Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Львівський національний університет
імені Івана Франка
На правах рукопису
Нестеренко Василь Володимирович
УДК 517.51
РІЗНІ ТИПИ КВАЗІНЕПЕРЕРВНОСТІ
ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
А В Т О Р Е Ф Е Р А Т
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Львів - 1999
Дисертацією є рукопис
Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Чернівецького державного університету ім. Юрія Федьковича.
Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук,
доцент
Маслюченко Володимир Кирилович,
Чернівецький державний університет
імені Юрія Федьковича,
доцент кафедри математичного аналізу
Офіційні опоненти доктор фізико-математичних наук,
професор
Петунін Юрій Іванович,
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка,
професор кафедри обчислювальної
математики;
кандидат фізико-математичних наук,
доцент
Банах Тарас Онуфрійович,
Львівський національний університет
імені Івана Франка,
доцент кафедри алгебри і топології
Провідна установа Інститут математики НАН України,
м. Київ
Захист відбудеться “24” лютого 2000 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.05.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою:
, м. Львів, вул. Університетська 1, ауд. 377
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).
Автореферат розіслано 17 січня 2000 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради Я.В. Микитюк
ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальнiсть теми. Поняття квазiнеперервностi, що було введене у 1932
i С.Кемпiстим, природно виникає у звязку з дослiдженням сукупної неперервностi нарiзно неперервних функцiй f(x1,...,xn) вiд n змiнни
, к
iнеперервнiсть яких встановили В.Вольтерра, Р.Бер (1898) i Г.Ган (1919) задо
до С.Кемпiстого.
Для нарiзно неперервних функцiй функцiя f(x1,...,xn) fxn(x1,...,xn)=f(x1,...,xn-1,xn) част
квазiнеперервною вiдносно сукупностi змiнних x1,...,xn-1,xn i тому в
задача: вивчити множину точок сукупної неперервностi функцiй f(x,y), якi ква
i
i вiдносно x i неперервнi вiдносно y (функцiї з класу KC).
i
iдна iдеологiя розроблялась в працях Дж.Бреккенрiдж i Т.Нiшiури (1976), В.Масл
(1990), Ж.-П.Труа
iка (1990) i Ж.Ганс
та Ж.-П.Труаллiка(1992). К.Бе
(1926) пiд назв
умова (А) також увiв певну умову типу
квазiнеперервностi для функцiй двох змiнних, заданих на добутках паралелепiпедiв, i застосував її при дослiдженнi сукупної неперервностi функцiй трьох дiйсних змiнних. Г. Ган (1932) пе
iс
умову (А) Беґеля на випадок функцiй, що заданi на добутку метричних просторiв, назвавши функцiї, що задовольняють умовi (А)
В-функцiями, i застосував В-функцiї при вивченнi сукупної неперевностi нарiзно неперервних функцiй вiд багатьох змiнних. Впродовж тривалого часу цi результати К. Беґeля i Г. Гана залишалися поза увагою численних математикiв, що вивчали поняття
Квазiнеперервностi та його аналоги. Наприклад, у вiдомому оглядi Т. Нойбрунна (1987), де пр
iзовано багато робiт про квазiнеперервнi вiдображення, вони не згадуються. Лише в 1996
i умова Беґеля була перенесена нами на випадок вiдображень топологiчних просторiв i названа горизонтальною квазiнеперервнiс-тю. У зв'язку з цим виникло природне питання про дослiдження на сукупну неперервнiсть вiдображень з класу KhC,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
wC i KhC, яка пр
до питання про наявнiсть точок симетричної квазiнеперервностi у квазiнеперервних функцiй, що ранiше вивчалося
тiльки для функцiй з класу KC в роботах С.Кемпiстого (1932), Н.Мар
i
(1961), Дж.Бре
iджа i Т.Нiшiур
(1976)
З.Пьот
(1978, 1980), Дж.Лi i З.Пьот
(1985). Крiм то
,
постали оберненi задачi, а також питання про застосування отриманих результатiв до функцiй багатьох змiнних та многозначних вiдображень. Розробцi цих актуальних проблем i присвячена дана дисертацiя.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Результати дисертацiї отриманi у рамках наукових дослiджень, якi проводились на кафедрi математичного аналiзу Чернiвецького державного
Унiверситету iменi Юрiя Федьковича. Тематика дисертацiї пов'язана з науково-дослiдними роботами "Дослiдження властивостей вiдображень в абстрактних просторах" (номер реєстрацiї - 6683).
Мета i зад
i
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
wC i KhC, розв'я
рiзноманiтних обернених задач пов'язаних з квазiнеперервнiстю, а також перенесення основних результатiв дослiджень на випадок функцiй багатьох змiнних та многозначних вiдображень.
Наукова новизна одержаних результатiв. Всi одержанi результати є новими. В дисертацiї встановлено тип множини точок квазiнеперервностi для функцiй визначених на R. Показано, що вiдображення двох змiнних точково розривне, якщо воно горизонтально квазiнеперервне i точково розривне вiдносно другої змiнної, а також встановлено, що вiдображення з класу KhC має всюди щiльну множину точок неперервностi на кожнiй горизонталi та кожнiй неперервнiй кривiй. Встановлено, що квазiнеперервне за сукупнiстю змiнних вiдображення f:X(Y(Z має т
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
wC=KhC. Крiм т
, розв'язанно основнi оберненi задачi пов'язанi з квазiнеперервнiстю та перенесено деякi результати дослiджень на випадок функцiй багатьох змiнних та многозначних вiдображень.
Практичне значення одержаних результатiв. Результати дисертацiї носять теоретичний характер. Вони можуть бути використанi в загальнiй теорiї функцiй, топологiї та функцiональному аналiзi.
Особистий внесок здобувача. Всi науковi результати, включенi в дисертацiю, одержано здобувачем особисто. В працях [1, 2, 4, 5, 7, 8] В.Масл
належать постановки задач та в роботi [2]
частина статтi, а в [1, 7] В.Миха
- iдея доведення теореми 1 для випадку дiйсних змiнних.
Aпробацiя роботи. Результати дисертацiї доповiдались на Всеукраїнськiй науковiй конференцiї, присвяченiй пам'ятi П. Казiмiрського, у Львовi (1995), наук
iй конференцiї, присвяченiй пам'ятi В. Левицького, у Тернополi (1997), на мiжна
наукових конференцiях "Сучаснi проблеми математики" (1998) i "100 рокiв ди
iї Р. Бера" (1999) у Чер
i
, на науковiй сесiї НТШ в Чернiвцях (1999), на се
i
i з "
теорiї функцiй та функцiонального аналiзу", науковому семiнарi математичного факультету у Чернiвецькому державному унiверситетi (1995 - 1999) та наук
семiнарах у Львiвському унiверситетi.
Публiкацiї.Основнi результати дисертацiї опублiкованi у восьми роботах,список яких подано в кiнцi реферату. З них три надрукованi у виданнях з перелiкiв, затверджених ВАК України.
Структура i об'єм роботи. Дисертацiя складається з вступу, чотирьох роздiлiв, розбитих на пiдроздiли, висновкiв i списку використаних джерел. Oбсяг дисертацiї - 107 ст
iнок. Список використаних джерел включає 65 найменувань.
ОСНОВНИЙ ЗМICТ РОБОТИ
У вступi подано загальну характеристику роботи, висвiтлено стан наукової проблеми, обгрунтовано актуальнiсть теми, сформульовано мету та задачi дослiдження.
В першому роздiлi зроблено огляд лiтератури за темою дисертацiї, викладено основнi допомiжнi поняття та теореми, пов'язанi з напрямком дослiдження.
В другому роздiлi розв'язана обернена задача до теореми Маркуса, встановлено тип множини точок квазiнеперервностi i застосована горизонтальна квазiнеперервнiсть до точково розривних вiдображень. Першi два пiдроздiли 2.1 i 2.2 нося
пiдготовчий характер.
Нехай P i Z - топ
iчнi простори, G -
система пiдмножин простору P, p0(P i f:P(Z - вiдобр
. Ми кажемо, що вiдображення f є G-к
iнеперервним у точцi p0,
для кожного околу W точки z0=f(p0) в прос
i Z i для к
околу O точки p0 в просторi P iснує така множина S(G, що S(O i f(S) (W. Якщо вiд
f є G-квазiнеперервним у кожнiй точцi p0(P, то к
, що f є G-кв
iнеперервним. Звичайна квазiнеперервнiсть одержується, коли ми за G беремо систему всiх вiдкритих непорожнiх множин у P.
Нехай P=X(Y - топ
iчний добуток просторiв X i Y, p0=( x0, y0), рX:P (X i рY : P( Y --
прое
iї простору P вiдповiдно на простори X i Y. Поз
через Gx0 чи, вiдповiдно, Gy0
всiх вiдкритих в P i непорожнiх множин G, для яких x0( рX (G) чи, вiдповiд
, y0( рY (G) . Вiдобр
називається симетрично квазiнеперервним вiдносно x чи, вiдповiдно, y в точцi p0, я
воно Gx0 –квазiнеперервне чи, вiдповiдно, Gy0 -к
iнеперервне у цiй точцi. Позначимо через Hx систему всiх множин виду U( y , де U - вiдкри
непорожня множин в X, y довiль
точка з Y. Аналогiчно через Hy позначимо систему всiх множин виду x( V, де V - вiдкри
непорожня множина в Y, x довiль
точка з X. Вiдображення f: P (Z нази
горизонтально чи, вiдповiдно, вертикально квазiнеперервним в точцi p0,
воно Hx -квазiнеперервне чи, вiдповiдно, Hy -к
iнеперервне в цiй точцi. Якщо вiдображення f симетрично квазiнеперервне вiдносно x чи y,
чи вертикально квазiнеперервне в кожнiй точцi p0(P, то к
що f є си
квазiнеперервне вiдносно x чи y, го
чи вертикально квазiнеперервне. Квазiнеперервнi вiдображення f: P ( Z нази
ще сукупно квазiнеперервними.
Позначимо через K_hC(X,Y,Z) клас в
i
i
f:X(Y(Z, якi гори
квазiнеперервнi i неперервнi вiдносно другої змiнної, а через \ov{K}C(X,Y,Z) - клас в
i
i
f:X(Y(Z, якi квазiн
i вiдносно першої змiнної при всiх значеннях другої змiнної, що пробiгають деяку всюди щiльну в Y множину (свою для кожного вiдображення), i неперервнi вiдносно другої змiнної. Для вiдображення f:X(Y(Z i точк
x \in X чере
K_x(f) позн
множину всiх тих точок y \in Y, для як
вiдображення f_y:X \to Z є квазiн
у точцi x.
ще один клас вiдображень, який ми позначатимемо \ov{K}_wC(X,Y,Z). Сюди м
i
всi вiдображення f:X(Y(Z для як
\ov{K_x(f)}=Y для ко
x \in X i якi непе
i вiдносно y.
Надалi iнодi для спрощення замiсть K_hC(X,Y,Z), \ov{K}C(X,Y,Z) i \ov{K}_wC(X,Y,Z) буде
писати вiдповiдно K_hC, \ov{K}C i \ov{K}_wC. Для до
i
топологiчних просторiв легко встановити такi включення \ov{K}C(X,Y,Z)\sbs \ov{K}_wC(X,Y,Z)\sbs K_hC(X,Y,Z).
Гори
квазiнеперервнiсть, яка є одним iз основних iнструментiв дослiдження, в деяких теоремах використовується не в повнiй мiрi, а застосовується тiльки така її властивiсть.
{\bf Лем
.2.7.} {\it Неха
X, Y i Z -- топо
iчнi простори, G -- вiд
множина, множина A щiльна в G i f:X(Y(Z -- гори
квазiнеперервне вiдображення. Тодi має мiсце включення f(G\times Y)\sbs \ov{f(A \times Y)}.
Добр
i
теорема про те, що множина точок неперервностi C(f) к
iнеперервного вiдображення f : X \to Y, де X~-- топо
iчний простiр, Y -- мет
, або задовольняє другу аксiому злiченностi, є залишковою множиною. В пiдроздiлi 2.3
'язана обернена задача до цiєї теореми в тому випадку, коли X=Y={\bf R}.
{\bf Теор
2.3.7.} {\it Неха
B -- пiдмно
{\bf R} перш
категорiї i типу F_{\sigma}. Тодi iснує к
iнеперервна функцiя f: {\bf R} \to {\bf R}, така, що D(f)= B.
Дослiд
типу множини K(f)
квазiнеперервностi вiдображення f : {\bf R} \to {\bf R} прис
пiдроздiл 2.4.
встановлена такий результат.
{\bf Те
.4.1.} {\it Неха
A i B пiдмно
{\bf R} i A={\bf R}\setminus B. Для то
щоб iснувала функцiя f:\bf R\to {\bf R}, така, що K(f)=A, необ
i
i
, щоб для кожної вiдкритої непорожньої множини G виконується альтернатива: або A не є щiльною в G,
B\cap G -- множ
першої категорiї.
Побудовою функцiй з даними множинами точок неперервностi, квазiнеперервностi i клiковостi займались також Я.Еверт i Я.Лiпiнський (1988). Нео
iднiсть в теоремi 2.4.1 на
i має мiсце в загальнiшiй ситуацiї i випливає з такого результату.
{\bf
2.4.2.} {\it Неха
X -- берiвс
простiр, що задовольняє другу аксiому злiченностi, Y -- ме
простiр, f:X\to Y -- деяк
i
, G -- вiд
множина в X, A=K(f) i B=L(f). Тодi або A не є щiльн
в G, або B\cap G -- множ
першої категорiї.
В класичнiй роботi С. Кемпiстого (1932) ви
поняття квазiнеперервностi зверху i знизу, показано, що функцiя, яка точково розривна вiдносно однiєї змiнної i квазiнеперервна вiдносно кожної з iнших змiнних, є точково розривною. До результатiв, якi пов'язанi з точковою розривнiстю слiд вiднести також другу теорему про неперервнiсть К.Беєеля. В пiдроздiлi 2.5 р
С.Кемпiстого i К.Беєеля узагальнюються, причому застосовується завсiм iншi методи мiркувань.
{\bf
.5.2.} {\it Неха
X -- топо
iчний простiр, Y -- б
iвський простiр, який має злiченну псевдобазу, Z -- м
простiр i f:X(Y(Z - гори
квазiнеперервне вiдображення, яке точково розривне вiдносно другої змiнної i C^x(f)=\{y \in Y: (x,y) \in C(f)\}. Тодi мно
A=\{x \in X: \ov{C^x(f)}=Y\} -- зали
в X.
Якщо в попереднiй теоремi на простiр X накласти ще умову беровостi, то вiдображення f буде точково розривне. Подiбнi результати iншим способом отримали В.Маслюченко i В.Михайлюк.
В цьому ж пiдроздiлi встановлена ще одна властивiсть горизонтальної квазiнеперервностi.
{\bf Т
.5.1.} {\it Неха
X -- топо
iчний простiр, простiр Y має злiченну псевдобазу, Z -- м
простiр, f:X(Y(Z - гори
квазiнеперервне вiдображення i B_{x,\varepsilon}(f)=\{ y \in Y : \omega_{f_y}(x)<\varepsilon\}. Тодi для к
\varepsilon>0 множ
A_{\varepsilon}(f)=\{ x \in X : \ov{B_{x,\varepsilon}(f)}=Y\} -
зали
.}
Третiй роздiл присв'ячений питанню наявностi точок неперервностi вiдображень f:X(Y(Z з кла
K_hC, якi гори
квазiнеперервнi i неперервнi вiдносно другої змiнної. В пiдроздiлi 3.1
йде про точки неперервностi вiдображень з класу K_hC
, а також про квазiнеперервнiсть вiдображень з цього класу.
Нехай X, Y i Z -- топо
iчнi простори i f:X(Y(Z -- вiдобр
. Для множини E \sbs X \times Y i точк
y \in Y покл
E_y=\{~x~\in~X~:~(x,y)\in~E\}. Ми каж
, що вiдображення f має {\it
iсть Вестона}, якщо для кожного y \in Y мно
C_y(f)=E_y, де E=C(f), зали
в X.
первiсний метод Беєеля i застосовуючи теорему Банаха про категорiю, ми одержуємо наступну теорему, яка узагальнює результати К.Беєеля i Г.Гана.
{\bf Т
.1.4.} {\it Неха
X -- топо
iчний простiр, Y –задовольняє першу аксiому злiченностi, Z –метризовний простiр i f:X(Y(Z - гори
квазiнеперервне
вiдображення, яке неперервне вiдносно другої змiнної. Тодi f має властивiсть Вестона.
В дисертацiї наводиться i iнше дведення цiєї теореми, яке ведеться вiд супротивного категорним методом з допомогою необхiдних сортувань. Використовуючи теорему 3.1.4, в ро
i отримана наступна теоорема про квазiнеперервнiсть вiдображень з класу K_hC.
{\bf Теор
.1.6.} {\it Неха
X -- берiвс
простiр, Y –задовольняє першу аксiому злiченностi, Z –метризовний простiр i f:X(Y(Z - гори
квазiнеперервне вiдображення, яке неперервне вiдносно другої змiнної. Тодi f квазiнеперервне.}
Аналогiчнi результати про симетричну квазiнеперервнiсть вiдображень з класу KC отримали С.Кемпiстий, Н.Мартiн, Дж.Бреккенрiдж i T.Нiшiура та З.Пьотровський.
В пiдроздiлi 3.2
насиченiсть множини точок неперервностi вiдображення f:X(Y(Z з кла
K_hC верт
. Використовуючи горизонтальну квазiнеперервнiсть, одержано достатнi умови насиченостi множини C(f)
, якi точнiшi нiж умови Дж.Кальбрi та Дж.Труалiка для вiдображень з класу \overline{C}C i
В.Масл
для \overline{K}C.
Введ
в розгляд множину C_Y(f)=\{x \in X:\{x\} \times Y \subseteq C(f)\}. Ми каж
, що вiдображення f:X(Y(Z має {\it влас
iсть Гана}, якщо множина C_Y(f) за
в X.
{\bf Те
.2.1.} {\it Неха
X -- топо
iчний простiр, Y задовольняє другу аксiому злiченностi, Z -- ме
простiр i f:X(Y(Z - гори
квазiнеперервне i неперервне вiдносно другої змiнної вiдображення. Тодi множина C_Y(f)=\{x \in X : \{x\}\times Y \sbs C(f)\} зали
в X.}
В пiдроздiлi 3.3
теорему 3.1.4 н
неперервних кривих i тим самим узагальнено класичнi результати Р.Бера i С.Кемпiстого про наявнiсть точок неперервностi нарiзно неперервних функцiй на неперервних кривих i поверхнях. Для множини E в добутку X \times Y i точк
x \in X покл
E^x=\{y \in Y: (x,y) \in E\}.
Неха
g : X \to Y -- непе
вiдображення i L=\{(x,g(x)): x \in X\}~-- вiдповiд
в добутку X\times Y. Ми буд
говорити, що крива L є {\it злiче
типу}, якщо iснує послiдовнiсть вiдкритих множин W_n в X \times Y, така, що д
кожного x \in X сист
\{W^x_n: n \in {\bf N}\} утво
базу околiв точки g(x)
Y. Якщо п
iр Y метризовний, то кожна неперервна крива в X \times Y, яка є гра
i
неперервного вiдображення g:X \to Y, є крив
злiченного типу.
{\bf Т
.3.2.} {\it Неха
X i Y -- топо
iчнi простори, Z -- м
простiр, вiдображення f:X(Y(Z –гор
квазiнеперервне i неперервне вiдносно другої змiнної i L : y=g(x) непе
крива злiченного типу в X \times Y. Тодi множ
C_L(f)=\{ x \in X : (x,g(x)) \in C(f)\} є типу G_{\delta} i зали
в X.}
iлi IV ди
iї встановлено ще однi достатнi умови сукупної квазiнеперервностi, характеризацiї симетричної квазiнеперервностi та квазiнеперервностi, розглянуто питання про зв'язки мiж рiзними класами вiдображень, а також перенесено деякi результати на випадок вiдображень вiд багатьох змiнних та многозначних вiдображень.
В пiдроздiлi 4.1
теорему про сукупну квазiнеперервнiсть вiдображень з класу K_hK.
{\bf Теор
.1.2.} {\it Неха
X -- берiвс
простiр, Y задовольняє другу аксiому злiченностi, Z -- ре
простiр i вiдображення f:X(Y(Z гор
квазiнеперервне i квазiнеперервне вiдносно другої змiнної. Тодi вiдображення f квазiнеперервне за сукупнiстю змiнних.}
Ця теорема узагальнює результати С.Кемпiстого (для дiйсних змiнних) i Н.Мартiна (замiнено квазiнеперервнiсть вiдносно першої змiнної на горизонтальну квазiнеперервнiсть i умову метричностi простору Z на регулярнiсть).
Крiм того, показано, що горизонтально i вертикально квазiнеперервнi функцiї вже не зобов'язанi бути квазiнеперервними (приклад 4.1.3). Бiльш
, навiть додаткова умова точкової розривностi функцiї f:X(Y(Z не га
квазiнеперервностi за сукупнiстю змiнних. Але якщо на горизонтально i вертикально квазiнеперервну функцiю накласти трохи сильнiшу умову нiж точкова розривнiсть, яка також пов'язана з наявнiстю точок неперервностi функцiї, то це дасть нам квазiнеперервнiсть функцiї за сукупнiстю змiнних.
Позначимо символом D_y(f) мн
точок x \in X, таки
, щ
i
f:X(Y(Z роз
в точцi (x,y).
{\bf Теор
.1.4.} {\it Неха
X, Y i Z топо
iчнi простори, f:X(Y(Z - гори
i вертикально квазiнеперервне вiдображення i множина M=\{ y \in Y : D_y(f) -- десь щiл
в X\} - нiде не щiль
Y. Тодi вiдоб
f квазiнеперервне за сукупнiстю змiнних.}
Ранiше вже були згаданi результати С.Кемпiстого, Н.Мартiна, Дж.Бреккенрiджа i Т.Нiшiури та З.Пьотровського про симетричну квазiнеперервнiсть вiдображень з класу KC. Виявляється, що i просто сукупно квазiнеперервнi вiдображення також будуть симетрично квазiнеперервними у багатьох точках. Вiдповiдний результати встановлюється у пiдроздiлi 4.2.
{\bf Теор
4.2.1.} {\it Неха
iр X задовольняє другу аксiому злiченностi, простiр Y --
або задовольняє другу аксiому злiченностi, Z -- се
метризовний топологiчний простiр i вiдображення f:X(Y(Z ква
i
. Тодi iснує залишкова в Y множина B, така, що вiдображення f симетрично квазiнеперервне вiдносно y
в кожнiй точцi добутку X \times B.}
Ця тео
дає можливiсть встановити необхiднi i достатнi умови квазiнеперервностi, якi доводяться в наступному пiдроздiлi. Перша теорема дає характеризацiю сукупної квазiнеперервностi.
{\bf Те
.3.2.} {\it Неха
iр X задовольняє другу аксiому злiченностi, Y -- берiв
простiр, який метризовний бо задовольняє другу аксiому злiченностi, Z -- сеп
метризовний простiр. Вiдображення f:X(Y(Z буд
iнеперервним тодi i тiльки тодi, коли f є вертикально квазiнеперервним i iснує всюди щiльна в Y множина другої категорiї B, така, що вiдображення f_y -- кв
iнеперервне для кожного y \in B.}
Наст
результат дає характеризацiю симетричної квазiнеперервностi.
{\bf Те
.3.5.} {\it Неха
X -- берiвс
простiр, простiр Y задовольняє першу аксiому злiченностi, Y -- ме
простiр. Вiдображення f:X(Y(Z сим
квазiнеперервне вiдносно y тодi i тiльки тодi, коли для кожного y \in Y вiдоб
f_y : X \to Z квазiн
i iснує всюди щiльна множина M_y
G_{\delta}, така, що M_y \sbs \{x \in X : y \in C(f^x)\}.
Дж. Брек
iдж та Т. Нiшiура (1976) вст
, що вiдображення f:X(Y(Z з KC(X,Y,Z) має вс
щiльну множину точок неперервностi на кожнiй горизонталi X\times \{y\}, якщо X~-- берiвс
простiр, простiр Y задовольняє першу аксiому злiченностi, Z -- ме
простiр. Насправдi, як показав В.Маслюченко (1999), цю те
можна розповсюдити на ширший клас \overline{K}C(X,Y,Z). Як вiдзн
вище такий ж результат одержано в теоремi 3.1.4, тiльк
вiдображень з класу K_hC(X,Y,Z). Тому п
постало питання про взаємозв'язок цих двох класiв. Очевидно має мiсце таке включення \overline{K}C(X,Y,Z)\sbs K_hC(X,Y,Z).
Взаг
i
, включення в iнший бiк для довiльних топологiчних просторiв не правильне (приклади 4.4.1 i 4.4.2) Як уже з
, для довiльних топологiчних просторiв очевидними є такi включення \ov{K}C(X,Y,Z)\sbs \ov{K}_wC(X,Y,Z)\sbs K_hC(X,Y,Z).
При пе
умовах на простори цi три класи збiгаються. Порiвнянню цих та iнших класiв присвячений пiдроздiл 4.4.
було встановлено промiжний результат, який дає рiвнiсть класiв K_hC=\ov{K}_wC .
{\bf Теор
.4.3.} {\it Неха
X i Y берiвс
i п
, що задовольняють першу аксiому злiченностi i Z -- мет
простiр. Тодi \ov{K}_wC(X,Y,Z)=K_hC(X,Y,Z).
Потiм ви
теорему 3.1.6 п
квазiнеперервнiсть вiдображень з класу K_hC i те
.2.1 пр
iсть квазiнеперервного вiдображення встановлено рiвнiсть класiв \ov{K}C i K_hC.
{\bf Теор
.4.5.} {\it Неха
X -- берiвс
простiр, що задовольняє другу аксiому злiченностi, Y -- бе
i
простiр, який задовольняє другу аксiому злiченностi або метричний i Z -- сеп
метризовний топологiчний простiр. Тодi K_hC(X,Y,Z)=\ov{K}C(X,Y,Z).
Подiбнi рiвн
i
iчно встановлюються для класiв \ov{K}C, \ov{K}_wC i K_hC.
{\bf Теор
.4.4.} {\it Неха
X i Y -- берiвс
i
, простiр X задовольняє першу аксiому злiченностi, простiр Y задовольняє другу аксiому злiченностi i Z
простiр. Тодi K_hK(X,Y,Z)=\ov{K}_wK(X,Y,Z).
{\bf Теор
.4.6.} {\it Неха
X i Y -- берiвс
i
, що задовольняють другу аксiому злiченностi i Z -- сеп
метризовний топологiчний простiр. Тодi K_hK(X,Y,Z)=\ov{K}K(X,Y,Z).
В пiдроз
i
i 4.5 розв'я
обернену задачу до теореми 4.2.1 п
симетричної квазiнеперервностi квазiнеперервних вiдображень.
{\bf
4.5.4.} {\it Неха
A i B -- множ
першої категорiї i типу F_{\sigma} на чис
iй прямiй {\bf R}. Тодi iснує к
iнеперервна функцiя f : {\bf R}^2 \to {\bf R}, така, що {\bf R}\sm A є множ
точок симетричної квазiнеперервностi вiдносно x i
iнеперервностi вiдносно y вiдображення f i {\bf R}\sm B є множ
точок симетричної квазiнеперервностi вiдносно y i
iнеперервностi вiдносно x вiдображення f.
На випадок вiдображень вiд багатьох змiнних перенесено теореми 3.1.4, 4.1.3 i 2.5.3 в пiдроз
i
i 4.6.
{\bf Теор
.6.1.} {\it Неха
X_1\times X_2\times ...\times X_{n-2} - берiвс
простiр, X_1, X_2, ... , X_n задо
першу аксiому злiченностi, Z -- ме
простiр i вiдображення f : X_1\times X_2\times ...\times X_n \to Z непе
вiдносно змiнних x_2, ... , x_n зокр
i
i
f(\circ, \circ, x_3, ... , x_n) гори
квазiнеперервне для кожного набору (x_3, ... ,x_n) \in X_3\times ... \times X_n. Тодi мно
C_{x_n}=\{(x_1, ... ,x_{n-1}) \in X_1\times ... \times X_{n-1} : (x_1, ... , x_{n-1}, x_n)~\in~C(f)\}
є зали
в просторi X_1 \times X_2 \times ... \times X_n для ко
x_n
X_n. Я
ж до того X_1 \times X_2 \times ... \times X_{n-1} -- берiвс
простiр, то вiдображення f квазiнеперервне.}
{\bf Т
.6.2.} {\it Неха
X_1, X_2, ... , X_{n-1} -- берiвс
i
, простори X_2, X_3, ... , X_n задо
другу аксiому злiченностi, Z -- ре
простiр i вiдображення f : X_1\times X_2\times ...\times X_n \to Z квазiн
вiдносно x_n i дл
1\leq k \leq n-1 i кожн
набору (x_1, x_2 ... , x_{k-1}) \in X_1 \times X_2 \times ... \times X_{k-1} вiдобр
g(x,y)~=~f(x_1, ... ,x_{k-1}, x_k, x_{k+1}, ... , x_n), де x=x_k, y=(x_{k+1}, ... , x_n), гори
квазiнеперервне. Тодi вiдображення f квазiнеперервне за сукупнiстю змiнних.}
{\bf Т
.6.3.} {\it Неха
X_1 -- берiвс
простiр,X_2, X_3, ... , X_n - берiвс
i
, якi мають злiченну псевдобазу, Z -- м
простiр i вiдображення
f : X_1\times X_2\times ...\times X_n \to Z точк
розривне вiдносно x_n i дл
1\leq k \leq n-1 i кожн
набору (x_1, x_2 ... , x_{k-1})~\in~X_1~\times~X_2~\times ... \times X_{k-1}вiдобр
g(x,y)=f(x_1, ... ,x_{k-1}, x_k, x_{k+1}, ... , x_n), де x=x_k, y=(x_{k+1}, ... , x_n), гори
квазiнеперервне. Тодi вiдображення f точково розривне за сукупнiстю змiнних.}
В пiдроздiлi 4.7
многозначнi вiдображення i встановлено для них теорему подiбну до теореми 4.2.1. Мн
вiдображенням F : P \to Z нази
правило, за яким кожному елементу p \in P ста
у вiдповiднiсть множина F(p)\sbs Z. Для мн
вiдображень iснує два типи неперервностi i квазiнеперервностi. Вiдображення F : P \to Z нази
неперервним зверху /знизу/ у точцi p_0 \in P, якщо д
довiльної вiдкритої множини W в Z, т
, що F(p_0)\sbs W (F(p_0)\cap W \not = \O) iснує о
i
O точ
p_0 в X, таки
, щ
F(p)\sbs W (F(p)\cap W \not = \O) для всiх то
p \in O.
Вiдобр
F : P \to Z непе
зверху /знизу/, якщо воно неперервне зверху /знизу/ в кожнiй точцi.
Нехай G -- д
система пiдмножин простору P. Вiдображення F~:~P~\to~Z нази
G-квазiнеперервним зверху /знизу/ у точцi p_0~\in~P, якщо д
довiльної вiдкритої множини W в просторi Z,
, що F(p_0)\sbs W (F(p_0)\cap W \not = \O)
i довiль
околу O точки p_0 в P
iс
множина O_1 \in G, така, що O_1 \sbs O i
F(p)\sbs W (F(p)\cap W \not = \O) для всiх p \in O_1.
Вiдобр
F : P \to Z
нази
G-квазiнеперервним зверху /знизу/, якщо воно G-квазiнеперервне в
кожнiй точцi.
Як i ранiше беручи замiсть G систему всiх вiдкритих непорожнiх множин простору P,
вiдповiдну G-квазiнеперервнiсть зверху /знизу/ ми називатимемо просто квазiнеперервнiстю
зверху /знизу/. Якщо P~=~X\times~Y, то G^{x_0}-квазiн
iсть
/знизу/,
G_{y_0}-квазiн
iсть зверху /знизу/, {\cal H}^x-квазiн
iсть
/знизу/ чи
{\cal H}_y-квазiн
iсть зверху /знизу/ у точцi p_0=(x_0,y_0)\in X\times Y
нази
вiдповiдно симетричною квазiнеперервнiстю вiдносно x зверху /знизу/,
симетричною квазiнеперервнiстю вiдносно y зверху /знизу/,
горизонтально квазiнеперервнiстю зверху /знизу/
чи вертикальною квазiнеперервнiстю зверху /знизу/ у точцi p_0.
Я
i ра
i
,
, вiдображення F : X \times Y нази
квазiнеперервним вiдносно x зверху, якщо
воно є таким у кожнiй точцi p \in X \times Y.
{\bf Теор
4.7.1.} {\it Неха
iр X задовольняє другу аксiому злiченностi,
простiр Y --
або задовольняє другу аксiому злiченностi, Z --
п
iр з другою аксiщмою злiченностi i вiдображення F:X \times Y \to Z
квазiн
знизу. Тодi iснує залишкова в Y множина B,
така, що вiдображення F симетрично квазiнеперервне знизу вiдносно y
в кожнiй точцi добутку X \times B.}
ВИСН
дисертацiйнiй роботi дослiджуються властивостi квазiнеперервних вiдображень вiд однiєї, двох та багатьох змiнних. Використовуючи горизонтальну квазiнеперервнiсть одержано ряд результатiв про наявнiсть точок квазiнеперервностi, симетричної квазiнеперервностi та неперервностi для вiдображень вiд двох змiнних. Крiм того, одержано опис множини точок квазiнеперервностi, характеризацiю квазiнеперервностi та симетричної квазiнеперервностi, а також розв'язано ряд обернених задач пов'язаних з квазiнеперервнiстю.
Дисертацiя мiстить новi обгрунтованi теоретичнi результати, якi є певними внеском у загальну теорiю функцiй.
Основнi результати опублiкованi в працях:
. Маслюченко В.К., Михайлюк В. В., Нестеренко В.В. Симетрична квазiнеперервнiсть сукупно квазiнеперервних функцiй //
Мат. Студiї. - 1999. - Т. 11, N2. - С. 204-208.
. Масл
В.К., Нестеренко В.В. Про неперервнiсть нарiзно неперервних вiдображень на кривих // Мат.Cтудiї. - 1998. - 9, N 2. - С. 205 - 210.
. Нест
В. В. Про множину точок квазiнеперервностi //
Науковий вiсник Чернiвецького унiверситету: Зб. наук. пр. - Вип.46.
. - Чернiвцi: ЧДУ, 1999. - C. 104 - 106.
. Масл
В. К., Нестеренко В. В. Про розвиток одного результату Беєеля // Всеукраїнська наукова конференцiя "Розробка
та застосування математичних методiв в науково-технiчних дослiдженнях" присвячена 70-рiччю вiд дня народження проф. П. С. Казiмiрського. Ч.1. - Л
iв. - 1995. - С. 80.
. Масл
В.К., Нестеренко В.В. Горизонтальна квазiнеперервнiсть та її застосування. - Чернiвцi, 1996. - 15 с. - Деп. в УкрIН
I 01.11.96, N 98 - Ук.96.
. Нест
В. В. Про симетричну квазiнеперервнiсть сукупно квазiнеперервних функцiй // Матерiали наукової конференцiї
присвяченої 125-рiччю вiд дня народження В.Левицкого, Тернопiль, - 1997, - С. 52 - 55.
. Масл
В.К., Михайлюк В. В., Нестеренко В.В. Зв'язки мiж рiзними типами квазiнеперервностi // Матерiали Мiжнародної наук. конф. "Cучаснi проблеми математики", - Ч.3. - Чернiв
i, - 1998. - С. 40 - 42.
. Масл
В.К., Нестеренко В. В. Обернена задача для квазiнеперервних функцiй // Збiрник наукових праць Кам'янець-Подiльського державного педагогiчного унiверситетую. Кам'янець-Подiльський держ. пед. унiвер., Серiя фiзико-математична (Математика). Випуск 4. - 1998, - С. 76 - 79.
Нест
В.В. Рiзнi типи квазiнеперервностi та їх застосування. Рукопис. Дисертацiя на здобуття вченого ступеня кандидата фiзико-математичних наук за специальнiстю 01.01.01~-- мате
аналiз, Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв, 2000.
Дослiд
властивостi квазiнеперервних вiдображень заданих на топологiчних просторах. Одержано опис множини точок квазiнеперервностi i встановлено наявнiсть точок неперервностi вiдорбражень двох змiнних, якi горизонтально квазiнеперервнi i неперервнi вiдносно другої змiнної, а також точок симетричної квазiнеперервностi сукупно квазiнеперервних вiдображень. Крiм того, одержано характеризацiї симетрично квазiнеперервних i сукпно квазiнеперервних вiдображень.
Ключовi слова: квазiнеперервнi вiдображення, горизонтальна квазiнеперервнiсть, симетрична квазiнеперервнiсть, нарiзна квазiнеперервнiсть.
Nesterenko V.V. Various types of quasicontinuity and their
applications. The manuscript. Thesis for a degree of candidate of Science (Ph. D.) in Physics and Mathematics, speciality 01.01.01 - Mathematical Analysis. L'viv national university, L'viv, 2000.
Investigate conditions of quasicontinuous mappings on topological spaces. A description of the set of quasicontinuity points is given and the existence of continuity points of maps of two variables which are horisontally quasicontinuous and quasicontinuous in the second variable are obtained, and points of symmetrical quasicontinuity of quasicontinuous maps. Besides a description of symmetrical quasicontinuity and quasicontinuity are obtained.
Key words: quasicontinuous mappings, horisontal quasicontinuity, symmetrical quasicontinuity, separate quasicontinuity
Нест
В.В. Различные типы квазинепрерывности и их применение. Рукопись. Диcсертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- мате
анализ, Львовский национальный университет имени Ивана Франка, Львов, 2000.
Д
работа посвящена исследованию свойств различных типов квазинепрерывных отображений. В разделе I дан литературный обзор развития иследования этих понятий.
В разделе II рассматриваются свойства квазинепрерывных отображений одной переменной. Здесь подано общее определение G-квазинепрерывности, с которого, как частные случаи, получается симетрическая, горизонтальная и вертикальная квазинепрерывность. Первые два подраздела 2.1 и 2.2 подг
. Основным результатом подраздела 2.3 есть теорема 2.3.7, ко
развязывает обратную задачу к теореме о множестве точек непрерывности квазинепрерывного отображения в том случае, когда функция задана на R с значениями в R. В подразделе 2.4 получено описание множества точек квазинепрерывнoсти отображения f:R(R (те
.4.1). В след
подразделе применена горизонтальная квазинепрерывность к точечно разрывным отображениям и установлено, что горизонтально квазинепрерывное отображение, которое точечно разрывно относительно второй переменной будет точечно розрывным от совокупности переменных при некоторых условиях на пространства (теорема 2.5.3).
Ра
III п
вопросу наличия точек непрерывности отображения f:X(Y(Z з кла
.
3.1 установлено, что отображение f(KhC и
всюду плотное множество точек непрерывности на каждой горизонтали, при некоторых условиях на пространства X, Y
Z (тео
.1.3, 3.1.4, 3.1.7). Кром
, показано, что горизонтально квазинепрерывные и непрерывные относительно второго переменного отображения f:X(Y(Z, где X- беро
пространство, пространство Y удовлетворяет первой аксиоме счетности и Z -
пространство, есть квазинепрерывным от совокупности переменных (теорема 3.1.6). Нас
множества точек непрерывности отображения с класса KhC посвящен подраздел 3.2.
, что для отображения f:X(Y(Z с кла
KhC, где X - топо
пространство, пространство Y удовлетворяет второй аксиоме счетности и Z -
пространство, множество CY(f) е
остаточным в X (теорема 3.2.1). В под
.3 перенесено теорему 3.1.4 с г
на непрерывные кривые (теорема 3.3.1).
В ра
IV установлено характеризации симетричной квазинепрерывности и квазинепрерывности, рассматрен вопрос о связях между различными классами отображений, а также перенесено некоторые результаты на случай отображений от нескольких переменных и многозначных отображений. В подразделе 4.1 обобщено теорему о совокупной квазинепрерывности квазинепрерывных отображений. Установлено, что горизонтально квазинепрерывное и квазинепрерывное относительно второго переменного отображения f:X(Y(Z, где X - беро
пространство, пространство Y удовлетворяет второй аксиоме счетности и Z - регулярное пространство, будет квазинепрерывным от совокупности переменных (теорема 4.1.2). Это ж
сказать о горизонтально и вертикально квазинепрерывных отображениях. В подразделе 4.2 установлено, что квазинепрерывное отображение f:X(Y(Z име
точки симетричной квазинепрерывности относительно y (теорема 4.2.1). Эта т
дает возможность установить необходимые и достаточные условия квазинепрерывности (теорема 4.3.2). При с
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
wC i KhC, кото
решено в подразделе 4.4,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
wC=KhC, пр
EMBED PBrush
MathType
Times New Roman Cyr
"System
MathType
Times New Roman Cyr
"System
MathType
Times New Roman Cyr
"System
MathType
Times New Roman Cyr
"System
MathType
Times New Roman Cyr
"System
MathType
Times New Roman Cyr
"System
MathType
Times New Roman Cyr
"System
MathType
Times New Roman Cyr
"System
MathType
Times New Roman Cyr
"System
MathType
Times New Roman Cyr
"System
MathType
Times New Roman Cyr
"System
Microsoft Word
MSWordDoc
Word.Document.8
Root Entry
Root Entry
WordDocument
WordDocument
ObjectPool
ObjectPool
_1014443585
_1014443585
CompObj
CompObj
ObjInfo
ObjInfo
OlePres000
OlePres000
Microsoft Equation 3.0
DS Equation
Equation.3
MathType
Times New Roman Cyr
"System
Microsoft Equation 3.0
DS Equation
Equation.3
Equation Native
_1014443586
_1014443586
CompObj
CompObj
ObjInfo
ObjInfo
OlePres000
OlePres000
Equation Native
Equation Native
_1014443588
_1014443588
MathType
Times New Roman Cyr
"System
Microsoft Equation 3.0
CompObj
CompObj
ObjInfo
ObjInfo
OlePres000
OlePres000
uation
Equation.3
MathType
Times New Roman Cyr
"System
Equation Native
Equation Native
_1014443589
_1014443589
CompObj
CompObj
Microsoft Equation 3.0
DS Equation
Equation.3
MathType
ObjInfo
ObjInfo
OlePres000
OlePres000
Equation Native
Equation Native
_1014443590
_1014443590
Times New Roman Cyr
"System
Microsoft Equation 3.0
DS Equation
Equation.3
CompObj
CompObj
ObjInfo
ObjInfo
OlePres000
OlePres000
MathType
Times New Roman Cyr
"System
Equation Native
Equation Native
_1014443591
_1014443591
CompObj
CompObj
Microsoft Equation 3.0
DS Equation
Equation.3
MathType
Times New Roman Cyr
ObjInfo
ObjInfo
OlePres000
OlePres000
Equation Native
Equation Native
_1014443592
_1014443592
"System
Microsoft Equation 3.0
DS Equation
Equation.3
CompObj
CompObj
ObjInfo
ObjInfo
OlePres000
OlePres000
MathType
Times New Roman Cyr
"System
Microsoft Equation 3.0
DS Equation
Equation.3
Equation Native
Equation Native
_1014443604
_1014443604
CompObj
CompObj
ObjInfo
ObjInfo
OlePres000
OlePres000
Equation Native
Equation Native
_1014443605
_1014443605
MathType
Times New Roman Cyr
"System
CompObj
CompObj
ObjInfo
ObjInfo
OlePres000
OlePres000
Microsoft Equation 3.0
DS Equation
Equation.3
MathType
Times New Roman Cyr
"System
Microsoft Equation 3.0
DS Equation
Equation.3
Equation Native
_1014443607
_1014443607
CompObj
CompObj
ObjInfo
ObjInfo
OlePres000
OlePres000
Equation Native
Equation Native
_1014443608
_1014443608
MathType
Times New Roman Cyr
"System
Microsoft Equation 3.0
CompObj
CompObj
ObjInfo
ObjInfo
OlePres000
OlePres000
uation
Equation.3
MathType
Times New Roman Cyr
"System
Equation Native
Equation Native
_1014443584
_1014443584
CompObj
CompObj
рисунок Paintbrush
PBrush
PBrush
Ole10Native
Ole10Native
ObjInfo
ObjInfo
SummaryInformation
SummaryInformation
DocumentSummaryInformation
DocumentSummaryInformation
\renewcommand{\baselinestretch}{1
Normal
Microsoft Word for Windows 95
\renewcommand{\baselinestretch}{1
Microsoft Word Document
MSWordDoc
Word.Document.6
Normal
Heading 1
Heading 2
Heading 3
Heading 4
Heading 5
Default Paragraph Font
Plain Text
Body Text
g匀Ü娀Ì挀\瀀õ耀v謀¶鈀½销3yz{|}~
yz{|}~
Times New Roman
Symbol
TIMES NEW ROMAN CYR
Times New Roman Greek
Courier New
!\renewcommand{\baselinestretch}{1
CompObj
CompObj
Root Entry
Root Entry
WordDocument
WordDocument
ObjectPool
ObjectPool
_1014443585
_1014443585