Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Московский государственный институт
электроники и математики
(Технический универсистет)
Н.Ю. Энатская
Е.Р. Хакимуллин
Математическая статистика
Москва 2011
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
Московский государственный институт
электроники и математики
(Технический универсистет)
Н.Ю. Энатская
Е.Р. Хакимуллин
Математическая статистика
Утверждено Редакционно-издательским советом
института в качестве учебного пособия
Москва 2011
Н.Ю. Энатская, Е.Р. Хакимуллин
Математическая статистика
Учебное пособие, изд. МИЭМ ,2011 г
В первой части пособия рассмотрены дополнительные вопросы теории вероятностей, необходимые для изучения математической статистики и начальные сведения по математической статистике.
Во второй части пособия подробно изложены вопросы, связанные с решением одной из основных задач математической статистики - параметрической задачи. Приведено много примеров.
Рекомендуется всем студентам МИЭМ, изучающим математическую статистику.
Рецензенты:
Содержание.
Стр.
Введение и обозначения………………………………………………...……1
Часть I
§1. Дополнительные сведения о распределениях…………………….…….3
§2. Условные распределения………………………………………….….…11
§3. Основные понятия математической статистики……………….….......24
§4. Порядковые статистики………………………………………………....28
§5. Моделирование распределений случайных величин…………………37
§6. Непараметрическая задача статистики………………………………...42
Часть II
Введение……………………………………………………………………….47
§1. Выборочные моменты. Их свойства …………………………………….48
§2. Свойства точечных оценок……………………………………….………58
§3. Достаточные статистики. (д.с.)…………………………………………..73
§4. Неравенство Рао-Крамера………………………………..………….……83
§5. Методы получения точечных оценок………………………….…….…..90
§6. Доверительное оценивание……………………………………..……....104
Список литературы……………………………………………………….…115
Введение и обозначения.
Настоящее пособие написано на основе многолетнего опыта проведения лекционных и практических занятий по математической статистике в МИЭМе, МАТИ, МГПУ. Как оказалось, не представляется возможным рекомендовать в качестве основного ни один из существующих учебников в силу разных причин: из-за большого их объема, из-за сложности изложения, из-за неполноты представленных тем, в то время как они же могут успешно служить в качестве дополнительной литературы. Учебное пособие должно отличаться от других источников информации по данной теме близостью к учебной программе предмета, компактностью, определяемой ограниченностью учебного времени и в то же время понятностью ( с комментариями и большим числом примеров), логической законченностью и связанностью излагаемых вопросов. Здесь делается попытка создания такого учебного материала.
I часть.
В первой части рассматриваются как некоторые вспомогательные темы теории вероятностей, не вошедшие в основной начальный курс, а также начальные темы математической статистики. Цель первой части – подготовка к восприятию математической статистики, путем рассмотрения отдельных вопросов теории вероятностей и обсуждения основных понятий и структуры курса.
II часть.
Во второй части разобраны вопросы, связанные с решением параметрической задачи статистики.
Предполагается знание основного курса теории вероятностей.
Введем обозначения:
с.в. – случайная (ые) величина (ы);
L(x) – закон распределения с.в. Х;
B (1, p) – бернуллиевское распределение;
B (n, p) – биномиальное распределение;
π(λ) – пуассоновское распределение;
Н (N, M, n) – гипергеометрическое распределение;
Ge (p) – геометрическое распределение;
сдGe(p) – сдвинутое геометрическое распределение;
πa (r,p) – сдвинутое геометрическое распределение;
OB (r, p) – отрицательное биномиальное распределение;
R [a, b] – равномерное распределение;
N [а,] – нормальное распределение;
Гα,λ и γ(x; α, λ) – гамма распределение с плотностью распределения f(x;α, λ);
E(λ) – экспоненциальное распределение;
смысл параметров смотри в [1];
запись с.в. Х~А(Ө) означает, что с.в. Х имеет закон распределения А с параметром Ө=(Ө1,..,Өk);
EX – математическое ожидание с.в. Х;
DX – дисперсия с.в. Х;
ф.п. – функция правдоподобия;
д.с. – достаточная статистика;
к.ф. – критерий факторизации;
ФПВ – формула полной вероятности;
МРК – неравенство Рао-Крамера;
КЭ – критерий эффективности (критерий HOMД)
НКБ – неравенство Коши-Буняковского;
ц.с. – центральная статистика;
д.и. – доверительный интервал;
ц.д.и. – центральный доверительный интервал;
x(k) – k-я порядковая статистика с.в. Х;
х.ф. – характеристическая функция;
х – выборочное среднее;
э.с. – экспоненциальное семейство распределений;
=> – следует;
= (x1,…,xn) – выборка объема n из генеральной совокупности;
Часть I.
В первой части пособия рассматриваются отдельные темы теории вероятностей, необходимые для изучения математической статистики, а так же начальные сведения по математической статистики, включая решение непараметрической задачи и моделирование случайных последовательностей с заданными распределениями.
§1. Дополнительные сведения о распределениях.
В общем курсе теории вероятностей рассматривался вопрос о законах распределения случайных величин наиболее распространённых простейших распределений. Здесь будут изучаться некоторые другие более сложные распределения, широко используемые в математической статистике. Кроме непосредственных вычислений будем при этом пользоваться методом характеристических функций.
Изложение темы будет представлено в основном в виде задач с решениями с приведением сведений по изучаемым распределениям.
1. Гамма распределение.
Плотность Гамма распределения имеет вид:
Г(), x
0, x<0
где α, λ ‒ const>0 и Г() =.
Свойства Г(α).
Г(α +1) = α Г(α), при целом α: Г(α +1) = α!; Г(0) =1; Г(1) =1.
Пусть запись Х~ Гα,λ означает, что случайная величина (с. в.) Х имеет плотность распределения f (x; α, λ).
Задача 1.
Показать, что f (x; α, λ) является плотностью распределения.
Решение.
f (x; α, λ) ≥0. Остаётся проверить условие нормировки:
Задача 2.
Найти характеристическую функцию гамма распределения.
Решение.
gx(t)=g(t; a, λ)=
=
Задача 3.
Случайные величины Х1 и Х2 : независимы Х1 ~ Гα,λ , Х2 ~ Гα,λ. Найти закон распределения с.в. Z= Х1 + Х2.
Решение.
Решать задачу будем методом характеристических функций:
gz(t)= gz(t; α, λ)= gx(t; α1, λ) gx(t; α2, λ)=(1-it/, откуда следует, что Х1+ +Х2 =Z есть гамма распределение с плотностью f (x; λ, α1+α2) (обозначим это распределение через Гα,λ, где α=α1+α2).
Задача 4.
Доказать, что, если с. в. Х распределена по Гα,λ, а с.в. Y= λX, то с.в. Y распределена по Г1,λ.
Решение.
f (x; α=1, λ) = , x≥0; α,λ>0;
F(x) = P(X<x/λ)=F(x/λ);
f(x)=, x, λ,
т.е. .
Задача 5.
Показать, что экспоненциальное распределение является частным случаем гамма распределения и выписать характеристическую функцию для экспоненциального распределения.
Решение.
, x
0, x<0
характеристическая функция экспоненциального распределения.
Найдём моменты гамма распределения. Воспользуемся известной связью характеристической функции с моментами с.в. Х: . Тогда, если с.в. Х~ Гα,λ, то
; g″(0)=; g″(0) = EX;
DX = EX‒ (EX)= ‒ g″(0)- (EX)=.
Итак, EX =, DX =.
Для экспоненциального распределения (с.в. Х ~ E(λ)) получим отсюда моменты при : EX =, EX, DX = .
2. Распределение χ2 .
Задача 1.
Найти распределение с.в. , где с.в. распределена по нормальному закону N(0,1) и все Х независимы, i = .
Решение.
Найдём сначала распределение с.в. , то есть (<x)=P() = P (-)=
=
=.г
Отсюда следует, что плотность распределения с.в. есть частный вид плотности гамма распределения, т.к.:
=.
Характеристическая функция с.в. есть g = =(1‒2it). Тогда по свойствам характеристической функции имеем:
g=
.
Найдём моменты распределения с.в., т.е. найти E и D.
~ Г E= D =
Задача 2.
Найти предельное распределение для с.в. = и с.в. , определённой в задаче 1, при n.
Решение.
С.в.=, где с.в. Х распределена по N(0,1) и все с.в. Х независимые, следовательно, с.в. тоже одинаково распределены, независимы и по центральной предельной теореме (теорема Леви) распределение с.в. = сходится при n к нормальному закону N(0,1).
E = D=, т.е. распределение с.в. = при n сходится к N(0,1).
P ();
P () = P() = P.
Задача 3.
С.в. Х распределена по закону N(0,). Найти распределение с.в. Z =, где ‒ независимые с.в. и её моменты.
Решение.
С.в. Х/ распределена по нормальному закону N(0,1), с.в. U =, тогда = U = Z.
Найдём характеристическую функцию с.в. Z ‒ g(t) и её моменты EZ и DZ.
g(t)= g(t)= g(t)=(1‒2it).
Из сравнения с.в. Z и гамма распределения следует, что (так как g(t)= (1‒2it)=) с.в. Z распределена с плотностью распределения
, x≥0
0, x<0.
EZ = ‒ ig′(0) = ‒ i;
EZ″(0) = i
;
DZ = EZ‒ (EZ)= n.
3. Распределение Стьюдента.
С.в. Х имеет распределение Стьюдента, если её плотность распределения имеет вид:
, .
Можно показать, с.в. T = U распределена по закону Стьюдента, если с.в. U распределена по нормальному закону N(0,1), а с.в. g распределена по закону ;
; ; U, g ‒ независимые с.в.
При n =1 закон Стьюдента называется законом Коши с плотностью распределения:
.
4. Распределение Фишера.
Плотность распределения Фишера есть
, t>0.
Можно показать, что если с.в. Х, Х,…, Хнезависимы, X=,
- независимы, Y= X, Yj и при всех i=; j= распределены нормально по закону N(0,), тогда с.в. Z = распределена по Фишеру.
Найдём моменты с.в. Z:
B(x,y) = и B(x,y)=.
В частности при i = 1 и i = 2 имеем
;
DZ = EZ‒ (EZ)= .
5. Бета распределение.
С.в. Z имеет бета распределение с параметрами p и q (p,q>0), если её плотность распределения имеет вид:
.
Задача 1.
Показать, что бета распределение при p = q = 1 есть равномерное на [0,1] распределение.
Решение.
‒ это плотность равномерного распределения на [0,1] при.
Задача 2.
Пусть Х, Х,…, Х- независимы, равномерно распределены на [0,1], а Х, Х,…, Х- упорядоченные в порядке возрастания исходные с.в. Показать, что плотность распределения с.в. Х имеет бета распределение, где Х- k-ая порядковая статистика.
Решение.
Известно, что плотность распределения k-ой порядковой статистики имеет вид: = nC, где f(x) и F(x) – соответственно плотность и функция распределения с.в. Х.
В рассматриваемом случае X ~ R[0,1], поэтому
= nC, то есть это – бета распределение с параметрами p = k, q = n ‒ k + 1, (p+q = k + n ‒ k +1 = n + 1).
Задача 3.
Найти n-ый момент m, бета распределения (m=EZ).
Решение.
так как B(p,q) =; (Re p>0, Re q>0); B(p,q) = , отсюда m=; m=;
DX = m‒ (m)=.
PAGE \* MERGEFORMAT 9