Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
18. Простейший поток событий.
1.Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт.
2. Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделим свойства стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
1)Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке от времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом различные промежутки времени предполагаются непересекающимися
если поток обладает свойством, стационарности, то вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t.
2) Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.
Другими словами, условная вероятность появления k событий на любом промежутке времени, вычисленная при любых предположениях о том, что происходило до начала рассматриваемого промежутка (сколько событий появилось, в какой последовательности), равна безусловной вероятности. Таким образом, предыстория потока не сказывается на вероятности появления событий в ближайшем будущем.
Итак, если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.
3) Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно. Другими словами, вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления только одного события.
Итак, если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.
Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.
3.Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.
Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона: Pt(k)=.
Эта формула отражает все свойства простейшего потока.
Действительно, из формулы видно, что вероятность появления k событий за время t, при заданной интенсивности является функцией k и t, что характеризует свойство стационарности.
Убедимся, что формула отражает свойство ординарности. Положив k = 0 и k=1, найдем соответственно вероятности непоявления событий и появления одного события:Pt(0)= , Pt(1)=
Следовательно, вероятность появления более одного события
Pt(k>1)=1-[Pt(0)+Pt(1)]=1-[].
Пользуясь разложениемпосле элементарных преобразований получим Pt(k> 1) = (t)2/2+ … .
Сравнивая Рt(1) и Pt(k>1), заключаем, что при малых значениях t вероятность появления более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления одного события, что характеризует свойство ординарности.Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.
Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин поступит: а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.
Решение. По условию, = 2, t = 5, k = 2. Воспользуемся формулой ПуассонаPt(k)=.
а)Искомая вероятность того, что за 5 мин поступит 2 вызова,Р5 (2) = 102 * е-10/2! = 100*0,000045/2 = 0,00225.
Это событие практически невозможно.
б)События «не поступило ни одного вызова» и «поступил один вызов» несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность того, что за 5 мин поступит менее двух вызовов, равна
Р5 (k < 2) = Р5 (О)+Р5 (1) = е-10 + (10-е-10)/1! =0,000495.
Это событие практически невозможно.
в) События «поступило менее двух вызовов» и «поступило не менее двух вызовов» противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 5 мин поступит не менее двух вызовов,
Р5 (k 2) = 1 — Р5 (k < 2) = 1 — 0,000495 = 0,999505.
Это событие практически достоверно.