Будь умным!

У вас вопросы?
У нас ответы:) SamZan.net

тема 1- ~11j1; ~11j1 Система 2- ~19; ~11 Система 3- ~11000; ~11 Система 5- ~10j1; ~10j1 Явны

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 7.11.2024

Отчёт по лабораторной работе:

“Задача Коши”

Студента группы 2097/2

Потапова Григория Сергеевича

20.05.2013

Задание 1. При интегрировании нескольких (3-4) систем линейных уравнений на основе информации о значениях собственных чисел матрицы системы оценить максимальную величину шага устойчивого интегрирования и проверить эту оценку экспериментально. Зафиксировать величину шага, при которой метод теряет устойчивость.

Собственные числа:

Система 1: λ1=-1+j*1;   λ1=-1-j*1

Система 2: λ1=-9;          λ1=-1

Система 3: λ1=-1000;    λ1=-1

Система 5: λ1=0+j*1;    λ1=0-j*1

Явный метод Эйлера. | 1 + λ*h | < 1 → h < .

Система 2.

Правая граница

Шаг

Тип

10

0.1

Сходится

10

0.2

Сходится

10

0.3

Расходится

Система 3. h < 0,002.

Правая граница

Шаг

Тип

0,05

0.001

Сходится

0,05

0.0019

Сходится

0,05

0.0021

Расходится

Система 5. Ни один h не удовлетворяет неравенству → расходимость при всех h.

Правая граница

Шаг

Тип

0,0005

10-8

Расходится

0,05

10-5

Расходится

10

1

Расходится

Неявный метод Эйлера.  h > 0 → сходимость при всех h.

Система 2.

Правая граница

Шаг

Тип

10

1

Сходится

100

10

Сходится

1000

100

Сходится

Система 3. h > 0.

Правая граница

Шаг

Тип

10

1

Сходится

20

3

Сходится

5

0.1

Сходится

Система 1. h > 0.

Правая граница

Шаг

Тип

10

1

Сходится

100

10

Сходится

1000

100

Сходится

Метод трапеции.  h > 0.

Система 2.

Правая граница

Шаг

Тип

10

1

Сходится

500

10

Сходится

2000

100

Сходится

Система 3. h > 0.

Правая граница

Шаг

Тип

5

0.1

Сходится

20

1

Сходится

20

1.1

Сходится

Система 1. h > 0.

Правая граница

Шаг

Тип

10

1

Сходится

300

10

Сходится

16000

100

Сходится

Вывод: Расчетные данные были подтверждены экспериментально. Неявный метод Эйлера и метод трапеции оказались эффективнее явного метода Эйлера. Методы трапеции и неявного Эйлера позволяют использовать любой шаг, а для явного Эйлера мы должны уложиться в строго определённый шаг.

Задание 2. При интегрировании системы нелинейных уравнений обратить внимание на эффективность различных методов реализации схемы прогноз-коррекция.

Система №15.

Шаг по методу трапеции по схеме П(ВК)

Ошибка по методу трапеции по схеме П(ВК)

Шаг по методу трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом

Ошибка по методу трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом

0.0001

3.1*10-7

0.0001

1.2*10-7

0.0005

3.3*10-6

0.0005

3.3*10-7

0.001

1.4*10-5

0.001

1.4*10-5

-

-

0.1

1.4*10-1

-

-

1

21

Вывод: Метод трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом позволяет получить большую точность, чем метод трапеции по схеме П(ВК): при одинаковом шаге интегрирования. Метод трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом позволяет использовать больший шаг.

Задание 3. Исследовать поведение полной ошибки численного решения при интегрировании с постоянным шагом методами различного порядка. (Методы Эйлера, РК2 – РК4), т.е. получить зависимость максимальной погрешности решения задачи от порядка метода при условии постоянства шага интегрирования, и методами одного порядка при вариациях величины шага. Дать качественное описание поведения функции полной погрешности решения.

Правая граница интервала равна 10.

Метод

Система

Шаг

Ошибка

Ф.П.П.

Явный метод Эйлера

1

0.001

5*10-3

3 экстр.

1 макс.

0.01

5*10-2

0.1

5.4*10-1

Неявный метод Эйлера

1

0.001

5*10-3

3 экстр.

1 макс.

0.01

5.1*10-2

0.1

4.7*10-1

Рунге-Кутта 2

1

0.001

3.2*10-6

3 экстр.

1 макс.

0.01

3.2*10-4

0.1

3.4*10-2

Рунге-Кутта 3

1

0.001

2.1*10-9

3 экстр.

1 макс.

0.01

1.1*10-6

0.1

1.1*10-3

Рунге-Кутта 4

1

0.001

1.2*10-9

6 экстр.

3 макс.

0.01

2.1*10-9

0.1

2.3*10-5

Вывод: 

  1.  При одинаковых шагах интегрирования методы Рунге-Кутта дают меньшую максимальную погрешность, чем методы Эйлера (явный и неявный). Для системы 1 наименьшая погрешность была получена с помощью метода Рунге-Кутта 4.

  1.  При уменьшении шага интегрирования уменьшается и погрешность (при одном методе). При увеличении шага на порядок ошибка  увеличивается в зависимости от использованного метода. При использовании методов Эйлера с увеличением шага интегрирования на порядок на порядок растёт и ошибка. У методов Рунге-Кутта 2,3,4 при увеличении шага интегрирования на порядок ошибка растёт на 2, 3 и 4 порядка соответственно.


Задание 4. При интегрировании жестких задач:

- получить экспериментальные характеристики эффективности явных методов (методы РК4, явный Эйлера);

- установить возможность и условия интегрирования задачи неявными методами с большим и постоянным шагом (метод трапеции);

- сравнить эффективность применения метода Гира второго порядка и метода трапеции.

1. Получение экспериментальных характеристик эффективности явных методов (методы РК4, явный Эйлера).

Система №3.

Правая граница интервала равна 0,05.

Вывод: Явный метод Эйлера оказался менее эффективен, чем метод Рунге-Кутта 4. При  интегрировании жёсткой задачи по явному методу Эйлера  при использовании шагов 0.0005 и 0.001 ошибка больше (на 2 порядка), чем по методу Рунге-Кутта 4. Увеличение порядка метода при решении жёсткой задачи не даёт такого же улучшения точности, как для нежёсткой задачи.

Метод

Шаг

Ошибка

Рунге-Кутта 4

0,0001

2.6*10-7

Рунге-Кутта 4

0,0005

2,3*10-4

Рунге-Кутта 4

0,001

5,5*10-3

Явный метод Эйлера

0,0001

1,4*10-2

Явный метод Эйлера

0,0005

9,2*10-2

Явный метод Эйлера

0,001

2,8*10-1

2. Установка возможности и условия интегрирования задачи неявными методами с большим и постоянным шагом (метод трапеции).

Правая граница интервала: 0.05. система №3.

Шаг

Получаемая ошибка

Метод трапеции по схеме П(ВК)

Метод трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом

0.00001

2.4*10-6

2.4*10-6

0.0001

2.6*10-4

2.4*10-4

0.001

2.7*10-2

2.6*10-2

0.01

-

0.51

Вывод: при интегрировании жёсткой задачи двумя методами: ошибки примерно равны. И при увеличении шага интегрирования ошибка растёт одинаково для двух методов (на два порядка). При шаге интегрирования больше, чем 0.001 метод трапеции по схеме П(ВК) не даёт результата, когда метод трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом даёт результат.


3. Сравнение эффективности применения метода Гира второго порядка и метода трапеции.

Метод Гира второго порядка:

Заданная точность

Ошибка (Трапеции)

Ошибка (Гира)

10-1

1.5*10-3

1.2*10-2

10-2

1.7*10-5

1.2*10-2

10-3

1.8*10-6

9.5*10-3

10-4

2.1*10-7

2.7*10-3

10-5

2.3*10-8

6.3*10-4

Шаг

Ошибка (Трапеции)

Ошибка (Гира)

0,00001

2.3*10-6

9.2*10-6

0,0001

2.5*10-4

8.6*10-4

0,001

2.7*10-2

2.8*10-2

Вывод: 

  1.  С увеличением точности уменьшается ошибка по методу трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом, а ошибка по методу Гира второго рода практически не изменяется (очень мало уменьшается). Ошибка по методу Гира второго порядка в 100 раз больше, чем ошибка по методу трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом. Метод Гира более эффективен с точки зрения ресурса времени.

  1.  При увеличении шага интегрирования на порядок ошибка растёт на 2 порядка (для обоих методов). Для одного шага интегрирования ошибка по методу Гира второго рода немного больше, чем ошибка по методу трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом, но одного порядка. При постоянном шаге интегрирования оба метода затрачивают одинаковое количество времени.




1. Проблема создания высококачественных товаров
2. ЛЕКЦИЯ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ПРОЕКТНОГО МЕНЕДЖМЕНТА История возникновения проектного менеджмента
3. Реализация идей Кейнса в период нового курса ФД Рузвельта
4. Глобальные проблемы современности- экологическая проблема, сырьевой кризи
5. Биосинтез аскорбиновой кислоты листьями ячменя в атмосфере азота
6. В языке есть слова
7. Статья 24 1. Сбор хранение использование и распространение информации о частной жизни лица без его соглас
8. .Cущностьпредпосылки и концепции происх
9. Контрольная работа- Учет основных средств (требующих монтажа)
10. Договор аренды в российском гражданском праве Понятие договора аренды
11. Про лізування окремих видів діяльності
12. а название злокачественной опухоли происходит из названия ткани и второго корня ~ саркома например- фиброс
13. 1 Пара слов 12 Плюсы и минусы 1
14. экономического развития и качества жизни населения
15. Понятие конфликта.html
16. РЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Львів
17. варианты кооперирования coopertives principles of functioning Oryoloblst vrints of coopertion В декабре 1995 г
18. Солнечные пятна, динамика и механизм их образования, способы их учета в экологии и астрофизике
19. Тема- Публикация открытых данных государственными органами ГО и органами местного самоуправления ОМС и те
20. Рекомендации по лечению пациентов с первичной (эссенциальной) гипертензие

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе