Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Введение
В данном разделе курса рассматриваются и анализируются основные положения теории множеств – раздела математики, изучающего множества, отвлекаясь от конкретной природы его элементов.
Понятие множества – одно из основных, если не основное, понятие математики. Оно вводится аксиоматически и не может быть определено через какие-либо элементарные понятия. Такими аксиоматическими понятиями, например, в элементарной геометрии являются понятия точки, прямой, плоскости.
Описательным объяснением термина «множество» является: совокупность, объединение некоторых объектов произвольной природы – элементов множества. Хотя множества могут состоять из элементов произвольной природы, однако каждое конкретное множество представляет собой объединение элементов по каким-либо общим для них свойствам (признакам). Эти общие свойства элементов множества содержатся в самом названии (задании) каждого множества. Так, например, в множестве целых чисел все элементы суть целые числа, и это свойство является общим для всех элементов. Все объекты, обладающие этим свойством, в данном случае представляют собой объединение – множество.
Аналогично можно рассматривать множество звезд во Вселенной, множество точек на плоскости и т.п.
На основе интуитивных представлений о подобных совокупностях и сформировалось математическое понятие множества как объединения отдельных объектов в единое целое. Именно такой точки зрения придерживался основатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор. Георг Кантор определил множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией и мыслью».
Однако расплывчатость и недостаточность этого определения стала понятной, когда в 1979 году итальянский логик Бурали-Форти, а немного позже выдающийся философ и логик Бертран Рассел открыли парадоксы, указывающие на внутреннюю противоречивость канторовской теории множеств.
Для устранения таких противоречий и парадоксов для теории множеств были предложены аксиоматические системы, из которых наиболее известными являются:
Рассматривая основное положение о множестве и его элементах, можно воспользоваться следующим положением, предлагаемым группой выдающихся математиков, выступающих под псевдонимом Н.Бурбаки:
«Множество образуется из элементов, обладающих некоторыми свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или с элементами других множеств».