом выбор стороны поверхности и направление обхода контура L согласованы (по правилу винта).
Доказательство:
Для доказательства сгруппируем слагаемые в правой части с одинаковыми координатами вектора :
= +
+ +
+ .
Рассмотрим первый из интегралов:
=.
Пусть поверхность является такой, что любая прямая пересекает ее лишь в одной точке, тогда : ; ; , тогда , так как ; . Переходя к двойному интегралу по Dxy: , получим
.
По формуле дифференцирования сложной функции, записывая полную производную сложной функции, имеем:
,
= =+
+=.
Докажем последнее преобразование.
…
{пусть L задана параметрически}…
==
…{}…=
=.
Остальные два слагаемых рассматриваются аналогично. Почленное суммирование этих выражений приводит к формуле Стокса.
1). Используя обозначение ротора, формулу Стокса можно переписать в векторном виде: =. Поток вектора через ориентированную поверхность равен циркуляции поля по контуру L, ориентированному в соответствии с ориентацией .
2). Для того чтобы криволинейный интеграл по любому кусочно-гладкому контуру равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Стокса: .
ПРИМЕР
. Вычислите циркуляцию вектора по контуру L:
,
Решение:
=
= - 4+8= 4+8 =
=;
====
==…
} == ====
=.
Ранее было дано определение ротора , справедливое лишь в декартовой системе координат.
Теорема Стокса позволяет дать инвариантное (независящее от системы координат) определение ротора векторного поля.
Пусть - векторное поле, удовлетворяющее теореме Стокса; - некоторое фиксированное направление, проходящее через точку М;
D - плоская область величины , охватывающая точку М, а L - граница области D. Направления обхода контура L и ориентация области D согласованы в соответствии с теоремой Стокса:
=или =.
По теореме о среднем М1:.
Тогда . Будем стягивать контур L в точку М, тогда точка M1 → M и =. Поскольку - средняя поверхностная плотность циркуляции поля по площади SD, то проекция на правление не зависит от выбора систем координат и равна поверхностной плотности циркуляции вектора по контуру L, который стягивает площадку, перпендикулярную этому направлению.
Пусть вектор задает поле линейных скоростей жидкости, движущейся вокруг оси Oz, и в точке Р угловая скорость вращения .
Тогда
вычислим
.
Итак, ротор поля линейных скоростей равен удвоенной угловой скорости вращения бесконечно малого объема, окружающего точку Р, в предположении, что в рассматриваемый момент времени этот объем жидкости внезапно отвердел. Это объясняет название «вихрь» вектора, так как в обычном представлении вихрь связан с интенсивностью вращения движущихся частиц жидкости (турбулентность, водоворот).
Пусть в односвязной плоской области D, имеющей границу L, задано непрерывно дифференцируемое векторное поле , тогда =, при этом контур обходится так, чтобы область D оставалась слева.
Доказательство:
Рассмотрим формулу Стокса для данного случая:
=.
: , ; ; откуда следует =.
Область D может быть и неодносвязной. В этом случае под линейным интегралом понимается сумма по всем компонентам границы D.
В некоторых случаях формула Грина позволяет упростить вычисление циркуляции векторного поля.
ПРИМЕР
. Вычислите циркуляцию вектора
по контуру L: x2 + y2 = R2.
Тогда: C=.
=
=.
С====
==
==
=.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторное поле называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля (функции) , т.е. . Это векторное равенство равносильно трем скалярным: ;;. Иначе: . Функция u в этом случае называется силовой функцией, или потенциалом поля.
Потенциал u определяется с точностью до постоянного слагаемого.
ПРИМЕР. Покажите, что поле потенциально.
Рассмотрим функцию ; ==;
; ; u - потенциал поля .
. Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру, лежащему в области непрерывности потенциального поля, равна нулю.
Доказательство:
Рассмотрим
+
По теореме Стокса =.
. Линейный интеграл в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования и равен разности потенциалов поля в конечной и начальной точках интегрирования.
Доказательство:
Так как поле потенциально ,
===
=+==
-
-.
. Для того чтобы векторное поле в некоторой односвязной области
G было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было
безвихревым, т.е. .
Доказательство:
Необходимость
Пусть - потенциальное поле .
Достаточность
В силу условия , если зафиксировать начальную точку А (0,0,0), криволинейный интеграл станет некоторой функцией переменной точки P(x,y,z): u(P) =. Вычислим производную функции u(P) в точке A. При переходе от точки P к точке P' функция u получит приращение =, где по теореме о среднем. Следовательно, . Переходя к пределу при и , имеем . Поскольку производная поля по направлению AP равняется проекции grad(u) на это направление, то.
Данное условие используется в качестве критерия потенциальности векторного поля.
Потенциал векторного поля по свойству может быть найден по формуле
, где А (x0, y0, z0) - фиксированная точка поля, координаты которой удовлетворяют условиям существования полей и ( как правило, А(0,0,0)), а Р(x,y,z) - текущая точка поля. Линейный интеграл вычисляется по любому контуру дуги . Наиболее удобен для вычисления контур в виде ломаной, звенья которой параллельны осям координат.
В этом случае
.
ПРИМЕР. Докажите, что поле является потенциальным,
и найдите его потенциал.
Решение: Используя критерии потенциальности поля (условие),
имеем: - потенциальное поле.
u = .
:
: ;
:,
.
Проверка: ++ =.
5.2. Соленоидальное поле
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторное поле называется соленоидальным
(трубчатым), если в каждой точке заданного поля .
5.2.1. Свойства соленоидального поля
1. Соленоидальные поля не имеют источников и стоков, что следует из определения.
2. Поток через любую замкнутую ориентированную кусочно–гладкую поверхность, лежащую в поле, равен нулю
.
3. В соленоидальном поле векторные линии не могут начинаться или кончаться, они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля.
4. Поток векторного поля через поперечное сечение векторной трубки в соленоидальном поле остаётся постоянным вдоль всей трубки.
Доказательство:
Рассмотрим область специального вида - векторную трубку Т, ограниченную двумя поперечными сечениями Σ1, Σ2 и боковой поверхностью Σ3.
Вычислим поток через указанную поверхность.
(по свойству 2);
боковой поверхности =, так как на поверхности векторной трубки Σ3 вектор направлен по касательной к поверхности, т.е. .
Таким образом,
, , = =.
Если придать векторному полю смысл скорости течения жидкости, то количество жидкости, вытекающей из поперечного сечения векторной трубки, всегда равняется количеству жидкости, втекающей в нее.
ПРИМЕР. 1). Является ли соленоидальным поле: ?
Решение:
- не соленоидально.
2). При каком условии векторное поле будет соленоидальным?
Решение:
или , , ; - поле соленоидально, если .
Многие операции векторного анализа могут быть записаны в сокращенной и удобной для расчётов форме с помощью символического оператора Гамильтона «набла»: .
Выражение вида понимается как результат действия оператора на соответствующую функцию. Тогда
=, .
В этом операторе соединены дифференциальные и векторные свойства, поэтому при действиях с ним необходимо пользоваться правилами векторной алгебры и дифференцирования.
Выполняя действия с оператором «набла», удобно использовать так называемый символический метод, основанный на применении следующих правил:
1. Если оператор действует на какое-либо произведение, то вначале используются его дифференциальные, а затем векторные свойства.
2. Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают индексом c (const).
3. Все величины, на которые оператор «набла» не действует, в окончательном варианте ставятся впереди него.
ПРИМЕР. Используя символический метод, вычислите .
Решение:
Воспользуемся свойствами смешанного произведения:
=.
Дифференциальные операции второго порядка возникают в результате двукратного применения к полям оператора «набла».
Если в области G задано скалярное поле , то операция взятия градиента порождает векторное поле: . В векторном поле операция взятия дивергенции порождает скалярное поле: , а операция взятия ротора - векторное поле .
Если в области G задано векторное поле , то операция взятия дивергенции порождает скалярное поле: . В скалярном поле операция взятия градиента порождает векторное поле: .
Если в области G задано векторное поле , то операция взятия ротора порождает векторное поле . Применяя повторно к этому полю оператор , получим скалярное поле и векторное поле .
При помощи оператора Гамильтона основные понятия теории поля можно записать в виде операций векторной алгебры.
Рассмотрим некоторые операции второго порядка
1. Вихревое поле является соленоидальным: .
Раскроем смешанное произведение, учитывая, что векторное произведение одинаковых векторов равно нулю: .
2. Векторное поле является безвихревым, так как Действительно, .
3. Рассмотрим операцию .
=.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дифференциальный оператор вида называется оператором Лапласа. Оператор Лапласа можно представить как скалярное произведение оператора Гамильтона самого на себя:
=.
Уравнение вида называется уравнением Лапласа и является одним из основных уравнений математической физики. Непрерывное решение уравнения Лапласа u(x, y, z) называется гармонической функцией. Соответствующее скалярное поле называется гармоническим или лапласовым.
Векторное поле является гармоническим, если оно является одновременно потенциальным и соленоидальным: ; .
Рассмотрим операцию .
Формула двойного векторного произведения дает: {формула «бац минус цаб»}. Тогда .
Дифференциальные операции второго порядка удобно свести в таблицу.
|
|
Скалярное поле |
Векторное поле |
|
Например, законы электромагнетизма описываются уравнениями Максвелла в дифференциальной форме:
; ; ; .
Иначе:
(1),
(2);
(3),
(4).
В данном случае нет зарядов и токов, а , - векторы напряжённости электрического и магнитного полей; , - электрическая и магнитная проницаемость; c - скорость света.
Если продифференцировать (1) по и подставить из (3), то получим
или .
Преобразуем правую часть по формуле: .
Итак, для векторного поля имеем уравнение .
Это одно из основных уравнений математической физики, называемое волновым уравнением.
Задача 1. Найдите производную скалярного поля в точке по направлению вектора , если
Решение. Производная скалярного поля в точке по направлению вектора равна
вычислим
,
,
,
Ответ:
Задача 2. Найдите угол между градиентами скалярных полей и в точке , если
Решение. Градиент скалярного поля
вычислим
Таким образом,
Градиент скалярного поля
Вычислим
Таким образом,
Вычислим косинус угла между градиентами скалярных полей и
Ответ: 0.
Задача 3. Найдите векторные линии в векторном поле .
Решение. Векторные линии для векторного поля описываются системой дифференциальных уравнений или Интегрируя, получаем то есть векторные линии этого поля представляют собой эллипсы с центрами на оси , лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.
Ответ:
Задача 4. Найдите поток векторного поля через часть поверхности , вырезаемую плоскостью (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями), если
Решение
Поток векторного поля через часть поверхности сферы радиусом с центром в начале координат, ограниченную плоскостью вычислим как разность потока через замкнутую поверхность, состоящую из полусферы и ограничивающей ее плоскости и потока через данную часть плоскости.
Для вычисления потока воспользуемся теоремой Гаусса – Остроградского:
здесь - полученная полная поверхность, - ограниченное ею тело (полушар).
Вычислим откуда
Вычислим поток через круг, лежащий в основании полушара , в направлении внешней к полушару нормали :
Ответ:
Задача 5. Найдите поток векторного поля через часть плоскости , расположенной в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью ), если
Решение. Запишем уравнение плоскости "в отрезках": Из него видно, что точки пересечения плоскости с координатными осями есть
где - часть плоскости расположенная в первом октанте,
- единичный вектор нормали к плоскости . Запишем уравнение плоскости в виде тогда
(Нормаль образует острые углы с осями координат, поэтому следует выбрать знаки "+" во всех случаях.) Отсюда
Произведем проецирование на координатную плоскость , поэтому
Ответ:
Задача 6. Найдите поток векторного поля через часть плоскости расположенной в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz), если
Решение
перейдем к двойному интегралу по области в плоскости (см. задачу 5)
, перейдем к повторному интегралу
Ответ:
Задача 7. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность (нормаль внешняя), если
Решение Уравнение плоскости "в отрезках"
Поток векторного поля через замкнутую поверхность
вычислим поэтому
Ответ: -8.
Задача 8. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если
:
Решение. Поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали
где
- тело, ограниченное замкнутой поверхностью (общей частью пары однополостных гиперболоидов); вычислим поэтому
Ответ:
Задача 9. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если
Решение. Поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали
вычислим
поэтому
Ответ:
Задача 10. Найдите работу силы при перемещении вдоль линии от точки к точке , если
,
Решение.
Уравнения кривой в параметрическом виде Работа силы при перемещении вдоль линии от точки к точке
. Перейдем к параметрическому заданию кривой : . Подставим значение равное 2. Тогда
Ответ:
Задача 11. Найдите циркуляцию векторного поля вдоль контура ( в направлении, соответствующем возрастанию параметра ), если
Решение. Линия - замкнутая, с периодом проекция линии на плоскость представляет собой окружность радиусом 2 с центром в начале координат.
,
перейдем к параметрическому заданию кривой :
Ответ:
Задача 12. Найдите модуль циркуляции векторного поля вдоль контура , если
Решение.
Первый способ. Перепишем уравнение кривой в виде
или, в параметрическом виде,
Тогда
(Здесь мы учли, что z=0).
Ответ: 0.
Второй способ
Перепишем уравнения, задающие кривую в виде воспользуемся теоремой Стокса:
Циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку вектора через поверхность , ограниченную этим контуром
Ц=.
Вычислим
Отсюда
так как Таким образом,
Ответ: 0.
Вариант 1
Задача 1.1. Найдите производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz, если
Задача 2.1. Найдите угол между градиентами скалярных полей u (x,y,z) и v (x,y,z) в точке М, где
Задача 3.1. Найдите векторные линии векторного поля ,
Задача 4.1. Найдите поток векторного поля через часть поверхности S, вырезаемой плоскостями (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями), если
Задача 5.1. Найдите поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),
Задача 6.1. Найдите поток векторного поля через часть плоскости P, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),
Задача 7.1. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).
Задача 8.1. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя):
Задача 9.1. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя):
(первый октант).
Задача 10.1. Найдите работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N.
Задача 11.1. Найдите циркуляцию векторного поля вдоль контура Г (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t).
Задача 12.1. Найдите модуль циркуляции векторного поля вдоль контура Г .
Вариант 2
Задача 1.2. Найдите производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz,
Задача 2.2. Найдите угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z) в точке М, где
Задача 3.2. Найдите векторные линии в векторном поле ,
Задача 4.2. Найдите поток векторного поля через часть поверхности S, вырезаемой плоскостями (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями),
Задача 5.2. Найдите поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенной в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),
Задача 6.2. Найдите поток векторного поля через часть плоскости P, расположенной в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),
Задача 7.2. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя),
Задача 8.2. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя),
Задача 9.2. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя),
Задача 10.2. Найдите работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N,
Задача 11.2. Найдите циркуляцию векторного поля вдоль контура Г (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t),
Задача 12.2. Найдите модуль циркуляции векторного поля вдоль контура Г,
Вариант 3
Задача 1.3. Найдите производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz,
Задача 2.3. Найдите угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z) в точке М, где
Задача 3.3. Найдите векторные линии в векторном поле , если
Задача 4.3. Найдите поток векторного поля через часть поверхности S, вырезаемой плоскостями (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями),
Задача 5.3. Найдите поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенной в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),
Задача 6.3. Найдите поток векторного поля через часть плоскости P, расположенной в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),
Задача 7.3. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя),
Задача 8.3. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя),
Задача 9.3. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя),
Задача 10.3. Найдите работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N,
Задача 11.3. Найдите циркуляцию векторного поля вдоль контура Г (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t),
Задача 12.3. Найдите модуль циркуляции векторного поля вдоль контура Г,
Вариант 4
Задача 1.4. Найдите производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz,
Задача 2.4. Найдите угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z) в точке М, где
Задача 3.4. Найдите векторные линии в векторном поле ,
Задача 4.4. Найдите поток векторного поля через часть поверхности S, вырезаемой плоскостями (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями),
Задача 5.4. Найдите поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),
Задача 6.4. Найдите поток векторного поля через часть плоскости P, расположенной в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),
Задача 7.4. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя),
Задача 8.4. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя),
Задача 9.4. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя),
Задача 10.4. Найдите работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N,
Задача 11.4. Найдите циркуляцию векторного поля вдоль контура Г (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t),
Задача 12.4. Найдите модуль циркуляции векторного поля вдоль контура Г,
Вариант 5
Задача 1.5. Найдите производную скалярного поля u(x,y,z) в точке М по направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz,
Задача 2.5. Найдите угол между градиентами скалярных полей u(x,y,z) и v(x,y,z) в точке М, где
Задача 3.5. Найдите векторные линии в векторном поле ,
Задача 4.5. Найдите поток векторного поля через часть поверхности S, вырезаемой плоскостями (нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями),
Задача 5.5. Найдите поток векторного поля через часть плоскости Р, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),
Задача 6.5. Найдите поток векторного поля через часть плоскости P, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz),
Задача 7.5. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя),
Задача 8.5. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя),
Задача 9.5. Найдите поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя),
Задача 10.5. Найдите работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к точке N,
Задача 11.5. Найдите циркуляцию векторного поля вдоль контура Г (в направлении, соответствующем возрастанию параметра t),
Задача 12.5. Найдите модуль циркуляции векторного поля вдоль контура Г,
|
№ варианта № задачи |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
1 |
-2 |
0 |
1 |
||
|
2 |
0 |
||||
|
3 |
См. ниже |
||||
|
4 |
4 |
8 |
6 |
2 |
10 |
|
5 |
1 |
||||
|
6 |
910 |
||||
|
7 |
21 |
4 |
8 |
2 |
|
|
8 |
36 |
72 |
1 |
32 |
4 |
|
9 |
4 |
||||
|
10 |
16 |
24 |
24 |
2 |
-8 |
|
11 |
0 |
2 |
-6 |
0 |
-40 |
|
12 |
2 |
0 |
36 |
2 |
|
№ ва- |
Ответы к задаче №3 |
|
1 |
Эллипсы |
|
2 |
Гиперболы и прямые |
|
3 |
Параболы и прямые |
|
4 |
Кубические параболы и прямые |
|
5 |
Параболы 4-го порядка и прямые |
Производная по направлению
Производная скалярной функции u в точке по направлению вектора (обозначение ):
.
определяет скорость изменения скалярного поля в направлении вектора .
Градиент скалярного поля
Градиентом скалярного поля u в точке называется вектор, обозначаемый символом и определяемый равенством
,
Введем символический вектор “набла” или оператор Гамильтона
.
Выражение вида понимается как результат действия оператора на соответствующую функцию.
.
Связь градиента и производной по направлению
Свойства градиента
Векторные линии. Уравнения векторных линий.
Векторной линией поля называется кривая, в каждой точке которой вектор направлен по касательной к этой кривой.
Уравнения векторных линий: .
Поверхностный интеграл 1-го рода
Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода
Если поверхность задана уравнением то
.
Если поверхность задана уравнением то
.
Если поверхность задана уравнением то
,
где - проекции на плоскости .
Поверхностный интеграл 2-го рода
.
Между поверхностными интегралами 1-го и 2-го типа существует следующая связь:
,
причем при интегрировании
по положительной стороне поверхности: ,
по отрицательной: .
.
Так как , - единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности , то .
Вводя - векторный элемент площади, направленный по нормали и имеющий длину , получаем .
Поток векторного поля
Поток вектора через поверхность – поверхностный интеграл 2-го рода от вектора по поверхности .
Способы вычисления потока
Введем - векторный дифференциальный элемент поверхности, тогда
, .
Поток сводится к интегралу 1-го рода по поверхности от скалярного произведения вектора на нормаль к этой поверхности (иначе: от проекции поля на нормаль к поверхности ).
Проектирование на одну координатную плоскость
Если поверхность задана уравнением и однозначно проектируется в область на координатной плоскости , то .
,
поток вектора через эту поверхность равен
,
знак зависит от направления положительной нормали к поверхности. Аналогичные формулы получаются при проектировании на другие координатные плоскости для поверхностей вида и .
Проектирование на три координатные плоскости
Поверхность задана неявно уравнением ;
, ,
.
- углы, которые образует нормаль с осями координат, единичная нормаль . Так как , то
,
=.
Пусть поверхность взаимно однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Если это не имеет места, поверхность нужно разбить на однозначно проектирующиеся участки.
Рассмотрим слагаемое , для него уравнение поверхности запишем в виде , тогда в точке , ,=.
Знак (+) соответствует острому углу между нормалью и осью (cosγ > 0), знак (–) – тупому углу между нормалью и осью (cosγ < 0).
Аналогично,
, ,
и окончательно имеем:
.
Знаки перед слагаемыми соответствуют знакам направляющих косинусов нормали .
Указанная формула устанавливает связь между потоком и поверхностным интегралом 2-го рода:
+.
Дивергенция векторного поля
,
или, опуская аргументы: , .
Свойства дивергенции
1. .
2. .
Теорема Остроградского - Гаусса
Поток векторного поля через внешнюю сторону замкнутой поверхности равен тройному интегралу от функции по области G, ограниченной поверхностью :
,
где символ обозначает интеграл по замкнутой поверхности.
Линейный интеграл в векторном поле
=.
Свойства линейного интеграла
1. =+.
2. =+.
3. =.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией векторного поля по замкнутому контуру: .
Вычисление линейного интеграла
Пусть и кривая L задана параметрическими уравнениями:
,
при этом при имеем точку , при ,
тогда
= = =,
где обозначения означают дифференцирование по переменной t.
Ротор (вихрь) векторного поля
.
С использованием оператора набла , или .
В виде символического определителя
определитель вычисляется разложением по первой строке.
Свойства ротора (вихря)
1. , иначе
.
2. Пусть . =.
В векторных обозначениях: .
Теорема Стокса
=,
поток вектора через ориентированную поверхность равен циркуляции поля по контуру L, ориентированному в соответствии с ориентацией .
Для того чтобы криволинейный интеграл по любому кусочно-гладкому контуру равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Стокса: или .
Потенциальное векторное поле
Векторное поле называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля (функции) , т.е. . Функция u в этом случае называется силовой функцией, или потенциалом поля. Потенциал u определяется с точностью до постоянного слагаемого.
Свойства потенциального поля
1. Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру, лежащему в области непрерывности потенциального поля, равна нулю.
По теореме Стокса =.
2. Линейный интеграл в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования и равен разности потенциалов поля в конечной и начальной точках интегрирования.
Теорема. Для того чтобы векторное поле в некоторой односвязной области G было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. .
Вычисление потенциала поля
Потенциал векторного поля может быть найден по формуле
,
где А (x0, y0, z0) - фиксированная точка поля, координаты которой удовлетворяют условиям существования полей и (как правило, А(0,0,0)), а Р(x,y,z) - текущая точка поля. Линейный интеграл вычисляется по любому контуру дуги , важно лишь положение начальной и конечной точек. Наиболее удобен для вычисления контур в виде ломаной, звенья которой параллельны осям координат.
В этом случае
.
Соленоидальное поле
Векторное поле называется соленоидальным (трубчатым), если в каждой точке заданного поля .
Свойства соленоидального поля
1. Соленоидальные поля не имеют источников и стоков.
2. Поток через любую замкнутую ориентированную кусочно–гладкую поверхность, лежащую в поле, равен нулю:
.
3. В соленоидальном поле векторные линии не могут начинаться или кончаться, они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля.
4. Поток векторного поля через поперечное сечение векторной трубки в соленоидальном поле остаётся постоянным вдоль всей трубки.
Оператор Гамильтона (набла)
.
В этом операторе соединены дифференциальные и векторные свойства, поэтому при действиях с ним необходимо пользоваться правилами векторной алгебры и дифференцирования.
Правила действий с оператором «набла»:
1. Если оператор действует на какое-либо произведение, то вначале используются его дифференциальные, а затем векторные свойства.
2. Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают индексом c (const).
3. Все величины, на которые оператор «набла» не действует, в окончательном варианте ставятся впереди него.
Оператор Лапласа
.
Дифференциальные операции второго порядка
|
|
Скалярное поле |
Векторное поле |
|
9. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
М: Наука, 1998, Т.1.
М.: Высшая школа. 1988. Т.1.
Н.С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2001. Т.2.
М.: Наука, 1967.
Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1993. Ч. 2.
Учебное пособие
Вигура Марина Александровна
Кеда Ольга Анатольевна
Пампура Елена Михайловна
Рыбалко Александр Федорович
Рыбалко Наталья Михайловна
XIII. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Редактор Н.П.Кубыщенко
Подписано в печать 26.04.2005 Формат 60x84 1/16
Бумага писчая Плоская печать Усл.печ.л. 3,95
Уч.-изд.л. 3,6 Тираж Заказ Цена “C”
Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ–УПИ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
ООО «Издательство УМЦ УПИ»
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 17